Wie nennt man eine Zahlensammlung? Ein Zahlensystem ist eine Reihe von Zahlen und Regeln zur Bezeichnung von Zahlen. Es gibt Informationssysteme

Grundbegriffe von Zahlensystemen

Ein Zahlensystem ist eine Reihe von Regeln und Techniken zum Schreiben von Zahlen mithilfe einer Reihe digitaler Zeichen. Die Anzahl der Stellen, die zum Schreiben einer Zahl in einem System erforderlich sind, wird als Basis des Zahlensystems bezeichnet. Die Basis des Systems steht im Index auf der rechten Seite der Zahl: ; ; usw.

Es gibt zwei Arten von Zahlensystemen:

positionell, wenn der Wert jeder Ziffer einer Zahl durch ihre Position im Zahlendatensatz bestimmt wird;

nicht-positional, wenn der Wert einer Ziffer in einer Zahl nicht von ihrer Position in der Notation der Zahl abhängt.

Ein Beispiel für ein nicht-positionelles Zahlensystem ist das römische: Zahlen IX, IV, XV usw. Ein Beispiel für ein Positionszahlensystem ist das täglich verwendete Dezimalsystem.

Jede ganze Zahl im Positionssystem kann in Polynomform geschrieben werden:

wobei S die Basis des Zahlensystems ist;

Ziffern einer Zahl, geschrieben in einem bestimmten Zahlensystem;

n ist die Anzahl der Ziffern der Zahl.

Beispiel. Nummer wird in Polynomform wie folgt geschrieben:

Arten von Zahlensystemen

Das römische Zahlensystem ist ein Nichtpositionssystem. Zum Schreiben von Zahlen werden Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendet. In diesem Fall bedeutet der Buchstabe I immer eins, der Buchstabe V bedeutet fünf, X bedeutet zehn, L bedeutet fünfzig, C bedeutet einhundert, D bedeutet fünfhundert, M bedeutet tausend usw. Beispielsweise wird die Zahl 264 als CCLXIV geschrieben. Beim Schreiben von Zahlen im römischen Zahlensystem ist der Wert einer Zahl die algebraische Summe der darin enthaltenen Ziffern. In diesem Fall folgen die Ziffern im Zahlensatz in der Regel in absteigender Reihenfolge ihrer Werte und es dürfen nicht mehr als drei nebeneinander geschrieben werden. identische Zahlen. Wenn auf eine Ziffer mit einem größeren Wert eine Ziffer mit einem kleineren Wert folgt, ist ihr Beitrag zum Wert der Zahl als Ganzes negativ. Typische Beispiele zur Veranschaulichung Allgemeine Regeln Aufzeichnungen von Zahlen im römischen Zahlensystem sind in der Tabelle aufgeführt.

Tabelle 2. Zahlen im römischen Zahlensystem schreiben

Der Nachteil des römischen Systems ist das Fehlen formaler Regeln für die Schreibweise von Zahlen und dementsprechend für Rechenoperationen mit mehrstelligen Zahlen. Aufgrund seiner Unbequemlichkeit und großen Komplexität wird das römische Zahlensystem derzeit dort verwendet, wo es wirklich praktisch ist: in der Literatur (Kapitelnummerierung), bei der Gestaltung von Dokumenten (Passserien, Wertpapiere usw.), zu dekorativen Zwecken auf einem Uhrenzifferblatt und in einer Reihe anderer Fälle.

Das dezimale Zahlensystem ist derzeit das bekannteste und am häufigsten verwendete. Die Erfindung des dezimalen Zahlensystems ist eine der wichtigsten Errungenschaften des menschlichen Denkens. Ohne sie könnte moderne Technologie kaum existieren, geschweige denn entstehen. Der Grund, warum sich das dezimale Zahlensystem allgemein durchgesetzt hat, ist keineswegs mathematischer Natur. Menschen sind es gewohnt, im dezimalen Zahlensystem zu zählen, weil sie 10 Finger an ihren Händen haben.

Das alte Bild der Dezimalziffern (Abb. 1) ist kein Zufall: Jede Ziffer repräsentiert eine Zahl durch die Anzahl der darin enthaltenen Winkel. Zum Beispiel 0 – keine Ecken, 1 – eine Ecke, 2 – zwei Ecken usw. Die Schreibweise von Dezimalzahlen hat erhebliche Veränderungen erfahren. Die von uns verwendete Form wurde im 16. Jahrhundert eingeführt.

