الاحتمالات الهندسية. التعريف الهندسي للاحتمال. مشاكل مع الحلول التعريف الهندسي للاحتمال

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

المفهوم الرئيسي لنظرية الاحتمالات هو مفهوم الحدث العشوائي. يُطلق على الحدث العشوائي عادة اسم حدث قد يحدث أو لا يحدث إذا تم استيفاء شروط معينة. على سبيل المثال، يعد الاصطدام بجسم معين أو فقدانه عند إطلاق النار على هذا الكائن من سلاح معين حدثًا عشوائيًا.

عادة ما يسمى الحدث بأنه موثوق إذا حدث بالتأكيد نتيجة للاختبار. من المعتاد تسمية حدث ما بأنه مستحيل إذا لم يكن من الممكن حدوثه نتيجة للاختبار.

يقال إن الأحداث العشوائية غير متسقة في تجربة معينة إذا لم يكن من الممكن حدوث اثنين منها معًا.

تشكل الأحداث العشوائية مجموعة كاملة إذا كان من الممكن ظهور أي منها أثناء كل تجربة ولا يمكن ظهور أي حدث آخر يتعارض معها.

دعونا نفكر في المجموعة الكاملة للأحداث العشوائية غير المتوافقة المحتملة. سوف نسمي مثل هذه الأحداث نتائج. عادة ما تسمى النتيجة مؤيدة لحدوث الحدث أ إذا كان وقوع هذا الحدث يستلزم وقوع الحدث أ.

التعريف الهندسي للاحتمال

لنتخيل اختبارًا عشوائيًا على أنه رمي نقطة بشكل عشوائي في منطقة هندسية G (على خط مستقيم أو مستوى أو مساحة). النتائج الأولية هي نقاط فردية من G، أي حدث هو مجموعة فرعية من هذه المنطقة، مساحة النتائج الأولية لـ G. يمكننا أن نفترض أن جميع نقاط G "متساوية" ومن ثم احتمال وقوع نقطة في مجموعة غير فرعية يتناسب مع قياسه (طوله، مساحته، حجمه) ولا يعتمد على موقعه وشكله.

الاحتمال الهندسييتم تحديد الحدث A بالعلاقة: حيث m(G)، m(A) عبارة عن مقاييس هندسية (أطوال أو مساحات أو أحجام) للمساحة الكاملة للنتائج الأولية والحدث A.

مثال.يتم إلقاء دائرة نصف قطرها r () بشكل عشوائي على مستوى مرسوم بيانيًا بشرائط متوازية بعرض 2d، والمسافة بين الخطوط المركزية تساوي 2D. أوجد احتمال تقاطع الدائرة مع شريط معين.

حل.كنتيجة أولية لهذا الاختبار سننظر في المسافة سمن مركز الدائرة إلى الخط الأوسط للشريط الأقرب إلى الدائرة. ومن ثم فإن المساحة الكاملة للنتائج الأولية هي قطعة. سيحدث تقاطع الدائرة مع الشريط إذا وقع مركزها في الشريط ᴛ.ᴇ. ، أو سيتم تحديد موقعه من حافة الشريط على مسافة أقل من نصف القطر ᴛ.ᴇ. .

وللاحتمال المطلوب نحصل على : .

5. التكرار النسبي لحدث ما هو نسبة عدد التجارب التي وقع فيها الحدث إلى إجمالي عدد التجارب التي تم إجراؤها بالفعل. في هذه الحالة، يتم تحديد التكرار النسبي A بواسطة الصيغة:

(2)حيث m هو عدد مرات حدوث الحدث، وn هو العدد الإجمالي للمحاولات. وبمقارنة تعريف الاحتمال والتكرار النسبي نستنتج أن تعريف الاحتمال لا يتطلب إجراء الاختبارات في الواقع؛ ويفترض تحديد التكرار النسبي أن الاختبارات قد أجريت بالفعل. بمعنى آخر، يتم حساب الاحتمال قبل التجربة، ويتم حساب التكرار النسبي بعد التجربة.

مثال 2. من بين 80 موظفًا تم اختيارهم عشوائيًا، يعاني 3 أشخاص من اضطرابات قلبية خطيرة. التكرار النسبي للأشخاص المصابين بأمراض القلب

يتم أخذ التكرار النسبي أو الرقم القريب منه كاحتمال ثابت.

التعريف (حسب التعريف الإحصائي للاحتمال). عادةً ما يُطلق على الرقم الذي يميل إليه التردد النسبي المستقر الاحتمال الإحصائي لهذا الحدث.

6. كميةأ + ب حدثينيسمي A وB الحدث الذي يتكون من وقوع الحدث A، أو الحدث B، أو كليهما. على سبيل المثال، إذا تم إطلاق طلقتين من مسدس وكانت A إصابة في الطلقة الأولى، وB إصابة في الطلقة الثانية، فإن A + B إصابة في الطلقة الأولى، أو في الثانية، أو في كليهما. طلقات.

