Folie 19

nimmt auf R monoton ab. Die Ox-Achse ist eine horizontale Asymptote, die auf R monoton zunimmt 8. Für alle reellen Werte von x und y; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Asymptote 6. Extrema 5. Monotonie 4. Gerade, ungerade 3. Intervalle zum Vergleich der Werte einer Funktion mit Eins 2. Wertebereich einer Funktion 1 Definitionsbereich einer Funktion Eigenschaften einer Exponentialfunktion Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Die Exponentialfunktion hat keine Extrema. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade (eine Funktion allgemeiner Form).

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zur Lösung von Aufgabe Nr. 1 Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zur Lösung von Aufgabe Nr. 2 Bestimmen Sie die Werte

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zur Lösung von Aufgabe Nr. 3 Bestimmen Sie die Art der Funktion zunehmend abnehmend zunehmend abnehmend

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Einführung neuen Wissens

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden DEFINITION der einfachsten exponentiellen Ungleichungen: Sei a eine gegebene positive Zahl ungleich eins und b eine gegebene reelle Zahl. Dann sind die Ungleichungen ax>b (ax≥b) und ax

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden. WIE nennt man das Lösen einer Ungleichung? Die Lösung einer Ungleichung mit einem unbekannten x ist die Zahl x0, die, wenn sie in die Ungleichung eingesetzt wird, eine echte numerische Ungleichung erzeugt.

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden WAS BEDEUTET ES, eine Ungleichung zu lösen? Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle Lösungen zu finden oder zu zeigen, dass es keine gibt.

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Betrachten wir die relative Position des Graphen der Funktion y=ax, a>0, a≠1 und der Geraden y=b, ihre Typen und Lösungsmethoden y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden SCHLUSSFOLGERUNG Nr. 1: Wenn b≤0, schneidet die Gerade y=b den Graphen der Funktion y=ax nicht, weil liegt unterhalb der Kurve y=ax, daher sind die Ungleichungen ax>b(ax≥b) für xR und die Ungleichungen ax erfüllt

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SCHLUSSFOLGERUNG Nr. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden Wenn a>1 und b > 0, dann für jedes x1 x0- unterhalb der Geraden y=b . 1 Für b>0 schneidet die Gerade y = b den Graphen der Funktion y = ax in einem einzigen Punkt, dessen Abszisse x0 = logab ist

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SCHLUSSFOLGERUNG Nr. 2: y x ​​​​0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden Wenn a>1 und b > 0, dann für jedes x1 >x0 der entsprechende Punkt des Graphen von die Funktion y=ax liegt über der Geraden y=b, und für jedes x2 0 schneidet die Gerade y = b den Graphen der Funktion y = ax in einem einzigen Punkt, dessen Abszisse x0 = logab x2 ist

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Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Beispiel Nr. 1.1 Antwort: nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu, Lösung:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Beispiel Nr. 1.2 Lösung: Antwort: nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab,

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Beispiel Nr. 1.3 Lösung: Antwort: steigt über den gesamten Definitionsbereich,

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 1) Exponentielle Ungleichungen, reduziert auf die einfachsten, nehmen über den gesamten Definitionsbereich zu. Beispiel Nr. 1 Antwort: Lösung:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Beispiel Nr. 1.4 Lösung: steigt über den gesamten Definitionsbereich, Antwort:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung Exponentielle Ungleichungen, reduziert auf das einfachste Beispiel Nr. 2 wächst über den gesamten Definitionsbereich Antwort: Lösung:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 2) Exponentielle Ungleichungen, Reduzierung auf quadratische Ungleichungen Beispiel Kehren wir zur Variablen x zurück, die für alle x aus dem Definitionsbereich zunimmt. Antwort: Lösung:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 3) Homogene exponentielle Ungleichungen ersten und zweiten Grades. Homogene exponentielle Ungleichungen ersten Grades Beispiel Nr. 1 nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu Antwort: Lösung:

Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 4) Exponentielle Ungleichungen, Reduzierung auf rationale Ungleichungen Beispiel Kehren wir zu der Variablen x zurück, die über den gesamten Definitionsbereich zunimmt. Antwort: Lösung:

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 5) Exponentielle nichtstandardisierte Ungleichungen Beispiellösung: Lassen Sie uns jede Aussage der Menge separat lösen. Ungleichheit ist gleich Aggregat

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 5) Exponentielle nichtstandardisierte Ungleichungen Beispielantwort: Lösung: Überprüfen Die Überprüfung ergab, dass x=1, x=3, x=1,5 Lösungen für sind Gleichung, und x=2 ist keine Lösung der Gleichung. Also,

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Festigung des Wissens

Welche Ungleichungen werden exponentiell genannt? Wann hat eine exponentielle Ungleichung für jeden Wert von x eine Lösung? Wann hat eine exponentielle Ungleichung keine Lösungen? Welche Arten von Ungleichheiten haben Sie in dieser Lektion gelernt? Wie werden die einfachsten Ungleichungen gelöst? Wie werden Ungleichungen gelöst, die sich auf quadratische Ungleichungen reduzieren lassen? Wie werden homogene Ungleichungen gelöst? Wie werden Ungleichheiten gelöst, die auf rationale reduziert werden können?

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Zusammenfassung der Lektion

Finden Sie heraus, was neue Schüler in dieser Lektion gelernt haben. Geben Sie den Schülern Noten für ihre Arbeit in der Lektion mit detaillierten Kommentaren

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Hausaufgaben

Lehrbuch für die 10. Klasse „Algebra und Anfänge der Analysis“ Autor S.M. Nikolsky Lernabschnitte 6.4 und 6.6, Nr. 6.31-6.35 und Nr. 6.45-6.50 lösen

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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden

Arbeitsort, Position: - MOU-SOSH r.p. Puschkino, Lehrer

Region: – Region Saratow

Merkmale der Unterrichtseinheit (Sitzung) Bildungsniveau: - Sekundarstufe (vollständige) Allgemeinbildung

Zielgruppe: — Schüler (Student)
Zielgruppe: — Lehrer (Lehrer)

Klasse(n): – 10. Klasse

Fachgebiet(e): – Algebra

Der Zweck des Unterrichts: - didaktisch: Verbesserung der grundlegenden Techniken und Methoden zur Lösung logarithmischer und exponentieller Ungleichungen und Sicherstellung, dass alle Schüler die grundlegenden algorithmischen Techniken zur Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen beherrschen; entwicklungsfördernd: logisches Denken, Gedächtnis, kognitives Interesse entwickeln, die Bildung mathematischer Sprache fortsetzen, die Fähigkeit zum Analysieren und Vergleichen entwickeln; pädagogisch: die ästhetische Gestaltung von Notizen in einem Notizbuch, die Fähigkeit, anderen zuzuhören und die Fähigkeit zur Kommunikation zu lehren, Genauigkeit und harte Arbeit zu vermitteln.

Unterrichtsart: – Unterricht zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen

Schüler im Unterricht (Publikum): - 25

Kurzbeschreibung: - Die Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen gilt als eines der komplexen Themen der Mathematik und erfordert von den Studierenden gute theoretische Kenntnisse, die Fähigkeit, diese in der Praxis anzuwenden, Aufmerksamkeit, Fleiß und Intelligenz. Das in der Lektion behandelte Thema wird auch bei Aufnahmeprüfungen an Universitäten und Abschlussprüfungen aufgegriffen. Diese Art von Unterricht fördert logisches Denken, Gedächtnis und kognitives Interesse und trägt zur Entwicklung der Fähigkeit bei, andere zu analysieren, zu vergleichen und ihnen zuzuhören.

Unterrichtsabschnitte und ihre Inhalte

Zeit

(Mindest)

Aktivität

Lehrer

Student

1.Organisationsphase

organisatorisch

Abwesende werden gemeldet.

2. Zielsetzung

Heute werden wir in der Lektion weiterhin die erlernten Grundmethoden und Methoden zur Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen üben und auch andere Möglichkeiten zur Lösung logarithmischer und exponentieller Ungleichungen betrachten: Dies ist der Übergang zu rationalen Ungleichungen durch Ersetzen des Unbekannten sowie a Methode, beide Seiten der Ungleichung durch eine positive Zahl zu dividieren.

Informiert über das Thema der Lektion, das Datum der Lektion und den Zweck der Lektion

Notieren Sie es in Notizbüchern

3. Hausaufgaben überprüfen

Ruft auf Wunsch der Studierenden 3 Personen in den Vorstand und führt gleichzeitig ein Frontalgespräch zu theoretischen Fragen

Vier Personen arbeiten im Vorstand, der Rest nimmt an einer theoretischen Befragung teil

Als Hausaufgabe wurden Sie gebeten, logarithmische und exponentielle Ungleichungen auf zwei Komplexitätsebenen zu lösen. Sehen wir uns die Lösung einiger davon an der Tafel an

6.49(a); 6,52(d) 6,56(b),6,54(b).

4. Aktualisierung des Wissens der Schüler

Erinnern wir uns daran, welche Methoden wir in der letzten Lektion besprochen haben.

Heute betrachten wir Ungleichungen, die sich nach Einführung einer neuen Unbekannten in rationale Ungleichungen verwandeln.

Erinnern wir uns dazu daran, was die Lösung einer rationalen Ungleichung der Form A(x) / B(x)>0 ist. Mit welcher Methode werden rationale Ungleichungen gelöst?

5. Verbesserung der Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler

xx

Beispiel1)2 - 9 / (2 -1)0

3 Minuten

x +0,5xx +0,5

3). 25- 710+4>0

3 Minuten

5) Konsolidierung neuer Dinge.

Übungen an der Tafel machen

6,48(.g);6,58(b);6,59(b) -am Brett 6,62(c)

Führt Sie zur Auswahl einer rationalen Lösungsmethode. überwacht die Richtigkeit der Argumentation und die korrekte Aufzeichnung der Lösung der Ungleichung. Vergibt eine Note für die Arbeit

Ein Schüler entscheidet an der Tafel. Der Rest schreibt die Lösung in ein Notizbuch.

6) Differenziertes selbstständiges Arbeiten (Aufgabe am Bildschirm)

Level 1:

Option 12

Nr.6.48(b);Nr.6.48(e);

Nr. 6.58(a) ;Nr. 6.58(c)

Level 2:

Option 12

Nr.6.61(b);Nr.6.61(d);

Nr. 6.62(c);Nr. 6.62(d).

5 Minuten

2 Personen arbeiten einzeln an einem Sideboard. Der Rest verrichtet selbständige Arbeit auf mehreren Ebenen vor Ort

7)Überprüfung selbstständiger Arbeit

3 Minuten

8)Hausaufgaben (auf dem Bildschirm)

1. Ebene Abschnitt 6.6; Nr. 6.48 (a.); Nr. 6.57 (1.);

Ebene 2: Abschnitt 6.6; Nr. 6.59(c); Nr. 6.62 (a); Nr. 158 (S. 382); Nr. 168 (a, b) (S. 383)

2 Minuten

Erklärt Hausaufgaben und macht die Schüler darauf aufmerksam, dass ähnliche Aufgaben im Unterricht behandelt wurden.

Die letzten beiden Aufgaben wurden bei der Zulassung zur Moskauer Staatlichen Universität und zum MTITF angeboten.

Nachdem Sie dem Lehrer aufmerksam zugehört haben, schreiben Sie Ihre Hausaufgaben auf. Den Schwierigkeitsgrad bestimmen Sie selbst.

8) Zusammenfassung der Lektion: Die Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen gilt als eines der komplexen Themen des Schulmathematikkurses und erfordert von den Schülern gute theoretische Kenntnisse, die Fähigkeit, diese in der Praxis anzuwenden, erfordert Aufmerksamkeit, harte Arbeit und Intelligenz; Aus diesem Grund werden die in der Lektion besprochenen Ungleichheiten in die Aufnahmeprüfungen für die Universitäten und die Abschlussprüfungen einbezogen. Heute haben alle im Unterricht sehr gut gearbeitet und die folgenden Noten erhalten

Danke an alle.

