Die relative Position zweier Zeilen im Präsentationsraum. Präsentation „Die relative Lage von Linien und Ebenen im Raum“

Abschnitte: Mathematik

Klasse: 10

Unterrichtsart: Unterricht mit modernen Computertechnologien.

An der Tafel: Nummer, Thema der Lektion, Zeichnungen für Hausaufgaben.

Auf den Schreibtischen der Schüler: Blätter zum Nachdenken, Lehrbücher, Notizbücher, Werkzeuge zum Zeichnen.

Verwendete Lehrmaterialien: Computer, Multimedia-Installation, zentrales Bildungszentrum „Geometrieunterricht von Cyril und Methodius, 10. Klasse“, Präsentation“, Lehrbuch L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomzew und andere. „Geometrie, 10–11.“

Der Zweck der Lektion:

• Lehrreich: Den Schülern Wissen über sich schneidende Linien vermitteln, das Vorzeichen von sich schneidenden Linien berücksichtigen, den Satz über das Zeichnen einer Ebene parallel zu einer anderen Linie durch eine der sich schneidenden Linien betrachten und ihnen beibringen, wie sie das erworbene Wissen in der Praxis anwenden können.
• Entwicklung - Arbeiten Sie an der Entwicklung des konzeptionellen Apparats, entwickeln Sie logisches Denken, die Fähigkeit zur Forschung und entwickeln Sie Fähigkeiten zur Selbstkontrolle.
• Lehrreich – eine verantwortungsvolle Einstellung zur Arbeit, Selbstvertrauen, Arbeitsfähigkeit zu kultivieren, die Grundlagen einer wissenschaftlichen Weltanschauung, moralischer Qualitäten und Kommunikationsfähigkeiten zu schaffen

Während des Unterrichts

1. Zeit organisieren. (2 Minuten.)

Ziel: Ordnung am Arbeitsplatz der Studierenden schaffen, Aufmerksamkeit organisieren.

Gegenseitige Begrüßung, Abwesenheitserfassung, Überprüfung des äußeren Zustands des Klassenzimmers, Überprüfung der Unterrichtsvorbereitung der Klasse (Arbeitsplatz, Aussehen, Arbeitshaltung), Aufmerksamkeit organisieren, Gruppen bilden.

2. Vorbereitung der Studierenden auf die aktive und bewusste Aneignung von Wissen . (10 Minuten.)

Ziel: Die kognitive Aktivität des Schülers organisieren und auf das Ziel ausrichten.

1. Aktualisierung des Wissens zum Thema „Parallele Linien im Raum“.

Fragen an Studierende:

– Ist die Formulierung des Parallelitätszeichens zwischen einer Geraden und einer Ebene korrekt: „Eine Gerade, die zu einer beliebigen Geraden auf einer Ebene parallel ist, ist parallel zur Ebene selbst?“
– Die Linien a und b sind parallel. Welche Position kann die Linie a relativ zur Ebene einnehmen, die durch die Linie b verläuft?
– Gegeben sei eine Gerade und zwei sich schneidende Ebenen. Charakterisieren Sie alle möglichen Fälle ihrer gegenseitigen Vereinbarung.

2. Überprüfen Hausaufgaben.

In der vorherigen Lektion erhielten die Schüler mehrstufige Hausaufgaben ( Anwendung).

In „starken“ Gruppen prüfen die Schüler Lösungen für Probleme auf grundlegendem Niveau.

Die Lösung des Problems wird besprochen höheres Level. Die Studierenden kommentieren die Lösung anhand vorgefertigter Zeichnungen.

3. Vermittlung des Themas, der Ziele des Studiums des neuen Materials und Darstellung seiner praktischen Bedeutung.

Thema: „Die relative Position von Linien im Raum. Gerade Linien kreuzen“

Lernziele:

– Machen Sie sich mit dem Konzept der Schräglinien vertraut
– Fälle relativer Positionen von Linien im Raum systematisieren
– Betrachten Sie den Test auf Schräglinien und den Satz über Schräglinien
– lernen, Paare sich schneidender Linien zu finden, das Zeichen anzuwenden.

4. Erläuterung des neuen Materials. (15 Minuten.)

Ziel: Den Schülern eine konkrete Vorstellung von sich kreuzenden Linien, der Grundidee eines Zeichens, zu vermitteln, um Wahrnehmung, Bewusstsein für die primäre Verallgemeinerung und Systematisierung neuen Wissens zu erreichen.

1. Lage der Geraden im Raum (Antwort studieren, Diagramm in Notizbuch schreiben).

Sie liegen in derselben Ebene.

2. ??? Aufgabe.

Nach dem Satz von drei parallelen Geraden. Sind AA 1 und C parallel?

Überschneiden sie sich?

3. Definition: Es werden zwei Geraden genannt Kreuzung, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.

Der dritte Fall der Lage von Linien im Raum.

Die Linien a und b liegen nicht in derselben Ebene.

4. Zeichen für das Überqueren von Linien.

5. Konsolidierung des untersuchten Satzes. Die Zeichnung wird über einen Videoprojektor gezeigt.

Den Gruppen wurden Modelle von Polygonen gegeben. Betrachten Sie verschiedene Paare sich schneidender Linien in Modellen und beobachten Sie dabei die im Attribut der sich schneidenden Linien aufgezeichneten Tatsachen.

(Beispiel: AA 1 B 1 B ist ein Würfel. AA 1 und DS sind sich kreuzende Kanten. In welchen Ebenen liegt die Gerade CD? Wie liegt die Gerade AA 1 im Verhältnis zu diesen Ebenen?)

6. Der Satz über das Zeichnen einer Ebene parallel zur anderen Linie durch eine der sich kreuzenden Linien.

Um die Tatsache des zweiten Satzes für Schüler zu „entdecken“, wenden Sie sich erneut der Betrachtung von Modellen zu und beantworten Sie jedes Mal die Fragen: Nennen Sie die Ebene, die durch eine der Schnittlinien parallel zur anderen Linie verläuft? Wie viele solcher Flugzeuge gibt es? Bei der Betrachtung des dritten Modells entsteht ein Problem: Ist es möglich, durch eine der Schnittlinien eine Ebene parallel zur anderen zu konstruieren? Die Schüler werden gebeten, ein solches Flugzeug zu konstruieren.

Damit bewiesen sie den Satz, dass durch jede der beiden Schräglinien eine Ebene parallel zur anderen Linie verläuft, und zwar nur eine.

Minute des Sportunterrichts. (1 Minute.)

Ziel: Spannungen abbauen, sich auf die weitere Arbeit vorbereiten

Wir standen auf, hoben die Hände hinter dem Kopf, die Ellbogen zur Seite, richteten den Rücken auf und senkten die Hände. Wir machten 3-4 Drehungen des Kopfes in die eine und andere Richtung.

Übung für das Rücken- und Schultergelenk. Hände an die Schultern, Ellbogen zur Seite, bewegen Sie Ihre Schulterblätter, strecken Sie Ihren Rücken und machen Sie 3-4 kreisende Bewegungen in die eine und andere Richtung.

Wir setzten uns. Übung für die Augen. Schauen Sie drei- bis viermal auf die Tafel, dann auf das Notizbuch und so weiter.

5. Konsolidierung von neuem Material. (15 Minuten.)

Ziel: Festigung der erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten, Festigung der Methoden der bevorstehenden Antwort des Schülers beim nächsten Wissenstest

1. Aufgabe.

Konstruieren Sie eine Ebene α, die durch den Punkt K verläuft und parallel zu den Schnittlinien a und b verläuft.

Konstruktion:

1. Zeichnen Sie durch den Punkt K eine Gerade a 1 || A.

2. Zeichnen Sie durch Punkt K eine Gerade b 1 || B.

3. Zeichnen Sie eine Ebene α durch sich schneidende Linien. α ist die gewünschte Ebene.

2. Aufgabe Nr. 34 (mündlich, anhand der fertigen Zeichnung, Demonstration der Zeichnung durch einen Videoprojektor). Fordern Sie die Schüler bei der Entscheidung auf, den Wortlaut des Attributs auszusprechen.

3. Problem Nr. 36.

Beweisen Sie, dass b und c gekreuzt sind.

Was muss bewiesen werden, um zu beweisen, dass b und c gekreuzt sind? (Dass einer von ihnen in einer bestimmten Ebene liegt und der andere diese Ebene schneidet.)

Durch welche Linien können wir eine Ebene zeichnen? (Durch Kreuzung, durch Parallele.)

Wenn wir die Ebene α zeichnen. Durch die Schnittlinien a und c verläuft die Linie b parallel zur Ebene α. Das heißt, Sie müssen die Ebene α durch parallele Linien a und b zeichnen.

(Formulierung der Entscheidung.)

6. Zusammenfassung. (2 Minuten.)

Zweck: Informieren Sie die Schüler über ihre Hausaufgaben, erklären Sie, wie sie zu erledigen sind, und fassen Sie die Lektion zusammen

1. Schreiben Sie die Hausaufgabe auf. Punkt 7, Nr. 35 (Verwenden Sie die Widerspruchsmethode), Nr. 37.

2. Analysieren Sie die Lektion anhand des Diagramms auf der Folie und geben Sie die Zettel ab.

• Ich habe es vollständig erfasst und kann es nutzen;
• Ich beherrsche es vollständig, aber es fällt mir schwer, es anzuwenden.
• teilweise gelernt;
• Ich verstehe es nicht, ich brauche einen Rat.

• Du hattest im Unterricht:
• leicht;
• gewöhnlich;
• schwierig.

Der Lehrer gibt Noten für diejenigen bekannt, die an der Tafel geantwortet haben und für diejenigen, die während des Unterrichts aktiv mitgearbeitet haben: Sie haben sich bei der Besprechung von Hausaufgaben hervorgetan, beim Erklären eines neuen Themas oder haben Problemlösungen bewältigt, bevor andere und der Lehrer sie überprüft haben.

Bei der Überprüfung des Heftes achten wir darauf, ob die Aufgaben richtig gelöst wurden, die Konstruktionen abgeschlossen wurden, wie die Schüler den Grad ihrer Beherrschung des Stoffes einschätzten und wie komplex der Unterricht war. Welche Aufgaben richtig erledigt wurden und welche nicht, nehmen wir zur Kenntnis, diejenigen, die den Stoff nicht beherrschten und diejenigen, die alles beherrschten. Basierend auf der Analyse wird die nächste Lektion vorbereitet.

Liste der zur Unterrichtsvorbereitung verwendeten Literatur:

1. Mustakimov R.D.,„Geometrie – 10“, Kasan, „Unipress“, 1999
2. Kovaleva G.I.. „Geometrie 10. Klasse“, Wolgograd, „Lehrer“, 2005
3. Litwinenko V.N..„Aufgaben zur Entwicklung räumlicher Konzepte“, M. „Prosveshchenie“, 1991.

• 1.Parallele Linien
• 2. Schnittlinien
• 3. Linien kreuzen

• 1) Parallele Linien sind Linien, die in derselben Ebene liegen und entweder zusammenfallen oder sich nicht schneiden.

• 2) Anzeichen von Parallelität:
• I. Zwei Geraden parallel zu einer dritten sind parallel.
• II. Wenn die inneren Kreuzwinkel gleich sind, dann sind die Linien parallel
• III. Wenn die Summe der einseitigen Innenwinkel 180° beträgt, dann sind die Linien parallel.
• IV. Wenn entsprechende Winkel gleich sind, dann sind die Linien parallel.

• Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.

• Linien werden als sich schneidend bezeichnet, wenn eine der Linien in einer Ebene liegt und die andere diese Ebene in einem Punkt schneidet, der nicht zur ersten Linie gehört.

• 1) Parallele Ebenen
• 2) Schnittebenen

• Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte haben, heißen parallel

• Von Flugzeugen spricht man, wenn sie sich schneiden, wenn sie gemeinsame Punkte haben

• Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden und keine gemeinsamen Punkte haben

• Eine Ebene und eine Gerade schneiden sich dann, wenn sie einen gemeinsamen Schnittpunkt haben

• Eine Gerade, die eine Ebene schneidet, heißt senkrecht zu dieser Ebene, wenn sie senkrecht zu jeder Geraden steht, die in der gegebenen Ebene liegt und durch den Schnittpunkt geht.

Beantworten Sie die Fragen:

Ja

• Können eine Gerade und eine Ebene keine gemeinsamen Punkte haben?
• Stimmt es, dass zwei Geraden parallel sind, wenn sie sich nicht schneiden?
• Flugzeuge α Und β parallele, gerade Linie t liegt in der Ebene α . Stimmt es, dass die Gerade t parallel zur Ebene ist? β ?
• Stimmt es, dass die Gerade a einen gemeinsamen Punkt mit der anderen Ebene hat, wenn die Gerade a parallel zu einer von zwei parallelen Ebenen verläuft?
• Stimmt es, dass Ebenen parallel sind, wenn eine Linie, die in einer Ebene liegt, parallel zu einer anderen Ebene ist?

Nein

Ja

Nein

Nein

Probleme lösen

Punkte E, F,M,N - Mitte der Rippen.

1). Beweisen: E.F. ll MN ;

2). Bestimmen Sie die relative Position der Linien Gleichstrom Und AB

Gegeben: α || β

AO = 5,

OB = 4,

OA 1 = 3,

A 1 IN 1 = 6.

Finden Sie: AB und OB 1

A 1

B 1

Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

№ 6

B 1

C 1

Der Abschnitt verläuft durch die Punkte M, N und P, die jeweils auf den Kanten BC, AD und AA 1 liegen.

A 1

D 1

Tetraeder DABC

№ 2

Der Schnitt geht durch den Punkt M, der auf der Kante DA liegt, parallel zur Fläche ABC.

Finden Sie: Querschnittsfläche eines Tetraeders mit einer Kante von 3 cm, wenn Punkt M die Mitte der Kante DA ist.

Bestimmen Sie die relative Position der Linien.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

A 1

D 1

C 1

B 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Bestimmen Sie die relativen Positionen von Geraden und Ebenen.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

Bestimmen Sie die relative Position der Ebenen.

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

• Sie kreuzen sich.
• Schneiden.
• Parallel.
• Sie kreuzen sich.
• Schneiden.

• Parallel.
• Schneiden.
• Schneiden.
• Parallel.

• Parallel.
• Schneiden.
• Parallel.

• Hausaufgaben:
• 1. Vorbereitung zum Test S. 35-36 „Testen Sie sich selbst“

Probleme zum Thema lösen „Parallelität von Geraden und Ebenen. Die relative Position von Linien im Raum“

Lernziele:

a) pädagogisch:

wiederholen theoretisches Material zum Thema „Parallelität von Linien und Ebenen. Die relative Position von Linien im Raum“;

Fähigkeiten stärken:Beweisprobleme auf der Grundlage präziser Argumente lösen (Kenntnisse des theoretischen Materials);

Wenden Sie bei der Lösung stereometrischer Probleme die Erkenntnisse aus dem Studium der Planimetrie an.

Berücksichtigen Sie beim Ausfüllen einer Zeichnung für eine Aufgabe die Klarheit und Regeln für die Darstellung räumlicher Figuren

b) Entwicklung: Kompetenzentwicklung

unabhängige Arbeit,

räumliches Denken, logisches Denken;

c) pädagogisch: Schüler erziehen

die Fähigkeit, einander zuzuhören, Fragen zu stellen und Antworten vernünftig zu bewerten;

Interesse am Thema

Unterrichtsart: Unterricht zur Verbesserung von Kenntnissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten

Ausrüstung: Computer, Projektor, Präsentation

Während des Unterrichts.

Zeit organisieren. Prüfung der Unterrichtsbereitschaft.

Unterrichtsmotivation.

Folie 3. Die Geometrie ist voller Abenteuer, denn hinter jedem Problem steckt ein Abenteuer des Denkens. Ein Problem zu lösen bedeutet, ein Abenteuer zu erleben.

(V. Proizvolov). Heute im Unterricht werden wir viele Abenteuer erleben.

Grundkenntnisse aktualisieren.

Folie 4. Beim Studium der Stereometrie ist es sehr wichtig, sehen und sehen, bemerken und unterscheiden, darstellen und raten zu können. Bei der Lösung stereometrischer Probleme lernen wir, das „Nicht-Offensichtliche“ zu sehen. Wir beginnen mit der Wiederholung.

Nennen Sie die Grundfiguren der Stereometrie.

Formulieren Sie Methoden zur Definition einer Ebene.

Folie 5.

- Formulieren Sie die Definition einer Geraden parallel zu einer Ebene.

- Formulieren Sie ein Zeichen für die Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene.

Geben Sie eine wichtige Folgerung zu zwei sich schneidenden Ebenen an, von denen eine eine Linie parallel zur anderen Ebene enthält.

Listen Sie die Fälle relativer Positionen von Linien im Raum auf.

Formulieren Sie die Definition von parallelen und schiefen Linien.

Formulieren Sie das Vorzeichen sich schneidender Geraden.

Formulieren Sie die Definition des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Geraden.

Welcher Winkel wird als Winkel zwischen sich schneidenden Linien bezeichnet?

Folie 7.8. Mündliche Arbeit. Aufgabe 1.

1) Gegeben: Punkte A, B, C, D gehören nicht zur selben Ebene.

Beweisen Sie: Alle drei Punkte sind Eckpunkte eines Dreiecks.

Zuerst erklärt ein Schüler die Lösung des Problems und zeigt dann, wie man die Lösung schriftlich festhält. Weil Da bei der Lösung erster stereometrischer Probleme häufig auf die Widerspruchsmethode gestoßen wird, ist es notwendig, den Algorithmus zur Anwendung dieser Methode noch einmal zu demonstrieren.

Folie 9. Aufgabe 2.

Weil In den ersten Lektionen der Stereometrie fällt es den Schülern schwer, Lösungen für Probleme aufzuschreiben. Nach der mündlichen Lösung des Problems wird gezeigt, wie sie die Lösung dieses Problems mithilfe geometrischer Zeichen und mathematischer Notationen aufschreiben können.

Folie 10. Aufgabe 3. Finden Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien.

Wie groß ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden?

Probleme lösen.

Folie 11. Lösen Sie es selbst in Ihren NotizbüchernAufgabe 1 .

Sie können einen Studierenden an die Tafel rufen, um ein Problem in einem für Studierende nicht zugänglichen Bereich der Tafel zu lösen.

Folie 12. Anschließend diskutieren und überprüfen die Schüler die Lösung.

Folie 13. Aufgabe 2. Erstellen Sie basierend auf dieser Bedingung eine Zeichnung, erstellen Sie ein verbales Modell des Problems und bestimmen Sie den Wert, der basierend auf dieser Bedingung gefunden werden kann.

Ein Schüler wird an die Tafel gerufen und löst das Problem mit der geringsten Hilfe des Lehrers. Nachdem das Problem an der Tafel gelöst wurde, zeigt der Lehrer, wie die Lösung aufgeschrieben werden könnte. Diskussion.

Folie 14. Aufgabe Nr. 3. Die Gerade MK verläuft parallel zur Seite CD der Raute ABCD und liegt nicht in der Ebene der Raute. a) Ermitteln Sie die relative Position der Geraden MK und BC. b) Ermitteln Sie den Winkel zwischen den Geraden MK und BC, wenn

Zunächst werden die Aufgabenzeichnung und die Lösung mit der Klasse besprochen. Anschließend schreiben die Schüler ihre Lösung auf. Die fertige Zeichnung für die Aufgabe kann bei Bedarf belassen werden. Nachdem das Problem gelöst ist, zeigt der Lehrer, wie die Lösung niedergeschrieben werden könnte.

Zusammenfassend.

Die Studierenden benennen, welche theoretischen Informationen zur Lösung von Problemen verwendet wurden.

Betrachtung

7) Hausaufgaben.

Wiederholen Sie die Schritte 1 – 9.

Lösen Sie Nr. 45 (a), 46 (a), 38 (a).

Wiederholen Sie Nr. 11,23,26

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Folienunterschriften:

Die relative Position von Linien im Raum. Gerade Linien kreuzen. Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 63 Shipilova E.S.

Unterrichtsziele: Einführung in die Definition von Schräglinien. Stellen Sie Formulierungen vor und beweisen Sie das Vorzeichen und die Eigenschaft von Schräglinien.

Lage der Linien im Raum: α α a b a b a ∩ b a || b Sie liegen in derselben Ebene!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Gegeben sei ein Würfel ABC DA 1 B 1 C 1 D 1 Sind die Geraden AA 1 und DD 1 parallel? AA 1 und CC 1? Warum? AA 1 || DD 1 liegt wie gegenüberliegende Seiten eines Quadrats in derselben Ebene und schneidet sich nicht. AA 1 || DD 1; TT 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 nach dem Satz der drei parallelen Geraden. 2. Sind AA 1 und DC parallel? Überschneiden sie sich? Zwei Geraden werden Schräglage genannt, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.

Zeichen für das Überqueren von Linien. Wenn eine von zwei Geraden in einer bestimmten Ebene liegt und die andere Gerade diese Ebene an einem Punkt schneidet, der nicht auf der ersten Geraden liegt, dann schneiden sich diese Geraden. ein b

Zeichen für das Überqueren von Linien. Gegeben: AB α, C D ∩ α = C, C AB. a b Beweis: Nehmen wir an, dass C D und AB in derselben Ebene liegen. Dies sei die β-Ebene. Beweisen Sie, dass AB sich mit C D A B C D kreuzt. α fällt mit β zusammen. Die Ebenen fallen zusammen, was nicht sein kann, weil Linie C D schneidet α. Die Ebene, zu der AB und C D gehören, existiert nicht und daher schneidet AB nach der Definition sich schneidender Linien C D. usw.

Verstärkung des untersuchten Satzes: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Bestimmen Sie die relative Position der Geraden AB 1 und DC. 2. Geben Sie die relative Position der Geraden DC und der Ebene AA 1 B 1 B an. 3. Ist die Gerade AB 1 parallel zur Ebene DD 1 C 1 C?

Satz: Durch jede der beiden Schräglinien verläuft eine Ebene parallel zur anderen Ebene, und zwar nur eine. Gegeben: AB ist mit C D gekreuzt. Konstrukt α: AB α , C D || α. A B C D Durch den Punkt A ziehen wir eine Gerade AE, AE || Mit D. E 2. Die Linien AB und AE schneiden sich und bilden eine Ebene α. AB α , C D || α. α ist die einzige Ebene. Beweisen Sie, dass α eindeutig ist. 3. Beweis: α ist die einzige Folgerung der Axiome. Jede andere Ebene, zu der AB gehört, schneidet AE und damit die Linie C D.

Aufgabe. Konstruieren Sie eine Ebene α, die durch den Punkt K verläuft und parallel zu den Schnittlinien a und b verläuft. Konstruktion: Zeichne durch den Punkt K eine Gerade a 1 || A. 2. Zeichnen Sie durch Punkt K eine Gerade b 1 || B. a b K a 1 b 1 3 . Zeichnen wir eine Ebene α durch sich schneidende Linien. α ist die gewünschte Ebene.

Problem Nr. 34. A B C D M N P P 1 K Gegeben: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Bestimmen Sie die relative Position der Linien: a) ND und AB b) RK und BC c) M N und AB

Problem Nr. 34. A B C D M N P K Gegeben: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Bestimmen Sie die relativen Positionen der Linien: a) ND und AB b) RK und BC c) M N und AB d) MR und A C e) K N und A C f) M D und B C

Aufgabe Nr. 93 α a b M N Gegeben: a || b MN ∩ a = M Bestimmen Sie die relative Position der Geraden MN u b . Kreuzung.

Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Die relative Position von Linien im Raum

Zweck der Lektion: 1. Wissen zum Thema der relativen Anordnung von Linien im Raum wiederholen und verallgemeinern; das erworbene Wissen systematisieren.2. Entwickeln Sie geistige Fähigkeiten, logisches Denken und Mathematik ...

Meisterkurs: „Axiome der Stereometrie. Die relative Lage von Linien im Raum. Die relative Lage einer Geraden und einer Ebene“

Meisterkurs: „Axiome der Stereometrie. Die relative Position von Linien im Raum. Die relative Position einer Geraden und einer Ebene“, nach E.V. Potoskuev, L.I.

Präsentation für eine Lektion zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema „Relative Anordnung von Linien im Raum. Parallele Linien“ mit EOR. Bequem zu verwenden, wenn entfernt...

Begleitende Unterrichtseinheit zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Kenntnissen und Fähigkeiten zum Thema „Die relative Lage von Linien im Raum“. „Parallellinien“ basierend auf ESM. Enthält Eigenschaften und Links zu...

Die relative Lage von Geraden und Ebenen im Raum

Folie 2

Alle Konstruktionen auf einer Ebene werden mit Zeichenwerkzeugen erstellt und sind präzise, ​​Konstruktionen im Raum können jedoch schematisch durchgeführt werden. Daher werden die Begriffe „eine Ebene (Linie) zeichnen“ im Sinne von „die Existenz einer Ebene (Linie) beweisen“, die die genannten Bedingungen erfüllt, verwendet.

Folie 3: Mögliche Positionen von Linien im Raum:

Folie 4

4 b a b Drei Fälle relativer Positionen von Linien im Raum n m l p n m l p II a

Folie 5

Geraden im Raum haben einen gemeinsamen Punkt, haben keine gemeinsamen Punkte und schneiden sich parallel

Folie 6

Definition: Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und keinen gemeinsamen Punkt haben oder zusammenfallen. Definition: Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie sich nicht schneiden oder parallel sind. Definition: Zwei Geraden heißen sich schneidend, wenn sie in derselben Ebene liegen und einen gemeinsamen Punkt haben.

Folie 7: Aufgabe: Zeichne durch einen gegebenen Punkt K eine Gerade parallel zu einer gegebenen Geraden a

Gegeben: K  a Beweisen Sie:  ! b: K  b, b  a Beweis: Konstruktion 1. Zeichnen wir die Ebene α durch die Gerade a usw. K. (nach Sl.1) 2. Zeichnen wir eine Gerade b, b  a durch den Punkt K in der α-Ebene (A-Planimetrie) Eindeutigkeit (durch Widerspruch) 1. Sei  b 1: K  b 1, b 1  a .Durch die Geraden a und b 1 können Sie eine Ebene zeichnen α 1 (gemäß Sl. 3) 2. Linie a, weil  α 1 ;  α 1 = α (durch einen Punkt und eine Linie im Raum) (SL.1). 3.  b = b 1 (A parallele Linien). Der Satz ist bewiesen. Zu einem b

Folie 8

THEOREM 1. Wenn eine von zwei Geraden in einer Ebene liegt und die andere diese Ebene an einem Punkt schneidet, der nicht zur ersten Geraden gehört, dann schneiden sich diese Geraden. Bitte beachten Sie: Eine Ebene kann nicht durch Schnittlinien gezeichnet werden. Gegeben: Beweisen Sie: a A

Folie 9

II. Die relative Position einer Geraden und einer Ebene. Die Gerade liegt in der Ebene. Eine Gerade schneidet eine Ebene. Die Gerade schneidet die Ebene nicht. Viele gemeinsame Punkte. Der einzige gemeinsame Punkt. Es gibt keine gemeinsamen Punkte. g a g a M g a a Ì g a Ç g = M a Ë g

10

Folie 10

a c Die relative Position einer Geraden und einer Ebene im Raum.  b K

11

Folie 11

Definition. Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben oder die Gerade in der Ebene liegt. Betrachten Sie das folgende Zeichen der Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene

12

Folie 12

SATZ 2. Wenn eine Gerade parallel zu einer Geraden ist, die in einer Ebene liegt, dann sind die gegebene Gerade und die Ebene parallel. Gegeben: Beweisen Sie:

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Folie 13

SATZ 3 (Umkehrung) Wenn eine Ebene eine Linie parallel zu einer anderen Ebene durchquert und diese Ebene schneidet, dann ist die Schnittlinie der Ebenen parallel zu dieser Linie. Gegeben:  β ∩ α = Beweisen Sie:  Beweis: 1) a, b  β a kann nicht ∩ b, weil sonst a ∩ α, was der Bedingung widerspricht. Daher ist ein  in α Der Satz ist bewiesen.

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Folie 14

SATZ 4. Wenn eine Ebene durch jede von zwei parallelen Linien gezogen wird und diese Ebenen sich schneiden, dann ist ihre Schnittlinie parallel zu jeder dieser Linien. Gegeben: Beweis: Beweisen Sie: a  b α  β = c c  a, c  b α Durch a zeichnen wir α, durch b – β und α ∩ β = c Nach dem Kriterium || Linie und Ebene a || β, dann mit  a (T.3) Ebenso c|| B

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Folie 15

Beweis: Betrachten Sie einen Fall. im, mit  β; a, c  α 1. Nehmen Sie t.M, M  a Durch t.M und c zeichnen wir die Ebene α, b und M zeichnen wir die Ebene β; 2. T 4: α  β = MN (Schnittlinie der Ebenen  b und c) 3. Durch T.M ist es unmöglich, zwei verschiedene Geraden с zu zeichnen, daher fallen MN und a zusammen. 4. Aber da (MN)  b, dann a  b  in  c Der Satz ist bewiesen. Satz 5. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander. Gegeben: a  c, b  c Beweisen Sie: a  b α M N

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Folie 16

und M Die Gerade liegt in der Ebene Die Gerade schneidet die Ebene Wie viele Punkte haben die Gerade und die Ebene gemeinsam?

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Folie 17

Methoden zur Definition von Ebenen Abbildung Wie kann eine Ebene im Raum eindeutig definiert werden? 1. Durch drei Punkte 2. Durch eine Gerade und einen nicht dazugehörenden Punkt. 3. Entlang zweier Schnittlinien. 4. Entlang zweier paralleler Linien.