على وجه الخصوص، إذا كان الحدثان A وB غير متوافقين، فإن A + B هو حدث يتكون من وقوع أحد هذين الحدثين، بغض النظر عن أي منهما. مجموع عدة أحداثاستدعاء حدث ما، ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث. على سبيل المثال، الحدث A + B + C يتكون من وقوع أحد الأحداث التالية: A، B، C، A و B، A و C، B و C، A و B و C. دع الأحداث A و ب- أن تكون غير متوافقة، واحتمالات هذه الأحداث معروفة. كيف تجد احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية الجمع. نظرية. إن احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين، أياً كان أيهما، يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين:

ف (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).الدليل

توضيح. إن احتمال حدوث أحد الأحداث العديدة غير المتوافقة، بغض النظر عن أي منها، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

ف (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن) = ف (أ 1) + ف (أ 2) + ... + ف (أ ن).

التعريف الهندسي للاحتمال - المفهوم والأنواع. تصنيف وخصائص فئة "التحديد الهندسي للاحتمالية" 2017، 2018.

يرتبط التعريف الكلاسيكي للاحتمال بمفهوم الحدث الأولي. يتم أخذ مجموعة معينة Ω من الأحداث المحتملة بنفس القدر A i في الاعتبار، والتي تعطي معًا حدثًا موثوقًا. وبعد ذلك يصبح كل شيء على ما يرام: يتم تقسيم كل حدث إلى أحداث أولية، وبعد ذلك يتم حساب احتماليته.

ومع ذلك، فإن المجموعة الأولية Ω (أي الفضاء لجميع الأحداث الأولية) ليست دائما محدودة. على سبيل المثال، يمكنك أخذ مجموعة محدودة من النقاط على مستوى أو قطعة على خط، مثل Ω.

كحدث A، يمكننا أن نعتبر أي منطقة فرعية من المنطقة Ω. على سبيل المثال، شكل داخل الشكل الأصلي على مستوى أو قطعة تقع داخل القطعة الأصلية على خط مستقيم.

لاحظ أن الحدث الأولي في مثل هذه المجموعة يمكن أن يكون نقطة فقط. في الواقع، إذا كانت المجموعة تحتوي على أكثر من نقطة واحدة، فيمكن تقسيمها إلى مجموعتين فرعيتين غير فارغتين. وبالتالي، فإن هذه المجموعة ليست ابتدائية بالفعل.

الآن دعونا نحدد الاحتمال. كل شيء سهل هنا أيضًا: احتمال "الإصابة" بكل نقطة محددة هو صفر. وبخلاف ذلك، سنحصل على مجموع لا نهائي من المصطلحات الإيجابية المتطابقة (بعد كل شيء، الأحداث الأولية محتملة بنفس القدر)، والتي تكون على أي حال أكبر من P (Ω) = 1.

لذا، فإن الأحداث الأولية للمناطق اللانهائية Ω هي نقاط فردية، واحتمال "الوصول" إلى أي منها هو صفر. ولكن كيف يمكن البحث عن احتمال وقوع حدث غير أولي، مثل Ω، يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط؟ لذلك وصلنا إلى تعريف الاحتمال الهندسي.

الاحتمال الهندسي للحدث A، وهو مجموعة فرعية من مجموعة Ω من النقاط على خط أو مستوى، هو نسبة مساحة الشكل A إلى مساحة المجموعة بأكملها Ω:

مهمة. الهدف على شكل دائرة نصف قطرها 4. ما احتمال إصابة نصفه الأيمن إذا كان احتمال إصابة أي نقطة على الهدف متساويًا؟ في هذه الحالة، يتم استبعاد فقدان الهدف.

دعونا نلقي نظرة على الصورة: أي نقطة من نصف الدائرة اليمنى سوف تناسبنا. من الواضح أن المساحة S(A) لهذا النصف من الدائرة تساوي بالضبط نصف مساحة الدائرة بأكملها، لذلك لدينا:

كما ترون، لا يوجد شيء معقد فيما يتعلق بالاحتمال الهندسي. ومع ذلك، حتى في موسكو، يحاول العديد من المعلمين في الرياضيات العليا تجنب هذا الموضوع، لأنهم يعتبرونه اختياريا. والنتيجة هي سوء فهم للمادة، ونتيجة لذلك، مشاكل في امتحان نظرية الاحتمالات.

لتصور الاحتمال الهندسي، خذ قطعة من الورق وارسم شكلًا عشوائيًا. مثلث أو مربع أو دائرة - أيا كان. ثم خذ قلمًا حادًا وشحذًا جيدًا وقم بوضعه في أي مكان على الشكل. كرر هذه العملية البسيطة عدة مرات. إذا استبعدنا النتائج خارج الشكل، فهذا ما نحصل عليه:

1. احتمالية الوصول إلى شكل ما هي P (Ω) = 1. وهذا أمر منطقي تمامًا، نظرًا لأن الشكل بأكمله هو مساحة الأحداث الأولية Ω؛
2. إذا تم تحديد نقطة معينة (حدث أولي) مسبقًا، فإن احتمال الوصول إليها هو صفر. حتى لو "صوبت" عمدًا، فلن تكون هناك إصابة دقيقة. سيكون الخطأ جزءًا من الألف من المليمتر، لكن ليس صفرًا؛
3. الآن دعونا نأخذ نقطتين. احتمال ضرب أي منهم لا يزال صفراً. وبالمثل، إذا كنت تأخذ 3 نقاط. أو خمسة - لا يهم.

