Symmetrie in der Natur interessante Fakten. Symmetrie in der belebten Natur. Symmetrie in der Natur um uns herum

• Symmetrie in der Natur.

• „Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch im Laufe der Jahrhunderte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.“

• Hermann Weel

Symmetrie in der Natur.

Nicht nur geometrische Formen oder von Menschenhand geschaffene Dinge weisen Symmetrie auf, sondern auch viele Schöpfungen der Natur (Schmetterlinge, Libellen, Blätter, Seesterne, Schneeflocken usw.). Besonders vielfältig sind die Symmetrieeigenschaften von Kristallen... Einige von ihnen sind symmetrischer, andere weniger. Lange Zeit Kristallographen konnten nicht alle Arten von Kristallsymmetrien beschreiben. Dieses Problem wurde 1890 vom russischen Wissenschaftler E. S. Fedorov gelöst. Er bewies, dass es genau 230 Gruppen gibt, die Kristallgitter in sich selbst umwandeln. Diese Entdeckung hat es Kristallographen viel einfacher gemacht, die Arten von Kristallen zu untersuchen, die in der Natur vorkommen können. Es sollte jedoch beachtet werden, dass die Vielfalt der Kristalle in der Natur so groß ist, dass selbst die Verwendung eines Gruppenansatzes noch keine Möglichkeit bietet, alle zu beschreiben mögliche Formen Kristalle.

Symmetrie in der Natur.

Die Theorie der Symmetriegruppen wird in der Quantenphysik sehr häufig verwendet. Die Gleichungen, die das Verhalten von Elektronen in einem Atom beschreiben (die sogenannte Schrödinger-Wellengleichung), sind selbst bei einer geringen Anzahl von Elektronen so komplex, dass ihre direkte Lösung praktisch unmöglich ist. Unter Ausnutzung der Eigenschaften der Symmetrie des Atoms (Invarianz des elektromagnetischen Feldes des Kerns bei Rotationen und Symmetrien, die Möglichkeit einiger Elektronen untereinander, d. h. die symmetrische Anordnung dieser Elektronen im Atom usw.) ist es jedoch möglich ist es möglich, ihre Lösungen zu studieren, ohne die Gleichungen zu lösen. Im Allgemeinen ist die Verwendung der Gruppentheorie eine leistungsfähige mathematische Methode zur Untersuchung und Berücksichtigung der Symmetrie natürlicher Phänomene.

Symmetrie in der belebten Natur.

Spiegelsymmetrie in der Natur.

Goldener Schnitt.

GOLDENER VERHÄLTNIS – theoretisch entstand der Begriff in der Renaissance und bezeichnet ein streng definiertes mathematisches Verhältnis der Proportionen, bei dem einer der beiden Bestandteile um ein Vielfaches größer als der andere ist, als er kleiner als das Ganze ist. Künstler und Theoretiker der Vergangenheit hielten den Goldenen Schnitt oft für einen idealen (absoluten) Ausdruck der Verhältnismäßigkeit, doch tatsächlich ist die ästhetische Bedeutung dieses „unveränderlichen Gesetzes“ aufgrund des bekannten Ungleichgewichts der horizontalen und vertikalen Richtungen begrenzt . In der Praxis bildende Kunst 3. S. selten in seiner absoluten, unveränderlichen Form angewendet; sehr wichtig Hierbei handelt es sich um Art und Ausmaß der Abweichungen von der abstrakten mathematischen Proportionalität.

Goldener Schnitt in der Natur

• Alles, was irgendeine Form annahm, formte sich, wuchs, strebte danach, seinen Platz im Raum einzunehmen und sich zu bewahren. Dieser Wunsch wird hauptsächlich durch zwei Möglichkeiten verwirklicht: nach oben wachsen oder sich über die Erdoberfläche ausbreiten und spiralförmig drehen.

• Die Schale ist spiralförmig verdreht. Wenn man es auseinanderfaltet, erhält man eine Länge, die etwas kürzer ist als die Länge der Schlange. Eine kleine, zehn Zentimeter große Muschel hat eine 35 cm lange Spirale. Spiralen kommen in der Natur sehr häufig vor. Die Idee des Goldenen Schnitts wäre unvollständig, ohne über die Spirale zu sprechen.

• Abb.1. Archimedes-Spirale.

Prinzipien der Formbildung in der Natur.

Bei einer Eidechse können wir auf den ersten Blick angenehme Proportionen erkennen – die Länge ihres Schwanzes steht im Verhältnis zur Länge des restlichen Körpers und beträgt 62 zu 38. Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt ist die Die formgebende Tendenz der Natur bahnt sich beharrlich ihren Weg - die Symmetrie in Bezug auf die Wachstums- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Anteilen senkrecht zur Wachstumsrichtung. Die Natur hat die Einteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen vorgenommen. Die Teile offenbaren eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Goldener Schnitt in der Natur

Symmetrie in der Kunst.

• In der Kunst spielt Symmetrie 1 eine große Rolle; viele Meisterwerke der Architektur haben Symmetrie. Dies bedeutet normalerweise Spiegelsymmetrie. Der Begriff „Symmetrie“ wurde verwendet, um unterschiedliche Konzepte in verschiedenen historischen Epochen zu bezeichnen.

• Symmetrie - Verhältnismäßigkeit, Korrektheit in der Anordnung der Teile des Ganzen.

Für die Griechen bedeutete Symmetrie Proportionalität. Es wurde angenommen, dass zwei Größen angemessen sind, wenn es eine dritte Größe gibt, durch die diese beiden Größen ohne Rest dividiert werden. Ein Gebäude (oder eine Statue) galt als symmetrisch, wenn es einen leicht unterscheidbaren Teil hatte, sodass die Abmessungen aller anderen Teile durch Multiplikation dieses Teils mit ganzen Zahlen ermittelt wurden und der ursprüngliche Teil somit als sichtbarer und verständlicher Modul diente.

Goldener Schnitt in der Kunst.

Kunstkritiker behaupten einhellig, dass es vier Punkte gibt, die einem Gemälde erhöhte Aufmerksamkeit schenken. Sie befinden sich an den Ecken des Vierecks und hängen von den Proportionen des Hilfsrahmens ab. Es wird angenommen, dass unabhängig vom Maßstab und der Größe der Leinwand alle vier Punkte durch den Goldenen Schnitt bestimmt werden. Alle vier Punkte (sie werden visuelle Zentren genannt) befinden sich in einem Abstand von 3/8 und 5/8 von den Rändern. Es wird angenommen, dass dies die Kompositionsmatrix jedes Kunstwerks ist.

Hier ist zum Beispiel der Cameo-Auftritt „Das Urteil des Paris“, der 1785 von der Akademie der Wissenschaften in die Staatliche Eremitage kam. (Es schmückt den Kelch von Peter I.) Italienische Steinbildhauer wiederholten diese Handlung mehr als einmal auf Kameen, Intaglien und geschnitzten Muscheln. Im Katalog ist zu lesen, dass es sich bei dem grafischen Vorbild um einen Stich von Marcantonio Raimondi nach einem verschollenen Werk Raffaels handelte.

Goldener Schnitt in der Kunst.

• Tatsächlich fällt einer der vier Punkte des Goldenen Schnitts auf den goldenen Apfel in der Hand von Paris. Genauer gesagt, an der Stelle, an der sich der Apfel mit der Handfläche verbindet.

• Angenommen, Raimondi hätte diesen Punkt bewusst berechnet. Aber man kann kaum glauben, dass der skandinavische Meister Mitte des 8. Jahrhunderts zunächst „goldene“ Berechnungen anstellte und auf der Grundlage ihrer Ergebnisse die Proportionen für den bronzenen Odin festlegte.

• Offensichtlich geschah dies unbewusst, also intuitiv. Und wenn ja, dann verlangt der Goldene Schnitt nicht, dass der Meister (Künstler oder Handwerker) „Gold“ bewusst anbetet. Es genügt ihm, die Schönheit anzubeten.

• Abb.2.

• Eins aus Staraya Ladoga singen.

• Bronze. Mitte des 8. Jahrhunderts.

• Höhe 5,4 cm. GE, Nr. 2551/2.

Goldener Schnitt in der Kunst.

• „Die Erscheinung Christi vor dem Volk“ von Alexander Ivanov. Die deutliche Wirkung der Annäherung des Messias an die Menschen ergibt sich aus der Tatsache, dass er den Punkt des Goldenen Schnitts (das Kreuz der orangefarbenen Linien) bereits überschritten hat und nun den Punkt erreicht, den wir den Punkt des Silbernen Schnitts nennen werden (dies ist). ein Segment geteilt durch die Zahl π oder ein Segment minus Segment geteilt durch die Zahl π).

„Die Erscheinung Christi vor dem Volk.“

Wenn man sich Beispiele für den „Goldenen Schnitt“ in der Malerei anschaut, kommt man nicht umhin, sich auf das Werk von Leonardo da Vinci zu konzentrieren. Seine Persönlichkeit ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, wagt es, meine Werke zu lesen.“ Er erlangte Berühmtheit als unübertroffener Künstler, großer Wissenschaftler und Genie, das viele Erfindungen vorwegnahm, die erst im 20. Jahrhundert realisiert wurden. Es besteht kein Zweifel, dass Leonardo da Vinci ein großer Künstler war, dies wurde bereits von seinen Zeitgenossen erkannt, doch seine Persönlichkeit und sein Wirken bleiben geheimnisvoll, da er seinen Nachkommen keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen, sondern nur zahlreiche handschriftliche Werke hinterließ Skizzen, Notizen, in denen es heißt: „Über jeden auf der Welt.“ Er schrieb von rechts nach links in unleserlicher Handschrift und mit der linken Hand. Dies ist das berühmteste Beispiel für Spiegelschrift, das es gibt. Das Porträt von Monna Lisa (La Gioconda) erregt seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit von Forschern, die entdeckten, dass die Komposition des Bildes auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen sternförmigen Fünfecks sind. Über die Geschichte dieses Porträts gibt es viele Versionen. Hier ist einer davon. Eines Tages erhielt Leonardo da Vinci vom Bankier Francesco de le Giocondo den Auftrag, ein Porträt einer jungen Frau, der Frau des Bankiers, Monna Lisa, zu malen. Die Frau war nicht schön, aber sie war von der Einfachheit und Natürlichkeit ihres Aussehens angezogen. Leonardo erklärte sich bereit, das Porträt zu malen. Sein Modell war traurig und traurig, aber Leonardo erzählte ihr ein Märchen, nachdem sie es gehört hatte, wurde sie lebhaft und interessant.

Der Goldene Schnitt in den Werken von Leonardo da Vinci.

• Und bei der Analyse dreier Porträts von Leonardo da Vinci stellt sich heraus, dass sie eine nahezu identische Komposition haben. Und es basiert nicht auf dem Goldenen Schnitt, sondern auf √2, dessen horizontale Linie in jedem der drei Werke durch die Nasenspitze verläuft.

Der Goldene Schnitt in I. I. Shishkins Gemälde „Pine Grove“

In diesem berühmten Gemälde von I. I. Shishkin sind die Motive des Goldenen Schnitts deutlich sichtbar. Eine hell sonnenbeschienene Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge entsprechend dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein sonnenbeschienener Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal entsprechend dem Goldenen Schnitt. Links von der Hauptkiefer stehen viele Kiefern – wenn Sie möchten, können Sie das Bild nach dem Goldenen Schnitt erfolgreich weiter unterteilen. Das Vorhandensein heller Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es im Verhältnis zum Goldenen Schnitt unterteilen, verleiht ihm einen Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe, entsprechend der Absicht des Künstlers. Wenn die Absicht des Künstlers eine andere ist, wenn er beispielsweise ein Bild mit sich schnell entwickelnder Aktion schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einem Vorherrschen von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

Goldene Spirale in Raffaels Gemälde „Massaker der Unschuldigen“

Im Gegensatz zum Goldenen Schnitt manifestiert sich das Gefühl von Dynamik und Aufregung vielleicht am stärksten in einer anderen einfachen geometrischen Figur – einer Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich gerade durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Raffael brachte seinen Plan nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von dem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze den Stich „Massaker der Unschuldigen“ schuf.

In Raffaels vorbereitender Skizze werden rote Linien gezogen, die vom semantischen Zentrum der Komposition – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen – entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es festhält, des Kriegers mit erhobenem Schwert, und dann entlang der Figuren derselben Gruppe auf der rechten Seitenskizze. Wenn man diese Teile auf natürliche Weise mit einer geschwungenen gepunkteten Linie verbindet, dann erhält man mit sehr großer Genauigkeit ... eine goldene Spirale! Dies kann überprüft werden, indem das Verhältnis der Längen der von einer Spirale geschnittenen Segmente auf geraden Linien gemessen wird, die durch den Anfang der Kurve verlaufen.

Goldener Schnitt in der Architektur.

Wie G.I. betont. Sokolov, die Länge des Hügels vor dem Parthenon, die Länge des Athena-Tempels und der Abschnitt der Akropolis hinter dem Parthenon werden als Segmente des Goldenen Schnitts korreliert. Beim Blick auf den Parthenon am Standort des monumentalen Tores am Eingang zur Stadt (Propyläen) entspricht das Verhältnis der Felsmasse am Tempel ebenfalls dem Goldenen Schnitt. So wurde bereits bei der Komposition der Tempel auf dem heiligen Hügel auf den goldenen Anteil zurückgegriffen.

• Viele Forscher, die das Geheimnis der Harmonie des Parthenon aufdecken wollten, suchten und fanden den Goldenen Schnitt in den Beziehungen seiner Teile. Wenn wir die Endfassade des Tempels als Breiteneinheit nehmen, erhalten wir eine Folge bestehend aus acht Mitgliedern der Reihe: 1: j: j 2: j 3: j 4: j 5: j 6: j 7, wobei j = 1,618.

Goldener Schnitt in der Literatur.

Symmetrie in der Geschichte „Heart of a Dog“

Goldene Proportionen in der Literatur. Poesie und der Goldene Schnitt

Vieles im Aufbau poetische Werke Diese Art von Kunst ist mit Musik verbunden. Ein klarer Rhythmus, ein natürlicher Wechsel von betonten und unbetonten Silben, ein geordnetes Versmaß der Gedichte und ihr emotionaler Reichtum machen die Poesie zur Schwester musikalischer Werke. Jeder Vers hat seine eigene musikalische Form – seinen eigenen Rhythmus und seine eigene Melodie. Es ist zu erwarten, dass in der Struktur von Gedichten einige Merkmale musikalischer Werke, Muster musikalischer Harmonie und folglich der goldene Schnitt auftauchen.

Beginnen wir mit der Größe des Gedichts, also der Anzahl der Zeilen darin. Es scheint, dass sich dieser Parameter des Gedichts beliebig ändern kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall war. Zum Beispiel N. Vasyutinskys Analyse der Gedichte von A.S. Puschkin zeigte aus dieser Sicht, dass die Umfange der Gedichte sehr ungleichmäßig verteilt sind; Es stellte sich heraus, dass Puschkin eindeutig die Größen 5, 8, 13, 21 und 34 Zeilen (Fibonacci-Zahlen) bevorzugt.

Der Goldene Schnitt im Gedicht von A.S. Puschkin.

• Viele Forscher haben festgestellt, dass Gedichte Musikstücken ähneln; Sie haben auch Kulminationspunkte, die das Gedicht proportional zum Goldenen Schnitt unterteilen. Betrachten Sie zum Beispiel das Gedicht von A.S. Puschkins „Schuhmacher“:

Goldene Proportionen in der Literatur.

• Eines von Puschkins letzten Gedichten, „Ich schätze laute Rechte nicht sehr …“, besteht aus 21 Zeilen und hat zwei semantische Teile: 13 und 8 Zeilen.

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Einführung

Als ich im Herbst im Hain spazieren ging, sammelte ich wunderschöne abgefallene Blätter und brachte sie nach Hause. Als mein Vater (A. A. Radionov, Forscher am Südlichen Mathematischen Institut des Allrussischen Wissenschaftlichen Zentrums der Russischen Akademie der Wissenschaften) sie betrachtete, sagte er: „Hier ist ein weiteres Beispiel für Symmetrie in der Natur.“ Mein Interesse wurde geweckt und das erste, was ich tat, war, im Wörterbuch von S.I. Ozhegov nachzuschauen, was das Wort „Symmetrie“ bedeutete, und dann begann ich, meinen Vater mit Fragen zu belästigen: Wie stellte er fest, dass es sich um „Symmetrie“ handelte, und welche Arten davon? Symmetrie gibt es? Dies war der Grund, dieses Thema zu untersuchen.

Der Zweck der Arbeit: zu zeigen, welche Arten von Symmetrien in der Natur beobachtet werden und wie sie mithilfe der Mathematik beschrieben werden.

Meine Aufgabe war:

Geben Sie eine Beschreibung verschiedene Arten Symmetrie;

Versuchen Sie, selbstständig mathematische Zusammenhänge in der Struktur von Baumblättern zu finden.

Studienobjekt: Ahorn- und Weinblätter.

Forschungsgegenstand: Symmetrie in natürlichen Objekten.

In der Arbeit verwendete Methoden: Analyse der Literatur zum Thema, wissenschaftliches Experiment.

Diese Arbeit wird als abstrakt-experimentell eingestuft.

Die Bedeutung der erzielten Ergebnisse liegt darin, dass Pflanzenblätter mathematisch untersucht, instrumentell gemessen und die Symmetrie dieser natürlichen Objekte überprüft werden kann.

Symmetrie in der Natur um uns herum

Symmetrie (altgriechisch – „Proportionalität“) ist die regelmäßige Anordnung ähnlicher (identischer) Körperteile oder Formen eines lebenden Organismus relativ zum Zentrum oder zur Symmetrieachse. Dies impliziert, dass Verhältnismäßigkeit Teil der Harmonie ist, der richtigen Kombination von Teilen des Ganzen.

Harmonie ist ein griechisches Wort und bedeutet „Zusammenhang, Verhältnismäßigkeit, Einheit der Teile und des Ganzen“. Äußerlich kann sich Harmonie in Symmetrie und Verhältnismäßigkeit manifestieren.

Symmetrie ist ein sehr verbreitetes Phänomen, ihre Universalität dient dazu effektive Methode Wissen über die Natur. In der belebten Natur ist die Symmetrie nicht absolut und enthält immer einen gewissen Grad an Asymmetrie. Asymmetrie – (griechisch „ohne“ und „Symmetrie“) – Mangel an Symmetrie.

Durch die sorgfältige Untersuchung natürlicher Phänomene können Sie Gemeinsamkeiten selbst in den unbedeutendsten Dingen und Details erkennen und Manifestationen der Symmetrie finden. Die Form eines Baumblattes ist nicht zufällig, sondern völlig natürlich. Das Blatt scheint aus zwei mehr oder weniger identischen Hälften zusammengeklebt zu sein, von denen die eine spiegelbildlich zur anderen liegt. Die Symmetrie eines Blattes wiederholt sich für alle Blätter eines bestimmten Baumes. Das ist ein Beispiel Spiegelsymmetrie- wenn ein Objekt durch eine imaginäre Achse, die Spiegelsymmetrieachse genannt wird, in rechte und linke oder obere und untere Hälfte geteilt werden kann. Die auf gegenüberliegenden Seiten der Achse liegenden Hälften sind nahezu identisch. Der Spiegel gibt genau das wieder, was er „sieht“, allerdings ist die betrachtete Reihenfolge umgekehrt: rechte Hand Die linke Hand des Doppelgängers erscheint im Spiegel. Spiegelsymmetrie ist überall zu finden: in den Blättern und Blüten von Pflanzen. Darüber hinaus ist den Körpern fast aller Lebewesen eine Spiegelsymmetrie inhärent (Anhang Nr. 1, Abb. a).

Viele Blumen haben eine radiale Symmetrie: Aussehen Das Muster ändert sich nicht, wenn es um einen Winkel um seinen Mittelpunkt gedreht wird. Diese Symmetrie heißt Rotationssymmetrie oder axiale Symmetrie . Bei dieser Symmetrie verwandelt sich ein Blatt oder eine Blume, die sich um die Symmetrieachse dreht, in sich selbst. Wenn Sie einen Pflanzenstamm oder einen Baumstamm schneiden, ist auf dem Schnitt häufig eine radiale Symmetrie in Form von Streifen deutlich zu erkennen (Anhang Nr. 1, Abb. b).

Eine Drehung um eine bestimmte Gradzahl, begleitet von einer Größenzunahme entlang der Rotationsachse (oder einer Größenabnahme oder keiner Größenänderung), erzeugt Spiralsymmetrie- Symmetrie Wendeltreppe(Anhang Nr. 1, Abb. c).

Symmetrie der Ähnlichkeit. Eine andere Art von Symmetrie ist die Ähnlichkeitssymmetrie, die mit der gleichzeitigen Vergrößerung oder Verkleinerung ähnlicher Teile der Figur und der Abstände zwischen ihnen verbunden ist. Alle wachsenden Organismen weisen diese Symmetrie auf: Der kleine Spross einer Pflanze enthält alle Merkmale einer ausgewachsenen Pflanze. Die Symmetrie der Ähnlichkeit manifestiert sich überall in der Natur auf allem, was wächst: in wachsenden Objekten von Pflanzen, Tieren und Kristallen (Anhang Nr. 1, Abb. d).

In der Mathematik nennt man selbstähnliche geometrische Objekte Fraktale. Das ist typisch für Fraktale kleines Teil Die geometrische Kurve ähnelt der gesamten Kurve. Die Abbildung zeigt den Prozess der Konstruktion selbstähnlicher Koch-Kurven und Koch-Schneeflocken (die ersten 4 Schritte). (Anhang Nr. 2)

Jedes auf diese Weise konstruierte Kurvensegment hat eine unendliche Länge. Fraktale zeichnen sich durch eine fraktale Dimension aus. Der Begriff Fraktal und fraktale Dimension wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot eingeführt. Fraktale Dimension wurde als Koeffizient eingeführt, der geometrisch komplexe Formen beschreibt, bei denen Details wichtiger sind als das gesamte Design.

Abmessungen 2 bedeutet, dass wir jede Kurve durch zwei Zahlen eindeutig definieren können. Die Oberfläche einer Kugel ist zweidimensional (sie kann durch zwei Breiten- und Längenwinkel definiert werden). Abmessungen ist wie folgt definiert: Bei eindimensionalen Objekten führt die Verdoppelung ihrer linearen Größe zu einer Vergrößerung um den Faktor zwei. Bei zweidimensionalen Objekten führt eine Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer Vervierfachung der Größe (Fläche des Rechtecks). Bei dreidimensionalen Objekten führt eine Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer Verachtfachung des Volumens.

Das Maß D lässt sich mathematisch nach der Regel ermitteln:

Dabei ist N - N die Anzahl der Teile, der Skalierungsfaktor und D die Dimension.

Von hier aus erhalten wir die Formel für die Dimension:

Nehmen Sie ein Segment und teilen Sie es in drei gleiche Teile (N = 3). Jeder resultierende Teil ist dreimal kürzer () als die Länge des ursprünglichen Segments:

Daher ist die Dimension für ein Segment gleich eins.

Ähnliches gilt für die Fläche: Wenn Sie die Fläche eines Quadrats messen und dann die Fläche eines Quadrats messen, dessen Seite länger ist als die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats, dann ist es neunmal kleiner (N = 9) als die Fläche des Anfangsquadrats:

Für eine flache Figur beträgt die Dimension zwei. Für eine räumliche Figur wie einen Würfel beträgt die berechnete Dimension drei.

Ähnliche Berechnungen für die Koch-Kurve ergeben das Ergebnis:

Daher entsprechen Fraktale keiner ganzzahligen, sondern einer gebrochenen Dimension.

Durchführung eines wissenschaftlichen Experiments

Begründung der Wahl:

Als Versuchsmaterial wurden abgefallene Blätter von Bäumen ausgewählt: Ahorn und Weintraube, symmetrisch im Aussehen (axial, spiegelsymmetrisch).

Versuchsablauf:

Messen der Fläche des linken und rechten Teils des Blattes;

Messen der Winkel zwischen den Adern auf einem Blatt;

Messen der Länge der auf dem Blatt vorhandenen Adern;

Aufzeichnung der erzielten Ergebnisse;

Suche nach mathematischen Mustern;

Schlussfolgerungen basierend auf den erzielten Ergebnissen.

Liste der Dinge, die man an einem Blatt eines Baumes studieren sollte:

Symmetrie;

Fraktale;

Geometrischer Verlauf;

Logarithmen.

Die Untersuchung abgefallener Blätter ergab, dass die Blätter symmetrisch um ihre Achse sind. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass die Symmetrie an den Blatträndern und in einigen Fällen auch innerhalb der Blattoberfläche leicht gebrochen ist.

Um sicherzustellen, wie ähnlich der linke und der rechte Teil des Blattes sind, wurden folgende Messungen vorgenommen:

1) Messen der Fläche des linken und rechten Teils des Blattes;

2) Messen der Winkel, in denen sich die Adern im linken und rechten Teil des Blattes schneiden;

3) Messen der Länge der Hauptadern im linken und rechten Teil des Blattes;

4) Messen der Länge der Sekundäradern im linken und rechten Teil des Blattes;

5) Messen der Länge der kleinsten Blattadern.

Um die Messung zu erleichtern, wurden alle Blätter zunächst gescannt und dann auf einem Schwarzweißdrucker auf Papier gedruckt, wobei die Abmessungen und Details des Bildes genau erhalten blieben. Die Messungen wurden auf einem Papierbild des Blattes durchgeführt. Um die Fläche des linken und rechten Blattteils zu messen, wurde dem Bild zusätzlich ein Raster mit einer Schrittweite von 5 mm überlagert. Die Flächen des linken bzw. rechten Teils des Blattes wurden anhand der Anzahl der vom Blatt ausgefüllten kleinen Quadrate mit einer Fläche von 5 x 5 mm 2 berechnet. Es stellte sich heraus, dass einige Quadrate teilweise gefüllt waren: Mehr als die Hälfte der gefüllten Felder wurde bei der Berechnung berücksichtigt, und weniger als die Hälfte der gefüllten Felder wurden bei der Berechnung nicht berücksichtigt.

Die Fotos zeigen den Prozess der Messung (Anhang Nr. 3).

Ahornblatt

1) Die Messung der Fläche der linken Seite ergab 317 Quadrate von 25 mm 2 oder 79,25 Quadratzentimetern. Die Messung der rechten Seite ergab 312 Quadrate von 25 mm 2 oder 78 Quadratzentimetern. Unter Berücksichtigung des Fehlers in der Messgenauigkeit lässt das erhaltene Ergebnis darauf schließen, dass die Flächen des linken und rechten Teils des Blattes ungefähr gleich sind (Anhang Nr. 4, Abb. 1).

2) Die Bestimmung der Winkel, in denen die Blattadern von ihrer Basis abweichen, zeigt, dass diese Winkel ungefähr gleich sind und etwa 25 Grad betragen. Wenn man sich auf der rechten Seite des Blattes von der Mitte des Blattes aus im Uhrzeigersinn bewegt, hat die erste Ader einen Abstand von 26 Grad, die zweite von 52 Grad und die dritte von 74 Grad. Und auf der linken Seite des Blattes weicht bei einer Bewegung gegen den Uhrzeigersinn von der Blattachse die erste Ader um 24 Grad ab, die zweite um 63 Grad und die dritte um 80 Grad. Abbildung 2 der Anlage Nr. 4 zeigt diese Messungen: Es ist zu erkennen, dass trotz aller Symmetrie des Blattes einige geringfügige Symmetrieverletzungen beobachtet werden.

3) Messungen der Venenlängen. Die Abbildung zeigt die gemessenen Längen der Hauptadern zusammen mit den Ecken. In Fällen, in denen sich herausstellte, dass eine Blattader stark gekrümmt war, wurde ihre Länge entlang der Länge einer unterbrochenen Kurve gemessen: Die gekrümmte Ader wurde in drei ungefähr gleiche Teile geteilt und jeder Teil wurde als gerade Linie gemessen – mit einem Lineal. Die Länge der Hauptadern auf der rechten Seite des Blattes betrug 30,2 cm. Auf der linken Seite des Blattes betrug die Gesamtlänge zusammen mit der Zentralader 75 cm.

Zusätzlich wurden die Längen aller sekundären, kleinen Blattadern gemessen, die nicht aus der Blattbasis austreten. Auf der linken Seite des Blattes beträgt ihre Gesamtlänge 52,6 cm und auf der rechten Seite des Blattes 51,1 cm. Die Gesamtlänge beträgt 103,7 cm (Anhang Nr. 4, Abb. 3).

Überraschenderweise ist die Gesamtlänge der Nebenblattadern größer als die Länge der Hauptblattadern. Auf der linken Seite beträgt das Verhältnis dieser Längen 1,72. Auf der rechten Seite - 1,69. Die resultierenden Verhältnisse liegen nahe beieinander, sind aber nicht genau gleich.

Traubenblatt

1) Die Messung der Winkel, in denen die Adern eines Weinblattes von seiner Basis abweichen, zeigt, dass diese Winkel ungefähr gleich sind und etwa 40 Grad betragen. Auf der rechten Seite des Blattes befinden sich zwei solcher Adern, und wenn man sich von der Blattmitte aus im Uhrzeigersinn bewegt, hat die erste Ader einen Abstand von 41 Grad, die zweite von 86 Grad. Auf der linken Seite des Blattes weicht bei einer Bewegung gegen den Uhrzeigersinn von der Blattachse die erste Ader um 41 Grad ab, die zweite um 80 Grad. Abbildung 1 von Anhang Nr. 5 zeigt diese Messungen. Hier sind auch die Längen der Hauptadern des Blattes eingezeichnet.

Ebenso interessant ist die Messung der Winkel, in denen sich die Sekundäradern (diejenigen, die nicht von der Mitte der Blattbasis ausgehen) schneiden. Diese Messungen sind in Abbildung 2 von Anhang Nr. 5 dargestellt: Bei sekundären Blattadern gibt es eine größere Variation in den Winkeln, in denen sie sich mit anderen Adern schneiden, aber im Durchschnitt beträgt dieser Winkel etwa 60 Grad. Dieser Durchschnittswinkel ist sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite des Blattes gleich. Die Längen dieser sekundären Adern sind hier ebenfalls angegeben.

2) Messen der Länge der Venen. Die Länge der Hauptader (ausgehend von der Blattbasis) beträgt auf der linken Seite des Blattes 16,4 cm. Die Länge mit der Mittelader beträgt 44,4 cm.

Die Länge der Sekundäradern auf der linken Seite des Blattes beträgt 41,2 cm und auf der rechten Seite 43 cm. Insgesamt beträgt die Gesamtlänge der Sekundäradern 84,2 cm Die Blattadern sind etwa doppelt so lang wie die Hauptadern des Blattes.

Bei einem Weinblatt ist es auch möglich, die Länge des Netzwerks der kleinsten Adern zu messen. Sie sind auf der Rückseite des Blattes deutlich sichtbar. Die Längenmessungen der kleinsten Adern erfolgten durch Zählen ihrer Anzahl im halben Abstand zwischen zwei Nebenadern. Anschließend wurde die gefundene Zahl mit der Länge einer von ihnen multipliziert (ungefähr der halbe Abstand zwischen den beiden Hauptadern). In diesem Fall könnten kleine Venen, die nicht mit den Hauptvenen verbunden sind und zwischen größeren Venen liegen, aus der Zählung herausfallen.

Die so gemessene Länge der kleinsten Adern betrug auf der linken Blattseite 110,7 cm und auf der rechten Blattseite 133,9 cm. Die Gesamtlänge der kleinsten Adern betrug 244,6 cm (Abb. 3, Anhang Nr . 5).

Das überraschende Ergebnis ist, dass die Gesamtlänge der Venen umso länger ist, je kleiner sie sind. Auf der linken Seite des Blattes beträgt das Verhältnis der gemessenen Längen:

kleinste Äderchen / sekundäre Äderchen = 110,7 / 41,2 = 2,69;

Nebenadern / Hauptadern = 41,2 / 16,0 = 2,57.

Auf der rechten Seite gibt es ähnliche Beziehungen

133,9 / 43,0 = 3,11,

43,0 / 16,4 = 2,62.

Die resultierenden Längenverhältnisse sind für das Verhältnis von sekundären zu primären Äderchen genauer, da diese Längen genauer gemessen werden. Für die linke Seite ergibt das Verhältnis der Länge der kleinsten Venen zur Länge der Nebenvenen ebenfalls annähernd den gleichen Wert von etwa 2,7. Nur auf der rechten Seite des Blattes ist dieses Verhältnis deutlich größer und beträgt 3,11.

Aus der Messung der Längen und Schnittwinkel der Adern können die folgenden Schlussfolgerungen gezogen werden.

Im linken und rechten Teil des Blattes sind zwischen Haupt- und Nebenadern etwa gleiche Winkel zu beobachten.

Außerdem sind im linken und rechten Teil die Längen der Haupt- und Nebenvenen ungefähr gleich.

Das Verhältnis der Längen der Nebenerzgänge zur Länge der Haupterzgänge beträgt etwa 2,6. Dies bedeutet, dass sich ihre Länge beim Übergang von primären zu sekundären Venen um das 2,6-fache erhöht. Das Verhältnis der Längen der kleinsten Blattadern zur Länge der Nebenadern beträgt für den linken Blattteil 2,7 und für den rechten Blattteil 3,1. Dies bedeutet, dass sich ihre Länge beim Übergang von den Nebenadern zu den kleinsten um das 2,7-fache erhöht (3,1 für die rechte Seite des Blattes).

Das gefundene Muster lässt sich durch die fraktale Struktur des Blattes erklären: Beim Übergang von einem großen Maßstab zu einem kleineren Maßstab wird etwa ein Koeffizient der Längenzunahme der entsprechenden Adern beobachtet.

Bei den Schnittwinkeln von Adern unterschiedlicher Größenordnung kann nicht von einer fraktalen Struktur gesprochen werden. Die primären Adern kreuzen sich in einem Winkel von 40 Grad, die sekundären Adern kreuzen sich in einem Winkel von 60 Grad und die kleinsten Adern kreuzen sich in einem Winkel von etwa 90 Grad.

Wenden wir die fraktale Dimensionsformel für ein Weinblatt an.

für die linke Seite des Blattes:

Anzahl der Hauptteile: 2;

Hauptlänge: 16,0 cm;

Anzahl der Sekundarschulen: 12;

Sekundärlänge 41,2 cm;

Anzahl kleinster Adern: 407;

die Länge der kleinsten Adern beträgt 110,7 cm;

Die Berechnung der fraktalen Dimension für ein geometrisches Fraktal in den Stufen 2) und 3) sollte nahe beieinander liegende Werte ergeben. Die resultierenden Zahlen weichen um mehr als das Zweifache voneinander ab. Dies deutet darauf hin, dass die Adern eines Weinblattes kein geometrisches Fraktal bilden. Eine ähnliche Schlussfolgerung ergibt sich aus einem Vergleich der Winkel, in denen sich Adern verschiedener Ebenen kreuzen (40, 60, 90 Grad).

Abschluss

In meiner Arbeit habe ich anhand eines konkreten Beispiels gezeigt, dass natürliche symmetrische Baumblätter mathematischen Gesetzen gehorchen. Allerdings sind die von mir untersuchten Blätter auch unter Berücksichtigung des Messfehlers nicht vollständig symmetrisch – es wurden Unterschiede im linken und rechten Teil des Blattes festgestellt, d.h. in der belebten Natur ist die Symmetrie nicht absolut und enthält immer einen gewissen Grad an Asymmetrie. Beispielsweise beträgt die Länge der Hauptadern eines Ahornblatts auf der linken Seite 30,6 cm und auf der rechten Seite 30,2 cm. Prozentual beträgt dieser Unterschied 1,3 %. Bei einem Weinblatt beträgt der gleiche Unterschied 2,5 %.

Beim Übergang von einem größeren Maßstab der Blattadern zu einem kleineren Maßstab dieser Adern wird ungefähr der gleiche Koeffizient der Zunahme der Längen der entsprechenden Adern beobachtet. Dieser Koeffizient beträgt 2,6 (für ein Weinblatt) und bleibt beim Übergang von den größten zu den kleineren Adern und von dort – beim Übergang zu den kleinsten Adern – erhalten.

Dieses Verhalten der Adern ist nicht auf die fraktale Struktur des Weinblattes zurückzuführen: Die Messung der fraktalen Dimension ergibt unterschiedliche Werte für die Adern verschiedene Level. Die beobachtete komplexe Struktur von Blattadern dient der Wasserversorgung und -versorgung Nährstoffe die gesamte Blattfläche der Pflanze. Offensichtlich ist die fraktale Struktur der Blattadern nicht immer die beste (optimale) Form für eine Pflanze, um diese Aufgabe zu erfüllen.

Liste der verwendeten Literatur:

1.Paitgen H.O., Richter P.H., Die Schönheit der Fraktale. Bilder komplexer dynamischer Systeme//Mir.- M., 1993, 206 S. ISBN 5-03-001296-6

2. Tarasov L.V. Diese erstaunlich symmetrische Welt // Aufklärung.-M., 1982-S.176

3. Ozhegov S.I. Wörterbuch der russischen Sprache // Russische Sprache.-20. Aufl. M., 1988-S.585

4.Wikipedia, Fraktale Dimension. https://ru.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

5. Fraktale sind um uns herum. http://sakva.net/fractals_rus/

6. Ivanovsky A. Fraktale Geometrie der Welt. http://w-o-s.ru/article/4003

7. Symmetrie in der Natur. http://wonwilworl.blogspot.ru/2014/01/blog-post.html

Anhang Nr. 1

Anhang Nr. 2

Koch-Kurve

Kochs Schneeflocken

Anhang Nr. 3

Anhang Nr. 4

EINFÜHRUNG: Dem Problem der Symmetrie ist eine wirklich umfangreiche Literatur gewidmet. Lehrbücher und wissenschaftliche Monographien bis hin zu Werken, die nicht so sehr an Zeichnung und Formel, sondern an künstlerischem Bild appellieren und wissenschaftliche Authentizität mit literarischer Präzision verbinden. Im Concise Oxford Dictionary wird Symmetrie definiert als „Schönheit aufgrund der Proportionalität der Körperteile oder eines Ganzen, Gleichgewicht, Ähnlichkeit, Harmonie, Konsistenz“ (der Begriff „Symmetrie“ selbst bedeutet im Griechischen „Proportionalität“, was in der Antike bedeutete). Philosophen verstanden als Sonderfall der Harmonie – der Koordination von Teilen im Ganzen). Symmetrie ist eines der grundlegendsten und allgemeinsten Muster des Universums: der unbelebten, lebendigen Natur und Gesellschaft. Symmetrie begegnet uns überall. Der Begriff der Symmetrie zieht sich durch die gesamte jahrhundertealte Geschichte der menschlichen Kreativität. Es findet sich bereits am Ursprung des menschlichen Wissens; Es wird ausnahmslos in allen Bereichen der modernen Wissenschaft weit verbreitet verwendet. Was ist Symmetrie? Warum durchdringt Symmetrie buchstäblich die gesamte Welt um uns herum? Grundsätzlich gibt es zwei Gruppen von Symmetrien. Die erste Gruppe umfasst die Symmetrie von Positionen, Formen und Strukturen. Dies ist die Symmetrie, die direkt erkennbar ist. Man kann es geometrische Symmetrie nennen. Die zweite Gruppe charakterisiert die Symmetrie physikalischer Phänomene und Naturgesetze. Diese Symmetrie liegt dem naturwissenschaftlichen Weltbild zugrunde: Man kann sie physikalische Symmetrie nennen. Im Laufe der Jahrtausende hat die Menschheit im Laufe der sozialen Praxis und der Kenntnis der Gesetze der objektiven Realität zahlreiche Daten gesammelt, die auf das Vorhandensein zweier Tendenzen in der Welt um sie herum hinweisen: einerseits zu strenger Ordnung und Harmonie und andererseits andere, zu ihrer Verletzung. Schon lange achtet der Mensch auf die richtige Form von Kristallen, Blumen, Waben und anderen Naturobjekten und reproduziert diese Proportionalität in Kunstwerken, in den von ihnen geschaffenen Objekten, durch das Konzept der Symmetrie. „Symmetrie“, schreibt der berühmte Wissenschaftler J. Newman, „stellt eine lustige und überraschende Beziehung zwischen Objekten, Phänomenen und Theorien her, die äußerlich mit nichts zu tun zu haben scheinen: Erdmagnetismus, weiblicher Schleier, polarisiertes Licht, natürliche Selektion, Gruppentheorie, Invarianten und Transformationen, die Arbeitsgewohnheiten der Bienen im Bienenstock, die Struktur des Raumes, die Gestaltung von Vasen, Quantenphysik, Blütenblätter, Interferenzmuster Röntgenstrahlen, Zellteilung Seeigel, Gleichgewichtskonfigurationen von Kristallen, romanische Kathedralen, Schneeflocken, Musik, die Relativitätstheorie ...“ Das Wort „Symmetrie“ hat eine doppelte Interpretation. In einem Sinne bedeutet „symmetrisch“ etwas sehr Proportionales, Ausgewogenes; Symmetrie zeigt, wie viele Teile sind koordiniert, mit deren Hilfe sie sich zu einem Ganzen vereinen. Aristoteles sprach auch von Symmetrie als einem Zustand, der durch das Verhältnis von Extremen gekennzeichnet ist Die Entdeckung eines der grundlegendsten Naturgesetze – des Gesetzes von . Seine Dualität ist charakteristisch dafür, dass die Wissenschaft gerade dann zu den interessantesten Ergebnissen kam, als die Tatsachen der Symmetrieverletzung festgestellt wurden Physiker im letzten Jahrhundert und führten zu einer Reihe wichtiger Ergebnisse. Solche Konsequenzen der Symmetriegesetze sind zunächst einmal Erhaltungssätze der klassischen Physik. Derzeit sind in der Naturwissenschaft Definitionen der Kategorien Symmetrie und Asymmetrie vorherrschend, die auf der Aufzählung bestimmter Merkmale basieren. Symmetrie wird beispielsweise als eine Reihe von Eigenschaften definiert: Ordnung, Gleichmäßigkeit, Proportionalität, Harmonie. Alle Symmetriezeichen werden in vielen ihrer Definitionen als gleich, gleich bedeutsam und individuell betrachtet konkrete Fälle Wenn Sie die Symmetrie eines Phänomens ermitteln, können Sie jedes davon verwenden. In einigen Fällen ist Symmetrie also Homogenität, in anderen Proportionalität usw. Das Gleiche gilt für die Definitionen von Asymmetrie in den Privatwissenschaften. DIE BEDEUTUNG DER SYMMETRIE IM WISSEN DER NATUR Die Idee der Symmetrie war oft der Ausgangspunkt in den Hypothesen und Theorien früherer Wissenschaftler. Die durch die Symmetrie eingeführte Ordnung äußert sich zunächst in der Einschränkung der Vielfalt möglicher Strukturen, in der Reduzierung der Zahl Möglichkeiten. Ein wichtiges physikalisches Beispiel ist die Existenz symmetriebedingter Einschränkungen der Vielfalt molekularer und kristalliner Strukturen. Lassen Sie uns diese Idee anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Nehmen wir an, dass in einer fernen Galaxie hochentwickelte Wesen leben, die neben anderen Aktivitäten auch gern spielen. Wir wissen möglicherweise nichts über den Geschmack dieser Kreaturen, die Struktur ihres Körpers und die Eigenschaften ihrer Psyche. Sicher ist jedoch, dass ihre Würfel eine von fünf Formen haben – Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder. Jede andere Form Würfel ist grundsätzlich ausgeschlossen, da das Erfordernis gleicher Landungswahrscheinlichkeit beim Spielen einer beliebigen Fläche die Verwendung der Form eines regelmäßigen Polyeders vorgibt und es nur fünf solcher Formen gibt. Die Idee der Symmetrie diente Wissenschaftlern oft als Leitfaden bei der Betrachtung der Probleme des Universums. Wenn wir die chaotische Streuung der Sterne am Nachthimmel beobachten, verstehen wir, dass sich hinter dem äußeren Chaos völlig symmetrische Spiralstrukturen von Galaxien und in ihnen symmetrische Strukturen von Planetensystemen verbergen. Die Symmetrie der äußeren Form des Kristalls ist eine Folge seiner inneren Symmetrie – geordnet relative Position im Raum der Atome (Moleküle). Mit anderen Worten: Die Symmetrie eines Kristalls ist mit der Existenz eines räumlichen Gitters von Atomen, dem sogenannten Kristallgitter, verbunden. Aus heutiger Sicht haben die grundlegendsten Naturgesetze den Charakter von Verboten. Sie bestimmen, was in der Natur passieren kann und was nicht. Also Erhaltungsgesetze in der Physik Elementarteilchen sind Verbotsgesetze. Sie verbieten jedes Phänomen, bei dem sich die „Erhaltungsgröße“ ändern würde, die ihre eigene „absolute“ Konstante (Eigenwert) des entsprechenden Objekts ist und sein „Gewicht“ im System anderer Objekte charakterisiert. Und diese Werte sind absolut, solange ein solches Objekt existiert. IN moderne Wissenschaft Alle Naturschutzgesetze werden genau als Verbotsgesetze betrachtet. So werden in der Welt der Elementarteilchen viele Erhaltungssätze als Regeln erhalten, die jene Phänomene verbieten, die in Experimenten nie beobachtet werden. Der bekannte sowjetische Wissenschaftler Akademiker W. I. Wernadski schrieb 1927: „Was in der Wissenschaft neu war, war nicht die Identifizierung des Prinzips der Symmetrie, sondern die Identifizierung seiner Universalität.“ Tatsächlich ist die Universalität der Symmetrie erstaunlich. Symmetrie stellt interne Verbindungen zwischen Objekten und Phänomenen her, die äußerlich in keiner Weise verbunden sind. Die Universalität der Symmetrie liegt nicht nur darin, dass sie in einer Vielzahl von Objekten und Phänomenen zu finden ist. Das Symmetrieprinzip selbst ist universell, ohne das es grundsätzlich unmöglich ist, ein einzelnes Grundproblem zu betrachten, sei es das Problem des Lebens oder das Problem der Kontakte mit außerirdische Zivilisationen. Die Prinzipien der Symmetrie liegen der Relativitätstheorie, der Quantenmechanik und der Physik zugrunde solide, nuklear und Kernphysik, Teilchenphysik. Diese Prinzipien kommen am deutlichsten in den Invarianzeigenschaften der Naturgesetze zum Ausdruck. Wir sprechen nicht nur über physikalische Gesetze, sondern auch über andere, zum Beispiel biologische. Ein Beispiel für ein biologisches Erhaltungsgesetz ist das Vererbungsgesetz. Es basiert auf Invarianz biologische Eigenschaften in Bezug auf den Übergang von einer Generation zur nächsten. Es ist ziemlich offensichtlich, dass unsere Welt ohne Naturschutzgesetze (physikalische, biologische und andere) einfach nicht existieren könnte.

Es müssen Aspekte hervorgehoben werden, ohne die Symmetrie unmöglich ist:

1) das Objekt ist der Träger der Symmetrie; Dinge, Prozesse, geometrische Figuren, mathematische Ausdrücke, lebende Organismen usw. können als symmetrische Objekte wirken.

2) einige Merkmale – Mengen, Eigenschaften, Beziehungen, Prozesse, Phänomene – eines Objekts, die bei Symmetrietransformationen unverändert bleiben; sie werden Invarianten oder Invarianten genannt.

3) Änderungen (eines Objekts), die dazu führen, dass das Objekt aufgrund invarianter Merkmale mit sich selbst identisch bleibt; solche Änderungen werden Symmetrietransformationen genannt;

4) die Eigenschaft eines Objekts, sich nach den entsprechenden Änderungen entsprechend ausgewählten Eigenschaften in sich selbst umzuwandeln.

Es ist wichtig zu betonen, dass Invarianz zweitrangig gegenüber Veränderungen ist; Ruhe ist relativ, Bewegung ist absolut.

Symmetrie drückt also die Erhaltung von etwas trotz einiger Veränderungen oder die Erhaltung von etwas trotz einer Veränderung aus. Symmetrie setzt die Unveränderlichkeit nicht nur des Objekts selbst, sondern auch aller seiner Eigenschaften in Bezug auf die am Objekt durchgeführten Transformationen voraus. Die Unveränderlichkeit bestimmter Objekte kann in Bezug auf verschiedene Operationen beobachtet werden – Rotationen, Translationen, gegenseitiger Austausch von Teilen, Spiegelungen usw. Diesbezüglich heben sie hervor verschiedene Typen Symmetrie.

DREHSYMMETRIE. Ein Objekt gilt als rotationssymmetrisch, wenn es sich bei einer Drehung um einen Winkel von 2?/n an sich selbst ausrichtet, wobei n 2, 3, 4 usw. sein kann. zur Unendlichkeit. Die Symmetrieachse wird Achse n-ter Ordnung genannt.

TRANSPORTABLE (TRANSLATIONALE) SYMMETRIE. Eine solche Symmetrie liegt dann vor, wenn eine Figur, wenn sie sich entlang einer geraden Linie um eine Distanz a oder ein Vielfaches dieses Wertes bewegt, mit sich selbst übereinstimmt.
Die Gerade, entlang der die Übertragung erfolgt, wird Übertragungsachse genannt, der Abstand a heißt Elementarübertragung oder Periode. Mit dieser Art von Symmetrie ist das Konzept periodischer Strukturen oder Gitter verbunden, die sowohl flach als auch räumlich sein können.

Wie würde unsere Welt aussehen, wenn es keine Symmetrie gäbe? Was würde als Maßstab für Schönheit und Perfektion gelten? Was bedeutet zentrale Symmetrie für uns und welche Rolle spielt sie? Übrigens einer der bedeutendsten. Um dies zu verstehen, werfen wir einen genaueren Blick auf das Naturgesetz der Natur.

Zentrale Symmetrie

Definieren wir zunächst das Konzept. Was meinen wir mit dem Ausdruck „zentrale Symmetrie“? Dies ist Proportionalität, Verhältnis, Proportionalität, genaue Analogie der Seiten oder Teile von etwas relativ zu einer konventionellen oder genau definierten Kernachse.

Zentrale Symmetrie in der Natur

Symmetrie ist überall zu finden, wenn man die Realität um uns herum genau betrachtet. Es kommt in Schneeflocken, Blättern von Bäumen und Kräutern, Insekten, Blumen und Tieren vor. Die zentrale Symmetrie von Pflanzen und Lebewesen wird vollständig durch den Einfluss der äußeren Umgebung bestimmt, die noch immer das Erscheinungsbild der Bewohner des Planeten Erde prägt.

Flora

Sammeln Sie gerne Pilze? Dann wissen Sie, dass ein vertikal geschnittener Pilz eine Symmetrieachse hat, entlang derer er geformt wird. Das gleiche Phänomen kann man bei runden, zentralsymmetrischen Beeren beobachten. Und wie schön ist der Apfel im Querschnitt! Darüber hinaus gibt es in absolut jeder Pflanze einen Teil, der sich nach den Gesetzen der Symmetrie entwickelt hat.

Fauna

Um die Symmetrie von Insekten zu erkennen, müssen sie glücklicherweise nicht seziert werden. Schmetterlinge und Libellen sind wie Blumen, die zum Leben erwachen und flattern. Anmutige Raubtiere und Hauskatzen... Sie können die Schöpfungen der Natur endlos bewundern.

Wasserwelt

So grenzenlos die Artenvielfalt der Gewässerbewohner ist, so häufig ist dort auch die Zentralsymmetrie anzutreffen. Sicherlich kann jeder ein paar einfache Beispiele nennen.

Zentrale Symmetrie im Leben

Während seiner gesamten jahrhundertealte Geschichte Von antiken Tempeln über mittelalterliche Burgen bis hin zur Neuzeit haben die Menschen Schönheit und Harmonie kennengelernt und gelernt, durch die Beobachtung der Natur etwas zu erschaffen. Die urbane Welt, in der die Mehrheit der Weltbevölkerung lebt, ist voller Symmetrie. Dies sind Häuser, Geräte, Haushaltsgegenstände, Wissenschaft und Kunst. Analogie ist der Schlüssel zum Erfolg jeder Ingenieurstruktur.

Symmetrie in der Kunst

Zentralsymmetrie ist nicht nur ein mathematisches Konzept. Es ist in allen Bereichen des menschlichen Lebens präsent. Die Harmonie der rhythmischen Komposition ließ einen Menschen nie gleichgültig. Ein Spiegelbild dieser Prinzipien findet sich in der dekorativen und angewandten Kunst: Die Stickereien werden von authentischen Kunsthandwerkerinnen hergestellt verschiedene Nationen, gemusterte Holzschnitzereien, selbstgewebte Teppiche. Die einheitliche Konstruktion von Wiederholungen gibt es auch im mündlichen Liederschreiben und in der Verskunst! Und natürlich stellten Handwerker Schmuck nach den gleichen Gesetzen der zentralen Symmetrie her. Dann erhält die Dekoration Individualität, einzigartige Schönheit und wird zu einem echten Kunstwerk. Auf diese Weise erzieht die Symmetrie die Menschheit und offenbart das magische Prinzip der Ordnung, Harmonie und Perfektion.

Was ist Symmetrie? Das Konzept der „Symmetrie“ entstand aus der Untersuchung lebender Organismen und lebender Materie, vor allem des Menschen. Das Wort selbst, das mit dem Konzept der Schönheit oder Harmonie verbunden ist, wurde von den großen griechischen Bildhauern gegeben, und das diesem Phänomen entsprechende Wort „Symmetrie“ wird der Skulptur von Pythagoras aus Regnum (Süditalien, damals Magna Graecia) zugeschrieben, der lebte im 5. Jahrhundert v. Chr. Symmetrisches Gesicht der Mona Lisa. Symmetrie der Hände. Menschliche Symmetrie

Symmetrie in der Natur Die Natur ist ein erstaunlicher Schöpfer und Meister. Alle Lebewesen in der Natur haben die Eigenschaft der Symmetrie. Daher erkennt selbst ein unerfahrener Mensch bei der Beobachtung der Natur meist leicht die Symmetrie in ihren relativ einfachen Erscheinungsformen. Symmetrie der Pflanzen Symmetrie der Pflanzen Symmetrie der Tiere Symmetrie der Tiere Symmetrie unbelebte Natur Symmetrie der unbelebten Natur

Symmetrie der Pflanzen Symmetrie kann man bei Blumen beobachten. Blüten der Familie Rosaceae und einiger anderer haben eine Achsensymmetrie. Auch die Blätter der Bäume sind symmetrisch. Bei solchen Pflanzen kann man rechts und links, Vorder- und Rückseite unterscheiden, und rechts ist symmetrisch zur linken, vorne zur Rückseite, aber rechts und vorne, links und hinten sind völlig unterschiedlich. Laminaria thallus Abgeflachte Kaktusstämme

Tiersymmetrie Die für Vertreter der Tierwelt charakteristische Axialsymmetrie wird als bilaterale Symmetrie bezeichnet. Die Organe sind relativ zur Mittelebene korrekt rechts und links angeordnet und teilen das Tier in eine rechte und eine linke Hälfte. Bei einer solchen bilateralen Symmetrie sind die dorsale und ventrale Oberfläche, die rechte und linke Seite sowie das vordere und hintere Ende unterscheidbar. Ohne Symmetrie könnten Insekten und Meeresbewohner nicht fliegen

Symmetrie der unbelebten Natur Symmetrie manifestiert sich in den vielfältigen Strukturen und Phänomenen der anorganischen Welt und der belebten Natur. Und Kristalle bringen den Charme der Symmetrie in die Welt der unbelebten Natur. Jede Schneeflocke ist ein kleiner Kristall aus gefrorenem Wasser. Die Form von Schneeflocken kann sehr unterschiedlich sein, sie haben jedoch alle Spiegelsymmetrie (Achsensymmetrie). Der berühmte Kristallograph Evgraf Stepanovich Fedorov sagte: „Kristalle leuchten mit Symmetrie.“

Symmetrie der unbelebten Natur Alle Körper bestehen aus Molekülen und Moleküle bestehen aus Atomen. Und viele Atome sind nach dem Symmetrieprinzip im Raum angeordnet. Für jede gegebene Substanz gibt es ihre eigene ideale Form ihres Kristalls, die für sie einzigartig ist. Kristallgitter aus Diamant. Kristallgitter aus Graphit. Kristallgitter aus Wasser

Die Bedeutung von Symmetrie Eine Welt ohne Symmetrie ist kaum vorstellbar. Schließlich stellt es interne Verbindungen zwischen Objekten und Phänomenen her, die äußerlich in keiner Weise verbunden sind. Die Universalität der Symmetrie liegt nicht nur darin, dass sie in einer Vielzahl von Objekten und Phänomenen zu finden ist. Das Symmetrieprinzip selbst ist universell, ohne das es grundsätzlich unmöglich ist, ein einzelnes Grundproblem zu betrachten. Die Prinzipien der Symmetrie liegen vielen Wissenschaften und Theorien zugrunde. Der Mensch nutzte die der belebten Natur innewohnende Symmetrieeigenschaft für seine Errungenschaften: Er erfand das Flugzeug und schuf einzigartige architektonische Gebäude.