Ableitung einer Funktion mit zwei Variablen. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Funktionen mit drei Variablen

17.09.2021Überschrift: Berechnung

Partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen.
Konzept und Lösungsbeispiele

In dieser Lektion werden wir unsere Bekanntschaft mit der Funktion zweier Variablen fortsetzen und uns mit der vielleicht häufigsten thematischen Aufgabe befassen – dem Finden partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie das totale Differential der Funktion. Teilzeitstudierende stoßen in der Regel im 1. Studienjahr im 2. Semester auf partielle Ableitungen. Darüber hinaus taucht nach meinen Beobachtungen die Aufgabe, partielle Ableitungen zu finden, fast immer in der Prüfung auf.

Für effektives Lernen das folgende Material für Sie notwendig in der Lage sein, „gewöhnliche“ Ableitungen von Funktionen einer Variablen mehr oder weniger sicher zu finden. Den richtigen Umgang mit Derivaten erfahren Sie im Unterricht Wie findet man die Ableitung? Und Ableitung einer komplexen Funktion. Wir benötigen auch eine Ableitungstabelle elementare Funktionen und der Differenzierungsregeln ist es am bequemsten, wenn es in gedruckter Form vorliegt. Referenzmaterial finden Sie auf der Seite Mathematische Formeln und Tabellen.

Lassen Sie uns kurz das Konzept einer Funktion zweier Variablen wiederholen. Ich werde versuchen, mich auf das Nötigste zu beschränken. Eine Funktion aus zwei Variablen wird normalerweise als geschrieben, wobei die Variablen aufgerufen werden unabhängige Variablen oder Argumente.

Beispiel: – Funktion zweier Variablen.

Manchmal wird die Notation verwendet. Es gibt auch Aufgaben, bei denen anstelle eines Buchstabens der Buchstabe verwendet wird.

Aus geometrischer Sicht repräsentiert eine Funktion zweier Variablen meist eine Fläche im dreidimensionalen Raum (Ebene, Zylinder, Kugel, Paraboloid, Hyperboloid usw.). Aber in Wirklichkeit handelt es sich hier eher um analytische Geometrie, und auf unserer Tagesordnung steht die mathematische Analyse, die mein Universitätslehrer mich nie abschreiben ließ und die meine „Stärke“ ist.

Kommen wir zur Frage, partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu finden. Ich habe eine gute Nachricht für diejenigen, die ein paar Tassen Kaffee getrunken haben und sich auf unglaublich schwieriges Material einlassen: Partielle Ableitungen sind fast dasselbe wie „gewöhnliche“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen.

Für partielle Ableitungen gelten alle Differentiationsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Es gibt nur ein paar kleine Unterschiede, die wir gleich kennenlernen werden:

...ja, übrigens, für dieses Thema habe ich erstellt kleines PDF-Buch, mit dem Sie in nur wenigen Stunden „die Zähne reinkriegen“ können. Aber wenn Sie die Seite nutzen, werden Sie mit Sicherheit das gleiche Ergebnis erzielen – nur vielleicht etwas langsamer:

Beispiel 1

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

Anfangs Finden wir die Quotienten Derivate erster Ordnung. Es gibt zwei davon.

Bezeichnungen:
oder – partielle Ableitung nach „x“
oder – partielle Ableitung nach „y“

Lass uns beginnen mit . Wenn wir die partielle Ableitung nach „x“ finden, wird die Variable als Konstante (konstante Zahl) betrachtet..

Kommentare zu den durchgeführten Aktionen:

(1) Das erste, was wir tun, wenn wir die partielle Ableitung finden, ist die Schlussfolgerung alle Funktion in Klammern unter der Primzahl mit Index.

Achtung, wichtig! WIR VERLIEREN KEINE Indizes während des Lösungsprozesses. IN in diesem Fall, wenn Sie irgendwo einen „Strich“ ohne a zeichnen, kann der Lehrer ihn zumindest neben die Aufgabe legen (wegen Unaufmerksamkeit sofort einen Teil des Punktes abbeißen).

