2. حدود واستمرارية دالة ذات متغيرين

تتشابه مفاهيم الحد واستمرارية دالة ذات متغيرين مع حالة متغير واحد.

اسمحوا أن تكون نقطة تعسفية على متن الطائرة. - حي النقطة هو مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المتراجحة. وبعبارة أخرى، - جوار نقطة ما هو جميع النقاط الداخلية للدائرة التي يكون مركزها عند نقطة ونصف قطرها.

التعريف 2. يُطلق على الرقم حد الدالة عند (أو عند نقطة ما) إذا كان هناك أي رقم موجب صغير بشكل تعسفي (اعتمادًا على) بحيث يكون عدم المساواة مناسبًا للجميع ويرضي عدم المساواة.

يشار إلى الحد على النحو التالي:

مثال 1. أوجد الحد الأقصى.

حل. دعونا نقدم التدوين حيث. عندما يكون لدينا ذلك. ثم

التعريف 3. تسمى الوظيفة مستمرة عند نقطة ما إذا: 1) تم تعريفها عند النقطة وجوارها؛ 2) له حد محدود. 3) هذه النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة أي. .

تسمى الدالة مستمرة في منطقة ما إذا كانت مستمرة عند كل نقطة في هذه المنطقة.

تسمى النقاط التي لا يتم استيفاء شرط الاستمرارية فيها بنقاط انقطاع هذه الوظيفة. في بعض الوظائف، تشكل نقاط الفاصل خطوط فاصل كاملة. على سبيل المثال، تحتوي الدالة على سطرين فاصلين: المحور () والمحور ().

مثال 2. ابحث عن نقاط توقف الوظيفة.

حل. لم يتم تعريف هذه الدالة عند تلك النقاط التي يصل عندها المقام إلى الصفر، أي عند النقاط حيث أو. وهي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها. وهذا يعني أن خط انقطاع الدالة الأصلية سيكون دائرة.

الرياضيات المنفصلة

جميع العمليات المنطقية التي تمت مناقشتها في 3.2 تنطبق أيضًا على وظائف العديد من المتغيرات. الآن سننظر في الدوال F(x1, x2,…, xn) حيث xi هي متغيرات منطقية تأخذ قيم صفر أو واحد...

البراهين على عدم المساواة باستخدام تسلسلات رتيبة

إذا = أ1ب1. ثم =a1b1+a2b2 النظرية 1. دع (a1a2)(b1b2) تكون تسلسلات رتيبة. ثم البرهان بالفعل، - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) بما أن التسلسلات (a1a2)(b1b2) رتيبة، فإن الأرقام a1-a2 وb1-b2 لها نفس الإشارة. ..

البرمجة الرياضية

يمكن استخدام طريقة مضاعف لاغرانج لبناء معايير الأمثلية للمشاكل ذات القيود في شكل مساواة. قام كوهن وتاكر بتعميم هذا النهج على حالة مشكلة برمجة القيد غير الخطية العامة...

الحد الأدنى والتحسين متعدد المعايير

يجب أن تكون هناك وظيفة f(x) لـ x؟ س، س = (س1، ...، س ن). لننظر إلى جميع مشتقاته الأولى والثانية عند النقطة: = 0, ; || || ، هي مصفوفة محددة إيجابية (سلبية). ثم عند هذه النقاط سيتم ملاحظة الحد الأدنى (الحد الأقصى) على التوالي ...

وظيفة الحد الأدنى من عدة متغيرات

حدود. مقارنة الكميات المتناهية الصغر

عند فحص الرسوم البيانية للدوال المختلفة، يمكن للمرء أن يرى أنه مع ميل غير محدود لوسيطة الدالة إلى قيمة معينة، سواء كانت محدودة أو لا نهائية، يمكن للدالة نفسها أيضًا أن تأخذ عددًا من القيم...

تطبيق المشتقات في حل المشكلات

التعريف 3. دع الدالة y=f(x) يتم تعريفها في بعض أحياء النقطة a أو في بعض نقاط هذا الحي. تميل الدالة y=f(x) إلى الحد b(yb) حيث تميل x إلى if لكل رقم موجب، مهما كان صغيرًا...

