Höhere Mathematik für Dummies oder wo anfangen? Die mathematische Analyse ist nicht so schwierig, wie Sie denken. Die Theorie der mathematischen Analyse

angerufen durch sein Taylor-Polynom (Grad n).durch Potenzen x-x 0:

(Taylor-Formel); in diesem Fall der Näherungsfehler

tendiert gegen Null als

schneller als

Somit kann die Funktion f(x) in der Umgebung des Punktes x 0 mit beliebiger Genauigkeit durch eine sehr einfache Funktion (Polynom) angenähert werden, deren Berechnung nur Arithmetik erfordert. Operationen - Addition, Subtraktion und Multiplikation.

Besonders wichtig sind die sogenannten. Funktionen, die in einer bestimmten Umgebung von x 0 analytisch sind und unendlich viele Ableitungen haben, so dass sie für sie in dieser Umgebung bei in Form einer unendlichen Taylor-Potenzreihe dargestellt werden können:

Unter bestimmten Voraussetzungen sind Taylor-Entwicklungen auch für Funktionen vieler Variablen sowie für Funktionale und Operatoren möglich.

Historische Referenz. Bis ins 17. Jahrhundert M. a. war eine Reihe von Lösungen für isolierte Einzelprobleme; In der Integralrechnung handelt es sich beispielsweise um Probleme bei der Berechnung der Flächen von Figuren, des Volumens von Körpern mit gekrümmten Grenzen, der Arbeit einer variablen Kraft usw. Jedes Problem oder einzelne Problem wurde mit seiner eigenen Methode gelöst, manchmal komplex und umständlich ( Zur Vorgeschichte der Mathematik siehe Artikel Infinitesimalrechnung), M. a. als eine einzige und systematische Das Ganze wurde in den Werken von I. Newton, G. Leibniz, L. Euler, J. Lagrange und anderen Wissenschaftlern des 17.-18. Jahrhunderts gebildet, und seine Grenzwerttheorie wurde von O. Komi (A. Cauchy) entwickelt der Anfang. 19. Jahrhundert Eine eingehende Analyse der ursprünglichen Konzepte von MA. war mit der Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert verbunden. Mengenlehre, Maßtheorie, Theorie der Funktionen einer reellen Variablen und führte zu verschiedenen Verallgemeinerungen.

Zündete.: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Kurs zur Analysis von Infinitesimalzahlen, trans. aus Französisch, Bd. 1-2, M., 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Grundlagen der mathematischen Analyse, 3. Aufl., Teil 1, M., 1971; 2. Aufl., Teil 2, M., 1980; Il und N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Mathematical Analysis, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Mathematische Analyse, 2. Auflage, Bd. 1-2, 1973; Nikolsky S. M., Kurs der mathematischen Analyse, 2. Aufl., Bd. 1-2, 1975; U i t t e k e r E. T., V a tson D. J. N., Kurs der modernen Analyse, trans. aus dem Englischen, Teile 1-2, 2. Aufl., M., 1962-63; Fiktengolts G.M., Course of Differential and Integral Calculus, 7. Aufl., Bd. 1-2, M., 1970; 5. Aufl., Bd. 3, M., 1970. S. M. Nikolsky.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

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Eine Reihe von Zweigen der Mathematik, die sich der Untersuchung von Funktionen mit Methoden der Differential- und Integralrechnung widmen. Der Begriff ist eher pädagogisch als wissenschaftlich: Kurse in mathematischer Analyse werden an Universitäten und technischen Schulen angeboten ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Englisch mathematische Analyse Deutsch mathematische Analyse. Ein Zweig der Mathematik, der sich der Untersuchung von Funktionen mithilfe von Methoden der Differential- und Integralrechnung widmet. Antinazi. Enzyklopädie der Soziologie, 2009 ... Enzyklopädie der Soziologie

Substantiv, Anzahl der Synonyme: 2 matan (2) mathematische Analyse (2) ASIS-Wörterbuch der Synonyme. V.N. Trishin. 2013… Synonymwörterbuch

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mathematische Analyse- — DE mathematische Analyse Der Zweig der Mathematik, der sich am explizitesten mit dem Grenzwertprozess oder dem Konzept der Konvergenz befasst; umfasst die Differenzierungstheorien,… … Leitfaden für technische Übersetzer

Mathematische Analyse- MATHEMATISCHE ANALYSE, eine Reihe von Zweigen der Mathematik, die sich der Untersuchung von Funktionen mit Methoden der Differentialrechnung und der Integralrechnung widmen. ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Der Inhalt des Artikels

MATHEMATISCHE ANALYSE, ein Zweig der Mathematik, der Methoden zur quantitativen Untersuchung verschiedener Veränderungsprozesse bereitstellt; befasst sich mit der Untersuchung der Änderungsgeschwindigkeit (Differentialrechnung) und der Bestimmung der Längen von Kurven, Flächen und Volumina von Figuren, die durch gekrümmte Konturen und Flächen begrenzt werden (Integralrechnung). Typisch für Probleme der mathematischen Analysis ist, dass ihre Lösung mit dem Begriff eines Grenzwertes verbunden ist.

Der Beginn der mathematischen Analyse wurde 1665 von I. Newton und (um 1675) unabhängig von G. Leibniz gelegt, obwohl wichtige Vorarbeiten von I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647) geleistet wurden. P. Fermat (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) und I. Barrow (1630–1677).

Um die Darstellung anschaulicher zu gestalten, greifen wir auf die Sprache der Grafiken zurück. Daher kann es für den Leser hilfreich sein, sich den Artikel ANALYTISCHE GEOMETRIE anzusehen, bevor er mit der Lektüre dieses Artikels beginnt.

DIFFERENTIALRECHNUNG

Tangenten.

In Abb. 1 zeigt einen Ausschnitt der Kurve j = 2X – X 2, eingeschlossen dazwischen X= –1 und X= 3. Ausreichend kleine Abschnitte dieser Kurve sehen gerade aus. Mit anderen Worten, wenn R ein beliebiger Punkt dieser Kurve ist, dann gibt es eine bestimmte Gerade, die durch diesen Punkt verläuft und eine Annäherung an die Kurve in einer kleinen Umgebung des Punktes darstellt R, und je kleiner die Nachbarschaft, desto besser ist die Näherung. Eine solche Linie wird als Tangente an die Kurve am Punkt bezeichnet R. Die Hauptaufgabe der Differentialrechnung besteht darin, eine allgemeine Methode zu konstruieren, die es ermöglicht, die Richtung einer Tangente an jedem Punkt einer Kurve zu bestimmen, an dem eine Tangente existiert. Es ist nicht schwer, sich eine Kurve mit einem scharfen Bruch vorzustellen (Abb. 2). Wenn R ist der Scheitelpunkt eines solchen Bruchs, dann können wir eine annähernd gerade Linie konstruieren P.T. 1 – rechts vom Punkt R und eine weitere annähernde Gerade RT 2 – links vom Punkt R. Aber es gibt keine einzelne Gerade, die durch einen Punkt geht R, der sich der Kurve in der Nähe des Punktes gleich gut annäherte P sowohl rechts als auch links, daher die Tangente am Punkt P existiert nicht.

In Abb. 1 Tangente AUS durch den Ursprung gezogen UM= (0,0). Die Steigung dieser Geraden beträgt 2, d.h. Wenn sich die Abszisse um 1 ändert, erhöht sich die Ordinate um 2. Wenn X Und j– Koordinaten eines beliebigen Punktes auf AUS, dann wegbewegen UM auf eine Distanz X Einheiten nach rechts, von denen wir uns entfernen UM am 2 j Einheiten auf. Somit, j/X= 2, oder j = 2X. Dies ist die Tangentengleichung AUS zur Kurve j = 2X – X 2 am Punkt UM.

Nun muss erklärt werden, warum, und zwar aus der Menge der durch den Punkt verlaufenden Linien UM, wird die Gerade gewählt AUS. Wie unterscheidet sich eine Gerade mit der Steigung 2 von anderen Geraden? Es gibt eine einfache Antwort, und es ist schwer, der Versuchung zu widerstehen, sie mit der Analogie einer Tangente an einen Kreis zu geben: der Tangente AUS hat nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve, während jede andere nicht vertikale Linie durch den Punkt verläuft UM, schneidet die Kurve zweimal. Dies kann wie folgt überprüft werden.

Da der Ausdruck j = 2X – X 2 kann durch Subtraktion erhalten werden X 2 von j = 2X(Liniengleichungen AUS), dann die Werte j es gibt weniger Wissen für die Grafik j für eine gerade Linie an allen Punkten außer dem Punkt X= 0. Daher ist der Graph überall außer dem Punkt UM, befindet sich unten AUS, und diese Linie und der Graph haben nur einen gemeinsamen Punkt. Darüber hinaus, wenn j = mx- Gleichung einer anderen Geraden, die durch einen Punkt verläuft UM, dann wird es auf jeden Fall zwei Schnittpunkte geben. Wirklich, mx = 2X – X 2 nicht nur wann X= 0, aber auch bei X = 2 – M. Und nur wann M= 2 beide Schnittpunkte fallen zusammen. In Abb. 3 zeigt den Fall, wenn M ist kleiner als 2, also rechts von UM ein zweiter Schnittpunkt erscheint.

