Alle Eigenschaften von Integralen. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals. Ändern einer Variablen in einem bestimmten Integral

Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals durchzuführen, um es auf eines der Elementarintegrale zu reduzieren und weiter zu berechnen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem ist a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration mithilfe der Variablenänderungsmethode, auf die im nächsten Abschnitt ausführlicher eingegangen wird.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Tabelle der Stammfunktionen verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und findet problemlos eine detaillierte Lösung für Ihr Integral.

In der Differentialrechnung wird das Problem gelöst: Finden Sie unter dieser Funktion ƒ(x) ihre Ableitung(oder Differential). Die Integralrechnung löst das inverse Problem: Finden Sie die Funktion F(x), indem Sie ihre Ableitung F "(x)=ƒ(x) (oder Differential) kennen. Die gesuchte Funktion F(x) wird Stammfunktion der Funktion ƒ(x) genannt ).

Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion Funktion ƒ(x) auf dem Intervall (a; b), wenn für irgendein x є (a; b) die Gleichheit

F " (x)=ƒ(x) (oder dF(x)=ƒ(x)dx).

Zum Beispiel, die Stammfunktion der Funktion y = x 2, x є R, ist die Funktion, da

Natürlich sind alle Funktionen auch Stammfunktionen

wobei C eine Konstante ist, da

Satz 29. 1. Wenn die Funktion F(x) eine Stammfunktion der Funktion ƒ(x) auf (a;b) ist, dann ist die Menge aller Stammfunktionen für ƒ(x) durch die Formel F(x)+ gegeben C, wobei C eine konstante Zahl ist.

▲ Die Funktion F(x)+C ist eine Stammfunktion von ƒ(x).

Tatsächlich ist (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Sei Ф(х) eine andere Stammfunktion der Funktion ƒ(x), die sich von F(x) unterscheidet, d. h. Ф "(x)=ƒ(х). Dann gilt für jedes x є (à;b).

Und das bedeutet (siehe Folgerung 25.1), dass

wobei C eine konstante Zahl ist. Daher ist Ф(x)=F(x)+С.▼

Die Menge aller Stammfunktionen F(x)+С für ƒ(x) heißt unbestimmtes Integral der Funktion ƒ(x) und wird mit dem Symbol ∫ ƒ(x) dx bezeichnet.

Also per Definition

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Hier heißt ƒ(x). Integrandenfunktion, ƒ(x)dx — Integrandenausdruck, X - Integrationsvariable, ∫ -Zeichen unbestimmtes Integral .

Die Operation, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.

Geometrisch gesehen ist das unbestimmte Integral eine Familie „paralleler“ Kurven y=F(x)+C (jeder Zahlenwert von C entspricht einer bestimmten Kurve der Familie) (siehe Abb. 166). Der Graph jeder Stammfunktion (Kurve) heißt Integralkurve.

Hat jede Funktion ein unbestimmtes Integral?

Es gibt einen Satz, der besagt, dass „jede auf (a;b) stetige Funktion eine Stammfunktion auf diesem Intervall hat“ und folglich ein unbestimmtes Integral.

Beachten wir eine Reihe von Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die sich aus seiner Definition ergeben.

1. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, und die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

D(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Tatsächlich ist d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Dank dieser Eigenschaft wird die Richtigkeit der Integration durch Differenzierung überprüft. Zum Beispiel Gleichberechtigung

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

wahr, da (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

∫dF(x)= F(x)+C.

Wirklich,

3. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

α ≠ 0 ist eine Konstante.

Wirklich,

(setzen Sie C 1 / a = C.)

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Anzahl stetiger Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale der Summanden der Funktionen:

Sei F"(x)=ƒ(x) und G"(x)=g(x). Dann

wobei C 1 ±C 2 =C.

5. (Invarianz der Integrationsformel).

Wenn , wobei u=φ(x) eine beliebige Funktion mit stetiger Ableitung ist.

▲ Sei x eine unabhängige Variable, ƒ(x) eine stetige Funktion und F(x) ihre Stammfunktion. Dann

Setzen wir nun u=φ(x), wobei φ(x) eine stetig differenzierbare Funktion ist. Betrachten Sie die komplexe Funktion F(u)=F(φ(x)). Aufgrund der Invarianz der Form des ersten Differentials der Funktion (siehe S. 160) gilt

Von hier▼

Somit bleibt die Formel für das unbestimmte Integral gültig, unabhängig davon, ob die Integrationsvariable die unabhängige Variable oder eine Funktion davon ist, die eine stetige Ableitung hat.

