Ακατάλληλα ολοκληρώματα. Δοκιμές για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συναρτήσεων Ορισμός και βασικές ιδιότητες

1. Ακατάλληλα ολοκληρώματα με άπειρα όρια

Ας θυμηθούμε τον ορισμό του ολοκληρώματος ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων:

Ο ορισμός προϋποθέτει ότι το διάστημα ολοκλήρωσης είναι πεπερασμένο και η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής μέσα σε αυτό. Η παραβίαση αυτών των υποθέσεων οδηγεί σε ακατάλληλα ολοκληρώματα.

Ορισμός.Αν το ολοκλήρωμα τείνει σε ένα πεπερασμένο όριο καθώς αυξάνεται απεριόριστα "σι", τότε αυτό το όριο ονομάζεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα με άπειρο άνω όριο της συνάρτησης f (x) και συμβολίζεται με το σύμβολο

Σε αυτή την περίπτωση, το ακατάλληλο ολοκλήρωμα λέγεται ότι υπάρχει ή συγκλίνει.

Εάν το καθορισμένο όριο δεν υπάρχει ή υπάρχει αλλά είναι άπειρο, τότε το ολοκλήρωμα λέγεται ότι δεν υπάρχει ή ότι αποκλίνει.

Ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα με άπειρο κάτω όριο ορίζεται παρομοίως:

Ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα με δύο άπειρα όρια δίνεται από:

όπου c είναι οποιοδήποτε σταθερό σημείο στον άξονα Ox.

Έτσι, τα ακατάλληλα ολοκληρώματα μπορούν να έχουν ένα άπειρο κάτω όριο, ένα άπειρο άνω όριο και επίσης δύο άπειρα φράγματα.

Σημάδια σύγκλισης. Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση

Ολόκληρο υπάρχει μόνο αν υπάρχει καθένα από τα ολοκληρώματα: και .

Παράδειγμα.Εξετάστε τη σύγκλιση του ολοκληρώματος

Υποθέτοντας c = 0, παίρνουμε:

εκείνοι. το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

Μερικές φορές δεν χρειάζεται να υπολογιστεί ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα, αλλά αρκεί απλώς να γνωρίζουμε εάν συγκλίνει ή αποκλίνει συγκρίνοντάς το με ένα άλλο ολοκλήρωμα.

Θεώρημα σύγκρισης για ακατάλληλα ολοκληρώματα.

Έστω ότι η συνάρτηση f (x) στο διάστημα έχει πολλά (πεπερασμένος αριθμός) σημεία ασυνέχειας του πρώτου είδους, αυτό το «εμπόδιο» μπορεί εύκολα να εξαλειφθεί διαιρώντας το τμήμα σε πολλά τμήματα με σημεία ασυνέχειας, υπολογίζοντας συγκεκριμένα ολοκληρώματα σε κάθε μεμονωμένο τμήμα και αθροίζοντας τα αποτελέσματα.

Ας εξετάσουμε το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης που είναι απεριόριστο όταν πλησιάζει ένα από τα άκρα του τμήματος, για παράδειγμα, .

(Σε τέτοιες περιπτώσεις συνήθως λένε: ''Η συνάρτηση έχει μια άπειρη ασυνέχεια στο δεξί άκρο του διαστήματος ολοκλήρωσης.'').

Είναι σαφές ότι ο συνηθισμένος ορισμός ενός ολοκληρώματος χάνει εδώ το νόημά του.

Ορισμός. Ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x), συνεχές για £ x< b и неограниченной при x ® b - 0, называется предел:

Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης που έχει άπειρη ασυνέχεια στο αριστερό άκρο του τμήματος ορίζεται παρόμοια:

Κατά συνέπεια, στην ενότητα [-1, 0] το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Αυτό σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα αποκλίνει επίσης στην ενότητα.

Έτσι, αυτό το ολοκλήρωμα αποκλίνει σε ολόκληρο το διάστημα [-1, 1]. Σημειώστε ότι αν αρχίζαμε να υπολογίζουμε αυτό το ολοκλήρωμα χωρίς να δίνουμε προσοχή στην ασυνέχεια του ολοκληρώματος στο σημείο x = 0, θα παίρναμε λάθος αποτέλεσμα. Πραγματικά,

, κάτι που είναι αδύνατο.

Έτσι, για να μελετήσουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα μιας ασυνεχούς συνάρτησης, είναι απαραίτητο να το «διαιρέσουμε» σε πολλά ολοκληρώματα και να τα μελετήσουμε.

Όπως είναι γνωστό, η εύρεση του ολοκληρώματος μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο έργο. Θα ήταν μεγάλη απογοήτευση να αρχίσετε να υπολογίζετε ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα και να βρείτε στο τέλος της διαδρομής ότι αποκλίνει. Επομένως, ενδιαφέρον παρουσιάζουν μέθοδοι που επιτρέπουν, χωρίς σοβαρούς υπολογισμούς που βασίζονται σε έναν τύπο συνάρτησης, να εξαχθεί ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σύγκλιση ή την απόκλιση ενός ακατάλληλου ολοκληρώματος. Το πρώτο και το δεύτερο θεωρήματα σύγκρισης, τα οποία θα συζητηθούν παρακάτω, βοηθούν πολύ στη μελέτη ακατάλληλων ολοκληρωμάτων για σύγκλιση.

Έστω f(x)?0. Στη συνέχεια οι συναρτήσεις

είναι μονότονα αυξανόμενες στις μεταβλητές t ή -g (αφού παίρνουμε g>0, το -g τείνει στο μηδέν από τα αριστερά). Εάν, καθώς αυξάνονται τα ορίσματα, οι συναρτήσεις F 1 (t) και F 2 (-d) παραμένουν δεσμευμένες από πάνω, αυτό σημαίνει ότι τα αντίστοιχα ακατάλληλα ολοκληρώματα συγκλίνουν. Αυτή είναι η βάση του πρώτου θεωρήματος σύγκρισης για ολοκληρώματα μη αρνητικών συναρτήσεων.

Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) στο x?a ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:

• 1) 0;f(x);g(x);
• 2) Οι συναρτήσεις f(x) και g(x) είναι συνεχείς.

Στη συνέχεια από τη σύγκλιση του ολοκληρώματος ακολουθεί η σύγκλιση του ολοκληρώματος και από την απόκλιση του ολοκληρώματος ακολουθεί η απόκλιση

Αφού το 0?f(x)?g(x) και οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, τότε

Κατά συνθήκη, το ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλ. έχει πεπερασμένη τιμή. Επομένως, το ολοκλήρωμα συγκλίνει επίσης.

Τώρα αφήστε το ολοκλήρωμα να αποκλίνει. Ας υποθέσουμε ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει, αλλά τότε το ολοκλήρωμα πρέπει να συγκλίνει, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη. Η υπόθεση μας είναι εσφαλμένη, το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Θεώρημα σύγκρισης για ακατάλληλα ολοκληρώματα 2ου είδους.

Έστω για τις συναρτήσεις f(x) και g(x) στο διάστημα , αυξάνεται χωρίς όριο για x>+0. Για x>+0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Θεώρημα σύγκρισης για ακατάλληλα ολοκληρώματα 1ου είδους.

Έστω για τη συνάρτηση f(x) και g(x) στο διάστημα $, και οι δύο παρακάτω αριθμοί θεωρούνται πεπερασμένοι. Εάν υπάρχει μόνο 1 ασυνέχεια, μπορεί να βρίσκεται είτε στο σημείο $a$, είτε στο σημείο $b$, είτε μέσα στο διάστημα $(a,\,b)$. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όταν υπάρχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους στο σημείο $a$, και σε άλλα σημεία η συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι συνεχής. Συζητάμε λοιπόν το ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(εξίσωση)

και $f(x) \rightarrow \infty $ όταν $x \rightarrow a+0$. Όπως και πριν, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να δώσετε νόημα σε αυτή την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε το ολοκλήρωμα

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Ορισμός. Ας υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Στη συνέχεια, το ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους (22) λέγεται ότι συγκλίνει και η τιμή $A$ αποδίδεται σε αυτό η ίδια η συνάρτηση $f(x)$ λέγεται ότι μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα $\left[ a, \. , b\right]$.

Ας εξετάσουμε την επιλογή όταν υπάρχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους στη συνάρτηση ολοκλήρωσης στο ανώτερο όριο του διαστήματος ολοκλήρωσης. Αυτή η περίπτωση μπορεί να μειωθεί στην προηγούμενη κάνοντας την αλλαγή της μεταβλητής $x=-t$ και στη συνέχεια αναδιατάσσοντας τα όρια ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε την επιλογή όταν η συνάρτηση ολοκλήρωσης έχει μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης, στο σημείο $c \in (a,\,b)$. Σε αυτή την περίπτωση, το αρχικό ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(εξίσωση)

παρουσιάζεται ως άθροισμα

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Ορισμός. Εάν και τα δύο ολοκληρώματα $I_1, \, I_2$ συγκλίνουν, τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται συγκλίνον και του αποδίδεται τιμή ίση με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων $I_1, \, I_2$, της συνάρτησης $f(x)$ ονομάζεται integrable στο διάστημα $\left [a, \, b\right]$. Εάν τουλάχιστον ένα από τα ολοκληρώματα $I_1,\, I_2$ είναι αποκλίνον, το ακατάλληλο ολοκλήρωμα (23) ονομάζεται αποκλίνον.

Συγκλίνοντα ακατάλληλα ολοκληρώματα του 2ου είδους έχουν όλες τις τυπικές ιδιότητες των συνηθισμένων ορισμένων ολοκληρωμάτων.

1. Εάν τα $f(x)$, $g(x)$ μπορούν να ενσωματωθούν στο διάστημα $\left[ a, \,b \right ]$, τότε το άθροισμά τους $f(x)+g(x)$ είναι μπορεί επίσης να ενσωματωθεί σε αυτό το διάστημα και \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( β)ζ (x)dx. \] 2. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματώσιμο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε για οποιαδήποτε σταθερά $C$ η συνάρτηση $C\cdot f(x)$ είναι επίσης ενσωματώσιμο σε αυτό το διάστημα , και \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματώσιμο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, και σε αυτό το διάστημα $f(x)>0$, τότε \[ \int _a^ (β ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Εάν το $f(x)$ είναι ενσωματώσιμο στο διάστημα $\left[ a, \, b \right ]$, τότε για οποιοδήποτε $c\in (a, \,b)$ τα ολοκληρώματα \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] επίσης συγκλίνουν και \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (προσθετικότητα του ολοκληρώματος στο διάστημα).

Εξετάστε το ολοκλήρωμα

\αρχή(εξίσωση) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(εξίσωση)

Εάν $k>0$, το ολοκλήρωμα τείνει στο $\infty$ ως $x \rightarrow +0$, οπότε το ολοκλήρωμα είναι ακατάλληλο του δεύτερου είδους. Ας παρουσιάσουμε τη συνάρτηση

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Σε αυτή την περίπτωση το αντιπαράγωγο είναι γνωστό, άρα

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

για $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

για $k = 1$. Λαμβάνοντας υπόψη τη συμπεριφορά στο $\epsilon \rightarrow +0$, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το ολοκλήρωμα (20) συγκλίνει στο $k

10.2.2 Δοκιμές για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 2ου είδους

Θεώρημα (το πρώτο σημάδι σύγκρισης). Έστω τα $f(x)$, $g(x)$ συνεχόμενα για $x\in (a,\,b)$ και $0 1. Αν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x) Το dx \] συγκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx συγκλίνει. \] 2. Αν το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)f(x)dx \] αποκλίνει, τότε το ολοκλήρωμα \[ \int _a^(b)g(x)dx αποκλίνει. \]

Θεώρημα (δεύτερο κριτήριο σύγκρισης). Έστω $f(x)$, $g(x)$ συνεχές και θετικό για $x\in (a,\,b)$ και ας υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο

\[ \theta = \lim_(x \δεξιό βέλος a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Μετά τα ολοκληρώματα

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.