Was AUS– die einzige nicht vertikale Gerade, die durch einen Punkt geht UM und es gibt nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen, nicht dessen wichtigste Eigenschaft. Wenn wir uns tatsächlich anderen Graphen zuwenden, wird schnell klar, dass die Tangenteneigenschaft, die wir festgestellt haben, im allgemeinen Fall nicht erfüllt ist. Zum Beispiel aus Abb. In Abb. 4 Es ist klar, dass sich in der Nähe des Punktes (1,1) der Graph der Kurve befindet j = X 3 wird durch eine gerade Linie gut angenähert RT was jedoch mehr als einen gemeinsamen Punkt mit sich hat. Wir möchten jedoch darüber nachdenken RT Tangente an diesen Graphen im Punkt R. Daher ist es notwendig, einen anderen Weg zu finden, die Tangente hervorzuheben, als den, der uns im ersten Beispiel so gut geholfen hat.

Nehmen wir das durch den Punkt an UM und ein beliebiger Punkt Q = (H,k) im Kurvendiagramm j = 2X – X In Abb. 2 (Abb. 5) wird eine gerade Linie (Sekante genannt) gezeichnet. Einsetzen der Werte in die Kurvengleichung X = H Und j = k, das verstehen wir k = 2H – H 2, daher ist der Winkelkoeffizient der Sekante gleich

Bei sehr klein H Bedeutung M nahe bei 2. Darüber hinaus wählen H nahe genug an 0 können wir tun M willkürlich nahe bei 2. Das können wir sagen M„strebt an die Grenze“ gleich 2 wenn H tendiert gegen Null oder was auch immer der Grenzwert sein mag M entspricht 2 at H tendiert gegen Null. Symbolisch wird es so geschrieben:

Dann die Tangente an den Graphen am Punkt UM ist definiert als eine gerade Linie, die durch einen Punkt verläuft UM, mit einer Steigung gleich dieser Grenze. Diese Definition einer Tangente gilt im allgemeinen Fall.

Lassen Sie uns die Vorteile dieses Ansatzes anhand eines weiteren Beispiels zeigen: Lassen Sie uns die Steigung der Tangente an den Kurvengraphen ermitteln j = 2X – X 2 zu jedem Zeitpunkt P = (X,j), nicht auf den einfachsten Fall beschränkt, wenn P = (0,0).

Lassen Q = (X + H, j + k) – der zweite Punkt im Diagramm, der sich in einiger Entfernung befindet H rechts von R(Abb. 6). Wir müssen die Steigung finden k/H Sekante PQ. Punkt Q liegt in einiger Entfernung

oberhalb der Achse X.

Wenn wir die Klammern öffnen, finden wir:

Subtrahieren von dieser Gleichung j = 2X – X 2. Ermitteln Sie den vertikalen Abstand vom Punkt R auf den Punkt Q:

Daher die Steigung M Sekante PQ gleicht

Nun das H tendiert gegen Null, M tendiert zu 2 – 2 X; Den letzten Wert nehmen wir als Winkelkoeffizient der Tangente P.T.. (Das gleiche Ergebnis wird auftreten, wenn H nimmt negative Werte an, was der Auswahl eines Punktes entspricht Q links von P.) Beachten Sie, wann X= 0 stimmt das erhaltene Ergebnis mit dem vorherigen überein.

Ausdruck 2 – 2 X heißt die Ableitung von 2 X – X 2. Früher wurde die Ableitung auch „Differentialverhältnis“ und „Differentialkoeffizient“ genannt. Wenn nach Ausdruck 2 X – X 2 bezeichnen F(X), d.h.

dann kann die Ableitung bezeichnet werden

Um die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen herauszufinden j = F(X) Irgendwann muss man einwechseln Fў ( X) Wert, der diesem Punkt entspricht X. Also die Steigung Fў (0) = 2 at X = 0, Fў (0) = 0 bei X= 1 und Fў (2) = –2 at X = 2.

Die Ableitung wird ebenfalls bezeichnet beiў , dy/dx, D x y Und Du.

Die Tatsache, dass die Kurve j = 2X – X 2 in der Nähe eines gegebenen Punktes praktisch nicht von seiner Tangente an diesem Punkt zu unterscheiden ist, erlaubt es uns, vom Winkelkoeffizienten der Tangente als „Winkelkoeffizient der Kurve“ am Tangentialpunkt zu sprechen. Wir können also sagen, dass die Steigung der Kurve, die wir betrachten, am Punkt (0,0) eine Steigung von 2 hat. Wir können das auch sagen, wenn X= 0 Änderungsrate j verhältnismäßig X ist gleich 2. Am Punkt (2,0) beträgt die Steigung der Tangente (und der Kurve) –2. (Das Minuszeichen bedeutet, dass wir zunehmen X Variable j nimmt ab.) Am Punkt (1,1) ist die Tangente horizontal. Wir sagen, es ist eine Kurve j = 2X – X 2 hat zu diesem Zeitpunkt einen stationären Wert.

Höhen und Tiefen.

Wir haben gerade gezeigt, dass die Kurve F(X) = 2X – X 2 ist stationär im Punkt (1,1). Als Fў ( X) = 2 – 2X = 2(1 – X), es ist klar, wann X, weniger als 1, Fў ( X) ist positiv und daher j erhöht sich; bei X, groß 1, Fў ( X) ist negativ und daher j nimmt ab. In der Nähe des Punktes (1,1), der in Abb. 6 Buchstaben M, Bedeutung bei wächst bis zu einem Punkt M, stationär im Punkt M und nimmt nach dem Punkt ab M. Dieser Punkt wird wegen des Wertes „Maximum“ genannt bei zu diesem Zeitpunkt einen seiner Werte in einer ausreichend kleinen Nachbarschaft überschreitet. Ebenso ist das „Minimum“ als der Punkt definiert, in dessen Nähe sich alle Werte befinden j den Wert überschreiten bei genau an diesem Punkt. Es kann auch vorkommen, dass zwar die Ableitung von F(X) an einem bestimmten Punkt und verschwindet; sein Vorzeichen in der Nähe dieses Punktes ändert sich nicht. Ein solcher Punkt, der weder ein Maximum noch ein Minimum ist, wird Wendepunkt genannt.

Als Beispiel suchen wir den stationären Punkt der Kurve

Die Ableitung dieser Funktion ist gleich

und geht gegen Null X = 0, X= 1 und X= –1; diese. an den Punkten (0,0), (1, –2/15) und (–1, 2/15). Wenn X also etwas weniger als –1 Fў ( X) ist negativ; Wenn X also etwas mehr als –1 Fў ( X) ist positiv. Daher ist der Punkt (–1, 2/15) das Maximum. Ebenso kann gezeigt werden, dass der Punkt (1, –2/15) ein Minimum ist. Aber die Ableitung Fў ( X) ist sowohl vor dem Punkt (0,0) als auch danach negativ. Daher ist (0,0) der Wendepunkt.

Die Untersuchung der Form der Kurve sowie der Tatsache, dass die Kurve die Achse schneidet X bei F(X) = 0 (d. h. wann X= 0 oder ) erlauben es uns, seinen Graphen ungefähr so ​​darzustellen, wie in Abb. 7.

Wenn wir ungewöhnliche Fälle ausschließen (Kurven mit geraden Segmenten oder unendlich vielen Biegungen), gibt es im Allgemeinen vier Optionen für die relative Position der Kurve und der Tangente in der Nähe des Tangentenpunkts R. (Cm. Reis. 8, auf der die Tangente eine positive Steigung hat.)

1) Auf beiden Seiten des Punktes R die Kurve liegt oberhalb der Tangente (Abb. 8, A). In diesem Fall sagen sie, dass die Kurve am Punkt ist R konvex nach unten oder konkav.

2) Auf beiden Seiten des Punktes R die Kurve liegt unterhalb der Tangente (Abb. 8, B). In diesem Fall spricht man von einer nach oben konvexen Kurve oder einfach von einer konvexen Kurve.

3) und 4) Die Kurve liegt oberhalb der Tangente auf einer Seite des Punktes R und unten - auf der anderen Seite. In diesem Fall R- Wendepunkt.

Werte vergleichen Fў ( X) auf beiden Seiten von R mit seinem Wert am Punkt R kann man bestimmen, mit welchem ​​dieser vier Fälle man es bei einem bestimmten Problem zu tun hat.

Anwendungen.

