Beispiele für eingeschränkte und unbegrenzte Funktionen. Eigenschaften von Funktionen - Wissens-Hypermarkt. Begrenzung der Nummernfolge

Da die angegebenen Flächen jeweils gleich sind

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙Sünde α= 0,5sinα, S Sekte. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5tgα.

Somit,

Sünde α< α < tg α.

Teilen wir alle Terme der Ungleichung durch sin α > 0: .

Aber . Basierend auf Satz 4 über Grenzwerte kommen wir daher zu dem Schluss, dass die abgeleitete Formel als erster bemerkenswerter Grenzwert bezeichnet wird.

Somit dient die erste bemerkenswerte Grenze dazu, Unsicherheit aufzudecken. Beachten Sie, dass die resultierende Formel nicht mit den Grenzwerten verwechselt werden sollte Beispiele.

11.Limit und die damit verbundenen Grenzen.

DIE ZWEITE BEMERKENSWERTE GRENZE

Der zweite bemerkenswerte Grenzwert dient dazu, die Unsicherheit von 1 ∞ aufzudecken und sieht folgendermaßen aus:

Achten wir darauf, dass in der Formel für die zweite bemerkenswerte Grenze der Exponent einen Ausdruck enthalten muss, der umgekehrt zu dem ist, der zur Einheit an der Basis addiert wird (da es in diesem Fall möglich ist, eine Änderung der Variablen einzuführen und die gesuchte Grenze auf die zweite bemerkenswerte Grenze reduzieren)

Beispiele.

1. Funktion f(x)=(X-1) 2 ist unendlich klein bei X→1, da (siehe Abbildung).

2. Funktion f(x)= tg X– infinitesimal bei X→0.

3. f(x)= log(1+ X) – unendlich klein bei X→0.

4. f(x) = 1/X– infinitesimal bei X→∞.

Stellen wir die folgende wichtige Beziehung her:

Satz. Wenn die Funktion y=f(x) darstellbar mit x→a als Summe einer konstanten Zahl B und unendlich kleiner Größe α(x): f (x)=b+ α(x) Das .

Umgekehrt: wenn, dann f (x)=b+α(x), Wo Axt)– infinitesimal bei x→a.

Nachweisen.

1. Beweisen wir den ersten Teil der Aussage. Aus Gleichheit f(x)=b+α(x) sollen |f(x) – b|=| α|. Aber seit Axt) unendlich klein ist, dann gibt es für beliebiges ε δ – eine Umgebung des Punktes A, Vor allen X daraus Werte Axt) die Beziehung erfüllen |α(x)|< ε. Dann |f(x) – b|< ε. Und das bedeutet, dass.

2. Wenn , dann für jedes ε >0 für alle X aus einer δ – Umgebung eines Punktes A Wille |f(x) – b|< ε. Aber wenn wir bezeichnen f(x) – b= α, Das |α(x)|< ε, was das bedeutet A– unendlich klein.

Betrachten wir die grundlegenden Eigenschaften von Infinitesimalfunktionen.

Satz 1. Die algebraische Summe von zwei, drei und im Allgemeinen einer endlichen Anzahl von Infinitesimalzahlen ist eine Infinitesimalfunktion.

Nachweisen. Geben wir einen Beweis für zwei Terme. Lassen f(x)=α(x)+β(x), wo und . Wir müssen das für jedes beliebige kleine ε beweisen > 0 gefunden δ> 0, so dass für X, wodurch die Ungleichung erfüllt wird |x – a|<δ , durchgeführt |f(x)|< ε.

Lassen Sie uns also eine beliebige Zahl ε festlegen > 0. Da gemäß den Bedingungen des Satzes α(x) eine infinitesimale Funktion ist, dann gibt es ein solches δ 1 > 0, also |x – a|< δ 1 haben wir |α(x)|< ε / 2. Ebenso, seitdem β(x) unendlich klein ist, dann gibt es ein solches δ 2 > 0, also |x – a|< δ 2 haben wir | β(x)|< ε / 2.

Lass uns nehmen δ=min(δ 1 , δ2 } .Dann in der Nähe des Punktes A Radius δ Jede der Ungleichungen wird erfüllt sein |α(x)|< ε / 2 und | β(x)|< ε / 2. Deshalb wird es in dieser Nachbarschaft welche geben

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

diese. |f(x)|< ε, was bewiesen werden musste.

Satz 2. Produkt einer infinitesimalen Funktion Axt) für eine begrenzte Funktion f(x) bei x→a(oder wann x→∞) ist eine infinitesimale Funktion.

Nachweisen. Da die Funktion f(x) begrenzt ist, dann gibt es eine Zahl M so dass für alle Werte X aus der Nähe eines Punktes a|f(x)|≤M. Darüber hinaus seit Axt) ist eine infinitesimale Funktion bei x→a, dann für ein beliebiges ε > 0 gibt es eine Umgebung des Punktes A, in dem die Ungleichung gelten wird |α(x)|< ε /M. Dann haben wir es im kleineren dieser Viertel | αf|< ε /M= ε. Und das bedeutet das af– unendlich klein. Für den Anlass x→∞ der Beweis erfolgt analog.

Aus dem bewiesenen Satz folgt:

Folgerung 1. Wenn und dann

Folgerung 2. Wenn c= const, dann .

Satz 3. Verhältnis einer Infinitesimalfunktion α(x) pro Funktion f(x), deren Grenzwert von Null verschieden ist, ist eine infinitesimale Funktion.

Nachweisen. Lassen . Dann 1 /f(x) Es gibt eine eingeschränkte Funktion. Daher ist ein Bruch das Produkt einer infinitesimalen Funktion und einer begrenzten Funktion, d. h. Funktion ist infinitesimal.

Beispiele.

1. Es ist klar, wann x→+∞ Funktion y=x 2 + 1 ist unendlich groß. Aber dann ist die Funktion nach dem oben formulierten Satz unendlich klein bei x→+∞, d.h. .

Auch der umgekehrte Satz lässt sich beweisen.

Satz 2. Wenn die Funktion f(x)- unendlich klein bei x→a(oder x→∞) und verschwindet dann nicht y= 1/f(x) ist eine unendlich große Funktion.

Führen Sie den Beweis des Satzes selbst durch.

Beispiele.

3. , da die Funktionen und bei unendlich klein sind x→+∞, da die Summe der infinitesimalen Funktionen eine infinitesimale Funktion ist. Eine Funktion ist die Summe einer konstanten Zahl und einer infinitesimalen Funktion. Folglich erhalten wir nach Satz 1 für infinitesimale Funktionen die erforderliche Gleichheit.

Somit können die einfachsten Eigenschaften von infinitesimalen und unendlich großen Funktionen mithilfe der folgenden bedingten Beziehungen geschrieben werden: A≠ 0

13. Infinitesimalfunktionen derselben Ordnung, äquivalente Infinitesimalfunktionen.

Infinitesimalfunktionen und werden als Infinitesimalwerte derselben Kleinheitsordnung bezeichnet, wenn , bezeichnen. Und schließlich, wenn es sie nicht gibt, dann sind infinitesimale Funktionen unvergleichbar.

BEISPIEL 2. Vergleich von Infinitesimalfunktionen

Äquivalente Infinitesimalfunktionen.

Wenn , dann werden Infinitesimalfunktionen aufgerufen Äquivalent, bezeichnen ~ .

Lokal äquivalente Funktionen:

Wann wenn

Einige Äquivalenzen(bei ):

Einseitige Grenzen.

Bisher haben wir darüber nachgedacht, den Grenzwert einer Funktion wann zu bestimmen x→a in beliebiger Weise, d.h. Die Grenze der Funktion hing nicht davon ab, wo sie sich befand X in Richtung A, links oder rechts von A. Es ist jedoch durchaus üblich, Funktionen zu finden, die unter dieser Bedingung keine Grenze haben, aber eine Grenze haben, wenn x→a, auf einer Seite bleibend A, links oder rechts (siehe Abbildung). Daher werden die Konzepte der einseitigen Grenzen eingeführt.

Wenn f(x) tendiert an die Grenze B bei X tendiert zu einer bestimmten Anzahl A Also X akzeptiert nur Werte kleiner als A, dann schreiben sie und rufen an bGrenzwert der Funktion f(x) im Punkt a links.

Also die Zahl B wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet y=f(x) bei x→a auf der linken Seite: Wenn die positive Zahl ε auch immer ist, gibt es eine solche Zahl δ (kleiner). A

Ebenso, wenn x→a und nimmt große Werte an A, dann schreiben sie und rufen an B Grenzwert der Funktion im Punkt A rechts. Diese. Nummer B angerufen Grenzwert der Funktion y=f(x) als x→a rechts, wenn welche positive Zahl ε auch immer ist, es eine solche Zahl δ (größer) gibt A), dass Ungleichheit für alle gilt.

Beachten Sie, dass die Grenzen links und rechts an der Stelle liegen A für Funktion f(x) nicht zusammenfallen, dann hat die Funktion im Punkt keinen Grenzwert (zweiseitig). A.

Beispiele.

1. Betrachten Sie die Funktion y=f(x), auf dem Segment wie folgt definiert

Lassen Sie uns die Grenzen der Funktion ermitteln f(x) bei x→ 3. Offensichtlich und

Mit anderen Worten, für jede beliebig kleine Zahl von Epsilon gibt es eine von Epsilon abhängige Deltazahl, so dass aus der Tatsache, dass für jedes x, das die Ungleichung erfüllt, folgt, dass die Unterschiede in den Werten der Funktion an diesen Punkten sein werden beliebig klein.

Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt:

Funktion Wille kontinuierlich am Punkt A genau dann, wenn es am Punkt A sowohl rechts als auch links stetig ist, d die Funktion am Punkt A.

Definition 2: Die Funktion ist stetig auf einer Menge, wenn sie an allen Punkten dieser Menge stetig ist.

Ableitung einer Funktion an einem Punkt

Sei Dana in einer Nachbarschaft definiert. Lassen Sie uns überlegen

Wenn diese Grenze existiert, wird sie aufgerufen Ableitung der Funktion f im Punkt .

Ableitung einer Funktion– die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Argument inkrementiert wird.

Die Operation zum Berechnen oder Finden der Ableitung an einem Punkt wird aufgerufen Differenzierung .

Differenzierungsregeln.

Derivat Funktionen f(x) am Punkt x=x 0 nennt man das Verhältnis des Inkrements einer Funktion an dieser Stelle zum Inkrement des Arguments, da letzteres gegen Null tendiert. Man nennt das Finden der Ableitung Differenzierung. Die Ableitung der Funktion wird mit berechnet allgemeine Regel Differenzierung: Bezeichnen wir f(x) = u, g(x) = v- Funktionen, die an einem Punkt differenzierbar sind X. Grundregeln der Differenzierung 1) (die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe ihrer Ableitungen) 2) (hieraus folgt insbesondere, dass die Ableitung des Produkts einer Funktion und einer Konstante gleich dem Produkt der Ableitung davon ist Funktion und Konstante) 3) Ableitung eines Quotienten: , wenn g  0 4) Ableitung einer komplexen Funktion: 5) Wenn die Funktion parametrisch angegeben wird: , dann

Beispiele.

1. j = X a ist eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten.

Implizite Funktion

Wenn eine Funktion durch die Gleichung y=ƒ(x) gegeben ist, aufgelöst in Bezug auf y, dann ist die Funktion in expliziter Form gegeben (explizite Funktion).

Unter implizite Aufgabe Unter Funktionen versteht man die Definition einer Funktion in Form einer Gleichung F(x;y)=0, die nicht bezüglich y aufgelöst wird.

Jede explizit gegebene Funktion y=ƒ (x) kann als implizit durch die Gleichung ƒ(x)-y=0 gegeben geschrieben werden, aber nicht umgekehrt.

Es ist nicht immer einfach und manchmal sogar unmöglich, eine Gleichung für y zu lösen (zum Beispiel y+2x+cozy-1=0 oder 2 y -x+y=0).

Wenn die implizite Funktion durch die Gleichung F(x; y) = 0 gegeben ist, muss die Gleichung nicht nach y aufgelöst werden, um die Ableitung von y nach x zu finden: es genügt, diese Gleichung nach x zu differenzieren und dabei y als Funktion von x zu betrachten, und dann die resultierende Gleichung nach y auflösen.“

Die Ableitung einer impliziten Funktion wird durch das Argument x und die Funktion y ausgedrückt.

Beispiel:

Finden Sie die Ableitung der Funktion y, gegeben durch die Gleichung x 3 + y 3 -3xy = 0.

Lösung: Die Funktion y wird implizit angegeben. Wir differenzieren nach x die Gleichheit x 3 +y 3 -3xy=0. Aus der resultierenden Beziehung

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

Daraus folgt, dass y 2 y"-xy"=y-x 2, d. h. y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Derivate höherer Ordnung

Es ist klar, dass die Ableitung

Funktionen y=f(x) Es gibt auch eine Funktion von X:

y" =f " (x)

Wenn die Funktion f" (x) differenzierbar ist, wird seine Ableitung mit dem Symbol bezeichnet y"" =f "" (x) x zweimal.
Die Ableitung der zweiten Ableitung, d.h. Funktionen y""=f""(x), angerufen dritte Ableitung der Funktion y=f(x) oder Ableitung der Funktion f(x) dritter Ordnung und wird durch die Symbole angezeigt

Überhaupt N-i Ableitung oder Ableitung N Funktion erster Ordnung y=f(x) durch Symbole gekennzeichnet

Phil Leibniz:

Nehmen wir an, dass die Funktionen und zusammen mit ihren Ableitungen bis einschließlich n-ter Ordnung differenzierbar sind. Wenn wir die Regel zur Differenzierung des Produkts zweier Funktionen anwenden, erhalten wir

Vergleichen wir diese Ausdrücke mit den Potenzen des Binomials:

Auffallend ist die Korrespondenzregel: Um eine Formel für die Ableitung 1., 2. oder 3. Ordnung des Produkts der Funktionen und zu erhalten, müssen Sie die Potenzen und im Ausdruck für (wobei) ersetzen N= 1,2,3) Ableitungen der entsprechenden Ordnungen. Darüber hinaus sollten Nullpotenzen von Größen und durch Ableitungen nullter Ordnung ersetzt werden, d. h. durch sie sind die Funktionen und:

Verallgemeinerung dieser Regel auf den Fall von Ableitungen beliebiger Ordnung N, wir bekommen Leibniz‘ Formel,

Wo sind die Binomialkoeffizienten:

Satz von Rolle.

Mit diesem Theorem können Sie kritische Punkte finden und dann verwenden ausreichende Voraussetzungen Untersuchen Sie die Funktion für Extrema.

Sei 1) f(x) auf einem geschlossenen Intervall definiert und stetig; 2) es gibt eine endliche Ableitung, zumindest im offenen Intervall (a;b); 3) an den Enden des Intervalls f-i nimmt gleiche Werte an f(a) = f(b). Dann gibt es zwischen den Punkten a und b einen Punkt c, so dass die Ableitung an diesem Punkt = 0 ist.

Nach dem Satz über die Eigenschaft von Funktionen, die in einem Intervall stetig sind, nimmt die Funktion f(x) in diesem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte an.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О

1) Sei M = m, d.h. m £ f(x) £ M

Þ f(x) nimmt im Intervall von a bis b konstante Werte an und Þ seine Ableitung wird gleich Null sein. f’(x)=0

2) Sei M>m

Weil gemäß den Bedingungen des Satzes f(a) = f(b) Þ sein kleinster oder größter f-i Bedeutung nimmt nicht an den Enden des Segments an, aber Þ nimmt M oder m am inneren Punkt dieses Segments an. Dann ist nach dem Satz von Fermat f’(c)=0.

Satz von Lagrange.

Formel für endliches Inkrement oder Mittelwertsatz von Lagrange besagt, dass wenn eine Funktion F ist stetig im Intervall [ A;B] und differenzierbar im Intervall ( A;B), dann gibt es einen solchen Punkt

Satz von Cauchy.

Wenn die Funktionen f(x) und g(x) im Intervall stetig und im Intervall (a, b) differenzierbar sind und g¢(x) ¹ 0 im Intervall (a, b), dann gibt es mindestens eine Punkt e, a< e < b, такая, что

Diese. Das Verhältnis der Funktionsinkremente auf einem gegebenen Segment ist gleich dem Verhältnis der Ableitungen am Punkt e. Beispiele für Problemlösungsvorlesungen Berechnung des Volumens eines Körpers aus bekannten Flächen seiner parallelen Abschnitte Integralrechnung

Ausführungsbeispiele Kursarbeit Elektrotechnik

Um diesen Satz zu beweisen, ist es auf den ersten Blick sehr praktisch, den Satz von Lagrange zu verwenden. Schreiben Sie für jede Funktion eine Finite-Differenzen-Formel auf und dividieren Sie sie dann durcheinander. Diese Idee ist jedoch falsch, weil Punkt e ist für jede Funktion im Allgemeinen unterschiedlich. Natürlich kann sich in einigen Sonderfällen herausstellen, dass dieser Intervallpunkt für beide Funktionen gleich ist, aber das ist ein sehr seltener Zufall und keine Regel und kann daher nicht zum Beweis des Satzes verwendet werden.

Nachweisen. Betrachten Sie die Hilfsfunktion

Da x→x 0, tendiert auch der Wert von c zu x 0; Gehen wir zum Grenzwert in der vorherigen Gleichung:

Als , Das .

Deshalb

(Der Grenzwert des Verhältnisses zweier Infinitesimalzahlen ist gleich dem Grenzwert des Verhältnisses ihrer Ableitungen, falls letzterer existiert)

L'Hopitals Regel, bei ∞/∞.

1) Funktionsbereich und Funktionsumfang.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller gültigen Argumentwerte X(Variable X), für die die Funktion y = f(x) bestimmt. Der Bereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Werte j, was die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.

2) Funktionsnullstellen.

Funktion Null ist Argumentwert, bei dem der Wert der Funktion gleich Null ist.

3) Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion sind Mengen von Argumentwerten, bei denen die Funktionswerte nur positiv oder nur negativ sind.

4) Monotonie der Funktion.

Eine steigende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Eine abnehmende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

5) Gerade (ungerade) Funktion.

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = f(x). Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit wahr f(-x) = - f(x). Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

6) Begrenzte und unbegrenzte Funktionen.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl M mit |f(x)| gibt ≤ M für alle Werte von x. Existiert eine solche Zahl nicht, ist die Funktion unbegrenzt.

7) Periodizität der Funktion.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x+T) = f(x). Diese kleinste Zahl wird als Periode der Funktion bezeichnet. Alle trigonometrische Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

19. Grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Anwendung von Funktionen in der Wirtschaftswissenschaft.

Grundlegende Elementarfunktionen. Ihre Eigenschaften und Diagramme

1. Lineare Funktion.

Lineare Funktion heißt eine Funktion der Form , wobei x eine Variable ist, a und b reelle Zahlen sind.

Nummer A Sie wird als Steigung der Linie bezeichnet und ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Linie an die positive Richtung der x-Achse. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Es wird durch zwei Punkte definiert.

Eigenschaften einer linearen Funktion

1. Definitionsbereich – die Menge aller reellen Zahlen: D(y)=R

2. Die Wertemenge ist die Menge aller reellen Zahlen: E(y)=R

3. Die Funktion nimmt einen Nullwert an, wenn oder.

4. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu (ab).

5. Eine lineare Funktion ist über den gesamten Definitionsbereich stetig, differenzierbar und .

2. Quadratische Funktion.

Eine Funktion der Form, wobei x eine Variable ist, Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sind, heißt quadratisch.

Chancen a, b, c Bestimmen Sie die Position des Graphen auf der Koordinatenebene

Der Koeffizient a bestimmt die Richtung der Zweige. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel werden mit den Formeln ermittelt:

Funktionseigenschaften:

2. Eine Reihe von Werten für eines der Intervalle: oder.

3. Die Funktion nimmt Nullwerte an, wenn , wobei die Diskriminante nach der Formel berechnet wird:.

4. Die Funktion ist über den gesamten Definitionsbereich stetig und die Ableitung der Funktion ist gleich.

Wir werden die Funktion y=f(x) BOUNDED UPPER (BOTTOM) auf der Menge A aus dem Definitionsbereich D(f) aufrufen, wenn eine solche Zahl existiert M , dass für jedes x aus dieser Menge die Bedingung erfüllt ist

Unter Verwendung logischer Symbole kann die Definition wie folgt geschrieben werden:

f(x) – oben auf dem Set begrenzt

(f(x) – von unten auf das Set begrenzt

Es werden auch modulbegrenzte oder einfach begrenzte Funktionen berücksichtigt.

Wir nennen eine Funktion BOUNDED auf der Menge A aus dem Definitionsbereich, wenn es eine solche positive Zahl M gibt

In der Sprache der logischen Symbole

f(x) – auf das Set begrenzt

Eine Funktion, die nicht beschränkt ist, heißt unbeschränkt. Wir wissen, dass durch Negation gegebene Definitionen wenig Inhalt haben. Um diese Aussage als Definition zu formulieren, nutzen wir die Eigenschaften der Quantifiziereroperationen (3.6) und (3.7). Wenn man dann die Beschränktheit einer Funktion in der Sprache logischer Symbole negiert, erhält man:

f(x) – auf das Set begrenzt

Das erhaltene Ergebnis ermöglicht es uns, die folgende Definition zu formulieren.

Eine Funktion heißt UNLIMITED auf einer Menge A, die zum Definitionsbereich der Funktion gehört, wenn es auf dieser Menge für jede positive Zahl M einen solchen Wert des Arguments x gibt , dass der Wert immer noch den Wert von M übersteigt, das heißt.

Betrachten Sie als Beispiel die Funktion

Es ist auf der gesamten reellen Achse definiert. Wenn wir das Segment [–2;1] (Satz A) nehmen, wird es darauf sowohl nach oben als auch nach unten begrenzt.

Um zu zeigen, dass es nach oben beschränkt ist, müssen wir tatsächlich das Prädikat betrachten

und zeigen Sie, dass es ein solches M gibt (existiert), das für alle x im Intervall [–2;1] gilt

Ein solches M zu finden ist nicht schwer. Wir können annehmen, dass M = 7 ist. Der Existenzquantor beinhaltet das Finden mindestens eines Wertes von M. Das Vorhandensein eines solchen M bestätigt die Tatsache, dass die Funktion im Intervall [–2;1] nach oben beschränkt ist.

Um zu beweisen, dass es nach unten beschränkt ist, müssen wir das Prädikat betrachten

Der Wert von M, der die Wahrheit eines gegebenen Prädikats sicherstellt, ist beispielsweise M = –100.

Es kann bewiesen werden, dass die Funktion auch im Modul begrenzt ist: Für alle x aus dem Intervall [–2;1] stimmen die Werte der Funktion mit den Werten von überein, sodass wir z. B. als M annehmen können Beispiel: Der bisherige Wert M = 7.

Zeigen wir, dass dieselbe Funktion, jedoch im Intervall, unbegrenzt sein wird

Um zu zeigen, dass solche x existieren, betrachten Sie die Aussage

Suchen wir unter den positiven Werten des Arguments nach den erforderlichen Werten von x, erhalten wir

Dies bedeutet, dass unabhängig davon, welches positive M wir annehmen, die Werte von x die Erfüllung der Ungleichung sicherstellen

ergeben sich aus der Relation.

Durch die Betrachtung einer Funktion auf der gesamten reellen Achse kann gezeigt werden, dass sie im absoluten Wert unbegrenzt ist.

Tatsächlich aus der Ungleichheit

Das heißt, egal wie groß das positive M ist oder ob es die Erfüllung der Ungleichung gewährleistet.

EXTREME FUNKTION.

Die Funktion hat an der Stelle Mit lokales Maximum (Minimum), wenn es eine solche Nachbarschaft dieses Punktes gibt, dass für X¹ Mit Von dieser Umgebung aus gilt die Ungleichung

insbesondere, dass der Extrempunkt nur ein interner Punkt des Intervalls sein kann und f(x) an ihm unbedingt definiert werden muss. Mögliche Fälle des Fehlens eines Extremums sind in Abb. dargestellt. 8.8.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall zunimmt (abnimmt) und in einem bestimmten Intervall abnimmt (zunimmt), dann ist der Punkt Mit ist ein lokaler maximaler (minimaler) Punkt.

Fehlen eines Maximums der Funktion f(x) im Punkt Mit lässt sich so formulieren:

_______________________

f(x) hat ein Maximum im Punkt c

Dies bedeutet, dass es, wenn der Punkt c kein lokaler Maximalpunkt ist, unabhängig von der Umgebung, die den Punkt c als intern einschließt, mindestens einen Wert x ungleich c gibt, für den . Wenn es also am Punkt c kein Maximum gibt, gibt es an diesem Punkt möglicherweise überhaupt kein Extremum oder es handelt sich um einen Minimalpunkt (Abb. 8.9).

Das Konzept des Extremums ermöglicht eine vergleichende Bewertung des Wertes einer Funktion an einem beliebigen Punkt im Verhältnis zu nahegelegenen. Ein ähnlicher Vergleich von Funktionswerten kann für alle Punkte eines bestimmten Intervalls durchgeführt werden.

Der MAXIMALE (KLEINSTE) Wert einer Funktion auf einer Menge ist ihr Wert an einem Punkt aus dieser Menge, so dass – bei . Der größte Wert der Funktion wird am inneren Punkt des Segments erreicht, der kleinste – an seinem linken Ende.

Um den größten (kleinsten) Wert einer in einem Intervall angegebenen Funktion zu bestimmen, ist es notwendig, die größte (kleinste) Zahl aus allen Werten ihrer Maxima (Minima) sowie den akzeptierten Werten auszuwählen am Ende des Intervalls. Dies ist der größte (kleinste) Wert der Funktion. Diese Regel wird später geklärt.

Das Problem, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem offenen Intervall zu finden, ist nicht immer einfach zu lösen. Zum Beispiel die Funktion

im Intervall (Abb. 8.11) hat sie nicht.

Stellen wir beispielsweise sicher, dass dieser Funktion nicht die größte Bedeutung zukommt. Unter Berücksichtigung der Monotonie der Funktion kann tatsächlich argumentiert werden, dass es, egal wie nahe wir die Werte von x links von Eins setzen, andere x geben wird, in denen die Werte der Funktion liegen größer sein als seine Werte an den genommenen Fixpunkten, aber immer noch kleiner als eins.

Grenzwertsatz monotone Funktion. Der Beweis des Satzes erfolgt mit zwei Methoden. Außerdem werden Definitionen streng steigender, nicht fallender, streng fallender und nicht steigender Funktionen gegeben. Definition einer monotonen Funktion.

Die Funktion ist nach oben hin nicht eingeschränkt

1.1. Die Zahl b sei endlich: .
1.1.2. Die Funktion sei nicht nach oben beschränkt.

.

bei .

Bezeichnen wir. Dann gibt es für jeden so etwas
bei .
Dies bedeutet, dass der Grenzwert links im Punkt b ist (siehe „Definitionen einseitig unendlicher Grenzwerte einer Funktion an einem Endpunkt“).

b früh plus unendlich

Die Funktion ist nach oben eingeschränkt

1. Lassen Sie die Funktion im Intervall nicht abnehmen.
1.2.1. Die Funktion sei von oben durch die Zahl M: für begrenzt.
Beweisen wir, dass es in diesem Fall eine Grenze gibt.

Da die Funktion nach oben beschränkt ist, gibt es ein endliches Supremum
.
Gemäß der Definition einer exakten Obergrenze sind folgende Bedingungen erfüllt:
;
Für jedes Positive gibt es ein Argument dafür
.

Da die Funktion nicht abnimmt, wenn . Dann um . Oder
bei .

Wir haben also herausgefunden, dass es für jeden eine Nummer gibt
bei .
„Definitionen einseitiger Grenzen im Unendlichen“).

Die Funktion ist nach oben hin nicht eingeschränkt

1. Lassen Sie die Funktion im Intervall nicht abnehmen.
1.2. Die Zahl b sei gleich plus Unendlich: .
1.2.2. Die Funktion sei nicht nach oben beschränkt.
Beweisen wir, dass es in diesem Fall eine Grenze gibt.

Da die Funktion nach oben nicht beschränkt ist, gibt es für jede Zahl M ein Argument dafür
.

Da die Funktion nicht abnimmt, wenn . Dann um .

Für jeden gibt es also eine Zahl, also
bei .
Dies bedeutet, dass der Grenzwert bei gleich ist (siehe „Definitionen einseitig unendlicher Grenzwerte im Unendlichen“).

Die Funktion nimmt nicht zu

Betrachten Sie nun den Fall, dass die Funktion nicht zunimmt. Sie können, wie oben, jede Option einzeln betrachten. Aber wir werden sie gleich behandeln. Hierzu nutzen wir . Beweisen wir, dass es in diesem Fall eine Grenze gibt.

Betrachten Sie das endliche Infimum der Menge der Funktionswerte:
.
Dabei kann B entweder eine endliche Zahl oder ein Punkt im Unendlichen sein. Gemäß der Definition einer exakten Untergrenze sind folgende Bedingungen erfüllt:
;
Für jede Umgebung von Punkt B gibt es ein Argument dafür
.
Gemäß den Bedingungen des Satzes, . Deshalb .

Da die Funktion nicht zunimmt, wann . Seit damals
bei .
Oder
bei .
Als nächstes stellen wir fest, dass die Ungleichung die linke punktierte Umgebung des Punktes b definiert.

Wir haben also herausgefunden, dass es für jede Umgebung des Punktes eine punktierte linke Umgebung des Punktes b gibt, so dass
bei .
Das bedeutet, dass der Grenzwert links am Punkt b ist:

(siehe die universelle Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy).

Grenze bei Punkt a

Jetzt zeigen wir, dass es am Punkt a einen Grenzwert gibt und ermitteln seinen Wert.

Betrachten wir die Funktion. Nach den Bedingungen des Satzes ist die Funktion monoton für . Ersetzen wir die Variable x durch - x (oder führen wir eine Ersetzung durch und ersetzen dann die Variable t durch x ). Dann ist die Funktion monoton für . Ungleichungen multiplizieren mit -1 und wenn wir ihre Reihenfolge ändern, kommen wir zu dem Schluss, dass die Funktion für monoton ist.

Auf ähnliche Weise lässt sich leicht zeigen, dass der Wert nicht zunimmt, wenn er nicht abnimmt. Dann gibt es nach dem oben Bewiesenen eine Grenze
.
Wenn es nicht zunimmt, nimmt es nicht ab. In diesem Fall gibt es eine Grenze
.

Nun muss noch gezeigt werden, dass, wenn es einen Grenzwert einer Funktion bei gibt, es auch einen Grenzwert der Funktion bei gibt, und diese Grenzwerte sind gleich:
.

Lassen Sie uns die Notation einführen:
(1) .
Drücken wir f durch g aus:
.
Nehmen wir eine beliebige positive Zahl. Es gebe eine Epsilon-Umgebung von Punkt A. Die Epsilon-Nachbarschaft ist sowohl für endliche als auch für unendliche Werte von A definiert (siehe „Nachbarschaft eines Punktes“). Da es eine Grenze (1) gibt, gibt es gemäß der Definition einer Grenze für jeden so etwas
bei .

Sei a eine endliche Zahl. Drücken wir die linke punktierte Umgebung des Punktes -a mit den Ungleichungen aus:
bei .
Ersetzen wir x durch -x und berücksichtigen wir Folgendes:
bei .
Die letzten beiden Ungleichungen definieren die punktierte rechte Umgebung des Punktes a. Dann
bei .

Sei a eine unendliche Zahl, . Wir wiederholen die Argumentation.
bei ;
bei ;
bei ;
bei .

Wir haben also herausgefunden, dass es für jeden etwas gibt
bei .
Das bedeutet es
.

Der Satz ist bewiesen.