دع الدالة f(x) محددة على (a, + ?). الرقم A يسمى نهاية الدالة f(x) لـ x > + ? (يُشار إليه بـ A = lim x > + ? f(x))، إذا؟ ؟ > 0؟ ن: ؟ س > ن ؟ |و(خ) ؟ أ|< ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

حل المشاكل في الرياضيات العليا

دع الدالة f(x) يتم تعريفها في بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x0. الرقم A يسمى نهاية الدالة f(x) لـ x > x0 (أو عند النقطة x0)، إن وجدت؟ هل هناك> 0؟ > 0 بحيث يكون لكل x 0< |x ? x0| < ?...

تحليل مقارنطرق التحسين

سننظر إلى دوال العديد من المتغيرات f =f (x1, ..., xn) كدوال محددة عند النقاط x من الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n En: f =f (x). 1. النقطة x*En تسمى النقطة الدنيا العالمية للدالة f (x)...

وظائف العديد من المتغيرات

وظائف العديد من المتغيرات

لا يمكن وصف العديد من الظواهر التي تحدث في الطبيعة والاقتصاد والحياة الاجتماعية باستخدام دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال، تعتمد ربحية المؤسسة على الأرباح ورأس المال الثابت والعامل...

وظائف العديد من المتغيرات

تتشابه مفاهيم الحد واستمرارية دالة ذات متغيرين مع حالة متغير واحد. اسمحوا أن تكون نقطة تعسفية على متن الطائرة. - مجاورة نقطة هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المتراجحة...

وظائف العديد من المتغيرات

التعريف 7. تسمى النقطة الحد الأدنى (الحد الأقصى) للدالة إذا كان هناك جوار للنقطة بحيث يكون عدم المساواة لجميع النقاط في هذا الحي، ()...

التعريف 1

إذا كان لكل زوج $(x,y)$ من قيم متغيرين مستقلين من بعض المجالات قيمة معينة $z$ مرتبطة، فيقال أن $z$ هي دالة لمتغيرين $(x,y) $ في هذا المجال.

تدوين: $z=f(x,y)$.

افترض أن الدالة $z=f(x,y)$ تعطى من متغيرين مستقلين $(x,y)$.

ملاحظة 1

بما أن المتغيرين $(x,y)$ مستقلان، فيمكن أن يتغير أحدهما بينما يظل الآخر ثابتًا.

لنعطي المتغير $x$ زيادة قدرها $\Delta x$، مع الحفاظ على قيمة المتغير $y$ دون تغيير.

ثم ستتلقى الدالة $z=f(x,y)$ زيادة، والتي ستسمى الزيادة الجزئية للدالة $z=f(x,y)$ فيما يتعلق بالمتغير $x$. تعيين:

التعريف 2

المشتق الجزئي بالنسبة للمتغير $x$ لدالة معينة $z=f(x,y)$ هو حد نسبة الزيادة الجزئية $\Delta _(x) z$ لدالة معينة إلى قم بزيادة $\Delta x$ عند $\Delta x\ إلى 0$.

تدوين: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \جزئي و)(\جزئي س) $.

ملاحظة 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

لنعطي المتغير $y$ زيادة قدرها $\Delta y$، مع الحفاظ على قيمة المتغير $x$ دون تغيير.

ثم ستتلقى الدالة $z=f(x,y)$ زيادة، والتي ستسمى الزيادة الجزئية للدالة $z=f(x,y)$ فيما يتعلق بالمتغير $y$. تعيين:

التعريف 3

المشتق الجزئي بالنسبة للمتغير $y$ لدالة معينة $z=f(x,y)$ هو حد نسبة الزيادة الجزئية $\Delta _(y) z$ لدالة معينة إلى قم بزيادة $\Delta y$ عند $\Delta y\ إلى 0$.

تدوين: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \جزئي و)(\جزئي ذ) $.

ملاحظة 3

حسب تعريف المشتق الجزئي لدينا:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

لاحظ أن قواعد حساب المشتقة الجزئية لدالة معينة تتزامن مع قواعد حساب مشتقات دالة لمتغير واحد. ومع ذلك، عند حساب المشتق الجزئي، من الضروري أن نتذكر المتغير الذي يتم البحث عن المشتق الجزئي له.

مثال 1

حل:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (حسب المتغير $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (بواسطة المتغير $y$).

مثال 2

تحديد المشتقات الجزئية للدالة المعطاة:

عند النقطة (1؛2).

حل:

وبتعريف المشتقات الجزئية نحصل على:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (حسب المتغير $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (بواسطة المتغير $y$).

\[\غادر. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \left. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

التعريف 4

إذا كان لكل ثلاثية $(x,y,z)$ من قيم ثلاثة متغيرات مستقلة من بعض المجالات قيمة معينة $w$ مرتبطة، فيقال أن $w$ هي دالة لثلاثة متغيرات $(x, y,z)$ في هذا المجال.

