حل المربعات الصغرى. تقريب البيانات التجريبية. طريقة المربع الأصغر. OLS في حالة النموذج الخطي
مثال.
بيانات تجريبية عن قيم المتغيرات Xو فيوترد في الجدول. 
ونتيجة لمواءمتها، يتم الحصول على الوظيفة 
استخدام طريقة المربعات الصغرى، قم بتقريب هذه البيانات من خلال الاعتماد الخطي ص=الفأس+ب(ابحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي من الخطين هو الأفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) الذي يقوم بمحاذاة البيانات التجريبية. جعل الرسم.
جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).
وتتمثل المهمة في العثور على معاملات الاعتماد الخطية التي تكون فيها وظيفة متغيرين أو ب 
يأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.
وبالتالي، فإن حل المثال يتلخص في إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين.
اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.
تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة للمتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر. 
نقوم بحل نظام المعادلات الناتج باستخدام أي طريقة (على سبيل المثال بطريقة الاستبدالأو ) واحصل على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). 
منح أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. تم تقديم الدليل على هذه الحقيقة.
هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ و و و المعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. نوصي بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.
حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.
حل.
في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لسهولة حساب المبالغ المضمنة في صيغ المعاملات المطلوبة. 
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول عن طريق ضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.
يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول عن طريق تربيع القيم الموجودة في الصف الثاني لكل رقم أنا.
القيم الموجودة في العمود الأخير من الجدول هي مجموع القيم عبر الصفوف.
نستخدم صيغ طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل فيها القيم المقابلة من العمود الأخير من الجدول: 
لذلك، ص = 0.165س+2.184- الخط المستقيم التقريبي المطلوب.
يبقى لمعرفة أي من الخطوط ص = 0.165س+2.184أو تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل، أي إجراء تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
تقدير الخطأ لطريقة المربعات الصغرى.
للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه الخطوط 
و 
، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقترب بشكل أفضل من البيانات الأصلية بمعنى طريقة المربعات الصغرى. 
منذ , ثم على التوالي ص = 0.165س+2.184تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل.
رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LS).
كل شيء واضح للعيان على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط المستقيم الموجود ص = 0.165س+2.184، الخط الأزرق هو النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.
لماذا هذا مطلوب، لماذا كل هذه التقديرات؟
أنا شخصياً أستخدمه لحل مشكلات تجانس البيانات والاستيفاء والاستقراء (في المثال الأصلي قد يُطلب منهم العثور على قيمة القيمة المرصودة ذفي س = 3أو متى س=6باستخدام طريقة المربعات الصغرى). لكننا سنتحدث أكثر عن هذا لاحقًا في قسم آخر من الموقع.
دليل.
بحيث عندما وجدت أو بتأخذ الدالة أصغر قيمة، فمن الضروري عند هذه النقطة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي للتفاضل من الدرجة الثانية للدالة كان إيجابيا واضحا. دعونا نظهر ذلك.
إذا كانت كمية فيزيائية معينة تعتمد على كمية أخرى، فيمكن دراسة هذا الاعتماد عن طريق قياس y عند قيم مختلفة لـ x. ونتيجة للقياسات يتم الحصول على عدد من القيم:
س 1، س 2، ...، س ط، ...، س ن؛
ذ 1 , ص 2 , ..., ذ ط , ... , ذ ن .
بناءً على بيانات مثل هذه التجربة، من الممكن إنشاء رسم بياني للاعتماد y = ƒ(x). يتيح المنحنى الناتج الحكم على شكل الدالة ƒ(x). ومع ذلك، فإن المعاملات الثابتة التي تدخل في هذه الدالة تظل مجهولة. ويمكن تحديدها باستخدام طريقة المربعات الصغرى. النقاط التجريبية، كقاعدة عامة، لا تقع بالضبط على المنحنى. تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون مجموع مربعات انحرافات النقاط التجريبية عن المنحنى، أي 2 كان الأصغر.
من الناحية العملية، يتم استخدام هذه الطريقة في أغلب الأحيان (وببساطة) في حالة العلاقة الخطية، أي. متى
ص = ك سأو ص = أ + ب س.
الاعتماد الخطيمنتشر جدًا في الفيزياء. وحتى عندما تكون العلاقة غير خطية، فإنهم عادةً ما يحاولون إنشاء رسم بياني للحصول على خط مستقيم. على سبيل المثال، إذا افترض أن معامل انكسار الزجاج n يرتبط بالطول الموجي للضوء α بالعلاقة n = a + b/lect 2، فسيتم رسم اعتماد n على lect -2 على الرسم البياني.
النظر في التبعية ص = ك س(خط مستقيم يمر بنقطة الأصل). لنقم بتكوين القيمة φ مجموع مربعات انحرافات نقاطنا عن الخط المستقيم
قيمة φ تكون دائمًا موجبة وتتبين أنها أصغر كلما اقتربت نقاطنا من الخط المستقيم. تنص طريقة المربعات الصغرى على أنه يجب اختيار قيمة k بحيث يكون لـ φ حد أدنى
أو
(19)
يظهر الحساب أن خطأ الجذر التربيعي في تحديد قيمة k يساوي
, (20)
حيث n هو عدد القياسات.
دعونا الآن نفكر في حالة أكثر صعوبة بعض الشيء، عندما يجب أن تلبي النقاط الصيغة ص = أ + ب س(خط مستقيم لا يمر بأصل الأصل).
وتتمثل المهمة في العثور على أفضل قيم a و b من مجموعة القيم المتوفرة x i, y i.
دعونا مرة أخرى نشكل الصيغة التربيعية φ، التي تساوي مجموع الانحرافات التربيعية للنقاط x i، y i من الخط المستقيم
وابحث عن قيم a و b التي يوجد لـ φ حد أدنى لها
;
.
الحل المشترك لهذه المعادلات يعطي
(21)
جذر متوسط الأخطاء المربعة لتحديد a وb متساويان
(23)
. (24)
عند معالجة نتائج القياس باستخدام هذه الطريقة، يكون من المناسب تلخيص جميع البيانات في جدول يتم فيه حساب جميع المبالغ المضمنة في الصيغ (19)(24) بشكل مبدئي. وترد أشكال هذه الجداول في الأمثلة أدناه.
مثال 1.تمت دراسة المعادلة الأساسية للديناميكيات حركة دورانيةε = M/J (الخط الذي يمر عبر نقطة الأصل). عند قيم مختلفة للحظة M، تم قياس التسارع الزاوي ε لجسم معين. مطلوب تحديد لحظة القصور الذاتي لهذا الجسم. يتم سرد نتائج قياسات لحظة القوة والتسارع الزاوي في العمودين الثاني والثالث الجدول 5.
الجدول 5
| ن | م، ن م | ε، ق -1 | م 2 | م ε | ε - كم | (ε - كم) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
باستخدام الصيغة (19) نحدد:
.
لتحديد جذر متوسط مربع الخطأ، نستخدم الصيغة (20)
0.005775كلغ-1 · م -2 .
وفقا للصيغة (18) لدينا
SJ = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 كجم م 2.
بعد ضبط الموثوقية P = 0.95، باستخدام جدول معاملات الطالب لـ n = 5، نجد t = 2.78 ونحدد الخطأ المطلق ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 كجم م 2.
لنكتب النتائج في النموذج:
ي = (3.0 ± 0.2) كجم م 2;
مثال 2.دعونا نحسب معامل درجة الحرارة لمقاومة المعدن باستخدام طريقة المربعات الصغرى. المقاومة تعتمد خطيا على درجة الحرارة
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
يحدد الحد الحر المقاومة R 0 عند درجة حرارة 0 درجة مئوية، والمعامل الزاوي هو حاصل الضرب معامل درجة الحرارةα للمقاومة R 0 .
وترد نتائج القياسات والحسابات في الجدول ( انظر الجدول 6).
الجدول 6
| ن | ر°، ق | ص، أوم | ر-¯ر | (ر-¯ر) 2 | (ر-¯ر)ص | ص - بت - أ | (ص - ب - أ) 2 .10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/ن | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
باستخدام الصيغ (21)، (22) نحدد
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 أوم.
دعونا نجد خطأ في تعريف α. وبما أن ، وفقا للصيغة (18) لدينا:
.
باستخدام الصيغ (23)، (24) لدينا
;
0.014126 أوم.
بعد ضبط الموثوقية على P = 0.95، باستخدام جدول معاملات الطالب لـ n = 6، نجد t = 2.57 ونحدد الخطأ المطلق Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 درجة -1.
α = (23 ± 4) 10 -4 يشيد-1 عند P = 0.95.
مثال 3.مطلوب تحديد نصف قطر انحناء العدسة باستخدام حلقات نيوتن. تم قياس أنصاف أقطار حلقات نيوتن r m وتم تحديد أعداد هذه الحلقات m. يرتبط نصف قطر حلقات نيوتن بنصف قطر انحناء العدسة R ورقم الحلقة بالمعادلة
ص 2 م = م LAR - 2 د 0 ر،
حيث d 0 سمك الفجوة بين العدسة واللوحة المتوازية (أو تشوه العدسة)،
الطول الموجي للضوء الساقط.
ν = (600 ± 6) نانومتر؛
ص 2 م = ص؛
م = س؛
αR = ب؛
-2د 0 ر = أ،
ثم المعادلة سوف تأخذ الشكل ص = أ + ب س.
.يتم إدخال نتائج القياسات والحسابات الجدول 7.
الجدول 7
| ن | س = م | ص = ص 2، 10 -2 مم 2 | مم | (م -¯م) 2 | (م -¯ م)ذ | ص - ب س - أ، 10 -4 | (ص - ب س - أ) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/ن | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |
وله العديد من التطبيقات، لأنه يسمح بتمثيل تقريبي لوظيفة معينة بواسطة وظائف أخرى أبسط. يمكن أن يكون LSM مفيدًا للغاية في معالجة الملاحظات، ويستخدم بشكل فعال لتقدير بعض الكميات بناءً على نتائج قياسات أخرى تحتوي على أخطاء عشوائية. ستتعلم في هذه المقالة كيفية تنفيذ حسابات المربعات الصغرى في برنامج Excel.
بيان المشكلة باستخدام مثال محدد
لنفترض أن هناك مؤشرين X وY. علاوة على ذلك، يعتمد Y على X. نظرًا لأن OLS يهمنا من وجهة نظر تحليل الانحدار (في Excel يتم تنفيذ أساليبه باستخدام وظائف مدمجة)، فيجب أن ننتقل فورًا إلى النظر في مؤشر مشكلة محددة.
لذا، دع X تكون مساحة البيع بالتجزئة لمتجر بقالة، مقاسة بـ متر مربعو Y هو حجم المبيعات السنوي، المحدد بملايين الروبلات.
من الضروري وضع توقعات بشأن حجم المبيعات (Y) الذي سيحصل عليه المتجر إذا كان لديه مساحة بيع بالتجزئة هذه أو تلك. من الواضح أن الدالة Y = f (X) آخذة في الازدياد، نظرًا لأن الهايبر ماركت يبيع سلعًا أكثر من الأكشاك.
بضع كلمات حول صحة البيانات الأولية المستخدمة للتنبؤ
لنفترض أن لدينا جدولًا تم إنشاؤه باستخدام بيانات عدد n من المتاجر.
وفقا للإحصاءات الرياضية، ستكون النتائج صحيحة إلى حد ما إذا تم فحص البيانات على الأقل 5-6 كائنات. وبالإضافة إلى ذلك، لا يمكن استخدام النتائج "الشاذة". على وجه الخصوص، يمكن أن يكون لمتجر النخبة الصغير حجم مبيعات أكبر بعدة مرات من حجم مبيعات المتجر الكبير سوق بيع التجزءفئة "مسماركت".
جوهر الطريقة
يمكن تصوير بيانات الجدول على المستوى الديكارتي في شكل نقاط M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). الآن سيتم تقليل حل المشكلة إلى اختيار دالة تقريبية y = f (x)، والتي تحتوي على رسم بياني يمر في أقرب وقت ممكن من النقاط M 1، M 2، .. M n.
بالطبع يمكنك استخدام كثير الحدود درجة عاليةولكن هذا الخيار ليس صعب التنفيذ فحسب، بل إنه ببساطة غير صحيح، لأنه لن يعكس الاتجاه الرئيسي الذي يجب اكتشافه. الحل الأكثر منطقية هو البحث عن الخط المستقيم y = ax + b، الذي يقترب بشكل أفضل من البيانات التجريبية، أو بشكل أكثر دقة، المعاملات a وb.
تقييم الدقة
ومع أي تقدير تقريبي، فإن تقييم دقته له أهمية خاصة. دعونا نشير بـ e i إلى الفرق (الانحراف) بين القيم الوظيفية والتجريبية للنقطة x i، أي e i = y i - f (x i).
من الواضح أنه لتقييم دقة التقريب، يمكنك استخدام مجموع الانحرافات، أي عند اختيار خط مستقيم لتمثيل تقريبي لاعتماد X على Y، يجب عليك إعطاء الأفضلية للخط ذي أصغر قيمة للقيمة التقريبية. مجموع ه ط في جميع النقاط قيد النظر. ومع ذلك، ليس كل شيء بهذه البساطة، لأنه إلى جانب الانحرافات الإيجابية ستكون هناك أيضًا انحرافات سلبية.
يمكن حل المشكلة باستخدام وحدات الانحراف أو مربعاتها. الطريقة الأخيرة هي الأكثر استخدامًا. يتم استخدامه في العديد من المجالات، بما في ذلك تحليل الانحدار (الذي يتم تنفيذه في Excel باستخدام وظيفتين مدمجتين)، وقد أثبت فعاليته منذ فترة طويلة.
طريقة المربع الأصغر
يحتوي Excel، كما تعلم، على وظيفة AutoSum مضمنة تسمح لك بحساب قيم كافة القيم الموجودة في النطاق المحدد. وبالتالي لن يمنعنا شيء من حساب قيمة التعبير (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).
في التدوين الرياضي يبدو هذا كما يلي:
وبما أنه تم اتخاذ القرار في البداية بالتقريب باستخدام خط مستقيم، فقد أصبح لدينا:
وبالتالي، فإن مهمة العثور على الخط المستقيم الذي يصف بشكل أفضل الاعتماد المحدد للكميتين X وY تتلخص في حساب الحد الأدنى لدالة لمتغيرين:
للقيام بذلك، تحتاج إلى مساواة المشتقات الجزئية بالنسبة للمتغيرين الجديدين a وb بالصفر، وحل نظام بدائي يتكون من معادلتين مع مجهولين من الصيغة:
بعد إجراء بعض التحويلات البسيطة، بما في ذلك القسمة على 2 ومعالجة المجاميع، نحصل على:
لحلها، على سبيل المثال، باستخدام طريقة كريمر، نحصل على نقطة ثابتة مع معاملات معينة أ * و ب *. هذا هو الحد الأدنى، أي للتنبؤ بمعدل دوران المتجر في منطقة معينة، فإن الخط المستقيم y = a * x + b * مناسب، وهو نموذج انحدار للمثال المعني. بالطبع لن تسمح لك بالعثور عليها النتيجة الدقيقة، ولكنه سيساعد في الحصول على فكرة عما إذا كان شراء منطقة معينة على رصيد المتجر سيؤتي ثماره.
كيفية تنفيذ المربعات الصغرى في إكسل
يحتوي Excel على وظيفة لحساب القيم باستخدام المربعات الصغرى. وله النموذج التالي: "TREND" (قيم Y المعروفة، وقيم X المعروفة، وقيم X الجديدة، والثابت). دعونا نطبق صيغة حساب OLS في Excel على جدولنا.
للقيام بذلك، أدخل علامة "=" في الخلية التي يجب أن يتم فيها عرض نتيجة الحساب باستخدام طريقة المربعات الصغرى في Excel وحدد وظيفة "TREND". في النافذة التي تفتح، املأ الحقول المناسبة، مع تحديد:
- نطاق القيم المعروفة لـ Y (في هذه الحالة، بيانات حجم التداول)؛
- النطاق x 1، …x n، أي حجم مساحة البيع بالتجزئة؛
- كل من قيم x المعروفة وغير المعروفة، والتي تحتاج إلى معرفة حجم دورانها (للحصول على معلومات حول موقعها في ورقة العمل، انظر أدناه).
بالإضافة إلى ذلك، تحتوي الصيغة على المتغير المنطقي "Const". إذا قمت بإدخال 1 في الحقل المقابل، فهذا يعني أنه يجب عليك إجراء الحسابات، على افتراض أن ب = 0.
إذا كنت بحاجة إلى معرفة التوقعات لأكثر من قيمة x واحدة، فبعد إدخال الصيغة، يجب ألا تضغط على "أدخل"، ولكنك تحتاج إلى كتابة المجموعة "Shift" + "Control" + "Enter" على لوحة المفاتيح.
بعض الملامح
يمكن الوصول إلى تحليل الانحدار حتى للدمى. يمكن استخدام صيغة Excel للتنبؤ بقيمة مجموعة من المتغيرات غير المعروفة - TREND - حتى من قبل أولئك الذين لم يسمعوا من قبل عن المربعات الصغرى. يكفي فقط معرفة بعض ميزات عملها. بخاصة:
- إذا قمت بترتيب نطاق القيم المعروفة للمتغير y في صف أو عمود واحد، فإن كل صف (عمود) بقيم معروفة لـ x سوف ينظر إليه البرنامج على أنه متغير منفصل.
- إذا كانت نافذة TREND لا تشير إلى نطاق معروف بـ x، إذا تم استخدام الدالة في برنامج اكسلسوف نتعامل معها على أنها مصفوفة تتكون من أعداد صحيحة، يتوافق عددها مع النطاق بالقيم المحددة للمتغير y.
- لإخراج مصفوفة من القيم "المتوقعة"، يجب إدخال التعبير الخاص بحساب الاتجاه كصيغة مصفوفة.
- إذا لم يتم تحديد قيم جديدة لـ x، فإن الدالة TREND تعتبرها مساوية للقيم المعروفة. إذا لم يتم تحديدها، فسيتم أخذ الصفيف 1 كوسيطة؛ 2؛ 3؛ 4;...، وهو ما يتناسب مع النطاق مع المعلمات المحددة بالفعل ذ.
- يجب أن يحتوي النطاق الذي يحتوي على قيم x الجديدة على نفس الصفوف أو الأعمدة أو أكثر مثل النطاق الذي يحتوي على قيم y المحددة. وبعبارة أخرى، يجب أن تكون متناسبة مع المتغيرات المستقلة.
- يمكن أن تحتوي المصفوفة ذات قيم x المعروفة على متغيرات متعددة. ومع ذلك، إذا كنا نتحدث عن واحد فقط، فمن الضروري أن تكون النطاقات ذات القيم المعطاة x و y متناسبة. في حالة وجود عدة متغيرات، من الضروري أن يتناسب النطاق مع قيم y المحددة في عمود واحد أو صف واحد.
وظيفة التنبؤ
نفذت باستخدام عدة وظائف. واحد منهم يسمى "التنبؤ". وهو مشابه لـ "TREND"، أي أنه يعطي نتيجة العمليات الحسابية باستخدام طريقة المربعات الصغرى. ومع ذلك، فقط لـ X واحد، قيمة Y غير معروفة.
الآن أنت تعرف الصيغ في Excel للدمى التي تسمح لك بالتنبؤ بالقيمة المستقبلية لمؤشر معين وفقًا للاتجاه الخطي.
تعد طريقة المربعات الصغرى واحدة من أكثر الطرق شيوعًا وأكثرها تطورًا نظرًا لخصائصها بساطة وكفاءة طرق تقدير المعلمات الخطية. في الوقت نفسه، عند استخدامه، يجب مراعاة بعض الحذر، لأن النماذج التي تم إنشاؤها باستخدامها قد لا تفي بعدد من المتطلبات لجودة معلماتها، ونتيجة لذلك، لا تعكس أنماط تطوير العملية "بشكل جيد" كافٍ.
دعونا نفكر في إجراء تقدير معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي باستخدام طريقة المربعات الصغرى بمزيد من التفصيل. هذا النموذج في منظر عاميمكن تمثيلها بالمعادلة (1.2):
y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t.
البيانات الأولية عند تقدير المعلمات a 0 , a 1 ,..., n هي متجه لقيم المتغير التابع ذ= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ومصفوفة قيم المتغيرات المستقلة
حيث يتوافق العمود الأول، المكون من الآحاد، مع معامل النموذج.
حصلت طريقة المربعات الصغرى على اسمها بناءً على المبدأ الأساسي الذي يجب أن تفي به تقديرات المعلمات التي يتم الحصول عليها على أساسها: يجب أن يكون مجموع مربعات خطأ النموذج في حده الأدنى.
أمثلة على حل المسائل باستخدام طريقة المربعات الصغرى
مثال 2.1.لدى المؤسسة التجارية شبكة مكونة من 12 متجرًا، وترد في الجدول معلومات عن أنشطتها. 2.1.
ترغب إدارة المؤسسة في معرفة كيف يعتمد المبلغ السنوي على مساحة البيع بالتجزئة في المتجر.
الجدول 2.1
|
عدد مخزن |
حجم التداول السنوي مليون روبل. |
مساحة التجزئة ألف م2 |
حل المربعات الصغرى.دعونا نشير إلى حجم المبيعات السنوي للمتجر، مليون روبل؛ - مساحة المحل التجاري ألف م2.
الشكل 2.1. مخطط التشتت على سبيل المثال 2.1
لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات سنقوم ببناء مخطط مبعثر (الشكل 2.1).
استنادًا إلى الرسم البياني المبعثر، يمكننا أن نستنتج أن حجم المبيعات السنوي يعتمد بشكل إيجابي على مساحة البيع بالتجزئة (أي، ستزداد مع الزيادة). الشكل الأنسب للاتصال الوظيفي هو خطي.
يتم عرض المعلومات لمزيد من الحسابات في الجدول. 2.2. باستخدام طريقة المربعات الصغرى، نقوم بتقدير معلمات النموذج الاقتصادي القياسي الخطي ذو العامل الواحد
الجدول 2.2
هكذا،
لذلك، مع زيادة مساحة البيع بالتجزئة بمقدار 1 ألف متر مربع، مع تساوي العوامل الأخرى، يزيد متوسط \u200b\u200bحجم المبيعات السنوي بمقدار 67.8871 مليون روبل.
مثال 2.2.لاحظت إدارة الشركة أن حجم المبيعات السنوي لا يعتمد فقط على مساحة مبيعات المتجر (انظر المثال 2.1)، ولكن أيضًا على متوسط عدد الزوار. يتم عرض المعلومات ذات الصلة في الجدول. 2.3.
الجدول 2.3
حل.دعونا نشير إلى متوسط عدد زوار المتجر يوميًا، ألف شخص.
لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات سنقوم ببناء مخطط مبعثر (الشكل 2.2).
استنادًا إلى مخطط التشتت، يمكننا أن نستنتج أن معدل الدوران السنوي يعتمد بشكل إيجابي على متوسط عدد الزوار يوميًا (أي، سوف يزيد مع الزيادة). شكل الاعتماد الوظيفي خطي.
أرز. 2.2. مخطط التشتت على سبيل المثال 2.2
الجدول 2.4
بشكل عام، من الضروري تحديد معالم النموذج الاقتصادي القياسي ثنائي العامل
y t = أ 0 + أ 1 × 1 ر + أ 2 × 2 ر + ε t
يتم عرض المعلومات المطلوبة لمزيد من الحسابات في الجدول. 2.4.
دعونا نقدر معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي ثنائي العامل باستخدام طريقة المربعات الصغرى.
هكذا،
يوضح تقدير المعامل =61.6583 أنه، مع تساوي الأمور الأخرى، مع زيادة مساحة البيع بالتجزئة بمقدار ألف م 2، سيزداد حجم المبيعات السنوي بمتوسط 61.6583 مليون روبل.
