Az egyenlet tetszőleges állandóinak variálásának módszere. Tetszőleges állandók változtatásának módszere. Tetszőleges állandók variációs módszere lineáris inhomogén differenciálegyenlet megoldásának megalkotásához

04.03.2022Cím: Megoldás

Elméleti minimum
A differenciálegyenletek elméletében van egy módszer, amely azt állítja, hogy ennek az elméletnek meglehetősen magas fokú univerzalitása van.
Egy tetszőleges állandó variációs módszeréről beszélünk, amely különböző differenciálegyenlet-osztályok és azok megoldására alkalmazható.
rendszerek Pontosan ez az a helyzet, amikor az elmélet - ha zárójelből kivesszük az állítások bizonyításait - minimális, de lehetővé teszi, hogy elérjük
jelentős eredmények, ezért a hangsúly a példákon lesz.
A módszer általános ötlete meglehetősen egyszerűen megfogalmazható. Legyen az adott egyenlet (egyenletrendszer) nehezen megoldható vagy akár érthetetlen,
hogyan kell megoldani. Nyilvánvaló azonban, hogy néhány tag kiiktatásával az egyenletből megoldódik. Aztán pontosan ezt oldják meg leegyszerűsítve
egyenlet (rendszer), bizonyos számú tetszőleges állandót tartalmazó megoldást kapunk - az egyenlet sorrendjétől függően (a szám
egyenletek a rendszerben). Ekkor feltételezzük, hogy a talált megoldásban lévő állandók valójában nem konstansok a talált megoldásban
behelyettesítjük az eredeti egyenletbe (rendszerbe), akkor egy differenciálegyenletet (vagy egyenletrendszert) kapunk az „állandók” meghatározásához.
Van egy bizonyos sajátosság egy tetszőleges állandó variációs módszerének alkalmazásában különböző problémákra, de ezek már olyan sajátosságok, amelyek
példákkal mutatjuk be.
Tekintsük külön-külön a magasabb rendű lineáris inhomogén egyenletek megoldását, pl. formaegyenletek
.
A lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának és egy adott megoldásnak az összege
ennek az egyenletnek. Tételezzük fel, hogy a homogén egyenletre már találtunk egy általános megoldást, vagyis egy alapvető megoldási rendszert (FSS) állítottunk fel.
. Ekkor a homogén egyenlet általános megoldása egyenlő.
Az inhomogén egyenletre bármilyen konkrét megoldást kell találnunk. Ebből a célból az állandókat változótól függőnek tekintjük.
Ezután meg kell oldania az egyenletrendszert
.
Az elmélet garantálja, hogy ennek az algebrai egyenletrendszernek a függvények deriváltjainak egyedi megoldása van.
Maguk a függvények megtalálásakor nem jelennek meg az integráció állandói: végül is bármelyik megoldást keresik.
A forma lineáris inhomogén elsőrendű egyenleteinek megoldása esetén

az algoritmus szinte változatlan marad. Először meg kell találnia a megfelelő homogén egyenletrendszer FSR-jét, meg kell alkotnia az alapmátrixot
rendszer, amelynek oszlopai az FSR elemeit reprezentálják. Ezután az egyenletet felállítjuk
.
A rendszer megoldása során meghatározzuk a függvényeket, így találunk egy adott megoldást az eredeti rendszerre
(az alapmátrixot megszorozzuk a talált függvények oszlopával).
Hozzáadjuk a megfelelő homogén egyenletrendszer általános megoldásához, amelyet a már megtalált FSR alapján szerkesztünk meg.
Megkapjuk az eredeti rendszer általános megoldását.
Példák.
1. példa Elsőrendű lineáris inhomogén egyenletek.
Tekintsük a megfelelő homogén egyenletet (a kívánt függvényt jelöljük):
.
Ez az egyenlet könnyen megoldható a változók szétválasztási módszerével:

.
Most képzeljük el az eredeti egyenlet megoldását a formában , ahol a függvényt még meg kell találni.
Ezt a típusú megoldást behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
.
Amint látja, a bal oldalon lévő második és harmadik kifejezés kioltja egymást – ez van jellemző tulajdonsága tetszőleges állandó változtatásának módszere.