2 Minuten

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Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. 10. Klasse. Lehrbuch. Nikolsky S.M. usw.

Grund- und Profilstufen

8. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 430 S.

Das Lehrbuch entspricht den Bundesbestandteilen des Landesstandards der Allgemeinbildung in Mathematik und enthält Materialien sowohl für die Grund- als auch für die Fachstufe. Es kann unabhängig davon verwendet werden, welche Lehrbücher die Schüler in den vergangenen Jahren studiert haben.

Das Lehrbuch soll Studierende auf den Hochschulzugang vorbereiten.

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INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL I. WURZELN, POTENZEN, LOGARITHMEN
§ 1. Reelle Zahlen 3
1.1. Konzept der reellen Zahl 3
1.2. Viele Zahlen. Eigenschaften reeller Zahlen. ... 10
1,3*. Methode der mathematischen Induktion 16
1.4. Permutationen 22
1.5. Platzierungen 25
1.6. Kombinationen 27
1,7*. Beweis numerischer Ungleichungen 30
1,8*. Teilbarkeit ganzer Zahlen 35
1,9*. Vergleiche modulo t 38
1,10*. Probleme mit ganzzahligen Unbekannten 40
§ 2. Rationale Gleichungen und Ungleichungen 44
2.1. Rationale Ausdrücke 44
2.2. Newtons Binomialformeln, Summen und Potenzdifferenzen. . 48
2,3*. Polynome durch Rest dividieren. Euklidischer Algorithmus... 53
2,4*. Bezouts Theorem 57
2,5*. Wurzel des Polynoms 60
2.6. Rationale Gleichungen 65
2.7. Systeme rationaler Gleichungen 70
2.8. Intervallmethode zur Lösung von Ungleichungen 75
2.9. Rationale Ungleichheiten 79
2.10. Nichtstrikte Ungleichungen 84
2.11. Systeme rationaler Ungleichungen 88
§ 3. Wurzel des Grades Nr. 93
3.1. Das Konzept einer Funktion und ihres Graphen 93
3.2. Funktion y = x" 96
3.3. Das Konzept einer Wurzel vom Grad n 100
3.4. Wurzeln geraden und ungeraden Grades 102
3.5. Arithmetische Wurzel 106
3.6. Eigenschaften von Wurzeln vom Grad l 111
3,7*. Funktion y = nx (x > 0) 114
3,8*. Funktion y = nVx 117
3,9*. Wurzel n der natürlichen Zahl 119
§ 4. Potenz der positiven Zahl 122
4.1. Potenz mit rationalem Exponenten 122
4.2. Eigenschaften von Graden mit rationalem Exponenten 125
4.3. Das Konzept einer Sequenzgrenze 131
4,4*. Eigenschaften von Grenzen 134
4.5. Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf. . . 137
4.6. Nummer e 140
4.7. Der Begriff eines Grades mit irrationalem Exponenten.... 142
4.8. Exponentialfunktion 144
§ 5. Logarithmen 148
5.1. Konzept des Logarithmus 148
5.2. Eigenschaften von Logarithmen 151
5.3. Logarithmische Funktion 155
5,4*. Dezimale Logarithmen 157
5,5*. Potenzfunktionen 159
§ 6. Exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen. . 164
6.1. Die einfachsten Exponentialgleichungen 164
6.2. Einfache logarithmische Gleichungen 166
6.3. Gleichungen auf das Einfachste reduziert durch Ersetzen der Unbekannten 169
6.4. Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen 173
6.5. Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen 178
6.6. Ungleichungen auf das Einfachste reduziert durch Ersetzen der Unbekannten 182
Historische Informationen 187
KAPITEL II. TRIGONOMETRISCHE FORMELN. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN
§ 7. Sinus und Cosinus eines Winkels 193
7.1. Konzept des Winkels 193
7.2. Bogenmaß des Winkels 200
7.3. Bestimmung von Sinus und Cosinus eines Winkels 203
7.4. Grundformeln für sin a und cos a 211
7.5. Arkussinus 216
7.6. Arkuskosinus 221
7,7*. Beispiele für die Verwendung von Arkussinus und Arkuskosinus.... 225
7,8*. Formeln für Arkussinus und Arkuskosinus 231
§ 8. Tangens und Kotangens des Winkels 233
8.1. Bestimmung von Tangens und Kotangens eines Winkels 233
8.2. Grundformeln für tg a und ctg a 239
8.3. Arcustangens 243
8,4*. Arcustangens 246
8,5*. Beispiele für die Verwendung von Arkustangens und Arkuskotangens. . 249
8,6*. Formeln für Arkustangens und Arkuskotangens 255
§ 9. Additionsformeln 258
9.1. Kosinus der Differenz und Kosinus der Summe zweier Winkel 258
9.2. Formeln für Zusatzwinkel 262
9.3. Sinus der Summe und Sinus der Differenz zweier Winkel 264
9.4. Summe und Differenz von Sinus und Cosinus 266
9.5. Formeln für Doppel- und Halbwinkel 268
9,6*. Produkt aus Sinus und Cosinus 273
9,7*. Formeln für Tangenten 275
§ 10. Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments 280
10.1. Funktion y = sin x 281
10.2. Funktion y = cos x 285
10.3. Funktion y = tg * 288
10.4. Funktion y = ctg x 292
§ 11. Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen 295
11.1. Einfache trigonometrische Gleichungen 295
11.2. Gleichungen auf das Einfachste reduziert durch Ersetzen der Unbekannten 299
11.3. Anwenden grundlegender trigonometrischer Formeln zum Lösen von Gleichungen 303
11.4. Homogene Gleichungen 307
11,5*. Die einfachsten Ungleichungen für Sinus und Cosinus.... 310
11,6*. Die einfachsten Ungleichungen für Tangens und Kotangens. . . 315
11,7*. Ungleichungen auf das Einfachste reduziert durch Ersetzen der Unbekannten 319
11,8*. Einführung des Hilfswinkels 322
11,9*. Ersetzen der Unbekannten t = sin x + cos x 327
Historische Informationen 330
KAPITEL III. Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
§ 12. Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 333
12.1. Das Konzept der Ereigniswahrscheinlichkeit 333
12.2. Eigenschaften von Ereigniswahrscheinlichkeiten 338
§ 13*. Frequenz. Bedingte Wahrscheinlichkeit 342
13,1*. Relative Häufigkeit des Ereignisses 342
13,2*. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängige Veranstaltungen 344
§ 14*. Erwarteter Wert. Gesetz der großen Zahlen 348
14,1*. Mathematische Erwartung 348
14,2*. Schwierige Erfahrung 353
14,3*. Bernoullis Formel. Gesetz der großen Zahlen 355
Historische Informationen 359
ÜBERPRÜFUNGSAUFGABEN 362
Sachregister 407
Antworten 410

Viele Menschen denken, dass exponentielle Ungleichheiten etwas Komplexes und Unverständliches sind. Und dass das Lernen, sie zu lösen, fast eine große Kunst ist, die nur die Auserwählten verstehen können ...

Kompletter Unsinn! Exponentielle Ungleichungen sind einfach. Und sie werden immer einfach gelöst. Na ja, fast immer :)

Heute werden wir dieses Thema von innen und außen betrachten. Diese Lektion wird sehr nützlich für diejenigen sein, die gerade erst anfangen, diesen Abschnitt der Schulmathematik zu verstehen. Beginnen wir mit einfachen Problemen und gehen wir zu komplexeren Themen über. Heute wird es keine harte Arbeit geben, aber das, was Sie jetzt lesen, wird ausreichen, um die meisten Ungleichheiten in allen Arten von Tests und unabhängiger Arbeit zu lösen. Und auch bei Ihrer Prüfung.

Beginnen wir wie immer mit der Definition. Eine exponentielle Ungleichung ist jede Ungleichung, die eine Exponentialfunktion enthält. Mit anderen Worten, es kann immer auf eine Ungleichheit der Form zurückgeführt werden

\[((a)^(x)) \gt b\]

Wobei die Rolle von $b$ eine gewöhnliche Zahl oder vielleicht etwas Schwierigeres sein kann. Beispiele? Ja, bitte:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Ich denke, die Bedeutung ist klar: Es gibt eine Exponentialfunktion $((a)^(x))$, sie wird mit etwas verglichen und dann aufgefordert, $x$ zu finden. In besonders klinischen Fällen können sie anstelle der Variablen $x$ eine Funktion $f\left(x \right)$ einsetzen und dadurch die Ungleichung etwas erschweren :).

Natürlich kann die Ungleichheit in manchen Fällen schwerwiegender erscheinen. Zum Beispiel:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Oder sogar das:

Im Allgemeinen kann die Komplexität solcher Ungleichungen sehr unterschiedlich sein, aber am Ende reduzieren sie sich immer noch auf die einfache Konstruktion $((a)^(x)) \gt b$. Und wir werden eine solche Konstruktion irgendwie herausfinden (in besonders klinischen Fällen, wenn uns nichts einfällt, helfen uns Logarithmen). Deshalb zeigen wir Ihnen jetzt, wie Sie solche einfachen Konstruktionen lösen.

Einfache exponentielle Ungleichungen lösen

Betrachten wir etwas ganz Einfaches. Zum Beispiel dies:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Offensichtlich kann die Zahl rechts als Zweierpotenz umgeschrieben werden: $4=((2)^(2))$. Somit kann die ursprüngliche Ungleichung in einer sehr bequemen Form umgeschrieben werden:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Und jetzt juckt es mich in den Händen, die Zweien in den Potenzbasen durchzustreichen, um die Antwort $x \gt 2$ zu erhalten. Aber bevor wir etwas streichen, erinnern wir uns an die Zweierpotenzen:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Wie Sie sehen können, ist die Ausgabezahl umso größer, je größer die Zahl im Exponenten ist. „Danke, Cap!“ - wird einer der Schüler ausrufen. Ist es anders? Leider passiert es. Zum Beispiel:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ rechts))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Auch hier ist alles logisch: Je größer der Grad, desto öfter wird die Zahl 0,5 mit sich selbst multipliziert (also halbiert). Somit nimmt die resultierende Zahlenfolge ab und der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Folge liegt nur in der Basis:

• Wenn die Basis des Grades $a \gt 1$ ist, dann nimmt mit zunehmendem Exponenten $n$ auch die Zahl $((a)^(n))$ zu;
• Und umgekehrt, wenn $0 \lt a \lt 1$, dann nimmt die Zahl $((a)^(n))$ mit zunehmendem Exponenten $n$ ab.

Wenn wir diese Fakten zusammenfassen, erhalten wir die wichtigste Aussage, auf der die gesamte Lösung exponentieller Ungleichungen basiert:

Wenn $a \gt 1$, dann ist die Ungleichung $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ äquivalent zur Ungleichung $x \gt n$. Wenn $0 \lt a \lt 1$, dann ist die Ungleichung $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ äquivalent zur Ungleichung $x \lt n$.

Mit anderen Worten: Wenn die Basis größer als eins ist, können Sie sie einfach entfernen – das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht. Und wenn die Basis kleiner als eins ist, kann sie auch entfernt werden, aber gleichzeitig müssen Sie das Ungleichheitszeichen ändern.

Bitte beachten Sie, dass wir die Optionen $a=1$ und $a\le 0$ nicht berücksichtigt haben. Denn in diesen Fällen entsteht Unsicherheit. Sagen wir mal, wie löst man eine Ungleichung der Form $((1)^(x)) \gt 3$? Eins zu jeder Potenz wird wieder eins geben – wir werden nie drei oder mehr bekommen. Diese. es gibt keine Lösungen.

Mit negativen Gründen ist alles noch interessanter. Betrachten Sie zum Beispiel diese Ungleichung:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Auf den ersten Blick ist alles einfach:

Rechts? Aber nein! Es reicht aus, anstelle von $x$ ein paar gerade und ein paar ungerade Zahlen zu ersetzen, um sicherzustellen, dass die Lösung falsch ist. Schau mal:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, wechseln sich die Zeichen ab. Es gibt aber auch Teilvollmachten und anderen Unsinn. Wie würden Sie beispielsweise $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus zwei hoch sieben) berechnen? Auf keinen Fall!

