Modulusos másodfokú egyenletek, megoldási példák. Szám modulusa (szám abszolút értéke), definíciók, példák, tulajdonságok. Egy szám modulusa mint távolság

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, jogi eljárásokban és/vagy az Orosz Föderációban található nyilvános kérések vagy kormányzati szervek kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A modulus a kifejezés abszolút értéke. Ahhoz, hogy valamilyen módon jelezzünk egy modult, szokás egyenes zárójeleket használni. A páros zárójelben lévő érték a modulo érték. Bármely modul megoldásának folyamata abból áll, hogy kinyitjuk azokat a nagyon egyenes zárójeleket, amelyeket a matematikai nyelvben moduláris zárójeleknek neveznek. Közzétételük bizonyos számú szabály szerint történik. Ezenkívül a modulok megoldásának sorrendjében megtalálhatók azon kifejezések értékkészletei, amelyek a moduláris zárójelben voltak. A legtöbb esetben a modult úgy bővítik ki, hogy a szubmoduláris kifejezés pozitív és negatív értékeket is kap, beleértve a nulla értéket is. Ha a modul megállapított tulajdonságaiból indulunk ki, akkor a folyamat során az eredeti kifejezésből különböző egyenletek vagy egyenlőtlenségek állnak össze, amelyeket ezután meg kell oldani. Találjuk ki, hogyan oldjuk meg a modulokat.

Megoldás folyamata

A modul megoldása úgy kezdődik, hogy felírjuk az eredeti egyenletet a modullal. Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy hogyan lehet egyenleteket megoldani egy modulussal, teljesen meg kell nyitnia. Egy ilyen egyenlet megoldásához a modult kibővítjük. Minden moduláris kifejezést figyelembe kell venni. Meg kell határozni, hogy az összetételében szereplő ismeretlen mennyiségek milyen értékeinél a zárójelben lévő moduláris kifejezés nullává válik. Ehhez elegendő a moduláris zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tenni, majd kiszámítani a kapott egyenlet megoldását. A talált értékeket rögzíteni kell. Ugyanígy meg kell határozni az összes ismeretlen változó értékét az összes modulhoz ebben az egyenletben. Ezután el kell kezdenie meghatározni és figyelembe venni a változók kifejezésekben való létezésének minden esetét, amikor azok eltérnek a nulla értéktől. Ehhez fel kell írni az eredeti egyenlőtlenség összes moduljának megfelelő egyenlőtlenségrendszert. Az egyenlőtlenségeket úgy kell felírni, hogy lefedjék a számegyenesen található változó összes elérhető és lehetséges értékét. Ezután ugyanezt a számsort kell megrajzolni a vizualizációhoz, amelyen később az összes kapott értéket ábrázolni kell.

Ma már szinte mindent meg lehet tenni az interneten. A modul sem kivétel a szabály alól. Megoldhatja online a sok modern forrás egyikén. A nulla modulban lévő változó összes értéke speciális megszorítás lesz, amelyet a moduláris egyenlet megoldása során használnak fel. Az eredeti egyenletben meg kell nyitnia az összes rendelkezésre álló moduláris zárójelet, miközben módosítja a kifejezés előjelét, hogy a kívánt változó értékei egybeessenek a számegyenesen látható értékekkel. A kapott egyenletet meg kell oldani. Az egyenlet megoldása során kapott változó értékét a modul által meghatározott korlátozáshoz kell viszonyítani. Ha a változó értéke teljes mértékben kielégíti a feltételt, akkor az helyes. Minden olyan gyöket, amelyet az egyenlet megoldása során kapunk, de nem illeszkednek a megszorításokhoz, el kell dobni.

Utasítás

Ha egy modult folytonos függvényként ábrázolunk, akkor argumentumának értéke lehet pozitív vagy negatív: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

A modulus nulla, és bármely pozitív szám modulusa . Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az elője mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés következik, hogy az ellentétek moduljai egyenlők: |-x| = |x| = x.

Modul komplex szám a következő képlettel találjuk meg: |a| = √b ² + c ², és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív számot tartalmaz szorzóként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

Ha az argumentumot komplex számként adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében a kifejezés téglalap alakú zárójelekbe tett kifejezéseinek sorrendje megengedett: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

A hatványra emelt argumentum egyidejűleg az azonos rendű gyök előjele alatt áll – a megoldás a következőképpen történik: √a² = |a| = ±a.

Ha olyan feladatunk van, amelyben a modultartók bővítésének feltétele nincs megadva, akkor nem kell megszabadulni tőlük - ez lesz a végeredmény. És ha ki kell nyitnia őket, akkor jeleznie kell a ± jelet. Például meg kell találnia a √(2 * (4-b))² kifejezés értékét. Megoldása így néz ki: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Mivel a 4-b kifejezés előjele ismeretlen, ezért zárójelben kell hagyni. Ha hozzáteszed további feltétel, például |4-b| >

A nulla modulusa egyenlő nullával, és bármely pozitív szám modulusa maga. Ha az argumentum negatív, akkor a zárójelek kinyitása után az elője mínuszról pluszra változik. Ennek alapján az a következtetés, hogy az ellentétes számú modulok egyenlők: |-x| = |x| = x.

Egy komplex szám modulusát a következő képlet határozza meg: |a| = √b ² + c ², és |a + b| ≤ |a| + |b|. Ha az argumentum pozitív egész számot tartalmaz tényezőként, akkor kivehető a zárójelből, például: |4*b| = 4*|b|.

A modulus nem lehet negatív, ezért minden negatív szám pozitívvá alakul: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ha az argumentumot komplex szám formájában adjuk meg, akkor a számítások megkönnyítése érdekében lehetőség van a téglalap zárójelbe tett kifejezés kifejezéseinek sorrendjének megváltoztatására: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, mert (2-3) kisebb, mint nulla.

Ha olyan feladatunk van, amelyben a modultartók bővítésének feltétele nincs megadva, akkor nem kell megszabadulni tőlük - ez lesz a végeredmény. És ha ki kell nyitnia őket, akkor jeleznie kell a ± jelet. Például meg kell találnia a √(2 * (4-b))² kifejezés értékét. Megoldása így néz ki: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Mivel a 4-b kifejezés előjele ismeretlen, ezért zárójelben kell hagyni. Ha további feltételt ad hozzá, például |4-b| > 0, akkor az eredmény 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Az ismeretlen elem egy adott számra is beállítható, amit figyelembe kell venni, mert befolyásolni fogja a kifejezés jelét.

Az A kiszámítása a következő szabályok szerint történik:

A rövidség kedvéért jelöléseket használunk |a|. Tehát |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 stb.

Minden méretben X elég pontos értéknek felel meg | X|. És ez azt jelenti identitás at= |X| készletek at mint egyesek argumentumfüggvény X.

Menetrend ez funkciókat alább bemutatjuk.

Mert x > 0 |x| = x, és számára x< 0 |x|= -x; ebben a tekintetben az y = | sor x| at x> 0 egyenes vonallal kombinálva y = x(az első koordinátaszög felezője), és mikor X< 0 - с прямой y = -x(a második koordinátaszög felezője).

Különálló egyenletek Ismeretleneket foglaljon a jel alá modul.

Önkényes példák az ilyen egyenletekre - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 stb.

Egyenletek megoldása A modulusjel alatt ismeretlent tartalmaz, azon a tényen alapszik, hogy ha egy ismeretlen x szám abszolút értéke egyenlő egy pozitív a számmal, akkor ez az x szám maga egyenlő vagy a-val vagy -a-val.

Például:, ha | X| = 10, akkor vagy X=10, vagy X = -10.

Mérlegeljük egyedi egyenletek megoldása.

Elemezzük a | egyenlet megoldását X- 1| = 2.

Bővítsük ki a modult akkor a különbség X- 1 lehet + 2 vagy - 2. Ha x - 1 = 2, akkor X= 3; ha X- 1 = - 2, akkor X= - 1. Behelyettesítést végzünk, és azt találjuk, hogy mindkét érték kielégíti az egyenletet.

Válasz. A fenti egyenletnek két gyökere van: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Elemezzük az egyenlet megoldása | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Után modulbővítés kapunk: vagy 6-2 X= 3X+ 1 vagy 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Az első esetben X= 1, és a másodikban X= - 7.

Vizsgálat. at X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; a bíróságból következik, X = 1 - gyökér adott egyenletek.

at x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = -20; 20 ≠ -20 óta, akkor X= - 7 nem gyöke ennek az egyenletnek.

Válasz. U az egyenletnek csak egy gyöke van: X = 1.

Az ilyen típusú egyenletek lehetnek megoldani és grafikusan.

Szóval döntsük el Például, grafikus egyenlet | X- 1| = 2.

Először megépítjük funkciógrafika at = |x- 1|. Először rajzoljuk meg a függvény grafikonját at=X- 1:

Az a része grafika, amely a tengely felett helyezkedik el X Nem fogunk változtatni. neki X- 1 > 0 és ezért | X-1|=X-1.

A grafikonnak az a része, amely a tengely alatt található X, ábrázoljuk szimmetrikusan ehhez a tengelyhez képest. Mert erre a részre X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). A kapott vonal(folytonos vonal) és akarat függvénygrafikon y = | X—1|.

Ez a vonal metszi egymást közvetlen at= 2 két ponton: M 1 -1 abszcisszával és M 2 3 abszcisszával. És ennek megfelelően az egyenlet | X- 1| =2 két gyökér lesz: X 1 = - 1, X 2 = 3.

A kifejezés (modul) szó szerint latinból fordítva azt jelenti, hogy „mérték”. Ezt a fogalmat R. Cotes angol tudós vezette be a matematikába. És a német matematikus, K. Weierstrass bevezette a modulus jelet - egy szimbólumot, amely ezt a fogalmat jelöli az írás során.

Először tanulják ezt a fogalmat a matematikában a 6. osztályos program szerint. középiskola. Az egyik definíció szerint a modulus abszolút érték valós szám. Más szóval, egy valós szám modulusának megtudásához el kell dobnia az előjelét.

Grafikusan abszolút érték A ként jelölve |a|.

Ennek a fogalomnak a fő megkülönböztető jegye, hogy mindig nem negatív mennyiség.

Azokat a számokat, amelyek csak előjelben különböznek egymástól, ellentétes számoknak nevezzük. Ha egy érték pozitív, akkor az ellentéte negatív, a nulla pedig az ellentéte.

Geometriai jelentés

Ha a modul fogalmát a geometria szemszögéből vizsgáljuk, akkor az egységszegmensekben mért távolságot fogja jelölni a koordináták origójától egy adott pontig. Ez a meghatározás teljes mértékben feltárja a vizsgált kifejezés geometriai jelentését.

Grafikusan ez a következőképpen fejezhető ki: |a| = OA.

Az abszolút érték tulajdonságai

Az alábbiakban megvizsgáljuk ennek a fogalomnak az összes matematikai tulajdonságát és a szó szerinti kifejezések formájában történő megírásának módjait:

Az egyenletek modulusos megoldásának jellemzői

Ha olyan matematikai egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról beszélünk, amelyek modult tartalmaznak, akkor emlékeznünk kell arra, hogy ezek megoldásához meg kell nyitnia ezt a jelet.

Például, ha egy abszolút érték előjele valamilyen matematikai kifejezést tartalmaz, akkor a modul megnyitása előtt figyelembe kell venni az aktuális matematikai definíciókat.

|A + 5| = A + 5, ha A nagyobb vagy egyenlő nullával.

5-A, ha, Az érték kisebb, mint nulla.

Egyes esetekben az előjel a változó bármely értékére egyértelműen feltárható.

Nézzünk egy másik példát. Készítsünk egy koordináta egyenest, amelyen megjelöljük az összes számértéket, amelynek abszolút értéke 5 lesz.

Először meg kell rajzolnia egy koordináta vonalat, meg kell jelölnie rajta a koordináták origóját, és be kell állítania egy egységnyi szegmens méretét. Ezenkívül az egyenesnek iránynak kell lennie. Most ezen a vonalon olyan jelöléseket kell alkalmazni, amelyek megegyeznek egy egységszegmens méretével.

Így láthatjuk, hogy ezen a koordinátavonalon két érdekes pont lesz számunkra 5 és -5 értékkel.