Lösung der kleinsten Quadrate. Annäherung experimenteller Daten. Methode der kleinsten Quadrate. OLS im Fall eines linearen Modells

Beispiel.

Experimentelle Daten zu den Werten von Variablen X Und bei sind in der Tabelle angegeben.

Durch ihre Ausrichtung ergibt sich die Funktion

Benutzen Methode der kleinsten Quadrate, approximieren Sie diese Daten durch eine lineare Abhängigkeit y=ax+b(Parameter finden A Und B). Finden Sie heraus, welche der beiden Linien (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) die experimentellen Daten besser anpasst. Fertige eine Zeichnung an.

Die Essenz der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Die Aufgabe besteht darin, die linearen Abhängigkeitskoeffizienten zu finden, bei denen die Funktion zweier Variablen vorliegt A Und B nimmt den kleinsten Wert an. Das heißt, gegeben A Und B die Summe der quadratischen Abweichungen der experimentellen Daten von der gefundenen Geraden wird am kleinsten sein. Das ist der Sinn und Zweck der Methode der kleinsten Quadrate.

Bei der Lösung des Beispiels geht es also darum, das Extremum einer Funktion zweier Variablen zu finden.

Ableitung von Formeln zum Finden von Koeffizienten.

Ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird erstellt und gelöst. Partielle Ableitungen einer Funktion nach Variablen finden A Und B, setzen wir diese Ableitungen mit Null gleich.

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem mit einer beliebigen Methode (z. B durch Substitutionsmethode oder ) und erhalten Sie Formeln zum Ermitteln von Koeffizienten mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (LSM).

Gegeben A Und B Funktion nimmt den kleinsten Wert an. Der Beweis dieser Tatsache ist gegeben.

Das ist die ganze Methode der kleinsten Quadrate. Formel zum Finden des Parameters A enthält die Summen , , und Parameter N- Menge experimenteller Daten. Wir empfehlen, die Werte dieser Beträge separat zu berechnen. Koeffizient B nach Berechnung gefunden A.

Es ist Zeit, sich an das ursprüngliche Beispiel zu erinnern.

Lösung.

In unserem Beispiel n=5. Wir füllen die Tabelle aus, um die Berechnung der Beträge zu erleichtern, die in den Formeln der erforderlichen Koeffizienten enthalten sind.

Die Werte in der vierten Zeile der Tabelle werden durch Multiplikation der Werte der 2. Zeile mit den Werten der 3. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der fünften Zeile der Tabelle werden durch Quadrieren der Werte in der 2. Zeile für jede Zahl erhalten ich.

Die Werte in der letzten Spalte der Tabelle sind die Summen der Werte in den Zeilen.

Um die Koeffizienten zu ermitteln, verwenden wir die Formeln der Methode der kleinsten Quadrate A Und B. Wir ersetzen darin die entsprechenden Werte aus der letzten Spalte der Tabelle:

Somit, y = 0,165x+2,184- die gewünschte Annäherungsgerade.

Es bleibt abzuwarten, welche der Zeilen y = 0,165x+2,184 oder nähert sich den Originaldaten besser an, d. h. es wird eine Schätzung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate vorgenommen.

Fehlerschätzung der Methode der kleinsten Quadrate.

Dazu müssen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen der Originaldaten von diesen Linien berechnen Und , ein kleinerer Wert entspricht einer Linie, die den Originaldaten im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate besser nahekommt.

Seit , dann gerade y = 0,165x+2,184 nähert sich den Originaldaten besser an.

Grafische Darstellung der Methode der kleinsten Quadrate (LS).

In den Grafiken ist alles deutlich sichtbar. Die rote Linie ist die gefundene Gerade y = 0,165x+2,184, die blaue Linie ist , rosa Punkte sind die Originaldaten.

Warum ist das nötig, warum all diese Näherungen?

Ich persönlich verwende es, um Probleme der Datenglättung, Interpolation und Extrapolation zu lösen (im ursprünglichen Beispiel könnte es darum gehen, den Wert eines beobachteten Werts zu ermitteln). j bei x=3 oder wann x=6 unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate). Aber wir werden später in einem anderen Abschnitt der Website mehr darüber sprechen.

