Praktische Arbeit: Transformation von Funktionsgraphen. Praktische Arbeit: Transformation von Funktionsgraphen Physikalische Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion $y = f(x)$ an einem gegebenen Punkt $x_0$ ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum entsprechenden Inkrement ihres Arguments, vorausgesetzt, dass letzteres gegen Null geht:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differenzierung ist die Operation, die Ableitung zu finden.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

Die Ableitung einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivat des Produkts

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Ableitung komplexe Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Physikalische Bedeutung der Ableitung

Wenn sich ein materieller Punkt geradlinig bewegt und sich seine Koordinate in Abhängigkeit von der Zeit gemäß dem Gesetz $x(t)$ ändert, dann ist die momentane Geschwindigkeit dieses Punktes gleich der Ableitung der Funktion.

Der Punkt bewegt sich entlang der Koordinatenlinie gemäß dem Gesetz $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, wobei $x(t)$ die Koordinate zum Zeitpunkt $t$ ist. Zu welchem ​​Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit des Punktes 12 $ betragen?

1. Geschwindigkeit ist die Ableitung von $x(t)$, also finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Um herauszufinden, zu welchem ​​Zeitpunkt $t$ die Geschwindigkeit gleich $12$ war, erstellen und lösen wir die Gleichung:

Geometrische Bedeutung der Ableitung

Denken Sie daran, dass die Gleichung einer geraden Linie nicht gilt parallel zu den Achsen Koordinaten können in der Form $y = kx + b$ geschrieben werden, wobei $k$ die Steigung der Geraden ist. Der Koeffizient $k$ ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels zwischen der Geraden und der positiven Richtung der $Ox$-Achse.

Die Ableitung der Funktion $f(x)$ am Punkt $х_0$ ist gleich der Steigung $k$ der Tangente an den Graphen an diesem Punkt:

Daher können wir eine allgemeine Gleichheit herstellen:

$f"(x_0) = k = tanα$

In der Abbildung nimmt die Tangente an die Funktion $f(x)$ zu, daher ist der Koeffizient $k > 0$. Da $k > 0$, dann ist $f"(x_0) = tanα > 0$. Der Winkel $α$ zwischen der Tangente und der positiven Richtung $Ox$ ist spitz.

In der Abbildung nimmt die Tangente an die Funktion $f(x)$ ab, daher der Koeffizient $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

In der Abbildung ist die Tangente an die Funktion $f(x)$ parallel zur $Ox$-Achse, daher ist der Koeffizient $k = 0$, daher ist $f"(x_0) = tan α = 0$. Die Punkt $x_0$, an dem $f "(x_0) = 0$, genannt Extremum.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion $y=f(x)$ und eine Tangente an diesen Graphen, die am Punkt mit der Abszisse $x_0$ gezeichnet wird. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion $f(x)$ am Punkt $x_0$.

Die Tangente an den Graphen nimmt zu, daher gilt $f"(x_0) = tan α > 0$

Um $f"(x_0)$ zu finden, ermitteln wir die Tangente des Neigungswinkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der $Ox$-Achse. Dazu bilden wir die Tangente an das Dreieck $ABC$.

Finden wir den Tangens des Winkels $BAC$. (Der Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Antwort: 0,25 $

Die Ableitung wird auch verwendet, um die Intervalle steigender und fallender Funktionen zu ermitteln:

Wenn $f"(x) > 0$ in einem Intervall ist, dann nimmt die Funktion $f(x)$ in diesem Intervall zu.

Wenn $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $y = f(x)$. Finden Sie unter den Punkten $х_1,х_2,х_3...х_7$ die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion negativ ist.

Notieren Sie als Antwort die Anzahl dieser Punkte.

Die Gerade y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und der Tangente, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antwort

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (eine gestrichelte Linie bestehend aus drei geraden Segmenten). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist.

Lösung

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=9 und x=5. Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und der Höhe 3 ist.

Seine Fläche ist gleich \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-4; 10). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion f(x). In Ihrer Antwort: Geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

Lösung

Bekanntlich nimmt die Funktion f(x) in den Intervallen an jedem Punkt ab, deren Ableitung f"(x) kleiner als Null ist. Da es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu ermitteln, gibt es drei solcher Intervalle natürlich von der Zahl unterschieden: (-4; -2); (0; 3);

Die Länge des größten von ihnen – (5; 9) – beträgt 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-8; 7). Ermitteln Sie die Anzahl der Maximalpunkte der Funktion f(x), die dazu gehört das Intervall [-6; -2].

Lösung

Die Grafik zeigt, dass die Ableitung f"(x) der Funktion f(x) an genau einem Punkt (zwischen -5 und -4) aus dem Intervall [ -6; -2 ] Daher gibt es genau einen Maximalpunkt im Intervall [-6; -2].

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), definiert im Intervall (-2; 8). Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

Lösung

Die Gleichheit der Ableitung an einem Punkt mit Null bedeutet, dass die Tangente an den Graphen der an diesem Punkt gezeichneten Funktion parallel zur Ox-Achse verläuft. Daher finden wir Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse verläuft. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen, gibt es 5 Extrempunkte.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Gerade y=-3x+4 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Der Winkelkoeffizient der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=-2x+5, was y" bedeutet (x_0)=-2x_0+5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient y=-3x+4 ist gleich -3. Daher finden wir einen Wert von x_0, sodass = -2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und auf der Abszisse sind die Punkte -6, -1, 1, 4 markiert. An welchem ​​dieser Punkte ist die Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Sergey Nikiforov

Wenn die Ableitung einer Funktion in einem Intervall ein konstantes Vorzeichen hat und die Funktion selbst an ihren Rändern stetig ist, werden die Randpunkte sowohl zu steigenden als auch zu fallenden Intervallen hinzugefügt, was vollständig der Definition von steigenden und fallenden Funktionen entspricht.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Guten Tag. Wie (auf welcher Grundlage) können wir sagen, dass die Funktion an dem Punkt zunimmt, an dem die Ableitung gleich Null ist? Gib Gründe. Ansonsten ist es nur jemandes Laune. Nach welchem ​​Satz? Und auch Beweise. Danke.

Unterstützung

Der Wert der Ableitung an einem Punkt steht nicht in direktem Zusammenhang mit der Zunahme der Funktion über das Intervall. Betrachten Sie zum Beispiel Funktionen – sie nehmen alle im Intervall zu

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Wenn eine Funktion im Intervall (a;b) wächst und an den Punkten a und b definiert und stetig ist, dann nimmt sie im Intervall zu. Diese. Punkt x=2 ist in diesem Intervall enthalten.

Allerdings werden Zunahme und Abnahme in der Regel nicht auf einem Segment, sondern auf einem Intervall betrachtet.

Aber am Punkt x=2 selbst hat die Funktion ein lokales Minimum. Und wie kann man Kindern erklären, dass wir bei der Suche nach Punkten der Zunahme (Abnahme) nicht die Punkte des lokalen Extremums zählen, sondern in Intervalle der Zunahme (Abnahme) eintreten?

In Anbetracht dessen, dass der erste Teil des Einheitlichen Staatsexamens für „ Mittelgruppe Kindergarten", dann sind solche Nuancen vielleicht zu viel.

Unabhängig davon möchte ich mich bei allen Mitarbeitern für „Lösung des Einheitlichen Staatsexamens“ bedanken – ein ausgezeichneter Leitfaden.

Sergey Nikiforov

Eine einfache Erklärung erhält man, wenn man von der Definition einer steigenden/abfallenden Funktion ausgeht. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es sich so anhört: Eine Funktion heißt in einem Intervall erhöhend/verringernd, wenn ein größeres Argument der Funktion einem größeren/kleineren Wert der Funktion entspricht. In dieser Definition wird das Konzept der Ableitung in keiner Weise verwendet, sodass keine Fragen zu den Punkten aufkommen können, an denen die Ableitung verschwindet.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Guten Tag. Hier in den Kommentaren sehe ich die Überzeugung, dass Grenzen einbezogen werden müssen. Nehmen wir an, ich stimme dem zu. Schauen Sie sich aber bitte Ihre Lösung zur Aufgabe 7089 an. Dort werden bei der Angabe zunehmender Intervalle keine Grenzen berücksichtigt. Und das beeinflusst die Antwort. Diese. Die Lösungen zu den Aufgaben 6429 und 7089 widersprechen sich. Bitte klären Sie diese Situation.

Alexander Iwanow

Die Aufgaben 6429 und 7089 haben völlig unterschiedliche Fragestellungen.

Beim einen geht es um die Vergrößerung von Intervallen, beim anderen um Intervalle mit positiver Ableitung.

Es gibt keinen Widerspruch.

Die Extrema sind in den Intervallen der Zunahme und Abnahme enthalten, aber die Punkte, in denen die Ableitung gleich Null ist, sind nicht in den Intervallen enthalten, in denen die Ableitung positiv ist.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolleginnen und Kollegen, es gibt ein Konzept der Steigerung an einem Punkt

(siehe zum Beispiel Fichtenholtz)

und Ihr Verständnis des Anstiegs bei x=2 widerspricht der klassischen Definition.

Zu- und Absteigen ist ein Prozess und an diesem Prinzip möchte ich festhalten.

In jedem Intervall, das den Punkt x=2 enthält, nimmt die Funktion nicht zu. Daher ist die Einbeziehung eines gegebenen Punktes x=2 ein besonderer Vorgang.

Um Verwirrung zu vermeiden, wird die Einbeziehung der Intervallenden normalerweise separat besprochen.

Alexander Iwanow

Eine Funktion y=f(x) heißt über ein bestimmtes Intervall wachsend, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem größeren Wert der Funktion entspricht.

Im Punkt x=2 ist die Funktion differenzierbar und im Intervall (2; 6) ist die Ableitung positiv, also im Intervall )