جميع خصائص التكاملات. الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد. تغيير متغير في تكامل محدد

تُستخدم هذه الخصائص لإجراء تحويلات التكامل من أجل اختزاله إلى أحد التكاملات الأولية وإجراء مزيد من العمليات الحسابية.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

3. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

4. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

علاوة على ذلك، ≠ 0

5. تكامل المجموع (الفرق) يساوي مجموع (الفرق) التكاملات:

6. الخاصية عبارة عن مزيج من الخاصيتين 4 و5:

علاوة على ذلك، أ ≠ 0 ˄ ب ≠ 0

7. خاصية الثبات للتكامل غير المحدد:

اذا ثم

8. الملكية:

اذا ثم

في الواقع، هذه الخاصية هي حالة خاصة من التكامل باستخدام طريقة التغيير المتغير، والتي سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

لنلقي نظرة على مثال:

أولاً قمنا بتطبيق الخاصية 5، ثم الخاصية 4، ثم استخدمنا جدول المشتقات العكسية وحصلنا على النتيجة.

تدعم خوارزمية الآلة الحاسبة المتكاملة عبر الإنترنت جميع الخصائص المذكورة أعلاه وستجد بسهولة حلاً مفصلاً للتكامل الخاص بك.

في حساب التفاضل والتكامل يتم حل المشكلة: تحت هذه الدالة ƒ(x) أوجد مشتقتها(أو التفاضلية). حساب التفاضل والتكامل التكاملي يحل المشكلة العكسية: ابحث عن الدالة F(x)، مع معرفة مشتقها F "(x)=ƒ(x) (أو التفاضلية). تسمى الوظيفة المطلوبة F(x) المشتق العكسي للدالة ƒ(x) ).

يتم استدعاء الدالة F(x). مشتق مضادالدالة ƒ(x) على الفاصل الزمني (a; b)، إذا كانت المساواة لأي x є (a; b)

F " (x)=ƒ(x) (أو dF(x)=ƒ(x)dx).

على سبيل المثال، المشتق العكسي للدالة y = x 2, x є R، هي الوظيفة، حيث

من الواضح أن أي وظائف ستكون أيضًا مشتقات عكسية

حيث C هو ثابت، منذ

النظرية 29. 1. إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة ƒ(x) على (a;b)، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لـ ƒ(x) تعطى بالصيغة F(x)+ C، حيث C هو عدد ثابت.

▲ الدالة F(x)+C هي مشتق عكسي للدالة ƒ(x).

في الواقع، (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

دع Ф(x) يكون مشتقًا عكسيًا آخر للدالة ƒ(x)، يختلف عن F(x)، أي Ф "(x)=ƒ(x). ثم لأي x є (а;b) لدينا

وهذا يعني (انظر النتيجة الطبيعية 25.1) ذلك

حيث C هو عدد ثابت. ولذلك، Ф(x)=F(x)+С.▼

مجموعة جميع دوال المشتقات العكسية F(x)+С لـ ƒ(x) تسمى التكامل غير المحدد للدالة ƒ(x)ويشار إليه بالرمز ∫ ƒ(x) dx.

وهكذا بحكم التعريف

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

هنا يتم استدعاء ƒ(x). وظيفة التكامل، ƒ(x)dx — تعبير التكامل, X - متغير التكامل, ∫ -لافتة تكامل غير محدد .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بتكامل هذه الوظيفة.

هندسيًا، التكامل غير المحدد عبارة عن عائلة من المنحنيات "المتوازية" y=F(x)+C (كل قيمة عددية لـ C تتوافق مع منحنى محدد للعائلة) (انظر الشكل 166). يسمى الرسم البياني لكل مشتق عكسي (منحنى). منحنى متكامل.

هل كل دالة لها تكامل غير محدد؟

هناك نظرية تنص على أن "كل دالة متصلة على (a;b) لها مشتقة عكسية في هذه الفترة"، وبالتالي، تكامل غير محدد.

دعونا نلاحظ عددًا من خصائص التكامل غير المحدد التي تتبع تعريفه.

1. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل، ومشتقة التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

د(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dx, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

في الواقع، d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

بفضل هذه الخاصية، يتم التحقق من صحة التكامل عن طريق التمايز. على سبيل المثال، المساواة

∫(3x 2 + 4) dx=x з +4x+С

صحيح، لأن (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

∫dF(x)= F(x)+C.

حقًا،

3. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

α ≠ 0 ثابت.

حقًا،

(ضع ج 1 / أ = ج.)

4. التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال المستمرة يساوي المجموع الجبري لتكاملات مجاميع الدوال:

دع F"(x)=ƒ(x) وG"(x)=g(x). ثم

حيث C 1 ± C 2 = C.

5. (ثبات صيغة التكامل).

لو ، حيث u=φ(x) هي دالة عشوائية ذات مشتق مستمر.

▲ اجعل x متغيرًا مستقلاً، وƒ(x) دالة متصلة وF(x) هو المشتق العكسي لها. ثم

دعونا الآن نضع u=φ(x)، حيث φ(x) هي دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر. النظر في الدالة المعقدة F(u)=F(φ(x)). ونظرا لثبات شكل التفاضل الأول للدالة (انظر ص 160) فقد أصبح لدينا

من هنا▼

وبالتالي، تظل صيغة التكامل غير المحدد صالحة بغض النظر عما إذا كان متغير التكامل هو المتغير المستقل أو أي دالة له لها مشتقة مستمرة.

لذلك، من الصيغة عن طريق استبدال x بـ u (u=φ(x)) نحصل على

بخاصة،

مثال 29.1.أوجد التكامل

حيث C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

مثال 29.2.أوجد الحل المتكامل:

• 29.3. جدول التكاملات الأساسية غير المحددة

من خلال الاستفادة من حقيقة أن التكامل هو الإجراء العكسي للتمايز، يمكن الحصول على جدول التكاملات الأساسية عن طريق قلب الصيغ المقابلة لحساب التفاضل والتكامل (جدول التفاضلات) واستخدام خصائص التكامل غير المحدد.

على سبيل المثال، لأن

د(الخطيئة ش)=كوس ش . du

سيتم اشتقاق عدد من الصيغ في الجدول عند النظر في الطرق الأساسية للتكامل.

تسمى التكاملات الموجودة في الجدول أدناه جدولية. وينبغي أن يعرفوا عن ظهر قلب. في حساب التفاضل والتكامل لا توجد قواعد بسيطة وعالمية لإيجاد المشتقات العكسية وظائف أوليةكما في حساب التفاضل. يتم تقليل طرق العثور على المشتقات العكسية (أي دمج دالة) إلى تقنيات الإشارة التي تجلب تكاملًا (مطلوبًا) معينًا إلى تكامل جدولي. لذلك، من الضروري معرفة تكاملات الجدول والقدرة على التعرف عليها.

لاحظ أنه في جدول التكاملات الأساسية، يمكن أن يشير متغير التكامل إلى متغير مستقل ودالة للمتغير المستقل (وفقًا لخاصية الثبات في صيغة التكامل).

يمكن التحقق من صحة الصيغ أدناه عن طريق أخذ التفاضل على الجانب الأيمن، والذي سيكون مساويا للتكامل على الجانب الأيسر من الصيغة.

لنثبت مثلا صحة الصيغة 2. الدالة 1/u محددة ومستمرة لجميع قيم الصفر وغيره.

إذا u > 0، ثم ln|u|=lnu، إذن لهذا

اذا كنت<0, то ln|u|=ln(-u). Ноوسائل

إذن الصيغة 2 صحيحة وبالمثل، دعونا نتحقق من الصيغة 15:

جدول التكاملات الرئيسية

أصدقاء! نحن ندعوك للمناقشة. إذا كان لديك رأيك الخاص، فاكتب لنا في التعليقات.

تتحدث هذه المقالة بالتفصيل عن الخصائص الرئيسية للتكامل المحدد. تم إثباتها باستخدام مفهوم تكامل ريمان ودربوكس. يتم حساب التكامل المحدد بفضل 5 خصائص. يتم استخدام العناصر المتبقية لتقييم التعبيرات المختلفة.

قبل الانتقال إلى الخصائص الرئيسية للتكامل المحدد، من الضروري التأكد من أن أ لا يتجاوز ب.

الخصائص الأساسية للتكامل المحدد

الدالة y = f (x) المحددة عند x = a تشبه المساواة العادلة ∫ a a f (x) d x = 0.

الدليل 1

ومن هذا نرى أن قيمة التكامل ذو النهايتين المتقابلتين تساوي صفرًا. وهذا نتيجة لتكامل ريمان، لأن كل مجموع تكامل σ لأي قسم على الفترة [ a ; a ] وأي اختيار للنقاط ζ i يساوي صفر، لأن x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n مما يعني أننا نجد أن نهاية الدوال التكاملية هي صفر.

التعريف 2

بالنسبة إلى دالة قابلة للتكامل في الفاصل الزمني [a؛ b ] ، الشرط ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x محقق.

الدليل 2

بمعنى آخر، إذا قمت بتبديل الحدين العلوي والسفلي للتكامل، فإن قيمة التكامل ستتغير إلى القيمة المقابلة. هذه الخاصية مأخوذة من تكامل ريمان. ومع ذلك، يبدأ ترقيم قسم المقطع من النقطة x = b.

التعريف 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ينطبق على الوظائف القابلة للتكامل من النوع y = f (x) و y = g (x) المحددة في الفاصل الزمني [ a ; ب ] .

الدليل 3

اكتب المجموع المتكامل للدالة y = f (x) ± g (x) للتقسيم إلى مقاطع مع اختيار معين للنقاط ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

حيث σ f و σ g عبارة عن مجموع متكامل للوظائف y = f (x) و y = g (x) لتقسيم المقطع. بعد تجاوز الحد عند lect = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 نحصل على ذلك lim ẫ → 0 σ = lim ẫ → 0 σ f ± σ g = lim ẫ → 0 σ g ± lim ẫ → 0 σ g .

من تعريف ريمان، هذا التعبير مكافئ.

التعريف 4

مد العامل الثابت إلى ما بعد إشارة التكامل المحدد. دالة متكاملة من الفاصل الزمني [أ؛ b ] بقيمة عشوائية k لديها عدم مساواة عادلة بالشكل ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

الدليل 4

برهان خاصية التكامل المحددة يشبه البرهان السابق:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim σ → 0 σ = lim ẫ → 0 (k · σ f) = k · lim ẫ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

التعريف 5

إذا كانت دالة من الصيغة y = f (x) قابلة للتكامل على فترة x مع ∈ x, b ∈ x، فإننا نحصل على أن ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d س.

الدليل 5

تعتبر الخاصية صالحة لـ c ∈ a؛ ب، ل ج ≥ أ و ج ≥ ب. والدليل مشابه للخصائص السابقة.

التعريف 6

عندما تكون الوظيفة قابلة للتكامل من المقطع [a؛ b ]، فهذا ممكن لأي مقطع داخلي c؛ د ∈ أ ; ب.

الدليل 6

يعتمد الدليل على خاصية Darboux: إذا تمت إضافة نقاط إلى قسم موجود من قطعة ما، فلن ينخفض ​​مجموع Darboux السفلي، ولن يزيد الجزء العلوي.

التعريف 7

عندما تكون الدالة قابلة للتكامل في [a; b ] من f (x) ≥ 0 f (x) ≥ 0 لأي قيمة x ∈ a ; b ، ثم نحصل على ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≥ 0 .

يمكن إثبات الخاصية باستخدام تعريف تكامل ريمان: أي مجموع متكامل لأي اختيار لنقاط تقسيم المقطع والنقاط ζ i بشرط أن تكون f (x) ≥ 0 f (x) ≥ 0 غير سالبة .

الدليل 7

إذا كانت الدالتان y = f (x) و y = g (x) قابلة للتكامل في الفترة [ a ; ب ]، فإن المتباينات التالية تعتبر صحيحة:

∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ب ∫ أ ب f (x) د س ≥ ∫ أ ب ز (x) د س , f (x) ≥ ز (x) ∀ س ∈ أ ; ب

وبفضل البيان نعلم أن التكامل جائز. سيتم استخدام هذه النتيجة الطبيعية في إثبات الخصائص الأخرى.

التعريف 8

بالنسبة لدالة متكاملة y = f (x) من الفاصل الزمني [ a ; b ] لدينا متباينة عادلة بالشكل ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x .

الدليل 8

لدينا ذلك - f (x) ≥ f (x) ≥ f (x) . من الخاصية السابقة وجدنا أن المتراجحة يمكن تكاملها حدًا تلو الآخر وهي تتوافق مع متباينة بالشكل - ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x . يمكن كتابة هذه المتباينة المزدوجة بصيغة أخرى: ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b f (x) d x .

التعريف 9

عندما يتم دمج الدالتين y = f (x) و y = g (x) من الفاصل الزمني [ a ; b ] لـ g (x) ≥ 0 لأي x ∈ a ; b ، حصلنا على متباينة من الصيغة m · ∫ a b g (x) d x ≥ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≥ M · ∫ a b g (x) d x , حيث m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; ب و (خ) .

الدليل 9

يتم تنفيذ الإثبات بطريقة مماثلة. تعتبر M و m أكبر وأصغر قيم للدالة y = f (x) المحددة من المقطع [a؛ b ] ، ثم m ≥ f (x) ≥ M . من الضروري ضرب عدم المساواة المزدوجة بالدالة y = g (x)، والتي ستعطي قيمة عدم المساواة المزدوجة بالصيغة m g (x) ≥ f (x) g (x) ≥ M g (x). من الضروري دمجها في الفاصل الزمني [a؛ ب ] ، ثم نحصل على البيان المراد إثباته.

عاقبة: بالنسبة لـ g (x) = 1، تأخذ المتراجحة الشكل m · b - a ≥ ∫ a b f (x) d x ≥ M · (b - a) .

الصيغة المتوسطة الأولى

بالنسبة لـ y = f (x) قابلة للتكامل على الفاصل الزمني [ a ; ب ] مع m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; ب و (س) هناك رقم μ ∈ م؛ M ، الذي يناسب ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

عاقبة: عندما تكون الدالة y = f (x) متصلة من الفاصل الزمني [ a ; ب ]، ثم هناك رقم ج ∈ أ؛ ب، الذي يحقق المساواة ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

الصيغة المتوسطة الأولى في شكل معمم

عندما تكون الدالتان y = f (x) و y = g (x) قابلة للتكامل من الفاصل الزمني [ a ; ب ] مع m = m i n x ∈ a ; ب و (س) و م = م أ س س ∈ أ ; b f (x) , و g (x) > 0 لأي قيمة x ∈ a ; ب. من هنا نجد أن هناك عددًا μ ∈ m؛ M , الذي يحقق المساواة ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

صيغة المتوسط ​​الثاني

عندما تكون الدالة y = f (x) قابلة للتكامل من الفاصل الزمني [ a ; b ]، و y = g (x) رتيب، ثم هناك رقم c ∈ a؛ b ، حيث نحصل على مساواة عادلة بالشكل ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكاملهو العثور على المشتقة F'(س)أو التفاضلية مدافع=F'(س)dxالمهام F(س).في حساب التكامل يتم حل المشكلة العكسية. وفقا لوظيفة معينة F(س) تحتاج إلى العثور على مثل هذه الوظيفة F(س)،ماذا F'(س)=F(س)أو مدافع (س)=F'(س)دي إكس=F(س)dx.

هكذا، المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكاملهو استعادة الوظيفة F(س)بالمشتق المعروف (التفاضلي) لهذه الدالة. حساب التفاضل والتكامل التكاملي له العديد من التطبيقات في الهندسة والميكانيكا والفيزياء والتكنولوجيا. يعطي الطريقة العامةإيجاد المساحات والأحجام ومراكز الثقل وما إلى ذلك.

تعريف. وظيفةF(x) ، يسمى المشتق العكسي للدالةF(x) على المجموعة X إذا كانت قابلة للتمييز لأي وF'(س)=F(خ) أومدافع (س)=F(س)dx.

نظرية. أي خط مستمر على الفاصل الزمني [أ؛ب] وظيفةF(x) لديه مشتق عكسي في هذا الجزءو(خ).

نظرية. لوف 1 (خ) وف 2 (x) - مشتقان عكسيان مختلفان لنفس الوظيفةF(x) على المجموعة x، فإنهما يختلفان عن بعضهما البعض بحد ثابت، أي.ف 2 (س)=ف 1س)+C، حيث C ثابت.

التكامل غير المحدود وخصائصه.

تعريف. الكليةF(س)+من جميع وظائف المشتقات العكسيةF(x) في المجموعة X يسمى تكاملاً غير محدد ويشار إليه:

في الصيغة (1) F(س)dxمُسَمًّى تعبير التكامل,F(س) - وظيفة تكامل، س - متغير التكامل،أ ج – ثابت التكامل .

دعونا نفكر في خصائص التكامل غير المحدد التي تتبع تعريفه.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل، وتفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

3. يمكن إخراج العامل الثابت a (a≠0) كعلامة للتكامل غير المحدد:

4. التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال يساوي المجموع الجبري لتكاملات هذه الدوال:

5. لوF(x) – المشتق العكسي للدالةF(س)، ثم:

6 (ثبات صيغ التكامل). تحتفظ أي صيغة تكامل بشكلها إذا تم استبدال متغير التكامل بأي دالة قابلة للتفاضل لهذا المتغير:

أينu هي دالة قابلة للتفاضل.

جدول التكاملات غير المحددة.

هيا نعطي القواعد الأساسية لدمج الوظائف.

هيا نعطي جدول التكاملات الأساسية غير المحددة(لاحظ أنه هنا، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل، فإن الرسالة شيمكن تعيينه كمتغير مستقل (ش=س)ووظيفة المتغير المستقل (ش=ش(س)).)

يتم استدعاء التكاملات 1 - 17 مجدول.

يتم التحقق من بعض الصيغ المذكورة أعلاه في جدول التكاملات، والتي ليس لها نظير في جدول المشتقات، عن طريق اشتقاق أطرافها اليمنى.

تغيير المتغير والتكامل بالأجزاء في لا تكامل محدد.

التكامل بالاستبدال (الاستبدال المتغير). فليكن من الضروري حساب التكامل

نظرية. دع الوظيفةس = φ(t) محددة وقابلة للتفاضل على مجموعة معينة T ولتكن X هي مجموعة قيم هذه الدالة التي يتم تعريف الدالة عليهاF(س). ثم إذا كانت الوظيفة X على المجموعةF(

دالة المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

الحقيقة 1. التكامل هو الإجراء العكسي للتمايز، أي استعادة دالة من المشتق المعروف لهذه الدالة. وهكذا تم استعادة الوظيفة F(س) يسمى مشتق مضادللوظيفة F(س).

التعريف 1. الوظيفة F(س F(س) في فترة ما X، إذا لجميع القيم سمن هذه الفترة تتحقق المساواة F "(س)=F(س)، أي هذه الوظيفة F(س) هو مشتق من وظيفة المشتق العكسي F(س). .

على سبيل المثال، الدالة F(س) = خطيئة س هو مشتق عكسي للوظيفة F(س) = كوس س على خط الأعداد بأكمله، لأنه لأي قيمة لـ x (الخطيئة س)" = (كوس س) .

التعريف 2. التكامل غير المحدد للدالة F(س) هي مجموعة جميع مشتقاتها المضادة. في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين

∫

F(س)dx

أين هي العلامة ∫ تسمى علامة التكامل، الدالة F(س) - وظيفة التكامل، و F(س)dx - تعبير التكامل.

وهكذا إذا F(س) - بعض المشتقات المضادة ل F(س) ، الذي - التي

∫

F(س)dx = F(س) +ج

أين ج - ثابت تعسفي (ثابت).

لفهم معنى مجموعة المشتقات العكسية للدالة باعتبارها تكاملًا غير محدد، فإن القياس التالي مناسب. يجب أن يكون هناك باب (تقليدي باب خشبي). وظيفتها هي أن تكون "بابًا". ما هو الباب مصنوع من؟ مصنوع من الخشب. وهذا يعني أن مجموعة المشتقات العكسية للدالة "ليكون بابًا"، أي تكاملها غير المحدد، هي الدالة "ليكون شجرة + C"، حيث C ثابت، والذي يمكن في هذا السياق تشير، على سبيل المثال، إلى نوع الشجرة. فكما يصنع الباب من الخشب باستخدام بعض الأدوات، يتم "صنع" مشتقة دالة من دالة مشتقة عكسية باستخدام الصيغ التي تعلمناها أثناء دراسة المشتقة .

ثم يكون جدول وظائف الأشياء المشتركة والمشتقات العكسية المقابلة لها ("أن تكون بابًا" - "أن تكون شجرة"، "أن تكون ملعقة" - "أن تكون معدنًا"، وما إلى ذلك) مشابهًا لجدول الدوال الأساسية. التكاملات غير المحددة، والتي سيتم تقديمها أدناه. يسرد جدول التكاملات غير المحددة الوظائف الشائعة مع الإشارة إلى المشتقات العكسية التي "تُصنع" منها هذه الوظائف. في جزء من المسائل المتعلقة بإيجاد التكامل غير المحدد، يتم إعطاء التكاملات التي يمكن تكاملها مباشرة دون بذل الكثير من الجهد، أي باستخدام جدول التكاملات غير المحددة. في المسائل الأكثر تعقيدًا، يجب أولاً تحويل التكامل بحيث يمكن استخدام تكاملات الجدول.

الحقيقة 2. عند استعادة دالة كمشتق عكسي، يجب أن نأخذ في الاعتبار ثابتًا اعتباطيًا (ثابت) ج، ولكي لا تكتب قائمة من المشتقات العكسية بثوابت مختلفة من 1 إلى ما لا نهاية، عليك أن تكتب مجموعة من المشتقات العكسية ذات ثابت اختياري جمثلا هكذا: 5 س³+ج. لذلك، يتم تضمين ثابت تعسفي (ثابت) في التعبير عن المشتق العكسي، حيث يمكن أن يكون المشتق العكسي دالة، على سبيل المثال، 5 س³+4 أو 5 س³+3 وعند التفريق فإن 4 أو 3 أو أي ثابت آخر يذهب إلى الصفر.

دعونا نطرح مشكلة التكامل: لهذه الوظيفة F(س) العثور على مثل هذه الوظيفة F(س), الذي مشتقيساوي F(س).

مثال 1.أوجد مجموعة المشتقات العكسية للدالة

حل. بالنسبة لهذه الوظيفة، المشتق العكسي هو الوظيفة

وظيفة F(س) يسمى مشتق عكسي للوظيفة F(س)، إذا كان المشتق F(س) مساوي ل F(س) أو وهو نفس الشيء التفاضلي F(س) متساوي F(س) dx، أي.

(2)

وبالتالي، فإن الدالة هي مشتق عكسي للدالة. ومع ذلك، فهو ليس المشتق المضاد الوحيد لـ . كما أنها بمثابة وظائف

أين مع- ثابت تعسفي. ويمكن التحقق من ذلك عن طريق التمايز.

وبالتالي، إذا كان هناك مشتقة عكسية واحدة للدالة، فإن لها عددًا لا حصر له من المشتقات العكسية التي تختلف بحد ثابت. جميع المشتقات العكسية للدالة مكتوبة في النموذج أعلاه. هذا يتبع من النظرية التالية.

النظرية (البيان الرسمي للحقيقة 2).لو F(س) - المشتق العكسي للوظيفة F(س) في فترة ما X، ثم أي مشتق مضاد آخر لـ F(س) على نفس الفاصل الزمني يمكن تمثيله في النموذج F(س) + ج، أين مع- ثابت تعسفي.

في المثال التالي، ننتقل إلى جدول التكاملات، الذي سيتم ذكره في الفقرة 3، بعد خصائص التكامل غير المحدد. نقوم بذلك قبل قراءة الجدول بأكمله حتى يتضح جوهر ما سبق. وبعد الجدول والخصائص، سنستخدمها بالكامل أثناء التكامل.

مثال 2.ابحث عن مجموعات من وظائف المشتقات العكسية:

حل. نجد مجموعات من الدوال المشتقة العكسية التي "تُصنع" منها هذه الدوال. عند ذكر الصيغ من جدول التكاملات، في الوقت الحالي فقط اقبل وجود مثل هذه الصيغ هناك، وسوف ندرس جدول التكاملات غير المحددة نفسه بشكل أعمق قليلاً.

1) تطبيق الصيغة (7) من جدول التكاملات ن= 3، نحصل على

2) استخدام الصيغة (10) من جدول التكاملات ن= 1/3، لدينا

3) منذ

ثم حسب الصيغة (7) مع ن= -1/4 نجد

ليست الوظيفة نفسها مكتوبة تحت علامة التكامل F، ومنتجه بالتفاضل dx. يتم ذلك بشكل أساسي للإشارة إلى المتغير الذي يتم البحث عن المشتق العكسي به. على سبيل المثال،

, ;

هنا في كلتا الحالتين يكون التكامل مساويًا لـ لكن تكاملاته غير المحددة في الحالات قيد النظر تكون مختلفة. في الحالة الأولى، تعتبر هذه الوظيفة بمثابة دالة للمتغير سوفي الثانية - كوظيفة ض .

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بتكامل تلك الوظيفة.

المعنى الهندسي للتكامل غير المحدد

لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على منحنى ص = و (خ)ونحن نعلم بالفعل أن ظل الزاوية المماسية عند كل نقطة من نقاطها هو دالة معينة و (خ)حدود هذه النقطة.

وفقا للمعنى الهندسي للمشتق، ظل زاوية ميل المماس عند نقطة معينة من المنحنى ص = و (خ)يساوي قيمة المشتقة واو"(خ). لذلك نحن بحاجة إلى العثور على مثل هذه الوظيفة و(خ)، لأي منهم F"(x)=f(x). الوظيفة المطلوبة في المهمة و(خ)هو مشتق مضاد ل و (خ). لا يتم استيفاء شروط المشكلة بمنحنى واحد، بل بمجموعة من المنحنيات. ص = و (خ)- أحد هذه المنحنيات، ويمكن الحصول على أي منحنى آخر منه نقل موازيعلى طول المحور أوي.

دعنا نسمي الرسم البياني لوظيفة المشتق العكسي لـ و (خ)منحنى متكامل. لو F"(x)=f(x)، ثم الرسم البياني للوظيفة ص = و (خ)هناك منحنى متكامل.

الحقيقة 3. يتم تمثيل التكامل غير المحدد هندسيًا بواسطة عائلة جميع منحنيات التكامل ، كما في الصورة أدناه. يتم تحديد مسافة كل منحنى من أصل الإحداثيات بواسطة ثابت التكامل التعسفي ج.

خصائص التكامل غير المحدد

الحقيقة 4. النظرية 1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل، وتفاضله يساوي التكامل.

الحقيقة 5. النظرية 2. التكامل غير المحدد لتفاضل الوظيفة F(س) يساوي الدالة F(س) حتى مدة ثابتة ، أي.

(3)

توضح النظريات 1 و 2 أن التمايز والتكامل عمليتان عكسيتان.

الحقيقة 6. النظرية 3. يمكن إخراج العامل الثابت في التكامل من إشارة التكامل غير المحدد ، أي.