Nachweisen.

Also, wenn es gefunden wird A Und B Da die Funktion den kleinsten Wert annimmt, muss an dieser Stelle die Matrix der quadratischen Form des Differentials zweiter Ordnung für die Funktion vorliegen war eindeutig positiv. Zeigen wir es.

Wenn eine bestimmte physikalische Größe von einer anderen Größe abhängt, kann diese Abhängigkeit untersucht werden, indem y bei verschiedenen x-Werten gemessen wird. Als Ergebnis von Messungen werden eine Reihe von Werten erhalten:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Basierend auf den Daten eines solchen Experiments ist es möglich, einen Graphen der Abhängigkeit y = ƒ(x) zu erstellen. Die resultierende Kurve ermöglicht es, die Form der Funktion ƒ(x) zu beurteilen. Die konstanten Koeffizienten, die in diese Funktion eingehen, bleiben jedoch unbekannt. Sie können mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt werden. Experimentelle Punkte liegen in der Regel nicht genau auf der Kurve. Die Methode der kleinsten Quadrate erfordert, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen der experimentellen Punkte von der Kurve, d. h. 2 war die kleinste.

In der Praxis wird diese Methode am häufigsten (und am einfachsten) bei einem linearen Zusammenhang angewendet, d. h. Wann

y = kx oder y = a + bx.

Lineare Abhängigkeit in der Physik sehr weit verbreitet. Und selbst wenn die Beziehung nichtlinear ist, versuchen sie normalerweise, ein Diagramm so zu konstruieren, dass eine gerade Linie entsteht. Wenn beispielsweise angenommen wird, dass der Brechungsindex von Glas n mit der Lichtwellenlänge λ durch die Beziehung n = a + b/λ 2 zusammenhängt, dann wird die Abhängigkeit von n von λ -2 im Diagramm aufgetragen.

Bedenken Sie die Abhängigkeit y = kx(eine gerade Linie, die durch den Ursprung geht). Bilden wir den Wert φ aus der Summe der Quadrate der Abweichungen unserer Punkte von der Geraden

Der Wert von φ ist immer positiv und fällt umso kleiner aus, je näher unsere Punkte an der Geraden liegen. Die Methode der kleinsten Quadrate besagt, dass der Wert für k so gewählt werden sollte, dass φ ein Minimum aufweist

oder
(19)

Die Berechnung zeigt, dass der quadratische Mittelfehler bei der Bestimmung des Werts von k gleich ist

, (20)
wobei n die Anzahl der Messungen ist.

Betrachten wir nun einen etwas schwierigeren Fall, bei dem die Punkte die Formel erfüllen müssen y = a + bx(eine gerade Linie, die nicht durch den Ursprung geht).

Die Aufgabe besteht darin, aus der verfügbaren Wertemenge x i, y i die besten Werte von a und b zu finden.

Stellen wir erneut die quadratische Form φ zusammen, die der Summe der quadratischen Abweichungen der Punkte x i, y i von der Geraden entspricht

und finden Sie die Werte von a und b, für die φ ein Minimum hat

;

.

Die gemeinsame Lösung dieser Gleichungen ergibt

(21)

Die quadratischen Mittelfehler der Bestimmung von a und b sind gleich

(23)

.  (24)

Bei der Verarbeitung von Messergebnissen mit dieser Methode ist es zweckmäßig, alle Daten in einer Tabelle zusammenzufassen, in der alle in den Formeln (19)(24) enthaltenen Beträge vorab berechnet werden. Die Formen dieser Tabellen sind in den folgenden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Die Grundgleichung der Dynamik wurde untersucht Rotationsbewegungε = M/J (Linie durch den Ursprung). Bei verschiedenen Werten des Moments M wurde die Winkelbeschleunigung ε eines bestimmten Körpers gemessen. Es ist erforderlich, das Trägheitsmoment dieses Körpers zu bestimmen. In der zweiten und dritten Spalte sind die Ergebnisse der Messungen des Kraftmoments und der Winkelbeschleunigung aufgeführt Tabelle 5.

Tabelle 5

Mit Formel (19) ermitteln wir:

.

Um den quadratischen Mittelwertfehler zu bestimmen, verwenden wir Formel (20)

0.005775kg-1 · M -2 .

Nach Formel (18) gilt

SJ = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kg m2.

Nachdem wir die Zuverlässigkeit P = 0,95 festgelegt haben, finden wir unter Verwendung der Tabelle der Student-Koeffizienten für n = 5 t = 2,78 und bestimmen den absoluten Fehler ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 kg m2.

Schreiben wir die Ergebnisse in das Formular:

J = (3,0 ± 0,2) kg m2;

Beispiel 2. Berechnen wir den Temperaturkoeffizienten des Metallwiderstands mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate. Der Widerstand hängt linear von der Temperatur ab

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Der freie Term bestimmt den Widerstand R 0 bei einer Temperatur von 0 °C und der Winkelkoeffizient ist das Produkt Temperaturkoeffizientα zum Widerstand R 0 .

Die Ergebnisse der Messungen und Berechnungen sind in der Tabelle aufgeführt ( siehe Tabelle 6).

Tabelle 6

Mit den Formeln (21), (22) ermitteln wir

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.

Finden wir einen Fehler in der Definition von α. Da gilt dann nach Formel (18):

.

Mit den Formeln (23), (24) haben wir

;

0.014126 Ohm.

Nachdem wir die Zuverlässigkeit auf P = 0,95 eingestellt haben und die Tabelle der Student-Koeffizienten für n = 6 verwenden, finden wir t = 2,57 und bestimmen den absoluten Fehler Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 Grad -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 Hagel-1 bei P = 0,95.

Beispiel 3. Es ist erforderlich, den Krümmungsradius der Linse mithilfe der Newtonschen Ringe zu bestimmen. Die Radien r m der Newtonschen Ringe wurden gemessen und die Anzahl dieser Ringe m bestimmt. Die Radien der Newtonschen Ringe hängen durch die Gleichung mit dem Krümmungsradius der Linse R und der Ringzahl zusammen

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

wobei d 0 die Dicke des Spaltes zwischen Linse und planparalleler Platte (bzw. die Verformung der Linse) ist,

λ Wellenlänge des einfallenden Lichts.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

dann nimmt die Gleichung die Form an y = a + bx.

Die Ergebnisse von Messungen und Berechnungen werden eingetragen Tabelle 7.

Tabelle 7

Es hat viele Anwendungsmöglichkeiten, da es eine näherungsweise Darstellung einer gegebenen Funktion durch andere, einfachere Funktionen ermöglicht. LSM kann bei der Verarbeitung von Beobachtungen äußerst nützlich sein und wird aktiv verwendet, um einige Größen auf der Grundlage der Ergebnisse von Messungen anderer Größen abzuschätzen, die zufällige Fehler enthalten. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie Berechnungen der kleinsten Quadrate in Excel implementieren.

Darstellung des Problems anhand eines konkreten Beispiels

Angenommen, es gibt zwei Indikatoren X und Y. Darüber hinaus hängt Y von X ab. Da OLS uns aus Sicht der Regressionsanalyse interessiert (in Excel werden seine Methoden mithilfe integrierter Funktionen implementiert), sollten wir sofort mit der Betrachtung von a fortfahren spezifisches Problem.

Sei also X die Verkaufsfläche eines Lebensmittelgeschäfts, gemessen in Quadratmeter und Y ist der Jahresumsatz, bestimmt in Millionen Rubel.

Es ist erforderlich, eine Prognose darüber zu erstellen, welchen Umsatz (Y) das Geschäft erzielen wird, wenn es über diese oder jene Verkaufsfläche verfügt. Offensichtlich nimmt die Funktion Y = f (X) zu, da der Hypermarkt mehr Waren verkauft als der Stand.

Ein paar Worte zur Richtigkeit der für die Vorhersage verwendeten Ausgangsdaten

Nehmen wir an, wir haben eine Tabelle, die mit Daten für n Filialen erstellt wurde.

