Lassen Sie uns gemischte partielle Ableitungen online finden. Berechnen Sie die Ableitung einer Funktion online. – Tatsächliches Ersetzen der Variablen
Definition 1.11 Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen z=z(x,y), (x,y)D . Punkt M 0 (X 0 ;y 0 ) - innerer Punkt des Gebiets D .
Wenn drin D Es gibt so eine Nachbarschaft ÄH. 0 Punkte M 0 , was für alle Punkte gilt
dann zeigen M 0 wird als lokaler Maximalpunkt bezeichnet. Und die Bedeutung selbst z(M 0 ) - lokales Maximum.
Und wenn für alle Punkte
dann zeigen M 0 heißt der lokale Minimalpunkt der Funktion z(x,y) . Und die Bedeutung selbst z(M 0 ) - lokales Minimum.
Das lokale Maximum und das lokale Minimum werden lokale Extrema der Funktion genannt z(x,y) . In Abb. 1.4 erklärt die geometrische Bedeutung des lokalen Maximums: M 0 - Maximalpunkt, da an der Oberfläche z =z (x,y) der entsprechende Punkt C 0 ist höher als jeder benachbarte Punkt C (Dies ist die Lokalität des Maximums).
Beachten Sie, dass es im Allgemeinen Punkte auf der Oberfläche gibt (z. B. IN ), die sich oben befinden C 0 , aber diese Punkte (zum Beispiel, IN ) sind nicht auf den Punkt „benachbart“. C 0 .
Insbesondere Punkt IN entspricht dem Konzept des globalen Maximums:
Das globale Minimum ist ähnlich definiert:
Das Finden globaler Maxima und Minima wird in Abschnitt 1.10 besprochen.
Satz 1.3(notwendige Bedingungen für ein Extremum).
Die Funktion sei gegeben z =z (x,y), (x,y)D . Punkt M 0 (X 0 ;y 0 D - lokaler Extrempunkt.
Wenn es zu diesem Zeitpunkt welche gibt z" X Und z" j , Das
Der geometrische Beweis ist „offensichtlich“. Wenn an der Stelle C 0 Zeichnen Sie eine Tangentialebene auf (Abb. 1.4), dann verläuft sie „natürlich“ horizontal, d. h. in einem Winkel 0° zur Achse Oh und zur Achse OU .
Dann gilt gemäß der geometrischen Bedeutung partieller Ableitungen (Abb. 1.3):
Das war es, was bewiesen werden musste.
Definition 1.12.
Wenn an der Stelle M 0 Sind die Bedingungen (1.41) erfüllt, so spricht man von einem stationären Punkt der Funktion z(x,y) .
Satz 1.4(ausreichende Bedingungen für ein Extremum).
Lass es gegeben sein z =z (x,y), (x,y)D , die in einer Umgebung des Punktes partielle Ableitungen zweiter Ordnung aufweist M 0 (X 0 ,y 0 )D . Darüber hinaus M 0 - stationärer Punkt (d. h. die notwendigen Bedingungen (1.41) sind erfüllt). Berechnen wir:
Der Beweis des Theorems verwendet Themen (Taylors Formel für Funktionen mehrerer Variablen und die Theorie quadratischer Formen), die in diesem Tutorial nicht behandelt werden.
Beispiel 1.13.
Entdecken Sie bis zum Äußersten:
Lösung
1. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie das System (1.41) lösen:
das heißt, es werden vier stationäre Punkte gefunden. 2.
Nach Satz 1.4 gibt es an der Stelle ein Minimum. Darüber hinaus 
nach Satz 1.4 an der Stelle
Maximal. Darüber hinaus
Konzept einer Funktion vieler Variablen
Es gebe n-Variablen und jedem x 1, x 2 ... x n aus einer bestimmten Menge von x sei eine Definition zugewiesen. Zahl Z, dann ist die Funktion Z = f (x 1, x 2 ... x n) vieler Variablen auf der Menge x gegeben.
X – Bereich der Funktionsdefinition
x 1, x 2 ... x n – unabhängige Variable (Argumente)
Z – Funktion Beispiel: Z=P x 2 1 *x 2 (Zylindervolumen)
Betrachten Sie Z=f(x;y) – die Funktion von 2 Variablen (x 1, x 2 ersetzt durch x,y). Die Ergebnisse werden analog auf andere Funktionen vieler Variablen übertragen. Der Bereich zur Bestimmung der Funktion von 2 Variablen ist die gesamte Schnur (OH) oder ein Teil davon. Die Anzahl der Werte der Funktion von 2 Variablen ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Techniken zur Erstellung von Diagrammen: - Betrachten Sie den Querschnitt der Oberfläche in Quadraten || Koordinatenquadrate.
Beispiel: x = x 0, zn. Quadrat X || 0уz y = y 0 0хz Funktionstyp: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)
Zum Beispiel: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Parabelumrandung(Mitte(0,1)
Grenzen und Stetigkeit von Funktionen zweier Variablen
Sei Z=f(x;y) gegeben, dann ist A der Grenzwert der Funktion in t.(x 0 ,y 0), falls für jede beliebig kleine Menge. Zahl E>0 ist eine positive Zahl b>0, die für alle x, y |x-x 0 | erfüllt<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(x;y) ist in einem t (x 0 ,y 0) stetig, wenn: - es in diesem t definiert ist. - hat ein Finale Grenze bei x, tendierend zu x 0 und y zu y 0; - dieser Grenzwert = Wert Funktionen in t. (x 0 ,y 0), d.h. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0) Wenn die Funktion in jedem stetig ist t. mn-va X, dann ist es in diesem Bereich stetig Differentialfunktion, ihre geometrische Bedeutung. Anwendung des Differentials in Näherungswerten. dy=f’(x)∆x – Differentialfunktion dy=dx, d.h. dy=f ’(x)dx wenn y=x Aus geologischer Sicht ist das Differential einer Funktion das Inkrement der Ordinate der Tangente, die an den Graphen der Funktion im Punkt mit der Abszisse x 0 gezogen wird Dif-l wird zur Berechnung von ca. verwendet. Werte der Funktion gemäß der Formel: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Je näher ∆x an x liegt, desto genauer ist das Ergebnis Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung Ableitung erster Ordnung (die man partiell nennt) A. Sei x, y die Inkremente der unabhängigen Variablen x und y an einem Punkt aus der Region X. Dann wird der Wert gleich z = f(x+ x, y+ y) = f(x, y) als Gesamtwert bezeichnet Inkrement am Punkt x 0, y 0. Wenn wir die Variable x fixieren und der Variablen y das Inkrement y geben, dann erhalten wir zó = f(x,y,+ y) – f(x,y) Die partielle Ableitung der Variablen y wird auf ähnliche Weise bestimmt, d.h. Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen wird nach denselben Regeln ermittelt wie für Funktionen einer Variablen. Der Unterschied besteht darin, dass bei der Differenzierung einer Funktion nach der Variablen x y als konstant betrachtet wird und bei der Differenzierung nach y, x als konstant betrachtet wird. Isolierte Konstanten werden mithilfe von Additions-/Subtraktionsoperationen mit einer Funktion verbunden. Gebundene Konstanten werden durch Multiplikations-/Divisionsoperationen mit einer Funktion verbunden. Ableitung von isoliertem const = 0 1.4.Vollständiges Differential einer Funktion zweier Variablen und ihre Anwendungen
Sei dann z = f(x,y). tz = Partielle Ableitung 2. Ordnung Für stetige Funktionen zweier Variablen fallen die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung zusammen. Die Anwendung partieller Ableitungen zur Bestimmung der partiellen Ableitungen von Max- und Min-Funktionen werden als Extrema bezeichnet. A. Punkte heißen max oder min z = f(x,y), wenn es einige Segmente gibt, so dass für alle x und y aus dieser Umgebung f(x,y) T. Wenn ein Extrempunkt einer Funktion von 2 Variablen gegeben ist, dann ist der Wert der partiellen Ableitungen an diesem Punkt gleich 0, d.h. , Die Punkte, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung auftreten, werden als stationär oder kritisch bezeichnet. Um die Extrempunkte einer Funktion von zwei Variablen zu finden, werden daher ausreichende Extremumbedingungen verwendet. Sei die Funktion z = f(x,y) zweimal differenzierbar und ein stationärer Punkt, 1) und maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Volles Differential. Geometrische Bedeutung des Differentials. Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen
A. Die Funktion y = f(x) sei in einer bestimmten Umgebung an den Punkten definiert. Eine Funktion f(x) heißt an einem Punkt differenzierbar, wenn ihr Inkrement an diesem Punkt gleich ist Wobei A ein konstanter Wert ist, der an einem festen Punkt x unabhängig von ist und bei unendlich klein ist. Eine relativ lineare Funktion A heißt Differential der Funktion f(x) an einem Punkt und wird mit df() oder dy bezeichnet. Somit kann Ausdruck (1) geschrieben werden als Das Differential der Funktion in Ausdruck (1) hat die Form dy = A. Wie jede lineare Funktion ist sie für jeden Wert definiert Um das Differential einfacher schreiben zu können, wird das Inkrement mit dx bezeichnet und als Differential der unabhängigen Variablen x bezeichnet. Daher wird das Differential als dy = Adx geschrieben. Wenn die Funktion f(x) an jedem Punkt eines bestimmten Intervalls differenzierbar ist, dann ist ihr Differential eine Funktion zweier Variablen – des Punktes x und der Variablen dx: T. Damit die Funktion y = g(x) irgendwann differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie an dieser Stelle eine Ableitung hat, und (*)Nachweisen. Notwendigkeit. Die Funktion f(x) sei im Punkt differenzierbar, d.h. Daher existiert die Ableitung f’() und ist gleich A. Daher ist dy = f’()dx Angemessenheit. Es gebe eine Ableitung f’(), d.h. = f'(). Dann ist die Kurve y = f(x) ein Tangentensegment. Um den Wert einer Funktion an einem Punkt x zu berechnen, nehmen Sie einen Punkt in der Nähe davon, so dass es nicht schwierig ist, f() und f’()/ zu finden. In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept einer Funktion zweier Variablen vertraut und betrachten auch die häufigste Aufgabe – das Finden – im Detail partielle Ableitungen erste und zweite Ordnung, vollständiges Differential einer Funktion. Um das folgende Material effektiv zu studieren, müssen Sie notwendig in der Lage sein, „gewöhnliche“ Ableitungen von Funktionen einer Variablen mehr oder weniger sicher zu finden. Den richtigen Umgang mit Derivaten erfahren Sie im Unterricht Wie findet man die Ableitung? und Ableitung einer komplexen Funktion. Wir benötigen außerdem eine Tabelle mit Ableitungen elementarer Funktionen und Differenzierungsregeln; am praktischsten ist es, wenn sie in gedruckter Form vorliegt. Beginnen wir mit dem eigentlichen Konzept einer Funktion zweier Variablen. Wir werden versuchen, uns auf das Minimum an Theorie zu beschränken, da die Site eine praktische Ausrichtung hat. Eine Funktion aus zwei Variablen wird normalerweise als geschrieben, wobei die Variablen aufgerufen werden unabhängige Variablen oder Argumente. Beispiel: - Funktion zweier Variablen. Manchmal wird die Notation verwendet. Es gibt auch Aufgaben, bei denen anstelle eines Buchstabens der Buchstabe verwendet wird. Es ist nützlich, die geometrische Bedeutung von Funktionen zu kennen. Einer Funktion einer Variablen entspricht eine bestimmte Gerade in einer Ebene, beispielsweise die bekannte Schulparabel. Jede Funktion zweier Variablen stellt aus geometrischer Sicht eine Fläche im dreidimensionalen Raum dar (Ebenen, Zylinder, Kugeln, Paraboloide usw.). Tatsächlich handelt es sich jedoch bereits um analytische Geometrie, und die mathematische Analyse steht auf unserer Agenda. Kommen wir zur Frage, partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu finden. Ich habe eine gute Nachricht für diejenigen, die ein paar Tassen Kaffee getrunken haben und sich auf unglaublich schwieriges Material einlassen: Partielle Ableitungen sind fast dasselbe wie „gewöhnliche“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen. Für partielle Ableitungen gelten alle Differentiationsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Es gibt nur ein paar kleine Unterschiede, auf die wir gleich noch eingehen werden. Beispiel 1 Finden Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion Lassen Sie uns zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung ermitteln. Es gibt zwei davon. Bezeichnungen: Oder – partielle Ableitung nach „x“ Oder – partielle Ableitung nach „y“ Lass uns beginnen mit . Wichtig! Wenn wir die partielle Ableitung nach „x“ finden, dann die Variable gilt als Konstante (konstante Zahl).
Lass uns entscheiden. In dieser Lektion stellen wir sofort die vollständige Lösung bereit und geben unten Kommentare ab. Kommentare zu den durchgeführten Aktionen: (1) Das erste, was wir tun, wenn wir die partielle Ableitung finden, ist die Schlussfolgerung alle Funktion in Klammern unter der Primzahl mit Index. Achtung, wichtig! WIR VERLIEREN KEINE Indizes während des Lösungsprozesses. Wenn Sie in diesem Fall irgendwo einen „Strich“ ohne zeichnen, kann der Lehrer ihn zumindest neben die Aufgabe legen (wegen Unaufmerksamkeit sofort einen Teil des Punktes abbeißen). (2) Wir verwenden die Regeln der Differenzierung (2) Wir verwenden die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Lassen Sie uns im Geiste alle „X“ in der Tabelle in „I“ ändern. Das heißt, diese Tabelle gilt gleichermaßen für (und für jeden Brief im Allgemeinen). In diesem Fall verwenden wir folgende Formeln: und . Es werden also partielle Ableitungen erster Ordnung gefunden Weiter geht es mit dem Lieblingsthema aller in der mathematischen Analyse – Derivaten. In diesem Artikel erfahren Sie, wie man es findet partielle Ableitungen einer Funktion von drei Variablen: erste Ableitungen und zweite Ableitungen. Was müssen Sie wissen und können, um den Stoff zu beherrschen? Ob Sie es glauben oder nicht: Erstens müssen Sie in der Lage sein, „gewöhnliche“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen zu finden – auf einem hohen oder zumindest durchschnittlichen Niveau. Wenn es mit ihnen wirklich schwierig ist, dann beginnen Sie mit einer Lektion Wie finde ich die Ableitung? Zweitens ist es sehr wichtig, den Artikel zu lesen und die meisten Beispiele zu verstehen und zu lösen, wenn nicht alle. Wenn dies bereits geschehen ist, dann gehen Sie mit souveränem Gang mit mir, es wird interessant, es wird Ihnen sogar Spaß machen! Methoden und Prinzipien des Findens partielle Ableitungen einer Funktion von drei Variablen sind tatsächlich partiellen Ableitungen von Funktionen zweier Variablen sehr ähnlich. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine Funktion zweier Variablen die Form hat, wobei „x“ und „y“ unabhängige Variablen sind. Geometrisch gesehen repräsentiert eine Funktion zweier Variablen eine bestimmte Fläche in unserem dreidimensionalen Raum. Eine Funktion aus drei Variablen hat die Form und die Variablen werden aufgerufen unabhängigVariablen oder Argumente, die Variable heißt abhängige Variable oder Funktion. Zum Beispiel: – Funktion von drei Variablen Und nun ein wenig über Science-Fiction-Filme und Außerirdische. Oft hört man von vierdimensional, fünfdimensional, zehndimensional usw. Räume. Unsinn oder nicht? – Gibt es eine vierte, fünfte usw. auf der Welt? Maße im Sinne des spießbürgerlichen Raumverständnisses (Länge/Breite/Höhe)? – Ist es möglich, ein vierdimensionales, fünfdimensionales usw. zu bauen? Raum im weitesten Sinne des Wortes? Geben Sie also ein Beispiel für einen solchen Raum in unserem Leben. – Ist eine Reise in die Vergangenheit möglich? – Ist es möglich, in die Zukunft zu reisen? – Gibt es Außerirdische? Für jede Frage können Sie eine von vier Antworten wählen: Wer alle Fragen richtig beantwortet, hat die größte Wahrscheinlichkeit, etwas zu finden ;-) Ich werde im Verlauf der Lektion nach und nach Antworten auf Fragen geben. Verpassen Sie nicht die Beispiele! Tatsächlich sind sie geflogen. Und sofort die gute Nachricht: Für eine Funktion von drei Variablen gelten die Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle. Deshalb muss man gut im Umgang mit „Gewöhnlichen“ sein. Ableitungen von Funktionen eine Variable. Es gibt kaum Unterschiede! Beispiel 1 Lösung: Es ist nicht schwer zu erraten – für eine Funktion aus drei Variablen gibt es drei drei Partielle Ableitungen erster Ordnung, die wie folgt bezeichnet werden: Oder – partielle Ableitung nach „x“; Am gebräuchlichsten ist die Notation mit einem Strich, aber die Verfasser von Sammlungen und Schulungshandbüchern verwenden im Kontext von Problemen sehr gerne eine umständliche Notation – also verlieren Sie sich nicht! Vielleicht weiß nicht jeder, wie man diese „gefürchteten Brüche“ richtig laut vorliest. Beispiel: sollte wie folgt gelesen werden: „de u po de x.“ Beginnen wir mit der Ableitung nach „X“: . Wenn wir die partielle Ableitung nach finden , dann die Variablen Und gelten als Konstanten (konstante Zahlen). Und die Ableitung jeder Konstante, oh Gnade, ist gleich Null: Achten Sie sofort auf den Index – niemand verbietet Ihnen, zu kennzeichnen, dass es sich um Konstanten handelt. Es ist sogar noch praktischer; ich empfehle Anfängern, eine solche Platte zu verwenden, da die Gefahr einer Verwirrung geringer ist. (1) Wir nutzen die Linearitätseigenschaften der Ableitung, insbesondere nehmen wir alle Konstanten außerhalb des Vorzeichens der Ableitung. Bitte beachten Sie, dass im zweiten Term keine Notwendigkeit besteht, die Konstante zu entfernen: Da „Y“ eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante. Im Term werden die „gewöhnliche“ Konstante 8 und die Konstante „zet“ aus dem Ableitungszeichen entnommen. (2) Wir finden die einfachsten Ableitungen, ohne zu vergessen, dass es sich dabei um Konstanten handelt. Als nächstes durchkämmen wir die Antwort. Partielle Ableitung. Wenn wir die partielle Ableitung nach „y“ finden, dann die Variablen Und gelten als Konstanten:
(1) Wir nutzen die Eigenschaften der Linearität. Beachten Sie auch hier, dass die Terme Konstanten sind, was bedeutet, dass nichts aus dem Ableitungszeichen herausgenommen werden muss. (2) Finden Sie Ableitungen und vergessen Sie nicht, dass es sich dabei um Konstanten handelt. Als nächstes vereinfachen wir die Antwort. Und schließlich die partielle Ableitung. Wenn wir die partielle Ableitung nach „zet“ finden, dann die Variablen Und gelten als Konstanten:
Allgemeine Regel offensichtlich und unprätentiös: Wenn wir die partielle Ableitung findenaus irgendeinem Grund
unabhängige Variable alsozwei andere
Unabhängige Variablen gelten als Konstanten. Bei der Ausführung dieser Aufgaben sollten Sie äußerst vorsichtig sein, insbesondere Sie können keine Indizes verlieren(die angeben, welche Variable zur Differenzierung verwendet wird). Der Verlust des Index wäre ein grober Fehler. Hmmm…. Es ist lustig, wenn ich sie nach einer solchen Einschüchterung irgendwo passieren lasse) Beispiel 2 Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Die beiden betrachteten Beispiele sind recht einfach und nach der Lösung mehrerer ähnlicher Probleme wird sich sogar eine Teekanne daran gewöhnen, sie mündlich zu lösen. Um den Stress abzubauen, kehren wir zur ersten Frage des Quiz zurück: Gibt es einen vierten, fünften usw. auf der Welt? Maße im Sinne des spießbürgerlichen Raumverständnisses (Länge/Breite/Höhe)? Korrekte Antwort: Die Wissenschaft verbietet dies nicht. Alle grundlegenden mathematischen Axiomatiken, Theoreme und mathematischen Apparate sind wunderschön und konsistent Arbeiten im Raum beliebiger Dimension. Es ist möglich, dass es irgendwo im Universum Hyperflächen gibt, die außerhalb der Kontrolle unseres Geistes liegen, zum Beispiel eine vierdimensionale Hyperfläche, die durch eine Funktion von drei Variablen definiert wird. Oder vielleicht sind die Hyperflächen neben uns oder sogar wir sind direkt in ihnen, es ist nur so, dass unsere Vision, andere Sinne und unser Bewusstsein nur in der Lage sind, drei Dimensionen wahrzunehmen und zu begreifen. Kehren wir zu den Beispielen zurück. Ja, wenn jemand mit dem Quiz sehr beschäftigt ist, ist es besser, die Antworten auf die folgenden Fragen zu lesen, nachdem Sie gelernt haben, wie man die partiellen Ableitungen einer Funktion von drei Variablen ermittelt, sonst werde ich Sie im Laufe des Artikels umhauen =) Neben den einfachsten Beispielen 1 und 2 gibt es in der Praxis Aufgaben, die man als kleines Rätsel bezeichnen kann. Zu meinem Leidwesen verschwanden solche Beispiele aus dem Blickfeld, als ich die Lektion erstellte Partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen. Lass uns das nachholen: Beispiel 3 Lösung: Hier scheint „alles einfach“ zu sein, doch der erste Eindruck täuscht. Bei der Suche nach partiellen Ableitungen raten viele auf die Teeblätter und machen Fehler. Schauen wir uns das Beispiel konsequent, klar und verständlich an. Beginnen wir mit der partiellen Ableitung nach „x“. Wenn wir die partielle Ableitung nach „x“ finden, werden die Variablen als Konstanten betrachtet. Daher ist auch der Exponent unserer Funktion eine Konstante. Für Dummies empfehle ich folgende Lösung: Ändern Sie im Entwurf die Konstante in eine bestimmte positive ganze Zahl, zum Beispiel „fünf“. Das Ergebnis ist eine Funktion einer Variablen: Das Leistung Funktion mit komplexer Basis (Sinus). Von : Jetzt erinnern wir uns daran, also: Im Endstadium sollte die Lösung natürlich wie folgt geschrieben werden: Wir finden die partielle Ableitung nach „y“, sie werden als Konstanten betrachtet. Wenn „x“ eine Konstante ist, dann ist es auch eine Konstante. Beim Entwurf machen wir den gleichen Trick: Ersetzen Sie zum Beispiel durch 3 „Z“ – ersetzen Sie es durch dasselbe „Fünf“. Das Ergebnis ist wieder eine Funktion einer Variablen: Das indikativ Funktion mit einem komplexen Exponenten. Von Differenzierungsregel komplexer Funktionen: Erinnern wir uns nun an unseren Ersatz: Auf diese Weise: Auf der letzten Seite sollte das Design natürlich gut aussehen: Und der Spiegelfall mit der partiellen Ableitung nach „zet“ (-Konstanten): Mit etwas Erfahrung kann die Analyse mental durchgeführt werden. Lassen Sie uns den zweiten Teil der Aufgabe abschließen – ein Differential erster Ordnung bilden. Es ist ganz einfach, analog zu einer Funktion zweier Variablen wird ein Differential erster Ordnung mit der Formel geschrieben: In diesem Fall: Und das ist Geschäft. Ich stelle fest, dass bei praktischen Problemen die Konstruktion eines vollständigen Differentials 1. Ordnung für eine Funktion aus drei Variablen viel seltener erforderlich ist als für eine Funktion aus zwei Variablen. Ein lustiges Beispiel zum Selberlösen: Beispiel 4 Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen und konstruieren Sie ein vollständiges Differential erster Ordnung Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Wenn Sie auf Schwierigkeiten stoßen, verwenden Sie den besprochenen „Chaynikovsky“-Algorithmus, er hilft garantiert. Und noch ein nützlicher Tipp - Beeil dich nicht. Selbst ich kann solche Beispiele nicht schnell lösen. Lassen Sie uns abschweifen und uns die zweite Frage ansehen: Ist es möglich, ein vierdimensionales, fünfdimensionales usw. zu bauen? Raum im weitesten Sinne des Wortes? Geben Sie also ein Beispiel für einen solchen Raum in unserem Leben. Korrekte Antwort: Ja. Außerdem ist es sehr einfach. Beispielsweise fügen wir der Länge/Breite/Höhe eine vierte Dimension hinzu – die Zeit. Die beliebte vierdimensionale Raumzeit und die bekannte Relativitätstheorie, die Einstein geschickt von Lobatschewski, Poincaré, Lorentz und Minkowski gestohlen hat. Auch nicht jeder weiß es. Warum hat Einstein den Nobelpreis gewonnen? Es gab einen schrecklichen Skandal in der wissenschaftlichen Welt, und das Nobelkomitee formulierte die Verdienste des Plagiators etwa wie folgt: „Für seinen Gesamtbeitrag zur Entwicklung der Physik.“ Das war's. Die Marke des C-Studenten Einstein ist reine Werbung und PR. Es ist leicht, dem betrachteten vierdimensionalen Raum eine fünfte Dimension hinzuzufügen, zum Beispiel den Atmosphärendruck. Und so weiter, so weiter, so weiter, so viele Dimensionen, wie Sie in Ihrem Modell angeben – so viele werden es sein. Im weitesten Sinne des Wortes leben wir in einem multidimensionalen Raum. Schauen wir uns noch ein paar typische Aufgaben an: Beispiel 5 Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung an einem Punkt Lösung: Eine Aufgabenstellung dieser Formulierung kommt in der Praxis häufig vor und beinhaltet folgende zwei Handlungen: Wir entscheiden: (1) Vor uns liegt eine komplexe Funktion, und im ersten Schritt sollten wir die Ableitung des Arkustangens bilden. In diesem Fall verwenden wir tatsächlich ruhig die Tabellenformel für die Ableitung des Arkustangens. Von Differenzierungsregel komplexer Funktionen Das Ergebnis muss mit der Ableitung der internen Funktion multipliziert werden (Einbettung): . (2) Wir nutzen die Eigenschaften der Linearität. (3) Und wir nehmen die restlichen Ableitungen, ohne zu vergessen, dass sie Konstanten sind. Gemäß den Zuweisungsbedingungen ist es notwendig, den Wert der gefundenen partiellen Ableitung an der Stelle zu ermitteln. Ersetzen wir die Koordinaten des Punktes in die gefundene Ableitung: Der Vorteil dieser Aufgabe besteht darin, dass andere partielle Ableitungen nach einem sehr ähnlichen Schema gefunden werden: Wie Sie sehen, ist die Lösungsvorlage nahezu identisch. Berechnen wir den Wert der gefundenen partiellen Ableitung an der Stelle: Und schließlich die Ableitung nach „zet“: Bereit. Die Lösung hätte auch anders formuliert werden können: Finden Sie zuerst alle drei partiellen Ableitungen und berechnen Sie dann ihre Werte an der Stelle. Mir scheint jedoch, dass die obige Methode bequemer ist: Finden Sie einfach die partielle Ableitung und berechnen Sie sofort, ohne die Registrierkasse zu verlassen, ihren Wert an diesem Punkt. Es ist interessant festzustellen, dass ein Punkt geometrisch gesehen ein sehr realer Punkt in unserem dreidimensionalen Raum ist. Die Werte der Funktion und der Ableitungen sind bereits die vierte Dimension, und niemand weiß, wo sie geometrisch liegt. Wie man sagt, kroch niemand mit einem Maßband durch das Universum oder überprüfte es. Da das philosophische Thema wieder im Kommen ist, beschäftigen wir uns mit der dritten Frage: Ist eine Reise in die Vergangenheit möglich? Korrekte Antwort: Nein. Eine Reise in die Vergangenheit widerspricht dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik über die Irreversibilität physikalischer Prozesse (Entropie). Also bitte nicht in ein Becken ohne Wasser springen, das Ereignis kann nur in einem Video nachgespielt werden =) Nicht umsonst hat die Volksweisheit das gegenteilige Alltagsgesetz erfunden: „Zweimal messen, einmal schneiden.“ Obwohl das Traurige daran ist, dass die Zeit einseitig und unumkehrbar ist, wird keiner von uns morgen jünger sein. Und diverse Science-Fiction-Filme wie „Terminator“ sind aus wissenschaftlicher Sicht völliger Unsinn. Aus philosophischer Sicht ist es auch absurd, wenn die Wirkung, die in die Vergangenheit zurückkehrt, ihre eigene Ursache zerstören kann. . Interessanter ist es mit dem „zet“-Derivat, obwohl es immer noch fast dasselbe ist: (1) Wir entnehmen die Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung. (2) Auch hier handelt es sich um das Produkt zweier Funktionen: jedes davon hängt davon ab aus der „Live“-Variable „zet“. Im Prinzip können Sie die Formel für die Ableitung eines Quotienten verwenden, es ist jedoch einfacher, den umgekehrten Weg zu gehen und die Ableitung des Produkts zu ermitteln. (3) Die Ableitung ist eine tabellarische Ableitung. Der zweite Term enthält die bereits bekannte Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiel 9 Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion von drei Variablen Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Überlegen Sie, wie Sie diese oder jene partielle Ableitung rationaler finden können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Bevor wir zu den letzten Beispielen der Lektion übergehen und sie uns ansehen Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Funktionen von drei Variablen, ich werde alle noch einmal mit der vierten Frage aufmuntern: Kann man in die Zukunft reisen? Korrekte Antwort: Die Wissenschaft verbietet dies nicht. Paradoxerweise gibt es kein mathematisches, physikalisches, chemisches oder sonstiges naturwissenschaftliches Gesetz, das eine Reise in die Zukunft verbieten würde! Scheint Unsinn zu sein? Aber fast jeder im Leben hatte eine Vorahnung (die nicht durch logische Argumente gestützt wurde), dass dieses oder jenes Ereignis eintreten wird. Und es ist passiert! Woher kamen die Informationen? Von der Zukunft? Daher können Science-Fiction-Filme über Reisen in die Zukunft und übrigens auch die Vorhersagen aller Arten von Wahrsagern und Hellsehern nicht als solcher Unsinn bezeichnet werden. Zumindest hat die Wissenschaft dies nicht widerlegt. Alles ist möglich! Als ich in der Schule war, kamen mir CDs und Flachbildschirme aus Filmen unglaublich vor. Die berühmte Komödie „Iwan Wassiljewitsch wechselt seinen Beruf“ ist (höchstens) eine halbe Fiktion. Kein wissenschaftliches Gesetz verbietet Iwan dem Schrecklichen, in der Zukunft zu sein, aber es ist unmöglich, dass zwei Paprikaschoten in der Vergangenheit landen und die Pflichten eines Königs erfüllen. Betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen: Da die Variablen $x$ und $y$ unabhängig sind, können wir für eine solche Funktion das Konzept der partiellen Ableitung einführen: Die partielle Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ in Bezug auf die Variable $x$ ist das Limit \[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\] Ebenso können Sie die partielle Ableitung nach der Variablen $y$ definieren: \[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\] Mit anderen Worten: Um die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen zu finden, müssen Sie alle anderen Variablen außer der gewünschten Variablen festlegen und dann die gewöhnliche Ableitung nach dieser gewünschten Variablen ermitteln. Dies führt zur Haupttechnik zur Berechnung solcher Ableitungen: Gehen Sie einfach davon aus, dass alle Variablen außer dieser eine Konstante sind, und differenzieren Sie dann die Funktion so, wie Sie eine „normale“ Funktion differenzieren würden – mit einer Variablen. Zum Beispiel: $\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$ Offensichtlich liefern partielle Ableitungen nach verschiedenen Variablen unterschiedliche Antworten – das ist normal. Es ist viel wichtiger zu verstehen, warum wir beispielsweise im ersten Fall ruhig 10y$ unter dem Ableitungszeichen entfernt haben und im zweiten Fall den ersten Term vollständig auf Null gesetzt haben. All dies geschieht aufgrund der Tatsache, dass alle Buchstaben mit Ausnahme der Variablen, anhand derer differenziert wird, als Konstanten betrachtet werden: Sie können herausgenommen, „verbrannt“ usw. werden. Heute werden wir über Funktionen mehrerer Variablen und partielle Ableitungen davon sprechen. Was ist zunächst eine Funktion mehrerer Variablen? Bisher sind wir es gewohnt, eine Funktion als $y\left(x \right)$ oder $t\left(x \right)$ oder eine beliebige Variable und eine einzelne Funktion davon zu betrachten. Jetzt haben wir eine Funktion, aber mehrere Variablen. Wenn sich $y$ und $x$ ändern, ändert sich auch der Wert der Funktion. Wenn sich beispielsweise $x$ verdoppelt, ändert sich der Wert der Funktion, und wenn sich $x$ ändert, sich aber $y$ nicht ändert, ändert sich der Wert der Funktion auf die gleiche Weise. Natürlich kann eine Funktion mehrerer Variablen ebenso wie eine Funktion einer Variablen differenziert werden. Da es jedoch mehrere Variablen gibt, ist eine Differenzierung nach verschiedenen Variablen möglich. In diesem Fall ergeben sich spezifische Regeln, die bei der Differenzierung einer Variablen nicht existierten. Wenn wir die Ableitung einer Funktion von einer beliebigen Variablen berechnen, müssen wir zunächst angeben, für welche Variable wir die Ableitung berechnen – dies wird als partielle Ableitung bezeichnet. Zum Beispiel haben wir eine Funktion aus zwei Variablen und können sie sowohl in $x$ als auch in $y$ berechnen – zwei partielle Ableitungen für jede der Variablen. Zweitens gelten alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten, sobald wir eine der Variablen festgelegt haben und beginnen, die partielle Ableitung nach ihr zu berechnen. Wenn wir beispielsweise in $z\left(xy \right)$ die partielle Ableitung nach $x$ betrachten, dann betrachten wir es überall dort, wo wir auf $y$ stoßen, als Konstante und behandeln es als solche. Insbesondere können wir bei der Berechnung der Ableitung eines Produkts $y$ aus Klammern herausnehmen (wir haben eine Konstante) und bei der Berechnung der Ableitung einer Summe, wenn wir irgendwo eine Ableitung eines Ausdrucks erhalten, der $y$ und enthält nicht $x$ enthält, dann ist die Ableitung dieses Ausdrucks gleich „Null“ als Ableitung einer Konstante. Auf den ersten Blick scheint es, als würde ich über etwas Kompliziertes sprechen, und viele Schüler sind zunächst verwirrt. Partielle Ableitungen haben jedoch nichts Übernatürliches, und das werden wir nun am Beispiel konkreter Probleme sehen. Um keine Zeit zu verschwenden, beginnen wir ganz am Anfang mit seriösen Beispielen. Lassen Sie mich zunächst an diese Formel erinnern: Dies ist der Standard-Tabellenwert, den wir aus dem Standardkurs kennen. In diesem Fall wird die Ableitung $z$ wie folgt berechnet: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\] Machen wir es noch einmal, da die Wurzel nicht $x$ ist, sondern ein anderer Ausdruck, in diesem Fall $\frac(y)(x)$, dann verwenden wir zuerst den Standardtabellenwert und dann, da die Wurzel ist nicht $x $ und ein anderer Ausdruck, müssen wir unsere Ableitung mit einem anderen dieses Ausdrucks in Bezug auf dieselbe Variable multiplizieren. Berechnen wir zunächst Folgendes: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)")_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\] Wir kehren zu unserem Ausdruck zurück und schreiben: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\] Im Grunde ist das alles. Es ist jedoch falsch, es in dieser Form zu belassen: Eine solche Konstruktion ist für weitere Berechnungen unpraktisch, also wandeln wir sie ein wenig um: \[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\] \[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\] Die Antwort ist gefunden. Kommen wir nun zu $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\] Schreiben wir es separat auf: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\] Nun schreiben wir auf: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\] \[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\] Erledigt. Dieses Beispiel ist sowohl einfacher als auch komplexer als das vorherige. Es ist komplizierter, weil es mehr Aktionen gibt, aber einfacher, weil es keine Wurzel gibt und außerdem die Funktion symmetrisch in Bezug auf $x$ und $y$ ist, d. h. Wenn wir $x$ und $y$ vertauschen, ändert sich die Formel nicht. Diese Bemerkung wird unsere Berechnung der partiellen Ableitung weiter vereinfachen, d. h. Es reicht aus, einen davon zu zählen und im zweiten einfach $x$ und $y$ zu vertauschen. Kommen wir zur Sache: \[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\] Lass uns zählen: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ] Allerdings verstehen viele Schüler diese Schreibweise nicht, also schreiben wir es so: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\] Damit sind wir einmal mehr von der Universalität des partiellen Ableitungsalgorithmus überzeugt: Egal wie wir sie berechnen, wenn alle Regeln richtig angewendet werden, wird die Antwort dieselbe sein. Schauen wir uns nun eine weitere partielle Ableitung unserer großen Formel an: \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\] Setzen wir die resultierenden Ausdrücke in unsere Formel ein und erhalten: \[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ rechts)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\] \[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\] \[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\] Basierend auf gezählten $x$. Und um $y$ aus demselben Ausdruck zu berechnen, führen wir nicht dieselbe Abfolge von Aktionen aus, sondern nutzen die Symmetrie unseres ursprünglichen Ausdrucks – wir ersetzen einfach alle $y$ in unserem ursprünglichen Ausdruck durch $x$ und umgekehrt: \[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\] Aufgrund der Symmetrie haben wir diesen Ausdruck viel schneller berechnet. Für partielle Ableitungen funktionieren alle Standardformeln, die wir für gewöhnliche verwenden, nämlich die Ableitung des Quotienten. Gleichzeitig ergeben sich jedoch Besonderheiten: Wenn wir die partielle Ableitung von $x$ betrachten, betrachten wir sie, wenn wir sie aus $x$ erhalten, als Konstante, und daher ist ihre Ableitung gleich „Null“. . Wie bei gewöhnlichen Derivaten kann der Quotient (dasselbe Derivat) auf verschiedene Arten berechnet werden. Dieselbe Konstruktion, die wir gerade berechnet haben, kann beispielsweise wie folgt umgeschrieben werden: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\] \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\] Gleichzeitig können Sie andererseits die Formel aus der Ableitungssumme verwenden. Wie wir wissen, ist es gleich der Summe der Ableitungen. Schreiben wir zum Beispiel Folgendes: \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \] Wenn wir das alles wissen, versuchen wir nun, mit ernsteren Ausdrücken zu arbeiten, da reelle partielle Ableitungen nicht nur auf Polynome und Wurzeln beschränkt sind: Es gibt auch Trigonometrie, Logarithmen und die Exponentialfunktion. Jetzt machen wir das. Schreiben wir die folgenden Standardformeln: \[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\] \[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\] Mit diesem Wissen bewaffnet, versuchen wir Folgendes zu lösen: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Schreiben wir eine Variable separat auf: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Kehren wir zu unserem Design zurück: \[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Das war's, wir haben es für $x$ gefunden, jetzt machen wir die Berechnungen für $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Berechnen wir noch einmal einen Ausdruck: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\] Wir kehren zum ursprünglichen Ausdruck zurück und setzen die Lösung fort: \[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\] Erledigt. Schreiben wir die Formel auf, die wir brauchen: \[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\] Jetzt zählen wir mit $x$: \[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\] Gefunden für $x$. Wir zählen nach $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ] Das Problem ist behoben. Unabhängig davon, welche Funktion wir partiell ableiten, bleiben die Regeln dieselben, unabhängig davon, ob wir mit Trigonometrie, mit Wurzeln oder mit Logarithmen arbeiten. Die klassischen Regeln für die Arbeit mit Standardableitungen bleiben unverändert, nämlich die Ableitung einer Summe und einer Differenz, eines Quotienten und einer komplexen Funktion. Die letzte Formel findet man am häufigsten bei der Lösung von Problemen mit partiellen Ableitungen. Wir treffen sie fast überall. Es gab noch nie eine einzige Aufgabe, bei der wir nicht darauf gestoßen sind. Aber egal welche Formel wir verwenden, es kommt noch eine weitere Anforderung hinzu, nämlich die Besonderheit der Arbeit mit partiellen Ableitungen. Sobald wir eine Variable festlegen, sind alle anderen Konstanten. Wenn wir insbesondere die partielle Ableitung des Ausdrucks $\cos \frac(x)(y)$ nach $y$ betrachten, dann ist $y$ die Variable und $x$ bleibt überall konstant. Das Gleiche funktioniert auch umgekehrt. Es kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden, und die Ableitung der Konstante selbst ist gleich „Null“. All dies führt dazu, dass partielle Ableitungen desselben Ausdrucks, jedoch in Bezug auf unterschiedliche Variablen, völlig unterschiedlich aussehen können. Schauen wir uns zum Beispiel die folgenden Ausdrücke an: \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\] \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\] Schreiben wir zunächst die folgende Formel: \[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\] Wenn wir diese Tatsache sowie die Ableitung einer komplexen Funktion kennen, versuchen wir zu berechnen. Ich werde es jetzt auf zwei verschiedene Arten lösen. Das erste und offensichtlichste ist die Ableitung des Produkts: \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Lassen Sie uns den folgenden Ausdruck separat lösen: \[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\] Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und fahren mit der Lösung fort: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\] Alles, $x$ wird berechnet. Allerdings werden wir nun, wie versprochen, versuchen, dieselbe partielle Ableitung auf andere Weise zu berechnen. Beachten Sie dazu Folgendes: \[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\] Schreiben wir es so: \[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\] Als Ergebnis erhielten wir genau die gleiche Antwort, allerdings fiel der Rechenaufwand geringer aus. Dazu genügte der Hinweis, dass bei der Durchführung des Produkts Indikatoren hinzugefügt werden können. Jetzt zählen wir mit $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\] \[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen: \[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\] Fahren wir mit der Lösung unserer ursprünglichen Konstruktion fort: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\] Natürlich könnte dieselbe Ableitung auch auf die zweite Art berechnet werden, und die Antwort wäre dieselbe. Zählen wir mit $x$: \[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\] Berechnen wir einen Ausdruck separat: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\] Fahren wir mit der Lösung der ursprünglichen Konstruktion fort: $$ Das ist die Antwort. Es bleibt noch, analog mit $y$ zu finden: \[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\] Wie immer berechnen wir einen Ausdruck separat: \[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\] Wir lösen weiterhin das Grunddesign: Alles ist berechnet. Wie Sie sehen, fallen die Antworten völlig unterschiedlich aus, je nachdem, welche Variable zur Differenzierung herangezogen wird. Hier ist ein eindrucksvolles Beispiel dafür, wie die Ableitung derselben Funktion auf zwei verschiedene Arten berechnet werden kann. Schau hier: \[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\] \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ] Bei der Auswahl unterschiedlicher Pfade kann die Anzahl der Berechnungen unterschiedlich sein, aber die Antwort wird, wenn alles richtig gemacht wird, dieselbe sein. Dies gilt sowohl für klassische als auch für partielle Ableitungen. Gleichzeitig erinnere ich Sie noch einmal daran: Je nachdem, welche Variable die Ableitung nimmt, d.h. Differenzierung kann die Antwort völlig anders ausfallen. Sehen: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\] \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\] Um all dieses Material zu konsolidieren, versuchen wir abschließend, zwei weitere Beispiele zu berechnen. Schreiben wir die folgenden Formeln auf: \[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\] \[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\] Lösen wir nun unseren Ausdruck: \[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\] Berechnen wir separat die folgende Konstruktion: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\] Wir lösen weiterhin den ursprünglichen Ausdruck: \[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\] Dies ist die endgültige Antwort der privaten Variablen auf $x$. Jetzt zählen wir mit $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\] Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\] Lassen Sie uns unsere Konstruktion bis zum Ende lösen: \[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\] Auf den ersten Blick mag dieses Beispiel recht kompliziert erscheinen, da es drei Variablen gibt. Tatsächlich ist dies eine der einfachsten Aufgaben im heutigen Video-Tutorial. Suchen nach $x$: \[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\] Kommen wir nun zu $y$: \[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\] \[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\] Wir haben die Antwort gefunden. Jetzt müssen Sie nur noch nach $z$ suchen: \[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\] Wir haben die dritte Ableitung berechnet, die die Lösung des zweiten Problems vervollständigt. Wie Sie sehen, gibt es in diesen beiden Beispielen nichts Kompliziertes. Das Einzige, wovon wir überzeugt sind, ist, dass die Ableitung einer komplexen Funktion häufig verwendet wird und wir je nachdem, welche partielle Ableitung wir berechnen, unterschiedliche Antworten erhalten. In der letzten Aufgabe wurden wir gebeten, uns mit einer Funktion von drei Variablen gleichzeitig zu befassen. Daran ist nichts auszusetzen, aber am Ende waren wir überzeugt, dass sie sich alle deutlich voneinander unterscheiden. Die letzten Erkenntnisse aus dem heutigen Video-Tutorial lauten wie folgt: Natürlich reicht es nicht aus, sich diese Videolektion allein anzuschauen, um dieses Thema vollständig zu verstehen. Deshalb gibt es auf meiner Website derzeit eine Reihe von Aufgaben zu diesem Video, die speziell dem heutigen Thema gewidmet sind – gehen Sie rein, laden Sie diese Aufgaben herunter, lösen Sie sie und überprüfen Sie die Antwort . Und danach haben Sie weder in Prüfungen noch im selbstständigen Arbeiten Probleme mit partiellen Ableitungen. Natürlich ist dies nicht die letzte Lektion in höherer Mathematik, also besuchen Sie unsere Website, fügen Sie VKontakte hinzu, abonnieren Sie YouTube, liken Sie und bleiben Sie bei uns!
- Vollinkrement genannt
, wo es in der Form (1) dargestellt wird
().
während das Inkrement der Funktion nur für diejenigen berücksichtigt werden muss, für die + zum Definitionsbereich der Funktion f(x) gehört.. Dann
; . Für ein einfaches Beispiel wie dieses können beide Regeln problemlos in einem Schritt angewendet werden. Achten Sie auf den ersten Begriff: seit wird als Konstante betrachtet und jede Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden, dann setzen wir es aus Klammern. Das heißt, in dieser Situation ist es nicht besser als eine gewöhnliche Zahl. Schauen wir uns nun den dritten Begriff an: Hier gibt es im Gegenteil nichts herauszunehmen. Da es eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante, und in diesem Sinne ist es nicht besser als der letzte Term – „sieben“.
Schließlich impliziert die Funktion dreier Variablen die Tatsache, dass sich alle Dinge im vierdimensionalen Raum abspielen (tatsächlich gibt es vier Variablen). Der Graph einer Funktion von drei Variablen ist der sogenannte Hyperoberfläche. Man kann es sich nicht vorstellen, da wir im dreidimensionalen Raum (Länge/Breite/Höhe) leben. Damit es Dir bei mir nicht langweilig wird, biete ich ein Quiz an. Ich werde ein paar Fragen stellen, und jeder Interessierte kann versuchen, sie zu beantworten:
Ja / Nein (die Wissenschaft verbietet dies) / Die Wissenschaft verbietet dies nicht / Ich weiß es nicht
oder – partielle Ableitung nach „y“;
oder – partielle Ableitung nach „zet“.
oder du kannst es auch so schreiben:
– Sie müssen partielle Ableitungen erster Ordnung finden;
– Sie müssen die Werte der partiellen Ableitungen 1. Ordnung an diesem Punkt berechnen.
Was ist „partielle Ableitung“?
Probleme mit Radikalen und Polynomen
Aufgabe Nr. 1
Problem Nr. 2
Nuancen der Lösung
Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Logarithmen
Aufgabe Nr. 1
Problem Nr. 2
Nuancen der Lösung
Probleme mit Exponentialfunktionen und Logarithmen
Aufgabe Nr. 1
Problem Nr. 2
Nuancen der Lösung
Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Funktionen mit drei Variablen
Aufgabe Nr. 1
Problem Nr. 2
Nuancen der Lösung
Wichtige Punkte