(2) Wir verwenden die Regeln der Differenzierung , . Für ein einfaches Beispiel wie dieses können beide Regeln problemlos in einem Schritt angewendet werden. Achten Sie auf den ersten Begriff: seit wird als Konstante betrachtet und jede Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden, dann setzen wir es aus Klammern. Das heißt, in dieser Situation ist es nicht besser als eine gewöhnliche Zahl. Schauen wir uns nun den dritten Begriff an: Hier gibt es im Gegenteil nichts herauszunehmen. Da es eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante, und in diesem Sinne ist es nicht besser als der letzte Term – „sieben“.

(3) Wir verwenden tabellarische Ableitungen und .

(4) Lassen Sie uns die Antwort vereinfachen oder, wie ich gerne sagen möchte, „optimieren“.

Jetzt . Wenn wir die partielle Ableitung nach „y“ finden, dann die Variableals Konstante betrachtet (konstante Zahl).

(1) Wir verwenden die gleichen Differenzierungsregeln , . Im ersten Term nehmen wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus, im zweiten Term können wir nichts herausnehmen, da es bereits eine Konstante ist.

(2) Wir verwenden die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Lassen Sie uns im Geiste alle „X“ in der Tabelle in „I“ ändern. Das heißt, diese Tabelle gilt gleichermaßen für (und zwar für fast jeden Buchstaben). Die von uns verwendeten Formeln sehen insbesondere so aus: und .

Was bedeuten partielle Ableitungen?

Im Wesentlichen ähneln partielle Ableitungen erster Ordnung „gewöhnliches“ Derivat:

- Das Funktionen, die charakterisieren Änderungsrate Funktionen in Richtung der bzw. -Achsen. So zum Beispiel die Funktion charakterisiert die Steilheit von „Anstiegen“ und „Gefällen“ Oberflächen in Richtung der Abszissenachse, und die Funktion gibt Auskunft über das „Relief“ derselben Oberfläche in Richtung der Ordinatenachse.

! Notiz : Hier meinen wir Richtungen, die parallel Koordinatenachsen.

Zum besseren Verständnis betrachten wir einen bestimmten Punkt auf der Ebene und berechnen dort den Wert der Funktion („Höhe“):
– und stellen Sie sich nun vor, dass Sie hier (AUF DER Oberfläche) sind.

Berechnen wir die partielle Ableitung nach „x“ an einem bestimmten Punkt:

Negatives Zeichen Die „x“-Ableitung sagt uns etwas darüber abnehmend funktioniert an einem Punkt in Richtung der Abszissenachse. Mit anderen Worten: Wenn wir ein kleines, kleines machen (unendlich) Schritt zur Spitze der Achse (parallel zu dieser Achse), dann gehen wir den Hang der Oberfläche hinunter.

Nun erfahren wir die Beschaffenheit des „Geländes“ in Richtung der Ordinatenachse:

Die Ableitung nach „y“ ist also an einem Punkt in Richtung der Achse der Funktion positiv erhöht sich. Vereinfacht gesagt erwartet uns hier ein Anstieg.

Darüber hinaus charakterisiert die partielle Ableitung an einem Punkt Änderungsrate funktioniert in die entsprechende Richtung. Je größer der resultierende Wert ist Modulo– je steiler die Oberfläche und umgekehrt, je näher sie am Nullpunkt liegt, desto flacher ist die Oberfläche. In unserem Beispiel ist also die „Steigung“ in Richtung der Abszissenachse steiler als der „Berg“ in Richtung der Ordinatenachse.

Aber das waren zwei Privatwege. Von unserem jetzigen Standpunkt aus ist es ganz klar, (und im Allgemeinen von jedem Punkt auf einer bestimmten Oberfläche) wir können in eine andere Richtung gehen. Daher besteht ein Interesse daran, eine allgemeine „Navigationskarte“ zu erstellen, die uns über die „Landschaft“ der Oberfläche informiert nach Möglichkeit an jedem Punkt Definitionsbereich dieser Funktion entlang aller verfügbaren Wege. Über dieses und andere interessante Dinge Ich werde es Ihnen in einer der nächsten Lektionen erzählen, aber jetzt kehren wir zur technischen Seite des Problems zurück.

Lassen Sie uns die elementaren angewandten Regeln systematisieren:

1) Wenn wir nach differenzieren, wird die Variable als Konstante betrachtet.

