Μάθημα «Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο» (ΣΤ τάξη). Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου: μέθοδοι, παραδείγματα εύρεσης LCM IV. Μήνυμα θέματος μαθήματος

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, που ξεκινήσαμε στην ενότητα «LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα». Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς και θα εξετάσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω GCD

Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να προσδιορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό για θετικούς αριθμούς.

Ορισμός 1

Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Παράδειγμα 1

Πρέπει να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.

Διάλυμα

Ας πάρουμε a = 126, b = 70. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Βρίσκει το gcd των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον ευκλείδειο αλγόριθμο: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, επομένως GCD (126 , 70) = 14 .

Ας υπολογίσουμε το LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Απάντηση: LCM(126, 70) = 630.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τον αριθμό 68 και 34.

Διάλυμα

GCD σε σε αυτή την περίπτωσηΑυτό δεν είναι δύσκολο, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Ας υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Τώρα ας δούμε τη μέθοδο εύρεσης του LCM, η οποία βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 2

Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:

• Συνθέτουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων των αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
• Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προϊόντα που προκύπτουν.
• το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.

Αυτή η μέθοδος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στην αποσύνθεση αυτών των δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, το gcd δύο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις αυτών των δύο αριθμών.

Παράδειγμα 3

Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210. Μπορούμε να τις συνυπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Αν συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, λαμβάνετε: 2 3 3 5 5 5 7.

Αν εξαιρέσουμε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς 3 και 5, παίρνουμε ένα γινόμενο της ακόλουθης μορφής: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , παραγοντοποιώντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Διάλυμα

Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7.

Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην αποσύνθεση αυτών των αριθμών θα έχει τη μορφή: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε κοινούς παράγοντες. Αυτός είναι ο αριθμός 7. Ας το εξαιρέσουμε από το συνολικό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Απάντηση: LOC(441, 700) = 44.100.

Ας δώσουμε μια άλλη διατύπωση της μεθόδου εύρεσης του LCM αποσυνθέτοντας αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 3

Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:

• Ας συνυπολογίσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
• προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
• παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.

Παράδειγμα 5

Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210, για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 οι αριθμοί 75 προσθέτουν τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210. Παίρνουμε: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.

Διάλυμα

Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε απλούς παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Ας προσθέσουμε στο γινόμενο τους παράγοντες 2, 2, 3 και 7 αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2, 3, 3 και
3 αριθμοί 648. Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απάντηση: LCM(84, 648) = 4.536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.

Θεώρημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kΑυτοί οι αριθμοί βρίσκονται με διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.

Παράδειγμα 7

Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140, 9, 54 και 250 .

Διάλυμα

Ας εισάγουμε τον συμβολισμό: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Ας εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Παίρνουμε: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1.260. Επομένως, m 2 = 1.260.

Τώρα ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Κατά τους υπολογισμούς λαμβάνουμε m 3 = 3 780.

Απλώς πρέπει να υπολογίσουμε m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ακολουθούμε τον ίδιο αλγόριθμο. Παίρνουμε m 4 = 94 500.

Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.

Απάντηση: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά αρκετά απαιτούν εργασία. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να ακολουθήσετε άλλο τρόπο.

Ορισμός 4

Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

• Αποσυνθέτουμε όλους τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.
• Στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
• στο προϊόν που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο προσθέτουμε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού κ.λπ.
• το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.

Παράδειγμα 8

Πρέπει να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84, 6, 48, 7, 143.

Διάλυμα

Ας συνυπολογίσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Οι πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7, δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Ως εκ τούτου, τα παραλείπουμε.

Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Ας περάσουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε τον πρώτο παράγοντα του 7 από τον τέταρτο αριθμό και τους συντελεστές του 11 και του 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών πέντε αριθμών.

Απάντηση: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αρνητικών αριθμών

Για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρνητικών αριθμών, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με το αντίθετο πρόσημο και στη συνέχεια να γίνουν οι υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τους παραπάνω αλγόριθμους.

Παράδειγμα 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) και LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι αν δεχθούμε ότι έναΚαι − α– αντίθετοι αριθμοί,
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού έναταιριάζει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.

Παράδειγμα 10

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .

Διάλυμα

Ας αντικαταστήσουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο.

Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών είναι − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .

Απάντηση: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Μάθημα μαθηματικών στην 6η τάξη. Καθηγητής Μαθηματικών του Γυμνασίου GBOU Νο. 539 Ντμίτρι Βαντίμοβιτς Λάμπζιν. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Προφορική εργασία. 1. Υπολογίστε: α) ; ? 2. Είναι γνωστό ότι Καταλήξτε σε σωστές προτάσεις χρησιμοποιώντας τους όρους: «είναι διαιρέτης», «διαιρείται», «είναι πολλαπλάσιο». Ποια από αυτά είναι συνώνυμα; 3. Είναι δυνατόν να πούμε ότι οι αριθμοί α, β και γ είναι πολλαπλάσια του αριθμού 14 αν: - Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμού α με το 14 και του αριθμού β με το 14.

γραπτώς. 2. Βρείτε μερικά κοινά πολλαπλάσια του 15 και του 30. Λύση. Πολλαπλάσια του 15: 15; 30; 45; 60; 75; 90... Πολλαπλάσια του 30: 30; 60; 90… Κοινά πολλαπλάσια: 30; 60; 90. - Ονομάστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 15 και 30. - Τον αριθμό 30. - Προσπαθήστε να διατυπώσετε ποιος αριθμός ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο φυσικών αριθμών a και b; Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των φυσικών αριθμών a και b είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του a όσο και του b. - Πείτε μου, είναι βολική η θεωρούμενη μέθοδος εύρεσης του NOC; - Γιατί; NOC(15;30) = 30. Γράφουν:

2. Δοσμένοι αριθμοί: - Σκεφτείτε πώς μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b; Αλγόριθμος. 1. Υπολογίστε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. 2. Γράψτε την επέκταση ενός από αυτά. 3. Προσθέστε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση ενός άλλου αριθμού. 4. Βρείτε το προϊόν που προκύπτει.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το LCM (32;25). Διάλυμα. Ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 32 και 25 σε πρώτους παράγοντες. ; - Τι μπορείτε να πείτε για τους αριθμούς 32 και 25; Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μεταξύ τους πρώτους αριθμούςείναι ίσο με το γινόμενο τους. Παράδειγμα 2. Βρείτε το LCM των αριθμών 12. 15; 20; 60. Λύση. Εάν μεταξύ των αριθμών υπάρχει ένας που διαιρείται με όλους τους άλλους, τότε αυτό είναι το LCM αυτών των αριθμών. - Τι προσέξατε;

Δίνονται αριθμοί: 15 και 30. Πολλαπλάσια του 15: 15; 30; 45; 60; 75; 90... Πολλαπλάσια του 30: 30; 60; 90... Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: 30. Αυτό είναι ενδιαφέρον! Πολλαπλάσια του 30: 30; 60; 90... Κάθε πολλαπλάσιο του αριθμού LCM (a; b) είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b και, αντιστρόφως, κάθε κοινό πολλαπλάσιό τους είναι πολλαπλάσιο του αριθμού LCM (a; b).

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".

Ένα πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο Έτσι, αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 5 μπορούν να θεωρηθούν 15, 20, 25 κ.ο.κ.

Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.

Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς να αφήνει υπόλοιπο.

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για να βρείτε το LOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.

Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών σε μια γραμμή μέχρι να βρείτε κάτι κοινό μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια συμβολίζονται με το κεφαλαίο γράμμα Κ.

Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η σημείωση γίνεται ως εξής:

LCM(4, 6) = 24

Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο υπολογισμού του LCM.

Για να ολοκληρώσετε την εργασία, πρέπει να συνυπολογίσετε τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τα υπόλοιπα.

Η αποσύνθεση κάθε αριθμού μπορεί να περιέχει διαφορετικό αριθμό παραγόντων.

Για παράδειγμα, ας συνυπολογίσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.

Στην επέκταση του μικρότερου αριθμού, θα πρέπει να επισημάνετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του πρώτου μεγαλύτερου αριθμού και στη συνέχεια να τους προσθέσετε σε αυτόν. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δύο.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού που δεν συμπεριλήφθηκαν στην επέκταση του μεγαλύτερου αριθμού θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, θα πρέπει να τους συνυπολογίσετε όλους σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Έτσι, μόνο δύο δύο από την επέκταση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην επέκταση του είκοσι τεσσάρων).

Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα, το LCM των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων είναι είκοσι τέσσερα.

Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Για παράδειγμα, LCM (10, 11) = 110.

Μάθημα 16. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Στόχοι:Εισαγάγετε την έννοια του ελάχιστου κοινού πολλαπλού· να αναπτύξουν την ικανότητα να βρίσκουν το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο. εξασκήστε την ικανότητα της αλγεβρικής επίλυσης προβλημάτων. επαναλάβετε τον αριθμητικό μέσο όρο.

Πληροφορίες για εκπαιδευτικούς

Εφιστήστε την προσοχή των μαθητών στις διαφορετικές σημασίες των εκφράσεων: «κοινό πολλαπλάσιο αριθμών», «λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών».

Βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών:

1. Ελέγξτε αν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς που δίνονται διαιρείται με τους υπόλοιπους αριθμούς.

2. Αν διαιρείται, τότε αυτός ο αριθμός θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των δεδομένων αριθμών.

3. Αν δεν διαιρείται, τότε ελέγξτε αν ο διπλάσιος μεγαλύτερος αριθμός, τριπλάσιος κ.λπ. δεν θα διαιρείται με τους υπόλοιπους αριθμούς.

4. Ελέγξτε μέχρι να βρείτε τον μικρότερο αριθμό που διαιρείται με κάθε έναν από τους άλλους αριθμούς.

μέθοδος II

2. Γράψτε την αποσύνθεση ενός από τους αριθμούς (καλύτερα να γράψετε αμέσως τον μεγαλύτερο αριθμό).

Εάν οι αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών θα είναι το γινόμενο τους.

Πρόοδος μαθήματος

ΕΓΩ. Οργανωτική στιγμή

II. Προφορική καταμέτρηση

1. Παιχνίδι «Είμαι ο πιο προσεκτικός».

15, 67, 38, 560, 435, 226, 1000, 539, 3255.

Χτυπήστε τα χέρια σας αν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 2.

Σημειώστε αν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 5.

Χτυπήστε τα πόδια σας αν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 10.

Γιατί χτυπούσες παλαμάκια, τρίζοντας και χτυπούσες τα πόδια σου ταυτόχρονα;

2. Ονομάστε όλους τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την ανίσωση 20< х < 50.

3. Ποιο είναι μεγαλύτερο, το γινόμενο ή το άθροισμα αυτών των αριθμών: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; (Άθροισμα. Το γινόμενο είναι 0 και το άθροισμα είναι 45.)

4. Ονομάστε έναν τετραψήφιο αριθμό που γράφτηκε χρησιμοποιώντας τους αριθμούς 1, 7, 5, 8, πολλαπλάσιο του 2, 5, 3. (1578, 1875, 1515.)

5. Η Μαρίνα είχε ένα ολόκληρο μήλο, δύο μισά και τέσσερα τέταρτα. Πόσα μήλα είχε; (3.)

III. Ατομική εργασία

(Δώστε την εργασία σε μαθητές που έκαναν λάθη ανεξάρτητη εργασία, επιτρέποντάς μου να χρησιμοποιήσω τις σημειώσεις στο σημειωματάριο της τάξης.)

1 κάρτα

α) 20 και 30· β) 8 και 9; γ) 24 και 36.

2. Γράψτε δύο αριθμούς για τους οποίους ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι ο αριθμός: α) 5; β) 8.

α) 22 και 33· β) 24 και 30; γ) 45 και 9; δ) 15 και 35.

2 κάρτα

1. Βρείτε όλους τους κοινούς διαιρέτες αριθμών και υπογραμμίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους:

α) 30 και 40. β) 6 και 15. γ) 28 και 42.

Ονομάστε ένα ζεύγος σχετικά πρώτων αριθμών, εάν υπάρχουν.

2. Γράψτε δύο αριθμούς για τους οποίους ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης είναι ο αριθμός: α) 3; β) 9.

3. Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη αυτών των αριθμών:

α) 33 και 44· β) 18 και 24. γ) 36 και 9; δ) 20 και 25.

IV. Μήνυμα θέματος μαθήματος

Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε ποιο είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών και πώς να το βρούμε.

V. Εκμάθηση νέου υλικού

(Το πρόβλημα είναι γραμμένο στον πίνακα.)

Διαβάστε το πρόβλημα.

Δύο βάρκες πηγαίνουν από τη μια προβλήτα στην άλλη. Ξεκινούν δουλειά την ίδια ώρα στις 8 το πρωί. Το πρώτο σκάφος ξοδεύει 2 ώρες σε ένα ταξίδι μετ' επιστροφής και το δεύτερο - 3 ώρες.

Σε ποιο μικρό χρονικό διάστημα και τα δύο σκάφη θα φτάσουν ξανά στην πρώτη προβλήτα και πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε σκάφος κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου;

Πόσες φορές την ημέρα θα συναντώνται αυτά τα σκάφη στην πρώτη προβλήτα και ποια ώρα θα συμβεί αυτό;

Ο απαιτούμενος χρόνος πρέπει να διαιρείται και με το 2 και με το 3, δηλαδή να είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 3.

Ας γράψουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 2 και του 3:

Αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 2: 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 .

Αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 3: 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 .

Υπογραμμίστε τα κοινά πολλαπλάσια του 2 και του 3.

Ονομάστε το μικρότερο πολλαπλάσιο του 2 και του 3. (Το μικρότερο πολλαπλάσιο είναι ο αριθμός 6.)

Αυτό σημαίνει ότι 6 ώρες μετά την έναρξη των εργασιών, δύο σκάφη θα φτάσουν ταυτόχρονα στην πρώτη προβλήτα.

Πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε σκάφος αυτό το διάστημα; (1 – 3 πτήσεις, 2 – 2 πτήσεις.)

Πόσες φορές την ημέρα θα συναντηθούν αυτά τα σκάφη στην πρώτη προβλήτα; (4 φορές.)

Τι ώρα θα γίνει αυτό; (Στις 14:00, 20:00, 2:00 π.μ., 8:00 π.μ.)

Ορισμός. Ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με κάθε δεδομένο φυσικό αριθμό ονομάζεται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Ονομασία: LCM (2; 3) = 6.

Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αριθμών μπορεί να βρεθεί χωρίς να σημειωθούν πολλαπλάσια αριθμών στη σειρά.

Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε:

1. Διαιρέστε όλους τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

2. Γράψτε την επέκταση ενός από τους αριθμούς (κατά προτίμηση του μεγαλύτερου).

3. Συμπληρώστε αυτήν την επέκταση με εκείνους τους παράγοντες από την επέκταση άλλων αριθμών που δεν συμπεριλήφθηκαν στη γραπτή επέκταση.

4. Υπολογίστε το γινόμενο που προκύπτει.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών:

α) 75 και 60. β) 180, 45 και 60. γ) 12 και 35.

Πρώτα πρέπει να ελέγξετε αν ο μεγαλύτερος αριθμός διαιρείται με άλλους αριθμούς.

Αν ναι, τότε ο μεγαλύτερος αριθμός θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Στη συνέχεια, προσδιορίστε εάν οι αριθμοί που δίνονται είναι συμπρώτοι.

Αν ναι, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο θα είναι το γινόμενο αυτών των αριθμών.

α) Το 75 δεν διαιρείται με το 60 και οι αριθμοί 75 και 60 δεν είναι σχετικά πρώτοι, τότε

Είναι καλύτερα να γράψετε αμέσως όχι την αποσύνθεση του αριθμού 75, αλλά τον ίδιο τον αριθμό.

β) Ο αριθμός 180 διαιρείται και με το 45 και με το 60, επομένως,

NOC (180; 45; 60) = 180.

γ) Αυτοί οι αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι, που σημαίνει LCM (12; 35) = 420.

VI. Λεπτό φυσικής αγωγής

VII. Εργασία σε μια εργασία

1. - Δημιουργήστε ένα πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια σύντομη σημείωση.

(Στην αποθήκη υπήρχαν 160 κιλά μήλα σε τρία κουτιά. Στο πρώτο κουτί ήταν 15 κιλά λιγότερα, στο δεύτερο, στο δεύτερο ήταν 2 φορές περισσότερα από το τρίτο. Πόσα κιλά μήλα ήταν σε κάθε κουτί ?)

Λύστε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας την αλγεβρική μέθοδο.

(Στον πίνακα και σε τετράδια.)

Τι παίρνουμε ως x; Γιατί; (Πόσα κιλά μήλα υπάρχουν στο πλαίσιο III. Είναι καλύτερα να λάβετε τον μικρότερο αριθμό ως x.)

Τότε τι γίνεται με το κουτί II; (2x (kg) μήλα στο κουτί II.)

Πόσοι θα είναι στο κουτί I; (2x - 15 (kg) μήλα στο πρώτο κουτί.)

Τι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να δημιουργήσετε μια εξίσωση; (3 κουτιά περιέχουν συνολικά 160 κιλά μήλα.)

1) Έστω x (kg) μήλα στο πλαίσιο III,

2x (kg) - μήλα στο κουτί II,

2x - 15 (kg) - μήλα στο πρώτο κουτί.

Γνωρίζοντας ότι υπάρχουν μόνο 160 κιλά μήλα σε 3 κουτιά, θα δημιουργήσουμε μια εξίσωση:

x + 2x + 2x - 15 = 160

x = 35; 35 κιλά μήλα στο κουτί III.

2) 35 · 2 = 70 (kg) - μήλα στο κουτί II.

3) 70 - 15 = 55 (kg) - μήλα στο κουτί I.

Τι πρέπει να κάνετε πριν γράψετε την απάντηση στο πρόβλημα; (Για να σημειώσετε την απάντηση, πρέπει να διαβάσετε την ερώτηση στο πρόβλημα.)

Ονομάστε την ερώτηση της εργασίας. (Πόσα κιλά μήλα υπήρχαν σε κάθε κουτί;)

Εφόσον γράψαμε αναλυτική επεξήγηση των ενεργειών, θα γράψουμε εν συντομία την απάντηση.

(Απάντηση: 55 κιλά, 70 κιλά, 35 κιλά.)

2. Νο 184 σελ. 30 (στον πίνακα και στα τετράδια).

Διαβάστε το πρόβλημα.

Τι πρέπει να γίνει για να απαντηθεί η προβληματική ερώτηση; (Βρείτε το LCM των αριθμών 45 και 60.)

45 = 3 · 3 · 5

60 = 2 · 5 · 2 · 3

NOC (45; 60) = 60 · 3 = 180, που σημαίνει 180 m.

(Απάντηση: 180 μ.)

VIII. Ενίσχυση της ύλης που έμαθε

1. Νο 179 σελ. 30 (στον πίνακα και στα τετράδια).

Να βρείτε τον πρώτο παραγοντοποίηση του ελάχιστου κοινού πολλαπλού και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των αριθμών a και b.

α) LCM (a; c) = 3 5 7

GCD(a;c) = 5.

β) LCM (a; c) = 2 2 3 3 5 7

GCD (a; c) = 2 2 3.

2. Αρ. 180 (α, β) σελ. 30 (με αναλυτικό σχολιασμό).

α) LCM (α; β) = 2 3 3 3 5 2 5 = 2700.

β) Εφόσον το b διαιρείται με το a, τότε το LCM θα είναι ο ίδιος ο αριθμός b.

LCM (a; b) = 2 3 3 5 7 7 = 4410.

IX. Επανάληψη διδαγμένου υλικού

1. - Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο πολλών αριθμών; (Βρείτε το άθροισμα αυτών των αριθμών, διαιρέστε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των αριθμών.)

Νο 198 σελ. 32 (στον πίνακα και στα τετράδια).

(3,8 + 4,2 + 3,5 + 4,1) : 4 = 3,9

2. Αρ. 195 σελ. 32 (ανεξάρτητα).

Πώς μπορείτε να γράψετε διαφορετικά το πηλίκο δύο αριθμών; (Ως κλάσμα.)

Χ. Ανεξάρτητη εργασία

Καταγράψτε τις ενδιάμεσες απαντήσεις.

Επιλογή Ι. Νο 125 (1-2 γραμμές) σελ. 22, αρ. 222 (α-γ) σελ. 186 (α, β).

Επιλογή II. Νο 125 (3-4 γραμμές) σελ. 22, αρ. 186 (γ, δ) σελ. 36.

XI. Συνοψίζοντας το μάθημα

Ποιος αριθμός ονομάζεται κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών;

Ποιος αριθμός ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών;

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δεδομένων αριθμών;

Σχολική εργασία στο σπίτι

Αρ. 202 (α, β, βρε ΓΚΔ και ΝΟΚ), Νο. 204 σελ. 33, Νο. 145 (α) σελ.

Ατομική εργασία: Νο 201 σελ. 32.

Θέμα: «Λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο», 6η τάξη, UMK Vilenkin N.Ya.

Τύπος μαθήματος: «ανακάλυψη» νέας γνώσης.

Κύριοι στόχοι.

Κατασκευάστε έναν ορισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και έναν αλγόριθμο για την εύρεση του LCM. Αναπτύξτε την ικανότητα εύρεσης LOC.

Ικανότητα τρένου

Στη χρήση των εννοιών των πρώτων και σύνθετων αριθμών.

Σημάδια διαιρετότητας με το 2, 3, 5, 9, 10:

Διαφορετικοί τρόποι εύρεσης LOC:

Αλγόριθμοι για την εύρεση της τομής και της ένωσης συνόλων.

3) Εκπαιδεύστε την ικανότητα παραγοντοποίησης σε πρώτους παράγοντες.

I Αυτοδιάθεση για δραστηριότητα.

Ας κάνουμε μια προθέρμανση. Τα παιδιά χωρίζονται σε ομάδες ανάλογα με τις επιλογές. Οι πρώτοι παίρνουν την κάρτα εργασιών και ανακοινώνουν στην ομάδα τους:

1ο - σημάδι διαιρετότητας με 2.

2ο – σημάδι διαιρετότητας με 3.

3ο - σημάδι διαιρετότητας με 5.

4ο - σημάδι διαιρετότητας με 9.

5ο - σημάδι διαιρετότητας με το 10.

Το 6ο είναι σημάδι διαιρετότητας με το 2..

Στην οθόνη παρουσίασης εμφανίζονται οι ακόλουθοι αριθμοί: 51, 22, 37, 191, 163, 88, 47, 133, 152, 202, 403, 75, 507, 609, 708 και τα παιδιά πρέπει να σημειώσουν στο σημειωματάριό τους τους αριθμούς που καθορίζονται από την ανάθεση (ή σηκώνονται από τη θέση τους εάν το σήμα που τους δίνεται μπορεί να εφαρμοστεί στον αριθμό)

Παιδιά, γιατί πρέπει να γνωρίζετε τα σημάδια της διαιρετότητας; (για παραγοντοποίηση αριθμών)

II. Ενημέρωση γνώσεων

Σε ποιες τάξεις μπορούν να χωριστούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί ανάλογα με τον αριθμό των διαιρετών; (για απλά και σύνθετα και 1)

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι; (αριθμοί που έχουν μόνο δύο διαιρέτες)

Αναφέρετε ορισμένους πρώτους αριθμούς) (2,3,5,7,9,11,13,17,…)

Πες μου, για την επίλυση ποιων προβλημάτων χρησιμοποιείται η παραγοντοποίηση; (βρίσκοντας τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (που μελετήθηκε σε προηγούμενα μαθήματα))

Ποιος είναι ο αλγόριθμος για την εύρεση του GCD; (διατυπώνεται ένας αλγόριθμος για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση)

Βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη του 18 και του 24;

Πώς το βρήκατε; Τα παιδιά καλούνται με με διαφορετικούς τρόπουςεύρεση gcd (μέσω καταγραφής όλων των διαιρετών αριθμών, μέσω αποσύνθεσης σε πρώτους παράγοντες).

Συγκρίνετε το gcd με καθέναν από τους αριθμούς.

III. Ορισμός μαθησιακής εργασίας και καταγραφή της δυσκολίας της δραστηριότητας

Γράψτε 8 αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 18 (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144)

Γράψτε 6 αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 24 (24, 48, 72, 96, 120, 144)

Τα κοινά πολλαπλάσια αυτών των αριθμών είναι: 72. 144

Δώστε ένα όνομα στον αριθμό 72 (Λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών: 72)

Διατυπώστε λοιπόν το θέμα του σημερινού μαθήματος (λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο)

Ποιος είναι ο σκοπός του μαθήματος; (μάθετε να βρίσκετε LOC)

Βρήκαμε το LOC χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επιλογής, αλλά ποια άλλη μέθοδο μπορούμε να βρούμε το LOC; (Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της παραγοντοποίησης σε πρώτους παράγοντες)

Ποια είναι η ουσία αυτής της μεθόδου;

IV. Χτίζοντας ένα έργο για να ξεφύγουμε από ένα πρόβλημα

Μαζί με τα παιδιά, συντάσσεται ένας αλγόριθμος για την εύρεση του LOC.

Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε:

LCM(18, 24) = 24 * 3 = 72

V. Πρωτογενής εμπέδωση στον εξωτερικό λόγο.

Τετράδιο Εργασιών, σελίδα 28 Αρ. 3 abc

Η εργασία εκτελείται με σχολιασμό σύμφωνα με τον παραγόμενο αλγόριθμο σύμφωνα με το παραπάνω προτεινόμενο σχήμα.

VI. Ανεξάρτητη εργασία με αυτοέλεγχο σύμφωνα με το πρότυπο

Οι μαθητές συμπληρώνουν το Νο. 181 (abvg) ανεξάρτητα

Λύθηκε σωστά

Τα λάθη διορθώνονται, οι αιτίες τους εντοπίζονται και διευκρινίζονται.

Αυτή τη στιγμή, οι μαθητές που έχουν ολοκληρώσει σωστά την εργασία μπορούν επιπλέον να κάνουν το Νο. 183

VII. Ένταξη στο σύστημα γνώσης και επανάληψη.

Οι μαθητές που έχουν κάνει λάθη στην ανεξάρτητη εργασία σε αυτό το στάδιο ολοκληρώνουν το Νο. 4 RT ( βιβλίο ασκήσεων, σελίδα 29) για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Οι υπόλοιποι μαθητές αποφασίζουν στις ομάδες Νο 193, 161, 192

Οι καπετάνιοι παρουσιάζουν λύσεις.

VIII. Αντανάκλαση δραστηριότητας. (περίληψη μαθήματος).

- Ποιος αριθμός ονομάζεται κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών;

Ποιος αριθμός ονομάζεται το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών;

Πώς να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο;

Οι μαθητές τοποθετούν ένα σχήμα στη γραμμή από το 0 έως το 1 για να αντιπροσωπεύουν το επίπεδο κατανόησής τους. νέο θέμα, Για παράδειγμα

IX. Σχολική εργασία στο σπίτι.

Σελ.7 σελ. 29-30, Νο. 202, 204, 206(αβ) επιπλέον (προαιρετικό) Νο. 209 με παρουσίαση στο επόμενο μάθημα.