All dies hat wichtige Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Wenn beispielsweise ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 200 Fuß pro Sekunde senkrecht nach oben geschleudert wird, dann beträgt die Höhe S, auf dem sie sich befinden werden T Sekunden im Vergleich zum Startpunkt betragen

Gehen wir genauso vor wie in den von uns betrachteten Beispielen, finden wir

diese Größe geht bei c auf Null. Derivat Fў ( X) ist bis zum Wert c positiv und nach dieser Zeit negativ. Somit, S steigt auf , wird dann stationär und nimmt dann ab. Dies ist eine allgemeine Beschreibung der Bewegung eines nach oben geworfenen Körpers. Daraus wissen wir, wann der Körper seinen höchsten Punkt erreicht. Als nächstes ersetzen T= 25/4 V F(T), erhalten wir 625 Fuß, die maximale Hubhöhe. In diesem Problem Fў ( T) hat eine physikalische Bedeutung. Diese Ableitung gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt T.

Betrachten wir nun eine Anwendung eines anderen Typs (Abb. 9). Aus einem Karton mit einer Fläche von 75 cm2 müssen Sie eine Schachtel mit quadratischem Boden herstellen. Welche Maße sollte diese Box haben, damit sie ein maximales Volumen hat? Wenn X– Seite des Kastenbodens und H ist seine Höhe, dann ist das Volumen der Box V = X 2 H, und die Oberfläche beträgt 75 = X 2 + 4xh. Wenn wir die Gleichung umwandeln, erhalten wir:

Ableitung von V stellt sich als gleich heraus

und geht gegen Null X= 5. Dann

Und V= 125/2. Graph einer Funktion V = (75X – X 3)/4 ist in Abb. dargestellt. 10 (negative Werte X weggelassen, da es in diesem Problem keine physikalische Bedeutung hat).

Derivate.

Eine wichtige Aufgabe der Differentialrechnung ist die Entwicklung von Methoden, mit denen Sie schnell und bequem Ableitungen finden können. Das lässt sich zum Beispiel leicht berechnen

(Die Ableitung einer Konstanten ist natürlich Null.) Es ist nicht schwer, eine allgemeine Regel abzuleiten:

Wo N– jede ganze Zahl oder jeder Bruch. Zum Beispiel,

(Dieses Beispiel zeigt, wie nützlich gebrochene Exponenten sind.)

Hier sind einige der wichtigsten Formeln:

Es gibt auch die folgenden Regeln: 1) wenn jede der beiden Funktionen G(X) Und F(X) Ableitungen hat, dann ist die Ableitung ihrer Summe gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen und die Ableitung der Differenz ist gleich der Differenz der Ableitungen, d.h.

2) Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen wird nach der Formel berechnet:

3) Die Ableitung des Verhältnisses zweier Funktionen hat die Form

4) Die Ableitung einer Funktion multipliziert mit einer Konstante ist gleich der Konstante multipliziert mit der Ableitung dieser Funktion, d.h.

Es kommt häufig vor, dass die Werte einer Funktion Schritt für Schritt berechnet werden müssen. Zum Beispiel, um die Sünde zu berechnen X 2, müssen wir zuerst finden u = X 2, und berechnen Sie dann den Sinus der Zahl u. Die Ableitung solch komplexer Funktionen ermitteln wir mit der sogenannten „Kettenregel“:

In unserem Beispiel F(u) = Sünde u, Fў ( u) = cos u, somit,

Mit diesen und anderen ähnlichen Regeln können Sie Ableitungen vieler Funktionen sofort aufschreiben.

Lineare Näherungen.

Die Tatsache, dass wir, wenn wir die Ableitung kennen, in vielen Fällen den Graphen einer Funktion in der Nähe eines bestimmten Punktes durch ihre Tangente an diesem Punkt ersetzen können, ist von großer Bedeutung, da es einfacher ist, mit Geraden zu arbeiten.

Diese Idee findet direkte Anwendung bei der Berechnung von Näherungswerten von Funktionen. Es ist beispielsweise ziemlich schwierig, den Wert wann zu berechnen X= 1,033. Aber Sie können die Tatsache nutzen, dass die Zahl 1,033 nahe bei 1 liegt und dass . Nah X= 1 können wir den Graphen durch eine Tangentenkurve ersetzen, ohne gravierende Fehler zu machen. Der Winkelkoeffizient einer solchen Tangente ist gleich dem Wert der Ableitung ( X 1/3)ў = (1/3) X–2/3 bei x = 1, d.h. 1/3. Da Punkt (1,1) auf der Kurve liegt und der Winkelkoeffizient der Tangente an die Kurve an diesem Punkt gleich 1/3 ist, hat die Tangentengleichung die Form

Auf dieser geraden Linie X = 1,033

Erhaltener Wert j sollte sehr nahe am wahren Wert liegen j; und tatsächlich ist es nur 0,00012 mehr als der wahre Wert. In der mathematischen Analyse wurden Methoden entwickelt, die es ermöglichen, die Genauigkeit solcher linearer Näherungen zu erhöhen. Diese Methoden gewährleisten die Zuverlässigkeit unserer Näherungsberechnungen.

Das gerade beschriebene Verfahren legt eine nützliche Notation nahe. Lassen P– Punkt, der dem Funktionsgraphen entspricht F Variable X, und lassen Sie die Funktion F(X) ist differenzierbar. Ersetzen wir den Graphen der Kurve in der Nähe des Punktes R Tangente dazu, die an diesem Punkt gezeichnet wird. Wenn XÄnderung nach Wert H, dann ändert sich die Ordinate der Tangente um den Betrag H H F ў ( X). Wenn H sehr klein ist, dann dient der letztgenannte Wert als gute Näherung für die wahre Änderung der Ordinate j Grafik. Wenn stattdessen H Wir werden ein Symbol schreiben dx(Dies ist kein Produkt!), sondern eine Änderung der Ordinate j bezeichnen wir dy, dann bekommen wir dy = F ў ( X)dx, oder dy/dx = F ў ( X) (cm. Reis. elf). Daher statt Dy oder F ў ( X) wird das Symbol häufig zur Bezeichnung einer Ableitung verwendet dy/dx. Die Zweckmäßigkeit dieser Notation hängt hauptsächlich vom expliziten Auftreten der Kettenregel (Differenzierung einer komplexen Funktion) ab; in der neuen Notation sieht diese Formel so aus:

wo es impliziert wird bei hängt von der u, A u wiederum hängt davon ab X.

Größe dy Differential genannt bei; in Wirklichkeit kommt es darauf an zwei Variablen, nämlich: von X und Inkremente dx. Wenn das Inkrement dx sehr kleine Größe dy nahe an der entsprechenden Wertänderung liegt j. Aber gehen Sie davon aus, dass das Inkrement dx wenig, keine Notwendigkeit.

Ableitung einer Funktion j = F(X) haben wir benannt F ў ( X) oder dy/dx. Es ist oft möglich, die Ableitung der Ableitung zu bilden. Das Ergebnis heißt zweite Ableitung von F (X) und wird bezeichnet F ўў ( X) oder D 2 j/dx 2. Zum Beispiel, wenn F(X) = X 3 – 3X 2 also F ў ( X) = 3X 2 – 6X Und F ўў ( X) = 6X– 6. Eine ähnliche Notation wird für Ableitungen höherer Ordnung verwendet. Um jedoch eine große Anzahl von Strichen (entsprechend der Reihenfolge der Ableitung) zu vermeiden, kann die vierte Ableitung (zum Beispiel) geschrieben werden als F (4) (X) und die Ableitung N-te Ordnung als F (N) (X).

Es kann gezeigt werden, dass die Kurve an einem Punkt nach unten konvex ist, wenn die zweite Ableitung positiv ist, und nach oben konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist.

Wenn eine Funktion eine zweite Ableitung hat, dann ist die Wertänderung j, entsprechend dem Inkrement dx Variable X, kann mit der Formel näherungsweise berechnet werden

Diese Näherung ist normalerweise besser als die durch das Differential gegebene Fў ( X)dx. Es entspricht dem Ersetzen eines Teils der Kurve nicht durch eine gerade Linie, sondern durch eine Parabel.

Wenn die Funktion F(X) gibt es also Ableitungen höherer Ordnung

Der Restterm hat die Form

Wo X- eine Zahl dazwischen X Und X + dx. Das obige Ergebnis wird Taylor-Formel mit Restterm genannt. Wenn F(X) hat dann normalerweise Ableitungen aller Ordnungen Rn® 0 at N ® Ґ .

INTEGRALRECHNUNG

Quadrate.

Bei der Untersuchung der Bereiche krummliniger ebener Figuren offenbaren sich neue Aspekte der mathematischen Analyse. Probleme dieser Art versuchten die alten Griechen zu lösen, für die beispielsweise die Bestimmung der Kreisfläche eine der schwierigsten Aufgaben war. Große Erfolge bei der Lösung dieses Problems erzielte Archimedes, dem es auch gelang, die Fläche eines Parabelsegments zu ermitteln (Abb. 12). Mithilfe sehr komplexer Überlegungen bewies Archimedes, dass die Fläche eines Parabelsegments 2/3 der Fläche des umschriebenen Rechtecks ​​beträgt und daher in diesem Fall gleich (2/3)(16) = 32/ ist 3. Wie wir später sehen werden, lässt sich dieses Ergebnis leicht mit Methoden der mathematischen Analyse erzielen.

Die Vorgänger von Newton und Leibniz, vor allem Kepler und Cavalieri, lösten Probleme der Flächenberechnung krummliniger Figuren mit einer Methode, die man kaum als logisch fundiert bezeichnen kann, die sich aber als äußerst fruchtbar erwies. Als Wallis 1655 die Methoden von Kepler und Cavalieri mit den Methoden von Descartes (analytische Geometrie) kombinierte und sich die neu aufkommende Algebra zunutze machte, war die Bühne vollständig auf das Erscheinen von Newton vorbereitet.

Wallis teilte die Figur, deren Fläche berechnet werden musste, in sehr schmale Streifen ein, von denen er jeweils ungefähr ein Rechteck betrachtete. Dann addierte er die Flächen der annähernden Rechtecke und erhielt im einfachsten Fall den Wert, zu dem die Summe der Flächen der Rechtecke tendierte, wenn die Anzahl der Streifen gegen Unendlich ging. In Abb. Abbildung 13 zeigt Rechtecke, die einer gewissen Unterteilung der Fläche unter der Kurve in Streifen entsprechen j = X 2 .

Hauptsatz.

Die große Entdeckung von Newton und Leibniz ermöglichte es, den mühsamen Prozess des Erreichens der Grenze der Flächensumme zu eliminieren. Dies gelang durch einen neuen Blick auf den Bereichsbegriff. Der Punkt ist, dass wir uns die Fläche unter der Kurve so vorstellen müssen, wie sie durch die Bewegung einer Ordinate von links nach rechts erzeugt wird, und fragen müssen, mit welcher Geschwindigkeit sich die von der Ordinate überstrichene Fläche ändert. Den Schlüssel zur Beantwortung dieser Frage erhalten wir, wenn wir zwei Sonderfälle betrachten, bei denen das Gebiet im Voraus bekannt ist.

Beginnen wir mit der Fläche unter dem Graphen einer linearen Funktion j = 1 + X, da in diesem Fall die Fläche mithilfe der Elementargeometrie berechnet werden kann.

Lassen A(X) – Teil der zwischen der Geraden eingeschlossenen Ebene j = 1 + X und ein Segment OQ(Abb. 14). Während der Fahrt QP rechten Bereich A(X) erhöht sich. Mit welcher Geschwindigkeit? Die Beantwortung dieser Frage ist nicht schwer, da wir wissen, dass die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus seiner Höhe und der Hälfte der Summe seiner Grundflächen ist. Somit,

Rate der Flächenänderung A(X) wird durch seine Ableitung bestimmt

Wir sehen das Aў ( X) fällt mit der Ordinate zusammen bei Punkte R. Ist das ein Zufall? Versuchen wir, die in Abb. gezeigte Parabel zu überprüfen. 15. Bereich A (X) unter der Parabel bei = X 2 im Bereich von 0 bis X gleich A(X) = (1 / 3)(X)(X 2) = X 3/3. Die Änderungsrate dieses Bereichs wird durch den Ausdruck bestimmt

was genau mit der Ordinate übereinstimmt bei beweglicher Punkt R.

Wenn wir davon ausgehen, dass diese Regel im allgemeinen Fall gilt, so dass

ist die Änderungsrate der Fläche unter dem Funktionsgraphen j = F(X), dann kann diese für Berechnungen und andere Bereiche verwendet werden. Tatsächlich das Verhältnis Aў ( X) = F(X) drückt einen fundamentalen Satz aus, der wie folgt formuliert werden könnte: die Ableitung oder Rate der Flächenänderung als Funktion von X, gleich dem Funktionswert F (X) am Punkt X.

Zum Beispiel, um die Fläche unter dem Graphen einer Funktion zu ermitteln j = X 3 von 0 bis X(Abb. 16), sagen wir

Eine mögliche Antwort lautet:

seit der Ableitung von X 4/4 ist wirklich gleich X 3. Außerdem, A(X) ist gleich Null bei X= 0, wie es sein sollte, wenn A(X) ist in der Tat ein Bereich.

Die mathematische Analyse beweist, dass es keine andere Antwort als den obigen Ausdruck für gibt A(X), existiert nicht. Zeigen wir, dass diese Aussage plausibel ist, indem wir die folgende heuristische (nicht strenge) Argumentation verwenden. Angenommen, es gibt eine zweite Lösung IN(X). Wenn A(X) Und IN(X) „starten“ gleichzeitig vom Nullwert bei X= 0 und ändern sich ständig mit der gleichen Geschwindigkeit, dann können ihre Werte nicht sein X kann nicht anders werden. Sie müssen überall übereinstimmen; Daher gibt es eine einzigartige Lösung.

Wie kann man die Beziehung rechtfertigen? Aў ( X) = F(X) Im Algemeinen? Diese Frage kann nur beantwortet werden, indem man die Geschwindigkeit der Flächenveränderung als Funktion von untersucht X Im Algemeinen. Lassen M– der kleinste Wert der Funktion F (X) im Bereich von X Vor ( X + H), A M– der größte Wert dieser Funktion im gleichen Intervall. Dann kommt es zur Flächenvergrößerung beim Umzug X Zu ( X + H) muss zwischen den Flächen zweier Rechtecke eingeschlossen sein (Abb. 17). Die Grundflächen beider Rechtecke sind gleich H. Das kleinere Rechteck hat eine Höhe M und Bereich mh, größer bzw. M Und Mh. Auf dem Flächendiagramm versus X(Abb. 18) Es ist klar, dass sich die Abszisse ändert H, der Ordinatenwert (d. h. die Fläche) erhöht sich um den Betrag dazwischen mh Und Mh. Die Sekantensteigung in diesem Diagramm liegt zwischen M Und M. was passiert, wenn H tendiert gegen Null? Wenn der Graph einer Funktion j = F(X) ist dann stetig (d. h. enthält keine Diskontinuitäten). M, Und M neigen dazu F(X). Daher die Steigung Aў ( X) Diagramm der Fläche als Funktion von X gleicht F(X). Genau zu dieser Schlussfolgerung musste man gelangen.

Leibniz schlug die Fläche unter einer Kurve vor j = F(X) von 0 bis A Bezeichnung

In einem rigorosen Ansatz sollte dieses sogenannte bestimmte Integral als Grenzwert bestimmter Summen in der Art von Wallis definiert werden. Betrachtet man das oben erhaltene Ergebnis, ist es klar, dass dieses Integral berechnet wird, vorausgesetzt, wir können eine solche Funktion finden A(X), die verschwindet, wenn X= 0 und hat eine Ableitung Aў ( X), gleich F (X). Das Finden einer solchen Funktion wird üblicherweise als Integration bezeichnet, obwohl es angemessener wäre, diese Operation als Antidifferenzierung zu bezeichnen, was bedeutet, dass sie in gewissem Sinne die Umkehrung der Differenzierung ist. Im Fall eines Polynoms ist die Integration einfach. Zum Beispiel, wenn

was durch Differenzieren leicht zu überprüfen ist A(X).

Um die Fläche zu berechnen A 1 unter der Kurve j = 1 + X + X 2 /2, enthalten zwischen den Ordinaten 0 und 1, schreiben wir einfach

und, Ersetzen X= 1, wir erhalten A 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. Quadrat A(X) von 0 bis 2 ist gleich A 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Wie aus Abb. ersichtlich ist. In 19 ist die zwischen den Ordinaten 1 und 2 eingeschlossene Fläche gleich A 2 – A 1 = 11/3. Es wird normalerweise als bestimmtes Integral geschrieben

Bände.

Ähnliche Überlegungen machen es überraschend einfach, die Volumina von Rotationskörpern zu berechnen. Lassen Sie uns dies am Beispiel der Berechnung des Volumens einer Kugel demonstrieren, einem weiteren klassischen Problem, das die alten Griechen mit den ihnen bekannten Methoden nur mit großer Mühe lösen konnten.

Lassen Sie uns einen Teil der Ebene drehen, der sich innerhalb eines Viertelkreises mit Radius befindet R, in einem Winkel von 360° um die Achse X. Als Ergebnis erhalten wir eine Halbkugel (Abb. 20), deren Volumen wir bezeichnen V(X). Wir müssen die Geschwindigkeit bestimmen, mit der es zunimmt V(X) mit ansteigender X. Umziehen von X Zu X + H lässt sich leicht überprüfen, ob die Volumenzunahme kleiner ist als die Lautstärke P(R 2 – X 2)H Kreiszylinder mit Radius und Höhe H, und mehr als Volumen P[R 2 – (X + H) 2 ]H Zylinderradius und -höhe H. Daher auf dem Graphen der Funktion V(X) ist der Winkelkoeffizient der Sekante dazwischen eingeschlossen P(R 2 – X 2 und P[R 2 – (X + H) 2 ]. Wann H tendiert gegen Null, die Steigung tendiert dazu

Bei X = R wir bekommen

für das Volumen der Halbkugel, also 4 p r 3/3 für das Volumen der gesamten Kugel.

Eine ähnliche Methode ermöglicht es, die Längen von Kurven und die Flächen gekrümmter Flächen zu ermitteln. Zum Beispiel, wenn A(X) - Bogenlänge PR in Abb. 21, dann ist unsere Aufgabe die Berechnung Aў( X). Auf der heuristischen Ebene werden wir eine Technik verwenden, die es uns ermöglicht, nicht auf den üblichen Übergang zum Grenzwert zurückzugreifen, der für einen rigorosen Beweis des Ergebnisses erforderlich ist. Nehmen wir an, dass sich die Funktion ändert A(X) am Punkt R genauso wäre es, wenn die Kurve durch ihre Tangente ersetzt würde P.T. am Punkt P. Aber aus Abb. 21 ist beim Betreten direkt sichtbar H rechts oder links vom Punkt X entlang RT Bedeutung A(X) ändert sich zu

Daher die Änderungsrate der Funktion A(X) Ist

Um die Funktion selbst zu finden A(X), müssen Sie nur den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichheit integrieren. Es stellt sich heraus, dass die Integration für die meisten Funktionen recht schwierig ist. Daher macht die Entwicklung von Methoden der Integralrechnung einen großen Teil der mathematischen Analyse aus.

Stammfunktionen.

Jede Funktion, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion ist F(X), heißt Stammfunktion (oder Primitiv) für F(X). Zum Beispiel, X 3 /3 – Stammfunktion für die Funktion X 2 seit ( X 3 /3)ў = X 2. Natürlich X 3/3 ist nicht die einzige Stammfunktion der Funktion X 2 weil X 3 /3 + C ist auch eine Ableitung für X 2 für jede Konstante MIT. Im Folgenden stimmen wir jedoch zu, solche additiven Konstanten wegzulassen. Allgemein

Wo N ist eine positive ganze Zahl, da ( x n + 1/(N+ 1))ў = x n. Beziehung (1) ist in einem noch allgemeineren Sinne erfüllt, wenn N durch eine beliebige rationale Zahl ersetzen k, außer –1.

Eine beliebige Stammfunktion für eine gegebene Funktion F(X) wird üblicherweise als unbestimmtes Integral von bezeichnet F(X) und bezeichnen es in der Form

Da zum Beispiel (sin X)ў = cos X, die Formel ist gültig

In vielen Fällen, in denen es eine Formel für das unbestimmte Integral einer bestimmten Funktion gibt, kann diese in zahlreichen weithin veröffentlichten Tabellen unbestimmter Integrale gefunden werden. Integrale aus Elementarfunktionen sind tabellarisch (dazu gehören Potenzen, Logarithmen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, inverse trigonometrische Funktionen sowie ihre endlichen Kombinationen, die durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erhalten werden). Mithilfe von Tabellenintegralen können Sie Integrale komplexerer Funktionen berechnen. Es gibt viele Möglichkeiten, unbestimmte Integrale zu berechnen. Die gebräuchlichste davon ist die Variablensubstitution oder Substitutionsmethode. Es besteht darin, dass, wenn wir im unbestimmten Integral (2) ersetzen wollen X zu einer differenzierbaren Funktion X = G(u), dann ist es notwendig, dass das Integral unverändert bleibt X ersetzt durch Gў ( u)du. Mit anderen Worten, die Gleichheit

(Auswechslung 2 X = u, von wo 2 dx = du).

Lassen Sie uns eine andere Integrationsmethode vorstellen – die Methode der partiellen Integration. Es basiert auf der bereits bekannten Formel

Indem wir die linke und rechte Seite integrieren und dies berücksichtigen

Diese Formel wird als partielle Integrationsformel bezeichnet.

Beispiel 2. Sie müssen finden. Da cos X= (Sünde X)ў , das können wir schreiben

Aus (5), vorausgesetzt u = X Und v= Sünde X, wir bekommen

Und da (–cos X)ў = Sünde X wir glauben, dass

Es sollte betont werden, dass wir uns auf eine nur sehr kurze Einführung in ein sehr umfangreiches Thema beschränkt haben, in dem zahlreiche geniale Techniken angesammelt wurden.

Funktionen zweier Variablen.

Aufgrund der Kurve j = F(X) haben wir zwei Probleme betrachtet.

1) Ermitteln Sie den Winkelkoeffizienten der Tangente an die Kurve an einem bestimmten Punkt. Dieses Problem wird durch die Berechnung des Wertes der Ableitung gelöst Fў ( X) am angegebenen Punkt.

2) Finden Sie die Fläche unter der Kurve über dem Achsensegment X, begrenzt durch vertikale Linien X = A Und X = B. Dieses Problem wird durch die Berechnung eines bestimmten Integrals gelöst.

Jedes dieser Probleme hat im Fall einer Oberfläche eine Entsprechung z = F(X,j).

1) Finden Sie die Tangentialebene zur Oberfläche an einem bestimmten Punkt.

2) Finden Sie das Volumen unter der Oberfläche über dem Teil der Ebene xy, begrenzt durch eine Kurve MIT und von der Seite – senkrecht zur Ebene xy durch die Punkte der Grenzkurve gehen MIT (cm. Reis. 22).

Die folgenden Beispiele zeigen, wie diese Probleme gelöst werden.

Beispiel 4. Finden Sie die Tangentialebene zur Oberfläche

am Punkt (0,0,2).

Eine Ebene ist definiert, wenn zwei in ihr liegende Schnittlinien gegeben sind. Eine dieser Geraden ( l 1) Wir steigen ins Flugzeug xz (bei= 0), Sekunde ( l 2) – im Flugzeug yz (X = 0) (cm. Reis. 23).

Zunächst einmal, wenn bei= 0 also z = F(X,0) = 2 – 2X – 3X 2. Ableitung nach X, bezeichnet Fў X(X,0) = –2 – 6X, bei X= 0 hat den Wert –2. Gerade l 1 durch die Gleichungen gegeben z = 2 – 2X, bei= 0 – Tangente an MIT 1, Schnittlinien der Oberfläche mit der Ebene bei= 0. Ebenso, wenn X= 0 also F(0,j) = 2 – j – j 2 und die Ableitung nach bei sieht aus wie

Als Fў j(0,0) = –1, Kurve MIT 2 – Schnittlinie der Oberfläche mit der Ebene yz– hat eine Tangente l 2 durch die Gleichungen gegeben z = 2 – j, X= 0. Die gewünschte Tangentenebene enthält beide Geraden l 1 und l 2 und wird durch die Gleichung geschrieben

Dies ist die Gleichung der Ebene. Darüber hinaus erhalten wir direkt l 1 und l 2, vorausgesetzt dementsprechend, bei= 0 und X = 0.

Die Tatsache, dass Gleichung (7) tatsächlich eine Tangentenebene definiert, kann auf heuristischer Ebene überprüft werden, indem man feststellt, dass diese Gleichung Terme erster Ordnung enthält, die in Gleichung (6) enthalten sind, und dass Terme zweiter Ordnung in der Form - dargestellt werden können. Da dieser Ausdruck für alle Werte negativ ist X Und bei, außer X = bei= 0, Fläche (6) liegt überall bis auf den Punkt unterhalb der Ebene (7). R= (0,0,0). Wir können sagen, dass die Oberfläche (6) an diesem Punkt nach oben konvex ist R.

Beispiel 5. Finden Sie die Tangentialebene zur Oberfläche z = F(X,j) = X 2 – j 2 am Ursprung 0.

Auf der Oberfläche bei= 0 wir haben: z = F(X,0) = X 2 und Fў X(X,0) = 2X. An MIT 1, Schnittlinien, z = X 2. Am Punkt Ö die Steigung ist gleich Fў X(0,0) = 0. Im Flugzeug X= 0 wir haben: z = F(0,j) = –j 2 und Fў j(0,j) = –2j. An MIT 2, Schnittlinien, z = –j 2. Am Punkt Ö Kurvensteigung MIT 2 ist gleich Fў j(0,0) = 0. Da die Tangenten an MIT 1 und MIT 2 sind Achsen X Und bei, die Tangentenebene, die sie enthält, ist die Ebene z = 0.

Allerdings liegt unsere Oberfläche in der Nähe des Ursprungs nicht auf derselben Seite der Tangentenebene. Tatsächlich eine Kurve MIT 1 liegt überall, außer Punkt 0, über der Tangentenebene und der Kurve MIT 2 – jeweils darunter. Oberfläche schneidet Tangentenebene z= 0 in Geraden bei = X Und bei = –X. Eine solche Fläche soll im Ursprung einen Sattelpunkt haben (Abb. 24).

Partielle Ableitungen.

In den vorherigen Beispielen haben wir Ableitungen von verwendet F (X,j) Von X und von bei. Betrachten wir solche Ableitungen nun in einem allgemeineren Sinne. Wenn wir zum Beispiel eine Funktion aus zwei Variablen haben, F(X,j) = X 2 – xy, dann können wir an jedem Punkt zwei seiner „partiellen Ableitungen“ bestimmen, eine durch Differenzieren der Funktion nach X und Fixierung bei, das andere – differenzieren durch bei und Fixierung X. Die erste dieser Ableitungen wird als bezeichnet Fў X(X,j) oder ¶ F/¶ X; Zweitens – wie F f ў j. Wenn beide gemischten Derivate (von X Und bei, Von bei Und X) stetig sind, dann ¶ 2 F/¶ X¶ j= ¶ 2 F/¶ j¶ X; in unserem Beispiel ¶ 2 F/¶ X¶ j= ¶ 2 F/¶ j¶ X = –1.

Partielle Ableitung Fў X(X,j) gibt die Änderungsrate der Funktion an F am Punkt ( X,j) in Richtung zunehmend X, A Fў j(X,j) – Geschwindigkeit der Funktionsänderung F in Richtung zunehmend bei. Geschwindigkeit der Funktionsänderung F am Punkt ( X,bei) in Richtung einer geraden Linie, die einen Winkel bildet Q mit positiver Achsrichtung X, heißt Ableitung der Funktion F in Richtung; sein Wert ist eine Kombination aus zwei partiellen Ableitungen der Funktion f in der Tangentialebene ist nahezu gleich (bei klein dx Und dy) wahre Veränderung z Oberflächlich betrachtet, aber die Berechnung der Differenz ist normalerweise einfacher.

Die Formel, die wir bereits betrachtet haben, stammt aus der Methode der Variablenänderung, bekannt als Ableitung einer komplexen Funktion oder Kettenregel, im eindimensionalen Fall bei hängt von der X, A X hängt von der T, hat die Form:

Für Funktionen zweier Variablen hat eine ähnliche Formel die Form:

Die Konzepte und Notationen der partiellen Differenzierung lassen sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Insbesondere dann, wenn die Fläche implizit durch die Gleichung vorgegeben ist F(X,j,z) = 0 kann die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche eine symmetrischere Form erhalten: die Gleichung der Tangentenebene im Punkt ( x(x 2 /4)], dann überintegriert X von 0 auf 1. Das Endergebnis ist 3/4.

Formel (10) kann auch als sogenanntes Doppelintegral interpretiert werden, also als Grenze der Summe der Volumina elementarer „Zellen“. Jede dieser Zellen hat eine Basis D X D j und eine Höhe gleich der Höhe der Oberfläche über einem Punkt der rechteckigen Grundfläche ( cm. Reis. 26). Es lässt sich zeigen, dass beide Standpunkte zu Formel (10) gleichwertig sind. Doppelte Integrale werden verwendet, um Schwerpunkte und zahlreiche Momente zu ermitteln, die in der Mechanik vorkommen.

Eine strengere Begründung des mathematischen Apparats.

Bisher haben wir die Konzepte und Methoden der mathematischen Analyse auf einer intuitiven Ebene dargestellt und nicht davor zurückgeschreckt, auf geometrische Figuren zurückzugreifen. Es bleibt uns überlassen, kurz auf die strengeren Methoden einzugehen, die im 19. und 20. Jahrhundert aufkamen.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts, als die Ära des Sturms und Drucks in der „Erstellung der mathematischen Analyse“ endete, rückten Fragen nach ihrer Berechtigung in den Vordergrund. In den Werken von Abel, Cauchy und einer Reihe anderer herausragender Mathematiker wurden die Konzepte „Grenze“, „stetige Funktion“ und „konvergente Reihe“ genau definiert. Dies war notwendig, um eine logische Ordnung in die Grundlagen der mathematischen Analyse einzuführen und sie zu einem zuverlässigen Forschungsinstrument zu machen. Die Notwendigkeit einer gründlichen Begründung wurde noch offensichtlicher, nachdem Weierstrass 1872 Funktionen entdeckte, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar waren (der Graph solcher Funktionen weist an jedem Punkt einen Knick auf). Dieses Ergebnis hatte eine verblüffende Wirkung auf die Mathematiker, da es eindeutig ihrer geometrischen Intuition widersprach. Ein noch deutlicheres Beispiel für die Unzuverlässigkeit der geometrischen Intuition war die von D. Peano konstruierte kontinuierliche Kurve, die ein bestimmtes Quadrat vollständig ausfüllt, d.h. durch alle seine Punkte gehen. Diese und andere Entdeckungen führten zum Programm der „Arithmetisierung“ der Mathematik, d. h. Dies wird zuverlässiger, indem alle mathematischen Konzepte auf dem Konzept der Zahl basieren. Der geradezu puritanische Verzicht auf Klarheit in Werken über die Grundlagen der Mathematik hatte seine historische Berechtigung.

Nach modernen Maßstäben logischer Strenge ist es inakzeptabel, über die Fläche unter der Kurve zu sprechen j = F(X) und über dem Achsensegment X, auch wenn F- eine kontinuierliche Funktion, ohne zuvor die genaue Bedeutung des Begriffs „Fläche“ zu definieren und ohne festzustellen, dass die so definierte Fläche tatsächlich existiert. Dieses Problem wurde 1854 von B. Riemann erfolgreich gelöst, der den Begriff eines bestimmten Integrals genau definierte. Seitdem war die Idee der Summation hinter dem Konzept eines bestimmten Integrals Gegenstand vieler eingehender Studien und Verallgemeinerungen. Dadurch ist es heute möglich, dem bestimmten Integral eine Bedeutung zu geben, auch wenn der Integrand überall diskontinuierlich ist. Neue Integrationskonzepte, zu deren Entstehung A. Lebesgue (1875–1941) und andere Mathematiker einen großen Beitrag leisteten, steigerten die Kraft und Schönheit der modernen mathematischen Analyse.

Es wäre kaum angebracht, auf all diese und andere Konzepte im Detail einzugehen. Wir beschränken uns darauf, den Grenzwert und das bestimmte Integral streng zu definieren.

Abschließend lässt sich sagen, dass die mathematische Analyse als äußerst wertvolles Werkzeug in den Händen eines Wissenschaftlers und Ingenieurs auch heute noch die Aufmerksamkeit von Mathematikern als Quelle fruchtbarer Ideen auf sich zieht. Gleichzeitig scheint die moderne Entwicklung darauf hinzudeuten, dass die mathematische Analyse zunehmend von denjenigen übernommen wird, die im 20. Jahrhundert vorherrschen. Zweige der Mathematik wie abstrakte Algebra und Topologie.

Laut russischem Wörterbuch Analyse ist eine Methode der wissenschaftlichen Forschung, bei der einzelne Aspekte, Eigenschaften und Bestandteile einer Sache betrachtet werden. Einer der wichtigsten Zweige der Mathematik heißt mathematische Analyse, und oft sogar nur Analyse. Es stellt sich sofort die Frage: Was genau wird durch mathematische Analyse analysiert?? Die Antwort ist klar – Funktionen werden analysiert. Funktion(vom lateinischen „functionio“ – Umsetzung) stellt die Beziehung zwischen variablen numerischen Werten dar.

Da es sich bei der Analyse um eine Forschungsmethode handelt, stellt sich eine zweite Frage: Was ist das für eine Methode?? Die Antwort wird durch den zweiten Namen der mathematischen Analyse gegeben: Differential- und Integralrechnung. Infinitesimalrechnung ist der Zweig der Mathematik, der die Rechenregeln festlegt. Wort " Differential„ kommt vom lateinischen Wort „Differenzierung“, d.h. Unterschied. Wort " Integral„hat keinen so klaren Ursprung („ganzzahlig“ – ganz; „integra“ – wiederherstellen), aber es hat die Bedeutung, Teile zu einem Ganzen zu verbinden und das wiederherzustellen, was in Unterschiede zerbrochen wurde. Diese Wiederherstellung wird mit erreicht Summe.

Fassen wir die ersten Ergebnisse zusammen:

· Hauptobjekte, studiert in der mathematischen Analyse sind Funktionen.

· Funktionen sind Abhängigkeiten unterschiedlicher Art zwischen variablen Zahlenwerten.

· Die Methode der mathematischen Analyse ist die Differenzierung– Arbeiten mit Unterschieden in Funktionswerten und Integration– Berechnung der Beträge.

Um die mathematische Analyse zu beherrschen, müssen Sie daher zunächst das Konzept der Funktion verstehen. Funktion ist ein wesentliches mathematisches Konzept, da Funktionen eine mathematische Möglichkeit zur Beschreibung von Bewegung und Veränderung darstellen. Funktion ist ein Prozess.

Die wichtigste Bewegungsart ist die mechanische Bewegung in gerader Linie. Bei der Bewegung werden die von einem Objekt zurückgelegten Distanzen gemessen, dies reicht jedoch offensichtlich nicht aus, um die Bewegung vollständig zu beschreiben. Sowohl Achilles als auch die Schildkröte können sich vom Startpunkt aus um die gleiche Distanz bewegen, ihre Bewegung unterscheidet sich jedoch in der Geschwindigkeit, und Geschwindigkeit kann nicht ohne Zeitmessung gemessen werden.

Schon bei der Betrachtung dieses Beispiels wird deutlich, dass eine Variable nicht ausreicht, um Bewegung und Veränderung zu beschreiben. Es ist intuitiv klar, dass sich die Zeit gleichmäßig ändert, sich die Entfernung jedoch entweder schneller oder langsamer ändern kann. Die Bewegung wird vollständig beschrieben, wenn zu jedem Zeitpunkt bekannt ist, wie weit sich das Objekt vom Startpunkt entfernt hat. Bei mechanischer Bewegung entsteht also eine Entsprechung zwischen den Werten zweier variabler Größen – der Zeit, die sich unabhängig von allem ändert, und der Entfernung, die von der Zeit abhängt. Diese Tatsache bildet die Grundlage für die Definition einer Funktion. In diesem Fall heißen die beiden Variablen nicht mehr Zeit und Distanz.

Funktionsdefinition: Funktion – Ist das eine Regel oder ein Gesetz?, jedem Wert der unabhängigen Variablen zuweisen X spezifischer Wert der abhängigen Variablen bei . Unabhängige Variable X heißt ein Argument und das Abhängige bei – Funktion. Manchmal wird gesagt, dass eine Funktion eine Abhängigkeit zwischen zwei Variablen ist.

Wie kann man visualisieren, was eine Variable ist? Eine Variable ist ein Zahlenstrahl (Lineal oder Skala), entlang dem sich ein Punkt (Thermometer oder Stricknadel mit Perle) bewegt. Eine Funktion ist ein Getriebemechanismus mit zwei Fenstern x und y. Dieser Mechanismus ermöglicht die Installation in einem Fenster X beliebiger Wert und im Fenster bei Der Funktionswert wird automatisch mithilfe der Zahnräder angezeigt.

Problem 1. Die Temperatur des Patienten wird stündlich gemessen. Es gibt eine Funktion – die Abhängigkeit der Temperatur von der Zeit. Wie stellt man diese Funktion dar? Antwort: Tabelle und Grafik.

Eine Funktion ist stetig, ebenso wie Bewegung stetig ist, aber in der Praxis ist es unmöglich, diese Stetigkeit festzulegen. Sie können nur einzelne Argument- und Funktionswerte abfangen. Theoretisch ist es jedoch immer noch möglich, Kontinuität zu beschreiben.

Problem 2. Galileo Galilei entdeckte, dass ein frei fallender Körper in der ersten Sekunde eine Distanzeinheit, in der zweiten 3 Einheiten, in der dritten 5 Einheiten usw. zurücklegt. Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Zeit von der Distanz. Notiz: Leiten Sie eine allgemeine Formel für die Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke von der Streckenzahl ab.

Methoden zur Angabe von Funktionen.

Probleme der mathematischen Analyse.

Übergang von einer Darstellung einer Funktion zu einer anderen (Funktionswerte berechnen, analytische Näherungsfunktionen aus experimentellen numerischen und grafischen Daten konstruieren, Funktionen studieren und Graphen erstellen).

Mathematische Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion als Prozess. Beispiel 1: Suche nach Geschwindigkeit mithilfe einer bekannten Funktion von Weg und Zeit (Differenzierung). Beispiel 2: Finden eines Pfades mithilfe einer bekannten Funktion von Geschwindigkeit gegenüber der Zeit (Integration).

„...wenn ich einen Mechanismus mit dem einzigen Zweck entwickeln müsste, die natürliche Neugier eines Kindes und seine Liebe zum Modellieren zu zerstören, wäre es unwahrscheinlich, dass ich es besser gemacht hätte, als dies bereits erkannt wurde – ich hätte es einfach nicht getan.“ genug Vorstellungskraft, um mit solch unsensiblen, langweiligen Ideen zu konkurrieren, die in modernen Methoden des Mathematikstudiums verkörpert sind.“

Stellen Sie sich vor, Sie studieren Bildende Kunst so: Kinder, kein Zeichnen im Kindergarten. Lassen Sie uns stattdessen die Chemie von Farbprodukten, die Physik des Lichts und die Anatomie des Auges studieren. Wenn Kinder (oder besser gesagt Teenager) nach 12 Jahren Beschäftigung mit diesen Aspekten Kunst immer noch nicht hassen, können sie selbstständig mit dem Zeichnen beginnen. Letztendlich verfügen sie nun über eine vollständige Grundlage, um Kunst zu respektieren. Rechts?

Das Gleiche gilt für Poesie. Stellen Sie sich vor, Sie studieren dieses Zitat (Formel):

„Aber die Hauptsache ist: Sei dir selbst treu; Dann, so wie die Nacht auf den Tag folgt, wirst Du andere nicht verraten.“ -William Shakespeare, Hamlet

Es ist eine elegante Art zu sagen: „Sei du selbst“ (und wenn das bedeutet, respektlos über Mathematik zu schreiben, dann soll das so sein). Aber wenn wir im Mathematikunterricht Poesie studieren würden, würden wir, anstatt nach der Bedeutung zu suchen, die Anzahl der Silben zählen, jambische Pentameter analysieren und Substantive, Verben und Adjektive markieren.

Mathematik und Poesie sind wie verschiedene Arten, dasselbe zu erklären und zu charakterisieren. Formeln sind Mittel zum Zweck, eine Möglichkeit, mathematische Wahrheiten auszudrücken.

Wir haben vergessen, dass die Mathematik mit Ideen arbeitet; es handelt sich nicht um eine mechanische Manipulation von Formeln, die diese Ideen ausdrücken.

Nun, das ist alles klar. Was ist also Ihre großartige Idee?

Folgendes werde ich nicht tun: Ich werde bereits geschriebene Lehrbücher nicht noch einmal aufwärmen. Wenn Sie hier und jetzt Antworten benötigen, gibt es zahlreiche Websites, Video-Tutorials usw 20 Minuten helfen.

Lernen wir stattdessen die Grundprinzipien der mathematischen Analyse. Gleichungen reichen nicht aus – ich möchte Heureka-Momente, damit Sie ihre Bedeutung tatsächlich erkennen und die Sprache der Mathematik verstehen.

Formale mathematische Sprache ist einfach eine Art der Kommunikation. Grafiken, informative animierte Modelle und einfache Sprache können mehr Erkenntnisse liefern als eine Seite mit abstrusen Beweisen.

Aber die mathematische Analyse ist schwierig!

Ich denke, dass jeder die Grundprinzipien der mathematischen Analyse verstehen kann. Wir müssen keine Dichter sein, um Shakespeares Werke zu genießen.

Es wird Ihnen viel leichter fallen, wenn Sie Algebra beherrschen und sich für Mathematik interessieren. Vor nicht allzu langer Zeit waren Lesen und Schreiben die Arbeit speziell ausgebildeter Schreiber. Und heute kann das jedes 10-jährige Kind. Warum?

Weil wir es erwarten. Erwartungen spielen eine große Rolle bei der Entwicklung von Fähigkeiten. Erwarten Sie also, dass Infinitesimalrechnung nur ein weiteres Fach ist. Manche Menschen gehen bis ins kleinste Detail vor (Schriftsteller/Mathematiker). Aber der Rest von uns kann einfach bewundern, was passiert, und versuchen, es zu verstehen. Ich möchte, dass jeder die Grundkonzepte der Analysis beherrscht und „Wow!“ sagt.

Worum geht es also bei der Infinitesimalrechnung?

Das war ein einfaches Beispiel, aber haben Sie die Idee verstanden? Wir nahmen die Scheibe, teilten sie und setzten die Teile auf etwas andere Weise zusammen. Eine mathematische Analyse ergab, dass die Scheibe und der Ring eng miteinander verbunden sind: Die Scheibe besteht in Wirklichkeit aus einer Reihe von Ringen. Dies ist ein sehr beliebtes Thema in der Analysis: Große Objekte bestehen aus kleineren Objekten. Und manchmal ist es mit diesen kleinen Objekten einfacher und übersichtlicher zu arbeiten.

Ein wenig über Beispiele

Viele Beispiele in der Analysis basieren auf der Physik. Das ist natürlich wunderbar, aber es kann schwierig sein, sie wahrzunehmen: Ehrlich gesagt ist es nicht immer möglich, verschiedene physikalische Formeln im Kopf zu behalten, beispielsweise die Formel für die Geschwindigkeit eines Objekts.

Ich beginne gerne mit einfachen visuellen Beispielen, denn so funktioniert unser Gehirn. Der Ring/Kreis, den wir untersucht haben – Sie könnten dasselbe mit mehreren Rohrstücken mit unterschiedlichen Durchmessern simulieren: Trennen Sie sie, richten Sie sie aus und legen Sie sie in einem groben Dreieck aus, um zu sehen, ob die Rechnung tatsächlich funktioniert. Mit einer einfachen physikalischen Formel ist dies wahrscheinlich nicht möglich.

Ein wenig über mathematische Genauigkeit (für Fanatiker dieser Wissenschaft)

Ich habe das Gefühl, dass pedantische Mathematiker ihre Tastaturen verbrennen. Deshalb werde ich nur ein paar Worte zum Thema „Strenge“ einfügen. Wussten Sie, dass wir Infinitesimalrechnung nicht so lehren, wie Newton oder Leibniz sie entdeckt haben? Sie verwendeten die intuitiven Ideen von „Fluxion“ und „Infinitesimalen“, die durch Grenzen ersetzt wurden, weil „es natürlich in der Praxis funktioniert.“ Aber funktioniert das theoretisch?

Wir haben komplexe mechanische Modelle erstellt, um die Infinitesimalrechnung „exakt“ zu beweisen, aber im Prozess solcher Beweise haben wir unser intuitives Verständnis für das Thema verloren.

Wir betrachten die Süße von Zucker aus dem Blickwinkel der Gehirnchemie, anstatt sie wissenschaftlich zu erklären: „Zucker hat viel Energie.“ ISS es."

Ich möchte (und kann) weder Studenten Mathematik beibringen noch Wissenschaftler ausbilden. Aber wird es schlecht sein, wenn jeder die Infinitesimalrechnung auf dem „ungenauen“ Niveau verstehen kann, auf dem Newton sie verstand? Damit es auch für dich die Welt verändert, wie sie sich einst für ihn verändert hat?

Eine vorzeitige Fokussierung auf Genauigkeit treibt die Schüler auseinander und erschwert das Erlernen von Mathematik. Hier ist ein gutes Beispiel: Die Zahl e ist technisch gesehen als Grenzwert definiert, wurde aber genau mithilfe einer intuitiven Vermutung über das Wachstum von entdeckt. Der natürliche Logarithmus kann wie ein Integral oder eine Zeit aussehen, die wachsen muss. Welche Erklärungen eignen sich am besten für Anfänger?

Lassen Sie uns ein wenig mit der Hand zeichnen und nebenbei in die Chemie eintauchen. Viel Spaß beim Rechnen.

(P.S.: Ein freundlicher Leser hat eine animierte PowerPoint-Diashow erstellt, die dabei hilft, diese Idee klarer darzustellen (am besten sehen Sie sie sich in PowerPoint an, Sie werden die Animationen sehen). Danke!)

Zusammengestellt von Yu.V. Obrubov

Kaluga - 2012

Einführung in die mathematische Analysis.

Reale Nummern. Variablen und Konstanten.

Eines der Grundkonzepte der Mathematik ist Nummer. Man nennt die positiven Zahlen 1,2,3, ..., die man beim Zählen erhält natürlich. Die Zahlen... -3,-2,-1,0,1,2,3,... heißen ganze Zahlen. Zahlen, die als endliches Verhältnis zweier Ganzzahlen dargestellt werden können (
) werden genannt rational. Dazu gehören ganze Zahlen und Brüche, positive und negative Zahlen. Man nennt Zahlen, die durch unendliche nichtperiodische Brüche dargestellt werden irrational. Beispiele für irrationale Zahlen sind
,
. In der Menge der irrationalen Zahlen gibt es transzendental Zahlen. Dabei handelt es sich um Zahlen, die das Ergebnis nichtalgebraischer Operationen sind. Die bekanntesten davon sind die Nummer und Neperovo-Nummer . Man nennt rationale und irrationale Zahlen gültig . Reelle Zahlen werden durch Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht einer einzelnen reellen Zahl und umgekehrt entspricht jede reelle Zahl einem einzelnen Punkt auf der Zahlengeraden. Somit wird eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten auf der Zahlengeraden hergestellt. Dadurch ist es möglich, die Begriffe „Zahl a“ und „Punkt a“ gleichermaßen zu verwenden.

Bei der Untersuchung verschiedener physikalischer, wirtschaftlicher und sozialer Prozesse muss man sich häufig mit Größen befassen, die die numerischen Werte der Parameter der untersuchten Phänomene darstellen. Gleichzeitig verändern sich einige von ihnen, während andere ihre Werte behalten.

Variable ist eine Größe, die verschiedene Zahlenwerte annimmt. Eine Größe, deren Zahlenwert sich bei einem gegebenen Problem oder Experiment nicht ändert, wird aufgerufen Konstante. Variable Größen werden üblicherweise mit lateinischen Buchstaben bezeichnet
und Konstanten
.

Variablenwert gilt als gegeben, wenn die Menge der Werte bekannt ist, die es annehmen kann. Diese Menge wird als Variationsbereich der Variablen bezeichnet.

Es gibt verschiedene Arten von Wertemengen einer numerischen Variablen.

Intervall ist die Menge der Werte von x, die zwischen den Zahlen a und b enthalten ist, während die Zahlen a und b nicht zu der betreffenden Menge gehören. Das Intervall wird bezeichnet mit: (a,b);a

Nach Segment ist die Menge der Werte von x, die zwischen den Zahlen a und b enthalten ist, während die Zahlen a und b zu der betreffenden Menge gehören. Das Segment wird mit ,a≤x≤b bezeichnet.

Die Menge aller reellen Zahlen ist ein offenes Intervall. Bezeichnet durch: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R.

Umgebung von Punkt x 0 ist ein beliebiges Intervall (a,b), das den Punkt x 0 enthält, alle Punkte dieses Intervalls erfüllen die Ungleichunga

ε - Umgebung von Punkt a ist ein Intervall mit Mittelpunkt im Punkt a, das die Ungleichung a–ε erfüllt

Funktion. Grundlegende Definitionen und Konzepte.

Funktion ist eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse. Seien X und Y beliebige Mengen reeller Zahlen.

Wenn jede Zahl x X nach einer Regel oder einem Gesetz mit einer einzigen wohldefinierten reellen Zahl yY verknüpft ist, dann sagt man, dass dies gegeben ist Funktion mit dem Definitionsbereich von X und der Wertemenge von Y. Bezeichnet mit y = f(x). Die Variable x wird aufgerufen Streit Funktionen.

Bei der Definition einer Funktion sind zwei Punkte wichtig: die Angabe des Definitionsbereichs und die Festlegung des Korrespondenzgesetzes.

Definitionsbereich oder Bereich der Existenz Eine Funktion ist die Menge der Argumentwerte, für die die Funktion existiert, das heißt, sie macht Sinn.

Bereich wechseln Eine Funktion ist die Menge der Werte y, die sie bei gegebenen akzeptablen Werten von x annimmt.

Methoden zur Angabe einer Funktion.

Analytische Methode zur Angabe einer Funktion.

Bei dieser Methode zur Angabe einer Funktion wird das Korrespondenzgesetz in Form einer Formel (eines analytischen Ausdrucks) geschrieben, die angibt, durch welche mathematischen Transformationen der entsprechende Wert von y aus einem bekannten Wert des Arguments x ermittelt werden kann.

Eine Funktion kann durch einen analytischen Ausdruck in ihrem gesamten Definitionsbereich angegeben werden oder eine Sammlung mehrerer analytischer Ausdrücke darstellen.

Zum Beispiel: y = sin (x 2 + 1)

2. Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion

Als Ergebnis der direkten Beobachtung oder experimentellen Untersuchung eines Phänomens oder Prozesses werden die Werte des Arguments x und die entsprechenden Werte von y in einer bestimmten Reihenfolge ausgeschrieben.

Diese Tabelle definiert die Funktion y von x.

Ein Beispiel für eine tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion können Tabellen mit trigonometrischen Funktionen, Tabellen mit Logarithmen, Datums- und Wechselkursen, Lufttemperatur und Luftfeuchtigkeit usw. sein.

3. Grafische Methode zur Angabe einer Funktion.

Die grafische Methode zur Angabe einer Funktion besteht darin, Punkte (x, y) auf der Koordinatenebene mit technischen Hilfsmitteln darzustellen. Die grafische Methode zur Angabe einer Funktion wird in der mathematischen Analyse nicht verwendet, sondern immer die grafische Darstellung analytisch definierter Funktionen.