Also, aus der Formel durch Ersetzen von x durch u (u=φ(x)) erhalten wir

Insbesondere,

Beispiel 29.1. Finden Sie das Integral

wobei C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Beispiel 29.2. Finden Sie die integrale Lösung:

• 29.3. Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass die Integration die umgekehrte Wirkung der Differentiation ist, kann man eine Tabelle der Grundintegrale erhalten, indem man die entsprechenden Formeln der Differentialrechnung (Differentialtabelle) umkehrt und die Eigenschaften des unbestimmten Integrals nutzt.

Zum Beispiel, als

d(sin u)=cos u . du

Die Ableitung einer Reihe von Formeln in der Tabelle wird bei der Betrachtung der grundlegenden Integrationsmethoden angegeben.

Die Integrale in der folgenden Tabelle werden als tabellarisch bezeichnet. Sie sollten auswendig bekannt sein. In der Integralrechnung gibt es keine einfachen und universellen Regeln für die Bestimmung von Stammfunktionen von Elementarfunktionen, wie in der Differentialrechnung. Methoden zum Finden von Stammfunktionen (d. h. zum Integrieren einer Funktion) werden auf die Angabe von Techniken reduziert, die ein gegebenes (gesuchtes) Integral in ein tabellarisches Integral bringen. Daher ist es notwendig, Tabellenintegrale zu kennen und erkennen zu können.

Beachten Sie, dass in der Tabelle der Grundintegrale die Integrationsvariable sowohl eine unabhängige Variable als auch eine Funktion der unabhängigen Variablen bezeichnen kann (gemäß der Invarianzeigenschaft der Integrationsformel).

Die Gültigkeit der folgenden Formeln kann überprüft werden, indem das Differential auf der rechten Seite genommen wird, das gleich dem Integranden auf der linken Seite der Formel ist.

Beweisen wir zum Beispiel die Gültigkeit der Formel 2. Die Funktion 1/u ist definiert und stetig für alle Werte von und ungleich Null.

Wenn u > 0, dann ln|u|=lnu, dann Deshalb

Wenn du<0, то ln|u|=ln(-u). НоBedeutet

Formel 2 ist also richtig. Schauen wir uns auch die Formel 15 an:

Tabelle der Hauptintegrale

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In diesem Artikel geht es ausführlich um die Haupteigenschaften des bestimmten Integrals. Sie werden mit dem Konzept des Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen. Die Berechnung eines bestimmten Integrals erfolgt dank 5 Eigenschaften. Die übrigen werden zur Auswertung verschiedener Ausdrücke verwendet.

Bevor wir zu den Haupteigenschaften des bestimmten Integrals übergehen, müssen wir sicherstellen, dass a nicht größer als b ist.

Grundlegende Eigenschaften des bestimmten Integrals

Die bei x = a definierte Funktion y = f (x) ähnelt der gerechten Gleichheit ∫ a a f (x) d x = 0.

Beweis 1

Daraus sehen wir, dass der Wert des Integrals bei übereinstimmenden Grenzen gleich Null ist. Dies ist eine Folge des Riemannschen Integrals, da jede Integralsumme σ für jede Partition im Intervall [ a ; a ] und jede Auswahl von Punkten ζ i ist gleich Null, weil x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , was bedeutet, dass wir feststellen, dass der Grenzwert der Integralfunktionen Null ist.

Definition 2

Für eine Funktion, die im Intervall [a; b ] ist die Bedingung ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x erfüllt.

Beweis 2

Mit anderen Worten: Wenn Sie die obere und untere Integrationsgrenze vertauschen, ändert sich der Wert des Integrals in den entgegengesetzten Wert. Diese Eigenschaft ist dem Riemannschen Integral entnommen. Die Nummerierung der Segmentpartition beginnt jedoch ab dem Punkt x = b.

Definition 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x gilt für integrierbare Funktionen vom Typ y = f (x) und y = g (x), definiert auf dem Intervall [ a ; B ] .

Beweis 3

Schreiben Sie die Integralsumme der Funktion y = f (x) ± g (x) für die Partitionierung in Segmente mit einer gegebenen Auswahl an Punkten ζ i auf: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

wobei σ f und σ g die Integralsummen der Funktionen y = f (x) und y = g (x) zur Partitionierung des Segments sind. Nach dem Übergang zum Grenzwert bei λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 erhalten wir, dass lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Nach Riemanns Definition ist dieser Ausdruck äquivalent.

Definition 4

Erweitern des konstanten Faktors über das Vorzeichen des bestimmten Integrals hinaus. Integrierte Funktion aus dem Intervall [a; b ] mit einem beliebigen Wert k hat eine faire Ungleichung der Form ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Beweis 4

Der Beweis der bestimmten Integraleigenschaft ähnelt dem vorherigen:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definition 5

Wenn eine Funktion der Form y = f (x) auf einem Intervall x mit a ∈ x, b ∈ x integrierbar ist, erhalten wir, dass ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d X.

Beweis 5

Die Eigenschaft gilt als gültig für c ∈ a; b, für c ≤ a und c ≥ b. Der Beweis ähnelt den vorherigen Eigenschaften.

Definition 6

Wenn eine Funktion aus dem Segment [a; b ], dann ist dies für jedes interne Segment c möglich; d ∈ a; B.

Beweis 6

Der Beweis basiert auf der Darboux-Eigenschaft: Wenn Punkte zu einer vorhandenen Partition eines Segments hinzugefügt werden, verringert sich die untere Darboux-Summe nicht und die obere erhöht sich nicht.

Definition 7

Wenn eine Funktion auf [a; b ] aus f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 für jeden Wert x ∈ a ; b , dann erhalten wir ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Die Eigenschaft kann mit der Definition des Riemannschen Integrals bewiesen werden: jede Integralsumme für beliebige beliebige Teilungspunkte des Segments und Punkte ζ i mit der Bedingung, dass f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 nicht negativ ist .

Beweis 7

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf dem Intervall [ a ; b ], dann gelten folgende Ungleichungen als gültig:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; B

Dank der Aussage wissen wir, dass Integration zulässig ist. Dieses Korollar wird beim Beweis anderer Eigenschaften verwendet.

Definition 8

Für eine integrierbare Funktion y = f (x) aus dem Intervall [ a ; b ] haben wir eine faire Ungleichung der Form ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Beweis 8

Wir haben das - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Aus der vorherigen Eigenschaft haben wir herausgefunden, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann und einer Ungleichung der Form - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x entspricht. Diese doppelte Ungleichung kann in einer anderen Form geschrieben werden: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definition 9

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Intervall [ a ; b ] für g (x) ≥ 0 für jedes x ∈ a ; b erhalten wir eine Ungleichung der Form m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , wobei m = m i n x ∈ a ; b f (x) und M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Beweis 9

Der Beweis erfolgt auf ähnliche Weise. M und m gelten als die größten und kleinsten Werte der Funktion y = f (x), die aus dem Segment [a; b ] , dann m ≤ f (x) ≤ M . Es ist notwendig, die doppelte Ungleichung mit der Funktion y = g (x) zu multiplizieren, was den Wert der doppelten Ungleichung der Form m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ergibt. Es ist notwendig, es im Intervall [a; b ] , dann erhalten wir die zu beweisende Aussage.

Folge: Für g (x) = 1 nimmt die Ungleichung die Form m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) an.

Erste Durchschnittsformel

Für y = f (x) integrierbar auf dem Intervall [ a ; b ] mit m = m i n x ∈ a ; b f (x) und M = m a x x ∈ a ; b f (x) es gibt eine Zahl μ ∈ m; M , was zu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a passt.

Folge: Wenn die Funktion y = f (x) vom Intervall [ a ; b ], dann gibt es eine Zahl c ∈ a; b, was die Gleichheit ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a erfüllt.

Die erste Durchschnittsformel in verallgemeinerter Form

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Intervall [ a ; b ] mit m = m i n x ∈ a ; b f (x) und M = m a x x ∈ a ; b f (x) und g (x) > 0 für jeden Wert x ∈ a ; B. Daraus folgt, dass es eine Zahl μ ∈ m gibt; M , was die Gleichung ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x erfüllt.

