Arbeiten Sie ab dem Moment, in dem Sie es auf den Körper auftragen. Arbeit und Kraft einer auf einen starren Körper ausgeübten Kraft. Arbeit und potentielle Energie

Finden: V A , a A , T .

1. Lassen Sie uns alle äußeren Kräfte im Diagramm des mechanischen Systems darstellen (Abb. 26):

P A , N A , F tr. , P B , N B , P C , N C .

2. Wir drücken alle notwendigen Linear- und Winkelgeschwindigkeiten durch die gewünschte Geschwindigkeit V A aus. (Abb. 26)

ω B = r A = R B ; B B

V B = R B V A ; r B

ω C \u003d V B \u003d R B V A; 2 R C r B 2 R C

T 1 Positionen.

T 0 = 0 – das System war in Ruhe;

T 1 \u003d T A + T B + T C;

Körper A bewegt sich vorwärts;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Körper B führt eine Rotationsbewegung um die OZ-Achse aus und verläuft senkrecht zur Zeichenebene durch den Punkt O.

Körper C führt eine planparallele Bewegung aus:

T 1 \u003d mV A 2 + 1,125 mV A 2 + 0,75 mV A 2 \u003d 2,875 mV A 2.

4. Bestimmen wir die Summe der Arbeit aller äußeren Kräfte an einer gegebenen Verschiebung s.

Da sich die Verschiebungen von Punkten proportional zu ihrer Geschwindigkeit ändern,

SC = R B S

2r B

∑ A i E = 1,72mqS − 0,1mqS − 0,5mqS = 1,12mqS .

Da der Wert der Summe der Arbeit aller äußeren Kräfte positiv ist, stimmt die tatsächliche Richtung der Geschwindigkeit V A mit der in Abb. 26 angegebenen überein.

5. Ermitteln Sie den Wert der Geschwindigkeit V A aus der Formel T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875 mV A 2 = 1,12 mqS

f (x, y, z, t) = 0.

6. ELEMENTE DER ANALYTISCHEN MECHANIK

6.1. Beziehungen und ihre Gleichungen

Wir beginnen unser Studium der Elemente der analytischen Mechanik mit einer detaillierteren Betrachtung der Zusammenhänge.

Ein unfreier materieller Punkt ist ein Punkt, dessen Bewegungsfreiheit eingeschränkt ist. Die Körper, die die Bewegung eines Punktes einschränken, werden Bindungen genannt. Die Verbindung sei die Oberfläche eines Körpers, entlang derer sich der Punkt bewegt. Dann müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung dieser Fläche erfüllen, genannt Verbindungsgleichung:

f (x i , y i , z i ) = 0 .

Systeme unterscheiden zwischen frei und unfrei.

Ein System materieller Punkte heißt frei, wenn alle darin enthaltenen Punkte beliebige Positionen einnehmen und beliebige Geschwindigkeiten haben können. Ansonsten heißt das System unfrei.

6.2. Beziehungsklassifizierung

Links werden nach folgenden Kriterien klassifiziert:

1) stationär und instationär;

2) holonom und nichtholonom;

3) Halten und Nichthalten.

Als stationär werden solche Verbindungen bezeichnet, deren Gleichungen nicht übereinstimmen

Halten Sie die Zeit t explizit. Die stationäre Verbindungsgleichung hat die Form: f (x i , y i , z i ) = 0 .

Beziehungen, die durch Gleichungen beschrieben werden, die die Zeit t explizit enthalten, werden aufgerufen instationär. Analytisch werden sie durch die Gleichung ausgedrückt

Als holonome Einschränkungen werden Einschränkungen bezeichnet, die keine Beschränkungen für die Geschwindigkeit von Punkten im System darstellen. Die oben genannten Links sind ebenfalls holonom.

Beziehungen, die nicht nur die Koordinaten, sondern auch die Geschwindigkeiten der Punkte des Systems einschränken, werden als nichtholonom bezeichnet. Ihr analytischer Ausdruck hat im allgemeinen Fall die folgende Form

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0

Mechanische Systeme, die holonomen Beschränkungen unterliegen, werden holonome Systeme genannt. Wenn es unter den Bindungen nichtholonome gibt, werden die Systeme als nichtholonom bezeichnet.

Ein klassisches Beispiel für die Bewegung eines nichtholonomen Systems ist das Rollen einer festen Kugel auf einer rauen Oberfläche (z. B. einer Billardkugel).

Als Halteglieder bezeichnet man Glieder, die keine Verschiebungen zulassen, wodurch sich die Punkte der Anlage aus der Verbindung lösen könnten.

Ein Beispiel für eine Haltebeziehung ist das erste Beispiel. Ein weiteres Beispiel sind zwei parallele Ebenen, zwischen denen sich der Ball bewegt.

Für eine Halteanleihe wird die Gleichung durch eine Gleichung der Form f (t , x i , y i , z i , x & i , y & i , z & i ) = 0 gegeben.

Haltebindungen werden manchmal auch als Zwei-Wege-Bindungen bezeichnet. Verbindungen, die Verschiebungen zulassen, wodurch die Punkte des Systems entstehen

aus der Bindung gelöst werden können, ohne diese zu zerstören, werden genannt nicht behaltend. Manchmal werden solche Verbindungen als Einwegverbindungen bezeichnet. Die nicht erhaltende Bindungsgleichung hat die Form der Ungleichung

f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) ≤ 0.

Beispiele für nicht zurückhaltende Anleihen sind das zweite und dritte Beispiel. Ein weiteres Beispiel für eine solche Verbindung ist eine Ebene, entlang derer sich der Ball bewegt.

6.3. Mögliche Bewegungen des Systems. Anzahl der Freiheitsgrade. Perfekte Verbindungen

Stellen Sie sich einen unfreien Körper vor, zum Beispiel einen Würfel, der auf einer Ebene liegt. Geben wir diesem Würfel gedanklich eine gewisse unendlich kleine Verschiebung. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, wir hätten es etwas über die Ebene angehoben; Bei einer solchen Verschiebung wird die Verbindung des Würfels mit der Ebene unterbrochen. Wir können dem Würfel aber auch eine solche imaginäre unendlich kleine Verschiebung geben, dass die Verbindung nicht unterbrochen wird; Eine solche Verschiebung ist jede Verschiebung entlang einer Ebene.