Das Dezimalsystem tauchte erstmals um das 6. Jahrhundert n. Chr. in Indien auf. Die indische Nummerierung verwendete neun numerische Zeichen und eine Null, um eine leere Position anzuzeigen. In frühen indischen Manuskripten, die uns überliefert sind, wurden Zahlen in umgekehrter Reihenfolge geschrieben – die bedeutendste Zahl stand rechts. Aber es wurde bald zur Regel, eine solche Zahl auf der linken Seite zu platzieren. Besonderer Wert wurde auf das Nullzeichen gelegt, das für das Positionsschreibsystem eingeführt wurde. Die indische Nummerierung, einschließlich der Null, ist bis heute erhalten geblieben. In Europa verbreiteten sich hinduistische Methoden der Dezimalarithmetik zu Beginn des 13. Jahrhunderts. dank der Arbeit des italienischen Mathematikers Leonardo von Pisa (Fibonacci). Die Europäer übernahmen das indische Zahlensystem von den Arabern und nannten es Arabisch. Diese historische Fehlbezeichnung besteht bis heute fort.

Das Dezimalsystem verwendet zehn Ziffern – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 – sowie die Symbole „+“ und „–“, um das Vorzeichen einer Zahl anzugeben, und a Komma oder Punkt, um die Ganzzahl- und Dezimalzahlen zu trennen.

Computer verwenden ein binäres Zahlensystem, dessen Basis die Zahl 2 ist. Um Zahlen in diesem System zu schreiben, werden nur zwei Ziffern verwendet – 0 und 1. Entgegen der weit verbreiteten falschen Vorstellung wurde das binäre Zahlensystem nicht von Computerdesignern erfunden, sondern von Mathematiker und Philosophen lange vor dem Aufkommen von Computern, im 17.-19. Jahrhundert. Die erste veröffentlichte Diskussion des binären Zahlensystems stammt vom spanischen Priester Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Allgemeine Aufmerksamkeit für dieses System erregte ein 1703 veröffentlichter Artikel des deutschen Mathematikers Gottfried Wilhelm Leibniz. Darin wurden die binären Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erläutert. Leibniz empfahl den Einsatz dieses Systems nicht für praktische Berechnungen, sondern betonte seine Bedeutung für die theoretische Forschung. Mit der Zeit wird das binäre Zahlensystem immer bekannter und weiterentwickelt.

Die Wahl eines binären Systems für den Einsatz in der Computertechnik erklärt sich aus der Tatsache, dass die elektronischen Elemente – Auslöser, aus denen Computerchips bestehen – nur in zwei Betriebszuständen sein können.

Mit dem binären Kodierungssystem können Sie beliebige Daten und Kenntnisse erfassen. Dies ist leicht zu verstehen, wenn wir uns an das Prinzip der Verschlüsselung und Übertragung von Informationen mithilfe des Morsecodes erinnern. Ein Telegrafist kann mit nur zwei Symbolen dieses Alphabets – Punkten und Strichen – fast jeden Text übertragen.

Das Binärsystem ist für einen Computer praktisch, für den Menschen jedoch unbequem: Die Zahlen sind lang und schwer zu schreiben und zu merken. Natürlich können Sie die Zahl in das Dezimalsystem umwandeln und in dieser Form schreiben und sie dann bei Bedarf wieder umrechnen, aber alle diese Übersetzungen sind arbeitsintensiv. Daher werden binäre Zahlensysteme verwendet – oktal und hexadezimal. Um Zahlen in diesen Systemen zu schreiben, sind 8 bzw. 16 Ziffern erforderlich. Im Hexadezimalsystem sind die ersten 10 Ziffern üblich, danach werden lateinische Großbuchstaben verwendet. Die hexadezimale Ziffer A entspricht der Dezimalzahl 10, die hexadezimale Ziffer B der Dezimalzahl 11 usw. Die Verwendung dieser Systeme erklärt sich aus der Tatsache, dass der Übergang von der binären Notation zur Schreibweise einer Zahl in einem dieser Systeme sehr einfach ist. Nachfolgend finden Sie eine Entsprechungstabelle zwischen Zahlen, die in verschiedenen Systemen geschrieben sind.

Tabelle 3. Entsprechung der eingeschriebenen Zahlen verschiedene Systeme Koppelnavigation

Regeln zum Umrechnen von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Das Umrechnen von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes ist ein wichtiger Teil der maschinellen Arithmetik. Betrachten wir die Grundregeln der Übersetzung.

1. Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist es notwendig, sie in Form eines Polynoms zu schreiben, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz von 2 besteht, und sie nach den Regeln der Dezimalzahl zu berechnen Arithmetik:

Beim Übersetzen ist es zweckmäßig, die Zweierpotenztabelle zu verwenden:

Tabelle 4. Potenzen der Zahl 2

Beispiel. Wandeln Sie die Zahl in das Dezimalzahlensystem um.

2. Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man sie als Polynom aufschreiben, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 8 besteht, und sie nach den Regeln der Dezimalzahl berechnen Arithmetik:

Beim Übersetzen ist es praktisch, die Achterpotenzentabelle zu verwenden:

Tabelle 5. Potenzen der Zahl 8

Schon in der Steinzeit lernten die Menschen das Zählen. Zuerst unterschieden die Menschen einfach, ob sich ein oder mehrere Gegenstände vor ihnen befanden. Nach einiger Zeit tauchte ein Wort auf, das zwei Gegenstände bezeichnete. Und einige Stämme Polynesiens und Australiens hatten bis vor Kurzem nur zwei Ziffern: „eins, zwei“. Und alle anderen Zahlen wurden als Kombination dieser beiden Ziffern benannt. Zum Beispiel die Zahl vier: zwei, zwei“, drei: eins, zwei“, sechs: zwei, zwei, zwei.“ Und als die Menschen das Zählen lernten, entwickelten sie natürlich das Bedürfnis, diese Zahlen aufzuschreiben. Funde von Archäologen an Stätten von Naturvölkern beweisen, dass die Anzahl der Objekte zunächst durch eine gleiche Anzahl einiger Symbole angezeigt wurde: Linien, Kerben, Punkte. Dieses System zum Schreiben von Zahlen wird UNIT (UNARY) genannt, weil. Jede darin enthaltene Zahl wird durch die Wiederholung desselben Zeichens gebildet, das Eins symbolisiert.

Finger sind das erste Rechengerät, da auf den Fingern die Anzahl von Objekten oder Jahre angezeigt werden kann. So finden sich auch heute noch Anklänge an das Einheitszahlensystem. Um beispielsweise herauszufinden, welchen Kurs ein Kadett einer Militärschule studiert, müssen Sie die Anzahl der auf seinem Ärmel aufgenähten Streifen zählen. Auch Kinder nutzen dieses System und zeigen ihr Alter an ihren Fingern an. Ein einzelnes System ist nicht das Beste bequeme Weise Zahlen aufzeichnen. Das Aufzeichnen großer Mengen auf diese Weise ist mühsam und die Aufzeichnungen selbst sind sehr lang. Mit der Zeit andere, mehr wirtschaftliche Systeme Abrechnung.

Um das dritte Jahrtausend v. Chr. erschien in Ägypten eine der ältesten Nummerierungen, die uns in alten Papyri und Zeichnungen überliefert sind – ÄGYPTISCH. Um Zahlen aufzuzeichnen, verwendeten die Ägypter spezielle Symbole – HIEROGLYPHEN. Hieroglyphen wurden sowohl zum Schreiben als auch zur Kennzeichnung von Schlüsselzeichen verwendet. Zunächst waren es Symbole komplexe Sicht, und mit der Zeit fanden sie eine einfachere Lösung.

Alle anderen Zahlen wurden durch Addition bestimmter Hieroglyphen gebildet und die Gesamtzahl wurde durch die Summe der Werte aller Symbole bestimmt. Die Ägypter praktizierten das Addieren von Zahlen untereinander, also die ADDITION (durch Hinzufügen eines zweiten Begriffs zur bestehenden Hieroglyphenzahl der Hieroglyphe). Darüber hinaus hing die Größe der Zahl nicht von der Reihenfolge ab, in der sich ihre konstituierenden Zeichen auf Papyrus befanden, also vom NICHT-POSITIONALEN ZAHLENSYSTEM. (Während sie hintereinander schrieben und lasen). Die Zeichen könnten geschrieben werden: Von oben nach unten, von rechts nach links oder gemischt. Wenn die Zahl abnahm, wurde beim schnellen Zählen das entsprechende Zeichen durchgestrichen oder gelöscht. Beispielsweise steht X L D M für: Zweitausend, Zweihundert, fünf Zehner und drei Einheiten.