تدوين: $w=f(x,y,z)$.

التعريف 5

إذا كان لكل مجموعة $(x,y,z,...,t)$ من قيم المتغيرات المستقلة من منطقة معينة قيمة معينة $w$ مرتبطة، فيقال أن $w$ هي دالة لـ المتغيرات $(x,y, z,...,t)$ في هذه المنطقة.

تدوين: $w=f(x,y,z,...,t)$.

بالنسبة لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات أو أكثر، يتم تحديد المشتقات الجزئية المتعلقة بكل متغير بنفس الطريقة المستخدمة في دالة مكونة من متغيرين:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \دلتا ر) $.

مثال 3

تحديد المشتقات الجزئية للدالة المعطاة:

حل:

وبتعريف المشتقات الجزئية نحصل على:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (حسب المتغير $x$)،

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (بواسطة المتغير $y$)،

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (بواسطة المتغير $z$).

مثال 4

تحديد المشتقات الجزئية للدالة المعطاة:

عند النقطة (1؛2؛1).

حل:

وبتعريف المشتقات الجزئية نحصل على:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (بواسطة المتغير $x$)،

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (بواسطة المتغير $y$)،

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (بواسطة المتغير $z$) .

قيم المشتقات الجزئية عند نقطة معينة:

\[\غادر. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \left. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \left. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

مثال 5

تحديد المشتقات الجزئية للدالة المعطاة:

حل:

وبتعريف المشتقات الجزئية نحصل على:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x) ) $ (حسب المتغير $x$)،

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (بواسطة المتغير $y $)،

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (بواسطة المتغير $z $)،

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (بواسطة المتغير $t $).

لا يمكن وصف العديد من الظواهر التي تحدث في الطبيعة والاقتصاد والحياة الاجتماعية باستخدام دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال، تعتمد ربحية المؤسسة على الأرباح ورأس المال الثابت والعامل. ولدراسة هذا النوع من التبعية تم تقديم مفهوم دالة متعددة المتغيرات.

تناقش هذه المحاضرة دوال متغيرين، حيث أن جميع المفاهيم والنظريات الأساسية التي تم صياغتها لدوال متغيرين يمكن تعميمها بسهولة في حالة وجود عدد أكبر من المتغيرات.

يترك ب– مجموعة من الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية .

التعريف 1إذا تم تعيين رقم فريد لكل زوج مرتب من الأرقام، وفقًا لبعض القوانين عدد حقيقي، ثم يقولون أنه أعطى دالة لمتغيرين أو .يتم استدعاء الأرقام المتغيرات المستقلةأو الحجج الوظيفية، والرقم هو المتغير التابع.

على سبيل المثال، الصيغة التي تعبر عن حجم الأسطوانة هي دالة لمتغيرين: - نصف قطر القاعدة و - الارتفاع.

يُطلق على زوج من الأرقام أحيانًا اسم النقطة، وتُسمى أحيانًا دالة مكونة من متغيرين بوظيفة النقطة.

قيمة الوظيفة في النقطة تدل أو و اتصل القيمة الخاصة لدالة ذات متغيرين.

مجموعة جميع النقاط التي يتم عندها تعريف الدالة ، مُسَمًّى مجال التعريف هذه الوظيفة. بالنسبة لدالة ذات متغيرين، مجال التعريف هو المستوى الإحداثي بأكمله أو جزء منه، ويحده خط واحد أو أكثر.

على سبيل المثال، مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله، والوظائف – دائرة الوحدة ومركزها نقطة الأصل ( أو .

تتشابه مفاهيم الحد واستمرارية دالة ذات متغيرين مع حالة متغير واحد.

اسمحوا أن تكون نقطة تعسفية على متن الطائرة. - حي النقطة هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المتراجحة. بمعنى آخر، جوار نقطة ما هو جميع النقاط الداخلية لدائرة يكون مركزها عند هذه النقطة ونصف قطرها.

التعريف 2الرقم يسمى حد الوظيفةفي (أو عند هذه النقطة)، إذا كان هناك أي رقم موجب صغير بشكل تعسفي (اعتمادًا على) بحيث يكون للجميع ، إرضاء عدم المساواة، إرضاء عدم المساواة .

