Integrale für Dummies: Lösung, Rechenregeln, Erklärung. Die einfachsten Eigenschaften von Integralen Unbestimmtes Integralkonzept und unbestimmte Eigenschaften

Die Hauptaufgabe der Differentialrechnung besteht darin, die Ableitung zu finden F'(X) oder Differential df=F'(X)dx Funktionen F(X). In der Integralrechnung wird das inverse Problem gelöst. Nach einer vorgegebenen Funktion F(X) müssen Sie eine solche Funktion finden F(X), Was F'(x)=F(X) oder dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Auf diese Weise, die Hauptaufgabe der Integralrechnung ist die Wiederherstellung der Funktion F(X) durch die bekannte Ableitung (Differential) dieser Funktion. Die Integralrechnung hat zahlreiche Anwendungen in der Geometrie, Mechanik, Physik und Technik. Es gibt allgemeine Methode Finden von Flächen, Volumina, Schwerpunkten usw.

Definition. FunktionF(x), , heißt Stammfunktion der FunktionF(x) auf der Menge X, wenn sie für jedes und differenzierbar istF'(x)=F(x) oderdF(x)=F(X)dx.

Satz. Jede durchgehende Linie im Intervall [A;b] FunktionF(x) hat eine Stammfunktion auf diesem SegmentF(x).

Satz. WennF 1 (x) undF 2 (x) – zwei verschiedene Stammfunktionen derselben FunktionF(x) auf der Menge x, dann unterscheiden sie sich durch einen konstanten Term voneinander, d.h.F 2 (x)=F 1x)+C, wobei C eine Konstante ist.

Unbestimmtes Integral, seine Eigenschaften.

Definition. GesamtheitF(x)+Von allen StammfunktionenF(x) auf der Menge X heißt unbestimmtes Integral und wird bezeichnet:

In Formel (1) F(X)dx angerufen Integrandenausdruck,F(x) – Integrandenfunktion, x – Integrationsvariable, A C – Integrationskonstante.

Betrachten wir die Eigenschaften bestimmtes Integral, ergibt sich aus seiner Definition.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

3. Als Vorzeichen des unbestimmten Integrals lässt sich der konstante Faktor a (a≠0) entnehmen:

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale dieser Funktionen:

5. WennF(x) – Stammfunktion der FunktionF(x), dann:

6 (Invarianz von Integrationsformeln). Jede Integrationsformel behält ihre Form, wenn die Integrationsvariable durch eine differenzierbare Funktion dieser Variablen ersetzt wird:

Wou ist eine differenzierbare Funktion.

Tabelle der unbestimmten Integrale.

Geben wir Grundregeln für die Integration von Funktionen.

Geben wir Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale.(Beachten Sie, dass hier, wie in der Differentialrechnung, der Buchstabe u kann als unabhängige Variable bezeichnet werden (u=X) und eine Funktion der unabhängigen Variablen (u=du(X)).)

Es werden die Integrale 1 – 17 aufgerufen tabellarisch.

Einige der oben genannten Formeln in der Integraltabelle, die kein Analogon in der Ableitungstabelle haben, werden durch Differenzieren ihrer rechten Seiten verifiziert.

Variablenänderung und partielle Integration im unbestimmten Integral.

Integration durch Substitution (Variablenersatz). Lassen Sie es notwendig sein, das Integral zu berechnen

Satz. Lassen Sie die Funktionx=φ(t) ist auf einer bestimmten Menge T definiert und differenzierbar und sei X die Wertemenge dieser Funktion, auf der die Funktion definiert istF(X). Dann wenn auf der Menge X die FunktionF(

Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals durchzuführen, um es auf eines der Elementarintegrale zu reduzieren und weiter zu berechnen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem ist a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration mithilfe der Variablenänderungsmethode, auf die im nächsten Abschnitt ausführlicher eingegangen wird.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Tabelle der Stammfunktionen verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und findet problemlos eine detaillierte Lösung für Ihr Integral.

Stammfunktion und unbestimmtes Integral.

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) im Intervall (a; b) ist eine Funktion F(x), so dass die Gleichheit für jedes x aus dem gegebenen Intervall gilt.

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die Ableitung der Konstante C gleich Null ist, dann ist die Gleichheit wahr . Somit hat die Funktion f(x) eine Menge von Stammfunktionen F(x)+C für eine beliebige Konstante C, und diese Stammfunktionen unterscheiden sich voneinander um einen beliebigen konstanten Wert.

Die gesamte Menge der Stammfunktionen der Funktion f(x) wird als unbestimmtes Integral dieser Funktion bezeichnet und bezeichnet .

Der Ausdruck heißt Integrand und f(x) heißt Integrand. Der Integrand stellt das Differential der Funktion f(x) dar.

Die Aktion, eine unbekannte Funktion angesichts ihres Differentials zu finden, wird aufgerufen unbestimmte Integration, weil das Ergebnis der Integration nicht eine Funktion F(x), sondern eine Menge ihrer Stammfunktionen F(x)+C ist.

Tabellenintegrale

Die einfachsten Eigenschaften von Integralen

1. Die Ableitung des Integrationsergebnisses ist gleich dem Integranden.

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe der Funktion selbst und einer beliebigen Konstante.

3. Der Koeffizient kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden.

4. Das unbestimmte Integral der Summe/Differenz von Funktionen ist gleich der Summe/Differenz der unbestimmten Integrale von Funktionen.

Zur Verdeutlichung werden Zwischengleichungen der ersten und zweiten Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben.

Um die dritte und vierte Eigenschaft zu beweisen, reicht es aus, die Ableitungen der rechten Seiten der Gleichungen zu finden:

Diese Ableitungen sind gleich den Integranden, was aufgrund der ersten Eigenschaft ein Beweis ist. Es wird auch in den letzten Übergängen verwendet.

Somit ist das Integrationsproblem das Gegenteil des Differenzierungsproblems, und zwischen diesen Problemen besteht ein sehr enger Zusammenhang:

Mit der ersten Eigenschaft kann die Integration überprüft werden. Um die Richtigkeit der durchgeführten Integration zu überprüfen, reicht es aus, die Ableitung des erhaltenen Ergebnisses zu berechnen. Wenn sich herausstellt, dass die durch Differenzierung erhaltene Funktion gleich dem Integranden ist, bedeutet dies, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde;

Die zweite Eigenschaft des unbestimmten Integrals ermöglicht es, seine Stammfunktion aus einem bekannten Differential einer Funktion zu finden. Die direkte Berechnung unbestimmter Integrale basiert auf dieser Eigenschaft.

1.4.Invarianz von Integrationsformen.

Invariante Integration ist eine Art der Integration für Funktionen, deren Argumente Elemente einer Gruppe oder Punkte eines homogenen Raums sind (jeder Punkt in einem solchen Raum kann durch eine bestimmte Aktion der Gruppe auf einen anderen übertragen werden).

Funktion f(x) reduziert sich auf die Berechnung des Integrals der Differentialform f.w, wobei

Eine explizite Formel für r(x) ist unten angegeben. Die Vereinbarungsbedingung hat die Form .

hier bedeutet Tg den Verschiebungsoperator auf X unter Verwendung von gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Sei X=G eine Topologie, eine Gruppe, die durch Linksverschiebungen auf sich selbst einwirkt. Ich und. existiert genau dann, wenn G lokal kompakt ist (insbesondere existiert I.I. auf unendlichdimensionalen Gruppen nicht). Für eine Teilmenge von I. und. Die charakteristische Funktion cA (gleich 1 auf A und 0 außerhalb von A) gibt das linke Xaar-Maß m(A) an. Die definierende Eigenschaft dieses Maßes ist seine Invarianz bei Linksverschiebungen: m(g-1A)=m(A) für alle gОG. Das linke Haar-Maß einer Gruppe ist bis zu einem positiven Skalarfaktor eindeutig definiert. Wenn das Haar-Maß m bekannt ist, dann I. und. Funktion f ist durch die Formel gegeben . Das richtige Haar-Maß hat ähnliche Eigenschaften. Es gibt einen kontinuierlichen Homomorphismus (Abbildung unter Beibehaltung der Gruppeneigenschaft) DG der Gruppe G in das Gruppenposit (in Bezug auf die Multiplikation). Zahlen für die

Dabei sind dmr und dmi die rechten und linken Haar-Maße. Die Funktion DG(g) wird aufgerufen Modul der Gruppe G. Wenn , dann heißt die Gruppe G. unimodular; In diesem Fall fallen die rechten und linken Haar-Maße zusammen. Kompakte, halbeinfache und nullpotente (insbesondere kommutative) Gruppen sind unimodular. Wenn G eine n-dimensionale Lie-Gruppe ist und q1,...,qn eine Basis im Raum linksinvarianter 1-Formen auf G ist, dann ist das linke Haar-Maß auf G durch die n-Form gegeben. Zur Berechnung in lokalen Koordinaten

Formen qi, Sie können jede Matrixrealisierung der Gruppe G verwenden: Die Matrix 1-Form g-1dg bleibt invariant und ihr Koeffizient. sind linksinvariante skalare 1-Formen, aus denen die erforderliche Basis ausgewählt wird. Beispielsweise ist die vollständige Matrixgruppe GL(n, R) unimodular und das Haar-Maß darauf ist durch die Form gegeben. Lassen X=G/H ist ein homogener Raum, für den die lokal kompakte Gruppe G eine Transformationsgruppe und die geschlossene Untergruppe H der Stabilisator eines bestimmten Punktes ist. Damit ein i.i. auf X existiert, ist es notwendig und ausreichend, dass für alle hОH die Gleichung DG(h)=DH(h) gilt. Dies gilt insbesondere dann, wenn H kompakt oder halbeinfach ist. Vollständige Theorie von I. und. existiert nicht auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Variablen ersetzen.

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Fakt 1. Integration ist die umgekehrte Aktion der Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion ist somit wiederhergestellt F(X) wird genannt Stammfunktion für Funktion F(X).

Definition 1. Funktion F(X F(X) in einem bestimmten Intervall X, wenn für alle Werte X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit F "(X)=F(X), also diese Funktion F(X) ist die Ableitung der Stammfunktion F(X). .

Zum Beispiel die Funktion F(X) = Sünde X ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = cos X auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde X)" = (cos X) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion F(X) ist die Menge aller seiner Stammfunktionen. In diesem Fall wird die Notation verwendet

∫

F(X)dx

Wo ist das Schild? ∫ nennt man das Integralzeichen, die Funktion F(X) – Integrandenfunktion und F(X)dx – Integrandenausdruck.

Also, wenn F(X) – eine Stammfunktion für F(X) , Das

∫

F(X)dx = F(X) +C

Wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angemessen. Lass es eine Tür geben (traditionell Holztür). Seine Funktion besteht darin, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Aus Holz gemacht. Das bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden der Funktion „eine Tür sein“, also ihr unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, was in diesem Zusammenhang möglich ist bezeichnen beispielsweise die Baumart. So wie eine Tür mit einigen Werkzeugen aus Holz hergestellt wird, wird mit Hilfe einer Stammfunktion eine Ableitung einer Funktion „erstellt“. Formeln, die wir beim Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ähnelt die Funktionstabelle allgemeiner Objekte und ihrer entsprechenden Stammfunktionen („eine Tür sein“ – „ein Baum sein“, „ein Löffel sein“ – „metall sein“ usw.) der Tabelle der Grundfunktionen unbestimmte Integrale, die weiter unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet häufig vorkommende Funktionen mit Angabe der Stammfunktionen auf, aus denen diese Funktionen „erstellt“ sind. In einem Teil der Probleme zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden Integranden angegeben, die ohne großen Aufwand direkt, also über die Tabelle der unbestimmten Integrale, integriert werden können. Bei komplexeren Problemen muss zunächst der Integrand transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Fakt 2. Bei der Wiederherstellung einer Funktion als Stammfunktion müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen. C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Menge von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante schreiben C, zum Beispiel so: 5 X³+C. Im Ausdruck der Stammfunktion ist also eine beliebige Konstante (Konstante) enthalten, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, zum Beispiel 5 X³+4 oder 5 X³+3 und bei der Differenzierung gehen 4 oder 3 oder jede andere Konstante auf Null.

Stellen wir das Integrationsproblem: für diese Funktion F(X) Finde eine solche Funktion F(X), deren Ableitung gleich F(X).

Beispiel 1. Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(X) heißt Stammfunktion der Funktion F(X), wenn die Ableitung F(X) ist gleich F(X) oder, was dasselbe ist, Differential F(X) ist gleich F(X) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion eine Stammfunktion der Funktion. Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie dienen auch als Funktionen

Wo MIT- Willkürliche Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie unendlich viele Stammfunktionen, die sich um einen konstanten Term unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in der obigen Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Satz (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn F(X) – Stammfunktion für die Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für F(X) im gleichen Intervall können in der Form dargestellt werden F(X) + C, Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Im nächsten Beispiel wenden wir uns der Tabelle der Integrale zu, die in Absatz 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir die gesamte Tabelle lesen, damit das Wesentliche des oben Gesagten klar wird. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2. Finden Sie Mengen von Stammfunktionen:

Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen „gemacht“ werden. Wenn wir Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren wir vorerst einfach, dass es dort solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale selbst etwas genauer studieren.

1) Anwendung der Formel (7) aus der Integraltabelle für N= 3, wir erhalten

2) Verwendung der Formel (10) aus der Integraltabelle für N= 1/3, wir haben

3) Seitdem

dann nach Formel (7) mit N= -1/4 finden wir

Unter dem Integralzeichen wird nicht die Funktion selbst geschrieben. F und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht in erster Linie, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale in den betrachteten Fällen erweisen sich als unterschiedlich. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion der Variablen betrachtet X und im zweiten - als Funktion von z .

Der Prozess, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Angenommen, wir müssen eine Kurve finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass der Tangens des Tangentenwinkels an jedem seiner Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Tangens der Neigungswinkel der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert der Ableitung F"(x). Wir müssen also eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). In der Aufgabe erforderliche Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Die Bedingungen des Problems werden nicht von einer Kurve, sondern von einer Kurvenschar erfüllt. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus erhalten werden Parallelübertragung entlang der Achse Oy.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) Integralkurve. Wenn F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) Es gibt eine Integralkurve.

Fakt 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt , wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Koordinatenursprung wird durch eine beliebige Integrationskonstante bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Fakt 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Unbestimmtes Integral des Differentials einer Funktion F(X) ist gleich der Funktion F(X) bis zu einem konstanten Begriff , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differenzierung und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Fakt 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden , d.h.

In diesem Artikel werden wir die Haupteigenschaften des bestimmten Integrals auflisten. Die meisten dieser Eigenschaften werden auf der Grundlage der Konzepte des bestimmten Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen.

Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt sehr oft anhand der ersten fünf Eigenschaften, daher werden wir bei Bedarf auf diese zurückgreifen. Die übrigen Eigenschaften des bestimmten Integrals werden hauptsächlich zur Auswertung verschiedener Ausdrücke verwendet.

Bevor es weitergeht Grundeigenschaften des bestimmten Integrals, stimmen wir zu, dass a nicht größer als b ist.

Für die Funktion y = f(x), definiert bei x = a, ist die Gleichheit wahr.

Das heißt, der Wert eines bestimmten Integrals mit denselben Integrationsgrenzen ist gleich Null. Diese Eigenschaft ist eine Folge der Definition des Riemannschen Integrals, da in diesem Fall jede Integralsumme für jede Teilung des Intervalls und jede Punktwahl gleich Null ist, da daher der Grenzwert der Integralsummen Null ist.

Für eine in einem Intervall integrierbare Funktion gilt: .

Mit anderen Worten: Wenn die Ober- und Untergrenzen der Integration ihre Position ändern, ändert sich der Wert des bestimmten Integrals ins Gegenteil. Diese Eigenschaft eines bestimmten Integrals folgt auch aus dem Konzept des Riemannschen Integrals, lediglich die Nummerierung der Teilung des Segments sollte am Punkt x = b beginnen.

für Funktionen, die in einem Intervall y = f(x) und y = g(x) integrierbar sind.

Nachweisen.

Schreiben wir die Integralsumme der Funktion auf für eine gegebene Teilung eines Segments und eine gegebene Auswahl an Punkten:

Dabei sind und die Integralsummen der Funktionen y = f(x) bzw. y = g(x) für eine gegebene Partition des Segments.

An die Grenze gehen bei Wir erhalten, dass dies nach der Definition des Riemann-Integrals äquivalent zur Aussage der zu beweisenden Eigenschaft ist.

Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen des bestimmten Integrals entnommen werden. Das heißt, für eine Funktion y = f(x), die in einem Intervall und einer beliebigen Zahl k integrierbar ist, gilt die folgende Gleichheit: .

Der Beweis dieser Eigenschaft des bestimmten Integrals ist dem vorherigen absolut ähnlich:


Die Funktion y = f(x) sei im Intervall X integrierbar und und dann .

Diese Eigenschaft gilt sowohl für , als auch oder .

Der Beweis kann anhand der bisherigen Eigenschaften des bestimmten Integrals erfolgen.

Wenn eine Funktion in einem Intervall integrierbar ist, dann ist sie in jedem internen Intervall integrierbar.

Der Beweis basiert auf der Eigenschaft von Darboux-Summen: Wenn neue Punkte zu einer bestehenden Partition eines Segments hinzugefügt werden, verringert sich die untere Darboux-Summe nicht und die obere erhöht sich nicht.

Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar ist, dann .

Diese Eigenschaft wird durch die Definition des Riemannschen Integrals bewiesen: Jede Integralsumme für beliebige beliebige Teilungspunkte des Segments und Punkte bei Will ist nicht negativ (nicht positiv).

Folge.

Für auf einem Intervall integrierbare Funktionen y = f(x) und y = g(x) gelten folgende Ungleichungen:


Diese Aussage bedeutet, dass die Integration von Ungleichungen zulässig ist. Wir werden dieses Korollar verwenden, um die folgenden Eigenschaften zu beweisen.

Sei die Funktion y = f(x) im Intervall integrierbar, dann gilt die Ungleichung .

Nachweisen.

Es ist klar, dass . In der vorherigen Eigenschaft haben wir herausgefunden, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann, daher ist sie wahr . Diese doppelte Ungleichung kann geschrieben werden als .

Dann seien die Funktionen y = f(x) und y = g(x) auf dem Intervall und für jeden Wert des Arguments integrierbar , Wo Und .

Der Beweis erfolgt analog. Da m und M die kleinsten und sind Höchster Wert Funktion y = f(x) auf dem Segment, dann . Doppelte Ungleichung multiplizieren mit nichtnegative Funktion y = g(x) führt uns zur folgenden doppelten Ungleichung. Wenn wir es über das Intervall integrieren, gelangen wir zu der zu beweisenden Aussage.

Folge.

Wenn wir g(x) = 1 annehmen, dann nimmt die Ungleichung die Form an .

Erste Durchschnittsformel.

Die Funktion y = f(x) sei auf dem Intervall integrierbar, und , dann gibt es eine solche Zahl .

Folge.

Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall stetig ist, dann gibt es eine solche Zahl .

Die erste Durchschnittswertformel in verallgemeinerter Form.

Die Funktionen y = f(x) und y = g(x) seien auf dem Intervall integrierbar, und und g(x) > 0 für jeden Wert des Arguments. Dann gibt es eine solche Zahl .

Zweite Durchschnittsformel.

Wenn auf einem Intervall die Funktion y = f(x) integrierbar und y = g(x) monoton ist, dann existiert eine Zahl mit der Gleichheit .