Laut mathematischer Statistik sind die Ergebnisse mehr oder weniger korrekt, wenn Daten zu mindestens 5-6 Objekten untersucht werden. Darüber hinaus können „anomale“ Ergebnisse nicht verwendet werden. Insbesondere eine kleine Elite-Boutique kann einen Umsatz erzielen, der um ein Vielfaches höher ist als der Umsatz einer großen Boutique Einzelhandelsgeschäfte Klasse „Masmarket“.

Die Essenz der Methode

Die Tabellendaten können auf einer kartesischen Ebene in Form von Punkten M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n) dargestellt werden. Nun reduziert sich die Lösung des Problems auf die Auswahl einer Näherungsfunktion y = f (x), die einen Graphen aufweist, der möglichst nahe an den Punkten M 1, M 2, .. M n verläuft.

Natürlich können Sie ein Polynom verwenden hochgradig, aber diese Option ist nicht nur schwierig umzusetzen, sondern auch einfach falsch, da sie nicht den Haupttrend widerspiegelt, der erkannt werden muss. Die sinnvollste Lösung besteht darin, nach der Geraden y = ax + b zu suchen, die den experimentellen Daten, genauer gesagt den Koeffizienten a und b, am besten entspricht.

Genauigkeitsbewertung

Bei jeder Näherung ist die Beurteilung ihrer Genauigkeit von besonderer Bedeutung. Bezeichnen wir mit e i die Differenz (Abweichung) zwischen den funktionalen und experimentellen Werten für den Punkt x i, d. h. e i = y i - f (x i).

Um die Genauigkeit der Näherung zu beurteilen, können Sie natürlich die Summe der Abweichungen verwenden, d. h. bei der Auswahl einer Geraden für eine ungefähre Darstellung der Abhängigkeit von X von Y müssen Sie der Linie mit dem kleinsten Wert den Vorzug geben die Summe e i an allen betrachteten Punkten. Allerdings ist nicht alles so einfach, denn neben positiven Abweichungen gibt es auch negative.

Das Problem kann mithilfe von Abweichungsmodulen oder deren Quadraten gelöst werden. Die letzte Methode ist die am weitesten verbreitete. Es wird in vielen Bereichen eingesetzt, einschließlich der Regressionsanalyse (implementiert in Excel mithilfe zweier integrierter Funktionen), und hat seine Wirksamkeit seit langem bewiesen.

Methode der kleinsten Quadrate

Wie Sie wissen, verfügt Excel über eine integrierte AutoSumme-Funktion, mit der Sie die Werte aller Werte berechnen können, die sich im ausgewählten Bereich befinden. Somit hindert uns nichts daran, den Wert des Ausdrucks (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2) zu berechnen.

In mathematischer Notation sieht das so aus:

Da ursprünglich die Entscheidung getroffen wurde, mit einer geraden Linie zu approximieren, gilt:

Die Aufgabe, die Gerade zu finden, die die spezifische Abhängigkeit der Größen X und Y am besten beschreibt, besteht also darin, das Minimum einer Funktion zweier Variablen zu berechnen:

Dazu müssen Sie die partiellen Ableitungen nach den neuen Variablen a und b mit Null gleichsetzen und ein primitives System lösen, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten der Form besteht:

Nach einigen einfachen Transformationen, einschließlich Division durch 2 und Manipulation von Summen, erhalten wir:

Wenn wir es beispielsweise mit der Cramer-Methode lösen, erhalten wir einen stationären Punkt mit bestimmten Koeffizienten a * und b *. Dies ist das Minimum, d.h. um vorherzusagen, welchen Umsatz ein Geschäft für eine bestimmte Fläche haben wird, eignet sich die Gerade y = a * x + b*, die für das jeweilige Beispiel ein Regressionsmodell darstellt. Natürlich lässt sie dich nicht finden genaues Ergebnis, aber es wird helfen, eine Vorstellung davon zu bekommen, ob sich der Kauf einer bestimmten Fläche mit Ladenguthaben auszahlt.

So implementieren Sie die Methode der kleinsten Quadrate in Excel

Excel verfügt über eine Funktion zur Berechnung von Werten mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate. Es hat die folgende Form: „TREND“ (bekannte Y-Werte; bekannte X-Werte; neue X-Werte; Konstante). Wenden wir die Formel zur Berechnung von OLS in Excel auf unsere Tabelle an.

Geben Sie dazu das „=“-Zeichen in die Zelle ein, in der das Ergebnis der Berechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in Excel angezeigt werden soll, und wählen Sie die Funktion „TREND“. Füllen Sie im sich öffnenden Fenster die entsprechenden Felder aus und markieren Sie Folgendes:

• Bereich bekannter Werte für Y (in diesem Fall Daten für den Handelsumsatz);
• Bereich x 1, …x n, d. h. die Größe der Verkaufsfläche;
• sowohl bekannte als auch unbekannte Werte von x, für die Sie die Größe des Umsatzes ermitteln müssen (Informationen zu ihrer Position auf dem Arbeitsblatt finden Sie unten).

Darüber hinaus enthält die Formel die logische Variable „Const“. Wenn Sie in das entsprechende Feld eine 1 eingeben, bedeutet dies, dass Sie die Berechnungen unter der Annahme durchführen sollten, dass b = 0.

Wenn Sie die Prognose für mehr als einen x-Wert ermitteln müssen, sollten Sie nach Eingabe der Formel nicht die Eingabetaste drücken, sondern die Kombination „Umschalttaste“ + „Strg“ + „Eingabetaste“ auf der Tastatur eingeben.

Einige Eigenschaften

Die Regressionsanalyse kann auch für Dummköpfe zugänglich sein. Die Excel-Formel zur Vorhersage des Werts einer Reihe unbekannter Variablen – TREND – kann sogar von denjenigen verwendet werden, die noch nie von der Methode der kleinsten Quadrate gehört haben. Es reicht aus, nur einige Merkmale seiner Arbeit zu kennen. Insbesondere:

• Wenn Sie den Bereich bekannter Werte der Variablen y in einer Zeile oder Spalte anordnen, wird jede Zeile (Spalte) mit bekannten Werten von x vom Programm als separate Variable wahrgenommen.
• Wenn das TREND-Fenster keinen Bereich mit bekanntem x anzeigt, wird die Funktion in verwendet Excel-Programm behandelt es als Array bestehend aus ganzen Zahlen, deren Anzahl dem Bereich mit den angegebenen Werten der Variablen y entspricht.
• Um ein Array von „vorhergesagten“ Werten auszugeben, muss der Ausdruck zur Berechnung des Trends als Array-Formel eingegeben werden.
• Wenn keine neuen Werte von x angegeben werden, betrachtet die TREND-Funktion sie als gleich den bekannten. Wenn sie nicht angegeben sind, wird Array 1 als Argument verwendet; 2; 3; 4;…, was dem Bereich mit bereits angegebenen Parametern entspricht y.
• Der Bereich, der die neuen x-Werte enthält, muss die gleichen oder mehr Zeilen oder Spalten haben wie der Bereich, der die angegebenen y-Werte enthält. Mit anderen Worten, es muss proportional zu den unabhängigen Variablen sein.
• Ein Array mit bekannten x-Werten kann mehrere Variablen enthalten. Wenn wir jedoch nur von einem sprechen, ist es erforderlich, dass die Bereiche mit den angegebenen Werten von x und y proportional sind. Bei mehreren Variablen ist es erforderlich, dass der Bereich mit den angegebenen y-Werten in eine Spalte oder eine Zeile passt.

PREDICTION-Funktion

Mit mehreren Funktionen umgesetzt. Eine davon heißt „PREDICTION“. Es ähnelt „TREND“, d. h. es gibt das Ergebnis von Berechnungen nach der Methode der kleinsten Quadrate an. Allerdings nur für ein X, für das der Wert von Y unbekannt ist.

Jetzt kennen Sie Formeln in Excel für Dummies, mit denen Sie den zukünftigen Wert eines bestimmten Indikators anhand eines linearen Trends vorhersagen können.

Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine der gebräuchlichsten und am weitesten entwickelten Einfachheit und Effizienz von Methoden zur Schätzung linearer Parameter. Gleichzeitig ist bei der Verwendung eine gewisse Vorsicht geboten, da damit erstellte Modelle möglicherweise eine Reihe von Anforderungen an die Qualität ihrer Parameter nicht erfüllen und daher die Muster der Prozessentwicklung nicht „gut“ widerspiegeln. genug.

Betrachten wir das Verfahren zur Schätzung der Parameter eines linearen ökonometrischen Modells mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate genauer. Dieses Modell in Gesamtansicht kann durch Gleichung (1.2) dargestellt werden:

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t.

Die Anfangsdaten bei der Schätzung der Parameter a 0 , a 1 ,..., a n ist ein Vektor von Werten der abhängigen Variablen j= (y 1 , y 2 , ... , y T)“ und die Wertematrix unabhängiger Variablen

wobei die erste Spalte, bestehend aus Einsen, dem Modellkoeffizienten entspricht.

Die Methode der kleinsten Quadrate erhielt ihren Namen aufgrund des Grundprinzips, dass die auf ihrer Grundlage erhaltenen Parameterschätzungen Folgendes erfüllen müssen: Die Quadratsumme des Modellfehlers sollte minimal sein.

Beispiele für die Lösung von Problemen mit der Methode der kleinsten Quadrate

Beispiel 2.1. Das Handelsunternehmen verfügt über ein Netzwerk von 12 Filialen, deren Aktivitäten in der Tabelle dargestellt sind. 2.1.

Die Geschäftsführung des Unternehmens möchte wissen, wie der Jahresbetrag von der Verkaufsfläche des Marktes abhängt.

Tabelle 2.1

Lösung der kleinsten Quadrate. Bezeichnen wir den Jahresumsatz des Ladens mit Millionen Rubel; — Verkaufsfläche des Ladens, tausend m2.

Abb.2.1. Streudiagramm für Beispiel 2.1

Um die Form der funktionalen Beziehung zwischen den Variablen zu bestimmen, erstellen wir ein Streudiagramm (Abb. 2.1).

Anhand des Streudiagramms können wir schließen, dass der Jahresumsatz positiv von der Verkaufsfläche abhängt (d. h. y steigt mit zunehmender ). Die am besten geeignete Form der funktionalen Verbindung ist linear.

Informationen für weitere Berechnungen sind in der Tabelle aufgeführt. 2.2. Mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate schätzen wir die Parameter eines linearen einfaktoriellen ökonometrischen Modells

Tabelle 2.2

Auf diese Weise,

Daher steigt der durchschnittliche Jahresumsatz bei einer Vergrößerung der Verkaufsfläche um 1.000 m2 unter sonst gleichen Bedingungen um 67,8871 Millionen Rubel.

Beispiel 2.2. Der Unternehmensleitung fiel auf, dass der Jahresumsatz nicht nur von der Verkaufsfläche des Ladens abhängt (siehe Beispiel 2.1), sondern auch von der durchschnittlichen Besucherzahl. Die relevanten Informationen sind in der Tabelle dargestellt. 2.3.

Tabelle 2.3

Lösung. Lassen Sie uns die durchschnittliche Anzahl der Besucher des Ladens pro Tag, tausend Menschen, bezeichnen.

Um die Form der funktionalen Beziehung zwischen den Variablen zu bestimmen, erstellen wir ein Streudiagramm (Abb. 2.2).

Basierend auf dem Streudiagramm können wir schlussfolgern, dass der Jahresumsatz positiv von der durchschnittlichen Anzahl der Besucher pro Tag abhängt (d. h. y wird mit zunehmender Besucherzahl zunehmen). Die Form der funktionalen Abhängigkeit ist linear.

Reis. 2.2. Streudiagramm für Beispiel 2.2

Tabelle 2.4

Im Allgemeinen ist es notwendig, die Parameter eines zweifaktoriellen ökonometrischen Modells zu bestimmen

y t = a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

Die für weitere Berechnungen erforderlichen Informationen sind in der Tabelle dargestellt. 2.4.

Lassen Sie uns die Parameter eines linearen zweifaktoriellen ökonometrischen Modells mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate schätzen.

Auf diese Weise,

Die Schätzung des Koeffizienten =61,6583 zeigt, dass unter sonst gleichen Bedingungen bei einer Vergrößerung der Verkaufsfläche um 1.000 m 2 der Jahresumsatz um durchschnittlich 61,6583 Millionen Rubel steigen wird.