Deshalb nehmen wir der Bestimmtheit halber an, dass in allen exponentiellen Ungleichungen (und übrigens auch Gleichungen) $1\ne a \gt 0$ gilt. Und dann ist alles ganz einfach gelöst:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Denken Sie im Allgemeinen noch einmal an die Hauptregel: Wenn die Basis in einer Exponentialgleichung größer als eins ist, können Sie sie einfach entfernen. und wenn die Basis kleiner als eins ist, kann sie auch entfernt werden, aber das Vorzeichen der Ungleichheit ändert sich.

Beispiele für Lösungen

Schauen wir uns also ein paar einfache exponentielle Ungleichungen an:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Die Hauptaufgabe ist in allen Fällen dieselbe: die Ungleichungen auf die einfachste Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ zu reduzieren. Genau das machen wir nun mit jeder Ungleichung und wiederholen gleichzeitig die Eigenschaften von Graden und Exponentialfunktionen. So lass uns gehen!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Was kann man hier machen? Nun, auf der linken Seite haben wir bereits einen indikativen Ausdruck – es muss nichts geändert werden. Aber rechts gibt es irgendeinen Mist: einen Bruch und sogar eine Wurzel im Nenner!

Erinnern wir uns jedoch an die Regeln für die Arbeit mit Brüchen und Potenzen:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Was bedeutet das? Erstens können wir den Bruch leicht loswerden, indem wir ihn in eine Potenz mit einem negativen Exponenten umwandeln. Und zweitens, da der Nenner eine Wurzel hat, wäre es schön, ihn in eine Potenz umzuwandeln – dieses Mal mit einem gebrochenen Exponenten.

Wenden wir diese Aktionen nacheinander auf die rechte Seite der Ungleichung an und sehen, was passiert:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Vergessen Sie nicht, dass bei der Potenzierung eines Grades die Exponenten dieser Grade addiert werden. Und im Allgemeinen ist es bei der Arbeit mit Exponentialgleichungen und Ungleichungen unbedingt erforderlich, zumindest die einfachsten Regeln für die Arbeit mit Potenzen zu kennen:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Eigentlich haben wir gerade die letzte Regel angewendet. Daher wird unsere ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Jetzt werden wir die beiden an der Basis los. Da 2 > 1, bleibt das Ungleichheitszeichen dasselbe:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Die Hauptschwierigkeit liegt keineswegs in der Exponentialfunktion, sondern in der kompetenten Transformation des ursprünglichen Ausdrucks: Sie müssen ihn sorgfältig und schnell in seine einfachste Form bringen.

Betrachten Sie die zweite Ungleichung:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

So so. Hier erwarten uns Dezimalbrüche. Wie ich schon oft gesagt habe, sollten Sie in allen Ausdrücken mit Potenzen auf Dezimalstellen verzichten – das ist oft die einzige Möglichkeit, eine schnelle und einfache Lösung zu finden. Hier werden wir los:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Auch hier haben wir die einfachste Ungleichung, und zwar sogar mit einer Basis von 1/10, d. h. Weniger als eins. Nun, wir entfernen die Basen und ändern gleichzeitig das Vorzeichen von „weniger“ zu „mehr“, und wir erhalten:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Bitte beachten Sie: Die Antwort ist genau eine Menge und auf keinen Fall eine Konstruktion der Form $x \lt -1$. Denn formal ist eine solche Konstruktion überhaupt keine Menge, sondern eine Ungleichung bezüglich der Variablen $x$. Ja, es ist ganz einfach, aber es ist nicht die Antwort!

Wichtiger Hinweis. Diese Ungleichheit könnte auf andere Weise gelöst werden – indem beide Seiten auf eine Macht mit einer Basis größer als eins reduziert werden. Schau mal:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nach einer solchen Transformation erhalten wir wieder eine exponentielle Ungleichung, allerdings mit der Basis 10 > 1. Das bedeutet, dass wir die Zehn einfach durchstreichen können – das Vorzeichen der Ungleichung ändert sich nicht. Wir bekommen:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, war die Antwort genau dieselbe. Gleichzeitig ersparen wir uns den Wechsel des Schildes und erinnern uns generell an alle Regeln :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Lassen Sie sich davon jedoch nicht abschrecken. Unabhängig davon, was in den Indikatoren steht, bleibt die Technologie zur Lösung der Ungleichheit selbst dieselbe. Beachten wir daher zunächst, dass 16 = 2 · 4. Schreiben wir die ursprüngliche Ungleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache neu:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurra! Wir haben die übliche quadratische Ungleichung! Das Vorzeichen hat sich nirgendwo geändert, da die Basis zwei ist – eine Zahl größer als eins.

Nullstellen einer Funktion auf dem Zahlenstrahl

Wir ordnen die Vorzeichen der Funktion $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - offensichtlich wird ihr Graph eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen sein, also wird es „Pluspunkte“ geben " auf den Seiten. Uns interessiert der Bereich, in dem die Funktion kleiner als Null ist, d. h. $x\in \left(2;5 \right)$ ist die Antwort auf das ursprüngliche Problem.

Betrachten Sie abschließend eine weitere Ungleichung:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Wieder sehen wir eine Exponentialfunktion mit einem Dezimalbruch an der Basis. Lassen Sie uns diesen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch umwandeln:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

In diesem Fall haben wir die zuvor gegebene Bemerkung verwendet – wir haben die Basis auf die Zahl 5 > 1 reduziert, um unsere weitere Lösung zu vereinfachen. Machen wir dasselbe mit der rechten Seite:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Schreiben wir die ursprüngliche Ungleichung unter Berücksichtigung beider Transformationen neu:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2))\right)))\ge ((5)^(-2))\]

Die Basen auf beiden Seiten sind gleich und überschreiten eins. Da es rechts und links keine anderen Begriffe gibt, „streichen“ wir einfach die Fünfer durch und erhalten einen ganz einfachen Ausdruck:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Hier müssen Sie vorsichtiger sein. Viele Schüler ziehen gerne einfach die Quadratwurzel beider Seiten der Ungleichung und schreiben so etwas wie $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Dies sollte unter keinen Umständen getan werden , da die Wurzel eines exakten Quadrats ein Modul und keinesfalls eine Originalvariable ist:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Allerdings ist die Arbeit mit Modulen nicht die angenehmste Erfahrung, oder? Wir werden also nicht arbeiten. Stattdessen verschieben wir einfach alle Terme nach links und lösen die übliche Ungleichung mit der Intervallmethode:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Wir markieren noch einmal die erhaltenen Punkte auf dem Zahlenstrahl und schauen uns die Zeichen an:

Da wir eine nicht strikte Ungleichung lösen, sind alle Punkte im Diagramm schattiert. Daher lautet die Antwort: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ist kein Intervall, sondern ein Segment.

Generell möchte ich anmerken, dass exponentielle Ungleichungen nichts Kompliziertes sind. Die Bedeutung aller Transformationen, die wir heute durchgeführt haben, beruht auf einem einfachen Algorithmus:

• Finden Sie die Grundlage, auf die wir alle Grade reduzieren werden;
• Führen Sie die Transformationen sorgfältig durch, um eine Ungleichung der Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ zu erhalten. Natürlich kann es anstelle der Variablen $x$ und $n$ auch viel komplexere Funktionen geben, aber die Bedeutung ändert sich nicht;
• Streichen Sie die Basiswerte der Grade durch. In diesem Fall kann sich das Ungleichheitszeichen ändern, wenn die Basis $a \lt 1$ ist.

Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen universellen Algorithmus zur Lösung aller dieser Ungleichungen. Und alles andere, was sie Ihnen zu diesem Thema erzählen, sind nur spezifische Techniken und Tricks, die die Transformation vereinfachen und beschleunigen. Wir werden jetzt über eine dieser Techniken sprechen :)

Rationalisierungsmethode

Betrachten wir eine weitere Reihe von Ungleichungen:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Was ist also das Besondere an ihnen? Sie sind leicht. Aber hör auf! Wird die Zahl π potenziert? Was für ein Unsinn?

Wie kann man die Zahl $2\sqrt(3)-3$ potenzieren? Oder $3-2\sqrt(2)$? Die Problemschreiber haben offensichtlich zu viel Hawthorn getrunken, bevor sie sich an die Arbeit gesetzt haben :).

Tatsächlich sind diese Aufgaben nicht beängstigend. Ich möchte Sie daran erinnern: Eine Exponentialfunktion ist ein Ausdruck der Form $((a)^(x))$, wobei die Basis $a$ eine beliebige positive Zahl außer eins ist. Die Zahl π ist positiv – das wissen wir bereits. Auch die Zahlen $2\sqrt(3)-3$ und $3-2\sqrt(2)$ sind positiv – das erkennt man leicht, wenn man sie mit Null vergleicht.

Es stellt sich heraus, dass all diese „erschreckenden“ Ungleichheiten nicht anders gelöst werden als die oben diskutierten einfachen? Und werden sie auf die gleiche Weise gelöst? Ja, das ist absolut richtig. Anhand ihres Beispiels möchte ich jedoch eine Technik betrachten, die beim selbstständigen Arbeiten und bei Prüfungen erheblich Zeit spart. Wir werden über die Methode der Rationalisierung sprechen. Also Achtung:

Jede exponentielle Ungleichung der Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ist äquivalent zur Ungleichung $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ rechts) \gt 0 $.

Das ist die ganze Methode :) Dachten Sie, dass es eine Art anderes Spiel geben würde? Nichts dergleichen! Aber diese einfache Tatsache, wörtlich in einer Zeile geschrieben, wird unsere Arbeit erheblich vereinfachen. Schau mal:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Es gibt also keine Exponentialfunktionen mehr! Und Sie müssen sich nicht merken, ob sich das Vorzeichen ändert oder nicht. Aber es entsteht ein neues Problem: Was tun mit dem verdammten Multiplikator \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Wir kennen den genauen Wert der Zahl π nicht. Der Kapitän scheint jedoch das Offensichtliche anzudeuten:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ca. 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Im Allgemeinen interessiert uns der genaue Wert von π nicht wirklich – es ist nur wichtig für uns zu verstehen, dass $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 ist $, d.h. Dies ist eine positive Konstante, und wir können beide Seiten der Ungleichung durch sie dividieren:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, mussten wir zu einem bestimmten Zeitpunkt durch minus eins dividieren – und das Vorzeichen der Ungleichheit änderte sich. Am Ende habe ich das quadratische Trinom mit dem Satz von Vieta erweitert – es ist offensichtlich, dass die Wurzeln gleich $((x)_(1))=5$ und $((x)_(2))=-1$ sind . Dann wird alles mit der klassischen Intervallmethode gelöst:

Alle Punkte werden entfernt, da die ursprüngliche Ungleichung streng ist. Uns interessiert der Bereich mit negativen Werten, daher lautet die Antwort $x\in \left(-1;5 \right)$. Das ist die Lösung :)

Kommen wir zur nächsten Aufgabe:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Hier ist im Allgemeinen alles einfach, da sich rechts eine Einheit befindet. Und wir erinnern uns, dass Eins jede Zahl ist, die mit der Nullpotenz erhöht wird. Auch wenn diese Zahl an der Basis links ein irrationaler Ausdruck ist:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(align)\]

Nun, lassen Sie uns rationalisieren:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Es bleibt nur noch, die Zeichen herauszufinden. Der Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ enthält nicht die Variable $x$ – er ist nur eine Konstante, und wir müssen ihr Vorzeichen herausfinden. Beachten Sie dazu Folgendes:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]

Es stellt sich heraus, dass der zweite Faktor nicht nur eine Konstante, sondern eine negative Konstante ist! Und bei der Division durch sie ändert sich das Vorzeichen der ursprünglichen Ungleichung ins Gegenteil:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Jetzt wird alles völlig offensichtlich. Die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der rechten Seite sind: $((x)_(1))=0$ und $((x)_(2))=2$. Wir markieren sie auf dem Zahlenstrahl und schauen uns die Vorzeichen der Funktion $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ an:

Uns interessieren die mit einem Pluszeichen gekennzeichneten Intervalle. Jetzt bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

Kommen wir zum nächsten Beispiel:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ rechts))^(16-x))\]

Nun, hier ist alles völlig klar: Die Basen enthalten Potenzen gleicher Zahl. Deshalb schreibe ich alles kurz:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, mussten wir während des Transformationsprozesses mit einer negativen Zahl multiplizieren, sodass sich das Ungleichheitszeichen änderte. Ganz am Ende habe ich noch einmal den Satz von Vieta angewendet, um das quadratische Trinom zu faktorisieren. Als Ergebnis lautet die Antwort: $x\in \left(-8;4 \right)$ – jeder kann dies überprüfen, indem er einen Zahlenstrahl zeichnet, die Punkte markiert und die Zeichen zählt. In der Zwischenzeit kommen wir zur letzten Ungleichung aus unserer „Menge“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Wie Sie sehen, steht an der Basis wieder eine irrationale Zahl und rechts wiederum eine Einheit. Daher schreiben wir unsere exponentielle Ungleichung wie folgt um:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ rechts))^(0))\]

Wir wenden Rationalisierung an:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass $1-\sqrt(2) \lt 0$, da $\sqrt(2)\ca. 1,4... \gt 1$. Daher ist der zweite Faktor wieder eine negative Konstante, in die sich beide Seiten der Ungleichung zerlegen lassen:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Wechseln Sie zu einer anderen Basis

Ein separates Problem bei der Lösung exponentieller Ungleichungen ist die Suche nach der „richtigen“ Basis. Leider ist es nicht immer auf den ersten Blick klar, was bei einer Aufgabe zugrunde gelegt werden soll und was entsprechend dem Grad dieser Grundlage zu tun ist.

Aber keine Sorge: Hier gibt es keine Magie oder „geheime“ Technologie. In der Mathematik kann jede Fähigkeit, die nicht algorithmisiert werden kann, leicht durch Übung entwickelt werden. Dafür müssen Sie jedoch Probleme unterschiedlicher Komplexität lösen. Zum Beispiel so:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ end(align)\]

Schwierig? Beängstigend? Es ist einfacher, als ein Huhn auf dem Asphalt zu treffen! Lass es uns versuchen. Erste Ungleichung:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nun, ich denke, hier ist alles klar:

Wir schreiben die ursprüngliche Ungleichung um und reduzieren alles auf Basis zwei:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ja, ja, Sie haben es richtig gehört: Ich habe gerade die oben beschriebene Rationalisierungsmethode angewendet. Jetzt müssen wir vorsichtig vorgehen: Wir haben eine fraktional-rationale Ungleichung (das ist eine Ungleichung, die eine Variable im Nenner hat), also müssen wir, bevor wir etwas mit Null gleichsetzen, alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den konstanten Faktor entfernen .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Jetzt verwenden wir die Standardintervallmethode. Zählernullstellen: $x=\pm 4$. Der Nenner geht nur dann auf Null, wenn $x=0$. Insgesamt müssen drei Punkte auf dem Zahlenstrahl markiert werden (alle Punkte sind markiert, da das Ungleichheitszeichen streng ist). Wir bekommen:

Wie Sie sich vorstellen können, markiert die Schattierung die Intervalle, in denen der Ausdruck auf der linken Seite negative Werte annimmt. Daher umfasst die endgültige Antwort zwei Intervalle gleichzeitig:

Die Enden der Intervalle werden nicht in die Antwort einbezogen, da die ursprüngliche Ungleichung streng war. Eine weitere Überprüfung dieser Antwort ist nicht erforderlich. In dieser Hinsicht sind exponentielle Ungleichungen viel einfacher als logarithmische: keine ODZ, keine Einschränkungen usw.

Kommen wir zur nächsten Aufgabe:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Auch hier gibt es keine Probleme, da wir bereits wissen, dass $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ist, sodass die gesamte Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Bitte beachten Sie: In der dritten Zeile habe ich beschlossen, keine Zeit mit Kleinigkeiten zu verschwenden und alles sofort durch (−2) zu dividieren. Minul ging in die erste Klammer (jetzt gibt es überall Pluspunkte) und zwei wurden mit einem konstanten Faktor reduziert. Genau das sollten Sie tun, wenn Sie reale Berechnungen für unabhängige und Testarbeiten vorbereiten – Sie müssen nicht jede Aktion und Transformation direkt beschreiben.

Als nächstes kommt die bekannte Intervallmethode ins Spiel. Zählernullen: aber es gibt keine. Weil die Diskriminante negativ sein wird. Der Nenner wird wiederum nur dann zurückgesetzt, wenn $x=0$ ist – genau wie beim letzten Mal. Nun ist es klar, dass der Bruch rechts von $x=0$ positive Werte annimmt und links negative. Da wir an negativen Werten interessiert sind, lautet die endgültige Antwort: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

Was sollten Sie mit Dezimalbrüchen in exponentiellen Ungleichungen tun? Das ist richtig: Werden Sie sie los, indem Sie sie in gewöhnliche umwandeln. Hier übersetzen wir:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\right))^(x)). \\\end(align)\]

Was haben wir also über die Grundlagen der Exponentialfunktionen erfahren? Und wir haben zwei zueinander inverse Zahlen:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ rechts))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Somit kann die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Wenn man Potenzen mit derselben Basis multipliziert, addieren sich natürlich ihre Exponenten, was in der zweiten Zeile der Fall war. Darüber hinaus stellten wir die Einheit rechts dar, ebenfalls als Macht in der Basis 4/25. Es bleibt nur noch zu rationalisieren:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Beachten Sie, dass $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, d.h. Der zweite Faktor ist eine negative Konstante, und wenn man durch sie dividiert, ändert sich das Ungleichheitszeichen:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Zum Schluss noch die letzte Ungleichung aus der aktuellen „Menge“:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Auch hier ist der Lösungsgedanke im Prinzip klar: Alle in der Ungleichung enthaltenen Exponentialfunktionen müssen auf die Basis „3“ zurückgeführt werden. Dafür müssen Sie jedoch ein wenig an Wurzeln und Kräften herumbasteln:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Unter Berücksichtigung dieser Tatsachen kann die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Achten Sie auf die 2. und 3. Zeile der Berechnungen: Bevor Sie etwas mit der Ungleichung unternehmen, bringen Sie sie unbedingt in die Form, über die wir gleich zu Beginn der Lektion gesprochen haben: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Solange Sie links oder rechts einige linkshändige Faktoren, zusätzliche Konstanten usw. haben, Eine Rationalisierung oder „Ausstreichung“ von Begründungen ist nicht möglich! Unzählige Aufgaben wurden falsch erledigt, weil diese einfache Tatsache nicht verstanden wurde. Ich selbst beobachte dieses Problem immer wieder bei meinen Studierenden, wenn wir gerade erst anfangen, exponentielle und logarithmische Ungleichungen zu analysieren.

Aber kehren wir zu unserer Aufgabe zurück. Versuchen wir dieses Mal, auf Rationalisierungen zu verzichten. Denken wir daran: Die Basis des Grades ist größer als eins, daher können die Tripel einfach durchgestrichen werden – das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht. Wir bekommen:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Das ist alles. Endgültige Antwort: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Einen stabilen Ausdruck isolieren und eine Variable ersetzen

Abschließend schlage ich vor, vier weitere exponentielle Ungleichungen zu lösen, die für unvorbereitete Schüler bereits recht schwierig sind. Um damit umzugehen, müssen Sie sich die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen merken. Insbesondere das Herausnehmen gemeinsamer Faktoren aus Klammern.

Aber das Wichtigste ist, verstehen zu lernen, was genau aus Klammern herausgenommen werden kann. Ein solcher Ausdruck wird als stabil bezeichnet – er kann durch eine neue Variable bezeichnet werden und somit die Exponentialfunktion loswerden. Schauen wir uns also die Aufgaben an:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Beginnen wir mit der ersten Zeile. Schreiben wir diese Ungleichung separat:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Beachten Sie, dass $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, also die rechte Hand Seite kann umgeschrieben werden:

Beachten Sie, dass es in der Ungleichung keine anderen Exponentialfunktionen außer $((5)^(x+1))$ gibt. Und im Allgemeinen kommt die Variable $x$ nirgendwo anders vor, also führen wir eine neue Variable ein: $((5)^(x+1))=t$. Wir erhalten die folgende Konstruktion:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wir kehren zur ursprünglichen Variablen ($t=((5)^(x+1))$ zurück und erinnern uns gleichzeitig daran, dass 1=5 0 . Wir haben:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Antwort: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Kommen wir zur zweiten Ungleichung:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Alles ist hier das gleiche. Beachten Sie, dass $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Dann kann die linke Seite umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Ungefähr so ​​müssen Sie eine Lösung für echte Tests und unabhängiges Arbeiten erstellen.

Nun, versuchen wir es mit etwas Komplizierterem. Hier ist zum Beispiel die Ungleichung:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Was ist hier das Problem? Zunächst einmal sind die Basen der Exponentialfunktionen auf der linken Seite unterschiedlich: 5 und 25. Allerdings ist 25 = 5 · 2, sodass der erste Term transformiert werden kann:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Wie Sie sehen, haben wir zunächst alles auf die gleiche Basis gebracht und dann festgestellt, dass sich der erste Term leicht auf den zweiten reduzieren lässt – man muss nur den Exponenten erweitern. Jetzt können Sie sicher eine neue Variable einführen: $((5)^(2x+2))=t$, und die gesamte Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Und wieder keine Schwierigkeiten! Endgültige Antwort: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Kommen wir zur letzten Ungleichung in der heutigen Lektion:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Das erste, worauf Sie achten sollten, ist natürlich der Dezimalbruch in der Basis der ersten Potenz. Es ist notwendig, es loszuwerden und gleichzeitig alle Exponentialfunktionen auf die gleiche Basis zu bringen – die Zahl „2“:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Großartig, wir haben den ersten Schritt getan – alles hat auf die gleiche Grundlage geführt. Jetzt müssen Sie einen stabilen Ausdruck auswählen. Beachten Sie, dass $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Wenn wir eine neue Variable $((2)^(4x+6))=t$ einführen, dann kann die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Natürlich kann sich die Frage stellen: Wie haben wir herausgefunden, dass 256 = 2 8? Leider muss man hier nur die Zweierpotenzen (und gleichzeitig die Dreier- und Fünferpotenzen) kennen. Nun, oder dividieren Sie 256 durch 2 (Sie können dividieren, da 256 eine gerade Zahl ist), bis wir das Ergebnis erhalten. Es wird ungefähr so ​​aussehen:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Das Gleiche gilt für die Drei (die Zahlen 9, 27, 81 und 243 sind ihre Grade) und für die Sieben (die Zahlen 49 und 343 wären auch schön zu merken). Nun, die Fünf hat auch „schöne“ Abschlüsse, die Sie kennen müssen:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Wenn Sie möchten, können Sie natürlich alle diese Zahlen in Ihrem Kopf wiederherstellen, indem Sie sie einfach nacheinander multiplizieren. Wenn Sie jedoch mehrere exponentielle Ungleichungen lösen müssen und jede nächste schwieriger ist als die vorherige, dann ist das Letzte, worüber Sie nachdenken möchten, die Potenzen einiger Zahlen. Und in diesem Sinne sind diese Probleme komplexer als „klassische“ Ungleichungen, die mit der Intervallmethode gelöst werden.

Ich hoffe, diese Lektion hat Ihnen dabei geholfen, dieses Thema zu meistern. Wenn etwas unklar ist, fragen Sie in den Kommentaren nach. Und wir sehen uns in den nächsten Lektionen :)