توضح هذه التجربة أن المجموع النهائي للحدود الصفرية هو دائمًا صفر. ولكن ماذا يحدث عندما يكون هناك عدد لا نهائي من المصطلحات؟ الوضع هنا ليس واضحا تماما، وهناك ثلاثة خيارات ممكنة:

1. المجموع هو صفر، كما هو الحال بالنسبة لمجموعة محدودة من النقاط. إذا حددنا في تجربتنا نقاطًا إلى اللانهاية، فإن احتمال الدخول في اتحادها لا يزال صفرًا؛
2. المجموع يساوي رقمًا موجبًا - هذه الحالة تختلف جوهريًا عن الأولى. هذا هو المكان الذي ينشأ فيه الاحتمال الهندسي.
3. المبلغ يساوي اللانهاية - يحدث هذا، لكننا لسنا مهتمين بهذا الآن.

لماذا يحدث هذا؟ ترتبط آلية ظهور الأعداد الموجبة واللانهايات بمفهوم قابلية عد المجموعة. بالإضافة إلى ذلك، عليك أن تفهم ما هو مقياس Lebesgue. ومع ذلك، فإنك تحتاج حقًا إلى هذه المعرفة فقط إذا كنت تدرس الرياضيات.

التعريف الكلاسيكي للاحتمال له حدود في تطبيقه. من المفترض أن مجموعة الأحداث الأولية Ω محدودة أو قابلة للعد، أي. أوم = ( ω 1 , ω 2 , … , ω ن،...)، وهذا كل شيء ω ط - أحداث أولية محتملة على قدم المساواة. ومع ذلك، في الممارسة العملية هناك اختبارات تكون مجموعة النتائج الأولية لها لا نهائية. على سبيل المثال، عند تصنيع جزء معين على الآلة، من الضروري الحفاظ على حجم معين. وهنا تعتمد دقة تصنيع القطعة على مهارة العامل وجودة أداة القطع وكمال الآلة وما إلى ذلك. إذا كنا نعني بالاختبار تصنيع جزء ما، فمن الممكن نتيجة لهذا الاختبار عدد لا حصر له من النتائج، وفي هذه الحالة الحصول على أجزاء بالحجم المطلوب.

للتغلب على عيوب التعريف الكلاسيكي للاحتمال، يتم أحيانًا استخدام بعض مفاهيم الهندسة (إذا كانت ظروف الاختبار تسمح بذلك بالطبع). في جميع هذه الحالات، يفترض أنه من الممكن إجراء (على الأقل من الناحية النظرية) أي عدد من الاختبارات، والمفهوم فرصةمتساويةيلعب أيضا دورا رئيسيا.

دعونا نفكر في اختبار بمساحة من الأحداث، يتم تمثيل نتائجها الأولية على شكل نقاط تملأ مساحة معينة Ω (في مساحة ثلاثية الأبعاد ر 3). دع الحدث أيتكون من نقطة تم إلقاؤها بشكل عشوائي وتقع في منطقة فرعية دالمنطقة Ω. حدث أتفضل الأحداث الأولية التي تقع فيها النقطة في منطقة فرعية معينة د. ثم تحت الاحتمالالأحداث أسوف نفهم نسبة حجم المنطقة دون الإقليمية د(المنطقة المميزة في الشكل 1.11) إلى حجم المنطقة Ω، ر(أ) = الخامس(د) / الخامس(Ω).

هنا، قياسا على مفهوم النتيجة المواتية، المنطقة دسوف نسميها مواتية لحدوث حدث ما أ. يتم تحديد احتمال وقوع حدث بالمثل أ،عندما تمثل المجموعة Ω منطقة معينة على مستوى أو قطعة على خط مستقيم. في هذه الحالات، يتم استبدال أحجام المساحات، على التوالي، بمساحات الأشكال أو أطوال المقاطع.

وهكذا نصل إلى تعريف جديد - الاحتمال الهندسيللاختبارات التي تحتوي على مجموعة لا حصر لها من الأحداث الأولية، والتي يتم صياغتها على النحو التالي.

الاحتمال الهندسي للحدث A هو نسبة قياس المنطقة الفرعية التي تفضل وقوع هذا الحدث إلى قياس المنطقة بأكملها، أي.

ع (أ) =mesD / ميسΩ,

أين ميس– قياس المناطق دو أوم , د Ì Ω.

يحتوي الاحتمال الهندسي لحدث ما على جميع الخصائص المتأصلة في التعريف الكلاسيكي للاحتمال. على سبيل المثال، الخاصية الرابعة ستكون هكذا: ر(أ+ في) = ر(أ) + ر(في).