Die Zahl 2 und ihre Kräfte spielten bei den Ägyptern eine besondere Rolle. Sie führten Multiplikationen und Divisionen durch, indem sie nacheinander Zahlen verdoppelten und addierten. Solche Berechnungen sahen ziemlich umständlich aus. Um beispielsweise 15 mit 24 zu multiplizieren, wurde die folgende Tabelle zusammengestellt: Hier werden die Ergebnisse der Verdoppelung eins in die linke Spalte und die Zahl 24 in die rechte Spalte geschrieben. Die Einträge endeten erst, als die Erstellung möglich war ein Multiplikator (1 * 2) aus den Zahlen in der linken Spalte 48 4(2*2) 96 8(4*2) (8*2) =15 Danach wurden die Zahlen aus der rechten Spalte addiert =360

Beim Dividieren verdoppelten die Ägypter immer wieder den Divisor in der rechten Spalte und dementsprechend 1 in der linken Spalte, bis die Zahlen in der rechten Spalte nicht mehr als der Dividend blieben. Als nächstes versuchten sie, aus den Zahlen der rechten Spalte einen Dividenden zu bilden, und wenn dies gelang, dann ergab die Summe der entsprechenden Zahlen in der linken Spalte den gewünschten Quotienten. Wenn der Dividend nicht gleichmäßig durch den Divisor teilbar war, wurden der Quotient und der Rest gebildet. Um beispielsweise 541 durch 12 zu dividieren, mussten Sie eine Tabelle erstellen:

Die Idee, Zahlen unterschiedliche Werte zuzuordnen, je nachdem, welche Position sie im Zahlenverzeichnis einnehmen, tauchte erstmals im antiken Babylon etwa im dritten Jahrtausend v. Chr. auf. Bis heute sind viele Tontafeln aus dem ANTIKE BABYLON erhalten geblieben, auf denen sie aufgeklärt wurden die schwierigsten Aufgaben B. Wurzeln berechnen, das Volumen einer Pyramide ermitteln usw. Um Zahlen zu schreiben, verwendeten die Babylonier nur zwei Zeichen: einen vertikalen Keil (Einer) und einen horizontalen Keil (Zehner). Alle Zahlen von 1 bis 59 wurden mit diesen Zeichen geschrieben, wie im üblichen Hieroglyphensystem. Beispiel:

Die alphabetische Nummerierung wurde auch von den süd- und ostslawischen Völkern verwendet. Bei einigen slawischen Völkern wurden die Zahlenwerte der Buchstaben der Reihe nach festgelegt Slawisches Alphabet Für andere (einschließlich Russen) spielten nicht alle Buchstaben des slawischen Alphabets die Rolle der Zahlen, sondern nur diejenigen, die im griechischen Alphabet vorhanden waren. Über dem Buchstaben, der die Zahl angibt, wurde ein spezielles „TITLO“-Symbol platziert. Gleichzeitig erhöhten sich die Zahlenwerte der Buchstaben in der gleichen Reihenfolge wie die Buchstaben im griechischen Alphabet. (Die Reihenfolge der Buchstaben des slawischen Alphabets war etwas anders) Die süd- und ostslawischen Völker verwendeten ebenfalls alphabetische Nummerierung. Bei einigen slawischen Völkern wurden die Zahlenwerte der Buchstaben in der Reihenfolge des slawischen Alphabets festgelegt, während bei anderen (einschließlich der Russen) nicht alle Buchstaben des slawischen Alphabets die Rolle der Zahlen spielten, sondern nur diese die im griechischen Alphabet vorhanden waren. Über dem Buchstaben, der die Zahl angibt, wurde ein spezielles „TITLO“-Symbol platziert. Gleichzeitig erhöhten sich die Zahlenwerte der Buchstaben in der gleichen Reihenfolge wie die Buchstaben im griechischen Alphabet. (Die Reihenfolge der Buchstaben des slawischen Alphabets war etwas anders) In Russland blieb die slawische Nummerierung bis zum Ende des 17. Jahrhunderts erhalten. Unter Peter dem Großen setzte sich die sogenannte ARABISCHE NUMMERATION durch und blieb nur in liturgischen Büchern erhalten. In Russland blieb die slawische Numerierung bis zum Ende des 17. Jahrhunderts erhalten. Unter Peter dem Großen setzte sich die sogenannte ARABISCHE NUMMERATION durch und blieb nur in liturgischen Büchern erhalten.

Einige Buchstaben werden als Zahlen verwendet. I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Die Bedeutung einer Ziffer hängt nicht von ihrer Position in der Zahl ab. Beispielsweise kommt in der Zahl XXX die Ziffer Differenz der Zahlen. Liegt die kleinere Zahl links von der größeren, wird sie subtrahiert; liegt sie rechts, wird sie addiert. Zum Beispiel: 1998=MCMXCVIII=1000+()+()

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Hieroglyphische und alphabetische Zahlensysteme haben einen wesentlichen Nachteil: Es war sehr schwierig, in ihnen arithmetische Operationen durchzuführen. In einem Positionszahlensystem hängt der quantitative Wert einer Ziffer von ihrer Position in der Zahl ab. Die Position der Ziffer wird Ziffer genannt. Die Ziffer der Zahl nimmt von rechts nach links zu. Am gebräuchlichsten sind derzeit dezimale, binäre, oktale und hexadezimale Positionszahlensysteme. In einem Positionszahlensystem ist die Basis des Systems gleich der Anzahl der von ihm verwendeten Ziffern und bestimmt, wie oft sich die Werte der Ziffern benachbarter Ziffern von Zahlen unterscheiden. Die Hauptvorteile jedes Positionszahlensystems sind die einfache Durchführung arithmetischer Operationen und die begrenzte Anzahl von Symbolen, die zum Schreiben beliebiger Zahlen erforderlich sind.