Zweite Durchschnittsformel

Wenn die Funktion y = f (x) aus dem Intervall [ a ; b ] und y = g (x) monoton ist, dann gibt es eine Zahl mit c ∈ a; b , wobei wir eine faire Gleichheit der Form ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x erhalten

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Die Hauptaufgabe der Differentialrechnung besteht darin, die Ableitung zu finden F'(X) oder Differential df=F'(X)dx Funktionen F(X). In der Integralrechnung wird das inverse Problem gelöst. Nach einer vorgegebenen Funktion F(X) müssen Sie eine solche Funktion finden F(X), Was F'(x)=F(X) oder dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Auf diese Weise, die Hauptaufgabe der Integralrechnung ist die Wiederherstellung der Funktion F(X) durch die bekannte Ableitung (Differential) dieser Funktion. Die Integralrechnung hat zahlreiche Anwendungen in der Geometrie, Mechanik, Physik und Technik. Es gibt allgemeine Methode Finden von Flächen, Volumina, Schwerpunkten usw.

Definition. FunktionF(x), , heißt die Stammfunktion der FunktionF(x) auf der Menge X, wenn sie für jedes und differenzierbar istF'(x)=F(x) oderdF(x)=F(X)dx.

Satz. Jede durchgehende Linie im Intervall [A;b] FunktionF(x) hat eine Stammfunktion auf diesem SegmentF(x).

Satz. WennF 1 (x) undF 2 (x) – zwei verschiedene Stammfunktionen derselben FunktionF(x) auf der Menge x, dann unterscheiden sie sich durch einen konstanten Term voneinander, d.h.F 2 (x)=F 1x)+C, wobei C eine Konstante ist.

Unbestimmtes Integral, seine Eigenschaften.

Definition. GesamtheitF(x)+Von allen StammfunktionenF(x) auf der Menge X heißt unbestimmtes Integral und wird bezeichnet:

In Formel (1) F(X)dx angerufen Integrandenausdruck,F(x) – Integrandenfunktion, x – Integrationsvariable, A C – Integrationskonstante.

Betrachten wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die sich aus seiner Definition ergeben.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer bestimmten Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstante:

3. Als Vorzeichen des unbestimmten Integrals lässt sich der konstante Faktor a (a≠0) entnehmen:

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale dieser Funktionen:

5. WennF(x) – Stammfunktion der FunktionF(x), dann:

6 (Invarianz von Integrationsformeln). Jede Integrationsformel behält ihre Form, wenn die Integrationsvariable durch eine differenzierbare Funktion dieser Variablen ersetzt wird:

Wou ist eine differenzierbare Funktion.

Tabelle der unbestimmten Integrale.

Geben wir Grundregeln für die Integration von Funktionen.

Geben wir Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale.(Beachten Sie, dass hier, wie in der Differentialrechnung, der Buchstabe u kann als unabhängige Variable bezeichnet werden (u=X) und eine Funktion der unabhängigen Variablen (u=du(X)).)

Es werden die Integrale 1 – 17 aufgerufen tabellarisch.

Einige der obigen Formeln in der Integraltabelle, die kein Analogon in der Ableitungstabelle haben, werden durch Differenzieren ihrer rechten Seiten verifiziert.

Änderung der Variablen und Integration nach Teilen in nicht bestimmtes Integral.

Integration durch Substitution (Variablenersatz). Lassen Sie es notwendig sein, das Integral zu berechnen

Satz. Lassen Sie die Funktionx=φ(t) ist auf einer bestimmten Menge T definiert und differenzierbar und sei X die Wertemenge dieser Funktion, auf der die Funktion definiert istF(X). Dann wenn auf der Menge X die FunktionF(

Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Fakt 1. Integration ist die umgekehrte Aktion der Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion ist somit wiederhergestellt F(X) wird genannt Stammfunktion für Funktion F(X).

Definition 1. Funktion F(X F(X) in einem bestimmten Intervall X, wenn für alle Werte X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit F "(X)=F(X), also diese Funktion F(X) ist die Ableitung der Stammfunktion F(X). .

Zum Beispiel die Funktion F(X) = Sünde X ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = cos X auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde X)" = (cos X) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion F(X) ist die Menge aller seiner Stammfunktionen. In diesem Fall wird die Notation verwendet

∫

F(X)dx

Wo ist das Schild? ∫ nennt man das Integralzeichen, die Funktion F(X) – Integrandenfunktion und F(X)dx – Integrandenausdruck.

Also, wenn F(X) – eine Stammfunktion für F(X) , Das

∫

F(X)dx = F(X) +C

Wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angemessen. Lass es eine Tür geben (traditionell Holztür). Seine Funktion besteht darin, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Aus Holz gemacht. Das bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden der Funktion „eine Tür sein“, also ihr unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, was in diesem Zusammenhang möglich ist bezeichnen beispielsweise die Baumart. So wie eine Tür mit einigen Werkzeugen aus Holz hergestellt wird, wird mit Hilfe einer Stammfunktion eine Ableitung einer Funktion „erstellt“. Formeln, die wir beim Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ähnelt die Funktionstabelle allgemeiner Objekte und ihrer entsprechenden Stammfunktionen („eine Tür sein“ – „ein Baum sein“, „ein Löffel sein“ – „metall sein“ usw.) der Tabelle der Grundfunktionen unbestimmte Integrale, die weiter unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet häufig vorkommende Funktionen mit Angabe der Stammfunktionen auf, aus denen diese Funktionen „erstellt“ sind. In einem Teil der Probleme zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden Integranden angegeben, die ohne großen Aufwand direkt, also über die Tabelle der unbestimmten Integrale, integriert werden können. Bei komplexeren Problemen muss zunächst der Integrand transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Fakt 2. Bei der Wiederherstellung einer Funktion als Stammfunktion müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen. C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Menge von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante schreiben C, zum Beispiel so: 5 X³+C. Im Ausdruck der Stammfunktion ist also eine beliebige Konstante (Konstante) enthalten, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, zum Beispiel 5 X³+4 oder 5 X³+3 und bei der Differenzierung gehen 4 oder 3 oder jede andere Konstante auf Null.

Stellen wir das Integrationsproblem: für diese Funktion F(X) Finde eine solche Funktion F(X), deren Ableitung gleich F(X).

Beispiel 1. Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(X) heißt Stammfunktion der Funktion F(X), wenn die Ableitung F(X) ist gleich F(X) oder, was dasselbe ist, Differential F(X) ist gleich F(X) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion eine Stammfunktion der Funktion. Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie dienen auch als Funktionen

Wo MIT- Willkürliche Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie unendlich viele Stammfunktionen, die sich um einen konstanten Term unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in der obigen Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Satz (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn F(X) – Stammfunktion für die Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für F(X) im gleichen Intervall können in der Form dargestellt werden F(X) + C, Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Im nächsten Beispiel wenden wir uns der Tabelle der Integrale zu, die in Absatz 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir die gesamte Tabelle lesen, damit das Wesentliche des oben Gesagten klar wird. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2. Finden Sie Mengen von Stammfunktionen:

Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen „gemacht“ werden. Wenn wir Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren wir vorerst einfach, dass es dort solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale selbst etwas genauer studieren.

1) Anwendung der Formel (7) aus der Integraltabelle für N= 3, wir erhalten

2) Verwendung der Formel (10) aus der Integraltabelle für N= 1/3, wir haben

3) Seitdem

dann nach Formel (7) mit N= -1/4 finden wir

Unter dem Integralzeichen wird nicht die Funktion selbst geschrieben. F und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht in erster Linie, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist der Integrand in beiden Fällen gleich , aber seine unbestimmten Integrale in den betrachteten Fällen erweisen sich als unterschiedlich. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion der Variablen betrachtet X und im zweiten - als Funktion von z .

Der Vorgang, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Angenommen, wir müssen eine Kurve finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass der Tangens des Tangentenwinkels an jedem seiner Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Tangens der Neigungswinkel der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert der Ableitung F"(x). Wir müssen also eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). In der Aufgabe erforderliche Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Die Bedingungen des Problems werden nicht von einer Kurve, sondern von einer Kurvenschar erfüllt. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus erhalten werden Parallelübertragung entlang der Achse Oy.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) Integralkurve. Wenn F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) Es gibt eine Integralkurve.

Fakt 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt , wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Koordinatenursprung wird durch eine beliebige Integrationskonstante bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Fakt 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Unbestimmtes Integral des Differentials einer Funktion F(X) ist gleich der Funktion F(X) bis zu einem konstanten Begriff , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differenzierung und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Fakt 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden , d.h.