وفي نهاية شهر يوليو وأغسطس وبداية سبتمبر 2010، نشأت حالة حرائق صعبة في روسيا بسبب عدد من الحرائق، رافقها الضباب الدخاني والدخان في المدن، فضلاً عن سقوط ضحايا وخسائر عديدة. وهكذا، حتى 7 أغسطس 2010، قُتل 53 شخصًا ودمر أكثر من 1200 منزل. وبلغت مساحة الحرائق أكثر من 500 ألف هكتار. واندفعت كافة القوات لمكافحة النيران، وبالطبع المعدات الجوية، التي مكنت من إطفاء المناطق التي يصعب أو يستحيل الوصول إليها برا. كان يهمني سؤال واحد: ما هو احتمال سقوط "قذيفة" مائية على المكان المحدد بينما كانت الطائرة تتحرك بسرعة كبيرة، وتومض الغابات والحقول في الأسفل، مثل رذاذ فرشاة فنان مهمل؟ أم يمكن الاعتماد فقط على الحدس وخبرة الطيار؟

اتضح أن هناك علمًا كاملاً مخصصًا لإيجاد احتمالية حدوث حدث معين. علاوة على ذلك، تم تخصيص أحد أقسامها للاحتمال الهندسي. قررت أن أدرسها بشكل أعمق للإجابة على سؤالي.

المشكلة: هل يمكن استخدام الاحتمال الهندسي لحل المسائل العملية؟

الغرض من العمل: دراسة قسم الرياضيات "الاحتمال الهندسي" وتطبيق المعرفة المكتسبة لحل المشكلة.

مهام:

التعرف على تاريخ ظهور نظرية الاحتمالية كعلم، وعلى وجه الخصوص، قسمها المتعلق بالاحتمالات الهندسية؛

دراسة النظرية حول هذا الموضوع؛

النظر في المشاكل النموذجية والطرق الرئيسية لحلها؛

تطبيق المعرفة المكتسبة في الممارسة العملية.

طرق الحل:

دراسة الأدبيات حول هذا الموضوع؛

تحليل المواد؛

اختيار المهام أنواع مختلفةومستويات الصعوبة.

مقدمة لطرق حل مسائل إيجاد الاحتمال الهندسي؛

تطبيق المهارات لحل المشاكل العملية.

تجميع البيانات التي تم الحصول عليها.

الجزء الرئيسي

1. معلومات من التاريخ

حاول الناس في القرن السابع عشر إيجاد نمط أو تحديد عدد النتائج الإيجابية لحدث معين. بعد الأعمال الأولى للعالمين الإيطاليين ج. كاردانو ون. تارتاجليا، والتي يعود تاريخها إلى القرن السادس عشر، تمت دراسة مثل هذه المشكلات من قبل علماء الرياضيات الفرنسيين ب. تم إجراء التجارب على حجر النردوتم تصميمها للتنبؤ بالمكاسب. من المعروف من السيرة الذاتية لكاردانو أنه كان في وقت من الأوقات مقامرًا شغوفًا. جنبا إلى جنب مع Tartaglia قاموا بحسابهم خيارات مختلفةنقاط وقمت بتجميع جدول، والذي تم تكراره لاحقًا (بشكل مختلف) بواسطة باسكال. وقد أعطاها شكل المثلث ونشرها ("دراسة حول المثلث الحسابي"، حوالي عام 1654).

وتحت تأثير الأسئلة التي طرحها هؤلاء العلماء ونظروا فيها، تم حل نفس المشاكل. وفي الوقت نفسه، لم يكن على دراية بالمراسلات بين باسكال وفيرمات، فاخترع طريقة الحل من تلقاء نفسه. وقد نُشر عمله، الذي يقدم المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، في شكل مطبوع قبل عشرين عامًا () طبعات رسائل باسكال وفرمات ().

وقد قدم مساهمة هامة في نظرية الاحتمالات من قبل: أثبت في أبسط حالة من الاختبارات المستقلة. في النصف الأوليبدأ تطبيق نظرية الاحتمالات على تحليل أخطاء المراقبة؛لابلاس و بواسون أثبت نظريات الحد الأول. في النصف الثانيالمساهمة الرئيسية قدمها العلماء الروس, أ.أ.ماركوفو . في هذا الوقت ثبت, ، كما طور نظرية. نظرة حديثةتلقت نظرية الاحتمالات بفضلذ وكتابه “المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالية” (1936).

ونتيجة لذلك، اكتسبت نظرية الاحتمالات، التي انبثقت من إحدى الألعاب، منهجًا صارمًا شكل رياضيوأخيراً بدأ يُنظر إليه على أنه واحد من.

2. المعلومات النظرية الأساسية

نظرية الاحتمالات- الفصل علماء الرياضيات ، دراسة أنماط الظواهر العشوائية : , وخصائصها والعمليات عليها.

احتمالا هي نسبة عدد النتائج الإيجابية إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة المتساوية.

احتمال أيضا الحدث العشوائي A هو الرقم P(A) الذي يقترب منه التكرار النسبي لهذا الحدث في سلسلة طويلة من التجارب.