Mit diesen Worten bewertete der französische Mathematiker Pierre Simon Laplace () die „ÖFFNUNG“ des Positionszahlensystems: „Die Idee, alle Zahlen mit wenigen Zeichen auszudrücken, ihnen eine Bedeutung in der Form und auch in der Form zu geben.“ Ort, ist so einfach, dass es gerade wegen dieser Einfachheit schwierig ist, zu erkennen, wie großartig sie ist ...“

Ihre weitverbreitete Verwendung in der Vergangenheit wird deutlich durch die Bezeichnungen von Ziffern in vielen Sprachen sowie durch die Methoden zum Zählen von Zeit und Geld und durch die Beziehung zwischen bestimmten Maßeinheiten, die in einer Reihe von Ländern erhalten geblieben sind. Ein Jahr besteht aus 12 Monaten und ein halber Tag besteht aus 12 Stunden. Im Russischen wird oft in Zehnern gezählt, etwas seltener in Brutto (144 = 12 2), aber früher wurde auch das Wort für 1728 = 12 3 verwendet. Englische Sprache Es gibt spezielle (und nicht nach der allgemeinen Regel gebildete) Wörter elf (11) und zwölf (12). Das englische Pfund ist in 12 Schilling unterteilt.

Im Jahr 595 (bereits n. Chr.) tauchte in Indien erstmals das heute allen bekannte Dezimalzahlensystem auf. (Dank der Inder, was würden wir heute ohne es tun?) Der berühmte persische Mathematiker Al-Khwarizmi veröffentlichte ein Lehrbuch, in dem er die Grundlagen des hinduistischen Dezimalsystems darlegte. Nach seiner Übersetzung ins Lateinische und der Veröffentlichung des Buches von Leonardo Pisano (Fibonacci) wurde dieses System den Europäern zugänglich.

Derzeit ist es das am häufigsten verwendete Zahlensystem in der Informatik, Computertechnik und verwandten Branchen. Verwendet zwei Ziffern – 0 und 1 – sowie die Symbole „+“ und „–“, um das Vorzeichen einer Zahl anzugeben, und ein Komma (Punkt), um die ganzzahligen und gebrochenen Teile zu trennen.

Eine Zahl ist ein quantitatives Merkmal von etwas. Zunächst wurden Zahlen durch Bindestriche angezeigt. Aber das ist unbequem: Versuchen Sie, zweihundertfünfundfünfzig Zeilen genau auf unliniertes Papier zu schreiben. Das ist es! Glücklicherweise hat Indien ein Dezimalzahlensystem entwickelt, mit dem Sie jede natürliche Zahl mit nur zehn Ziffern schreiben können!

Woraus besteht eine Zahl?

Um die Zahl 255 (zweihundertfünfundfünfzig) zu schreiben, benötigen Sie nur zwei Ziffern: „2“ und „5“. Die Zahl „5“ wird zweimal verwendet. Die erste rechte Ziffer in der Zahl gibt die Anzahl der Einer (fünf Zeilen) an, die zweite die Anzahl der Zehner (fünf mal zehn Zeilen), die dritte die Anzahl der Hunderter (zwei mal einhundert Zeilen) und die vierte die Anzahl Tausender usw.

255 (Zweihundertfünfundfünfzig)

Zahlen bestehen aus mehr als nur Ziffern. Außerdem werden beispielsweise Minus- oder Kommazeichen verwendet, um den Nachkommateil zu trennen.

Ganze Zahlen und Dezimalzahlen lesen und aussprechen

Nach zwanzig haben Zahlen einen zusammengesetzten Namen.

Die Zahl wird dreistellig mit der entsprechenden Klasse ausgesprochen. Es können sehr große Zahlen geäußert werden.

256 (Zweihundertsechsundfünfzig) 256.000 (Zweihundertsechsundfünfzig tausend) 256 256 (Zweihundertsechsundfünfzig tausend zweihundertsechsundfünfzig) 2 256 256 (Zwei Million zweihundertsechsundfünfzig tausend zweihundertsechsundfünfzig)

Wird in Dezimalzahlen ausgesprochen

1. Zahl in Dezimalpunkt umwandeln
2. das Wort „ganz“ oder „ganz“ (bedeutet „ganze Einheit“),
3. Zahl nach dem Komma,
4. Ziffer der Ziffer ganz rechts (bedeutet „Teil von Eins“).

In unendlichen periodischen Dezimalbrüchen wird es ausgesprochen

1. Zahl in Dezimalpunkt umwandeln
2. das Wort „ganz“ oder „ganz“,
3. Zahl nach dem Komma vor dem Punkt,
4. Ziffer der Ziffer ganz rechts vor dem Punkt,
5. das Wort „und“
6. Periodennummer,
7. das Wort „in der Periode“

Klassisches Schreiben von Zahlen in römischen Ziffern

Vor den arabischen Ziffern wurden römische Ziffern verwendet. Um beim Schreiben von Zeilen nicht den Überblick zu verlieren, wurde zunächst jede fünfte und dann jede zehnte Zeile hervorgehoben. Im Laufe der Zeit wurde der Eintrag „| | | | V | | | | X | | | | V | | | | X | | | | V |» auf „XXVI“ verringert.

Römische Ziffern mit einem höheren Wert werden links von denen mit einem niedrigeren Wert nummeriert. Ihre Werte addieren sich (VI = 5 + 1 = 6). Die Zahlen „V“, „L“, „D“ werden nicht wiederholt.

Ausnahmen: seit dem 19. Jahrhundert die Kombinationen „IV“, „IX“, „XL“, „XC“, „CD“, „CM“. Um zu vermeiden, dass sich eine Ziffer viermal wiederholt (falsch: „IIII“), steht bei ihnen die Ziffer mit dem größeren Wert rechts von der Ziffer mit dem kleineren Wert und von Größerer Wert der kleinere wird subtrahiert (IV = 5 - 1 = 4).

Was sind Zahlen (Schullehrplan)

Ein Zahlensystem (SS) ist eine Reihe digitaler Zeichen und Regeln für deren Aufzeichnung, die zur eindeutigen Darstellung von Zahlen dienen. Es gibt positionelle und nicht-positionelle Zahlensysteme.

In nicht-positionalen Zahlensystemen hängt die Bedeutung jeder Ziffer nicht von ihrer Position in der Zahl ab. Derzeit werden nichtpositionale Zahlensysteme selten verwendet und hauptsächlich für Nummerierungszwecke verwendet.

Das nicht-positionelle Zahlensystem ist das römische System. Folgende Zahlen werden verwendet:

Dezimalzahlen: 1 5 10 50 100 500 1000 usw.;

Römische Ziffern: I V X L C D M usw.

Die Dezimalzahl 32 wird im römischen Zahlensystem wie folgt dargestellt:

XXXII = X+X+X+I+I=32,

das heißt, es werden mehrere nebeneinander stehende gleiche Zahlen aufsummiert. Liegen zwei unterschiedliche Zahlen nebeneinander, dann können diese beispielsweise entweder addiert oder subtrahiert werden

XXVI = X + X + V + I = 26 und IX = X – I = 9.

Rechenoperationen mit Zahlen in nicht-positionellen Systemen sind schwierig.

In Computern werden überwiegend Positionszahlensysteme verwendet, bei denen der Wert jeder Ziffer streng von ihrer Position in der Zahl abhängt.

Die Basis eines Zahlensystems ist die Anzahl der verschiedenen Ziffern, die in einem bestimmten Positionszahlensystem verwendet werden. Jeder kennt seit seiner Kindheit das dezimale Zahlensystem, das zehn Ziffern verwendet.

Das dezimale Zahlensystem ist nicht das einzige Positionssystem. Positionszahlensysteme mit beliebiger ganzzahliger Basis sind möglich. Beispiele für Zahlensysteme sind in der Tabelle aufgeführt.

Von besonderem Interesse für das Studium der Computertechnik sind die binären, oktalen und hexadezimalen Zahlensysteme (Tabelle 4.1).

Tabelle 4.1

Im Allgemeinen gilt in einem Positionszahlensystem, das auf einer Basis basiert, die Zahl

X=a n– 1 ein- 2 ... A 1 A 0 A - 1 A - 2 …Bin

X=a n– 1 b n –1 +ein- 2 b n –2 +…+A 1 B 1 +A 0 B 0 +A –1 B –1 … +a –m b –M .

Eine Nummer schreiben an B-äres Zahlensystem heißt B-ärer Code der Nummer. Die Binär-, Oktal- und Hexadezimalcodes für eine Dezimalzahl wie 19,375 lauten wie folgt:

19,375 (10) =10011,011 (2) =23,3 (8) =13,6 (16) .

Der der Zahl beigefügte Dezimalindex gibt die Basis des Zahlensystems an. Der Index wird weggelassen, wenn die Basis des Zahlensystems aus dem Kontext bekannt ist.

In Form von Polynomen lässt sich die bereits betrachtete Dezimalzahl 19,375 wie folgt schreiben:

19,375 (10) =10011,011 (2) =1×2 4 +0×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 +0×2 –1 +1×2 –2 +1 ×2 –3 =

16+0+0+2+1+0+1/4+1/8.

19,375 (10) =23,3 (8) =2×8 1 +3×8 0 +3×8 –1 =16+3+3/8.

19,375 (10) =13,6 (16) =1×16 1 +3×16 0 +6×16 –1 =16+3+6/16.

Tabelle 4.2 – Zahlencodes in verschiedenen Positionszahlensystemen

Zahlen, die in nicht-dezimalen Zahlensystemen geschrieben sind, sollten anders ausgesprochen werden als Zahlen im Dezimalsystem. Beispielsweise wird empfohlen, die Oktalzahl 23,3 wie folgt zu lesen: „zwei-drei-Komma-drei“, im Gegensatz zur üblichen Lesart der Dezimalzahl 23,3, nämlich dreiundzwanzig ganze und drei Zehntel.“

Für Computer erwies sich das Binärsystem aufgrund der Einfachheit seiner technischen Umsetzung, der höchsten Störfestigkeit der Zifferncodierung, der minimalen Gerätekosten, der Einfachheit arithmetischer Operationen, der höchsten Geschwindigkeit und der Möglichkeit der Verwendung eines Formalen als das beste Zahlensystem Mathematische Geräte zur Synthese und Analyse von Computergeräten. Das dezimale Zahlensystem ist hinsichtlich der Benutzerfreundlichkeit für den Menschen bequemer, in Bezug auf andere Anforderungen jedoch dem binären Zahlensystem weit unterlegen. Schätzen wir beispielsweise die Kosten für die Ausrüstung zum Auswendiglernen der Zahl 5839 im Dezimalsystem. Wir benötigen vier Dezimalstellen mit jeweils zehn stabilen Zuständen, also insgesamt 40 stabile Zustände. Im binären Zahlensystem für die gleiche Zahl 5839, ausgedrückt als 1 0110 1100 1111, reichen jeweils 13 Ziffern für zwei stabile Zustände aus – insgesamt 26 stabile Zustände, also etwa 1,5-mal weniger.

Oktale und hexadezimale Zahlensysteme in der Computertechnik haben eine Hilfsbedeutung. Das Schreiben von Zahlen in diesen Systemen ist für den Menschen kompakter und bequemer als im Binärsystem.

Bei Maschinen der ersten und zweiten Generation ist das Oktalsystem am weitesten verbreitet. Dies wurde dadurch erleichtert, dass es möglich war, Dezimalziffern zu verwenden, ohne auf neue Symbole zurückgreifen zu müssen, was beim Hexadezimalsystem nicht möglich ist.

In Maschinen der dritten und späteren Generationen wurde anstelle des Oktalsystems das Hexadezimalsystem verwendet, da dieses die Formate von Zahlen- und Befehlsinformationen vereinheitlicht und kürzere Datensätze ermöglicht.

In Computern der dritten und späteren Generationen wird das Byte als Basisinformationseinheit verwendet. Ein Byte entspricht 8 Bits, wird also in acht Binärziffern beschrieben. Im Hexadezimalsystem sind 2 Zeichen erforderlich, um die in einem Byte enthaltenen Informationen aufzuzeichnen, im Oktalsystem sind es 3 Zeichen, und das höchstwertige Bit der Oktalzahl wird nicht ausreichend genutzt.

Doktor der Philologie Natalia Chernikova

Der Begriff der Zahl entstand in der Antike, als der Mensch lernte, Gegenstände zu zählen: zwei Bäume, sieben Bullen, fünf Fische. Zuerst zählten sie an ihren Fingern. In der Umgangssprache hören wir immer noch manchmal: „Gib mir fünf!“, also gib mir deine Hand. Und bevor sie sagten: „Hilf mir!“ Fessel- Das ist eine Hand, und die Hand hat fünf Finger. Es war einmal, dass das Wort fünf eine bestimmte Bedeutung hatte – fünf Finger des Mittelhandknochens, also der Hand.

Später begannen sie, anstelle der Finger Kerben an Stöcken zum Zählen zu verwenden. Und als die Schrift aufkam, begann man, Buchstaben zur Darstellung von Zahlen zu verwenden. Beispielsweise bedeutete der Buchstabe A bei den Slawen die Zahl „eins“ (B hatte keinen numerischen Wert), B – zwei, G – drei, D – vier, E – fünf.

Allmählich begannen die Menschen, sich der Zahlen bewusst zu werden, unabhängig von Gegenständen und Personen, die gezählt werden konnten: einfach die Zahl „zwei“ oder die Zahl „sieben“. Diesbezüglich hatten die Slawen das Wort Nummer. In der Bedeutung „Anzahl, Größe, Menge“ wurde es im Russischen ab dem 11. Jahrhundert verwendet. Unsere Vorfahren verwendeten das Wort Nummer und um das Datum und das Jahr anzugeben. Seit dem 13. Jahrhundert bedeutet es auch Tribut, Steuer.

Früher gab es im Buchrussisch zusammen mit dem Wort Nummer zirkuliertes Substantiv Nummer, sowie Adjektiv sauber. Im 16. Jahrhundert tauchte das Verb auf zählen- "zählen".

In der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts verbreiteten sich in europäischen Ländern Sonderzeichen zur Bezeichnung von Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Sie wurden von den Indianern erfunden und kamen zu Europa ist den Arabern zu verdanken, weshalb es seinen Namen erhielt arabische Ziffern.

In unserem Land tauchten arabische Ziffern in der Ära Peters des Großen auf. Gleichzeitig gelangte das Wort in die russische Sprache Nummer. Ursprünglich stammt es aus dem Arabischen, kam aber auch aus europäischen Sprachen zu uns. Die Araber haben die ursprüngliche Bedeutung des Wortes Nummer- Das ist Null, leerer Raum. In diesem Sinne ist das Substantiv Nummer in viele europäische Sprachen eingegeben, darunter auch Russisch. Ab der Mitte des 18. Jahrhunderts stammt das Wort Nummer erhielt eine neue Bedeutung - das Zeichen einer Zahl.

Es wurde eine Reihe russischer Zahlen aufgerufen Ziffer(in der alten Schreibweise tsyfir). Kinder, die zählen lernen, sagten: Ich lerne Zahlen, Ich schreibe Zahlen. (Merken Sie sich den Nachnamen des Lehrers Tsyfirkin aus Denis Ivanovich Fonvizins Komödie „The Minor“, der die sorglose Mitrofanushka lehrte Ziffern, also Arithmetik.) Unter Peter I. öffnete sich Russland Digitale Schulen- staatliche Grundschulen für Jungen. Neben anderen Disziplinen wurden auch Kinder unterrichtet digitale Wissenschaft- Arithmetik, Mathematik.

Also die Worte Nummer Und Nummer unterscheiden sich in Bedeutung und Herkunft. Nummer- eine Zähleinheit, die die Menge ausdrückt ( ein Haus, zwei Häuser, drei Häuser usw.). Nummer- ein Zeichen (Symbol), das den Wert einer Zahl angibt. Zum Aufzeichnen von Zahlen verwenden wir arabische Ziffern – 1, 2, 3 … 9, 0 und in einigen Fällen römische Ziffern – I, II, III, IV, V usw.

Heutzutage Worte Nummer Und Nummer werden auch in anderen Bedeutungen verwendet. Wenn wir beispielsweise fragen: „Welches Datum ist heute?“, meinen wir den Tag des Monats. Kombinationen " einschließlich», « aus der Nummer jemand", " unter„jemand“ bezeichnen eine Komposition, eine Ansammlung von Personen oder Gegenständen. Und wenn wir etwas beweisen mit Zahlen in den Händen, dann müssen wir numerische Indikatoren verwenden. In einem Wort Nummer auch Geldbetrag genannt ( Einkommenszahl, Gebührenzahl).

In der Umgangssprache die Wörter Nummer Und Nummer ersetzen sich oft gegenseitig. Beispielsweise nennen wir eine Zahl nicht nur eine Größe, sondern auch ein Zeichen, das sie ausdrückt. Zahlenmäßig wird von sehr großen Mengen gesprochen astronomische Zahlen oder astronomische Figuren.

Wort Menge erschien im 11. Jahrhundert auf Russisch. Es stammt aus der altkirchenslawischen Sprache und wurde aus dem Wort gebildet Kolik- "Wie viele". Substantiv Menge Als Begriff wird alles bezeichnet, was gezählt und gemessen werden kann. Dies können Personen oder Gegenstände sein ( Anzahl der Gäste, Anzahl der Bücher), sowie die Stoffmenge, die wir nicht zählen, sondern messen ( Wassermenge, Sandmenge).