Ολοκληρώματα για ομοιώματα: πώς να λύσετε, κανόνες υπολογισμού, επεξήγηση. Οι απλούστερες ιδιότητες των ολοκληρωμάτων Έννοια και ιδιότητες αόριστου ολοκληρώματος

Το κύριο καθήκον του διαφορικού λογισμούείναι να βρούμε την παράγωγο φά'(x)ή διαφορικό df=φά'(x)dxλειτουργίες φά(x).Στον ολοκληρωτικό λογισμό λύνεται το αντίστροφο πρόβλημα. Σύμφωνα με μια δεδομένη συνάρτηση φά(x) πρέπει να βρείτε μια τέτοια συνάρτηση ΦΑ(x),Τι F'(x)=φά(x)ή dF(x)=ΦΑ'(x)dx=φά(x)dx.

Ετσι, το κύριο καθήκον του ολοκληρωτικού λογισμούείναι η αποκατάσταση της λειτουργίας ΦΑ(x)από τη γνωστή παράγωγο (διαφορικό) αυτής της συνάρτησης. Ο ολοκληρωτικός λογισμός έχει πολυάριθμες εφαρμογές στη γεωμετρία, τη μηχανική, τη φυσική και την τεχνολογία. Δίνει γενική μέθοδοςεύρεση περιοχών, όγκων, κέντρων βάρους κ.λπ.

Ορισμός. ΛειτουργίαΦΑ(x), , ονομάζεται αντιπαράγωγο για τη συνάρτησηφά(x) στο σύνολο X αν είναι διαφορίσιμο για οποιοδήποτε καιΦΑ'(x)=φά(x) ήdF(x)=φά(x)dx.

Θεώρημα. Οποιαδήποτε συνεχής γραμμή στο διάστημα [ένα;β] λειτουργίαφά(x) έχει ένα αντιπαράγωγο σε αυτό το τμήμαF(x).

Θεώρημα. ΑνF 1 (x) καιF 2 (x) – δύο διαφορετικά αντιπαράγωγα της ίδιας συνάρτησηςφά(x) στο σύνολο x, τότε διαφέρουν μεταξύ τους κατά σταθερό όρο, δηλ.F 2 (x)=ΣΤ 1x)+C, όπου το C είναι μια σταθερά.

Αόριστο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητές του.

Ορισμός. ΟλότηταΦΑ(x)+Από όλες τις αντιπαράγωγες συναρτήσειςφά(x) στο σύνολο Χ λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα και συμβολίζεται:

Στον τύπο (1) φά(x)dxκάλεσε ολοκληρωμένη έκφραση,φά(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης, x – μεταβλητή ολοκλήρωσης,ΕΝΑ C – σταθερά ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες οριστικό ολοκλήρωμα, που προκύπτει από τον ορισμό του.

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα, το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού κάποιας συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

3. Ο σταθερός παράγοντας a (a≠0) μπορεί να ληφθεί ως πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος:

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:

5. ΑνΦΑ(x) – αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά(x), τότε:

6 (αμετάβλητο των τύπων ολοκλήρωσης). Οποιοσδήποτε τύπος ολοκλήρωσης διατηρεί τη μορφή του εάν η μεταβλητή ολοκλήρωσης αντικατασταθεί από οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής:

ΟπουΤο u είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων.

Ας δώσουμε βασικοί κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων.

Ας δώσουμε πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων.(Σημειώστε ότι εδώ, όπως και στον διαφορικό λογισμό, το γράμμα uμπορεί να οριστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή (u=x), και συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (u=u(x)).)

Τα ολοκληρώματα 1 – 17 λέγονται πινακοειδής.

Ορισμένοι από τους παραπάνω τύπους στον πίνακα των ολοκληρωμάτων, οι οποίοι δεν έχουν ανάλογο στον πίνακα των παραγώγων, επαληθεύονται με διαφοροποίηση των δεξιών πλευρών τους.

Αλλαγή μεταβλητής και ολοκλήρωση κατά μέρη στο αόριστο ολοκλήρωμα.

Ενσωμάτωση με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση). Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργίαx=φ(t) ορίζεται και διαφοροποιείται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο T και έστω X το σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης στο οποίο ορίζεται η συνάρτησηφά(x). Τότε αν στο σύνολο Χ η συνάρτησηφά(

Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος με σκοπό την αναγωγή του σε ένα από τα στοιχειώδη ολοκληρώματα και περαιτέρω υπολογισμό.

1. Η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

Επιπλέον, ένα ≠ 0

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων:

6. Η ιδιοκτησία είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων 4 και 5:

Επιπλέον, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Αμετάβλητη ιδιότητα του αορίστου ολοκληρώματος:

Αν, τότε

8. Ιδιοκτησία:

Αν, τότε

Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης με τη χρήση της μεθόδου μεταβλητής αλλαγής, η οποία αναλύεται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Πρώτα εφαρμόσαμε την ιδιότητα 5, μετά την ιδιότητα 4, μετά χρησιμοποιήσαμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων και πήραμε το αποτέλεσμα.

Ο αλγόριθμος της ηλεκτρονικής μας αριθμομηχανής ολοκληρωμάτων υποστηρίζει όλες τις ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω και θα βρει εύκολα μια λεπτομερή λύση για το ολοκλήρωσό σας.

Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα.

Μια αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f(x) στο διάστημα (a; b) είναι μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε η ισότητα να ισχύει για οποιοδήποτε x από το δεδομένο διάστημα.

Αν λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι η παράγωγος της σταθεράς C είναι ίση με μηδέν, τότε η ισότητα είναι αληθής . Έτσι, η συνάρτηση f(x) έχει ένα σύνολο αντιπαραγώγων F(x)+C, για μια αυθαίρετη σταθερά C, και αυτά τα αντιπαράγωγα διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια αυθαίρετη σταθερή τιμή.

Ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης f(x) ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται .

Η έκφραση ονομάζεται ολοκλήρωμα και η f(x) ονομάζεται ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το διαφορικό της συνάρτησης f(x).

Η ενέργεια εύρεσης μιας άγνωστης συνάρτησης με δεδομένο το διαφορικό της ονομάζεται αόριστη ένταξη, γιατί το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης δεν είναι μία συνάρτηση F(x), αλλά ένα σύνολο αντιπαραγώγων της F(x)+C.

Ολοκληρώματα πίνακα

Οι απλούστερες ιδιότητες των ολοκληρωμάτων

1. Η παράγωγος του αποτελέσματος της ολοκλήρωσης είναι ίση με το ολοκλήρωμα.

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας συνάρτησης ισούται με το άθροισμα της ίδιας της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς.

3. Ο συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αορίστου ολοκληρώματος.

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αθροίσματος/διαφοράς συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα/διαφορά των αόριστων ολοκληρωμάτων συναρτήσεων.

Δίνονται ενδιάμεσες ισότητες της πρώτης και της δεύτερης ιδιότητας του αορίστου ολοκληρώματος για διευκρίνιση.

Για να αποδείξουμε την τρίτη και την τέταρτη ιδιότητες, αρκεί να βρούμε τις παραγώγους των δεξιών πλευρών των ισοτήτων:

Αυτές οι παράγωγοι είναι ίσες με τα ολοκληρώματα, κάτι που αποτελεί απόδειξη λόγω της πρώτης ιδιότητας. Χρησιμοποιείται επίσης στις τελευταίες μεταβάσεις.

Έτσι, το πρόβλημα ολοκλήρωσης είναι το αντίστροφο του προβλήματος διαφοροποίησης και υπάρχει πολύ στενή σύνδεση μεταξύ αυτών των προβλημάτων:

Η πρώτη ιδιότητα επιτρέπει σε κάποιον να ελέγξει την ενοποίηση. Για να ελέγξετε την ορθότητα της ολοκλήρωσης που εκτελέστηκε, αρκεί να υπολογίσετε την παράγωγο του ληφθέντος αποτελέσματος. Εάν η συνάρτηση που προκύπτει ως αποτέλεσμα της διαφοροποίησης αποδειχθεί ίση με το ολοκλήρωμα, αυτό θα σημαίνει ότι η ολοκλήρωση πραγματοποιήθηκε σωστά.

η δεύτερη ιδιότητα του αόριστου ολοκληρώματος επιτρέπει σε κάποιον να βρει την αντιπαράγωγό του από ένα γνωστό διαφορικό μιας συνάρτησης. Ο άμεσος υπολογισμός των αόριστων ολοκληρωμάτων βασίζεται σε αυτή την ιδιότητα.

1.4.Αμετάβλητο των μορφών ολοκλήρωσης.

Η αναλλοίωτη ολοκλήρωση είναι ένας τύπος ολοκλήρωσης για συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα είναι στοιχεία μιας ομάδας ή σημεία ενός ομοιογενούς χώρου (οποιοδήποτε σημείο σε ένα τέτοιο χώρο μπορεί να μεταφερθεί σε άλλο με μια δεδομένη ενέργεια της ομάδας).

Η συνάρτηση f(x) ανάγεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος της διαφορικής μορφής f.w, όπου

Ένας σαφής τύπος για το r(x) δίνεται παρακάτω. Ο όρος συμφωνίας έχει τη μορφή .

εδώ Tg σημαίνει τον τελεστή μετατόπισης στο X χρησιμοποιώντας gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Έστω X=G μια τοπολογία, μια ομάδα που ενεργεί στον εαυτό της με αριστερές μετατοπίσεις. Ι. και. υπάρχει εάν και μόνο εάν το G είναι τοπικά συμπαγές (ιδίως, σε ομάδες απεριόριστων διαστάσεων I.I. δεν υπάρχει). Για ένα υποσύνολο του I. και. Η χαρακτηριστική συνάρτηση cA (ίση με 1 στο A και 0 έξω από το A) καθορίζει το αριστερό μέτρο Xaar m(A). Η καθοριστική ιδιότητα αυτού του μέτρου είναι η αναλλοίωσή του στις αριστερές μετατοπίσεις: m(g-1A)=m(A) για όλα τα gОG. Το αριστερό μέτρο Haar σε μια ομάδα ορίζεται μοναδικά μέχρι έναν θετικό βαθμωτό παράγοντα. Αν το μέτρο Haar m είναι γνωστό, τότε I. και. Η συνάρτηση f δίνεται από τον τύπο . Το σωστό μέτρο Haar έχει παρόμοιες ιδιότητες. Υπάρχει ένας συνεχής ομομορφισμός (χάρτης που διατηρεί την ιδιότητα της ομάδας) ΓΔ της ομάδας G στη θέση της ομάδας (σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό). αριθμοί για τους οποίους

όπου dmr και dmi είναι τα δεξιά και τα αριστερά μέτρα Haar. Καλείται η συνάρτηση DG(g). ενότητα της ομάδας G. Αν , τότε καλείται η ομάδα G. μονομορφική? Σε αυτή την περίπτωση, το δεξί και το αριστερό μέτρο Haar συμπίπτουν. Οι συμπαγείς, ημιαπλές και μη δυναμικές (ιδιαίτερα, οι ανταλλάξιμες) ομάδες είναι μονομορφικές. Εάν το G είναι μια n-διάστατη ομάδα Lie και το q1,...,qn είναι μια βάση στο χώρο των αριστερών αμετάβλητων μορφών 1 στο G, τότε το αριστερό μέτρο Haar στο G δίνεται από τη μορφή n. Σε τοπικές συντεταγμένες για υπολογισμό

σχηματίζει qi, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε υλοποίηση πίνακα της ομάδας G: ο πίνακας 1-μορφής g-1dg παραμένει αμετάβλητος και ο συντελεστής του. είναι αριστερές-αμετάβλητες βαθμωτές 1-μορφές από τις οποίες επιλέγεται η απαιτούμενη βάση. Για παράδειγμα, η πλήρης ομάδα μήτρας GL(n, R) είναι μονομορφική και το μέτρο Haar σε αυτήν δίνεται από τη μορφή. Αφήνω Το X=G/H είναι ένας ομοιογενής χώρος για τον οποίο η τοπικά συμπαγής ομάδα G είναι μια ομάδα μετασχηματισμού και η κλειστή υποομάδα H είναι ο σταθεροποιητής ενός συγκεκριμένου σημείου. Για να υπάρχει ένα i.i στο X, είναι απαραίτητο και αρκετό για όλα τα hΟH να ισχύει η ισότητα DG(h)=DH(h). Ειδικότερα, αυτό ισχύει στην περίπτωση που το H είναι συμπαγές ή ημιαπλό. Πλήρης θεωρία του Ι. και. δεν υπάρχει σε πολλαπλές άπειρων διαστάσεων.

Αντικατάσταση μεταβλητών.

Αντιπαράγωγη συνάρτηση και αόριστο ολοκλήρωμα

Γεγονός 1. Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη δράση της διαφοροποίησης, δηλαδή η επαναφορά μιας συνάρτησης από τη γνωστή παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Η λειτουργία αποκαταστάθηκε έτσι φά(x) ονομάζεται αντιπαράγωγογια λειτουργία φά(x).

Ορισμός 1. Λειτουργία φά(x φά(x) σε κάποιο διάστημα Χ, εάν για όλες τις τιμές xαπό αυτό το διάστημα ισχύει η ισότητα φά "(x)=φά(x), δηλαδή αυτή η συνάρτηση φά(x) είναι το παράγωγο της αντιπαράγωγης συνάρτησης φά(x). .

Για παράδειγμα, η συνάρτηση φά(x) = αμαρτία x είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησης φά(x) = κοσ x σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αφού για οποιαδήποτε τιμή του x (αμαρτία x)" = (κοσ x) .

Ορισμός 2. Αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης φά(x) είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων του. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός

∫

φά(x)dx

που είναι το σημάδι ∫ που ονομάζεται ολοκληρωτικό σύμβολο, η συνάρτηση φά(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης και φά(x)dx – ολοκληρωμένη έκφραση.

Έτσι, εάν φά(x) – κάποιο αντιπαράγωγο για φά(x), Αυτό

∫

φά(x)dx = φά(x) +ντο

Οπου ντο - αυθαίρετη σταθερά (σταθερά).

Για να κατανοήσουμε την έννοια του συνόλου των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης ως αόριστο ολοκλήρωμα, είναι κατάλληλη η ακόλουθη αναλογία. Ας υπάρχει μια πόρτα (παραδοσιακή ξύλινη πόρτα). Η λειτουργία του είναι να «είναι πόρτα». Από τι είναι κατασκευασμένη η πόρτα; Κατασκευασμένο από ξύλο. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των αντιπαραγώγων του ολοκληρώματος της συνάρτησης «to be a door», δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωσό της, είναι η συνάρτηση «to be a tree + C», όπου το C είναι μια σταθερά, η οποία σε αυτό το πλαίσιο μπορεί δηλώνουν, για παράδειγμα, τον τύπο του δέντρου. Ακριβώς όπως μια πόρτα είναι κατασκευασμένη από ξύλο χρησιμοποιώντας ορισμένα εργαλεία, μια παράγωγος μιας συνάρτησης "φτιάχνεται" από μια αντιπαράγωγη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τύπους που μάθαμε μελετώντας την παράγωγο .

Τότε ο πίνακας των συναρτήσεων των κοινών αντικειμένων και των αντίστοιχων αντιπαραγώγων τους ("να είσαι πόρτα" - "να είσαι δέντρο", "να είσαι κουτάλι" - "να είσαι μέταλλο" κ.λπ.) είναι παρόμοιος με τον πίνακα των βασικών αόριστα ολοκληρώματα, τα οποία θα δοθούν παρακάτω. Ο πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων παραθέτει κοινές συναρτήσεις, υποδεικνύοντας τα αντιπαράγωγα από τα οποία «δημιουργούνται» αυτές οι συναρτήσεις. Σε ένα μέρος των προβλημάτων εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος δίνονται ολοκληρώματα που μπορούν να ενσωματωθούν απευθείας χωρίς μεγάλη προσπάθεια, δηλαδή χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων. Σε πιο σύνθετα προβλήματα, το ολοκλήρωμα πρέπει πρώτα να μετασχηματιστεί έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν ολοκληρώματα πίνακα.

Γεγονός 2. Όταν επαναφέρουμε μια συνάρτηση ως αντιπαράγωγο, πρέπει να λάβουμε υπόψη μια αυθαίρετη σταθερά (σταθερά) ντο, και για να μην γράψετε μια λίστα αντιπαραγώγων με διάφορες σταθερές από το 1 έως το άπειρο, θα πρέπει να γράψετε ένα σύνολο αντιπαραγώγων με μια αυθαίρετη σταθερά ντο, για παράδειγμα, ως εξής: 5 x³+C. Έτσι, μια αυθαίρετη σταθερά (σταθερά) περιλαμβάνεται στην έκφραση του αντιπαράγωγου, αφού το αντιπαράγωγο μπορεί να είναι μια συνάρτηση, για παράδειγμα, 5 x³+4 ή 5 x³+3 και όταν διαφοροποιείται, το 4 ή το 3 ή οποιαδήποτε άλλη σταθερά πηγαίνει στο μηδέν.

Ας θέσουμε το πρόβλημα ολοκλήρωσης: για αυτήν τη συνάρτηση φά(x) βρείτε μια τέτοια συνάρτηση φά(x), του οποίου το παράγωγοεφάμιλλος φά(x).

Παράδειγμα 1.Να βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης

Διάλυμα. Για αυτή τη συνάρτηση, το αντιπαράγωγο είναι η συνάρτηση

Λειτουργία φά(x) ονομάζεται αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση φά(x), εάν το παράγωγο φά(x) ισούται με φά(x), ή, που είναι το ίδιο πράγμα, διαφορικό φά(x) είναι ίσο φά(x) dx, δηλ.

(2)

Επομένως, η συνάρτηση είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησης. Ωστόσο, δεν είναι το μόνο αντιπαράγωγο για το . Λειτουργούν και ως λειτουργίες

Οπου ΜΕ– αυθαίρετη σταθερά. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί με διαφοροποίηση.

Έτσι, εάν υπάρχει ένα αντιπαράγωγο για μια συνάρτηση, τότε για αυτήν υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αντιπαραγώγων που διαφέρουν κατά έναν σταθερό όρο. Όλα τα αντιπαράγωγα για μια συνάρτηση γράφονται με την παραπάνω μορφή. Αυτό προκύπτει από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα (τυπική δήλωση του γεγονότος 2).Αν φά(x) – αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση φά(x) σε κάποιο διάστημα Χ, τότε οποιοδήποτε άλλο αντιπαράγωγο για φά(x) στο ίδιο διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί στη φόρμα φά(x) + ντο, Πού ΜΕ– αυθαίρετη σταθερά.

Στο επόμενο παράδειγμα, στραφούμε στον πίνακα των ολοκληρωμάτων, που θα δοθεί στην παράγραφο 3, μετά τις ιδιότητες του αορίστου ολοκληρωτικού. Αυτό το κάνουμε πριν διαβάσουμε ολόκληρο τον πίνακα για να είναι ξεκάθαρη η ουσία των παραπάνω. Και μετά τον πίνακα και τις ιδιότητες, θα τα χρησιμοποιήσουμε στο σύνολό τους κατά την ενσωμάτωση.

Παράδειγμα 2.Βρείτε σύνολα αντιπαράγωγων συναρτήσεων:

Διάλυμα. Βρίσκουμε σύνολα αντιπαραγώγων συναρτήσεων από τα οποία «φτιάχνονται» αυτές οι συναρτήσεις. Όταν αναφέρετε τύπους από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων, προς το παρόν απλώς αποδεχτείτε ότι υπάρχουν τέτοιοι τύποι εκεί και θα μελετήσουμε τον ίδιο τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων λίγο πιο πέρα.

1) Εφαρμογή του τύπου (7) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n= 3, παίρνουμε

2) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (10) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n= 1/3, έχουμε

3) Από τότε

τότε σύμφωνα με τον τύπο (7) με n= -1/4 βρίσκουμε

Δεν είναι η ίδια η συνάρτηση που γράφεται κάτω από το ολοκλήρωμα. φά, και το προϊόν του από το διαφορικό dx. Αυτό γίνεται κυρίως για να υποδειχθεί με ποια μεταβλητή αναζητείται το αντιπαράγωγο. Για παράδειγμα,

, ;

Εδώ και στις δύο περιπτώσεις το ολοκλήρωμα είναι ίσο με , αλλά τα αόριστα ολοκληρώματά του στις εξεταζόμενες περιπτώσεις αποδεικνύονται διαφορετικά. Στην πρώτη περίπτωση, αυτή η συνάρτηση θεωρείται ως συνάρτηση της μεταβλητής x, και στο δεύτερο - ως συνάρτηση του z .

Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση αυτής της συνάρτησης.

Γεωμετρική σημασία του αορίστου ολοκληρώματος

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια καμπύλη y=F(x)και γνωρίζουμε ήδη ότι η εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας σε κάθε σημείο της είναι δεδομένη συνάρτηση f(x)τετμημένη αυτού του σημείου.

Σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης σε ένα δεδομένο σημείο της καμπύλης y=F(x)ίση με την τιμή του παραγώγου F"(x). Πρέπει λοιπόν να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση F(x), για το οποίο F"(x)=f(x). Λειτουργία που απαιτείται στην εργασία F(x)είναι ένα αντιπαράγωγο του f(x). Οι συνθήκες του προβλήματος ικανοποιούνται όχι από μια καμπύλη, αλλά από μια οικογένεια καμπυλών. y=F(x)- μία από αυτές τις καμπύλες και οποιαδήποτε άλλη καμπύλη μπορεί να ληφθεί από αυτήν παράλληλη μεταφοράκατά μήκος του άξονα Oy.

Ας ονομάσουμε το γράφημα της αντιπαράγωγης συνάρτησης του f(x)ολοκληρωμένη καμπύλη. Αν F"(x)=f(x), μετά το γράφημα της συνάρτησης y=F(x)υπάρχει μια ολοκληρωμένη καμπύλη.

Γεγονός 3. Το αόριστο ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από την οικογένεια όλων των ολοκληρωτικών καμπυλών , όπως στην παρακάτω εικόνα. Η απόσταση κάθε καμπύλης από την αρχή των συντεταγμένων καθορίζεται από μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης ντο.

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Γεγονός 4. Θεώρημα 1. Η παράγωγος ενός αόριστου ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα και το διαφορικό του είναι ίσο με το ολοκλήρωμα.

Γεγονός 5. Θεώρημα 2. Αόριστο ολοκλήρωμα διαφορικού συνάρτησης φά(x) ισούται με τη συνάρτηση φά(x) μέχρι σταθερό όρο , δηλ.

(3)

Τα θεωρήματα 1 και 2 δείχνουν ότι η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι αμοιβαία αντίστροφες πράξεις.

Γεγονός 6. Θεώρημα 3. Ο σταθερός παράγοντας στο ολοκλήρωμα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος , δηλ.

Σε αυτό το άρθρο θα απαριθμήσουμε τις κύριες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. Οι περισσότερες από αυτές τις ιδιότητες αποδεικνύονται με βάση τις έννοιες του ορισμένου ολοκληρώματος Riemann και Darboux.

Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος γίνεται πολύ συχνά χρησιμοποιώντας τις πέντε πρώτες ιδιότητες, οπότε θα αναφερθούμε σε αυτές όταν χρειαστεί. Οι υπόλοιπες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιούνται κυρίως για την αξιολόγηση διαφόρων εκφράσεων.

Πριν προχωρήσουμε βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, ας συμφωνήσουμε ότι το α δεν υπερβαίνει το β.

Για τη συνάρτηση y = f(x) που ορίζεται στο x = a, η ισότητα είναι αληθής.

Δηλαδή, η τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος με τα ίδια όρια ολοκλήρωσης είναι ίση με μηδέν. Αυτή η ιδιότητα είναι συνέπεια του ορισμού του ολοκληρώματος Riemann, αφού σε αυτή την περίπτωση κάθε ολοκληρωτικό άθροισμα για οποιοδήποτε διαμέρισμα του διαστήματος και κάθε επιλογή σημείων είναι ίσο με μηδέν, αφού, επομένως, το όριο των ολοκληρωμάτων είναι μηδέν.

Για μια συνάρτηση που μπορεί να ολοκληρωθεί σε ένα διάστημα, .

Με άλλα λόγια, όταν το ανώτερο και το κατώτερο όριο της ολοκλήρωσης αλλάζουν θέσεις, η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος αλλάζει προς το αντίθετο. Αυτή η ιδιότητα ενός ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει επίσης από την έννοια του ολοκληρώματος Riemann, μόνο η αρίθμηση του διαμερίσματος του τμήματος πρέπει να ξεκινά από το σημείο x = b.

για συναρτήσεις που μπορούν να ολοκληρωθούν σε διάστημα y = f(x) και y = g(x) .

Απόδειξη.

Ας γράψουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα της συνάρτησης για ένα δεδομένο διαμέρισμα ενός τμήματος και μια δεδομένη επιλογή σημείων:

όπου και είναι τα ολοκληρωτικά αθροίσματα των συναρτήσεων y = f(x) και y = g(x) για ένα δεδομένο διαμέρισμα του τμήματος, αντίστοιχα.

Πηγαίνοντας στο όριο στο λαμβάνουμε ότι, με τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann, είναι ισοδύναμο με τη δήλωση της ιδιότητας που αποδεικνύεται.

Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος. Δηλαδή, για μια συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί σε ένα διάστημα και έναν αυθαίρετο αριθμό k, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: .

Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας του ορισμένου ολοκληρώματος είναι απολύτως παρόμοια με την προηγούμενη:


Έστω η συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα X, και και μετά .

Αυτή η ιδιότητα ισχύει και για τα δύο , και ή .

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση τις προηγούμενες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

Εάν μια συνάρτηση μπορεί να ολοκληρωθεί σε ένα διάστημα, τότε είναι ενσωματώσιμη σε οποιοδήποτε εσωτερικό διάστημα.

Η απόδειξη βασίζεται στην ιδιότητα των αθροισμάτων Darboux: εάν προστεθούν νέα σημεία σε ένα υπάρχον διαμέρισμα ενός τμήματος, τότε το χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν θα μειωθεί και το ανώτερο δεν θα αυξηθεί.

Εάν η συνάρτηση y = f(x) μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα και για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος, τότε .

Αυτή η ιδιότητα αποδεικνύεται μέσω του ορισμού του ολοκληρώματος Riemann: οποιοδήποτε ολοκληρωτικό άθροισμα για οποιαδήποτε επιλογή σημείων διαμερίσματος του τμήματος και σημείων στο θα είναι μη αρνητικό (όχι θετικό).

Συνέπεια.

Για συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) που μπορούν να ολοκληρωθούν σε ένα διάστημα, ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις:


Αυτή η δήλωση σημαίνει ότι η ενσωμάτωση των ανισοτήτων είναι επιτρεπτή. Θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το συμπέρασμα για να αποδείξουμε τις ακόλουθες ιδιότητες.

Έστω η συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα , τότε ισχύει η ανισότητα .

Απόδειξη.

Είναι προφανές ότι . Στην προηγούμενη ιδιότητα, ανακαλύψαμε ότι η ανισότητα μπορεί να ενσωματωθεί ανά όρο, επομένως, είναι αλήθεια . Αυτή η διπλή ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως .

Έστω οι συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) ενσωματώσιμες στο διάστημα και για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος, τότε , Πού Και .

Η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο. Αφού τα m και M είναι τα μικρότερα και υψηλότερη τιμήσυνάρτηση y = f(x) στο τμήμα , τότε . Πολλαπλασιασμός της διπλής ανισότητας με μη αρνητική συνάρτησηΤο y = g(x) μας οδηγεί στην ακόλουθη διπλή ανισότητα. Ενσωματώνοντάς το στο διάστημα , φτάνουμε στη δήλωση που αποδεικνύεται.

Συνέπεια.

Αν πάρουμε g(x) = 1, τότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή .

Ο πρώτος μέσος τύπος.

Έστω η συνάρτηση y = f(x) που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα, και , τότε υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που .

Συνέπεια.

Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι συνεχής στο διάστημα, τότε υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που .

Ο πρώτος τύπος μέσης τιμής σε γενικευμένη μορφή.

Έστω οι συναρτήσεις y = f(x) και y = g(x) στο διάστημα, και , και g(x) > 0 για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος . Τότε υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που .

Δεύτερη φόρμουλα μέσου όρου.

Αν σε ένα διάστημα η συνάρτηση y = f(x) είναι ολοκλήρωση και η y = g(x) είναι μονότονη, τότε υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε η ισότητα .