احتمال وقوع أي حدث يقع بين صفر وواحد. يكون الاحتمال صفرًا إذا لم تكن هناك نتائج مواتية على الإطلاق (حدث مستحيل)، وواحد إذا كانت جميع النتائج مواتية (حدث معين).

للعثور على احتمال وقوع حدث عشوائي A عند إجراء بعض التجارب، يجب عليك:

1. أوجد العدد N لجميع النتائج المحتملة لتجربة معينة؛
2. أوجد العدد N(A) لتلك النتائج التجريبية التي وقع فيها الحدث A؛
3. أوجد حاصل القسمة N(A)/N؛ سيكون مساوياً لاحتمال الحدث A.

ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك اختبارات بعدد لا نهائي من النتائج. تنشأ هذه الحالة في بعض المسائل الهندسية التي تتضمن الاختيار العشوائي لنقطة على خط أو مستوى أو في الفضاء. في هذه الحالة، نتحدث عن الاحتمال الهندسي.

الاحتمال الهندسي الحدث A، وهو مجموعة فرعية من مجموعة B من النقاط على خط أو مستوى أو في الفضاء، هو نسبة قياسات هذه الكائنات.

المشكلة 1 : أوجد احتمال أن تكون النقطة X أقرب إلى النقطة N منها إلى M.

حل: دع النقطة O تكون نقطة المنتصف للقطعة MN. سيحدث حدثنا عندما تقع النقطة X داخل المقطع ON.

ثم .

الجواب: 0.5

وبالتالي، يمكن حساب الاحتمال كنسبة بين أطوال جزأين.

2. دعونا نختار نقطة عشوائية على الخريطة الجغرافية للعالم. ما هو احتمال أن تكون هذه النقطة في روسيا؟ من الواضح أنه للإجابة على السؤال، عليك أن تعرف أي جزء من منطقة الخريطة بأكملها هو مساحة روسيا. نسبة هاتين المنطقتين سوف تعطي الاحتمالية المطلوبة.

P(A) = S(A)/S(B)، حيث P هو الاحتمال وS هي المنطقة.

المشكلة 2 : داخل متوازي سطوح مستطيل أبعاده 4، 6، 10 سم، تم اختيار النقطة M عشوائيا، ما احتمال أن تكون داخل مكعب معين طول ضلعه 3 سم.

حل: ليكن الحدث E - النقطة داخل مكعب طول حرفه 3 سم، ونفترض أن نتائج الاختبار موزعة بالتساوي. إذن فإن احتمال وقوع الحدث E يتناسب مع قياس هذا المكعب ويساوي P (E) = Uمكعب/U متوازي السطوح. لكن حجم المكعب يساوي 27 سم 3 ، وحجم الموازي 240 سم 3 . لذلك، P (E) = 27/ 240 ≈ 0.113

الجواب: 0.113

! خطأ عامعند حل المسائل المتعلقة بالاحتمالات الهندسية - عدم تناسق الأبعاد. في كثير من الأحيان، عند حساب الاحتمال الهندسي، يتم تقسيم الطول على المساحة أو المساحة على الحجم. في مثل هذه الحالات، من المفيد التحقق من الصيغة الناتجة لاحتمالية "عدم الأبعاد".

3. مهام إيجاد الاحتمال الهندسي

المشكلة 3 : ألقيت نقطة عشوائيا في مربع طول ضلعه يساوي 1. والسؤال هو، ما احتمال وقوع حدث بحيث لا تزيد المسافة من هذه النقطة إلى أقرب جانب من المربع عن؟ (رسم بياني 1)

حل: تتم إزالة النقطة من حدود المربع بما لا يزيد عن، إذا كان ينتمي إلى المربع الداخلي الذي يساوي ضلعه 1 – 2 * = .

للعثور على مساحة الشكل الذي يشكل الفرق بين المربعين الداخلي والخارجي (G)، عليك طرح مساحة المربع الداخلي مع ضلعه من مساحة الشكل بأكمله (F).

ثم احتمال أن تقع النقطة في الشكلز، يساوي

الجواب: 0.75

المهمة 4: يتم تقسيم الفاصل الزمني للوحدة إلى ثلاثة أجزاء بنقطتين عشوائيتين. ما هو احتمال أن يتم بناء مثلث من القطع الناتجة؟

حل: من الضروري إيجاد احتمال ألا يتجاوز أي جزء مجموع المقطعين الآخرين. لكي يتم بناء مثلث من ثلاث قطع، يجب أن تقع النقطة التي تمثل القطع داخل المثلث، ويتم الحصول على ذلك من خلال ربط نقاط المنتصف للأضلاع المقابلة للمثلث (الشكل 2). ومساحته تساوي ربع مثلث كبير، وبالتالي فإن الاحتمال هو ربع.

الجواب: 0.25

المهمة 5: اتفق طالبان على الالتقاء في مكان معين بين الساعة 12 و 13 ظهرا. من يأتي أولاً ينتظر الشخص الآخر لمدة لا تزيد عن 20 دقيقة، وبعد ذلك يغادر. أوجد احتمال حدوث الاجتماع.

حل: دع x يكون وقت وصول الطالب الأول، y يكون وقت وصول الطالب الثاني. ثم x، y € (تحديد أن الاجتماع سيحدث بين الساعة 12 و13 ظهرًا، أي خلال فترة زمنية مدتها 60 دقيقة) - يحدد المنطقة G (الشكل 3). |س-ص| ≥ 20 (تحديد أن الطالب الذي يأتي أولاً ينتظر الثاني لمدة لا تزيد عن 20 دقيقة) - يحدد المنطقة g. ثم ستبدو المناطق المحددة بعدم المساواة بهذا الشكل (الشكل 2). يمكن العثور على الاحتمال كنسبة بين منطقتين g وG. Р(A) = 60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

الجواب: 5/9

المهمة 6: وفقا للقوانين مرور، يجوز للمشاة عبور الشارع في مكان غير محدد إذا لم تكن هناك معابر للمشاة على مرمى البصر. في مدينة ميرغورود، المسافة بين معابر المشاة في شارع Solnechnaya هي 1 كم. أحد المشاة يعبر شارع Solnechnaya في مكان ما بين معبرين. يمكنه رؤية لافتة العبور على مسافة لا تزيد عن 100 متر من نفسه. أوجد احتمال عدم خرق المشاة للقواعد.

حل: دعونا نستخدم الطريقة الهندسية. دعونا نرتب خط الأعداد بحيث يتحول الجزء من الشارع الواقع بين المعابر إلى قطعة. دع أحد المشاة يقترب من الشارع في نقطة ما بالإحداثيات X. لا ينتهك المشاة القواعد إذا كان على مسافة تزيد عن 0.1 كم من كل معبر، أي. 0.1.

الجواب: 0.8

4. مهمة المشكلة

المهمة 7: اندلع حريق في إحدى مؤسسات الغابات بمنطقة بريانسك، وهي عبارة عن مستطيل بمساحة ألف*ب هكتار. جزء من الغابة، وهو عبارة عن دائرة نصف قطرها يساوي r، غارق في النار. أوجد احتمال دخول سائل رشته طائرة تحلق فوق الغابة إلى منطقة الحريق.

حل: مساحة الغابة أ*ب، مساحة المنطقة المحترقة هيص 2. ثم P(A) = r 2 / أ*ب

الجواب: ص2/أ*ب

وهكذا ساعدني الإلمام بنظرية الاحتمالات في حل المشكلة. بعد تكوين المشكلة رقم 7 وحلها، أستطيع أن أقول إنه يمكنك العثور على العديد من الخيارات للتطبيق العملي للاحتمال الهندسي.

خاتمة

ونتيجة للعمل المنجز، قمت بدراسة فرع جديد من الرياضيات بالنسبة لي، وهو "الاحتمال الهندسي"، من خلال التعرف على مجموعة متنوعة من المصادر الأدبية، وتحليل المعلومات، وحل المشكلات بشكل مباشر. لقد طبقت المعرفة التي اكتسبتها لحل مشكلة تهمني. في المستقبل، يمكنك مواصلة دراسة هذا الموضوع، لأنه هناك العديد من المهام أكثر مستوى عالالصعوبات، على سبيل المثال "مشكلة سيلفستر".

يمكن استخدام بعض جوانب هذا العمل للتحضير لامتحان الدولة في الرياضيات، والفصول الاختيارية حول موضوع "الاحتمالات الهندسية"، والتحضير للأولمبياد. يعد العمل البحثي مثالا واضحا يوضح أن الدراسة العميقة للموضوعات التي لم يتم تناولها بتفاصيل كافية في فصول الكتاب المدرسي القياسي لا يمكن أن تكون مثيرة للاهتمام وتعليمية فحسب، بل تعمل أيضا على حل أي مشاكل عملية أو قضايا غير قياسية.

الأدب

1. E. A. Bunimovich, V. A. Bulychev "الاحتمالات والإحصاء في دورة الرياضيات في المدارس الثانوية" - موسكو، "جامعة الأول من سبتمبر التربوية"، 2005
2. M. كيندال، ب. موران "الاحتمالات الهندسية" - موسكو، "العلم"، 1972
3. L. V. Kuznetsova، S. B. Suvorova، E. A. Bunimovich، T. V. Kolesnikova، L. O. Roslova - "الجبر. مجموعة من المهام للتحضير للحصول على الشهادة النهائية للدولة في الصف التاسع" - موسكو، "Prosveshchenie"، 2011
4. A. G. Mordkovich، P. V. Semenov "الجبر وبدايات التحليل الرياضي. مستوى الملف الشخصي. الكتاب المدرسي، الجزء 1. الصف الحادي عشر" - موسكو، "منيموسين"، 2009
5. أ.ب. سافين " القاموس الموسوعيعالم رياضيات شاب" - موسكو، "علم أصول التدريس"، 1989
6. Z.A.Skopets "فصول إضافية عن مسار الرياضيات" - موسكو، "التنوير"، 1974
7. L.A. تروفيموفا "مخطط تفصيلي للاحتمالات الهندسية"
8. أ. شين "الاحتمال: أمثلة ومهام" - موسكو، "دار نشر MCNMO"، 2007
9. http://www.historydata.ru

طلب

المشكلة 8: تم اختيار نقطتين بشكل عشوائي على دائرة نصف قطرها R. ما احتمال أن تكون المسافة بينهما أقل من R؟

حل: المسافة الأقل من R تعني أن الوتر الذي يربط هاتين النقطتين يجب أن يكون أقل من R أو أقل من جانب الشكل السداسي المنقوش. وبمعرفة الزاوية المركزية التي قياسها 72 درجة نجد طول القوس المحصور بين نقطتين وترهما أقل من نصف القطر. ل = 72˚*2ص / 360. ف (أ) = (72˚ * 2 ص / 360) / 2 ص = 0.2

الجواب: 0.2

المشكلة 9: في قطعة AB بطول l، تم اختيار النقطتين M وN بشكل عشوائي بشكل مستقل عن بعضهما البعض، ما احتمال أن تكون النقطة M أقرب إلى النقطة A من النقطة N؟

حل : دع AM = x، AN = y. سيتم تفضيل الحدث المعني فقط من خلال تلك النقاط التي تحقق الشرط y>x. يتم تمثيل مجموعة جميع نتائج الاختبار المحتملة التي تفضل الحدث قيد النظر هندسيًا بنقاط المثلث المظلل، لأن ترتبط إحداثيات جميع نقاط هذا المثلث بالعلاقة y>x. ولذلك، فإن الاحتمال المطلوب هو 0.5.

الجواب: 0.5

المشكلة 10: يتم اختيار النقطة X عشوائياً من المثلث ABC، أوجد احتمال أن تنتمي إلى مثلث تكون رءوسه منتصف أضلاع المثلث (الشكل 4).

حل: الخطوط الوسطى للمثلث تقسمه إلى 4 مثلثات متساوية. وسائل،

احتمال أن تنتمي النقطة X إلى المثلث KMN هو:

الجواب: 0.25

المشكلة 11: بينوكيو زرعت بقعة مستديرة نصف قطرها 1 سم في وسط ورقة مستطيلة مقاس 20 سم في 25 سم، وبعد ذلك مباشرة، زرع بينوكيو بقعة أخرى مماثلة، والتي انتهت أيضًا بالكامل على الورقة. أوجد احتمال عدم تلامس هاتين البقعتين.

حل: اللطخة الأولى، بنصف قطر 1 سم، مطلية باللون الأحمر (الشكل 5). تُظهر الخطوط المواقع المحتملة للبقعة الثانية - إذا تلامست اللطخة الأولى والثانية.

نرى أن البقع تتلامس عندما تسقط الثانية في الحلقة التي تتكون من دائرة نصف قطرها 3 سم ودائرة نصف قطرها 1 سم، لنجد مساحة الحلقة: حلقة S =*32 - *12 = 8 سم2 . نحن نعتبر النتيجة مواتية عندما لا تحتوي البقع على نقاط مشتركة أو تتقاطع.

في هذه الحالة، المنطقة المستهدفة عبارة عن مستطيل ذو حلقة مقطوعة. لنجد مساحة هذا الشكل S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

الاحتمال P = S1 / S المستطيل = (500-8*3.14) / 500 ≈ 0.95

الجواب: 0.95

المشكلة 12: 10% من سطح الكرة (حسب المساحة) مطلي باللون الأسود، والـ 90% المتبقية باللون الأبيض. أثبت أنه من الممكن وضع مكعب في كرة بحيث تقع جميع القمم في النقاط البيضاء.

الحل: أدخل المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 داخل الكرة بشكل عشوائي. ومن ثم فإن احتمال أن تكون قمة معينة (على سبيل المثال، قمة A) باللون الأسود هي 1/10. لا يتجاوز احتمال أن تكون واحدة على الأقل من القمم الثمانية سوداء اللون 8/10 (مجموعة الأحداث الثمانية باحتمال 1/10). هذا يعني أن هناك حالات (تشكل ما لا يقل عن 2/10 من جميع الخيارات) عندما تكون جميع القمم بيضاء.

مشكلة سيلفستر

هناك مشكلة أكثر تعقيدًا قليلاً تسمى مشكلة سيلفستر. وهي تتألف من إيجاد احتمال أن تشكل أربع نقاط A، B، C، D، المأخوذة بشكل عشوائي داخل منطقة محدبة، شكلاً رباعيًا محدبًا؛ وهذا يعني أن أياً من النقاط لا تقع ضمن المثلث الذي تشكله النقاط الثلاث الأخرى.

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول:

هو مفهوم الحدث العشوائي. الحدث العشوائي هو حدث، إذا تم استيفاء شروط معينة، قد يحدث أو لا يحدث. على سبيل المثال، يعد الاصطدام بجسم معين أو فقدانه عند إطلاق النار على هذا الكائن من سلاح معين حدثًا عشوائيًا.

يسمى الحدث موثوقًا إذا حدث بالتأكيد نتيجة للاختبار. الحدث الذي لا يمكن أن يحدث نتيجة للاختبار يسمى مستحيلا.

يقال إن الأحداث العشوائية غير متسقة في تجربة معينة إذا لم يكن من الممكن حدوث اثنين منها معًا.

تشكل الأحداث العشوائية مجموعة كاملة إذا كان من الممكن ظهور أي منها أثناء كل تجربة ولا يمكن ظهور أي حدث آخر يتعارض معها.

دعونا نفكر في المجموعة الكاملة للأحداث العشوائية غير المتوافقة المحتملة. سوف نسمي مثل هذه الأحداث نتائج. يقال إن النتيجة تؤيد وقوع الحدث A إذا كان وقوع هذا الحدث يستلزم وقوع الحدث A.

التعريف الهندسي للاحتمال

لنتخيل اختبارًا عشوائيًا على أنه رمي نقطة بشكل عشوائي في منطقة هندسية G (على خط مستقيم أو مستوى أو مساحة). النتائج الأولية هي نقاط فردية من G، أي حدث هو مجموعة فرعية من هذه المنطقة، مساحة النتائج الأولية لـ G. يمكننا أن نفترض أن جميع نقاط G "متساوية" ومن ثم يكون احتمال وقوع نقطة في مجموعة فرعية معينة هو يتناسب مع قياسه (طوله، مساحته، حجمه) ولا يعتمد على موقعه وشكله.

الاحتمال الهندسي يتم تحديد الحدث A بالعلاقة:
,
حيث m(G)، m(A) عبارة عن مقاييس هندسية (أطوال أو مساحات أو أحجام) لكامل مساحة النتائج الأولية والحدث A.

مثال.يتم إلقاء دائرة نصف قطرها r () بشكل عشوائي على مستوى مرسوم بيانيًا بشرائط متوازية بعرض 2d، والمسافة بين الخطوط المحورية تساوي 2D. أوجد احتمال تقاطع الدائرة مع شريط معين.

حل.كنتيجة أولية لهذا الاختبار سننظر في المسافة سمن مركز الدائرة إلى الخط الأوسط للشريط الأقرب إلى الدائرة. ومن ثم فإن المساحة الكاملة للنتائج الأولية هي القطعة . سيحدث تقاطع الدائرة مع الشريط إذا وقع مركزها في الشريط، أي. ، أو سيتم تحديد موقعه من حافة الشريط على مسافة أقل من نصف القطر، أي. .

وللاحتمال المطلوب نحصل على : .

التكرار النسبي لحدث ما هو نسبة عدد التجارب التي وقع فيها الحدث إلى إجمالي عدد التجارب التي تم إجراؤها بالفعل. وبالتالي، يتم تحديد التكرار النسبي A بالصيغة:

(2) حيث m هو عدد مرات حدوث الحدث، وn هو العدد الإجمالي للمحاولات. وبمقارنة تعريف الاحتمال والتكرار النسبي، نستنتج أن تعريف الاحتمال لا يتطلب إجراء الاختبارات فعليا؛ ويفترض تحديد التكرار النسبي أن الاختبارات قد أجريت بالفعل. بمعنى آخر، يتم حساب الاحتمال قبل التجربة، ويتم حساب التكرار النسبي بعد التجربة.

مثال 2. من بين 80 موظفًا تم اختيارهم عشوائيًا، هناك 3 أشخاص يعانون من اضطرابات قلبية خطيرة. التكرار النسبي للأشخاص المصابين بأمراض القلب

يتم أخذ التكرار النسبي أو الرقم القريب منه كاحتمال ثابت.

التعريف (حسب التعريف الإحصائي للاحتمال). ويسمى الرقم الذي يميل إليه التردد النسبي المستقر بالاحتمال الإحصائي لهذا الحدث.

كميةأ + ب حدثينيسمي A وB الحدث الذي يتكون من وقوع الحدث A، أو الحدث B، أو كليهما. على سبيل المثال، إذا تم إطلاق طلقتين من مسدس وكانت A إصابة في الطلقة الأولى، وB إصابة في الطلقة الثانية، فإن A + B إصابة في الطلقة الأولى، أو في الثانية، أو في كليهما. لقطات.

على وجه الخصوص، إذا كان الحدثان A وB غير متوافقين، فإن A + B هو حدث يتكون من وقوع أحد هذين الحدثين، بغض النظر عن أي منهما. مجموع عدة أحداثاستدعاء حدث يتكون من وقوع واحد على الأقل من هذه الأحداث. على سبيل المثال، الحدث A + B + C يتكون من وقوع أحد الأحداث التالية: A، B، C، A و B، A و C، B و C، A و B و C. دع الأحداث A و ب- أن تكون غير متوافقة، واحتمالات هذه الأحداث معروفة. كيف تجد احتمال وقوع الحدث A أو الحدث B؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية الجمع.

نظرية. إن احتمال وقوع أحد الحدثين غير المتوافقين، أياً كان أيهما، يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين:

ف (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب). دليل

توضيح. إن احتمال حدوث أحد الأحداث العديدة غير المتوافقة، بغض النظر عن أي منها، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

ف (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن) = ف (أ 1) + ف (أ 2) + ... + ف (أ ن).