2) Bei der Differenzierung erfolgt nach, dann wird als Konstante betrachtet.

3) Die Regeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen sind für jede Variable (oder jede andere) gültig und anwendbar, nach der die Differenzierung durchgeführt wird.

Schritt zwei. Wir finden partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Es gibt vier davon.

Bezeichnungen:
oder – zweite Ableitung nach „x“
oder – zweite Ableitung nach „Y“
oder - gemischt Ableitung von „x nach igr“
oder - gemischt Ableitung von „Y“

Mit der zweiten Ableitung gibt es keine Probleme. Apropos in einfacher Sprache, Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

Der Einfachheit halber werde ich die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung umschreiben:

Lassen Sie uns zunächst gemischte Derivate finden:

Wie Sie sehen, ist alles einfach: Wir nehmen die partielle Ableitung und differenzieren sie erneut, aber in diesem Fall – diesmal nach dem „Y“.

Ebenfalls:

IN praktische Beispiele man kann sich auf die folgende Gleichheit verlassen:

Daher ist es sehr praktisch, anhand gemischter Ableitungen zweiter Ordnung zu überprüfen, ob wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung richtig gefunden haben.

Finden Sie die zweite Ableitung nach „x“.
Keine Erfindungen, nehmen wir es und differenziere es noch einmal durch „x“:

Ebenfalls:

Es ist zu beachten, dass Sie beim Finden etwas zeigen müssen erhöhte Aufmerksamkeit, da es keine wundersamen Gleichheiten gibt, um sie zu überprüfen.

Zweite Ableitungen finden ebenfalls breite Anwendung praktischer Nutzen Insbesondere werden sie bei der Findungsaufgabe eingesetzt Extrema einer Funktion zweier Variablen. Aber alles hat seine Zeit:

Beispiel 2

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion an diesem Punkt. Finden Sie Ableitungen zweiter Ordnung.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antworten am Ende der Lektion). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, Wurzeln zu unterscheiden, kehren Sie zur Lektion zurück Wie findet man die Ableitung? Im Allgemeinen werden Sie ziemlich bald lernen, solche Derivate „on the fly“ zu finden.

Kommen wir zu komplexeren Beispielen:

Beispiel 3

Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Lösung: Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Achten Sie auf den Index: Neben dem „X“ ist es nicht verboten, in Klammern zu schreiben, dass es sich um eine Konstante handelt. Dieser Hinweis kann für Anfänger sehr nützlich sein, um die Navigation in der Lösung zu erleichtern.

Weitere Kommentare:

(1) Wir verschieben alle Konstanten über das Vorzeichen der Ableitung hinaus. In diesem Fall und und daher wird ihr Produkt als konstante Zahl betrachtet.

(2) Vergessen Sie nicht, wie man Wurzeln richtig unterscheidet.

(1) Wir nehmen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung; in diesem Fall ist die Konstante .

(2) Unter der Primzahl bleibt das Produkt zweier Funktionen übrig, daher müssen wir die Regel zur Differenzierung des Produkts verwenden .

(3) Vergessen Sie nicht, dass dies eine komplexe Funktion ist (wenn auch die einfachste aller komplexen). Wir verwenden die entsprechende Regel: .

Nun finden wir gemischte Ableitungen zweiter Ordnung:

Dies bedeutet, dass alle Berechnungen korrekt durchgeführt wurden.

Schreiben wir die Gesamtdifferenz auf. Im Kontext der betrachteten Aufgabe macht es keinen Sinn zu sagen, wie hoch das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen ist. Es ist wichtig, dass genau dieser Unterschied sehr oft in praktischen Problemen niedergeschrieben werden muss.

Gesamtdifferential erster Ordnung Die Funktion zweier Variablen hat die Form:

In diesem Fall:

Das heißt, Sie müssen nur die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung dumm in die Formel einsetzen. In dieser und ähnlichen Situationen ist es am besten, Differentialzeichen in Zählern zu schreiben:

Und auf wiederholte Anfragen von Lesern, vollständiges Differential zweiter Ordnung.

Es sieht aus wie das:

Lassen Sie uns SORGFÄLTIG die „einbuchstabigen“ Ableitungen 2. Ordnung finden:

und schreibe das „Monster“ auf, indem du sorgfältig die Quadrate und das Produkt „anfügst“ und nicht vergisst, die gemischte Ableitung zu verdoppeln:

Es ist in Ordnung, wenn etwas schwierig erscheint; Sie können später jederzeit auf Ableitungen zurückkommen, nachdem Sie die Differenzierungstechnik gemeistert haben:

Beispiel 4

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion . Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Schauen wir uns eine Reihe von Beispielen an komplexe Funktionen:

Beispiel 5

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion.

Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .
Notieren Sie die Gesamtdifferenz.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion). Ich werde Ihnen keine vollständige Lösung geben, weil es ganz einfach ist.

Sehr oft werden alle oben genannten Regeln in Kombination angewendet.

Beispiel 7

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

(1) Wir verwenden die Regel zum Differenzieren der Summe

(2) Der erste Term wird in diesem Fall als Konstante betrachtet, da es im Ausdruck nichts gibt, was von „x“ abhängt – nur „y“. Weißt du, es ist immer schön, wenn ein Bruch in Null umgewandelt werden kann. Für den zweiten Term wenden wir die Produktdifferenzierungsregel an. In diesem Sinne hätte sich übrigens nichts geändert, wenn stattdessen eine Funktion angegeben worden wäre – das ist hier wichtig Produkt zweier Funktionen, JEDES davon hängt davon ab "X" Daher müssen Sie die Produktdifferenzierungsregel verwenden. Für den dritten Term wenden wir die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an.

(1) Der erste Term sowohl im Zähler als auch im Nenner enthält ein „Y“, daher müssen Sie die Regel zur Differenzierung von Quotienten verwenden: . Der zweite Term hängt NUR von „x“ ab, was bedeutet, dass er als Konstante betrachtet wird und zu Null wird. Für den dritten Term verwenden wir die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion.

Den Lesern, die es mutig fast bis zum Ende der Lektion geschafft haben, erzähle ich zur Erleichterung einen alten Mekhmatov-Witz:

Eines Tages tauchte ein böses Derivat im Raum der Funktionen auf und begann, jeden zu differenzieren. Alle Funktionen sind in alle Richtungen verstreut, niemand will sich verwandeln! Und nur eine Funktion läuft nicht weg. Der Derivat kommt auf sie zu und fragt:

- Warum rennst du nicht vor mir weg?

- Ha. Aber das ist mir egal, denn ich bin „e hoch X“ und du wirst mir nichts antun!

Worauf das böse Derivat mit einem heimtückischen Lächeln antwortet:

- Hier irren Sie sich, ich unterscheide Sie durch „Y“, also sollten Sie eine Null sein.

Wer den Witz verstanden hat, beherrscht Ableitungen zumindest bis zur Stufe „C“.

Beispiel 8

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die vollständige Lösung und ein Beispiel des Problems finden Sie am Ende der Lektion.

Nun, das ist fast alles. Abschließend kann ich nicht anders, als Mathematikliebhabern eine Freude mit einem weiteren Beispiel zu bereiten. Es geht nicht einmal um Amateure, es geht um alle verschiedene Level mathematische Ausbildung – es gibt Menschen (und nicht so selten), die sich gerne mit schwierigeren Aufgaben messen. Allerdings ist das letzte Beispiel in dieser Lektion nicht so komplex, sondern aus rechentechnischer Sicht umständlich.

Konzept einer Funktion vieler Variablen

Es gebe n-Variablen und jedem x 1, x 2 ... x n aus einer bestimmten Menge von x sei eine Definition zugewiesen. Zahl Z, dann ist die Funktion Z = f (x 1, x 2 ... x n) vieler Variablen auf der Menge x gegeben.

X – Bereich der Funktionsdefinition

x 1, x 2 ... x n – unabhängige Variable (Argumente)

Z – Funktion Beispiel: Z=P x 2 1 *x 2 (Zylindervolumen)

Betrachten Sie Z=f(x;y) – die Funktion von 2 Variablen (x 1, x 2 ersetzt durch x,y). Die Ergebnisse werden analog auf andere Funktionen vieler Variablen übertragen. Der Bereich zur Bestimmung der Funktion von 2 Variablen ist die gesamte Schnur (OH) oder ein Teil davon. Die Anzahl der Werte der Funktion von 2 Variablen ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.

Techniken zur Erstellung von Diagrammen: - Betrachten Sie den Querschnitt der Oberfläche in Quadraten || Koordinatenquadrate.

Beispiel: x = x 0, zn. Quadrat X || 0уz y = y 0 0хz Funktionstyp: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)

Zum Beispiel: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabelumrandung(Mitte(0,1)

Grenzen und Stetigkeit von Funktionen zweier Variablen

Z=f(x;y) ist in einem t (x 0 ,y 0) stetig, wenn: - es in diesem t definiert ist. - hat ein Finale Grenze bei x, tendierend zu x 0 und y zu y 0; - diese Grenze = Wert

Funktionen in t. (x 0 ,y 0), d.h. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0)

Wenn die Funktion in jedem stetig ist t. mn-va X, dann ist es in diesem Bereich stetig

Differentialfunktion, ihre geometrische Bedeutung. Anwendung des Differentials in Näherungswerten.

dy=f’(x)∆x – Differentialfunktion

dy=dx, d.h. dy=f ’(x)dx wenn y=x

Aus geologischer Sicht ist das Differential einer Funktion das Inkrement der Ordinate der Tangente, die an den Graphen der Funktion im Punkt mit der Abszisse x 0 gezogen wird

Dif-l wird zur Berechnung von ca. verwendet. Werte der Funktion gemäß der Formel: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Je näher ∆x an x liegt, desto genauer ist das Ergebnis

Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung

Ableitung erster Ordnung (die man partielle Ableitung nennt)

A. Sei x, y die Inkremente der unabhängigen Variablen x und y an einem Punkt aus der Region X. Dann wird der Wert gleich z = f(x+ x, y+ y) = f(x, y) als Gesamtwert bezeichnet Inkrement am Punkt x 0, y 0. Wenn wir die Variable x fixieren und der Variablen y das Inkrement y geben, dann erhalten wir zó = f(x,y,+ y) – f(x,y)

Die partielle Ableitung der Variablen y wird auf ähnliche Weise bestimmt, d.h.

Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen wird nach denselben Regeln ermittelt wie für Funktionen einer Variablen.

Der Unterschied besteht darin, dass bei der Differenzierung einer Funktion nach der Variablen x y als konstant betrachtet wird und bei der Differenzierung nach y, x als konstant betrachtet wird.

Isolierte Konstanten werden mithilfe von Additions-/Subtraktionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Gebundene Konstanten werden durch Multiplikations-/Divisionsoperationen mit einer Funktion verbunden.

Ableitung von isoliert const = 0

1.4.Vollständige Differentialfunktion zweier Variablen und ihre Anwendungen

Dann sei z = f(x,y).

tz = - wird als vollständiges Inkrement bezeichnet

Partielle Ableitung 2. Ordnung

Für stetige Funktionen zweier Variablen fallen die gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung zusammen.

Die Anwendung partieller Ableitungen zur Bestimmung der partiellen Ableitungen von Max- und Min-Funktionen werden als Extrema bezeichnet.

A. Punkte heißen max oder min z = f(x,y), wenn es einige Segmente gibt, so dass für alle x und y aus dieser Umgebung f(x,y)

T. Wenn ein Extrempunkt einer Funktion von 2 Variablen gegeben ist, dann ist der Wert der partiellen Ableitungen an diesem Punkt gleich 0, d.h. ,

Die Punkte, an denen partielle Ableitungen erster Ordnung auftreten, werden als stationär oder kritisch bezeichnet.

Um die Extrempunkte einer Funktion von zwei Variablen zu finden, werden daher ausreichende Extremumbedingungen verwendet.

Sei die Funktion z = f(x,y) zweimal differenzierbar und ein stationärer Punkt,

1) und maxA<0, minA>0.

1.4.(*)Volles Differential. Geometrische Bedeutung des Differentials. Anwendung des Differentials in Näherungsberechnungen

A. Die Funktion y = f(x) sei in einer bestimmten Umgebung an den Punkten definiert. Eine Funktion f(x) heißt an einem Punkt differenzierbar, wenn ihr Inkrement an diesem Punkt gleich ist , wo es in der Form (1) dargestellt wird

Wobei A ein konstanter Wert ist, unabhängig von an einem festen Punkt x, und bei unendlich klein ist. Eine relativ lineare Funktion A heißt Differential der Funktion f(x) an einem Punkt und wird mit df() oder dy bezeichnet.

Somit kann Ausdruck (1) geschrieben werden als ().

Das Differential der Funktion in Ausdruck (1) hat die Form dy = A. Wie jede lineare Funktion ist sie für jeden Wert definiert während das Inkrement der Funktion nur für diejenigen berücksichtigt werden muss, für die + zum Definitionsbereich der Funktion f(x) gehört.

Um das Differential einfacher schreiben zu können, wird das Inkrement mit dx bezeichnet und als Differential der unabhängigen Variablen x bezeichnet. Daher wird das Differential als dy = Adx geschrieben.

Wenn die Funktion f(x) an jedem Punkt eines bestimmten Intervalls differenzierbar ist, dann ist ihr Differential eine Funktion zweier Variablen – des Punktes x und der Variablen dx:

T. Damit die Funktion y = g(x) irgendwann differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie an dieser Stelle eine Ableitung hat, und

(*)Nachweisen. Notwendigkeit.

Die Funktion f(x) sei im Punkt differenzierbar, d.h. . Dann

Daher existiert die Ableitung f’() und ist gleich A. Daher ist dy = f’()dx

Angemessenheit.

Es gebe eine Ableitung f’(), d.h. = f'(). Dann ist die Kurve y = f(x) ein Tangentensegment. Um den Wert einer Funktion an einem Punkt x zu berechnen, nehmen Sie einen Punkt in der Nähe davon, so dass es nicht schwierig ist, f() und f’()/ zu finden.

Die Funktion sei gegeben. Da x und y unabhängige Variablen sind, kann sich eine von ihnen ändern, während die andere ihren Wert behält. Geben wir der unabhängigen Variablen x ein Inkrement, während der Wert von y unverändert bleibt. Dann erhält z ein Inkrement, das als Teilinkrement von z in Bezug auf x bezeichnet wird und mit bezeichnet wird. Also, .

Ebenso erhalten wir das Teilinkrement von z über y: .

Das Gesamtinkrement der Funktion z wird durch die Gleichheit bestimmt.

Wenn es einen Grenzwert gibt, wird dieser als partielle Ableitung der Funktion an einem Punkt nach der Variablen x bezeichnet und mit einem der folgenden Symbole bezeichnet:

Partielle Ableitungen nach x an einem Punkt werden normalerweise mit den Symbolen bezeichnet .

Die partielle Ableitung von nach der Variablen y wird ähnlich definiert und bezeichnet:

Somit wird die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer (zwei, drei oder mehr) Variablen als Ableitung einer Funktion einer dieser Variablen definiert, sofern die Werte der übrigen unabhängigen Variablen konstant sind. Daher werden partielle Ableitungen einer Funktion mithilfe der Formeln und Regeln zur Berechnung von Ableitungen einer Funktion einer Variablen ermittelt (in diesem Fall werden x bzw. y als konstante Werte betrachtet).

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung genannt. Sie können als Funktionen von betrachtet werden. Diese Funktionen können partielle Ableitungen haben, die partielle Ableitungen zweiter Ordnung genannt werden. Sie sind wie folgt definiert und gekennzeichnet:

; ;

; .

Differentiale 1. und 2. Ordnung einer Funktion zweier Variablen.

Das Gesamtdifferential einer Funktion (Formel 2.5) wird Differential erster Ordnung genannt.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtdifferenz lautet wie folgt:

(2.5) bzw , Wo ,

partielle Differentiale einer Funktion.

Die Funktion soll stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben. Das Differential zweiter Ordnung wird durch die Formel bestimmt. Finden wir es:

Von hier: . Symbolisch wird es so geschrieben:

UNBESTIMMTES INTEGRAL.

Stammfunktion einer Funktion, unbestimmtes Integral, Eigenschaften.

Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion für eine gegebene Funktion f(x), wenn F"(x)=f(x) oder, was dasselbe ist, wenn dF(x)=f(x)dx.

Satz. Wenn eine Funktion f(x), definiert in einem Intervall (X) endlicher oder unendlicher Länge, eine Stammfunktion F(x) hat, dann hat sie auch unendlich viele Stammfunktionen; alle sind im Ausdruck F(x) + C enthalten, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Die Menge aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion f(x), die in einem bestimmten Intervall oder auf einem Segment endlicher oder unendlicher Länge definiert ist, wird aufgerufen unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) [oder aus dem Ausdruck f(x)dx ] und wird mit dem Symbol bezeichnet.

Wenn F(x) eine der Stammfunktionen für f(x) ist, dann gemäß dem Stammfunktionssatz

, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Per Definition einer Stammfunktion ist F"(x)=f(x) und daher dF(x)=f(x) dx. In Formel (7.1) heißt f(x) eine Integrandenfunktion und f( x) dx heißt Integrandenausdruck.

Partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen sind Funktionen derselben Variablen. Diese Funktionen wiederum können partielle Ableitungen haben, die wir zweite partielle Ableitungen (oder partielle Ableitungen zweiter Ordnung) der ursprünglichen Funktion nennen.

Beispielsweise hat eine Funktion zweier Variablen vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung, die wie folgt definiert und bezeichnet werden:

Eine Funktion aus drei Variablen hat neun partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

Partielle Ableitungen dritter und höherer Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen werden ähnlich definiert und bezeichnet: Die partielle Ableitung der Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen ist die partielle Ableitung erster Ordnung der partiellen Ableitung der Ordnung derselben Funktion.

Beispielsweise ist die partielle Ableitung dritter Ordnung einer Funktion die partielle Ableitung erster Ordnung nach y der partiellen Ableitung zweiter Ordnung

Eine partielle Ableitung zweiter oder höherer Ordnung nach mehreren verschiedenen Variablen wird als gemischte partielle Ableitung bezeichnet.

Zum Beispiel partielle Ableitungen

sind gemischte partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen.

Beispiel. Finden Sie gemischte partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion

Lösung. Partielle Ableitungen erster Ordnung finden

Dann finden wir die gemischten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung

Wir sehen, dass gemischte partielle Ableitungen, die sich nur in der Reihenfolge der Differenzierung, also der Reihenfolge, in der nach verschiedenen Variablen differenziert wird, voneinander unterscheiden, sich als identisch gleich erwiesen. Dieses Ergebnis ist kein Zufall. Für gemischte partielle Ableitungen gilt der folgende Satz, den wir ohne Beweis akzeptieren.

Definition. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion sind die partiellen Ableitungen ihrer partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Notation für partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

Für praktische Beispiele gilt folgende Gleichung:

Daher ist es sehr praktisch, anhand gemischter Ableitungen zweiter Ordnung die Richtigkeit der Suche nach partiellen Ableitungen erster Ordnung zu überprüfen.

Beispiele.

A) Finden Sie partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion

Lösung.

1. Wir zählen die Variable j

2. Differenzieren wir die resultierende Funktion noch einmal nach „x“, d.h. Finden wir die zweite Ableitung nach „x“:

3. Wir zählen die Variable X Konstante wenden wir die Regel zum Differenzieren der Summe, die Regel zum Platzieren des konstanten Faktors außerhalb des Vorzeichens der Ableitung und die tabellarische Ableitung der Potenzfunktion an:

4. Differenzieren wir die resultierende Funktion noch einmal nach dem „y“, also Finden wir die zweite Ableitung nach „y“:

5. Finden wir die gemischte Ableitung „x mal y“. Dazu differenzieren wir die erste Ableitung nach „x“ nach „y“.

5. Finden wir die gemischte Ableitung „y nach x“. Dazu differenzieren wir die erste Ableitung nach „y“ nach „x“.

B) Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion. Überprüfen Sie das. Schreiben Sie das Gesamtdifferential erster Ordnung dz.

Lösung.

1. Lassen Sie uns partielle Ableitungen erster Ordnung finden, indem wir die Regeln zur Berechnung der Ableitung eines Produkts, einer Summe, der Platzierung eines konstanten Faktors außerhalb des Vorzeichens der Ableitung und tabellarischer Integrale trigonometrischer Funktionen verwenden: