دع وظيفة تعطى. نظرًا لأن x و y متغيران مستقلان ، يمكن أن يتغير أحدهما بينما يظل الآخر بدون تغيير. لنزيد المتغير المستقل x مع الحفاظ على قيمة y دون تغيير. بعد ذلك ، ستحصل z على زيادة تسمى الزيادة الجزئية لـ z على x ويُشار إليها بواسطة. لذا، .

وبالمثل ، نحصل على زيادة جزئية لـ z بالنسبة إلى y:.

يتم تحديد الزيادة الإجمالية للدالة z من خلال المساواة.

إذا كان هناك حد ، فسيتم تسميته بالمشتق الجزئي للدالة عند النقطة فيما يتعلق بالمتغير x ويُشار إليه بأحد الرموز:

.

عادةً ما يتم الإشارة إلى المشتقات الجزئية بالنسبة إلى x عند نقطة ما بالرموز .

يتم تعريف المشتق الجزئي لـ فيما يتعلق بالمتغير y والإشارة إليه بطريقة مماثلة:

وبالتالي ، فإن المشتق الجزئي لدالة من عدة متغيرات (متغيرات أو ثلاثة أو أكثر) يُعرَّف بأنه مشتق دالة لأحد هذه المتغيرات ، مع مراعاة ثبات قيم المتغيرات المستقلة المتبقية. لذلك ، يتم العثور على المشتقات الجزئية للدالة وفقًا للصيغ والقواعد الخاصة بحساب مشتقات دالة لمتغير واحد (في هذه الحالة ، تعتبر x أو y على التوالي قيمة ثابتة).

تسمى المشتقات الجزئية أيضًا مشتقات جزئية من الدرجة الأولى. يمكن اعتبارها وظائف. يمكن أن تحتوي هذه الوظائف على مشتقات جزئية تسمى مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. يتم تعريفها ورمزها على النحو التالي:

; ;

; .

تفاضلات الرتبة الأولى والثانية لدالة متغيرين.

يسمى التفاضل الكلي للدالة (الصيغة 2.5) بالفرق من الدرجة الأولى.

معادلة حساب الفرق الكلي هي كما يلي:

(2.5) أو ، أين ،

الفروق الجزئية للدالة.

دع الدالة لها مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية. يتم تحديد فارق الرتبة الثانية بواسطة الصيغة. لنجده:

من هنا: . رمزيا يكتب على النحو التالي:

.

غير محدد التكامل.

مشتق عكسي لدالة ، خصائص تكامل غير محدد.

الوظيفة F (x) تسمى بدائيلوظيفة معينة f (x) ، إذا كانت F "(x) = f (x) ، أو إذا كانت هي نفسها ، إذا كانت dF (x) = f (x) dx.

نظرية. إذا كانت الدالة f (x) ، المحددة في فترة (X) ذات طول محدد أو لانهائي ، تحتوي على مشتق عكسي واحد ، F (x) ، فإنها تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية ؛ تم تضمينها جميعًا في التعبير F (x) + C ، حيث C ثابت عشوائي.

تسمى مجموعة جميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة f (x) ، المحددة في فاصل زمني معين أو على جزء ما من الطول المحدد أو اللانهائي تكامل غير محددمن الوظيفة f (x) [أو من التعبير f (x) dx] ويُشار إليها بالرمز.

إذا كانت F (x) أحد المشتقات العكسية لـ f (x) ، فبالنسبة للنظرية العكسية

، حيث C ثابت اعتباطي.

من خلال تعريف المشتق العكسي F "(x) = f (x) وبالتالي ، dF (x) = f (x) dx. في الصيغة (7.1) ، تسمى f (x) التكامل ، و f ( x) dx يسمى تعبير التكاملاند.

التعريف 1.11دعونا نعطي دالة من متغيرين ض = ض (س ، ص) ، (س ، ص) د . نقطة م 0 (x 0 ؛ ذ 0 ) - النقطة الداخلية للمنطقة د .

إذا كان في د يوجد مثل هذا الحي أم 0 نقاط م 0 ، والتي لجميع النقاط

ثم أشر م 0 تسمى النقطة القصوى المحلية. لكن المعنى نفسه ض (م 0 ) - الحد الأقصى المحلي.

ولكن إذا لجميع النقاط

ثم أشر م 0 يسمى الحد الأدنى المحلي للدالة ض (س ، ص) . لكن المعنى نفسه ض (م 0 ) - الحد الأدنى المحلي.

يسمى الحد الأقصى المحلي والدنيا المحلية القصوى المحلية للوظيفة ض (س ، ص) . على التين. 1.4 يشرح المعنى الهندسي للحد الأقصى المحلي: م 0 هي النقطة القصوى ، منذ ذلك الحين على السطح ض = ض (س ، ص) نقطتها المقابلة ج 0 فوق أي نقطة مجاورة ج (هذه هي منطقة الحد الأقصى).

لاحظ أن هناك نقاطًا على السطح ككل (على سبيل المثال ، في ) أعلاه ج 0 ، لكن هذه النقاط (على سبيل المثال ، في ) ليست "متجاورة" للنقطة ج 0 .

على وجه الخصوص ، النقطة في يتوافق مع مفهوم الحد الأقصى العالمي:

يتم تعريف الحد الأدنى العالمي بالمثل:

سيتم مناقشة إيجاد القيم القصوى والحد الأدنى العالمية في القسم 1.10.

نظرية 1.3(الشروط القصوى اللازمة).

دع الوظيفة ض = ض (س ، ص) ، (س ، ص) د . نقطة م 0 (x 0 ؛ ذ 0 د - نقطة التطرف المحلية.

إذا كان هناك في هذه المرحلة ض " x و ض " ذ ، من ثم

البرهان الهندسي "واضح". إذا كان عند هذه النقطة ج 0 على (الشكل 1.4) لرسم مستوى ظل ، ثم يمر "بشكل طبيعي" أفقيًا ، أي بزاوية 0° على المحور أوه وإلى المحور OU .

ثم ، وفقًا للمعنى الهندسي للمشتقات الجزئية (الشكل 1.3):

التي كان من المقرر إثباتها.

التعريف 1.12.

إذا كان عند هذه النقطة م 0 تم استيفاء الشروط (1.41) ، ثم يطلق عليها نقطة ثابتة للوظيفة ض (س ، ص) .

نظرية 1.4(شروط كافية لحد أقصى).

يترك ض = ض (س ، ص) ، (س ، ص) د ، والتي لها مشتقات جزئية من الدرجة الثانية في بعض المناطق المجاورة للنقطة م 0 (x 0 ، ذ 0 )د . و م 0 - نقطة ثابتة (أي تم استيفاء الشروط الضرورية (1.41)). دعنا نحسب:

يستخدم إثبات النظرية موضوعات (معادلة تايلور لوظائف المتغيرات المتعددة ونظرية الأشكال التربيعية) التي لم يتم تناولها في هذا البرنامج التعليمي.

المثال 1.13.

استكشف إلى أقصى الحدود:

قرار

1. ابحث عن النقاط الثابتة عن طريق حل النظام (1.41):

وهذا يعني أنه تم العثور على أربع نقاط ثابتة. 2.

بواسطة Theorem 1.4 عند نقطة ما هو الحد الأدنى. و

بواسطة Theorem 1.4 عند هذه النقطة

أقصى. و

المشتقات الجزئية لوظائف متعددة المتغيرات هي وظائف من نفس المتغيرات. هذه الوظائف ، بدورها ، قد يكون لها مشتقات جزئية ، والتي سوف نسميها المشتقات الجزئية الثانية (أو المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية) للدالة الأصلية.

لذلك ، على سبيل المثال ، دالة من متغيرين لها أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية ، والتي يتم تعريفها والإشارة إليها على النحو التالي:

دالة من ثلاثة متغيرات لها تسعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية:

يتم تعريف المشتقات الجزئية من الرتبة الثالثة والأعلى لدالة من عدة متغيرات ويتم الإشارة إليها بطريقة مماثلة: المشتق الجزئي لترتيب دالة من عدة متغيرات هو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى للمشتق الجزئي للترتيب من نفس الوظيفة.

على سبيل المثال ، المشتق الجزئي للدالة من الدرجة الثالثة هو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى فيما يتعلق بـ y للمشتق الجزئي من الدرجة الثانية

المشتق الجزئي الثاني أو الأعلى المأخوذ فيما يتعلق بالعديد من المتغيرات المختلفة يسمى المشتق الجزئي المختلط.

على سبيل المثال ، المشتقات الجزئية

هي مشتقات جزئية مختلطة لدالة من متغيرين.

مثال. أوجد المشتقات الجزئية المختلطة من الرتبة الثانية لدالة

قرار. إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى

ثم نوجد المشتقات الجزئية المختلطة من الرتبة الثانية

نرى أن المشتقات الجزئية المختلطة والاختلاف فقط في ترتيب التمايز ، أي في التسلسل الذي يتم فيه إجراء التفاضل فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة ، تبين أنها متساوية تمامًا. هذه النتيجة ليست مصادفة. فيما يتعلق بالمشتقات الجزئية المختلطة ، فإن النظرية التالية صحيحة ، والتي نقبلها بدون دليل.

يشبه المبدأ العام لإيجاد مشتقات جزئية من الدرجة الثانية لدالة من ثلاثة متغيرات مبدأ إيجاد مشتقات جزئية من الدرجة الثانية لدالة ذات متغيرين.

لإيجاد المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية ، يجب عليك أولاً إيجاد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى أو في طريقة أخرى:

هناك تسعة مشتقات جزئية من الرتبة الثانية.

المجموعة الأولى هي المشتقات الثانية فيما يتعلق بنفس المتغيرات:

أو - المشتق الثاني بالنسبة إلى "x" ؛

أو - المشتق الثاني بالنسبة إلى "y" ؛

أو - المشتق الثاني بالنسبة إلى "z".

المجموعة الثانية هي مختلطالمشتقات الجزئية من الرتبة الثانية ، ستة منها:

أو - مختلطالمشتق "بواسطة x y" ؛

أو - مختلطالمشتق "بواسطة y x" ؛

أو - مختلطالمشتق "بواسطة x z" ؛

أو - مختلطالمشتق "po zet x" ؛

أو - مختلطمشتق من لعبة z ؛

أو - مختلطمشتق "po z y".

كما في حالة دالة ذات متغيرين ، عند حل المشكلات ، يمكن للمرء التركيز على المساواة التالية للمشتقات المختلطة من الدرجة الثانية:

ملاحظة: بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا ليس هو الحال دائمًا. من أجل المساواة بين المشتقات المختلطة ، من الضروري تلبية متطلبات استمراريتها.

فقط في حالة وجود بعض الأمثلة عن كيفية قراءة هذا العار بصوت عالٍ:

- "ضربتين مرتين في ذ" ؛

- "مربع ثنائي y po de zet" ؛

- "ضربتان على x على z" ؛

- "de two y po de z po de y".

المثال 10

أوجد جميع المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية لدالة من ثلاثة متغيرات:

.

قرار:أولًا ، نجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:

نأخذ المشتق الموجود

وميزها بـ "y":

نأخذ المشتق الموجود

وتمييزه بـ "x":

يتم تحقيق المساواة. جيد.

نتعامل مع الزوج الثاني من المشتقات المختلطة.

نأخذ المشتق الموجود

وميزها بـ "z":

نأخذ المشتق الموجود

وتمييزه بـ "x":

يتم تحقيق المساواة. جيد.

وبالمثل ، نتعامل مع الزوج الثالث من المشتقات المختلطة:

يتم تحقيق المساواة. جيد.

بعد الانتهاء من العمل ، يمكن التأكد ، أولاً ، أننا وجدنا جميع المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى بشكل صحيح ، وثانيًا ، وجدنا أيضًا بشكل صحيح المشتقات الجزئية المختلطة من الرتبة الثانية.

يبقى العثور على ثلاثة مشتقات جزئية أخرى من الدرجة الثانية ، هنا ، لتجنب الأخطاء ، يجب التركيز قدر الإمكان:

مستعد. مرة أخرى ، المهمة ليست صعبة بقدر ما هي ضخمة. يمكن اختصار الحل والإشارة إليه على أنه المساواة في المشتقات الجزئية المختلطة ، ولكن في هذه الحالة لن يكون هناك تحقق. لذلك من الأفضل أن تأخذ الوقت الكافي وتجد الكلالمشتقات (إلى جانب ذلك ، قد يطلب المعلم ذلك) ، أو ، في الحالات القصوى ، تحقق من مسودة.

المثال 11

أوجد جميع المشتقات الجزئية من الرتبتين الأولى والثانية لدالة من ثلاثة متغيرات

.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

الحلول والأجوبة:

المثال 2:قرار:

المثال 4:قرار: دعونا نجد الخاصمشتقات من الدرجة الأولى.

نقوم بتكوين التفاضل الكلي من الدرجة الأولى:

المثال 6:قرار: م(1, -1, 0):

المثال 7:قرار: دعونا نحسب المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى عند النقطةم(1, 1, 1):

المثال 9:قرار:

المثال 11:قرار: لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:

لنجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية:

.

التكاملات

8.1 تكامل غير محدد. أمثلة الحلول التفصيلية

لنبدأ في دراسة الموضوع تكامل غير محدد "، وكذلك تحليل أمثلة تفصيلية للحلول لأبسط التكاملات (وليس تمامًا). كالعادة ، سنقتصر على الحد الأدنى من النظرية الموجودة في العديد من الكتب المدرسية ، ومهمتنا هي معرفة كيفية حل التكاملات.

ما الذي تحتاج إلى معرفته لإتقان المواد بنجاح؟ من أجل التعامل مع حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، يجب أن تكون قادرًا على إيجاد المشتقات ، على الأقل بمستوى متوسط. لن تكون تجربة غير ضرورية إذا كان لديك عشرات ، أو أفضل ، مئات المشتقات التي تم العثور عليها بشكل مستقل وراءك. على الأقل ، لا ينبغي الخلط بينك وبين مهمة التفريق بين أبسط الوظائف وأكثرها شيوعًا.

ويبدو أين المشتقات إطلاقا إذا كنا نتحدث عن التكاملات في المقال ؟! وهذا هو الشيء. الحقيقة هي أن إيجاد المشتقات وإيجاد التكاملات غير المحددة (التفاضل والتكامل) هما عملين معكوسين بشكل متبادل ، مثل الجمع / الطرح أو الضرب / القسمة. وبالتالي ، بدون مهارة ونوع من الخبرة في العثور على المشتقات ، للأسف ، لا يمكن للمرء أن يتقدم أكثر.

في هذا الصدد ، سنحتاج إلى المواد المنهجية التالية: جدول مشتقو جدول التكاملات.

ما هي صعوبة دراسة التكاملات غير المحددة؟ إذا كانت هناك 5 قواعد تفاضل في المشتقات ، وجدول مشتقات وخوارزمية إجراءات واضحة إلى حد ما ، فإن كل شيء مختلف في التكاملات. هناك العشرات من طرق وتقنيات التكامل. وإذا تم اختيار طريقة التكامل في البداية بشكل غير صحيح (أي أنك لا تعرف كيفية حلها) ، فيمكن حرفياً "وخز" التكامل لأيام ، مثل rebus الحقيقي ، في محاولة لملاحظة الحيل والحيل المختلفة . حتى أن البعض يحبه.

بالمناسبة ، كثيرًا ما نسمع من الطلاب (وليس العلوم الإنسانية) رأيًا مثل: "لم أكن أبدًا مهتمًا بحل الحد أو الاشتقاق ، لكن التكاملات هي مسألة مختلفة تمامًا ، إنها مثيرة ، هناك دائمًا رغبة في" الكراك "جزء لا يتجزأ من معقدة". قف. كفى من الفكاهة السوداء ، دعنا ننتقل إلى هذه التكاملات غير المحدودة للغاية.

نظرًا لوجود العديد من الطرق للحل ، فمن أين يبدأ إبريق الشاي في دراسة التكاملات غير المحددة؟ في حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، في رأينا ، هناك ثلاث ركائز أو نوع من "المحور" يدور حوله كل شيء آخر. بادئ ذي بدء ، يجب أن يكون لديك فهم جيد لأبسط التكاملات (هذه المقالة).

إذن فأنت بحاجة إلى عمل الدرس بالتفصيل. هذا هو الاستقبال الأكثر أهمية! ربما حتى أهم مقال في كل المقالات مخصص للتكاملات. وثالثا ، تأكد من القراءة تكامل اجزاء، لأنه يدمج فئة واسعة من الوظائف. إذا كنت تتقن هذه الدروس الثلاثة على الأقل ، فعندئذٍ يوجد بالفعل "ليس اثنان". يمكنك أن تغفر لعدم المعرفة تكاملات من الدوال المثلثية , تكاملات الكسور, تكاملات التوابع الكسرية الكسرية, تكاملات الدوال اللاعقلانية (الجذور)، ولكن إذا "دخلت في بركة" حول طريقة الاستبدال أو التكامل حسب طريقة الأجزاء ، فسيكون ذلك سيئًا للغاية.

لذا ، لنبدأ بسيطًا. لنلق نظرة على جدول التكاملات. كما في المشتقات ، نلاحظ العديد من قواعد التكامل وجدول تكاملات بعضها وظائف الابتدائية. أي تكامل جدولي (وفي الواقع أي تكامل غير محدد) له الشكل:

دعنا ننتقل مباشرة إلى التدوين والمصطلحات:

- رمز متكامل.

- دالة Integrand (مكتوبة بالحرف "s").

- رمز التفاضل. ما هذا ، سننظر فيه قريبًا جدًا. الشيء الرئيسي هو أنه عند كتابة التكامل وأثناء الحل ، من المهم ألا تفقد هذه الأيقونة. سيكون هناك عيب ملحوظ.

هو التكامل أو "حشو" التكامل.

– عكسيوظيفة.

– . لست بحاجة إلى أن تكون محملاً بشدة بالمصطلحات ، أهم شيء هنا هو أنه في أي تكامل غير محدد ، يتم إضافة ثابت إلى الإجابة.

لحل تكامل غير محدد يعني إيجادمجموعة من الوظائف العكسيةمن التكامل المحدد

دعنا نلقي نظرة على الإدخال مرة أخرى:

لنلق نظرة على جدول التكاملات.

ماذا يحدث؟ أجزائنا اليسرى تتحولإلى وظائف أخرى:.

دعونا نبسط تعريفنا:

حل التكامل غير المحدد - يعني تحويلها إلى دالة غير محددة (حتى ثابتة) ، باستخدام بعض القواعد والتقنيات والجدول.

خذ على سبيل المثال ، الجدول لا يتجزأ . ماذا حدث؟ تحول السجل الرمزي إلى مجموعة من الدوال العكسية.

كما في حالة المشتقات ، من أجل معرفة كيفية إيجاد التكاملات ، ليس من الضروري أن تكون مدركًا لما هو التكامل ، أو الوظيفة العكسية من وجهة نظر نظرية. يكفي مجرد إجراء تحولات وفق بعض القواعد الرسمية. لذلك ، في حالة ليس من الضروري على الإطلاق فهم سبب تحول التكامل بالضبط. يمكنك أن تأخذ هذا وغيره من الصيغ كأمر مسلم به. يستخدم الجميع الكهرباء ، لكن قلة من الناس يفكرون في كيفية مرور الإلكترونات على طول الأسلاك.

نظرًا لأن التفاضل والتكامل عمليتان متعاكستان ، فعندئذٍ بالنسبة لأي مشتق عكسي تم العثور عليه بشكل صحيح ، يكون ما يلي صحيحًا:

بمعنى آخر ، إذا تم التمييز بين الإجابة الصحيحة ، فيجب الحصول على التكامل الأصلي.

لنعد إلى نفس الجدول التكامل .

دعنا نتحقق من صحة هذه الصيغة. نأخذ مشتق الجانب الأيمن:

هو التكامل الأصلي.

بالمناسبة ، أصبح من الواضح سبب تخصيص ثابت دائمًا لوظيفة ما. عند الاشتقاق ، يتحول الثابت دائمًا إلى صفر.

حل التكامل غير المحدديعني أن تجد مجموعة من الكلالمشتقات العكسية ، وليس بعض الوظائف الفردية. في المثال الجدولي المدروس ، ، ، ، إلخ. - كل هذه الوظائف هي حل التكامل. هناك عدد لا حصر له من الحلول ، لذلك يكتبون بإيجاز:

وبالتالي ، فإن أي تكامل غير محدد يسهل التحقق منه. هذا بعض التعويض عن عدد كبير من التكاملات من أنواع مختلفة.

دعنا ننتقل إلى أمثلة محددة. لنبدأ ، كما في دراسة المشتق ، بقاعدتين للتكامل:

- ثابت جيمكن (ويجب) إخراجها من علامة التكامل.

- تكامل مجموع (فرق) وظيفتين يساوي مجموع (فرق) تكاملان. هذه القاعدة صالحة لأي عدد من المصطلحات.

كما ترى ، القواعد هي نفسها بالنسبة للمشتقات. في بعض الأحيان يتم استدعاؤهم خصائص الخطيةمتكامل.

مثال 1

أوجد التكامل غير المحدد.

قم بإجراء فحص.

قرار:إنه أكثر ملاءمة لتحويلها مثل.

(1) تطبيق القاعدة . لا تنس كتابة رمز التفاضل DXتحت كل جزء لا يتجزأ. لماذا تحت كل؟ DXهو مضاعف كامل.إذا كنت ترسم بالتفصيل ، فيجب كتابة الخطوة الأولى على النحو التالي:

.

(2) حسب القاعدة نخرج كل الثوابت من علامات التكاملات. لاحظ أنه في الفصل الأخير tgالرقم 5 ثابت ، نخرجه أيضًا.

بالإضافة إلى ذلك ، في هذه الخطوة نقوم بإعداد الجذور والدرجات للتكامل. بنفس الطريقة كما في التفاضل ، يجب تمثيل الجذور بالشكل . الجذور والدرجات الموجودة في المقام - تتحرك لأعلى.

ملحوظة:على عكس المشتقات ، فإن الجذور في التكاملات لا تحتاج دائمًا إلى اختزالها إلى الصورة ، وتحريك الدرجات لأعلى.

علي سبيل المثال، - هذا تكامل جدولي جاهز ، وقد تم حسابه من قبل ، وجميع أنواع الحيل الصينية مثل غير ضروري على الإطلاق. بصورة مماثلة: - هذا أيضًا تكامل جدولي ، فلا فائدة من تمثيل كسر في الصورة . ادرس الجدول بعناية!

(3) جميع التكاملات جدولية. نقوم بإجراء التحويل باستخدام الجدول باستخدام الصيغ: ، و

لوظيفة الطاقة - .

وتجدر الإشارة إلى أن تكامل الجدول هو حالة خاصة لصيغة دالة الطاقة: .

ثابتج فقط قم بإضافته مرة واحدة في نهاية التعبير

(بدلاً من وضعها بعد كل جزء لا يتجزأ).

(4) نكتب النتيجة التي تم الحصول عليها في شكل أكثر إحكاما ، عندما تكون جميع درجات النموذج

تمثل مرة أخرى كجذور ، ويتم إعادة تعيين الأسس ذات الأس السالب إلى المقام.

فحص. من أجل إجراء الفحص ، تحتاج إلى التفريق بين الإجابة المستلمة:

مبدئي Integrand، أي تم العثور على التكامل بشكل صحيح. مما رقصوا إلى ذلك عادوا. إنه لأمر جيد أن تنتهي القصة بالتكامل هكذا تمامًا.

من وقت لآخر ، هناك نهج مختلف قليلاً للتحقق من التكامل غير المحدد ، عندما لا يتم أخذ المشتق ، ولكن التفاضل مأخوذ من الإجابة:

.

نتيجة لذلك ، لا نحصل على Integrand ، بل نحصل على Integrand.

لا تخافوا من مفهوم التفاضل.

المشتق هو المشتق مضروبًا في DX.

ومع ذلك ، ليست التفاصيل الدقيقة هي المهمة بالنسبة لنا ، ولكن ما يجب القيام به بعد ذلك مع هذا الفارق. يتم الكشف عن التفاضل على النحو التالي: أيقونة د قم بإزالة ، ضع حدًا على اليمين أعلى القوس ، وقم بتعيين مضاعف في نهاية التعبير DX :

تلقى الأصل Integrand، وهذا يعني أن التكامل موجود بشكل صحيح.

كما ترى ، فإن التفاضل يأتي لإيجاد المشتق. تعجبني الطريقة الثانية لفحص أقل ، حيث يتعين علي أيضًا رسم أقواس كبيرة وسحب رمز التفاضل DX حتى نهاية الاختبار. على الرغم من أنه أصح ، أو "أكثر صلابة" ، أو شيء من هذا القبيل.

في الواقع ، كان من الممكن التزام الصمت بشأن الطريقة الثانية للتحقق. النقطة ليست في الطريقة ، ولكن في حقيقة أننا تعلمنا فتح التفاضل. تكرارا.

يتم الكشف عن الفرق على النحو التالي:

1) رمز دإزالة؛

2) ضع خطًا على اليمين فوق القوس (تعيين المشتق) ؛

3) في نهاية التعبير نقوم بتعيين عامل DX .

علي سبيل المثال:

تذكر هذا. سنحتاج إلى التقنية المدروسة قريبًا جدًا.

مثال 2

.

عندما نجد تكاملًا غير محدد ، نحاول دائمًا التحقق منهعلاوة على ذلك ، هناك فرصة كبيرة لذلك. ليست كل أنواع المسائل في الرياضيات العليا هدية من وجهة النظر هذه. لا يهم أن التحقق غالبًا ما يكون غير مطلوب في مهام المراقبة ، ولا أحد ، ولا شيء يمنع تنفيذه على مسودة. يمكن إجراء استثناء فقط عندما لا يكون هناك وقت كافٍ (على سبيل المثال ، في الاختبار ، الامتحان). أنا شخصياً أتحقق من التكاملات ، وأرى أن الافتقار إلى التحقق هو اختراق ومهمة مكتملة بشكل سيء.

مثال 3

أوجد التكامل غير المحدد:

. قم بإجراء فحص.

الحل: عند تحليل التكامل ، نرى أنه تحت التكامل ، لدينا ناتج وظيفتين ، وحتى رفع التعبير بالكامل إلى القوة. لسوء الحظ ، في ميدان المعركة المتكاملة لاجيد ومريح صيغ لدمج المنتج والحاصلمثل: أو .

لذلك ، عندما يتم إعطاء منتج أو حاصل قسمة ، فمن المنطقي دائمًا معرفة ما إذا كان من الممكن تحويل التكامل إلى مجموع؟ المثال المدروس هو الحال عندما يكون ذلك ممكنًا.

أولاً ، نقدم الحل الكامل ، وستكون التعليقات أدناه.

(1) نستخدم صيغة الجمع القديمة الجيدة لأي أرقام حقيقية، للتخلص من الدرجة فوق الأقواس المشتركة. خارج الأقواس وتطبيق صيغة الضرب المختصرة في الاتجاه المعاكس:.

مثال 4

أوجد التكامل غير المحدد

قم بإجراء فحص.

هذا مثال على الحل الذاتي. الإجابة والحل الكامل في نهاية الدرس.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد

. قم بإجراء فحص.

في هذا المثال ، التكامل هو كسر. عندما نرى كسرًا في التكامل ، يجب أن تكون الفكرة الأولى هي السؤال: "هل من الممكن بطريقة ما التخلص من هذا الكسر ، أو على الأقل تبسيطه؟".

نلاحظ أن المقام يحتوي على جذر وحيد لـ "x". واحد في الحقل ليس محاربًا ، مما يعني أنه يمكنك تقسيم البسط إلى حد المقام حسب المصطلح:

نحن لا نعلق على الأفعال ذات القوى الكسرية ، حيث تمت مناقشتها مرارًا وتكرارًا في مقالات حول مشتق دالة.

إذا كنت لا تزال في حيرة من أمرك من خلال مثال مثل

ولا أحد يحصل على الجواب الصحيح ،

لاحظ أيضًا أن الحل يتخطى خطوة واحدة ، وهي تطبيق القواعد , . عادة ، مع وجود خبرة معينة في حل التكاملات ، تعتبر هذه القواعد حقيقة واضحة ولا يتم وصفها بالتفصيل.

مثال 6

أوجد التكامل غير المحدد. قم بإجراء فحص.

هذا مثال على الحل الذاتي. الإجابة والحل الكامل في نهاية الدرس.

في الحالة العامة ، مع الكسور في التكاملات ، كل شيء ليس بهذه البساطة ، ويمكن العثور على مادة إضافية حول تكامل الكسور من بعض الأنواع في المقالة: تكامل بعض الكسور. لكن قبل الانتقال إلى المقال أعلاه ، عليك قراءة الدرس: طريقة الاستبدال في تكامل غير محدد. الحقيقة هي أن جمع دالة تحت طريقة التغيير التفاضلي أو المتغير هو النقطة الأساسيةفي دراسة الموضوع ، لأنه لا يحدث فقط "في التخصيصات البحتة لطريقة الاستبدال" ، ولكن أيضًا في العديد من أنواع التكاملات الأخرى.

الحلول والأجوبة:

مثال 2: الحل:

مثال 4: الحل:

في هذا المثال ، استخدمنا صيغة الضرب المختصرة

مثال 6: الحل:

طريقة تغيير متغير في تكامل غير محدد. أمثلة الحل

في هذا الدرس ، سوف نتعرف على إحدى الحيل الأكثر أهمية والأكثر شيوعًا المستخدمة في سياق حل التكاملات غير المحددة - وهي تغيير طريقة المتغير. لإتقان المواد بنجاح ، يلزم المعرفة الأولية ومهارات التكامل. إذا كان هناك شعور بوجود إبريق شاي ممتلئ فارغًا في حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، فعليك أولاً أن تتعرف على المادة تكامل غير محدد. أمثلة الحل، حيث يتم شرح ما هو التكامل في شكل يمكن الوصول إليه ويتم تحليل الأمثلة الأساسية للمبتدئين بالتفصيل.

من الناحية الفنية ، يتم تنفيذ طريقة تغيير متغير في تكامل غير محدد بطريقتين:

- إحضار الوظيفة تحت علامة التفاضل.

- التغيير الفعلي للمتغير.

في الواقع ، إنه نفس الشيء ، لكن تصميم الحل يبدو مختلفًا. لنبدأ بحالة أبسط.

دعونا نعطي دالة من متغيرين. دعنا نزيد الحجة ونترك الحجة دون تغيير. بعد ذلك ستحصل الوظيفة على زيادة تسمى زيادة جزئية فيما يتعلق بالمتغير ويشار إليها:

وبالمثل ، من خلال إصلاح الوسيطة وإعطاء الوسيطة زيادة ، نحصل على زيادة جزئية للدالة فيما يتعلق بالمتغير:

تسمى القيمة الزيادة الكاملة للدالة عند النقطة.

التعريف 4. المشتق الجزئي لدالة من متغيرين فيما يتعلق بأحد هذه المتغيرات هو حد نسبة الزيادة الجزئية المقابلة للدالة إلى زيادة المتغير المعين عندما يميل الأخير إلى الصفر (إذا كان هذا الحد موجود). يتم الإشارة إلى المشتق الجزئي على النحو التالي: أو ، أو.

وبالتالي ، بحكم التعريف ، لدينا:

تُحسب المشتقات الجزئية للدالة وفقًا لنفس القواعد والصيغ كدالة لمتغير واحد ، مع الأخذ في الاعتبار أنه عند التفريق فيما يتعلق بالمتغير ، فإنه يعتبر ثابتًا ، وعند التفريق فيما يتعلق بالمتغير ، يتم اعتباره ثابت.

مثال 3. أوجد المشتقات الجزئية للوظائف:

قرار. أ) للعثور على ، نفترض قيمة ثابتة ونشتق كدالة لمتغير واحد:

وبالمثل ، بافتراض قيمة ثابتة ، نجد:

التعريف 5. التفاضل الكلي للدالة هو مجموع حاصل ضرب المشتقات الجزئية لهذه الدالة وزيادات المتغيرات المستقلة المقابلة ، أي

بالنظر إلى أن فروق المتغيرات المستقلة تتزامن مع زياداتها ، أي ، يمكن كتابة صيغة التفاضل الكلي كـ

مثال 4. أوجد الفرق الكلي للدالة.

قرار. منذ ذلك الحين ، من خلال صيغة مجموع التفاضل الذي نجده

المشتقات الجزئية للطلبات الأعلى

تسمى المشتقات الجزئية أيضًا المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى أو المشتقات الجزئية الأولى.

تعريف 6. المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة هي مشتقات جزئية من مشتقات جزئية من الدرجة الأولى.

هناك أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. تم تعيينهم على النحو التالي:

يتم تعريف المشتقات الجزئية للأوامر الثالثة والرابعة والأعلى بالمثل. على سبيل المثال ، لدينا وظيفة:

تسمى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية أو الأعلى المأخوذة فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة المشتقات الجزئية المختلطة. بالنسبة للدالة ، هذه مشتقات. لاحظ أنه في حالة استمرار المشتقات المختلطة ، تحدث المساواة.

مثال 5. أوجد مشتقات جزئية من الدرجة الثانية لدالة

قرار. تم العثور على مشتقات جزئية من الدرجة الأولى لهذه الوظيفة في المثال 3:

الاشتقاق وفيما يتعلق بالمتغيرين x و y ، نحصل على ذلك