Itt ez már valóban önkényes állandó. Így,
.
2. példa Bernoulli egyenlet.
Az első példához hasonlóan járunk el - megoldjuk az egyenletet

a változók szétválasztásának módja. Kiderül, ezért az eredeti egyenletre a formában keresünk megoldást
.
Ezt a függvényt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
.
És ismét bekövetkezik a csökkentés:
.
Itt meg kell emlékezni, hogy megbizonyosodjon arról, hogy amikor elosztja a megoldást, ne vesszen el. Az eredeti megoldása pedig megfelel az esetnek
egyenletek Emlékezzünk rá. Így,
.
Írjuk fel.
Ez a megoldás. A válasz felírásakor a korábban talált megoldást is tüntessük fel, mivel az semmilyen végső értéknek nem felel meg
állandók
3. példa Magasabb rendű lineáris inhomogén egyenletek.
Azonnal jegyezzük meg, hogy ez az egyenlet egyszerűbben is megoldható, de célszerű a módszert ezzel demonstrálni. Bár néhány előnye
A variációs módszernek ebben a példában is tetszőleges állandója van.
Tehát a megfelelő homogén egyenlet FSR-jével kell kezdenie. Emlékezzünk vissza, hogy az FSR megtalálásához jelleggörbét állítunk össze
egyenlet
.
Így a homogén egyenlet általános megoldása
.
Az itt szereplő állandókat variálni kell. Rendszer felállítása

Inhomogén differenciálegyenletek megoldására a tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzák. Ez az óra azoknak a diákoknak szól, akik többé-kevésbé jártasak a témában. Ha még csak most kezdi ismerkedni a távirányítóval, pl. Ha teáskanna vagy, azt javaslom, hogy kezdje az első leckével: Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra. És ha már befejezi, kérjük, dobja el azt az esetleges előítéletet, hogy a módszer nehéz. Mert egyszerű.

Milyen esetekben alkalmazzák a tetszőleges állandók variálásának módszerét?

1) Egy tetszőleges állandó variációs módszere használható a megoldásra lineáris inhomogén I. rendű DE. Mivel az egyenlet elsőrendű, így az állandó is egy.

2) A tetszőleges állandók variációs módszerét néhány megoldásra használják lineáris inhomogén másodrendű egyenletek. Itt két állandó változik.

Logikus feltételezés, hogy a lecke két bekezdésből áll majd... Szóval megírtam ezt a mondatot, és körülbelül 10 percig fájdalmasan azon gondolkodtam, hogy milyen okos baromságot tudnék még hozzátenni a zökkenőmentes átmenethez. gyakorlati példák. De valamiért nincsenek gondolataim az ünnepek után, bár úgy tűnik, nem éltem vissza semmivel. Ezért térjünk közvetlenül az első bekezdésre.

Egy tetszőleges állandó változtatásának módszere
elsőrendű lineáris inhomogén egyenlethez

Mielőtt egy tetszőleges állandó variációjának módszerét fontolgatnánk, tanácsos ismerkedni a cikkel Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek. Ezen a leckén gyakoroltunk első megoldás inhomogén 1. rendű DE. Ez az első megoldás, emlékeztetem önöket, az úgynevezett cseremódszer vagy Bernoulli módszer(nem tévesztendő össze Bernoulli egyenlet!!!)

Most megnézzük második megoldás– tetszőleges állandó változtatásának módja. Csak három példát mondok, ezeket a fent említett leckéből veszem át. Miért olyan keveset? Mert valójában a második módon készült megoldás nagyon hasonló lesz az első módon készített megoldáshoz. Emellett megfigyeléseim szerint a tetszőleges állandók variálásának módszerét ritkábban alkalmazzák, mint a helyettesítési módszert.

1. példa

(Eltérés a lecke 2. példájától I. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek)

Megoldás: Ez az egyenlet lineárisan inhomogén, és ismerős formája van:

Az első szakaszban egy egyszerűbb egyenletet kell megoldani:
Vagyis hülyén visszaállítjuk a jobb oldalt és helyette nullát írunk.
Egyenlet majd hívlak segédegyenlet.

Ebben a példában a következőket kell megoldania segédegyenlet:

előttünk elválasztható egyenlet, aminek a megoldása (remélem) már nem nehéz számodra:

Így:
– a segédegyenlet általános megoldása.

A második lépésben cseréljük valami állandó egyelőre ismeretlen függvény, amely "x"-től függ:

Innen a metódus neve – változtatjuk az állandót. Alternatív megoldásként a konstans lehet valamilyen függvény, amelyet most meg kell találnunk.

IN eredeti inhomogén egyenlet cseréljünk:

Helyettesítsük és az egyenletbe :

Ellenőrző pont - a bal oldalon lévő két kifejezés törli. Ha ez nem történik meg, keresse meg a fenti hibát.

A pótlás eredményeként egy elválasztható változókkal rendelkező egyenletet kaptunk. Elválasztjuk a változókat és integráljuk.

Micsoda áldás, a kitevők is visszavonják:

A talált függvényhez hozzáadunk egy „normál” állandót:

Az utolsó szakaszban emlékezünk a cserére:

A funkciót most találtuk meg!

Tehát az általános megoldás:

Válasz:általános megoldás:

Ha kinyomtatja a két megoldást, könnyen észreveszi, hogy mindkét esetben ugyanazt az integrált találtuk. Az egyetlen különbség a megoldási algoritmusban van.

Most valami bonyolultabbra, a második példához is hozzászólok:

2. példa

Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
(Eltérés a lecke 8. példájától I. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek)

Megoldás: Az egyenletet redukáljuk a formára :

Állítsuk vissza a jobb oldalt, és oldjuk meg a segédegyenletet:

A segédegyenlet általános megoldása:

Az inhomogén egyenletben végrehajtjuk a cserét:

A termékdifferenciálási szabály szerint:

Helyettesítsük és az eredeti inhomogén egyenletbe:

A bal oldalon lévő két kifejezés érvénytelenít, ami azt jelenti, hogy jó úton járunk:

Integráljuk részenként. A részenkénti integráció képletének ízletes betűje már benne van a megoldásban, ezért használjuk például az „a” és „be” betűket:

Most emlékezzünk a cserére:

Válasz:általános megoldás:

És egy példa egy független megoldásra:

3. példa

Keressen egy adott megoldást az adott kezdeti feltételnek megfelelő differenciálegyenletre!

,
(Eltérés a lecke 4. példájától I. rendű lineáris inhomogén differenciálegyenletek)
Megoldás:
Ez a DE lineárisan inhomogén. Tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzuk. Oldjuk meg a segédegyenletet:

Elválasztjuk a változókat és integráljuk:

Általános megoldás:
Az inhomogén egyenletben végrehajtjuk a cserét:

Végezzük el a helyettesítést:

Tehát az általános megoldás:

Keressük meg a hányadost adott kezdeti feltételnek megfelelő megoldás:

Válasz: privát megoldás:

Az óra végén található megoldás példaként szolgálhat a feladat befejezéséhez.

Tetszőleges állandók változtatásának módszere
lineáris inhomogén másodrendű egyenlethez
állandó együtthatókkal

Gyakran hallottam azt a véleményt, hogy egy másodrendű egyenlet tetszőleges állandóinak megváltoztatása nem egyszerű dolog. De feltételezem a következőket: valószínűleg sokak számára nehéznek tűnik a módszer, mert nem olyan gyakran fordul elő. A valóságban azonban nincsenek különösebb nehézségek - a döntés menete világos, átlátható és érthető. És gyönyörű.

A módszer elsajátításához kívánatos, hogy inhomogén másodrendű egyenleteket tudjunk megoldani úgy, hogy a jobb oldal alakja alapján választunk ki egy adott megoldást. Ez a módszer cikkben részletesen tárgyaljuk Inhomogén 2. rendű DE-k. Emlékeztetünk arra, hogy egy másodrendű lineáris inhomogén egyenlet állandó együtthatókkal a következőképpen alakul:

A fenti leckében tárgyalt kiválasztási módszer csak korlátozott számú esetben működik, amikor a jobb oldal polinomokat, exponenciálisokat, szinuszokat és koszinuszokat tartalmaz. De mi a teendő, ha a jobb oldalon van például egy tört, logaritmus, érintő? Ilyen helyzetben az állandók variálásának módszere jön segítségül.

4. példa

Keresse meg egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását!

Megoldás: Ennek az egyenletnek a jobb oldalán egy tört található, így azonnal kijelenthetjük, hogy az adott megoldás kiválasztásának módszere nem működik. Tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzuk.

Zivatarnak semmi jele, a megoldás kezdete teljesen hétköznapi:

meg fogjuk találni általános megoldás megfelelő homogén egyenletek:

Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

– konjugált komplex gyököket kapunk, így az általános megoldás:

Ügyeljen az általános megoldás feljegyzésére - ha vannak zárójelek, nyissa meg.

Most szinte ugyanazt a trükköt csináljuk, mint az elsőrendű egyenletnél: az állandókat változtatjuk, ismeretlen függvényekkel helyettesítjük őket. vagyis általános megoldása inhomogén egyenleteket fogunk keresni a következő formában:

hol- egyelőre ismeretlen funkciókat.

Úgy néz ki, mint egy háztartási szemétlerakó, de most mindent megoldunk.

Az ismeretlenek a függvények származékai. Célunk, hogy deriváltokat találjunk, és a talált deriváltoknak ki kell elégíteniük a rendszer első és második egyenletét is.

Honnan jönnek a "görögök"? A gólya hozza őket. Nézzük a korábban kapott általános megoldást, és írjuk:

Keressük a származékokat:

A bal oldali részekkel foglalkoztunk. Mi van a jobb oldalon?

az eredeti egyenlet jobb oldala, in ebben az esetben:

Az együttható a második derivált együtthatója:

A gyakorlatban szinte mindig, és ez alól a mi példánk sem kivétel.

Minden világos, most létrehozhat egy rendszert:

A rendszer általában megoldott Cramer képletei szerint szabványos algoritmus segítségével. Az egyetlen különbség az, hogy számok helyett függvényeink vannak.

Keressük meg a rendszer fő meghatározóját:

Ha elfelejtette, hogyan derül ki a kettő-kettő meghatározó, nézze meg a leckét Hogyan kell kiszámítani a determinánst? A link a szégyentáblára vezet =)

Tehát: ez azt jelenti, hogy a rendszernek egyedi megoldása van.

A származék megkeresése:

De ez még nem minden, eddig csak a származékot találtuk meg.
Magát a funkciót az integráció állítja vissza:

Nézzük a második függvényt:

Itt hozzáadunk egy „normál” állandót

A megoldás utolsó szakaszában emlékszünk arra, hogy milyen formában kerestük az inhomogén egyenlet általános megoldását? Ebben:

Megtaláltak a szükséges funkciókat!

Nincs más hátra, mint végrehajtani a helyettesítést, és leírni a választ:

Válasz:általános megoldás:

A válasz elvileg bővíthette volna a zárójelet.

A válasz teljes ellenőrzése a leckében tárgyalt szabványos séma szerint történik. Inhomogén 2. rendű DE-k. De az ellenőrzés nem lesz könnyű, mivel meglehetősen nehéz származékokat kell találni és nehézkes helyettesítést kell végrehajtani. Ez egy kellemetlen tulajdonság, amikor megoldja az ilyen diffúzorokat.

5. példa

Oldjon meg egy differenciálegyenletet tetszőleges állandók változtatásával

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Valójában a jobb oldalon is van egy töredék. Emlékezzünk a trigonometrikus képletre egyébként, ezt kell alkalmazni a megoldás során.

A tetszőleges állandók variálásának módszere a leguniverzálisabb módszer. Bármilyen megoldható egyenletet meg tud oldani egy adott megoldás kiválasztásának módja a jobb oldal formája alapján. Felmerül a kérdés: miért nem használjuk ott is a tetszőleges állandók variálásának módszerét? A válasz kézenfekvő: egy adott megoldás kiválasztása, amelyet az órán megbeszéltek Inhomogén másodrendű egyenletek, jelentősen felgyorsítja a megoldást és lerövidíti a felvételt – nem kell felhajtás a determinánsokkal és integrálokkal.

Nézzünk meg két példát Cauchy probléma.

6. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely megfelel az adott kezdeti feltételeknek!

Megoldás: A tört és a kitevő ismét érdekes helyen van.
Tetszőleges állandók variációjának módszerét alkalmazzuk.

meg fogjuk találni általános megoldás megfelelő homogén egyenletek:

– különböző valós gyököket kapunk, így az általános megoldás:

Az inhomogén általános megoldása egyenleteket keresünk a következő formában: , ahol – egyelőre ismeretlen funkciókat.

Hozzunk létre egy rendszert:

Ebben az esetben:
,
Származékok keresése:
,

Így:

Oldjuk meg a rendszert a Cramer-képletekkel:
, ami azt jelenti, hogy a rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

A funkciót integrálással állítjuk vissza:

Itt használt egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere.

A második funkciót integrálással állítjuk vissza:

Ez az integrál meg van oldva változó helyettesítési módszer:

Magából a cseréből a következőket fejezzük ki:

Így:

Ez az integrál megtalálható teljes négyzetkivonási módszer, de a diffúzoros példákban inkább bővítem a tört módszer bizonytalan együtthatók :

Mindkét funkció megtalálható:

Ennek eredményeként az inhomogén egyenlet általános megoldása a következő:

Keressünk egy adott megoldást, amely kielégíti a kezdeti feltételeket .

Technikailag a megoldás keresése szabványos módon történik, amelyet a cikkben tárgyaltunk Másodrendű inhomogén differenciálegyenletek.

Várj, most megkeressük a talált általános megoldás származékát:

Ez akkora szégyen. Nem szükséges leegyszerűsíteni, könnyebb azonnal létrehozni egy egyenletrendszert. A kezdeti feltételek szerint :

Helyettesítsük be az állandók talált értékeit az általános megoldáshoz:

A válaszban a logaritmusokat kicsit lehet pakolni.

Válasz: privát megoldás:

Amint látja, nehézségek adódhatnak az integrálokban és a deriváltokban, de magában az algoritmusban nem, a tetszőleges állandók variációjának módszerében. Nem én ijesztettem meg, hanem Kuznyecov gyűjteménye!

Pihenéshez egy utolsó, egyszerűbb példa a saját megoldásra:

7. példa

Oldja meg a Cauchy-problémát

A példa egyszerű, de kreatív, amikor létrehozol egy rendszert, nézd meg alaposan, mielőtt döntesz ;-),

Ennek eredményeként az általános megoldás a következő:

Keressünk a kezdeti feltételeknek megfelelő megoldást .

Helyettesítsük be az állandók talált értékeit az általános megoldásba:

Válasz: privát megoldás:

44. előadás Másodrendű lineáris inhomogén egyenletek. Tetszőleges állandók változtatásának módszere. Másodrendű lineáris inhomogén egyenletek állandó együtthatóval. (speciális jobb oldal).

Társadalmi átalakulások. Állam és egyház.

Szociálpolitika A bolsevikokat nagyrészt osztályszemléletük diktálta. 1917. november 10-i rendelettel az osztályrendszert megsemmisítették, a forradalom előtti rangokat, címeket és kitüntetéseket eltörölték. Megállapították a bírák választását; végrehajtották a polgári államok szekularizációját. Létrehozták az ingyenes oktatást és orvosi ellátást (1918. október 31-i rendelet). A nők a férfiakkal egyenlő jogokat kaptak (1917. december 16-i és 18-i rendeletek). A házasságról szóló rendelet bevezette a polgári házasság intézményét.

A Népbiztosok Tanácsa 1918. január 20-i rendeletével az egyházat elválasztották az államtól és az oktatási rendszertől. Az egyházi vagyon nagy részét elkobozták. Moszkva és Összrusz Tyihon pátriárkája (megválasztva 1917. november 5-én) 1918. január 19-én anathematizálták szovjet hatalomés harcra szólított fel a bolsevikok ellen.

Tekintsünk egy lineáris inhomogén másodrendű egyenletet

Egy ilyen egyenlet általános megoldásának szerkezetét a következő tétel határozza meg:

1. tétel. Az (1) inhomogén egyenlet általános megoldását az egyenlet valamely konkrét megoldásának és a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának összegeként ábrázoljuk.

Bizonyíték. Bizonyítani kell, hogy az összeg

az (1) egyenlet általános megoldása. Először is bizonyítsuk be, hogy a (3) függvény az (1) egyenlet megoldása.

Az összeg behelyettesítése az (1) egyenletbe ahelyett at, lesz

Mivel a (2) egyenletnek van megoldása, az első zárójelben lévő kifejezés megegyezik a nullával. Mivel az (1) egyenletnek van megoldása, a második zárójelben lévő kifejezés egyenlő f(x). Ezért az egyenlőség (4) egy azonosság. Így a tétel első része bizonyítva van.

Bizonyítsuk be a második állítást: a (3) kifejezés az általános az (1) egyenlet megoldása. Be kell bizonyítanunk, hogy a kifejezésben szereplő tetszőleges állandók kiválaszthatók úgy, hogy a kezdeti feltételek teljesüljenek:

bármilyenek is legyenek a számok x 0, y 0és (ha csak x 0 arról a területről származott, ahol a funkciók működnek egy 1, egy 2És f(x) folyamatos).

Észrevehetjük, hogy az alakban is ábrázolható. Akkor az (5) feltételek alapján meglesz

Oldjuk meg ezt a rendszert és határozzuk meg C 1És C 2. Írjuk át a rendszert a következő formában:

Vegye figyelembe, hogy ennek a rendszernek a determinánsa a függvények Wronski-determinánsa 1-korÉs 2-kor pontban x=x 0. Mivel ezek a függvények feltétel szerint lineárisan függetlenek, a Wronski-determináns nem egyenlő nullával; ezért a (6) rendszernek határozott megoldása van C 1És C 2, azaz vannak ilyen jelentések C 1És C 2, amely alatt a (3) képlet meghatározza az (1) egyenletnek az adott kezdeti feltételeket kielégítő megoldását. Q.E.D.

Menjünk tovább általános módszer parciális megoldások keresése egy inhomogén egyenletre.

Írjuk fel a (2) homogén egyenlet általános megoldását!

Az (1) inhomogén egyenletre a (7) formában keresünk egy konkrét megoldást, figyelembe véve C 1És C 2 mint néhány még ismeretlen függvény X.

Megkülönböztetjük az egyenlőséget (7):

Válasszuk ki a keresett funkciókat C 1És C 2 hogy az egyenlőség fennálljon

Ezt figyelembe véve további feltétel, akkor az első derivált alakot ölt

Megkülönböztetve ezt a kifejezést, azt találjuk, hogy:

Az (1) egyenletbe behelyettesítve azt kapjuk

Az első két zárójelben lévő kifejezések nullává válnak, mivel y 1És y 2– homogén egyenlet megoldásai. Ezért az utolsó egyenlőség formát ölt

Így a (7) függvény az (1) inhomogén egyenlet megoldása lesz, ha a függvények C 1És C 2 kielégíti a (8) és (9) egyenletet. Hozzunk létre egyenletrendszert a (8) és (9) egyenletekből!

Mivel ennek a rendszernek a determinánsa a lineárisan független megoldások Wronski-determinánsa y 1És y 2(2) egyenletet, akkor nem egyenlő nullával. Ezért a rendszer megoldása során mindkét bizonyos funkcióját megtaláljuk X:

Ezt a rendszert megoldva azt találjuk, ahonnan az integráció eredményeként megkapjuk. Ezután a talált függvényeket behelyettesítjük a képletbe, általános megoldást kapunk az inhomogén egyenletre, ahol tetszőleges állandók vannak.

Tekintsük most a lineáris inhomogén egyenletet
. (2)
Legyen y 1 ,y 2 ,.., y n egy alapvető megoldási rendszer, és legyen a megfelelő L(y)=0 homogén egyenlet általános megoldása. Az elsőrendű egyenletek esetéhez hasonlóan a (2) egyenlet megoldását a formában fogjuk keresni
. (3)
Győződjön meg arról, hogy létezik ilyen formában megoldás. Ehhez behelyettesítjük a függvényt az egyenletbe. Ennek a függvénynek az egyenletbe való behelyettesítéséhez megtaláljuk a származékait. Az első derivált egyenlő
. (4)
A második derivált számításakor négy tag jelenik meg a (4) jobb oldalán, a harmadik derivált számításakor nyolc tag, és így tovább. Ezért a további számítások megkönnyítése érdekében a (4) pontban szereplő első tagot nullára állítjuk. Ezt figyelembe véve a második derivált egyenlő
. (5)
Ugyanazok az okok miatt, mint korábban, az (5)-ben az első tagot is nullával egyenlővé tesszük. Végül az n-edik származék az
. (6)
A származékok kapott értékeit behelyettesítve az eredeti egyenletbe, megvan
. (7)
A (7) második tagja nulla, mivel az y j , j=1,2,..,n függvények a megfelelő L(y)=0 homogén egyenlet megoldásai. Az előzővel kombinálva algebrai egyenletrendszert kapunk a C" j (x) függvények megtalálásához.
(8)
Ennek a rendszernek a determinánsa a megfelelő L(y)=0 homogén egyenlet y 1,y 2,..,y n alaprendszerének Wronski-determinánsa, ezért nem egyenlő nullával. Következésképpen van egy egyedi megoldás a (8) rendszerre. Miután megtaláltuk, megkapjuk a C" j (x), j=1,2,…,n, és ebből következően C j (x), j=1,2,…,n függvényeket, behelyettesítve ezeket az értékeket (3) egy lineáris inhomogén egyenlet megoldását kapjuk.
A vázolt módszert tetszőleges állandó variációs módszerének vagy Lagrange-módszernek nevezzük.

1. számú példa. Keressük meg az y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x egyenlet általános megoldását. Tekintsük a megfelelő homogén y"" + 4y" + 3y = 0 egyenletet. Az r 2 + 4r + 3 karakterisztikus egyenletének gyökerei = 0 egyenlő -1 és -3. Ezért a homogén egyenlet alapvető megoldási rendszere az y 1 = e - x és y 2 = e -3 x függvényekből áll. Az inhomogén egyenletre az y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x alakban keresünk megoldást. A C" 1 , C" 2 deriváltak megtalálásához összeállítunk egy (8) egyenletrendszert.
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
amelynek megoldása, azt találjuk, , Integrálva a kapott függvényeket, van
Végre megkapjuk

2. példa. Oldja meg a másodrendű lineáris differenciálegyenleteket állandó együtthatókkal a tetszőleges állandók változtatásának módszerével:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Megoldás:
Ez a differenciálegyenlet állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletekre vonatkozik.
Az egyenletre y = e rx formában fogunk megoldást keresni. Ehhez összeállítjuk egy lineáris homogén differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletét állandó együtthatókkal:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

A karakterisztikus egyenlet gyökerei: r 1 = 4, r 2 = 2
Következésképpen a megoldások alapvető rendszere a következő függvényekből áll: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
A homogén egyenlet általános megoldása a következő: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Egy adott megoldás keresése tetszőleges állandó változtatásával.
A C" i deriváltjainak megtalálásához egyenletrendszert állítunk össze:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Fejezzük ki C" 1-et az első egyenletből:
C" 1 = -c 2 e -2x
és cserélje ki a másodikra. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
A kapott C" i függvényeket integráljuk:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Mivel y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, a kapott kifejezéseket a következő formában írjuk:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Így a differenciálegyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
vagy
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Keressünk egy konkrét megoldást a következő feltételekkel:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Ha x = 0-t behelyettesítünk a talált egyenletbe, a következőt kapjuk:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Megtaláljuk a kapott általános megoldás első deriváltját:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln (2e 2x +1) -2)
Ha x = 0-t behelyettesítünk, a következőt kapjuk:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Két egyenletrendszert kapunk:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 n3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
vagy
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
vagy
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Ebből: C 1 = 0, C * 2 = 2
A privát megoldás így lesz írva:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek és a Bernoulli-egyenlet megoldásának másik módja egy tetszőleges állandó variációs módszere, vagy a Lagrange-módszer.

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek y’+p(x)y=q(x) alakú egyenletek. Ha a jobb oldalon van egy nulla: y’+p(x)y=0, akkor ez egy lineáris homogén 1. rendű egyenlet. Ennek megfelelően egy egyenlet, amelynek jobb oldala nem nulla, y’+p(x)y=q(x) heterogén lineáris egyenlet 1. rend.

Egy tetszőleges állandó változtatásának módszere (Lagrange-módszer) a következő:

1) Általános megoldást keresünk az y’+p(x)y=0 homogén egyenletre: y=y*.

2) Az általános megoldásban C-t nem állandónak, hanem x függvényének tekintjük: C = C (x). Megkeressük az (y*)’ általános megoldás deriváltját, és a kapott kifejezést y*-ra és (y*)’-re behelyettesítjük a kezdeti feltételbe. A kapott egyenletből megtaláljuk a C(x) függvényt.

3) A homogén egyenlet általános megoldásában C helyett a talált C(x) kifejezést helyettesítjük.

Nézzünk példákat egy tetszőleges állandó változtatásának módszerére. Vegyük ugyanazokat a feladatokat, mint itt, hasonlítsuk össze a megoldás előrehaladását, és győződjön meg arról, hogy a kapott válaszok egybeesnek.

1) y’=3x-y/x

Írjuk át az egyenletet szabványos formában (ellentétben Bernoulli módszerével, ahol csak azért volt szükségünk a jelölési formára, hogy lássuk, hogy az egyenlet lineáris).

y’+y/x=3x (I). Most a terv szerint haladunk.

1) Oldja meg az y’+y/x=0 homogén egyenletet! Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. Képzelje el, hogy y’=dy/dx, helyettesítse: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk dx-el, és elosztjuk xy≠0-val: dy/y=-dx/x. Integráljunk:

2) A homogén egyenlet így kapott általános megoldásában C-t nem állandónak, hanem x függvényének fogjuk tekinteni: C=C(x). Innen

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az (I) feltételbe:

Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát:

itt C már valami új állandó.

3) Az y=C/x homogén egyenlet általános megoldásában, ahol C=C(x), azaz y=C(x)/x-et feltételeztünk, C(x) helyett a talált x³ kifejezést helyettesítjük. +C: y=(x³ +C)/x vagy y=x²+C/x. Ugyanazt a választ kaptuk, mint a Bernoulli-féle megoldásnál.

Válasz: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Itt az egyenlet már szabványos formában van felírva, nem kell átalakítani.

1) Oldja meg az y’+y=0 homogén lineáris egyenletet: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integráljunk:

A kényelmesebb jelölési forma érdekében a kitevőt C hatványára vesszük, mint új C-t:

Ezt a transzformációt azért hajtottuk végre, hogy kényelmesebb legyen a derivált megtalálása.

2) A lineáris homogén egyenlet így kapott általános megoldásában C-t nem állandónak, hanem x függvényének tekintjük: C=C(x). Ilyen feltételek mellett

A kapott y és y' kifejezéseket behelyettesítjük a feltételbe:

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel

Az egyenlet mindkét oldalát a részenkénti integráció képlet segítségével integráljuk, így kapjuk:

Itt C már nem függvény, hanem közönséges konstans.

3) A homogén egyenlet általános megoldásában

helyettesítse be a talált C(x) függvényt:

Ugyanazt a választ kaptuk, mint a Bernoulli-féle megoldásnál.

Egy tetszőleges állandó változtatásának módszere is alkalmazható megoldásra.

y'x+y=-xy².

Az egyenletet szabványos alakba hozzuk: y’+y/x=-y² (II).

1) Oldja meg az y’+y/x=0 homogén egyenletet! dy/dx=-y/x. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk dx-el és elosztjuk y-vel: dy/y=-dx/x. Most integráljuk:

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük a (II) feltételbe:

Egyszerűsítsünk:

Kaptunk egy egyenletet elválasztható változókkal C és x esetén:

Itt C már egy közönséges állandó. Az integrálás során a C(x) helyett egyszerűen C-t írtunk, hogy ne terheljük túl a jelölést. És a végén visszatértünk a C(x)-hez, hogy ne keverjük össze C(x)-et az új C-vel.

3) Az y=C(x)/x homogén egyenlet általános megoldásában behelyettesítjük a talált C(x) függvényt: