X tendiert zu 1. Die erste bemerkenswerte Grenze. Algorithmus zur Berechnung von Grenzwerten

04.03.2022Überschrift: Mauerwerk

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher werden wir gleichzeitig mehrere detaillierte Beispiele zur Lösung von Grenzen mit Erläuterungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Aber zuerst – das Meiste allgemeine Definition Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Wenn Sie sich übrigens für grundlegende Operationen auf Matrizen interessieren, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In Beispielen X kann zu jedem Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Intuitiv gilt: Je größer die Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir im Zähler eine quadratische Gleichung haben. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirkungsvolle Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit absolut keine Zeit ist, wenden Sie sich für eine schnelle und detaillierte Lösung an einen professionellen Studentenservice.

Normalerweise wird die zweite bemerkenswerte Grenze in dieser Form geschrieben:

\begin(Gleichung) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(Gleichung)

Die auf der rechten Seite der Gleichung (1) angegebene Zahl $e$ ist irrational. Der ungefähre Wert dieser Zahl ist: $e\ approx(2(,)718281828459045)$. Wenn wir die Ersetzung $t=\frac(1)(x)$ vornehmen, dann kann Formel (1) wie folgt umgeschrieben werden:

\begin(Gleichung) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(Gleichung)

Was die erste bemerkenswerte Grenze betrifft, spielt es keine Rolle, welcher Ausdruck anstelle der Variablen $x$ in Formel (1) oder anstelle der Variablen $t$ in Formel (2) steht. Die Hauptsache ist, zwei Bedingungen zu erfüllen:

Die Basis des Grades (d. h. der Ausdruck in Klammern der Formeln (1) und (2)) sollte gegen Eins tendieren;
Der Exponent (d. h. $x$ in Formel (1) oder $\frac(1)(t)$ in Formel (2)) muss gegen Unendlich tendieren.

Die zweite bemerkenswerte Grenze soll die Unsicherheit von $1^\infty$ offenbaren. Bitte beachten Sie, dass wir in Formel (1) nicht angeben, von welcher Unendlichkeit ($+\infty$ oder $-\infty$) wir sprechen. In jedem dieser Fälle ist Formel (1) richtig. In Formel (2) kann die Variable $t$ sowohl links als auch rechts gegen Null tendieren.

Ich stelle fest, dass sich aus der zweiten bemerkenswerten Grenze auch mehrere nützliche Konsequenzen ergeben. Beispiele für die Verwendung der zweiten bemerkenswerten Grenze sowie deren Folgen erfreuen sich bei Erstellern von Standardberechnungen und -tests großer Beliebtheit.

Beispiel Nr. 1

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Beachten wir sofort, dass die Basis des Grades (d. h. $\frac(3x+1)(3x-5)$) zur Eins tendiert:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

In diesem Fall tendiert der Exponent (Ausdruck $4x+7$) gegen Unendlich, d.h. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Die Basis des Grades strebt gegen Eins, der Exponent gegen Unendlich, d.h. wir haben es mit der Unsicherheit $1^\infty$ zu tun. Wenden wir eine Formel an, um diese Unsicherheit aufzudecken. Die Basis der Potenz der Formel ist der Ausdruck $1+\frac(1)(x)$, und in dem Beispiel, das wir betrachten, ist die Basis der Potenz: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. Daher wird die erste Aktion eine formale Anpassung des Ausdrucks $\frac(3x+1)(3x-5)$ an die Form $1+\frac(1)(x)$ sein. Addieren und subtrahieren Sie zunächst eins:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Bitte beachten Sie, dass Sie nicht einfach eine Einheit hinzufügen können. Wenn wir gezwungen sind, eins zu addieren, müssen wir es auch subtrahieren, um den Wert des gesamten Ausdrucks nicht zu ändern. Um die Lösung fortzusetzen, berücksichtigen wir dies

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

Da $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, dann:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

Fahren wir mit der Anpassung fort. Im Ausdruck $1+\frac(1)(x)$ der Formel ist der Zähler des Bruchs 1, und in unserem Ausdruck $1+\frac(6)(3x-5)$ ist der Zähler $6$. Um 1 $ im Zähler zu erhalten, fügen Sie 6 $ mithilfe der folgenden Konvertierung in den Nenner ein:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Auf diese Weise,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Die Grundlage des Abschlusses, d.h. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, angepasst an die in der Formel geforderte Form $1+\frac(1)(x)$. Beginnen wir nun mit der Arbeit mit dem Exponenten. Beachten Sie, dass in der Formel die Ausdrücke in den Exponenten und im Nenner gleich sind:

Das bedeutet, dass in unserem Beispiel Exponent und Nenner auf die gleiche Form gebracht werden müssen. Um den Ausdruck $\frac(3x-5)(6)$ im Exponenten zu erhalten, multiplizieren wir einfach den Exponenten mit diesem Bruch. Um eine solche Multiplikation zu kompensieren, müssen Sie natürlich sofort mit dem Kehrwert multiplizieren, d. h. durch $\frac(6)(3x-5)$. Also haben wir:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Betrachten wir separat den Grenzwert des Bruchs $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ in der Potenz:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Antwort: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Da für $x>0$ gilt: $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, dann:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Wenn wir den Bruch $\frac(x+1)(x)$ in die Summe der Brüche $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ erweitern, erhalten wir:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Antwort: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Beispiel Nr. 5

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Da $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ und $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, dann haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $1^\infty$ zu tun. Ausführliche Erläuterungen finden Sie im Beispiel Nr. 2, hier beschränken wir uns jedoch kurze Lösung. Durch die Ersetzung $t=x-2$ erhalten wir:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Sie können dieses Beispiel auf andere Weise lösen, indem Sie die Ersetzung verwenden: $t=\frac(1)(x-2)$. Die Antwort wird natürlich dieselbe sein:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(aligned)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Antwort: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Beispiel Nr. 6

Finden Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Lassen Sie uns herausfinden, wozu der Ausdruck $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ unter der Bedingung $x\to\infty$ tendiert:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Somit haben wir es im gegebenen Grenzwert mit einer Unsicherheit der Form $1^\infty$ zu tun, die wir anhand des zweiten bemerkenswerten Grenzwerts aufdecken:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Antwort: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

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Funktionsgrenze- Nummer A wird die Grenze einer variablen Größe sein, wenn sich diese variable Größe im Verlauf ihrer Änderung auf unbestimmte Zeit nähert A.

Oder mit anderen Worten: die Zahl A ist der Grenzwert der Funktion y = f(x) am Punkt x 0, wenn für irgendeine Folge von Punkten aus dem Definitionsbereich der Funktion ungleich x 0, und die zum Punkt konvergiert x 0 (lim x n = x0), konvergiert die Folge der entsprechenden Funktionswerte zur Zahl A.

Der Graph einer Funktion, deren Grenzwert bei gegebenem Argument, das gegen Unendlich tendiert, gleich ist L:

Bedeutung A Ist Grenze (Grenzwert) der Funktion f(x) am Punkt x 0 im Fall einer beliebigen Folge von Punkten , was konvergiert zu x 0, die aber nicht enthält x 0 als eines seiner Elemente (d. h. in der punktierten Umgebung). x 0), Folge von Funktionswerten konvergiert zu A.

Grenzwert einer Funktion nach Cauchy.

Bedeutung A wird sein Grenze der Funktion f(x) am Punkt x 0 wenn für eine nicht-negative Zahl im Voraus genommen ε die entsprechende nichtnegative Zahl wird gefunden δ = δ(ε) so dass für jedes Argument X, die Bedingung erfüllend 0 < | x - x0 | < δ , wird die Ungleichung erfüllt sein | f(x)A |< ε .

Es wird sehr einfach sein, wenn Sie das Wesen des Grenzwerts und die Grundregeln für dessen Ermittlung verstehen. Was ist die Grenze der Funktion? F (X) bei X streben nach A gleicht A, wird so geschrieben:

Darüber hinaus der Wert, zu dem die Variable tendiert X, kann nicht nur eine Zahl sein, sondern auch Unendlich (∞), manchmal +∞ oder -∞, oder es kann überhaupt keine Grenze geben.

Um zu verstehen, wie Finden Sie die Grenzen einer Funktion Schauen Sie sich am besten Lösungsbeispiele an.

Es ist notwendig, die Grenzen der Funktion zu finden F (x) = 1/X bei:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Lassen Sie uns eine Lösung für das erste Limit finden. Dazu können Sie einfach ersetzen X die Zahl, zu der es tendiert, d.h. 2, wir erhalten:

Finden wir den zweiten Grenzwert der Funktion. Ersetzen Sie hier reiner Form Stattdessen 0 X es ist unmöglich, weil Eine Division durch 0 ist nicht möglich. Aber wir können Werte nahe Null annehmen, zum Beispiel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 usw. und der Wert der Funktion F (X) wird erhöht: 100; 1000; 10000; 100.000 und so weiter. Somit kann es verstanden werden, wann X→ 0 Der Wert der Funktion, die unter dem Grenzwertzeichen steht, erhöht sich unbegrenzt, d. h. Strebe nach Unendlichkeit. Was bedeutet:

Bezüglich der dritten Grenze. Die gleiche Situation wie im vorherigen Fall kann nicht ersetzt werden ∞ in seiner reinsten Form. Wir müssen den Fall einer unbegrenzten Erhöhung betrachten X. Wir ersetzen 1000 nacheinander; 10000; 100000 und so weiter, das ist der Wert der Funktion F (x) = 1/X wird abnehmen: 0,001; 0,0001; 0,00001; und so weiter, tendierend gegen Null. Deshalb:

Es ist notwendig, den Grenzwert der Funktion zu berechnen

Beginnen wir mit der Lösung des zweiten Beispiels, sehen wir Unsicherheit. Von hier aus finden wir den höchsten Grad des Zählers und Nenners – das ist x 3, wir nehmen es aus den Klammern im Zähler und Nenner und reduzieren es dann um:

Antwort

Der erste Schritt hinein diese Grenze finden, ersetzen Sie stattdessen den Wert 1 X, was zu Unsicherheit führt. Um das Problem zu lösen, faktorisieren wir den Zähler und tun dies mit der Methode der Wurzelfindung quadratische Gleichung x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Der Zähler lautet also:

Antwort

Dies ist die Definition seines spezifischen Werts oder eines bestimmten Bereichs, in den die Funktion fällt, der durch den Grenzwert begrenzt ist.

Um Grenzen zu lösen, befolgen Sie die Regeln:

Das Wesentliche und Wesentliche verstanden haben Regeln zur Lösung des Grenzwertes erhalten Sie ein grundlegendes Verständnis für die Lösung dieser Probleme.