يشار إلى الحد على النحو التالي: أو .

مثال 1العثور على الحد .

حل.دعونا نقدم التدوين ، أين . في لدينا هذا . ثم

.

التعريف 3يتم استدعاء الدالة مستمر عند نقطة ما، إذا: 1) محدد عند نقطة ما ومحيطها؛ 2) له حد محدود. 3) هذه النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة أي. .

وظيفة مُسَمًّى المستمر في بعض المناطق، إذا كان مستمرا في كل نقطة في هذه المنطقة.

يتم استدعاء النقاط التي لا يتم استيفاء شرط الاستمرارية فيها نقاط الاستراحةهذه الوظيفة. في بعض الوظائف، تشكل نقاط الفاصل خطوط فاصل كاملة. على سبيل المثال، تحتوي الدالة على سطرين فاصلين: المحور () والمحور ().

مثال 2البحث عن نقاط توقف الوظيفة .

حل.لم يتم تعريف هذه الدالة عند تلك النقاط التي يختفي عندها المقام، أي عند النقاط التي أو . وهي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف القطر. وهذا يعني أن خط انقطاع الدالة الأصلية سيكون دائرة.

2 المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. التفاضلية الكاملة.
المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى

دع وظيفة من متغيرين تعطى . دعونا نعطي الوسيطة زيادة ونترك الوسيطة دون تغيير. ثم ستتلقى الدالة زيادة، والتي يتم استدعاؤها الزيادة الخاصة حسب المتغيرويشار إليه بـ:

وبالمثل، عند تثبيت الحجة وإعطاء الحجة زيادة، نحصل على ذلك الزيادة الجزئية للدالة حسب المتغير:

الكمية تسمى الزيادة الكاملة للدالة عند النقطة .

التعريف 4 مشتق جزئي لدالة ذات متغيرين وفقًا لأحد هذه المتغيرات، يتم استدعاء حد نسبة الزيادة الجزئية المقابلة للدالة إلى زيادة متغير معين عندما يميل الأخير إلى الصفر (إذا كان هذا الحد موجودًا).

تتم الإشارة إلى المشتق الجزئي على النحو التالي: أو، أو .

وبالتالي، حسب التعريف 4 لدينا:

وظائف مشتقة جزئية يتم حسابها وفقا لنفس القواعد والصيغ كدالة لمتغير واحد، مع مراعاة أنه عند التفاضل بالنسبة للمتغير، يعتبر ثابتا، وعند التفاضل بالنسبة للمتغير يعتبر ثابتا.

مثال 3البحث عن المشتقات الجزئية للوظائف:

حل:

1 للعثور على، ونحن نعول قيمة ثابتة والتفريق كدالة لمتغير واحد:

وبالمثل، وبالنظر إلى قيمة ثابتة، نجد:

.

.

التعريف 5 وظيفة تفاضلية كاملة هو مجموع منتجات المشتقات الجزئية لهذه الدالة بزيادات المتغيرات المستقلة المقابلة، أي.

.

بالنسبة غير المثبتة: ، ويمكن كتابة صيغة التفاضل الإجمالي كـ

أو .

مثال 4أوجد التفاضل الكامل للدالة .

حل.لأن ثم نستخدم الصيغة التفاضلية الإجمالية التي نجدها

.

تسمى المشتقات الجزئية بالمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

التعريف 6 المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية تسمى الوظائف المشتقات الجزئية للمشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

هناك أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. تم تصنيفهم على النحو التالي:

أو ; أو ;

أو ; أو .

يتم تعريف المشتقات الجزئية للأوامر الثالثة والرابعة والأعلى بالمثل. على سبيل المثال، بالنسبة للوظيفة لدينا:

; إلخ.

تسمى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية أو الأعلى، المأخوذة فيما يتعلق بالمتغيرات المختلفة مشتقات جزئية مختلطة.للوظيفة هذه مشتقات. لاحظ أنه في حالة كون المشتقات المختلطة متصلة، فإن المساواة تكون صحيحة.

مثال 5أوجد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة.

حل.تم العثور على المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى لهذه الوظيفة في المثال 3:

التفريق حسب المتغيرات Xو ذ، نحن نحصل:

3 الحد الأقصى لدالة متعددة المتغيرات.
ضروري و ظروف كافيةوجود الحد الأقصى

التعريف 7النقطة تسمى الحد الأدنى (الحد الأقصى) نقطةوظائف، إذا كان هناك حي لنقطة بحيث يكون عدم المساواة لجميع النقاط من هذا الحي , ().

الحد الأدنى والحد الأقصى لنقاط الوظيفة وتسمى النقاط القصوى، وقيم الدالة عند هذه النقاط هي الحد الأقصى للوظيفة(الحد الأدنى والحد الأقصى على التوالي).

لاحظ أن الحد الأدنى والحد الأقصى للوظائف لها محليالحرف، حيث تتم مقارنة قيمة الدالة عند نقطة ما بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية من .

النظرية 1(الشروط اللازمة للأقصى). لو هي النقطة القصوى للدالة القابلة للتفاضل، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر: .

تسمى النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى مساوية للصفر شديد الأهميةأو ثابت. في النقاط الحرجة وظيفة قد يكون أو لا يكون له طرف متطرف.

النظرية 2(الشرط الكافي للأقصى) ولتكن الدالة: أ) محددة في بعض المناطق المجاورة للنقطة الحرجة التي فيها و ; ب) لديه مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الثانية . ثم إذا ، فإن الدالة عند هذه النقطة لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A<0; минимум, если А>0; لو ، فإن الدالة لا تحتوي على حد أقصى. متى وتبقى مسألة وجود الحد الأقصى مفتوحة.

عند دراسة دالة لمتغيرين لحد أقصى، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1 ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى: و .

2 حل نظام المعادلات والعثور على النقاط الحرجة للدالة.

3 ابحث عن المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية: , , .

4 احسب قيم المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية في كل منها

الوصول إلى النقطة الحرجة، وباستخدام الظروف الكافية، استخلاص استنتاج حول وجود الحد الأقصى.

5 أوجد الحدود القصوى للدالة.

مثال 6أوجد الحد الأقصى للدالة .

حل:

1 إيجاد المشتقات الجزئية و :

; .

2 لتحديد النقاط الحرجة نحل نظام المعادلات:

أو

من المعادلة الأولى للنظام نجد : . استبدال القيمة التي تم العثور عليها ذوفي المعادلة الثانية نحصل على:

, , ,

.

العثور على القيم ذ، المقابلة للقيم . استبدال القيم في المعادلة نحصل على: ; الجدول الرئيسي التكاملات غير المحددةالمساواة راضية.

حل.دعونا نفرق نتيجة التكامل:

.

لقد حصلنا على التكامل، وبالتالي فإن التكامل صحيح.

ولنثبت (7) كمثال.

يترك ( س ك, ذ ك) → (X 0 , في 0) ((س ك, ذ ك) ≠ (X 0 , في 0))؛ ثم

وبذلك تكون النهاية على الجانب الأيسر من (9) موجودة وتساوي الجانب الأيمن من (9)، وبما أن المتتابعة ( س ك, ذ ك) يميل إلى ( X 0 , في 0) بموجب أي قانون فإن هذا الحد يساوي حد الدالة F (س, ذ) ∙φ (س, ذ) عند نقطة ( X 0 , في 0).

نظرية.إذا كانت الوظيفة F (س, ذ) له حد غير الصفر عند النقطة ( X 0 , في 0)، أي.

ثم يوجد δ > 0 بحيث يكون ذلك للجميع X, في

يرضي عدم المساواة

لذلك لمثل هذا (س, ذ)

أولئك. عدم المساواة (11) يحمل. من عدم المساواة (12) للمشار إليه (س, ذ) يجب

أ< 0 (сохранение знака).

بحكم التعريف، وظيفة F(س) = F (س 1 , …, س ن) = ألديه حد عند هذه النقطة

(ويكتبون أيضا F(س) → أ (س → س 0)) إذا تم تعريفه على بعض أحياء النقطة س 0، إلا ربما نفسها، وإذا كان هناك حد

مهما كان الطموح س 0 تسلسل النقاط Xكمن الحي المحدد ( ك= 1، 2، ...)، يختلف عن س 0 .

تعريف آخر معادل هو: الوظيفة Fلديه عند هذه النقطة س 0 الحد يساوي أ، إذا تم تعريفه في بعض أحياء النقطة س 0 ، مع استثناء محتمل لنفسه، ولأي ε > 0 هناك δ > 0 بحيث

للجميع X، وتلبية عدم المساواة

0 < |س – س 0 | < δ.

وهذا التعريف بدوره يعادل ما يلي: لأي ε > 0 هناك حي ش (س 0 ) نقاط س 0 بحيث يكون للجميع X

ومن الواضح، إذا كان العدد أهناك حد F(س) الخامس س 0 إذن أهناك حد للوظيفة F(س 0 + ح) من حعند نقطة الصفر:

والعكس صحيح.

دعونا نفكر في بعض الوظائف F، محددة في جميع النقاط المجاورة للنقطة س 0 باستثناء ربما نقطة س 0 ; دع ω = (ω 1 , ..., ω ص) هو متجه تعسفي بطول واحد (|ω| = 1) و ر> 0 - العددية. وجهات النظر س 0 + رω (0 < ر) النموذج الناشئ من س 0 شعاع في اتجاه المتجه ω. لكل ω يمكننا النظر في الوظيفة

من متغير عددي ر، حيث δ ω هو رقم يعتمد على ω. حد هذه الدالة (من متغير واحد ر)

فإذا كان موجودا فمن الطبيعي أن نسميه حدا Fعند هذه النقطة س 0 في اتجاه المتجه ω.

سوف أكتب

يمكننا التحدث عن الحد F، متى X → ∞:

على سبيل المثال، في حالة العدد المحدود أيجب أن تفهم المساواة (14) بمعنى أنه بالنسبة لأي ε > 0 يمكننا تحديد ما يلي ن> 0، وهو للنقاط X، والتي | س| > ن، وظيفة Fمحددة وعدم المساواة يحمل

إذن حدود الدالة F(س) = F(س 1 , ..., س ع)من صيتم تحديد المتغيرات عن طريق القياس بنفس الطريقة كما هو الحال بالنسبة لدالة متغيرين.

وبالتالي، دعونا ننتقل إلى تحديد الحد من وظيفة من عدة متغيرات.

رقم أيسمى حد الدالة F(م) في م → م 0 إذا كان لأي رقم ε > 0 يوجد دائمًا رقم δ > 0 بحيث يكون لأي نقطة م، مختلف عن م 0 واستيفاء الشرط | مم 0 | < δ, будет иметь место неравенство |F(م) – أ | < ε.

تشير الحد

نظريات الحد.إذا كانت الوظائف F 1 (م) و F 2 (م) في م → م 0 يميل كل منهما إلى حد منتهٍ، إذن:

مثال 1.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نحول الحد على النحو التالي:

يترك ذ = kx، ثم

مثال 2.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نستخدم الأول حد ملحوظ

مثال 3.أوجد نهاية الدالة:

حل. دعونا نستخدم الحد الثاني الرائع

استمرارية دالة لعدة متغيرات

بحكم التعريف، وظيفة F (س, ذ) مستمرة عند النقطة ( X 0 , في 0)، إذا تم تعريفه في بعض مما جواره، بما في ذلك عند النقطة نفسها ( X 0 , في 0) وإذا كان الحد F (س, ذ) عند هذه النقطة يساوي قيمته عندها:

شرط الاستمرارية أي. وظيفة Fمستمرة عند النقطة ( X 0 , في 0) إذا كانت الدالة مستمرة F(x 0 + Δ X, في 0 + Δ ذ)على المتغيرات Δ X, Δ فيفي Δ X = Δ ص = 0.

يمكنك إدخال زيادة Δ والمهام و = F (س, ذ) عند هذه النقطة (س, ذ) ، المقابلة للزيادات Δ X, Δ فيالحجج

Δ و = F(x + Δ X, في + Δ ذ) – F (س, ذ)

وفي هذه اللغة تعريف الاستمرارية Fالخامس (س, ذ) : وظيفة Fمستمر عند نقطة ما (س, ذ) ، لو

نظرية.المجموع والفرق وحاصل الضرب وحاصل المستمر عند النقطة ( X 0 , في 0) الوظائف Fو φ هي دالة مستمرة عند هذه النقطة، ما لم يكن ذلك بالطبع في حالة وجود حاصل القسمة φ ( X 0 , في 0) ≠ 0.

ثابت معيمكن اعتبارها وظيفة F (س, ذ) = معمن المتغيرات س, ذ. وهو مستمر في هذه المتغيرات لأن

الوظائف التالية الأكثر صعوبة هي F (س, ذ) = Xو F (س, ذ) = في. ويمكن أيضًا اعتبارها وظائف (س, ذ) ، وفي نفس الوقت فهي مستمرة. على سبيل المثال، الدالة F (س, ذ) = Xيطابق كل نقطة (س, ذ) عدد يساوي X. استمرارية هذه الوظيفة عند نقطة تعسفية (س, ذ) يمكن إثباته على هذا النحو.

استمرارية الوظيفة

دالة مكونة من متغيرين f (x, y) محددة عند النقطة (x 0 , y 0) وفي بعض المناطق المجاورة لها، تسمى مستمرة عند النقطة (x 0 , y 0) إذا كانت نهاية هذه الدالة هي عند النقطة (x 0 , y 0 ) تساوي قيمة هذه الدالة f(x 0 , y 0) ، أي. لو

الدالة المستمرة عند كل نقطة في منطقة معينة تسمى مستمرة في تلك المنطقة. الوظائف المستمرة لمتغيرين لها خصائص مشابهة لتلك الخاصة بالوظائف المستمرة لمتغير واحد.

إذا لم يتم استيفاء شرط الاستمرارية عند نقطة ما (x 0 , y 0)، يقال إن الدالة f (x, y) عند النقطة (x 0 , y 0) غير متصلة.

التفريق بين دالة لمتغيرين

المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى

السمة الأكثر أهمية للتغيير في الوظيفة هي الحدود:

حد النسبة

يُسمى المشتق الجزئي من الدرجة الأولى للدالة z = f (x, y) فيما يتعلق بالوسيطة x (يُختصر بالمشتق الجزئي) ويُشار إليه بالرموز أو أو

وكذلك الحد

يسمى المشتق الجزئي للدالة z =f (x, y) فيما يتعلق بالوسيطة y ويشار إليه بالرموز أو.

يسمى إيجاد المشتقات الجزئية بالتمايز الجزئي.

ويترتب على تعريف المشتق الجزئي أنه عندما يتم العثور عليه من وسيطة معينة، فإن الوسيطة الجزئية الأخرى تعتبر قيمة ثابتة. بعد إجراء التمايز، تعتبر كلا الوسيطتين الجزئيتين متغيرتين مرة أخرى. بمعنى آخر، المشتقات الجزئية هي دوال لمتغيرين x وy.

الفروق الجزئية

ضخامة

يسمى الجزء الخطي الرئيسي من الزيادة؟ x f (خطي فيما يتعلق بزيادة الوسيطة الخاصة؟x). وتسمى هذه الكمية بالتفاضل الجزئي، ويرمز لها بالرمز dxf.

على نفس المنوال

التفاضل الكلي لدالة لمتغيرين

بحكم التعريف، فإن التفاضل الإجمالي لدالة ذات متغيرين، المشار إليه بالرمز d f، هو الجزء الخطي الرئيسي من الزيادة الإجمالية للدالة:

وتبين أن مجموع الفروق يساوي مجموع الفروق الجزئية. الآن يمكن إعادة كتابة صيغة التفاضل الإجمالي على النحو التالي:

نؤكد على أنه يتم الحصول على صيغة التفاضل الإجمالي على افتراض أن المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى

تكون مستمرة في بعض المناطق المجاورة للنقطة (x، y).

يقال إن الدالة التي لها تفاضل إجمالي عند نقطة ما قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة.

لكي تكون دالة مكونة من متغيرين قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، لا يكفي أن تحتوي على جميع المشتقات الجزئية عند تلك النقطة. ومن الضروري أن تكون كل هذه المشتقات الجزئية متصلة في جوار ما للنقطة المعنية.

المشتقات والتفاضلات ذات الرتب العليا

خذ بعين الاعتبار دالة مكونة من متغيرين z =f (x, y). وقد سبق أن أشرنا أعلاه إلى أن المشتقات الجزئية للأولى

هي في حد ذاتها وظائف لمتغيرين، ويمكن التمييز بينها فيما يتعلق بـ x وy. نحصل على مشتقات الدرجة الأعلى (الثانية):

كان هناك بالفعل أربعة مشتقات جزئية من الدرجة الثانية. وبلا برهان يقال: إذا كانت المشتقات الجزئية المختلطة من الدرجة الثانية متصلة، فإنها متساوية:

دعونا الآن نفكر في التفاضل من الدرجة الأولى

إنها دالة لأربع وسيطات: x، y، dx، dy، والتي يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة.

نحن نحسب تفاضل الدرجة الثانية باعتباره التفاضل من تفاضل الدرجة الأولى: بافتراض أن تفاضلات الوسيطات الجزئية dx و dy هي ثوابت: