Όλες οι ιδιότητες των ολοκληρωμάτων. Βασικές ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος. Αλλαγή μεταβλητής σε καθορισμένο ολοκλήρωμα

Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος με σκοπό την αναγωγή του σε ένα από τα στοιχειώδη ολοκληρώματα και περαιτέρω υπολογισμό.

1. Η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

Επιπλέον, ένα ≠ 0

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων:

6. Η ιδιοκτησία είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων 4 και 5:

Επιπλέον, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Αμετάβλητη ιδιότητα του αορίστου ολοκληρώματος:

Αν, τότε

8. Ιδιοκτησία:

Αν, τότε

Στην πραγματικότητα, αυτή η ιδιότητα είναι μια ειδική περίπτωση ολοκλήρωσης με τη χρήση της μεθόδου μεταβλητής αλλαγής, η οποία αναλύεται λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Πρώτα εφαρμόσαμε την ιδιότητα 5, μετά την ιδιότητα 4, μετά χρησιμοποιήσαμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων και πήραμε το αποτέλεσμα.

Ο αλγόριθμος της ηλεκτρονικής μας αριθμομηχανής ολοκληρωμάτων υποστηρίζει όλες τις ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω και θα βρει εύκολα μια λεπτομερή λύση για το ολοκλήρωσό σας.

Στο διαφορικό λογισμό το πρόβλημα λύνεται: κάτω από αυτή τη συνάρτηση ƒ(x) βρείτε την παράγωγό της(ή διαφορικό). Ο ολοκληρωτικός λογισμός λύνει το αντίστροφο πρόβλημα: βρείτε τη συνάρτηση F(x), γνωρίζοντας την παράγωγό της F "(x)=ƒ(x) (ή διαφορικό). Η αναζητούμενη συνάρτηση F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος της συνάρτησης ƒ(x ).

Καλείται η συνάρτηση F(x). αντιπαράγωγοσυνάρτηση ƒ(x) στο διάστημα (a; b), εάν για οποιοδήποτε x є (a; β) η ισότητα

F "(x)=ƒ(x) (ή dF(x)=ƒ(x)dx).

Για παράδειγμα, η αντιπαράγωγος της συνάρτησης y = x 2, x є R, είναι η συνάρτηση, αφού

Προφανώς, τυχόν συναρτήσεις θα είναι επίσης αντιπαράγωγα

όπου το C είναι σταθερά, αφού

Θεώρημα 29. 1. Αν η συνάρτηση F(x) είναι αντιπαράγωγος της συνάρτησης ƒ(x) στο (a;b), τότε το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων για το ƒ(x) δίνεται από τον τύπο F(x)+ C, όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός.

▲ Η συνάρτηση F(x)+C είναι αντιπαράγωγο του ƒ(x).

Πράγματι, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x).

Έστω Φ(x) κάποιο άλλο, διαφορετικό από το F(x), αντιπαράγωγο της συνάρτησης ƒ(x), δηλ. Ф "(x)=ƒ(х). Τότε για οποιοδήποτε x є (а;b) έχουμε

Και αυτό σημαίνει (βλ. Συμπέρασμα 25.1) ότι

όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός. Επομένως, Ф(x)=F(x)+С.▼

Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων συναρτήσεων F(x)+С για το ƒ(x) ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης ƒ(x)και συμβολίζεται με το σύμβολο ∫ ƒ(x) dx.

Έτσι, εξ ορισμού

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Εδώ ονομάζεται ƒ(x). συνάρτηση ολοκλήρωσης, ƒ(x)dx — ολοκληρωμένη έκφραση, X - μεταβλητή ολοκλήρωσης, ∫ -σημείο αόριστο ολοκλήρωμα .

Η πράξη εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση αυτής της συνάρτησης.

Γεωμετρικά, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια οικογένεια «παράλληλων» καμπυλών y=F(x)+C (κάθε αριθμητική τιμή του C αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη καμπύλη της οικογένειας) (βλ. Εικ. 166). Η γραφική παράσταση κάθε αντιπαραγώγου (καμπύλη) ονομάζεται ολοκληρωμένη καμπύλη.

Κάθε συνάρτηση έχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα;

Υπάρχει ένα θεώρημα που δηλώνει ότι «κάθε συνάρτηση συνεχής στο (a;b) έχει μια αντιπαράγωγο σε αυτό το διάστημα» και, κατά συνέπεια, ένα αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας σημειώσουμε μια σειρά από ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος που προκύπτουν από τον ορισμό του.

1. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος είναι ίσο με το ολοκλήρωμα και η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

ρε(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Πράγματι, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Χάρη σε αυτή την ιδιότητα, η ορθότητα της ολοκλήρωσης ελέγχεται με διαφοροποίηση. Για παράδειγμα, η ισότητα

∫(3x 2 + 4) dx=х z +4х+С

αληθές, αφού (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

∫dF(x)= F(x)+C.

Πραγματικά,

3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:

α ≠ 0 είναι σταθερά.

Πραγματικά,

(βάλε C 1 / a = C.)

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συνεχών συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων των αθροισμάτων των συναρτήσεων:

Έστω F"(x)=ƒ(x) και G"(x)=g(x). Τότε

όπου C 1 ±C 2 =C.

5. (Αμετάβλητο του τύπου ολοκλήρωσης).

Αν , όπου u=φ(x) είναι αυθαίρετη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο.

▲ Έστω x ανεξάρτητη μεταβλητή, ƒ(x) συνεχής συνάρτηση και F(x) αντιπαράγωγός της. Τότε

Ας ορίσουμε τώρα u=φ(x), όπου η φ(x) είναι μια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση. Θεωρήστε τη μιγαδική συνάρτηση F(u)=F(φ(x)). Λόγω της αμετάβλητης μορφής του πρώτου διαφορικού της συνάρτησης (βλ. σελ. 160), έχουμε

Από εδώ ▼

Έτσι, ο τύπος για το αόριστο ολοκλήρωμα παραμένει έγκυρος ανεξάρτητα από το αν η μεταβλητή της ολοκλήρωσης είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή ή οποιαδήποτε συνάρτησή της που έχει συνεχή παράγωγο.

Έτσι, από τη φόρμουλα αντικαθιστώντας το x με u (u=φ(x)) παίρνουμε

Προπαντός,

Παράδειγμα 29.1.Βρείτε το ολοκλήρωμα

όπου C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Παράδειγμα 29.2.Βρείτε την ολοκληρωμένη λύση:

• 29.3. Πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων

Εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη δράση της διαφοροποίησης, μπορεί κανείς να αποκτήσει έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων αντιστρέφοντας τους αντίστοιχους τύπους διαφορικού λογισμού (πίνακας διαφορικών) και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος.

Για παράδειγμα, γιατί

d(sin u)=cos u . du

Η εξαγωγή ενός αριθμού τύπων στον πίνακα θα δοθεί κατά την εξέταση των βασικών μεθόδων ολοκλήρωσης.

Τα ολοκληρώματα στον παρακάτω πίνακα ονομάζονται πίνακα. Πρέπει να είναι γνωστά από καρδιάς. Στον ολοκληρωτικό λογισμό δεν υπάρχουν απλοί και καθολικοί κανόνες για την εύρεση αντιπαραγώγων του στοιχειώδεις λειτουργίες, όπως στον διαφορικό λογισμό. Οι μέθοδοι εύρεσης αντιπαραγώγων (δηλαδή, η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης) περιορίζονται στην ένδειξη τεχνικών που φέρνουν ένα δεδομένο (αναζήτητο) αναπόσπαστο σε ένα πίνακα. Επομένως, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ολοκληρώματα πίνακα και να μπορούμε να τα αναγνωρίζουμε.

Σημειώστε ότι στον πίνακα των βασικών ολοκληρωμάτων, η μεταβλητή ολοκλήρωσης μπορεί να υποδηλώνει τόσο μια ανεξάρτητη μεταβλητή όσο και μια συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (σύμφωνα με την ιδιότητα αμετάβλητης του τύπου ολοκλήρωσης).

Η εγκυρότητα των παρακάτω τύπων μπορεί να επαληθευτεί λαμβάνοντας το διαφορικό στη δεξιά πλευρά, το οποίο θα είναι ίσο με το ολοκλήρωμα στην αριστερή πλευρά του τύπου.

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την εγκυρότητα του τύπου 2. Η συνάρτηση 1/u είναι καθορισμένη και συνεχής για όλες τις τιμές του και εκτός του μηδενός.

Αν u > 0, τότε ln|u|=lnu, τότε Γι' αυτό

Εάν u<0, то ln|u|=ln(-u). НоΜέσα

Άρα, ο τύπος 2 είναι σωστός. Ομοίως, ας ελέγξουμε τον τύπο 15:

Πίνακας κύριων ολοκληρωμάτων

Φίλοι! Σας προσκαλούμε να συζητήσουμε. Αν έχετε τη δική σας άποψη, γράψτε μας στα σχόλια.

Αυτό το άρθρο μιλάει λεπτομερώς για τις κύριες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. Αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας την έννοια του ολοκληρώματος Riemann και Darboux. Ο υπολογισμός ενός ορισμένου ολοκληρώματος γίνεται χάρη σε 5 ιδιότητες. Τα υπόλοιπα χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση διαφόρων εκφράσεων.

Πριν προχωρήσουμε στις κύριες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, είναι απαραίτητο να βεβαιωθούμε ότι το α δεν υπερβαίνει το β.

Βασικές ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

Η συνάρτηση y = f (x) που ορίζεται στο x = a είναι παρόμοια με τη δίκαιη ισότητα ∫ a a f (x) d x = 0.

Αποδεικτικά στοιχεία 1

Από αυτό βλέπουμε ότι η τιμή του ολοκληρώματος με συμπίπτοντα όρια είναι ίση με μηδέν. Αυτό είναι συνέπεια του ολοκληρώματος Riemann, επειδή κάθε ολοκληρωτικό άθροισμα σ για οποιοδήποτε διαμέρισμα στο διάστημα [ a ; a ] και οποιαδήποτε επιλογή σημείων ζ i ισούται με μηδέν, γιατί x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , που σημαίνει ότι βρίσκουμε ότι το όριο των ολοκληρωτικών συναρτήσεων είναι μηδέν.

Ορισμός 2

Για μια συνάρτηση που μπορεί να ολοκληρωθεί στο διάστημα [a; b ] , η συνθήκη ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x ικανοποιείται.

Αποδεικτικά στοιχεία 2

Με άλλα λόγια, εάν ανταλλάξετε το ανώτερο και το κάτω όριο ολοκλήρωσης, η τιμή του ολοκληρώματος θα αλλάξει στην αντίθετη τιμή. Αυτή η ιδιότητα έχει ληφθεί από το ολοκλήρωμα Riemann. Ωστόσο, η αρίθμηση του διαμερίσματος του τμήματος ξεκινά από το σημείο x = b.

Ορισμός 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ισχύει για ολοκληρωμένες συναρτήσεις τύπου y = f (x) και y = g (x) που ορίζονται στο διάστημα [ a ; β ] .

Αποδεικτικά στοιχεία 3

Γράψτε το ολοκληρωτικό άθροισμα της συνάρτησης y = f (x) ± g (x) για τη διαίρεση σε τμήματα με δεδομένη επιλογή σημείων ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

όπου σ f και σ g είναι τα ολοκληρωτικά αθροίσματα των συναρτήσεων y = f (x) και y = g (x) για την κατάτμηση του τμήματος. Αφού περάσουμε στο όριο στο λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 παίρνουμε ότι lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Από τον ορισμό του Riemann, αυτή η έκφραση είναι ισοδύναμη.

Ορισμός 4

Επέκταση του σταθερού παράγοντα πέρα ​​από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος. Ολοκληρωμένη συνάρτηση από το διάστημα [a; b ] με αυθαίρετη τιμή k έχει δίκαιη ανισότητα της μορφής ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Απόδειξη 4

Η απόδειξη της οριστικής ολοκληρωτικής ιδιότητας είναι παρόμοια με την προηγούμενη:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Ορισμός 5

Αν μια συνάρτηση της μορφής y = f (x) είναι ολοκληρωμένη σε ένα διάστημα x με ένα ∈ x, b ∈ x, προκύπτει ότι ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Αποδεικτικά στοιχεία 5

Η ιδιότητα θεωρείται έγκυρη για c ∈ a; b, για c ≤ a και c ≥ b. Η απόδειξη είναι παρόμοια με τις προηγούμενες ιδιότητες.

Ορισμός 6

Όταν μια συνάρτηση μπορεί να ενσωματωθεί από το τμήμα [a; b ], τότε αυτό είναι εφικτό για οποιοδήποτε εσωτερικό τμήμα c. d ∈ a; σι.

Απόδειξη 6

Η απόδειξη βασίζεται στην ιδιότητα Darboux: εάν προστεθούν σημεία σε ένα υπάρχον διαμέρισμα ενός τμήματος, τότε το χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν θα μειωθεί και το ανώτερο δεν θα αυξηθεί.

Ορισμός 7

Όταν μια συνάρτηση είναι ενσωματώσιμη στο [a; b ] από f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 για οποιαδήποτε τιμή x ∈ a ; b , τότε παίρνουμε ότι ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Η ιδιότητα μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann: οποιοδήποτε ολοκληρωτικό άθροισμα για οποιαδήποτε επιλογή σημείων διαμερίσματος του τμήματος και σημείων ζ i με την προϋπόθεση ότι η f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 είναι μη αρνητική .

Αποδεικτικά στοιχεία 7

Αν οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g (x) μπορούν να ολοκληρωθούν στο διάστημα [ a ; b ], τότε οι ακόλουθες ανισότητες θεωρούνται έγκυρες:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; σι

Χάρη στη δήλωση, γνωρίζουμε ότι η ενσωμάτωση είναι επιτρεπτή. Αυτό το συμπέρασμα θα χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη άλλων ιδιοτήτων.

Ορισμός 8

Για μια ολοκληρωμένη συνάρτηση y = f (x) από το διάστημα [ a ; b ] έχουμε μια δίκαιη ανισότητα της μορφής ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Απόδειξη 8

Έχουμε ότι - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Από την προηγούμενη ιδιότητα βρήκαμε ότι η ανίσωση μπορεί να ενσωματωθεί όρο προς όρο και αντιστοιχεί σε μια ανίσωση της μορφής - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Αυτή η διπλή ανισότητα μπορεί να γραφτεί με άλλη μορφή: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Ορισμός 9

Όταν οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g (x) ενσωματωθούν από το διάστημα [ a ; b ] για g (x) ≥ 0 για οποιοδήποτε x ∈ a ; b , λαμβάνουμε μια ανισότητα της μορφής m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , όπου m = m i n x ∈ a ; b f (x) και M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Αποδεικτικά στοιχεία 9

Η απόδειξη πραγματοποιείται με παρόμοιο τρόπο. Τα M και m θεωρούνται οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης y = f (x) που ορίζονται από το τμήμα [ a ; b ] , τότε m ≤ f (x) ≤ M . Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τη διπλή ανισότητα με τη συνάρτηση y = g (x), που θα δώσει την τιμή της διπλής ανισότητας της μορφής m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Είναι απαραίτητο να το ενσωματώσετε στο διάστημα [a; b ] , τότε παίρνουμε τη δήλωση που πρέπει να αποδειχθεί.

Συνέπεια: Για g (x) = 1, η ανίσωση παίρνει τη μορφή m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Ο πρώτος μέσος τύπος

Για y = f (x) ολοκληρώσιμο στο διάστημα [ a ; b ] με m = m i n x ∈ a ; b f (x) και M = m a x x ∈ a ; b f (x) υπάρχει ένας αριθμός μ ∈ m; M , που ταιριάζει ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Συνέπεια: Όταν η συνάρτηση y = f (x) είναι συνεχής από το διάστημα [ a ; b ], τότε υπάρχει ένας αριθμός c ∈ a; b, που ικανοποιεί την ισότητα ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Ο πρώτος μέσος τύπος σε γενικευμένη μορφή

Όταν οι συναρτήσεις y = f (x) και y = g (x) μπορούν να ολοκληρωθούν από το διάστημα [ a ; b ] με m = m i n x ∈ a ; b f (x) και M = m a x x ∈ a ; b f (x) , και g (x) > 0 για οποιαδήποτε τιμή x ∈ a ; σι. Από εδώ έχουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός μ ∈ m. M , που ικανοποιεί την ισότητα ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Δεύτερη φόρμουλα μέσου όρου

Όταν η συνάρτηση y = f (x) είναι ολοκληρωμένη από το διάστημα [ a ; b ], και y = g (x) είναι μονότονο, τότε υπάρχει ένας αριθμός που c ∈ a; b , όπου λαμβάνουμε μια δίκαιη ισότητα της μορφής ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Το κύριο καθήκον του διαφορικού λογισμούείναι να βρούμε την παράγωγο φά'(x)ή διαφορικό df=φά'(x)dxλειτουργίες φά(x).Στον ολοκληρωτικό λογισμό λύνεται το αντίστροφο πρόβλημα. Σύμφωνα με μια δεδομένη συνάρτηση φά(x) πρέπει να βρείτε μια τέτοια συνάρτηση ΦΑ(x),Τι F'(x)=φά(x)ή dF(x)=ΦΑ'(x)dx=φά(x)dx.

Ετσι, το κύριο καθήκον του ολοκληρωτικού λογισμούείναι η αποκατάσταση της λειτουργίας ΦΑ(x)από τη γνωστή παράγωγο (διαφορικό) αυτής της συνάρτησης. Ο ολοκληρωτικός λογισμός έχει πολυάριθμες εφαρμογές στη γεωμετρία, τη μηχανική, τη φυσική και την τεχνολογία. Δίνει γενική μέθοδοςεύρεση περιοχών, όγκων, κέντρων βάρους κ.λπ.

Ορισμός. ΛειτουργίαΦΑ(x), , ονομάζεται αντιπαράγωγο για τη συνάρτησηφά(x) στο σύνολο X αν είναι διαφορίσιμο για οποιοδήποτε καιΦΑ'(x)=φά(x) ήdF(x)=φά(x)dx.

Θεώρημα. Οποιαδήποτε συνεχής γραμμή στο διάστημα [ένα;β] λειτουργίαφά(x) έχει ένα αντιπαράγωγο σε αυτό το τμήμαF(x).

Θεώρημα. ΑνF 1 (x) καιF 2 (x) – δύο διαφορετικά αντιπαράγωγα της ίδιας συνάρτησηςφά(x) στο σύνολο x, τότε διαφέρουν μεταξύ τους κατά σταθερό όρο, δηλ.F 2 (x)=ΣΤ 1x)+C, όπου το C είναι μια σταθερά.

Αόριστο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητές του.

Ορισμός. ΟλότηταΦΑ(x)+Από όλες τις αντιπαράγωγες συναρτήσειςφά(x) στο σύνολο Χ λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα και συμβολίζεται:

Στον τύπο (1) φά(x)dxκάλεσε ολοκληρωμένη έκφραση,φά(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης, x – μεταβλητή ολοκλήρωσης,ΕΝΑ C – σταθερά ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος που απορρέουν από τον ορισμό του.

1. Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα, το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού κάποιας συνάρτησης είναι ίσο με το άθροισμα αυτής της συνάρτησης και μιας αυθαίρετης σταθεράς:

3. Ο σταθερός παράγοντας a (a≠0) μπορεί να ληφθεί ως πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος:

4. Το αόριστο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:

5. ΑνΦΑ(x) – αντιπαράγωγο της συνάρτησηςφά(x), τότε:

6 (αμετάβλητο των τύπων ολοκλήρωσης). Οποιοσδήποτε τύπος ολοκλήρωσης διατηρεί τη μορφή του εάν η μεταβλητή ολοκλήρωσης αντικατασταθεί από οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής:

ΟπουΤο u είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων.

Ας δώσουμε βασικοί κανόνες για την ενοποίηση συναρτήσεων.

Ας δώσουμε πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων.(Σημειώστε ότι εδώ, όπως και στον διαφορικό λογισμό, το γράμμα uμπορεί να οριστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή (u=x), και συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής (u=u(x)).)

Τα ολοκληρώματα 1 – 17 λέγονται πινακοειδής.

Ορισμένοι από τους παραπάνω τύπους στον πίνακα των ολοκληρωμάτων, οι οποίοι δεν έχουν ανάλογο στον πίνακα των παραγώγων, επαληθεύονται με διαφοροποίηση των δεξιών πλευρών τους.

Αλλαγή μεταβλητής και ενσωμάτωση από μέρη σε μη οριστικό ολοκλήρωμα.

Ενσωμάτωση με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση). Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

Θεώρημα. Αφήστε τη λειτουργίαx=φ(t) ορίζεται και διαφοροποιείται σε ένα συγκεκριμένο σύνολο T και έστω X το σύνολο τιμών αυτής της συνάρτησης στο οποίο ορίζεται η συνάρτησηφά(x). Τότε αν στο σύνολο Χ η συνάρτησηφά(

Αντιπαράγωγη συνάρτηση και αόριστο ολοκλήρωμα

Γεγονός 1. Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη δράση της διαφοροποίησης, δηλαδή η επαναφορά μιας συνάρτησης από τη γνωστή παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Η λειτουργία αποκαταστάθηκε έτσι φά(x) ονομάζεται αντιπαράγωγογια λειτουργία φά(x).

Ορισμός 1. Λειτουργία φά(x φά(x) σε κάποιο διάστημα Χ, εάν για όλες τις τιμές xαπό αυτό το διάστημα ισχύει η ισότητα φά "(x)=φά(x), δηλαδή αυτή η συνάρτηση φά(x) είναι το παράγωγο της αντιπαράγωγης συνάρτησης φά(x). .

Για παράδειγμα, η συνάρτηση φά(x) = αμαρτία x είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησης φά(x) = κοσ x σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή, αφού για οποιαδήποτε τιμή του x (αμαρτία x)" = (κοσ x) .

Ορισμός 2. Αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης φά(x) είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων του. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός

∫

φά(x)dx

που είναι το σημάδι ∫ που ονομάζεται ολοκληρωτικό σύμβολο, η συνάρτηση φά(x) – συνάρτηση ολοκλήρωσης και φά(x)dx – ολοκληρωμένη έκφραση.

Έτσι, εάν φά(x) – κάποιο αντιπαράγωγο για φά(x), Αυτό

∫

φά(x)dx = φά(x) +ντο

Οπου ντο - αυθαίρετη σταθερά (σταθερά).

Για να κατανοήσουμε την έννοια του συνόλου των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης ως αόριστο ολοκλήρωμα, είναι κατάλληλη η ακόλουθη αναλογία. Ας υπάρχει μια πόρτα (παραδοσιακή ξύλινη πόρτα). Η λειτουργία του είναι να «είναι πόρτα». Από τι είναι κατασκευασμένη η πόρτα; Κατασκευασμένο από ξύλο. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των αντιπαραγώγων του ολοκληρώματος της συνάρτησης «to be a door», δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωσό της, είναι η συνάρτηση «to be a tree + C», όπου το C είναι μια σταθερά, η οποία σε αυτό το πλαίσιο μπορεί δηλώνουν, για παράδειγμα, τον τύπο του δέντρου. Ακριβώς όπως μια πόρτα είναι κατασκευασμένη από ξύλο χρησιμοποιώντας ορισμένα εργαλεία, μια παράγωγος μιας συνάρτησης "φτιάχνεται" από μια αντιπαράγωγη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τύπους που μάθαμε μελετώντας την παράγωγο .

Τότε ο πίνακας των συναρτήσεων των κοινών αντικειμένων και των αντίστοιχων αντιπαραγώγων τους ("να είσαι πόρτα" - "να είσαι δέντρο", "να είσαι κουτάλι" - "να είσαι μέταλλο" κ.λπ.) είναι παρόμοιος με τον πίνακα των βασικών αόριστα ολοκληρώματα, τα οποία θα δοθούν παρακάτω. Ο πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων παραθέτει κοινές συναρτήσεις, υποδεικνύοντας τα αντιπαράγωγα από τα οποία «δημιουργούνται» αυτές οι συναρτήσεις. Σε ένα μέρος των προβλημάτων εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος δίνονται ολοκληρώματα που μπορούν να ενσωματωθούν απευθείας χωρίς μεγάλη προσπάθεια, δηλαδή χρησιμοποιώντας τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων. Σε πιο σύνθετα προβλήματα, το ολοκλήρωμα πρέπει πρώτα να μετασχηματιστεί έτσι ώστε να μπορούν να χρησιμοποιηθούν ολοκληρώματα πίνακα.

Γεγονός 2. Όταν επαναφέρουμε μια συνάρτηση ως αντιπαράγωγο, πρέπει να λάβουμε υπόψη μια αυθαίρετη σταθερά (σταθερά) ντο, και για να μην γράψετε μια λίστα αντιπαραγώγων με διάφορες σταθερές από το 1 έως το άπειρο, θα πρέπει να γράψετε ένα σύνολο αντιπαραγώγων με μια αυθαίρετη σταθερά ντο, για παράδειγμα, ως εξής: 5 x³+C. Έτσι, μια αυθαίρετη σταθερά (σταθερά) περιλαμβάνεται στην έκφραση του αντιπαράγωγου, αφού το αντιπαράγωγο μπορεί να είναι μια συνάρτηση, για παράδειγμα, 5 x³+4 ή 5 x³+3 και όταν διαφοροποιείται, το 4 ή το 3 ή οποιαδήποτε άλλη σταθερά πηγαίνει στο μηδέν.

Ας θέσουμε το πρόβλημα ολοκλήρωσης: για αυτήν τη συνάρτηση φά(x) βρείτε μια τέτοια συνάρτηση φά(x), του οποίου το παράγωγοεφάμιλλος φά(x).

Παράδειγμα 1.Να βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας συνάρτησης

Διάλυμα. Για αυτή τη συνάρτηση, το αντιπαράγωγο είναι η συνάρτηση

Λειτουργία φά(x) ονομάζεται αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση φά(x), εάν το παράγωγο φά(x) ισούται με φά(x), ή, που είναι το ίδιο πράγμα, διαφορικό φά(x) είναι ίσο φά(x) dx, δηλ.

(2)

Επομένως, η συνάρτηση είναι ένα αντιπαράγωγο της συνάρτησης. Ωστόσο, δεν είναι το μόνο αντιπαράγωγο για το . Λειτουργούν και ως λειτουργίες

Οπου ΜΕ– αυθαίρετη σταθερά. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί με διαφοροποίηση.

Έτσι, εάν υπάρχει ένα αντιπαράγωγο για μια συνάρτηση, τότε για αυτήν υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αντιπαραγώγων που διαφέρουν κατά έναν σταθερό όρο. Όλα τα αντιπαράγωγα για μια συνάρτηση γράφονται με την παραπάνω μορφή. Αυτό προκύπτει από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα (τυπική δήλωση του γεγονότος 2).Αν φά(x) – αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση φά(x) σε κάποιο διάστημα Χ, τότε οποιοδήποτε άλλο αντιπαράγωγο για φά(x) στο ίδιο διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί στη φόρμα φά(x) + ντο, Πού ΜΕ– αυθαίρετη σταθερά.

Στο επόμενο παράδειγμα, στραφούμε στον πίνακα των ολοκληρωμάτων, που θα δοθεί στην παράγραφο 3, μετά τις ιδιότητες του αορίστου ολοκληρωτικού. Αυτό το κάνουμε πριν διαβάσουμε ολόκληρο τον πίνακα για να είναι ξεκάθαρη η ουσία των παραπάνω. Και μετά τον πίνακα και τις ιδιότητες, θα τα χρησιμοποιήσουμε στο σύνολό τους κατά την ενσωμάτωση.

Παράδειγμα 2.Βρείτε σύνολα αντιπαράγωγων συναρτήσεων:

Διάλυμα. Βρίσκουμε σύνολα αντιπαραγώγων συναρτήσεων από τα οποία «φτιάχνονται» αυτές οι συναρτήσεις. Όταν αναφέρετε τύπους από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων, προς το παρόν απλώς αποδεχτείτε ότι υπάρχουν τέτοιοι τύποι εκεί και θα μελετήσουμε τον ίδιο τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων λίγο πιο πέρα.

1) Εφαρμογή του τύπου (7) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n= 3, παίρνουμε

2) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (10) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n= 1/3, έχουμε

3) Από τότε

τότε σύμφωνα με τον τύπο (7) με n= -1/4 βρίσκουμε

Δεν είναι η ίδια η συνάρτηση που γράφεται κάτω από το ολοκλήρωμα. φά, και το προϊόν του από το διαφορικό dx. Αυτό γίνεται κυρίως για να υποδειχθεί με ποια μεταβλητή αναζητείται το αντιπαράγωγο. Για παράδειγμα,

, ;

Εδώ και στις δύο περιπτώσεις το ολοκλήρωμα είναι ίσο με , αλλά τα αόριστα ολοκληρώματά του στις εξεταζόμενες περιπτώσεις αποδεικνύονται διαφορετικά. Στην πρώτη περίπτωση, αυτή η συνάρτηση θεωρείται ως συνάρτηση της μεταβλητής x, και στο δεύτερο - ως συνάρτηση του z .

Η διαδικασία εύρεσης του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση αυτής της συνάρτησης.

Γεωμετρική σημασία του αορίστου ολοκληρώματος

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια καμπύλη y=F(x)και γνωρίζουμε ήδη ότι η εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας σε κάθε σημείο της είναι δεδομένη συνάρτηση f(x)τετμημένη αυτού του σημείου.

Σύμφωνα με τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου, η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης σε ένα δεδομένο σημείο της καμπύλης y=F(x)ίση με την τιμή του παραγώγου F"(x). Πρέπει λοιπόν να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση F(x), για το οποίο F"(x)=f(x). Λειτουργία που απαιτείται στην εργασία F(x)είναι ένα αντιπαράγωγο του f(x). Οι συνθήκες του προβλήματος ικανοποιούνται όχι από μια καμπύλη, αλλά από μια οικογένεια καμπυλών. y=F(x)- μία από αυτές τις καμπύλες και οποιαδήποτε άλλη καμπύλη μπορεί να ληφθεί από αυτήν παράλληλη μεταφοράκατά μήκος του άξονα Oy.

Ας ονομάσουμε το γράφημα της αντιπαράγωγης συνάρτησης του f(x)ολοκληρωμένη καμπύλη. Αν F"(x)=f(x), μετά το γράφημα της συνάρτησης y=F(x)υπάρχει μια ολοκληρωμένη καμπύλη.

Γεγονός 3. Το αόριστο ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από την οικογένεια όλων των ολοκληρωτικών καμπυλών , όπως στην παρακάτω εικόνα. Η απόσταση κάθε καμπύλης από την αρχή των συντεταγμένων καθορίζεται από μια αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης ντο.

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Γεγονός 4. Θεώρημα 1. Η παράγωγος ενός αόριστου ολοκληρώματος είναι ίση με το ολοκλήρωμα και το διαφορικό του είναι ίσο με το ολοκλήρωμα.

Γεγονός 5. Θεώρημα 2. Αόριστο ολοκλήρωμα διαφορικού συνάρτησης φά(x) ισούται με τη συνάρτηση φά(x) μέχρι σταθερό όρο , δηλ.

(3)

Τα θεωρήματα 1 και 2 δείχνουν ότι η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι αμοιβαία αντίστροφες πράξεις.

Γεγονός 6. Θεώρημα 3. Ο σταθερός παράγοντας στο ολοκλήρωμα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος , δηλ.