Mögliche Verschiebungen eines nichtfreien mechanischen Systems sind also imaginäre, unendlich kleine Verschiebungen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die dem System auferlegten Beschränkungen zulässig sind.

In unserem Beispiel ist für einen Würfel eine mögliche Verschiebung jede imaginäre, unendlich kleine Verschiebung desselben entlang einer Ebene.

Mögliche Verschiebungen von Punkten eines mechanischen Systems werden als Größen erster Kleinheitsordnung betrachtet, während die Werte höherer Kleinheitsordnungen vernachlässigt werden. Daher krummlinige Verschiebungen von Punkten

werden durch gerade Liniensegmente verändert, die entlang Tangenten an die Trajektorien von Punkten aufgetragen und mit δ r bezeichnet werden.

So ist beispielsweise eine mögliche Bewegung des Hebels AB seine Drehung um einen unendlich kleinen Winkel δϕ um die Achse O (Abb. 27).

Bei dieser Drehung müssen sich die Punkte A und B entlang der Kreisbögen AA1 und BB1 bewegen. Aber bis zu Mengen der ersten Ordnung der Kleinheit, diese

Verschiebungen können durch mögliche Verschiebungen δ r A = AA ′ und δ r B = BB ′ in Form von geraden Liniensegmenten ersetzt werden, die entlang der Tangenten an aufgetragen sind

Trajektorien von Punkten bzw. in der Größe sind gleich:

δ rA = ОА δϕ und δ rВ = OB δϕ .

Dazu zählen die tatsächlichen Verschiebungen eines unfreien mechanischen Systems dr, das sich unter der Einwirkung der auf es wirkenden Kräfte bewegt mögliche Bewegungen und sind ihr Sonderfall. Dies gilt jedoch nur für stationäre Verbindungen. Bei instationären Verbindungen zählen die tatsächlichen Verschiebungen des Systems nicht zu seinen möglichen Verschiebungen.

Im allgemeinen Fall kann es viele verschiedene mögliche Verschiebungen für die Punkte des Systems geben. Allerdings ist es für jedes System, abhängig von der Art der ihm auferlegten Bindungen, möglich, eine bestimmte Anzahl solcher unabhängigen Verschiebungen anzugeben, dass jede andere mögliche Verschiebung als deren geometrische Summe dargestellt werden kann. Beispielsweise kann ein Ball, der auf einer Ebene liegt, entlang dieser Ebene in viele Richtungen bewegt werden. Allerdings kann jede mögliche Verschiebung δ r als Summe zweier Verschiebungen erhalten werden

δ x und δ r 2 entlang zueinander senkrechter Achsen, die in dieser Ebene liegen:

δr = δr1 + δr2 .

Die Anzahl der unabhängigen möglichen Bewegungen des mechanischen Systems bestimmt Anzahl der Freiheitsgrade dieses System.

Somit hat die oben betrachtete Kugel in der Ebene, wenn man sie als materiellen Punkt betrachtet, zwei Freiheitsgrade. Der obige Würfel in der Ebene hat 3 Freiheitsgrade – zwei Translationsbewegungen entlang der Koordinatenachsen und eine Rotationsbewegung um die vertikale Achse. Der an der Achse befestigte Hebel hat einen Freiheitsgrad. Ein freier starrer Körper hat

Es gibt sechs Freiheitsgrade – unabhängige Bewegungen sind drei translatorische Bewegungen entlang der Koordinatenachsen und drei rotatorische Bewegungen um diese Achsen.

Abschließend stellen wir das Konzept der möglichen Arbeit der auf das System wirkenden Kräfte vor.

δ r i

Die Elementararbeit einer Kraft an der Verschiebung (Abb. 3.22) ist das Skalarprodukt der Kraft und der Elementarverschiebung des Angriffspunkts:

wobei a der Winkel zwischen den Richtungen der Vektoren und ist

Als dann können wir einen weiteren Ausdruck der Elementararbeit schreiben:

Für elementare Arbeiten können Sie noch ein paar Ausdrücke schreiben:

Aus den elementaren Arbeitsformeln folgt, dass diese Größe positiv (Winkel a ist spitz), negativ (Winkel a ist stumpf) oder gleich Null (Winkel a ist rechts) sein kann.

Volle Kraftarbeit. Bestimmen der Gesamtarbeit einer Kraft bei der Verschiebung von einem Punkt M 0 bis M Teilen wir diesen Schritt auf N Verschiebungen, von denen jede im Grenzfall elementar wird. Dann die Arbeit der Kraft A:

Wo dA k- weiterarbeiten k-te Elementarverschiebung.

Die geschriebene Summe ist ein Integral und kann durch ein krummliniges Integral entlang der Verschiebungskurve ersetzt werden M 0 M. Dann

oder

Wo ist die Zeit? T=0 entspricht einem Punkt M 0 und Zeit T- Punkt M.

Aus der Definition von elementarem und vollständigem Werk folgt:

1) Die Arbeit der resultierenden Kraft bei jeder Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit der Komponentenkräfte bei dieser Verschiebung;

2) Die Arbeit der Kräfte an einer vollständigen Verschiebung ist gleich der Summe der Arbeit derselben Kraft an den Komponentenverschiebungen, in die die gesamte Verschiebung auf irgendeine Weise unterteilt wird.

Die Kraft der Stärke. Die Kraft einer Kraft ist die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit.

oder darüber nachdenken

Macht der Gewalt ist ein Wert, der dem Skalarprodukt der Kraft und der Geschwindigkeit des Angriffspunkts entspricht.

Bei konstanter Leistung führt also eine Erhöhung der Geschwindigkeit zu einer Verringerung der Kraft und umgekehrt. Die Einheit der Leistung ist Watt: 1W=1J/s.

Wenn auf einen Körper, der sich um eine feste Achse dreht, eine Kraft ausgeübt wird, ist seine Kraft gleich

Die Kraft eines Kräftepaares wird auf ähnliche Weise bestimmt.

3.3.4.3. Beispiele für die Berechnung der Arbeit einer Kraft

Die Gesamtarbeit der Kraft

Wo H- die Höhe, auf die der Punkt gefallen ist.

Somit ist die von der Schwerkraft geleistete Arbeit positiv, wenn der Punkt absinkt, und negativ, wenn der Punkt ansteigt. Die Arbeit der Schwerkraft hängt nicht von der Form der Flugbahn zwischen Punkten ab M 0 und M 1 .

Die Arbeit der linearen Elastizitätskraft. Die lineare Elastizitätskraft wird als Kraft bezeichnet, die nach dem Hookeschen Gesetz wirkt (Abb. 3.24):

Dabei ist der Radiusvektor, der vom Gleichgewichtspunkt, an dem die Kraft Null ist, zum betrachteten Punkt gezogen wird M; Mit ist ein konstanter Steifigkeitskoeffizient.

Die Arbeit einer Kraft bei der Verschiebung von einem Punkt M 0 bis Punkt M 1 wird durch die Formel bestimmt

Durch Integration erhalten wir

(3.27)

Nach der Formel (3.27) wird die Arbeit der linearen elastischen Kraft der Federn berechnet, wenn sie sich von einem Punkt aus auf einem beliebigen Weg bewegen M 0 , wobei seine Anfangsdehnung gleich ist Exakt M 1 , wobei die Verformung jeweils gleich ist In der neuen Notation nimmt die Formel (3.27) die Form an

Die Arbeit einer Kraft, die auf eine rotierende Kraft ausgeübt wird Festkörper . Wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht, ist die Geschwindigkeit eines Punktes M kann mit der Euler-Formel berechnet werden, siehe Abb. 3.25:

Dann wird die Elementararbeit der Kraft durch die Formel bestimmt

Verwendung der Produkteigenschaft gemischter Vektor
wir bekommen

Als - das Kraftmoment um den Punkt UM. Angesichts dessen - Kraftmoment um die Drehachse Oz und ω dt=Dφ, wir erhalten schließlich:

dA=Mzdφ.

Die Elementararbeit einer Kraft, die auf einen beliebigen Punkt eines um eine feste Achse rotierenden Körpers ausgeübt wird, ist gleich dem Produkt aus dem Kraftmoment um die Drehachse und der Differenz des Drehwinkels des Körpers.

Gesamtwerk:

Im konkreten Fall wann , die Arbeit wird durch die Formel bestimmt

Dabei ist j der Drehwinkel des Körpers, für den die Kraftarbeit berechnet wird.

Die Arbeit der inneren Kräfte eines starren Körpers. Beweisen wir, dass die Arbeit der inneren Kräfte eines starren Körpers für jede seiner Verschiebungen gleich Null ist. Es genügt zu beweisen, dass die Summe der Elementararbeit aller Schnittgrößen gleich Null ist. Betrachten Sie zwei beliebige Punkte des Körpers M 1 und M 2 (Abb. 3.26). Da die inneren Kräfte die Wechselwirkungskräfte der Körperpunkte sind, gilt:

Wir führen dann einen durch Kraft gerichteten Einheitsvektor ein

Die Summe der elementaren Kräftearbeit ist gleich

Wenn wir die Skalarprodukte der Vektoren in Klammern erweitern, erhalten wir

Da in der Kinematik nachgewiesen wurde, dass die Projektionen der Geschwindigkeiten zweier beliebiger Punkte eines starren Körpers auf die Richtung einer diese Punkte verbindenden Geraden für jede Bewegung eines starren Körpers einander gleich sind, ist der Unterschied in Klammern angegeben der resultierende Ausdruck ist die Differenz identischer Werte, d.h. ein Wert gleich Null.

3.3.4.4. Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes

Für einen materiellen Punkt mit Masse M, sich unter Einwirkung einer Kraft bewegend, kann das Grundgesetz der Dynamik dargestellt werden als

Wenn wir beide Teile dieser Beziehung skalar mit dem Differential des Radiusvektors des Punktes multiplizieren, erhalten wir

oder

Angesichts dessen - elementare Kraftarbeit,

(3.28)

Formel (3.28) drückt den Satz über die Änderung der kinetischen Energie für einen Punkt in Differentialform aus.

Die Differenz der kinetischen Energie eines Punktes ist gleich der Elementararbeit der auf den Punkt wirkenden Kraft.

Wenn beide Teile der Gleichheit (3.28) vom Punkt aus integriert werden M 0 bis Punkt M(siehe Abb. 3.22) erhalten wir einen Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes in endlicher Form:

Die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes bei jeder Verschiebung ist gleich der Arbeit der Kraft, die bei derselben Verschiebung auf den Punkt wirkt.

3.4.4.5. Satz über die Änderung der kinetischen Energie des Systems

Für jeden Punkt des Systems kann der Satz über die Änderung der kinetischen Energie in der Form ausgedrückt werden:

Summiert man den rechten und linken Teil dieser Beziehungen über alle Punkte des Systems und zieht das Vorzeichen des Differentials aus dem Vorzeichen der Summe, erhält man:

oder

Wo ist die kinetische Energie des Systems; sind die elementare Arbeit äußerer bzw. innerer Kräfte.

Formel (3.29) drückt den Satz über die Änderung der kinetischen Energie des Systems in Differentialform aus.

Die Differenz zur kinetischen Energie des Systems ist gleich der Summe der Elementararbeiten aller auf das System wirkenden äußeren und inneren Kräfte.

Wenn beide Teile von (3.29) zwischen zwei Positionen des Systems integriert werden – Anfangs- und Endpositionen, in denen die kinetische Energie gleich ist T 0 und T Dann erhalten wir durch Ändern der Reihenfolge der Summation und Integration:

oder

Wo ist die Arbeit einer äußeren Kraft für einen Punkt des Systems M k beim Bewegen von der Startposition zur Endposition M k; ist die Arbeit der auf den Punkt wirkenden inneren Kraft M k.

Formel (3.30) drückt den Satz über die Änderung der kinetischen Energie des Systems in endlicher oder integraler Form aus.

Die Änderung der kinetischen Energie des Systems, wenn es sich von einer Position in eine andere bewegt, ist gleich der Summe der Arbeit aller äußeren und inneren Kräfte, die auf das System bei den entsprechenden Verschiebungen der Punkte des Systems mit derselben Verschiebung einwirken das System.

Betrachten Sie zwei beliebige Punkte eines starren Körpers M 1 und M 2, die Teil eines mechanischen Systems sind. Lassen Sie uns Konstruktionen durchführen (siehe Abb. 14.13).

interne Kräfte PJ 1, PJ 2 , die auf der Grundlage des Gesetzes der Gleichheit von Aktion und Reaktion von einem Punkt zum anderen wirken, sind im absoluten Wert gleich und entgegengesetzt gerichtet P J 1 = - PJ 2 .

Zu einem bestimmten Zeitpunkt seien die Geschwindigkeiten der Punkte gleich u 1 bzw. u 2 und über das Zeitintervall seien die Inkremente entlang der Vektoren gleich ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Da aufgrund der 1. Folgerung des Satzes über die Geschwindigkeiten der Punkte einer flachen Figur die Projektionen der Geschwindigkeitsvektoren auf die Richtung des Segments M 1 M 2 gleich sind, dann sind die Projektionen der Elementarverschiebungen von diese Punkte werden gleich sein.

Indem wir also die Summe der Elementararbeiten von 2 Schnittgrößen auf die betrachtete Verschiebung berechnen und deren Gleichheit und entgegengesetzte Richtung berücksichtigen, erhalten wir

P J 1 ds 1 cos(P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J2,u 2)= P J 1 * M 1 M' 1 - P J 1 * M 2 M' 2 = 0.

Da jede innere Kraft einer anderen entspricht, im Absolutwert gleich und entgegengesetzt ist, ist die Summe der Elementararbeiten aller inneren Kräfte gleich Null.

Die endgültige Verschiebung ist eine Reihe elementarer Verschiebungen und daher

Und j = 0,

diese. Die Summe der Arbeit der Schnittgrößen eines starren Körpers bei jeder seiner Verschiebungen ist gleich Null.

Translationsbewegung eines starren Körpers.

Bei der translatorischen Bewegung eines starren Körpers sind die Bahnen aller seiner Punkte identisch und parallel. Daher sind die Vektoren der Elementarverschiebungen geometrisch gleich.

Elementare Kraftarbeit P E i

d A E i =P E i d R.

Für alle Kraft wird es sein

d A=Sd A E i = SP E i d r= D R SP E = D R BETREFF .

Somit,

dA=d R BETREFF . (14-46)

Die Elementararbeit der Kräfte, die auf einen sich vorwärts bewegenden starren Körper wirken, ist gleich der Elementararbeit des Hauptkraftvektors.

A= . (14-47)

Die Elementararbeit der Kräfte, die auf einen starren Körper wirken, der sich um eine feste Achse dreht, ist gleich dem Produkt aus dem Hauptmoment der äußeren Kräfte um die Drehachse und dem Inkrement des Drehwinkels.

Arbeite an der letzten Reise

SA i = , (14-48)

Wo - Hauptpunktäußere Kräfte um die Rotationsachse.

Wenn das Hauptmoment konstant ist, dann

SA i = Ez = E z (j 2 - j 1).(14-49)

In diesem Fall ist die Summe der Arbeit an der endgültigen Verschiebung gleich dem Produkt aus dem Hauptmoment der äußeren Kräfte und der endgültigen Änderung des Drehwinkels des Körpers.

Dann die Macht

N= = M E z dj/dt= M E z w.(14-50)

Im allgemeinen Bewegungsfall ist die Elementararbeit der auf einen freien starren Körper ausgeübten äußeren Kräfte gleich

dA=SdAi=R E d R O + M E W da,(14-51)

Wo M E W- das Hauptmoment der äußeren Kräfte relativ zur Momentanachse; da- elementarer Drehwinkel relativ zur Momentanachse.

14.10. Rollwiderstand.

Auf eine zylindrische Walze, die sich im Ruhezustand auf einer horizontalen Ebene befindet (Abb. 14.14, a), wirken zwei gegeneinander ausgeglichene Kräfte: das Gewicht der Walze G und normale ebene Reaktion N = -G .

Wenn unter Einwirkung einer horizontalen Kraft R, in der Mitte der Rolle C aufgebracht, rollt sie entlang der Ebene, ohne zu rutschen, dann wirken die Kräfte G, N bilden ein Kräftepaar, das ein Wegrollen verhindert (Abb. 14.14, b).

Die Entstehung dieses Kräftepaares ist auf die Verformung der Kontaktflächen von Walze und Hobel zurückzuführen. Reaktions-Aktionslinie N um einen gewissen Abstand d von der Wirkungslinie der Kraft G verschoben ist.

Moment eines Kräftepaares G, N wird als Rollwiderstandsmoment bezeichnet. Sein Wert wird durch das Produkt bestimmt

M Resist = Nd. (14-52)

Der Rollkoeffizient wird in linearen Einheiten ausgedrückt, d. h. [d]= siehe z.B. Stahlbandage über Stahlschiene D= 0,005 cm; Holz auf Stahl D\u003d 0,03-0,04 cm.

Definieren wir die kleinste horizontale Kraft R wird in der Mitte der Eisbahn angebracht.

Damit die Rolle ins Rollen kommt, muss das Moment des Kräftepaares, bestehend aus der Kraft P und der Adhäsionskraft F sc, größer werden als das Widerstandsmoment, d. h.

PR>Nd.

Wo P>Nd/R.

Weil hier also N=G

Die Arbeit einer Kraft an einer unendlich kleinen Verschiebung, Elementararbeit genannt, wird durch die Formel ausgedrückt

wo ist der Winkel zwischen der Kraft F und der Geschwindigkeit v des Angriffspunktes (Abb. 171), oder als Skalarprodukt:

wobei das Differential des Radiusvektors des Kraftangriffspunkts ist.

Ausdrücken dieses Skalarprodukts durch die Projektionen der Vektoren F und auf Koordinatenachsen, erhalten wir einen analytischen Ausdruck für Elementararbeiten:

wobei X, Y, Z Projektionen der Kraft auf die Koordinatenachsen sind, sind infinitesimale Änderungen (Differentiale) der Koordinaten des Kraftangriffspunktes bei einer elementaren Verschiebung dieses Punktes.

Wenn die Kraft F auf einen starren Körper ausgeübt wird, der sich um eine feste Achse z dreht, dann

wo ist der elementare Rotationswinkel des Körpers um die Achse.

Wird auf einen Körper mit fester Drehachse ein Kräftepaar mit einem Moment ausgeübt, so drückt sich die Elementararbeit dieses Paares wie folgt aus:

wo ist die Projektion des Vektors - das Moment des Paares auf der Achse .

Von besonderem Interesse ist der Fall, wenn die Kraft eine Funktion der Koordinaten des Punktes ist und darüber hinaus

In diesem Fall gibt es eine solche Koordinatenfunktion, deren partielle Ableitungen nach Koordinaten gleich den Projektionen der Kraft auf die entsprechenden Koordinatenachsen sind, d.h.

Eine solche Funktion wird Potenz- oder Potentialfunktion genannt. Wenn es also eine Kraftfunktion gibt, dann

d. h. die Elementararbeit der Kraft ist gleich dem Gesamtdifferential der Kraftfunktion. Ein begrenzter oder unbegrenzter Teil des Raums, in dem sich die Wirkung einer Kraft manifestiert, die eine Kraftfunktion hat, wird als Kraftpotentialfeld bezeichnet.

Der Ort der Punkte des Kraftpotentialfeldes, in dem die Kraftfunktion konstant bleibt, wird als Äquipotentialfläche oder ebene Fläche bezeichnet.

Die Arbeit A der Kraft F auf dem endlichen Weg ist als Grenze der Summe der Elementararbeiten definiert und wird als krummliniges Integral ausgedrückt, das entlang des Bogens der Flugbahn von Punkt zu Punkt M genommen wird:

Wird das Produkt a durch eine bekannte Funktion der Bogenkoordinate s des Kraftangriffspunkts ausgedrückt, dann ist dieser Wert s die Integrationsvariable und die Formel zur Berechnung der Arbeit hat die Form

(168)

Wo sind die Werte der Bogenkoordinaten, die den Positionen entsprechen, und M des Kraftangriffspunkts ist die Projektion der Kraft auf die Tangente an die Flugbahn dieses Punktes?

Wenn eine im Absolutwert konstante Kraft mit der Geraden, entlang der sich ihr Angriffspunkt bewegt, einen konstanten Winkel bildet, dann

Wenn sich in einem bestimmten Fall der Punkt M unter Einwirkung einer konstanten Kraft F, die entlang derselben Geraden in Bewegungsrichtung oder entgegen der Bewegung gerichtet ist, geradlinig bewegt, dann gilt jeweils:

Wo ist der vom Punkt zurückgelegte Weg?

Wenn um Drehbewegung Bei der Bewegung eines starren Körpers um eine feste Achse ist das Moment der auf ihn ausgeübten Kraft eine Funktion des Drehwinkels des Körpers, d. h.

Ebenso wird die Arbeit eines Kräftepaares definiert:

Die Arbeit einer Kraft, die eine potentielle Funktion an einer endgültigen Verschiebung hat, wird durch die Differenz der Werte dieser Funktion am End- und Startpunkt des Pfades ausgedrückt:

d. h. in diesem Fall hängt die Arbeit der Kraft nicht von der Kurve ab, entlang der sich der Punkt M bewegt, sondern nur von seiner Anfangs- und Endposition. Bei der Untersuchung der Bewegung eines materiellen Punktes in einem Kraftpotentialfeld ist dies sehr wichtig sehr wichtig hat das Konzept der potentiellen Energie. Die potentielle Energie eines materiellen Punktes ist eine besondere Art von Energie, die ein Punkt besitzt, der sich in einem Kraftpotentialfeld befindet. Die potentielle Energie P ist gleich der Arbeit, die die Feldkraft leisten würde, wenn sie den Punkt ihrer Anwendung von der gegebenen Position M(x, y, z) in die als Null angenommene Position bewegt, d. h.

Die Arbeit der Kraft auf dem endgültigen Weg durch potentielle Energie wird wie folgt ausgedrückt:

Wirken mehrere Kräfte auf einen Punkt, so ist die Arbeit der Resultierenden dieser Kräfte auf jedem Weg gleich der Summe der Arbeit der Teilkräfte auf demselben Weg.

Im technischen Einheitensystem wird die Arbeit in Kilogrammmetern gemessen. Im Internationalen Einheitensystem ist die Arbeitseinheit 1 Joule.

Die Leistung N charakterisiert die Geschwindigkeit, mit der Arbeit verrichtet wird, und wird im Allgemeinen als Ableitung der Arbeit nach der Zeit definiert:

d. h. die Leistung ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraftvektor und Geschwindigkeitsvektor.

Wird die Arbeit A gleichmäßig verrichtet, so bestimmt sich die Leistung wie folgt:

Wo ist die Zeit, in der die Arbeit erledigt wurde?

Somit ist in diesem speziellen Fall die Leistung numerisch gleich der pro Zeiteinheit geleisteten Arbeit.

Wenn sich ein starrer Körper um eine feste Achse dreht:

wobei das Hauptmoment der auf den Körper relativ zur Rotationsachse ausgeübten Kräfte die Winkelgeschwindigkeit des Körpers ist.

Im technischen Einheitensystem wird die Leistung in oder in PS gemessen, und

Im Internationalen Einheitensystem ist die Einheit der Macht

Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung von Arbeit und Leistung wird häufig der Koeffizient verwendet nützliche Aktion. Effizienz ist das Verhältnis von Nutzarbeit oder Leistung zur Arbeit oder Leistung der treibenden Kräfte:

Denn aufgrund schädlicher Resistenzen .

Bei der Berechnung der Arbeit sind folgende Fälle zu unterscheiden.

1. Geradlinige Bewegung unter Einwirkung einer in Absolutwert und Richtung konstanten Kraft. Bei Problemen dieser Art werden die Formeln (169) und (170) verwendet (Aufgaben 756, 762).

2. Geradlinige Bewegung unter Einwirkung einer Kraft, deren Projektion auf die Richtung einer geradlinigen Flugbahn eine Funktion des Abstands eines Punktes von einem festen Mittelpunkt auf dieser Geraden ist (Aufgabe Nr. 768), bei Problemen dieser Art Formel (167) wird verwendet, das, wenn die Achse entlang der Flugbahn des Punktes gerichtet ist, die Form annimmt

3. Krummlinige Bewegung unter Einwirkung einer in Größe und Richtung konstanten Kraft, in diesem Fall kann Formel (167) verwendet werden.

4. Krummlinige Bewegung unter Einwirkung einer Kraft, die eine Funktion der Koordinaten des Kraftangriffspunkts ist.

Hier wird die Definition von Arbeit auf die Berechnung eines krummlinigen Integrals nach Formel (167) reduziert. Liegt im betrachteten Fall eine Kraftfunktion vor, so wird die Arbeit durch die Formel (173) oder (176) bestimmt.

5. Drehbewegung eines starren Körpers unter Einwirkung eines konstanten oder vom Drehwinkel des Körpers abhängigen Moments; in diesem Fall wird Formel (171) zur Berechnung der Arbeit verwendet.

Um die Leistung in Abhängigkeit von der Art der Bewegung zu berechnen, verwenden wir Formel (177) für geradlinige oder krummlinige Bewegung des Kraftangriffspunkts (Aufgaben 760, 764) oder Formel (179) – im Fall der Rotationsbewegung eines starren Körpers Körper (Aufgaben 771, 772, 765). Die durchschnittliche Leistung kann nach Formel (178) ermittelt werden.

Beispiel 131. Entlang der Stange wirkt eine konstante Kraft, mit der der Anhänger entlang einer horizontalen Bahn gezogen wird (Abb. 172). Der Schub bildet einen Winkel mit dem Horizont. Bestimmen Sie die Arbeit, die die Kraft F auf dem Weg verrichtet.

Lösung. Dabei wird die Arbeit durch die Formel (169) bestimmt:

Beispiel 132. Das Gewicht eines Körpers wird mit Hilfe einer horizontalen Kraft aus der Ferne entlang eines horizontalen Bodens bewegt. Bestimmen Sie die Arbeit, die die Reibungskraft in diesem Fall leisten wird, wenn der Reibungskoeffizient zwischen der Körperoberfläche und dem Boden beträgt.

Lösung. Nach dem Coulombschen Gesetz ist die Reibungskraft, wobei N der Normaldruck des Körpers auf die Bodenoberfläche ist, und in diesem Fall . Da die Reibungskraft der Bewegung entgegengesetzt gerichtet ist, ist die Arbeit dieser Kraft negativ:

Beispiel 133. Finden Sie die Arbeit der Schwerkraft, wenn Sie einen materiellen Punkt von Position zu Position M (x, y, z) bewegen, und berechnen Sie auch die potentielle Energie eines Punktes in Position M (Abb. 173).

Lösung. Wenn wir die Z-Achse vertikal nach oben richten, erhalten wir:

Wo ist das Gewicht des Körpers? Daher nach Formel (162)

(182)

Das heißt, die Schwerkraftarbeit ist gleich dem Produkt aus dem Gewicht eines materiellen Punktes und der Differenz zwischen seinen Höhen in der Anfangs- und Endposition, und diese Höhen werden von einer willkürlich gewählten horizontalen Ebene aus gemessen.

Wir bestimmen die potentielle Energie eines Punktes anhand der Formel (175):

wobei C eine beliebige Integrationskonstante ist.

Beispiel 134. Bestimmen Sie die Arbeit der elastischen Kraft eines gestreckten Stabes, an dessen Ende eine Last M hängt, wenn Sie diese Last von Position zu Position M bewegen. Wenn die Länge des unverformten Stabes gleich ist, berechnen Sie auch das Potential Energie eines Punktes in Position M (Abb. 174).

Lösung. Wenn wir die elastische Kraft F bezeichnen und die x-Achse vertikal nach unten richten, erhalten wir:

Dabei ist x die Dehnung des Stabes und c seine Steifigkeit.

Somit,

Beispiel 135. Auf einen materiellen Punkt wirkt eine Kraft, deren Projektionen auf die Koordinatenachsen wie folgt ausgedrückt werden:

Bestimmen Sie die Arbeit dieser Kraft, wenn Sie einen Punkt von einer Position zur anderen bewegen, wenn die Kraft in n ausgedrückt wird und die Koordinaten in cm angegeben sind.

Lösung. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob es in diesem Fall eine Kraftfunktion gibt: Dazu ermitteln wir partielle Ableitungen:

Daher verstehen wir das

d. h. die Bedingungen (164) sind erfüllt und die Kraftfunktion existiert. Das Gesamtdifferential dieser Funktion ist gleich der Elementararbeit, d.h. . Die Elementararbeit ergibt sich aus der Formel oder durch Ersetzen der Werte:

Dieser Ausdruck ist tatsächlich das totale Differential

Die Werte der Funktion an den Punkten und M sind gleich:

Daher ist die gewünschte Arbeit gleich

Beispiel 136. Bestimmen Sie die Arbeit der zentralen Kraft, deren Modul eine Funktion des Abstands eines materiellen Punktes vom Zentrum dieser Kraft ist, d. h. (Abb. 175).

Lösung. In diesem Fall ist der Einheitskraftvektor gleich

Darüber hinaus wird das Vorzeichen abhängig davon gewählt, ob der Punkt M vom Kraftzentrum abgestoßen oder von ihm angezogen wird.

Somit wird der Kraftvektor F wie folgt ausgedrückt:

Mit der Formel (161) erhalten wir also:

Somit,

d.h. Elementararbeit ist ein totales Differential und daher gibt es eine Kraftfunktion, und

In diesem Fall haben wir also eine allgemeine Formel, mit der wir sofort die Kraftfunktion in Abhängigkeit vom Radiusvektor des Kraftangriffspunkts bestimmen und dann die Arbeit der Kraft berechnen können, wenn wir diesen Punkt von Position zu Position bewegen

Beispiel 137. Ein Ende der Feder ist schwenkbar am Punkt O befestigt und am anderen Ende ist eine Kugel befestigt. Die Länge der ungedehnten Feder beträgt , Steifigkeit. Der Ball wird mit gedehnter und nicht gebogener Feder von Position zu Position bewegt. Bestimmen Sie die von der Federkraft geleistete Arbeit, wenn

Lösung. Der Modul der elastischen Kraft der Feder wird in diesem Fall wie folgt ausgedrückt.

Im Abschnitt „Kinematik“ wird festgestellt, dass die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes eines starren Körpers geometrisch die Summe der Geschwindigkeit des Punktes, der als Pol genommen wird, und der Geschwindigkeit ist, die der Punkt während der sphärischen Bewegung des Körpers erhält um den Pol herum. Als Pol wird in der Dynamik immer der Schwerpunkt des Körpers angenommen. Die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes des Körpers wird durch die Formel bestimmt

ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Körpers;

ist der Vektor der momentanen Winkelgeschwindigkeit des Körpers;

ist der Radiusvektor in Bezug auf den Massenschwerpunkt des Körpers.

Für die Kraft der auf einen absolut starren Körper ausgeübten Kraft erhalten wir:

Von besonderem Interesse ist die planparallele Bewegung eines starren Körpers. In diesem wichtigen Sonderfall kann die Kraft der Kraft nach folgender Formel berechnet werden:

Dabei ist der Winkel zwischen den Kraft- und Geschwindigkeitsvektoren des Massenschwerpunkts des Körpers.

Feierabend -

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Theoretische Mechanik Ein kurzer Kurs mit Skripten zur theoretischen Mechanik

Staatliche Haushaltsbildungseinrichtung für höhere Berufsbildung. Moskauer Staatliche Universität für Bauingenieurwesen.

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Alle Themen in diesem Abschnitt:

Grundgesetze der Mechanik
Die theoretische Mechanik gehört zu den sogenannten axiomatischen Wissenschaften. Es basiert auf einem System von Anfangspositionen – Axiomen, die ohne Beweise akzeptiert, aber nicht nur durch direkte Beweise bestätigt werden

Axiom 3
Zwei materielle Punkte interagieren mit Kräften gleicher Größe, die entlang einer Geraden in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind (Abb.!.2). Axiom 4 (Prinzip

Punktgeschwindigkeit
Die Geschwindigkeit eines Punktes wird durch seine Geschwindigkeit charakterisiert, deren Definition wir uns nun zuwenden. Lassen Sie im Moment

Punktbeschleunigung
Die Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors charakterisiert die Beschleunigung des Punktes. Lassen Sie im Moment den Punkt nah

Axiom 3
Ein System aus zwei Kräften, die auf einen absolut starren Körper wirken, ist genau dann ausgeglichen (äquivalent zu Null), wenn diese Kräfte im Absolutwert gleich sind und in einer geraden Linie in entgegengesetzte Richtungen wirken

Kraftmoment um einen Punkt
Gegeben sei die an einem Punkt wirkende Kraft

Kraftmoment um die Achse
Das Kraftmoment relativ zur Achse ist die Projektion des Kraftmoments, das relativ zu einem beliebigen Punkt auf dieser Achse berechnet wird, auf die Achse:

Power-Paar
Ein Kräftepaar ist ein System aus zwei Kräften mit gleichem Absolutwert, die entlang paralleler Linien in entgegengesetzte Richtungen wirken. Flugzeug, in Co

Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems
Stellen Sie sich ein mechanisches System vor, das aus materiellen Punkten besteht. Für jeden Punkt des Systems im Inertialsystem ca

Grundlegende Eigenschaften der Schnittgrößen
Betrachten wir zwei beliebige Punkte des mechanischen Systems und

Satz über die Impulsänderung eines mechanischen Systems
Wir addieren Term für Term alle Gleichungen (3.1): Unter Berücksichtigung der ersten Hauptgleichung

Satz über die Änderung des kinetischen Moments
Wir multiplizieren jede der Gleichungen (3.1) vektoriell links mit dem Radiusvektor des entsprechenden Punktes und addieren

Gleichgewichtsbedingungen
Verweilen wir bei den Fragen des Gleichgewichts materieller Körper, die einen wesentlichen Teil des Abschnitts „Statik“ des Studiengangs Theoretische Mechanik ausmachen. Unter Gleichgewicht in der Mechanik traditionell

Gleichgewicht eines Kräftesystems, dessen Wirkungslinien in derselben Ebene liegen
In vielen Fällen von praktischem Interesse befindet sich der Körper unter der Wirkung eines Kräftesystems im Gleichgewicht, dessen Wirkungslinien in derselben Ebene liegen. Nehmen wir diese Ebene als Koordinate

Betriebsberechnung
Eine Sonderstellung bei einer Reihe statischer Probleme nimmt die Berechnung von Fachwerken ein. Ein Bauernhof ist eine starre Struktur aus geraden Stäben (Abb. 3.3). Wenn alle Stäbe der Farm und alle daran befestigt sind

Körpergleichgewicht bei Reibung
Wie Sie wissen, entsteht beim Gleiten eines Körpers auf einer Auflagefläche ein Widerstand, der das Gleiten verlangsamt. Diesem Phänomen wird durch die Berücksichtigung der Reibungskraft Rechnung getragen.

Zentrum der Parallelkräfte
Dieses Konzept wird für ein System paralleler Kräfte eingeführt, die eine Resultierende haben, und die Angriffspunkte der Kräfte des Systems sind die Punkte

Schwerpunkt des Körpers
Stellen Sie sich einen materiellen Körper vor, der sich nahe der Erdoberfläche (im Schwerkraftfeld) befindet. Nehmen wir zunächst an, dass der Körper aus einer endlichen Anzahl materieller Punkte, also Teilchen, besteht.

Schwerpunkt eines mechanischen Systems. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts
Die Trägheitseigenschaften eines materiellen Körpers werden nicht nur durch seine Masse bestimmt, sondern auch durch die Art der Verteilung dieser Masse im Körper. Eine wichtige Rolle bei der Beschreibung einer solchen Verteilung spielt die Lage des Zentrums

VORTRAG 5
5.1. Bewegung eines absolut starren Körpers Eine der wichtigsten Aufgaben der Mechanik ist die Beschreibung der Bewegung eines absolut starren Körpers. Im Allgemeinen verschiedene Punkte

Translationsbewegung eines starren Körpers
Translation ist die Bewegung eines starren Körpers, bei der jede im Körper gezeichnete Gerade während der gesamten Bewegung parallel zu ihrer ursprünglichen Position bleibt.

Kinematik der Rotationsbewegung eines starren Körpers
Während der Rotationsbewegung gibt es im Körper eine einzige gerade Linie, deren Punkte alle sind

Körpergeschwindigkeit
Schließlich erhalten wir: (5.4) Formel (5.4) wird Euler-Formel genannt. Auf Abb.5.

Differentialgleichung der Rotationsbewegung eines starren Körpers
Die Drehung eines starren Körpers erfolgt wie jede andere Bewegung durch die Einwirkung äußerer Kräfte. Zur Beschreibung der Drehbewegung verwenden wir den Satz über die Änderung des Drehimpulses des Verhältnisses

Kinematik der planparallelen Bewegung eines starren Körpers
Die Bewegung des Körpers wird als planparallel bezeichnet, wenn der Abstand von einem beliebigen Punkt des Körpers zu einer festen (Haupt-)Ebene während der gesamten Bewegung unverändert bleibt

Differentialgleichungen der planparallelen Bewegung eines starren Körpers
Bei der Untersuchung der Kinematik der planparallelen Bewegung eines starren Körpers kann jeder Punkt des Körpers als Pol angenommen werden. Bei der Lösung dynamischer Probleme wird der Schwerpunkt des Körpers immer als Pol und als Unterpunkt betrachtet

Koenig-System. Koenigs erster Satz
(Lernen Sie selbst) Lassen Sie den Bezugsrahmen bewegungslos (träge) sein. System

Arbeit und Kraft der Kraft. Potenzielle Energie
Das halbe Produkt aus der Masse eines Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit wird als kinetische Energie eines materiellen Punktes bezeichnet. Man nennt die kinetische Energie eines mechanischen Systems

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems
Der Satz über die Änderung der kinetischen Energie gehört neben den bisher bewährten Sätzen über die Impulsänderung und die Momentenänderung von Größen zu den allgemeinen Sätzen der Dynamik

Die Arbeit der Schnittgrößen eines geometrisch unveränderlichen mechanischen Systems
Beachten Sie, dass im Gegensatz zum Impulsänderungssatz und zum Impulsänderungssatz der Satz zur Änderung der kinetischen Energie im Allgemeinen innere Kräfte umfasst.

Berechnung der kinetischen Energie eines absolut starren Körpers
Wir erhalten Formeln zur Berechnung der kinetischen Energie eines absolut starren Körpers während einiger seiner Bewegungen. 1. Bei translatorischer Bewegung ist die Geschwindigkeit aller Punkte des Körpers jederzeit gleich

Die Arbeit der Schwerkraft
Bei der Berechnung der Schwerkraftarbeit gehen wir davon aus, dass wir einen begrenzten Raumbereich nahe der Erdoberfläche betrachten, dessen Abmessungen im Vergleich zu den Abmessungen der Erde klein sind

Arbeit der elastischen Kraft
Das Konzept der elastischen Kraft wird üblicherweise mit der Reaktion einer linearen elastischen Feder in Verbindung gebracht. Richten wir die Achse entlang der

Drehmomentarbeit
Die Kraft soll an einem Punkt des Körpers ausgeübt werden, der eine Rotationsachse hat. Der Körper dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit

Mögliche Geschwindigkeiten und mögliche Bewegungen
Wir führen zunächst die Konzepte möglicher Geschwindigkeit und möglicher Verschiebung für einen materiellen Punkt ein, dem eine holonome instationäre Einschränkung auferlegt wird. Mögliche Geschwindigkeitsmatte

Perfekte Verbindungen
Die einem mechanischen System auferlegten Beschränkungen heißen ideal, wenn die Summe der Arbeit aller Reaktionen der Beschränkungen auf jede mögliche Verschiebung des Systems gleich Null ist:

Das Prinzip möglicher Bewegungen
Das Prinzip der möglichen Verschiebungen legt die Bedingungen für das Gleichgewicht mechanischer Systeme fest. Unter dem Gleichgewicht eines mechanischen Systems wird traditionell der Zustand seines Ruhezustands in Bezug auf die gewählte Trägheit verstanden

Allgemeine Dynamikgleichung
Betrachten wir ein mechanisches System bestehend aus materiellen Punkten, denen ideale Bedingungen auferlegt werden.