2. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen

Die Konzepte von Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen ähneln dem Fall einer Variablen.

Sei ein beliebiger Punkt auf der Ebene. - Eine Umgebung eines Punktes ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung erfüllen. Mit anderen Worten: Die Umgebung eines Punktes umfasst alle inneren Punkte eines Kreises mit einem Mittelpunkt in einem Punkt und einem Radius.

Definition 2. Eine Zahl wird als Grenzwert einer Funktion an (oder an einem Punkt) bezeichnet, wenn für jede beliebig kleine positive Zahl (abhängig davon) eine solche existiert, dass für alle und die Erfüllung der Ungleichung die Ungleichung gilt.

Der Grenzwert wird wie folgt angegeben:

Beispiel 1. Finden Sie den Grenzwert.

Lösung. Lassen Sie uns die Notation where einführen. Wenn wir das haben. Dann

Definition 3. Eine Funktion heißt stetig an einem Punkt, wenn: 1) sie an dem Punkt und seiner Umgebung definiert ist; 2) hat eine endliche Grenze; 3) Diese Grenze ist gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt, d.h. .

Eine Funktion heißt in einem bestimmten Bereich stetig, wenn sie an jedem Punkt in diesem Bereich stetig ist.

Die Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingung nicht erfüllt ist, werden Bruchpunkte dieser Funktion genannt. In einigen Funktionen bilden Bruchpunkte ganze Bruchlinien. Beispielsweise verfügt eine Funktion über zwei Bruchlinien: axis() und axis().

Beispiel 2. Finden Sie die Haltepunkte der Funktion.

Lösung. Diese Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen der Nenner gegen Null geht, also an den Stellen, an denen oder. Es ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius. Dies bedeutet, dass die Unstetigkeitslinie der ursprünglichen Funktion ein Kreis ist.

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Funktionen vieler Variablen

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Die Konzepte von Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen ähneln dem Fall einer Variablen. Sei ein beliebiger Punkt auf der Ebene. - Eine Umgebung eines Punktes ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung erfüllen...

Funktionen mehrerer Variablen

Definition 7. Ein Punkt wird als minimaler (maximaler) Punkt einer Funktion bezeichnet, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für alle Punkte in dieser Umgebung die Ungleichung ()... gilt.

Definition 1

Wenn jedem Paar $(x,y)$ von Werten zweier unabhängiger Variablen aus einem bestimmten Bereich ein bestimmter Wert $z$ zugeordnet ist, dann heißt $z$ eine Funktion zweier Variablen $(x,y) $ in dieser Domäne.

Notation: $z=f(x,y)$.

Es sei eine Funktion $z=f(x,y)$ aus zwei unabhängigen Variablen $(x,y)$ gegeben.

Anmerkung 1

Da die Variablen $(x,y)$ unabhängig sind, kann sich eine von ihnen ändern, während die andere konstant bleibt.

Geben wir der Variablen $x$ ein Inkrement von $\Delta x$, während der Wert der Variablen $y$ unverändert bleibt.

Dann erhält die Funktion $z=f(x,y)$ ein Inkrement, das als Teilinkrement der Funktion $z=f(x,y)$ in Bezug auf die Variable $x$ bezeichnet wird. Bezeichnung:

Definition 2

Die partielle Ableitung nach der Variablen $x$ einer gegebenen Funktion $z=f(x,y)$ ist der Grenzwert des Verhältnisses des partiellen Inkrements $\Delta _(x) z$ einer gegebenen Funktion zum Erhöhen Sie $\Delta x$ bei $\Delta x\ auf 0$.

Notation: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

Anmerkung 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

Geben wir der Variablen $y$ ein Inkrement von $\Delta y$, während der Wert der Variablen $x$ unverändert bleibt.

Dann erhält die Funktion $z=f(x,y)$ ein Inkrement, das als Teilinkrement der Funktion $z=f(x,y)$ in Bezug auf die Variable $y$ bezeichnet wird. Bezeichnung:

Definition 3

Die partielle Ableitung nach der Variablen $y$ einer gegebenen Funktion $z=f(x,y)$ ist der Grenzwert des Verhältnisses des partiellen Inkrements $\Delta _(y) z$ einer gegebenen Funktion zum Erhöhe $\Delta y$ bei $\Delta y\ auf 0$.

Notation: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

Notiz 3

Per Definition der partiellen Ableitung gilt:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Beachten Sie, dass die Regeln zur Berechnung der partiellen Ableitung einer bestimmten Funktion mit den Regeln zur Berechnung der Ableitungen einer Funktion einer Variablen übereinstimmen. Bei der Berechnung der partiellen Ableitung muss jedoch beachtet werden, für welche Variable die partielle Ableitung gesucht wird.

Beispiel 1

Lösung:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (durch Variable $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (durch Variable $y$).

Beispiel 2

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion:

am Punkt (1;2).

Lösung:

Per Definition partieller Ableitungen erhalten wir:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (durch Variable $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (durch Variable $y$).

\[\links. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \left. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Definition 4

Wenn jedem Tripel $(x,y,z)$ von Werten dreier unabhängiger Variablen aus einem bestimmten Bereich ein bestimmter Wert $w$ zugeordnet ist, dann heißt $w$ eine Funktion von drei Variablen $(x, y,z)$ in diesem Bereich.

Notation: $w=f(x,y,z)$.

Definition 5

Wenn jeder Menge $(x,y,z,...,t)$ von Werten unabhängiger Variablen aus einem bestimmten Bereich ein bestimmter Wert $w$ zugeordnet ist, dann heißt $w$ eine Funktion von Variablen $(x,y, z,...,t)$ in diesem Bereich.

Notation: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Für eine Funktion von drei oder mehr Variablen werden die partiellen Ableitungen nach jeder der Variablen auf die gleiche Weise bestimmt wie für eine Funktion von zwei Variablen:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Updelta t) $.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion:

Lösung:

Per Definition partieller Ableitungen erhalten wir:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (durch Variable $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (durch Variable $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (durch Variable $z$).

Beispiel 4

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion:

am Punkt (1;2;1).

Lösung:

Per Definition partieller Ableitungen erhalten wir:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (durch Variable $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (durch Variable $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (durch Variable $z$) .

Werte partieller Ableitungen an einem bestimmten Punkt:

\[\links. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \left. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \left. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Beispiel 5

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion:

Lösung:

Per Definition partieller Ableitungen erhalten wir:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ (durch Variable $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (durch Variable $y $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (durch Variable $z $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (durch Variable $t $).

Viele in der Natur, in der Wirtschaft und im gesellschaftlichen Leben auftretende Phänomene können nicht mithilfe einer Funktion einer Variablen beschrieben werden. Beispielsweise hängt die Rentabilität eines Unternehmens von Gewinn, Anlage- und Betriebskapital ab. Um diese Art von Abhängigkeit zu untersuchen, wird das Konzept einer Funktion mehrerer Variablen eingeführt.

In dieser Vorlesung werden Funktionen zweier Variablen besprochen, da alle für Funktionen zweier Variablen formulierten Grundkonzepte und Theoreme leicht auf den Fall einer größeren Anzahl von Variablen verallgemeinert werden können.

Lassen B– eine Menge geordneter Paare reeller Zahlen.

Definition 1 Wenn jedem geordneten Zahlenpaar nach einem Gesetz ein eindeutiges Zeichen zugewiesen wird reelle Zahl, dann sagen sie, dass es gegeben ist Funktion zweier Variablen oder . Die Nummern werden aufgerufen unabhängige Variablen oder Funktionsargumente, und die Zahl ist abhängige Variable.

Beispielsweise ist die Formel, die das Volumen eines Zylinders ausdrückt, eine Funktion zweier Variablen: – Basisradius und – Höhe.

Ein Zahlenpaar wird manchmal als Punkt bezeichnet, und eine Funktion aus zwei Variablen wird manchmal als Punktfunktion bezeichnet.

Funktionswert am Punkt bezeichnen oder und Ruf an privater Wert einer Funktion aus zwei Variablen.

Die Menge aller Punkte, an denen eine Funktion definiert ist , angerufen Definitionsbereich diese Funktion. Für eine Funktion zweier Variablen ist der Definitionsbereich die gesamte Koordinatenebene oder ein Teil davon, begrenzt durch eine oder mehrere Linien.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist beispielsweise die gesamte Ebene und die Funktionen – Einheitskreis mit Mittelpunkt im Ursprung ( oder .

Die Konzepte von Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion zweier Variablen ähneln dem Fall einer Variablen.

Sei ein beliebiger Punkt auf der Ebene. – Umgebung des Punktes ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung erfüllen. Mit anderen Worten: Die Umgebung eines Punktes umfasst alle inneren Punkte eines Kreises mit einem Mittelpunkt im Punkt und einem Radius.

Definition 2 Die Nummer wird angerufen Grenze der Funktion bei (oder an der Stelle ), wenn es für jede beliebig kleine positive Zahl (abhängig davon) so etwas für alle gibt , die Ungleichung erfüllend, ist die Ungleichung erfüllt .

Der Grenzwert wird wie folgt angegeben: oder .

Beispiel 1 Finden Sie die Grenze .

Lösung. Lassen Sie uns die Notation einführen , Wo . Bei wir haben das . Dann

.

Definition 3 Die Funktion wird aufgerufen kontinuierlich an einem Punkt, wenn: 1) an einem Punkt und seiner Umgebung definiert; 2) hat eine endliche Grenze; 3) Diese Grenze ist gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt, d.h. .

Funktion angerufen in einigen Bereichen kontinuierlich, wenn es an jedem Punkt in diesem Bereich stetig ist.

Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingung nicht erfüllt ist, werden aufgerufen Bruchstellen diese Funktion. In einigen Funktionen bilden Bruchpunkte ganze Bruchlinien. Beispielsweise verfügt eine Funktion über zwei Bruchlinien: axis() und axis().

Beispiel 2 Finden Sie Funktionshaltepunkte .

Lösung. Diese Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen der Nenner verschwindet, also an den Stellen, an denen oder . Es ist ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius. Dies bedeutet, dass die Unstetigkeitslinie der ursprünglichen Funktion ein Kreis ist.

2 Partielle Ableitungen erster Ordnung. Volles Differential.
Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen . Erhöhen wir das Argument und lassen es unverändert. Dann erhält die Funktion ein Inkrement, das aufgerufen wird privates Inkrement durch Variable und wird bezeichnet mit:

In ähnlicher Weise erhalten wir, wenn wir das Argument korrigieren und ihm ein Inkrement geben teilweises Inkrementieren einer Funktion durch eine Variable:

Die Menge wird aufgerufen volles Inkrement der Funktion an dem Punkt .

Definition 4 Partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen Gemäß einer dieser Variablen wird die Grenze des Verhältnisses des entsprechenden Teilinkrements einer Funktion zum Inkrement einer bestimmten Variablen aufgerufen, wenn diese gegen Null tendiert (sofern diese Grenze existiert).

Die partielle Ableitung wird wie folgt bezeichnet: oder , oder .

Somit haben wir nach Definition 4:

Partielle Ableitungsfunktionen werden nach den gleichen Regeln und Formeln als Funktion einer Variablen berechnet, wobei zu berücksichtigen ist, dass bei der Differenzierung nach einer Variablen gilt als konstant und bei der Differenzierung nach einer Variablen gilt als konstant.

Beispiel 3 Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen:

Lösung:

1 Um zu finden, zählen wir konstanter Wert und differenzieren als Funktion einer Variablen:

Wenn wir einen konstanten Wert betrachten, finden wir in ähnlicher Weise:

.

.

Definition 5 Volle Differentialfunktion ist die Summe der Produkte der partiellen Ableitungen dieser Funktion mit den Inkrementen der entsprechenden unabhängigen Variablen, d.h.

.

Für nicht fixiert: , und die Formel für das Gesamtdifferential kann geschrieben werden als

oder .

Beispiel 4 Finden Sie das vollständige Differential einer Funktion .

Lösung. Als , dann verwenden wir die Formel für das Gesamtdifferential, die wir finden

.

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung genannt.

Definition 6 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Funktionen heißen partielle Ableitungen partieller Ableitungen erster Ordnung.

Es gibt vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Sie werden wie folgt bezeichnet:

Oder ; oder ;

Oder ; oder .

Partielle Ableitungen 3., 4. und höherer Ordnung werden ähnlich definiert. Zum Beispiel für die Funktion wir haben:

; usw.

Man nennt partielle Ableitungen zweiter oder höherer Ordnung nach verschiedenen Variablen gemischte partielle Ableitungen. Für die Funktion das sind Derivate. Beachten Sie, dass die Gleichheit gilt, wenn die gemischten Ableitungen stetig sind.

Beispiel 5 Finden Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion.

Lösung. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung für diese Funktion finden Sie in Beispiel 3:

Differenzieren nach Variablen X Und j, wir bekommen:

3 Extremum einer Funktion mehrerer Variablen.
Notwendig und ausreichende Voraussetzungen Existenz eines Extremums

Definition 7 Der Punkt heißt minimaler (maximaler) Punkt funktioniert, wenn es eine Umgebung eines Punktes gibt, so dass für alle Punkte aus dieser Umgebung die Ungleichung gilt , ().

Minimale und maximale Punkte einer Funktion werden genannt Extrempunkte, und die Funktionswerte an diesen Punkten sind Extrema der Funktion(Minimum bzw. Maximum).

Beachten Sie, dass die minimalen und maximalen Funktionen vorhanden sind lokal Charakter, da der Wert der Funktion an einem Punkt mit seinen Werten an Punkten verglichen wird, die ausreichend nahe bei liegen.

Satz 1(notwendige Bedingungen für ein Extremum). Wenn ist der Extrempunkt der differenzierbaren Funktion, dann sind ihre partiellen Ableitungen an diesem Punkt gleich Null: .

Die Punkte, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind, werden aufgerufen kritisch oder stationär. An kritischen Stellen der Funktion kann ein Extremum haben oder auch nicht.

Satz 2(ausreichende Bedingung für Extremum). Die Funktion: a) sei in einer Umgebung des kritischen Punktes definiert, in dem Und ; b) hat stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung . Dann wenn , dann hat die Funktion am Punkt ein Extremum: Maximum, wenn A<0; минимум, если А>0; Wenn , dann hat die Funktion kein Extremum. Im Fall von die Frage nach dem Vorliegen eines Extremums bleibt offen.

Bei der Untersuchung einer Funktion zweier Variablen für ein Extremum wird die Verwendung des folgenden Schemas empfohlen:

1 Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung: Und .

2 Lösen Sie das Gleichungssystem und finden Sie die kritischen Punkte der Funktion.

3 Finden Sie partielle Ableitungen zweiter Ordnung: , , .

4 Berechnen Sie jeweils die Werte der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung

Erreichen Sie den kritischen Punkt und ziehen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen eine Schlussfolgerung über das Vorhandensein eines Extremums.

5 Finden Sie die Extrema der Funktion.

Beispiel 6 Finden Sie die Extrema der Funktion .

Lösung:

1 Partielle Ableitungen finden Und :

; .

2 Um die kritischen Punkte zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem:

oder

Aus der ersten Gleichung des Systems finden wir: . Ersetzen des gefundenen Werts j in die zweite Gleichung erhalten wir:

, , ,

.

Werte finden j, entsprechend den Werten . Werte ersetzen in die Gleichung erhalten wir: ; Haupttabelle unbestimmte Integrale Gleichheit ist erfüllt.

Lösung. Differenzieren wir das Ergebnis der Integration:

.

Wir haben den Integranden erhalten, daher ist die Integration korrekt.

Beweisen wir (7) als Beispiel.

Lassen ( x k, jk) → (X 0 , bei 0) ((x k, jk) ≠ (X 0 , bei 0)); Dann

Somit existiert der Grenzwert auf der linken Seite von (9) und ist gleich der rechten Seite von (9), und da die Folge ( x k, jk) neigt dazu ( X 0 , bei 0) nach einem beliebigen Gesetz, dann ist dieser Grenzwert gleich dem Grenzwert der Funktion F (X, j) ∙φ (X, j) am Punkt ( X 0 , bei 0).

Satz. wenn Funktion F (X, j) hat an dem Punkt ( X 0 , bei 0), d.h.

dann gibt es δ > 0, so dass für alle X, bei

es erfüllt die Ungleichung

Daher für solche (X, j)

diese. Ungleichung (11) gilt. Aus Ungleichung (12) für das Angezeigte (X, j) sollen

A< 0 (сохранение знака).

Per Definition Funktion F(X) = F (X 1 , …, x n) = A hat an dieser Stelle eine Grenze

(Sie schreiben auch F(X) → A (X → X 0)), wenn es in einer Umgebung des Punktes definiert ist X 0, außer vielleicht sie selbst, und wenn es eine Grenze gibt

was auch immer der Anspruch ist X 0 Punktfolge Xk aus der angegebenen Nachbarschaft ( k= 1, 2, ...), verschieden von X 0 .

Eine andere äquivalente Definition ist: Funktion F hat an der Stelle X 0 Grenze gleich A, wenn es in einer Umgebung des Punktes definiert ist X 0 , mit der möglichen Ausnahme von sich selbst, und für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass

für alle X, die Ungleichungen erfüllen

0 < |X – X 0 | < δ.

Diese Definition wiederum ist äquivalent zu Folgendem: Für jedes ε > 0 gibt es eine Nachbarschaft U (X 0 ) Punkte X 0 so dass für alle X

Offensichtlich, wenn die Zahl A Es gibt eine Grenze F(X) V X 0 also A Es gibt eine Grenze der Funktion F(X 0 + H) aus H am Nullpunkt:

umgekehrt.

Betrachten wir eine Funktion F, definiert an allen Punkten in der Umgebung des Punktes X 0 außer vielleicht einem Punkt X 0 ; sei ω = (ω 1 , ..., ω P) ist ein beliebiger Vektor der Länge eins (|ω| = 1) und T> 0 – Skalar. Aussichtspunkte X 0 + Tω (0 < T) Form entsteht aus X 0 Strahl in Richtung des Vektors ω. Für jedes ω können wir die Funktion betrachten

aus einer Skalarvariablen T, wobei δ ω eine von ω abhängige Zahl ist. Der Grenzwert dieser Funktion (aus einer Variablen T)

Wenn es existiert, ist es natürlich, es eine Grenze zu nennen F am Punkt X 0 in Richtung des Vektors ω.

Werde schreiben

Wir können über die Grenze reden F, Wann X → ∞:

Zum Beispiel im Fall einer endlichen Zahl A Gleichheit (14) muss in dem Sinne verstanden werden, dass wir für jedes ε > 0 Folgendes angeben können N> 0, was für Punkte gilt X, für die | X| > N, Funktion F definiert und Ungleichheit gilt

Also der Grenzwert der Funktion F(X) = F(X 1 , ..., xp) aus P Die Bestimmung der Variablen erfolgt analog wie bei einer Funktion zweier Variablen.

Kommen wir also zur Definition des Grenzwerts einer Funktion mehrerer Variablen.

Nummer A wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet F(M) bei M → M 0, wenn es für jede Zahl ε > 0 immer eine Zahl δ > 0 gibt, so dass für alle Punkte gilt M, anders als M 0 und erfüllt die Bedingung | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |F(M) – A | < ε.

Grenze bezeichnen

Grenzwertsätze. Wenn das funktioniert F 1 (M) Und F 2 (M) bei M → M 0 tendieren jeweils zu einem endlichen Grenzwert, dann:

Beispiel 1. Finden Sie den Grenzwert einer Funktion:

Lösung. Lassen Sie uns den Grenzwert wie folgt umwandeln:

Lassen j = kx, Dann

Beispiel 2. Finden Sie den Grenzwert einer Funktion:

Lösung. Lassen Sie uns das erste verwenden bemerkenswerte Grenze

Beispiel 3. Finden Sie den Grenzwert einer Funktion:

Lösung. Nutzen wir die zweite bemerkenswerte Grenze

Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variablen

Per Definition Funktion F (X, j) ist stetig im Punkt ( X 0 , bei 0), wenn es in einem Teil seiner Umgebung definiert ist, einschließlich am Punkt selbst ( X 0 , bei 0) und wenn der Grenzwert F (X, j) an diesem Punkt ist gleich seinem Wert an ihm:

Die Kontinuitätsbedingung, d.h. Funktion F ist stetig im Punkt ( X 0 , bei 0), wenn die Funktion stetig ist F(X 0 + Δ X, bei 0 + Δ y) auf Variablen Δ X, Δ bei bei Δ X = Δ y = 0.

Sie können ein Inkrement Δ eingeben Und Funktionen Und = F (X, j) am Punkt (X, j) , entsprechend Inkrementen Δ X, Δ bei Argumente

Δ Und = F(X + Δ X, bei + Δ y) – F (X, j)

und in dieser Sprache Kontinuität definieren F V (X, j) : Funktion F kontinuierlich an einem Punkt (X, j) , Wenn

Satz. Summe, Differenz, Produkt und Quotient der Stetigkeit an einem Punkt ( X 0 , bei 0) Funktionen F und φ ist an diesem Punkt eine stetige Funktion, es sei denn natürlich, es handelt sich um einen Quotienten φ ( X 0 , bei 0) ≠ 0.

Konstante Mit kann als Funktion betrachtet werden F (X, j) = Mit aus Variablen X, j. Es ist in diesen Variablen stetig, weil

Die nächstschwierigsten Funktionen sind F (X, j) = X Und F (X, j) = bei. Sie können auch als Funktionen von betrachtet werden (X, j) , und gleichzeitig sind sie stetig. Zum Beispiel die Funktion F (X, j) = X entspricht jedem Punkt (X, j) eine Zahl gleich X. Stetigkeit dieser Funktion an einem beliebigen Punkt (X, j) lässt sich so beweisen.

Kontinuität der Funktion

Eine Funktion zweier Variablen f (x, y), definiert am Punkt (x 0 , y 0) und in einer Umgebung davon, heißt stetig am Punkt (x 0 , y 0), wenn der Grenzwert dieser Funktion ist am Punkt (x 0 , y 0 ) ist gleich dem Wert dieser Funktion f(x 0 , y 0), d.h. Wenn

Eine Funktion, die an jedem Punkt in einem bestimmten Bereich stetig ist, heißt in diesem Bereich stetig. Stetige Funktionen zweier Variablen haben ähnliche Eigenschaften wie stetige Funktionen einer Variablen.

Wenn an einem Punkt (x 0 , y 0) die Kontinuitätsbedingung nicht erfüllt ist, dann wird die Funktion f (x, y) am Punkt (x 0 , y 0) als unstetig bezeichnet.

Differenzieren einer Funktion zweier Variablen

Partielle Ableitungen erster Ordnung

Ein noch wichtigeres Merkmal einer Funktionsänderung sind die Grenzen:

Verhältnisgrenze

heißt partielle Ableitung erster Ordnung der Funktion z = f(x, y) nach dem Argument x (abgekürzt partielle Ableitung) und wird mit den Symbolen oder oder bezeichnet

Ebenso die Grenze

heißt partielle Ableitung der Funktion z =f (x, y) nach dem Argument y und wird mit den Symbolen oder oder bezeichnet.

Das Finden partieller Ableitungen wird als partielle Differentiation bezeichnet.

Aus der Definition einer partiellen Ableitung folgt, dass, wenn sie aus einem bestimmten Argument gefunden wird, das andere partielle Argument als konstanter Wert betrachtet wird. Nach der Differenzierung gelten beide Teilargumente wieder als Variablen. Mit anderen Worten: Partielle Ableitungen sind Funktionen zweier Variablen x und y.

Teildifferenziale

Größe

wird der lineare Hauptteil des Inkrements genannt? x f (linear in Bezug auf das Inkrement des privaten Arguments?x). Diese Größe wird als partielles Differential bezeichnet und mit dem Symbol d x f bezeichnet.

Ebenfalls

Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen

Per Definition ist das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen, gekennzeichnet durch das Symbol d f, der lineare Hauptteil des Gesamtinkrements der Funktion:

Es stellte sich heraus, dass das gesamte Differential gleich der Summe der partiellen Differentiale war. Nun lässt sich die Formel für das Gesamtdifferential wie folgt umschreiben:

Wir betonen, dass die Formel für das Gesamtdifferential unter der Annahme erhalten wird, dass partielle Ableitungen erster Ordnung vorliegen

sind in einer Umgebung des Punktes (x, y) stetig.

Eine Funktion, die an einem Punkt ein totales Differential hat, heißt an diesem Punkt differenzierbar.

Damit eine Funktion zweier Variablen an einem Punkt differenzierbar ist, reicht es nicht aus, dass sie an diesem Punkt alle partiellen Ableitungen aufweist. Es ist notwendig, dass alle diese partiellen Ableitungen in einer Umgebung des betreffenden Punktes stetig sind.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung

Betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen z =f (x, y). Oben wurde bereits darauf hingewiesen, dass die partiellen Ableitungen der ersten

selbst sind Funktionen zweier Variablen und können nach x und y differenziert werden. Wir erhalten Ableitungen höherer (zweiter) Ordnung:

Es gab bereits vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Ohne Beweis wird die Aussage getroffen: Wenn gemischte partielle Ableitungen zweiter Ordnung stetig sind, dann sind sie gleich:

Betrachten wir nun das Differential erster Ordnung

Es ist eine Funktion von vier Argumenten: x, y, dx, dy, die unterschiedliche Werte annehmen können.

Wir berechnen das Differential zweiter Ordnung als Differential aus dem Differential erster Ordnung: unter der Annahme, dass die Differentiale der Teilargumente dx und dy Konstanten sind: