Matrizen und Operationen auf ihnen, inverse Matrix. Grundlegende Operationen an Matrizen. Eigenschaften von Operationen auf Matrizen

Kommen wir zur Definition von Operationen auf Matrizen.

1) Matrixaddition . Summe zweier Matrizen A=(A ij) Und B=(B ij) die gleiche Größe M× N wird als Matrix bezeichnet C=(C ij) die gleiche Größe M× N, deren Elemente gleich sind

Mit ij = a ij +b ij (i= 1,2, … ,M; j= 1,2, … ,N). (1)

Um die Summe der Matrizen zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C=A+ B.

2) Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren . Produkt ( M× N)- Matrizen A mit der Zahl λ heißt ( M× N)-Matrix C= (C ij), deren Elemente gleich sind

Mit ij = λ A ij (i= 1,2, … , M;j= 1,2, … ,N). (2)

Um das Produkt einer Matrix und einer Zahl zu bezeichnen, wird die Notation verwendet C= λ∙ A.

Direkt aus den Formeln (1) und (2) geht hervor, dass die beiden eingeführten Operationen die folgenden Eigenschaften haben:

A) A+B = B+A – Kommutativität der Addition;

B) ( A+B)+C = A+(B+C) – Assoziativität der Addition;

c) (λμ) A=λ(μ A) – Assoziativität der Multiplikation mit einer Zahl;

d) λ( A+B) = λ A+λ IN– Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition.

Anmerkung 1. Die Matrixdifferenz kann wie folgt definiert werden:

A–B = A+(–1)IN.

Kurz gesagt, Addition, Subtraktion von Matrizen und Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl werden Element für Element durchgeführt.

Beispiel:

3) Matrix-Multiplikation . Produkt ( M× N)-Matrizen A=(A ij) An ( N× P)- Matrix B=(B ij) wird genannt ( M× P)-Matrix MIT=(Mit ij), deren Elemente nach der Formel berechnet werden

C ij = A ich 1 B 1 J + A ich 2 B 2 J +…+ A In B NJ ,

was mit dem Summationssymbol geschrieben werden kann als

(ich= 1,2, … , M; J= 1,2, … ,P).

Bezeichnet das Produkt einer Matrix A zur Matrix IN Aufnahme verwenden C=A∙B.

Beachten wir sofort, dass die Matrix A kann nicht mit einer Matrix multipliziert werden IN: Es ist notwendig, dass die Anzahl der Matrixspalten A war gleich der Anzahl der Matrixzeilen IN.

Formel (3) stellt die Regel zum Finden von Matrixelementen dar A∙B. Formulieren wir diese Regel verbal: Element C ij, steht drin ich te Linie und J Spalte der Matrix A∙B, ist gleich der Summe der paarweisen Produkte der entsprechenden Elemente ich Zeile der Matrix A Und J te Matrixspalte IN.

Hier ist ein Beispiel für die Multiplikation quadratischer Matrizen zweiter Ordnung:

.

Die Matrixmultiplikation hat die folgenden Eigenschaften:

A) ( AB)MIT = A(Sonne) – Assoziativität;

B) ( A+B)MIT = Wechselstrom+Sonne oder A(B+C) = AB+AC– Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition.

Es ist sinnvoll, die Frage nach der Kommutativität der Multiplikation nur für quadratische Matrizen gleicher Ordnung zu stellen, denn nur für solche Matrizen A Und IN beides funktioniert AB Und VA sind eindeutig und Matrizen gleicher Ordnung. Elementare Beispiele zeigen, dass die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nichtkommutativ ist. Zum Beispiel, wenn

Das

Beispiel . Für Matrix
Finde alle Matrizen IN so dass

AB = BA.

Lösung . Lassen Sie uns die Notation einführen
Dann

Gleichwertigkeit AB = VA ist äquivalent zum Gleichungssystem

was wiederum dem System entspricht

Die erforderliche Matrix hat also die Form
Wo X Und z – beliebige Zahlen. Man kann es auch so schreiben: IN = zA+(X– z)E.

Kommentar. Identität und Nullmatrizen N Ordnung kommutieren mit jeder quadratischen Matrix derselben Ordnung, und AE = =EA = A, A∙0 = 0∙A = 0.

Mithilfe der Multiplikationsoperation geben wir die prägnanteste Matrixform zum Schreiben des linearen Gleichungssystems (1.1) an. Führen wir die folgende Notation ein: A=(A ij) – (M× N)-Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems; –M-dimensionale Spalte freier Begriffe und

–N-dimensionale Spalte mit Unbekannten. Laut Definition das Produkt A∙X repräsentiert M-dimensionale Spalte. Sein Element, stehend bei ich Zeile, hat die Form

A ich 1 X 1 + A ich 2 X 2 +…+ A In X N .

Aber diese Summe ist nichts anderes als die linke Seite ich Die Gleichung des Systems (1.1) und aufgrund der Bedingung ist sie gleich B ich, d.h. Element im Stehen ich Zeile der Spalte IN. Von hier aus erhalten wir: A∙ X = B . Dies ist die Matrixschreibweise des linearen Systems

ny Gleichungen. Hier: A – Matrix der Systemkoeffizienten, IN – Spalte der freien Mitglieder, X – Spalte der Unbekannten.

4) Matrixtransposition. Das Transponieren einer beliebigen Matrix ist ein Vorgang, der dazu führt, dass die Zeilen und Spalten unter Beibehaltung ihrer Reihenfolge vertauscht werden. Als Ergebnis der Umsetzung ( M× N)-Matrizen A es stellt sich heraus ( M× N)-Matrix, gekennzeichnet durch das Symbol A und bezüglich der Matrix transponiert genannt A.

Beispiel . Für A= (A 1 A 2 A 3) finden A∙A Und A´∙ A.

Lösung . Die transponierte Zeile ist eine Spalte. Deshalb:

– Quadratische Matrix 1. Ordnung.

–quadratische Matrix des 3

Vorlesung 1. „Matrizen und grundlegende Operationen auf ihnen.“ Determinanten

Definition. Matrix Größe M N, Wo M- anzahl der Zeilen, N- die Anzahl der Spalten, eine sogenannte Zahlentabelle, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet ist. Diese Zahlen werden Matrixelemente genannt. Die Position jedes Elements wird eindeutig durch die Nummer der Zeile und Spalte bestimmt, an deren Schnittpunkt es sich befindet. Die Elemente der Matrix werden bezeichnetA ij, Wo ich- Zeilennummer und J- Spaltennummer.

A =

Grundlegende Operationen an Matrizen.

Eine Matrix kann entweder aus einer Zeile oder einer Spalte bestehen. Im Allgemeinen kann eine Matrix sogar aus einem Element bestehen.

Definition. Wenn die Anzahl der Matrixspalten gleich der Anzahl der Zeilen ist (m=n), dann wird die Matrix aufgerufen Quadrat.

Definition. Matrixansicht:

= E ,

angerufen Identitätsmatrix.

Definition. Wenn A mn = A nm , dann heißt die Matrix symmetrisch.

Beispiel.
- symmetrische Matrix

Definition. Quadratische Matrix des Formulars
angerufen Diagonale Matrix.

Addition und Subtraktion Matrizen werden auf die entsprechenden Operationen an ihren Elementen reduziert. Die wichtigste Eigenschaft dieser Operationen ist, dass sie nur für Matrizen gleicher Größe definiert. Somit ist es möglich, Matrixadditions- und -subtraktionsoperationen zu definieren:

Definition. Summe (Differenz) Matrizen sind eine Matrix, deren Elemente jeweils die Summe (Differenz) der Elemente der ursprünglichen Matrizen sind.

c ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Betrieb Multiplikation (Division) Eine Matrix beliebiger Größe mit einer beliebigen Zahl wird auf die Multiplikation (Division) jedes Elements der Matrix mit dieser Zahl reduziert.

 (A+B) =  A   B A( ) =  A   A

Beispiel. Gegebene Matrizen A =
; B=
, finde 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Matrixmultiplikationsoperation.

Definition: Die Arbeit Matrizen sind eine Matrix, deren Elemente mit den folgenden Formeln berechnet werden können:

A B = C;
.

Aus der obigen Definition geht hervor, dass die Operation der Matrixmultiplikation nur für Matrizen definiert ist Die Anzahl der Spalten der ersten davon ist gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten.

Eigenschaften der Matrixmultiplikationsoperation.

1) Matrixmultiplikationnicht kommutativ , d.h. AB  VA, auch wenn beide Produkte definiert sind. Wenn jedoch für irgendwelche Matrizen die Beziehung AB = BA erfüllt ist, dann werden solche Matrizen aufgerufenpermutierbar.

Das typischste Beispiel ist eine Matrix, die mit jeder anderen Matrix derselben Größe kommutiert.

Nur quadratische Matrizen derselben Ordnung können permutierbar sein.

A E = E A = A

Offensichtlich gilt für alle Matrizen die folgende Eigenschaft:

A Ö = Ö; Ö A = Ö,

wo O – null Matrix.

2) Matrixmultiplikationsoperation assoziativ, diese. wenn die Produkte AB und (AB)C definiert sind, dann sind BC und A(BC) definiert und es gilt die Gleichheit:

(AB)C=A(BC).

3) Matrixmultiplikationsoperation verteilend in Bezug auf die Addition, d.h. Wenn die Ausdrücke A(B+C) und (A+B)C sinnvoll sind, dann gilt entsprechend:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Wenn das Produkt AB definiert ist, dann für eine beliebige Zahl Folgendes Verhältnis ist korrekt:

(AB) = ( A) B = A( B).

5) Wenn das Produkt AB definiert ist, dann ist das Produkt B T A T definiert und es gilt die Gleichheit:

(AB) T = B T A T, wobei

Index T bezeichnet transponiert Matrix.

6) Beachten Sie auch, dass für alle quadratischen Matrizen det (AB) = detA detB.

Was Dies wird weiter unten besprochen.

Definition . Matrix B wird aufgerufen transponiert Matrix A und der Übergang von A nach B Umsetzung, wenn die Elemente jeder Zeile der Matrix A in der gleichen Reihenfolge in die Spalten der Matrix B geschrieben werden.

A =
; B = A T =
;

mit anderen Worten, b ji = a ij .

Als Konsequenz aus der vorherigen Eigenschaft (5) können wir Folgendes schreiben:

(ABC ) T = C T B T A T ,

vorausgesetzt, dass das Produkt der Matrizen ABC definiert ist.

Beispiel. Gegebene Matrizen A =
, B = , C =
und Zahl = 2. Finden Sie A T B+  C.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; A T B+  C =
+
=
.

Beispiel. Finden Sie das Produkt der Matrizen A = und B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Beispiel. Finden Sie das Produkt der Matrizen A=
, B =

AB =

=
=
.

Determinanten(Determinanten).

Definition. Bestimmend quadratische Matrix A=
ist eine Zahl, die aus den Elementen einer Matrix mit der Formel berechnet werden kann:

det A =
, wobei (1)

M 1 zu– Determinante der Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix durch Löschen der ersten Zeile und der k-ten Spalte erhalten wird. Es ist zu beachten, dass Determinanten nur quadratische Matrizen haben, d.h. Matrizen, bei denen die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist.

F Mit Formel (1) können Sie die Determinante einer Matrix aus der ersten Zeile berechnen. Die Formel zur Berechnung der Determinante aus der ersten Spalte ist ebenfalls gültig:

det A =
(2)

Im Allgemeinen kann die Determinante aus jeder Zeile oder Spalte einer Matrix berechnet werden, d. h. die Formel stimmt:

detA =
, i = 1,2,…,n. (3)

Offensichtlich können verschiedene Matrizen die gleichen Determinanten haben.

Die Determinante der Identitätsmatrix ist 1.

Für die angegebene Matrix A wird die Zahl M 1k aufgerufen zusätzliches Nebenfach Matrixelement a 1 k . Daraus können wir schließen, dass jedes Element der Matrix sein eigenes zusätzliches Nebenelement hat. Zusätzliche Minderjährige gibt es nur in quadratischen Matrizen.

Definition. Zusätzliches Nebenfach eines beliebigen Elements einer quadratischen Matrix a ij ist gleich der Determinante der Matrix, die aus der ursprünglichen Matrix durch Löschen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhalten wird.

Eigentum1. Wichtiges Eigentum Determinanten ist das folgende Verhältnis:

det A = det A T ;

Eigentum 2. det (A B) = det A det B.

Eigentum 3. det (AB) = detA detB

Eigentum 4. Wenn Sie zwei beliebige Zeilen (oder Spalten) in einer quadratischen Matrix vertauschen, ändert die Determinante der Matrix das Vorzeichen, ohne dass sich der Absolutwert ändert.

Eigentum 5. Wenn Sie eine Spalte (oder Zeile) einer Matrix mit einer Zahl multiplizieren, wird ihre Determinante mit dieser Zahl multipliziert.

Eigentum 6. Wenn in Matrix A die Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, ist ihre Determinante gleich Null.

Definition: Die Spalten (Zeilen) einer Matrix werden aufgerufen linear abhängig, wenn es eine lineare Kombination davon gleich Null gibt, die nicht triviale (ungleich Null) Lösungen hat.

Eigentum 7. Wenn eine Matrix eine Nullspalte oder eine Nullzeile enthält, ist ihre Determinante Null. (Diese Aussage ist offensichtlich, da die Determinante anhand der Nullzeile oder -spalte genau berechnet werden kann.)

Eigentum 8. Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn Elemente einer anderen Zeile (Spalte) zu den Elementen einer ihrer Zeilen (Spalten) addiert (subtrahiert) werden und mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Eigentum 9. Wenn die folgende Beziehung für die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte der Matrix gilt:D = D 1  D 2 , e = e 1  e 2 , F = det (AB).

1. Methode: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2. Methode: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Matrix Dimension ist eine rechteckige Tabelle, die aus Elementen besteht, die sich in befinden M Linien und N Säulen.

Matrixelemente (erster Index ich− Zeilennummer, zweiter Index J− Spaltennummer) können Zahlen, Funktionen usw. sein. Matrizen werden mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet.

Die Matrix heißt Quadrat, wenn es die gleiche Anzahl an Zeilen wie die Anzahl an Spalten hat ( M = N). In diesem Fall die Nummer N wird als Ordnung der Matrix bezeichnet, und die Matrix selbst wird als Matrix bezeichnet N-te Ordnung.

Elemente mit den gleichen Indizes bilden Hauptdiagonale quadratische Matrix und die Elemente (d. h. mit einer Summe von Indizes gleich N+1) − Seitendiagonale.

Einzel Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale alle Elemente gleich 1 und die übrigen Elemente gleich 0 sind. Sie wird mit dem Buchstaben bezeichnet E.

Null Matrix− ist eine Matrix, deren Elemente alle gleich 0 sind. Eine Nullmatrix kann beliebig groß sein.

Zur Nummer lineare Operationen auf Matrizen betreffen:

1) Matrixaddition;

2) Matrizen mit Zahlen multiplizieren.

Die Matrixadditionsoperation ist nur für Matrizen derselben Dimension definiert.

Die Summe zweier Matrizen A Und IN wird als Matrix bezeichnet MIT, deren Elemente alle gleich den Summen der entsprechenden Matrixelemente sind A Und IN:

.

Matrixprodukt A pro Zahl k wird als Matrix bezeichnet IN, deren Elemente alle gleich den entsprechenden Elementen dieser Matrix sind A, multipliziert mit der Zahl k:

Betrieb Matrix-Multiplikation wird für Matrizen eingeführt, die die Bedingung erfüllen: Die Anzahl der Spalten der ersten Matrix ist gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten.

Matrixprodukt A Maße zur Matrix IN Diese Dimension wird als Matrix bezeichnet MIT Abmessungen, Element ich-te Zeile und J deren te Spalte gleich der Summe der Produkte der Elemente ist ich Zeile der Matrix A zu den entsprechenden Elementen J te Matrixspalte IN:

Das Produkt von Matrizen gehorcht (im Gegensatz zum Produkt reeller Zahlen) nicht dem Kommutativgesetz, d. h. Im Algemeinen A IN IN A.

1.2. Determinanten. Eigenschaften von Determinanten

Das Konzept einer Determinante wird nur für quadratische Matrizen eingeführt.

Die Determinante einer Matrix 2. Ordnung ist eine Zahl, die nach der folgenden Regel berechnet wird

.

Determinante einer Matrix 3. Ordnung ist eine Zahl, die nach der folgenden Regel berechnet wird:

Der erste der Terme mit dem „+“-Zeichen ist das Produkt der Elemente, die sich auf der Hauptdiagonale der Matrix () befinden. Die verbleibenden beiden enthalten Elemente, die sich an den Eckpunkten von Dreiecken befinden, deren Basis parallel zur Hauptdiagonalen (i) verläuft. Das „-“-Zeichen umfasst die Produkte der Elemente der Nebendiagonale () und der Elemente, die Dreiecke mit zu dieser Diagonale parallelen Grundflächen bilden (i).

Diese Regel zur Berechnung der Determinante 3. Ordnung wird Dreiecksregel (oder Sarrus-Regel) genannt.

Eigenschaften von Determinanten Schauen wir uns das Beispiel der Determinanten 3. Ordnung an.

1. Wenn alle Zeilen der Determinante durch Spalten mit den gleichen Nummern wie die Zeilen ersetzt werden, ändert die Determinante ihren Wert nicht, d. h. Zeilen und Spalten der Determinante sind gleich

.

2. Wenn zwei Zeilen (Spalten) neu angeordnet werden, ändert die Determinante ihr Vorzeichen.

3. Wenn alle Elemente einer bestimmten Zeile (Spalte) Nullen sind, ist die Determinante 0.

4. Der gemeinsame Faktor aller Elemente einer Zeile (Spalte) kann über das Vorzeichen der Determinante hinaus genommen werden.

5. Die Determinante, die zwei identische Zeilen (Spalten) enthält, ist gleich 0.

6. Eine Determinante, die zwei proportionale Zeilen (Spalten) enthält, ist gleich Null.

7. Wenn jedes Element einer bestimmten Spalte (Zeile) einer Determinante die Summe zweier Terme darstellt, dann ist die Determinante gleich der Summe zweier Determinanten, von denen einer die ersten Terme in derselben Spalte (Zeile) enthält und der andere enthält die zweite. Die übrigen Elemente beider Determinanten sind gleich. Also,

.

8. Die Determinante ändert sich nicht, wenn die entsprechenden Elemente einer anderen Spalte (Zeile), multipliziert mit derselben Zahl, zu den Elementen einer ihrer Spalten (Zeilen) addiert werden.

Die nächste Eigenschaft der Determinante hängt mit den Konzepten des Moll- und algebraischen Komplements zusammen.

Unerheblich Element einer Determinante ist eine Determinante, die man aus einer gegebenen Determinante erhält, indem man die Zeile und Spalte streicht, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet.

Zum Beispiel das Nebenelement der Determinante heißt Determinante.

Algebraisches Komplement Das Determinantenelement heißt sein Nebenelement multipliziert mit, wo ich− Zeilennummer, J− Nummer der Spalte, an deren Schnittpunkt sich das Element befindet. Algebraisches Komplement wird normalerweise bezeichnet. Für ein Determinantenelement 3. Ordnung das algebraische Komplement

9. Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit ihren entsprechenden algebraischen Komplementen.

Beispielsweise kann die Determinante auf die Elemente der ersten Zeile erweitert werden

,

oder zweite Spalte

Zur Berechnung werden die Eigenschaften von Determinanten herangezogen.

Matrizen und Determinanten

1. 1 Matrizen. Konzepte.

Rechteckige Größenmatrix M X N eine Menge genannt mn Zahlen, die in einer rechteckigen Tabelle angeordnet sind M Linien und N Säulen. Wir werden die Matrix in das Formular schreiben

oder abgekürzt als A = (a ij) (i = ; j = ). Die Zahlen a ij, aus denen diese Matrix besteht, werden ihre Elemente genannt; Der erste Index gibt die Zeilennummer an, der zweite die Spaltennummer. Zwei Matrizen A = (a ij) und B = (b ij) gleicher Größe heißen gleich, wenn ihre Elemente an den gleichen Stellen paarweise gleich sind, also A = B, wenn a ij = b ij.

Eine Matrix, die aus einer Zeile oder einer Spalte besteht, wird Zeilenvektor bzw. Spaltenvektor genannt. Spaltenvektoren und Zeilenvektoren werden einfach Vektoren genannt.

Mit dieser Zahl wird eine Matrix bestehend aus einer Zahl identifiziert. Größenmatrix M X N, alle Elemente, deren Elemente gleich Null sind, werden als Nullmatrix bezeichnet und mit 0 bezeichnet. Die Elemente der Matrix mit den gleichen Indizes werden als Elemente der Hauptdiagonale bezeichnet. Das heißt, wenn die Anzahl der Matrixzeilen gleich der Anzahl der Spalten ist M = N, dann heißt die Matrix Ordnungsquadrat N. Quadratische Matrizen, in denen nur die Elemente der Hauptdiagonale ungleich Null sind, werden Diagonalmatrizen genannt und wie folgt geschrieben:

Wenn alle Elemente a ii einer Diagonalmatrix gleich 1 sind, dann heißt die Matrix Identitätsmatrix und wird mit dem Buchstaben E bezeichnet:

Eine quadratische Matrix heißt dreieckig, wenn alle Elemente oberhalb (oder unterhalb) der Hauptdiagonale gleich Null sind. Transposition ist eine Transformation einer Matrix, bei der die Zeilen und Spalten unter Beibehaltung ihrer Nummern vertauscht werden. Die Transposition wird durch ein T oben angezeigt.

Gegeben sei Matrix (4.1). Lassen Sie uns die Zeilen und Spalten neu anordnen. Holen wir uns die Matrix

die bezüglich der Matrix A transponiert wird. Insbesondere wird bei der Transponierung eines Spaltenvektors ein Zeilenvektor erhalten und umgekehrt.

Grundlegende Operationen an Matrizen.

Die grundlegenden arithmetischen Operationen an Matrizen sind das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, das Addieren und Multiplizieren von Matrizen.

Fahren wir mit der Definition der Grundoperationen für Matrizen fort.

Matrixaddition : Die Summe zweier Matrizen, zum Beispiel: A und B, mit der gleichen Anzahl an Zeilen und Spalten, also mit den gleichen Ordnungen m und n, heißt Matrix C = (Сij)(i = 1, 2, …m ; j = 1, 2, …n) der gleichen Ordnung m und n, deren Elemente Cij gleich sind.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)

Um die Summe zweier Matrizen zu bezeichnen, wird die Notation C = A + B verwendet. Die Operation zum Zusammensetzen der Summe von Matrizen wird als Addition bezeichnet

Per Definition haben wir also:

Aus der Definition der Summe von Matrizen, genauer gesagt aus Formel (1.2), folgt sofort, dass die Operation der Addition von Matrizen die gleichen Eigenschaften hat wie die Operation der Addition reeller Zahlen, nämlich:

1) kommutative Eigenschaft: A + B = B + A

2) Kombinationseigenschaft: (A + B) + C = A + (B + C)

Diese Eigenschaften ermöglichen es, sich beim Hinzufügen von zwei oder mehr Matrizen keine Gedanken über die Reihenfolge der Matrixterme zu machen.

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren :

Das Produkt der Matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) mit einer reellen Zahl ist die Matrix C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), deren Elemente gleich sind

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)

Um das Produkt einer Matrix und einer Zahl zu bezeichnen, wird die Notation C = A oder C = A verwendet. Der Vorgang, das Produkt einer Matrix mit einer Zahl zusammenzusetzen, wird als Multiplikation der Matrix mit dieser Zahl bezeichnet.

Direkt aus Formel (1.3) geht hervor, dass die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl die folgenden Eigenschaften hat:

1) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

(A + B) = A + B

2) Assoziative Eigenschaft bezüglich eines numerischen Faktors:

3) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Zahlen:

( + ) A = A + A.

Kommentar: Differenz zweier Matrizen A und B gleicher Ordnung, ist es natürlich, eine solche Matrix C gleicher Ordnung zu nennen, was in Summe mit der Matrix B die Matrix A ergibt. Um die Differenz zweier Matrizen zu bezeichnen, wird eine natürliche Notation verwendet: C = A – B.

Matrix-Multiplikation :

Das Produkt der Matrix A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) mit Ordnungen gleich m bzw. n durch die Matrix B = (Bij) (i = 1, 2 , …, n;

j = 1, 2, …, p) mit Ordnungen gleich n und p wird als Matrix C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) bezeichnet. , mit Ordnungen gleich m bzw. p und den Elementen Cij, definiert durch die Formel

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)

Um das Produkt von Matrix A und Matrix B zu bezeichnen, verwenden Sie die Notation

C = AB. Das Zusammensetzen des Produkts aus Matrix A und Matrix B wird als Multiplikation dieser Matrizen bezeichnet. Aus der oben formulierten Definition folgt, dass Matrix A nicht mit jeder Matrix B multipliziert werden kann: Es ist notwendig, dass die Anzahl der Spalten der Matrix A gleich ist gleicht Anzahl der Zeilen der Matrix B. Damit beide Produkte AB und BA nicht nur definiert sind, sondern auch die gleiche Ordnung haben, ist es notwendig und ausreichend, dass beide Matrizen A und B quadratische Matrizen gleicher Ordnung sind.

Formel (1.4) ist eine Regel zum Zusammensetzen der Elemente der Matrix C,

welches das Produkt von Matrix A und Matrix B ist. Diese Regel kann auch verbal formuliert werden: Das Element Cij befindet sich am Schnittpunkt i-te Zeile und die j-te Spalte der Matrix C = AB ist gleich der Summe der paarweisen Produkte der entsprechenden Elemente des i-ten Zeilen der Matrix A und die j-te Spalte der Matrix B. Als Beispiel für die Anwendung dieser Regel stellen wir die Formel zur Multiplikation quadratischer Matrizen zweiter Ordnung vor

Formel (1.4) impliziert die folgenden Eigenschaften des Produkts aus Matrix A und Matrix B:

1) passende Eigenschaft: (AB) C = A (BC);

2) Verteilungseigenschaft bezüglich der Summe der Matrizen:

(A + B) C = AC + BC oder A (B + C) = AB + AC.

Es ist sinnvoll, die Frage nach der Permutationseigenschaft eines Matrizenprodukts nur für quadratische Matrizen gleicher Ordnung zu stellen. Elementare Beispiele zeigen, dass das Produkt zweier quadratischer Matrizen gleicher Ordnung im Allgemeinen nicht die Kommutierungseigenschaft besitzt. In der Tat, wenn wir sagen

A = , B = , dann AB = und BA =

Dieselben Matrizen, deren Produkt die Kommutierungseigenschaft hat, werden üblicherweise als Kommutierung bezeichnet.

Unter den quadratischen Matrizen heben wir eine Klasse sogenannter Diagonalmatrizen hervor, deren Elemente jeweils außerhalb der Hauptdiagonale liegen und gleich Null sind. Unter allen Diagonalmatrizen mit zusammenfallenden Elementen auf der Hauptdiagonale spielen zwei Matrizen eine besonders wichtige Rolle. Die erste dieser Matrizen erhält man, wenn alle Elemente der Hauptdiagonale gleich eins sind, heißt Identitätsmatrix n-ter Ordnung und wird mit dem Symbol E bezeichnet. Die zweite Matrix ergibt sich, wenn alle Elemente gleich Null sind und wird als Nullmatrix n-ter Ordnung bezeichnet und mit dem Symbol O bezeichnet. Nehmen wir also an, dass es eine beliebige Matrix A gibt

AE = EA = A, AO = OA = O.

Die erste der Formeln charakterisiert die besondere Rolle der Identitätsmatrix E, ähnlich der Rolle, die die Zahl 1 bei der Multiplikation reeller Zahlen spielt. Was die besondere Rolle der Nullmatrix O betrifft, so zeigt sich diese nicht nur in der zweiten der Formeln, sondern auch in einer elementaren überprüfbaren Gleichheit: A + O = O + A = A. Das Konzept einer Nullmatrix kann eingeführt werden nicht für quadratische Matrizen.

Matrixrang

Betrachten Sie die rechteckige Matrix (4.1). Wenn wir in dieser Matrix willkürlich k Zeilen auswählen und k Spalten, dann bilden die Elemente am Schnittpunkt der ausgewählten Zeilen und Spalten eine quadratische Matrix k-te Ordnung. Die Determinante dieser Matrix wird als Minor k-ter Ordnung von Matrix A bezeichnet. Offensichtlich hat Matrix A Minorwerte jeder Ordnung von 1 bis zur kleinsten Zahl M Und N. Unter allen Minderjährigen ungleich Null der Matrix A gibt es mindestens einen Minderjährigen, dessen Ordnung die größte ist. Die größte der von Null verschiedenen Nebenordnungen einer gegebenen Matrix wird als Rang der Matrix bezeichnet. Wenn der Rang der Matrix A ist R Dies bedeutet, dass Matrix A eine Nebenordnung ungleich Null hat R, aber jede kleinere Ordnung größer als r ist gleich Null. Der Rang der Matrix A wird mit r(A) bezeichnet. Offensichtlich gilt die Beziehung

0 ≤ r(A) ≤ min (m,n).

Der Rang der Matrix wird entweder durch die Methode der angrenzenden Minderjährigen oder durch die Methode der Elementartransformationen ermittelt. Bei der Berechnung des Rangs einer Matrix mit der ersten Methode sollte man von Untereinheiten niedrigerer Ordnung zu Untereinheiten höherer Ordnung übergehen. hoher Auftrag. Wenn bereits ein von Null verschiedenes Minor D der k-ten Ordnung der Matrix A gefunden wurde, müssen nur die an das Minor D angrenzenden Minors (k+1)-Ordnung berechnet werden, d. h. enthält es als Nebenfach. Wenn sie alle gleich Null sind, ist der Rang der Matrix gleich k.

Die folgenden Matrixtransformationen werden als elementar bezeichnet:

1) Permutation zweier beliebiger Zeilen (oder Spalten),

2) Multiplizieren einer Zeile (oder Spalte) mit einer Zahl ungleich Null,

3) Hinzufügen einer weiteren Zeile (oder Spalte) zu einer Zeile (oder Spalte), multipliziert mit einer bestimmten Zahl.

Zwei Matrizen heißen äquivalent, wenn eine von ihnen durch eine endliche Menge elementarer Transformationen aus der anderen gewonnen wird.

Äquivalente Matrizen sind im Allgemeinen nicht gleich, aber ihre Ränge sind gleich. Wenn die Matrizen A und B äquivalent sind, wird es so geschrieben:

Eine kanonische Matrix ist eine Matrix, deren Anfang

Entlang der Hauptdiagonale befinden sich mehrere Einheiten in einer Reihe (deren Anzahl

kann Null sein) und alle anderen Elemente sind Null,

Zum Beispiel, .

Durch elementare Transformationen von Zeilen und Spalten kann jede Matrix auf kanonisch reduziert werden. Der Rang einer kanonischen Matrix ist gleich der Anzahl der Einsen auf ihrer Hauptdiagonale.

inverse Matrix

Betrachten Sie eine quadratische Matrix

Bezeichnen wir Δ = det A.

Eine quadratische Matrix A heißt nichtsingulär oder nichtsingulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist, und singulär oder speziell, wenn Δ = 0.

Eine quadratische Matrix B heißt die Umkehrung einer quadratischen Matrix A derselben Ordnung, wenn ihr Produkt A B = B A = E ist, wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrizen A und B ist.

Satz. Damit die Matrix A eine Umkehrung hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante von Null verschieden ist.

Die Matrixinverse der Matrix A wird mit A -1 bezeichnet. Die inverse Matrix wird mit der Formel berechnet

A -1 = 1/Δ, (4.5)

wobei A ij algebraische Komplemente der Elemente a ij sind.

Die Berechnung der inversen Matrix mithilfe der Formel (4.5) für Matrizen höherer Ordnung ist sehr arbeitsintensiv, daher ist es in der Praxis praktisch, die inverse Matrix mithilfe der Elementartransformationsmethode (ET) zu ermitteln. Jede nicht singuläre Matrix A kann mithilfe von EDs nur von Spalten (oder nur Zeilen) auf die Identitätsmatrix E reduziert werden. Wenn die über Matrix A perfektionierten EDs in derselben Reihenfolge auf die Identitätsmatrix E angewendet werden, wird das Ergebnis sein inverse Matrix. Es ist praktisch, EP gleichzeitig für die Matrizen A und E auszuführen und dabei beide Matrizen nebeneinander durch eine Zeile zu schreiben. Beachten wir noch einmal, dass Sie bei der Ermittlung der kanonischen Form einer Matrix zur Ermittlung ihres Rangs Transformationen von Zeilen und Spalten verwenden können. Wenn Sie die Umkehrung einer Matrix ermitteln müssen, sollten Sie während des Transformationsprozesses nur Zeilen oder nur Spalten verwenden.

2. Determinanten

Für jede quadratische Matrix ist eine Zahl definiert, die Determinante der Matrix, Determinante der Matrix oder einfach Determinante genannt wird.

Definition. Die Determinante einer quadratischen Matrix erster Ordnung ist eine Zahl, die dem einzigen Element dieser Matrix entspricht: A=(a), detA=|A|=a.

Sei A eine beliebige quadratische Matrix der Ordnung n, n>1:

Definition Die Determinante n-ter Ordnung (die Determinante einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung n), n>1, ist die Zahl gleich

wobei die Determinante einer quadratischen Matrix ist, die aus Matrix A durch Durchstreichen der ersten Zeile und der j-ten Spalte erhalten wird.

Für Determinanten 2. und 3. Ordnung ist es leicht zu ermitteln einfache Ausdrücke durch Matrixelemente.

Determinante 2. Ordnung:

Determinante 3. Ordnung:

2.1. Moll- und algebraisches Komplement eines Elements

Definition. Der Minor eines Matrixelements ist die Determinante einer Matrix, die durch Löschen der Zeile und Spalte, in der sich das Element befindet, erhalten wird. Wir bezeichnen: das Nebenelement a ij - .

Definition. Das algebraische Komplement eines Matrixelements ist sein Nebenelement, multipliziert mit -1 mit einer Potenz gleich der Summe der Zeilen- und Spaltennummern, in denen sich das Element befindet. Wir bezeichnen: das algebraische Komplement des Elements a ij - .

Somit können wir die Definition der Determinante n-ter Ordnung umformulieren:

Die Determinante n-ter Ordnung, n>1, ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der ersten Zeile und ihrer algebraischen Komplemente.

Beispiel.

Satz zur Berechnung der Determinante durch Erweiterung über eine beliebige Zeile

Satz. Die Determinante n-ter Ordnung, n>1, ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit ihren algebraischen Komplementen.

Beispiel. Berechnen wir die Determinante aus dem vorherigen Beispiel, indem wir entlang der zweiten Zeile expandieren:

Folge. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Diagonalelemente. (Beweisen Sie es selbst).

Definition. Eine Matrix ist eine Menge von Zahlen, die eine rechteckige Tabelle mit m Zeilen und n Spalten bilden

Kurz gesagt wird die Matrix wie folgt bezeichnet:

wobei die Elemente dieser Matrix i die Zeilennummer und j die Spaltennummer ist.

Wenn die Anzahl der Zeilen in einer Matrix gleich der Anzahl der Spalten ist ( M = N), dann heißt die Matrix Quadrat N-ter Ordnung und sonst – rechteckig.

Wenn M= 1 und N > 1, dann erhalten wir eine einzeilige Matrix

Was heisst Zeilenvektor , Wenn M>1 und N=1, dann erhalten wir eine einspaltige Matrix

Was heisst Spaltenvektor .

Man nennt eine quadratische Matrix, in der alle Elemente außer denen auf der Hauptdiagonalen gleich Null sind Diagonale.

Eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich eins sind, heißt individuell, bezeichnet durch E.

Die Matrix, die aus einer gegebenen Matrix durch Ersetzen ihrer Zeile durch eine Spalte mit derselben Nummer erhalten wird, wird aufgerufen transponiert zu diesem. Angezeigt.

Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Elemente an denselben Stellen einander gleich sind, d. h. wenn

Vor allen ich Und J(in diesem Fall die Anzahl der Zeilen (Spalten) der Matrizen A Und B sollte gleich sein).

1°. Die Summe zweier Matrizen A=(A ij) Und B=(B ij) mit dem gleichen Betrag M Linien und N Spalten wird als Matrix bezeichnet C=(C ij), deren Elemente durch die Gleichheit bestimmt werden

Die Summe der Matrizen wird mit bezeichnet C=A+B.

Beispiel.

20 . Matrixprodukt A=(A ij) pro Zahl λ ist eine Matrix, in der jedes Element gleich dem Produkt des entsprechenden Elements der Matrix ist A pro Zahl λ :

λA=λ (A ij)=(λa ij), (ich=1,2…,m ; J=1,2…,n).

Beispiel.

dreißig . Matrixprodukt A=(A ij), mit M Linien und k Spalten pro Matrix B=(B ij), mit k Linien und N Spalten wird als Matrix bezeichnet C=(C ij), mit M Linien und N Spalten, deren Element C ij gleich der Summe der Produkte der Elemente ich Zeile der Matrix A Und J te Matrixspalte B, also

In diesem Fall die Anzahl der Matrixspalten A muss gleich der Anzahl der Matrixzeilen sein B. Ansonsten ist das Produkt undefiniert. Bezeichnet wird das Produkt von Matrizen A*B=C.

Beispiel.

Für ein Produkt von Matrizen gilt die Gleichheit zwischen Matrizen nicht A* B Und B* A, im allgemeinen Fall ist einer von ihnen möglicherweise nicht definiert.

Das Multiplizieren einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung mit der entsprechenden Identitätsmatrix ändert die Matrix nicht.

Beispiel. Lassen Sie, dann haben wir nach der Regel der Matrixmultiplikation

,

woraus schließen wir das

Determinanten und ihre Eigenschaften.

Gegeben sei eine quadratische Matrix dritter Ordnung:

Definition. Die der Matrix (1) entsprechende Determinante dritter Ordnung ist eine durch das Symbol bezeichnete Zahl

und durch Gleichheit definiert

Um sich zu merken, welche Produkte auf der rechten Seite der Gleichung (2) mit einem „+“-Zeichen und welche mit einem „-“-Zeichen genommen werden, ist es sinnvoll, die folgende Dreiecksregel zu verwenden.

Beispiel.

Formulieren wir die Grundeigenschaften für Determinanten dritter Ordnung, obwohl sie Determinanten jeder Ordnung innewohnen.

1. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn ihre Zeilen und Spalten vertauscht werden, d. h.

2. Das Neuanordnen von zwei Spalten oder zwei Zeilen einer Determinante entspricht einer Multiplikation mit -1.

3. Wenn die Determinante zwei identische Spalten oder zwei identische Zeilen hat, ist sie gleich Null.

4. Multiplizieren aller Elemente einer Spalte oder Zeile einer Determinante mit einer beliebigen Zahl λ entspricht der Multiplikation der Determinante mit dieser Zahl λ .

5. Wenn alle Elemente einer bestimmten Spalte oder Zeile einer Determinante gleich Null sind, dann ist die Determinante selbst gleich Null.

6. Wenn die Elemente zweier Spalten oder zweier Zeilen einer Determinante proportional sind, dann ist die Determinante gleich Null.

7. Wenn jedes Element N Spalte ( N-te Zeile) der Determinante die Summe zweier Terme ist, dann kann die Determinante als Summe zweier Determinanten dargestellt werden, von denen einer in ist N-te Spalte ( N-te Zeile) enthält den ersten der genannten Begriffe und der andere - den zweiten; die Elemente an den übrigen Positionen sind für alle drei Determinanten gleich.

Zum Beispiel,

8 0 . Wenn wir zu den Elementen einer bestimmten Spalte (Zeile) der Determinante die entsprechenden Elemente einer anderen Spalte (Zeile) addieren, multipliziert mit einem beliebigen gemeinsamen Faktor, dann ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Zum Beispiel,

Unerheblich eines bestimmten Elements einer Determinante wird als Determinante bezeichnet, die man aus einer gegebenen Determinante erhält, indem man die Zeile und Spalte streicht, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet.

Zum Beispiel das Nebenelement A 1 Qualifikant Δ ist eine Determinante 2. Ordnung

Das algebraische Komplement eines Elements der Determinante ist das Moll dieses Elements multipliziert mit (-1) P, Wo R- die Summe der Zeilen- und Spaltennummern, an deren Schnittpunkt sich dieses Element befindet.

Wenn zum Beispiel ein Element A 2 befinden sich am Schnittpunkt der 1. Spalte und der 2. Zeile, dann dafür R=1+2=3 und das algebraische Komplement ist

9 0 . Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Spalte oder Zeile und ihrer algebraischen Komplemente.

100 . Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Spalte oder Zeile der Determinante mit den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente einer anderen Spalte oder einer anderen Zeile ist gleich Null.

Es stellt sich die Frage: Ist eine quadratische Matrix möglich? A Wählen Sie eine Matrix aus, indem Sie die Matrix damit multiplizieren A Als Ergebnis erhalten Sie die Identitätsmatrix E, eine solche Matrix wird als Umkehrung der Matrix bezeichnet A.

Definition. Eine Matrix heißt die Umkehrung einer quadratischen Matrix A if.

Definition. Eine quadratische Matrix heißt nicht singulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Ansonsten heißt die quadratische Matrix singulär.

Jede nicht singuläre Matrix hat eine Umkehrung.

Elementare Matrixtransformationen Sind:

Vertauschen zweier paralleler Zeilen einer Matrix;

Multiplizieren aller Matrixelemente mit einer Zahl ungleich Null;

Addieren zu allen Elementen einer Matrixreihe die entsprechenden Elemente einer parallelen Reihe, multipliziert mit derselben Zahl.

Matrix IN, erhalten aus der Matrix A die Verwendung elementarer Transformationen heißt Äquivalent Matrix.

Für eine nicht singuläre quadratische Matrix

Inverse Matrix dritter Ordnung A-1 kann mit der folgenden Formel berechnet werden

hier ist Δ die Determinante der Matrix A,A ij – algebraische Additionen von Elementen A ij Matrizen A.

Das Zeilenelement der Matrix heißt extrem , wenn es ungleich Null ist und alle Elemente der Zeichenfolge links davon gleich Null sind. Die Matrix heißt trat , wenn das äußerste Element jeder Zeile rechts vom äußersten Element der vorherigen Zeile liegt. Zum Beispiel:

Nicht gestuft; - trat.