Keressünk vegyes parciális származékokat az interneten. Számítsa ki egy függvény deriváltját online. – Valójában a változó cseréje
Meghatározás 1.11 Legyen adott két változó függvénye z=z(x,y), (x,y)D . Pont 0 M 0 (x 0 ) ;y - a terület belső pontja .
D - a terület belső pontja Ha be van ilyen környék 0 U.M. Pont 0 pontokat
, amely minden pontra vonatkozik Pont 0 majd pont helyi maximumpontnak nevezzük. És maga a jelentés 0 ) z(M
- helyi maximum.
, amely minden pontra vonatkozik Pont 0 De ha minden pontra a függvény lokális minimumpontjának nevezzük z(x,y) helyi maximumpontnak nevezzük. És maga a jelentés 0 ) .
És maga a jelentés a függvény lokális minimumpontjának nevezzük - helyi minimum. Pont 0 A lokális maximumot és a lokális minimumot a függvény lokális szélsőértékének nevezzük . ábrán. Az 1.4 elmagyarázza a helyi maximum geometriai jelentését: - maximum pont, hiszen a felszínen 0 z =z (x,y) - maximum pont, hiszen a felszínen megfelelő pontja
C magasabb bármely szomszédos pontnál (ez a maximum helye). - maximum pont, hiszen a felszínen 0 Vegye figyelembe, hogy általában vannak pontok a felületen (pl. magasabb bármely szomszédos pontnál IN - maximum pont, hiszen a felszínen 0 .
), amelyek fent találhatók magasabb bármely szomszédos pontnál , de ezek a pontok (pl.
) nem „szomszédos” a lényeghez
Különösen pont
megfelel a globális maximum fogalmának: A globális minimum definíciója hasonló:
A globális maximumok és minimumok meghatározását az 1.10. szakasz tárgyalja. Tétel 1.3 (az extrémumhoz szükséges feltételek). Pont 0 M 0 (x 0 - a terület belső pontja Legyen adott a függvény
z =z (x,y), (x,y)D . Pont - helyi extrémum pont. . Ha ezen a ponton vannak z"
x - maximum pont, hiszen a felszínen 0 És 0° y , Azt A geometriai bizonyíték „nyilvánvaló”. Ha azon a ponton .
rajzoljunk rá egy érintősíkot (1.4. ábra), akkor az „természetesen” vízszintesen, azaz szögben halad
a tengelyhez
Ó
és a tengelyhez Pont 0 Ó Ezután a parciális deriváltak geometriai jelentésének megfelelően (1.3. ábra): .
amit bizonyítani kellett. Meghatározás 1.12.
Ha azon a ponton Tétel 1.3 (1.41) feltételek teljesülnek, akkor a függvény stacionárius pontjának nevezzük Pont 0 M 0 z(x,y) 0 Tétel 1.4 (elegendő feltétel egy extrémumhoz). Pont 0 Adott legyen
, amelynek a pont valamely szomszédságában másodrendű parciális deriváltjai vannak
,y
)D
.
Ráadásul
- állópont (azaz a szükséges feltételek (1.41) teljesülnek). Számoljunk:
az 1.4 Tétel szerint a pontban van egy minimum. Ráadásul 
pontban az 1.4 Tétel szerint
Maximális. Ráadásul
Sok változó függvényének fogalma
Legyen n-változó, és minden x 1, x 2 ... x n egy adott x halmazból egy definícióhoz van társítva. Z szám, akkor sok változó Z = f (x 1, x 2 ... x n) függvénye adott az x halmazon.
X – a függvénydefiníció területe
x 1, x 2 ... x n – független változó (argumentumok)
Z – funkció Példa: Z=P x 2 1 *x 2 (Hengertérfogat)
Tekintsük Z=f(x;y) – 2 változó függvényét (x 1, x 2 helyett x,y). Az eredmények analógia útján sok változó más függvényeibe kerülnek át. A 2 változó függvényének meghatározására szolgáló terület a teljes zsinór (oh) vagy annak egy része. A 2 változó függvény értékeinek száma egy felület a 3 dimenziós térben.
Gráfok felépítésének technikái: - Tekintsük a felület keresztmetszetét négyzetekben || koordináta négyzetek.
Példa: x = x 0, zn. négyzet X || 0уz y = y 0 0хz A függvény típusa: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)
Például: Z=x 2 +y 2 -2y
Z = x 2 + (y-1) 2 -1 x = 0 Z = (y-1) 2 -1 y = 1 Z = x 2 -1 Z = 0 x 2 + (y-1) 2 -1
Parabola surround(középen(0,1)
Két változó függvényének korlátai és folytonossága
Legyen Z=f(x;y) adott, akkor A a függvény határértéke m.(x 0 ,y 0)-ban, ha bármely tetszőlegesen kis halmazra. az E>0 egy pozitív b>0 szám, amely minden x, y esetén kielégíti |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(x;y) folytonos egy t-ben (x 0 ,y 0), ha: - ebben a t.-ben van definiálva. - van döntője határ x 0-ra, y pedig y 0-ra; - ez a határ = érték függvények t-ben (x 0 ,y 0), azaz. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0) Ha a függvény mindegyikben folyamatos t mn-va X, akkor ezen a területen folytonos Differenciálfüggvény, geom jelentése. Differenciál alkalmazása közelítő értékekben. dy=f’(x)∆x – differenciálfüggvény dy=dx, azaz dy=f ’(x)dx, ha y=x Geológiai szempontból egy függvény differenciálja a függvény grafikonjára húzott érintő ordinátájának növekménye az x 0 abszcissza pontban. A Dif-l-t kb. a függvény értékei a következő képlet szerint: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Minél közelebb van ∆x x-hez, annál pontosabb az eredmény Első és másodrendű parciális származékai Elsőrendű derivált (amit parciálisnak neveznek) A. Legyen x, y az x és y független változók növekményei az X tartományból egy bizonyos ponton. Ekkor a z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) értékkel megegyező értéket nevezzük teljesnek. növekmény az x 0, y 0 pontban. Ha rögzítjük az x változót és megadjuk az y növekményt az y változónak, akkor azt kapjuk, hogy zу = f(x,y,+ y) – f(x,y) Az y változó parciális deriváltját hasonlóan határozzuk meg, azaz. Egy 2 változóból álló függvény parciális deriváltját ugyanazok a szabályok alapján találjuk meg, mint egy változó függvényeire. A különbség az, hogy amikor egy függvényt az x változóhoz viszonyítva differenciálunk, akkor y-t const-nak, az y-ra, x-re vonatkozó differenciálásnál pedig const-nak tekintjük. Az izolált const összeadás/kivonás műveletekkel kapcsolódnak egy függvényhez. A kötött const szorzási/osztási műveletekkel kapcsolódnak egy függvényhez. Az izolált const = 0 származéka 1.4.2 változó függvényének teljes differenciálja és alkalmazásai
Legyen z = f(x,y), akkor tz = 2. rendű parciális derivált 2 változó folytonos függvényeinél a 2. rendű vegyes parciális deriváltak egybeesnek. A parciális deriváltak alkalmazását a max és min függvények parciális deriváltjainak meghatározására extrémáknak nevezzük. A. A pontokat max vagy min z = f(x,y)-nek nevezzük, ha vannak olyan szakaszok, amelyek minden x és y esetén ebből a szomszédságból f(x,y) T. Ha egy 2 változóból álló függvény szélsőpontja adott, akkor a parciális deriváltak értéke ebben a pontban 0, azaz. , Azokat a pontokat, ahol az elsőrendű parciális deriváltokat stacionáriusnak vagy kritikusnak nevezzük. Ezért egy 2 változóból álló függvény szélsőpontjainak megtalálásához elegendő extrémumfeltételt használunk. Legyen a z = f(x,y) függvény kétszer differenciálható, és egy stacionárius pont, 1), és maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Teljes differenciálmű. A differenciál geometriai jelentése. Differenciál alkalmazása közelítő számításokban
A. Legyen az y = f(x) függvény definiálva egy bizonyos környéken a pontokban. Egy f(x) függvényt egy pontban differenciálhatónak mondjuk, ha a növekménye ebben a pontban az Ahol A egy állandó érték, amely független -tól, egy x fix pontban, és infinitezimális -ban. Egy viszonylag lineáris A függvényt az f(x) függvény differenciáljának nevezünk egy pontban, és df()-nek vagy dy-nek jelöljük. Így az (1) kifejezés felírható így Az (1) kifejezésben szereplő függvény differenciáljának alakja dy = A. Mint minden lineáris függvény, ez is bármilyen értékhez definiálható A differenciál felírásának megkönnyítése érdekében a növekményt dx-el jelöljük, és az x független változó differenciáljának nevezzük. Ezért a különbséget a következőképpen írjuk fel: dy = Adx. Ha az f(x) függvény egy adott intervallum minden pontjában differenciálható, akkor a differenciája két változó - az x pont és a dx változó - függvénye: T. Ahhoz, hogy az y = g(x) függvény egy bizonyos ponton differenciálható legyen, szükséges és elegendő, hogy ezen a ponton legyen deriváltja, és (*)Bizonyíték. Szükség. Legyen az f(x) függvény a pontban differenciálható, azaz. Ezért létezik az f’() derivált, és egyenlő A-val. Ezért dy = f’()dx Megfelelőség. Legyen egy f’() derivált, azaz. = f'(). Ekkor az y = f(x) görbe érintőszakasz. Egy függvény értékének kiszámításához egy x pontban vegyünk egy pontot annak valamelyik szomszédságában, így nem nehéz megtalálni f() és f’()/ Ebben a leckében megismerkedünk a két változó függvényének fogalmával, és részletesen megvizsgáljuk a leggyakoribb feladatot - a keresést. részleges származékok első és másodrendű, egy függvény teljes differenciálja. Az alábbi anyag hatékony tanulmányozása érdekében Ön szükséges képes legyen többé-kevésbé magabiztosan megtalálni egy változó függvényeinek „hétköznapi” származékait. A leckéken megtanulhatja, hogyan kell helyesen kezelni a származékokat Hogyan lehet megtalálni a származékot? és egy komplex függvény deriváltja. Szükségünk lesz egy táblázatra az elemi függvények származékairól és a differenciálási szabályokról, a legkényelmesebb, ha nyomtatott formában van kéznél. Kezdjük a két változó függvényének fogalmával, megpróbálunk az elmélet minimumára szorítkozni, mivel az oldal gyakorlati beállítottságú. Egy két változóból álló függvényt általában úgy írnak le, hogy a változókat hívják független változók vagy érvek. Példa: - két változó függvénye. Néha a jelölést használják. Vannak olyan feladatok is, ahol a betű helyett a betűt használják. Hasznos tudni a függvények geometriai jelentését. Egy változó függvénye egy síkon egy bizonyos egyenesnek felel meg, például az ismerős iskolaparabola. Két változó bármely függvénye geometriai szempontból egy felületet ábrázol háromdimenziós térben (síkok, hengerek, golyók, paraboloidok stb.). De valójában ez már analitikus geometria, és a matematikai elemzés napirenden van. Térjünk át az első és másodrendű parciális származékok megtalálásának kérdésére. Van egy jó hírem azoknak, akik ittak néhány csésze kávét, és elképzelhetetlenül nehéz anyagokra hangolódnak: parciális deriváltjai szinte megegyeznek egy változó függvényének „közönséges” deriváltjaival. A parciális deriváltokra minden differenciálási szabály és az elemi függvények deriváltjainak táblázata érvényes. Csak néhány apró eltérés van, amelyekre egy pillanat alatt rátérünk. 1. példa Keresse meg a függvény első és másodrendű parciális deriváltját! Először keressük meg az elsőrendű parciális deriváltokat. Ketten vannak. Megnevezések: Vagy – részleges derivált az „x” vonatkozásában Vagy – részleges derivált az „y”-hoz képest Kezdjük azzal. Fontos! Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „x”-hez, akkor a változót állandónak (konstans számnak) tekintjük.
Döntsünk. Ebben a leckében azonnal megadjuk a teljes megoldást, és az alábbiakban megjegyzéseket fűzünk hozzá. Megjegyzések az elvégzett műveletekhez: (1) Az első dolog, amit a parciális derivált megtalálásakor tegyünk, az a következtetés minden függvény zárójelben a prím alatt alsó indexszel. Figyelem, fontos! NEM VESZTÜNK EL az alsó indexeket a megoldási folyamat során. Ebben az esetben, ha valahol húzás nélkül rajzol egy „vonást”, akkor a tanár legalább a feladat mellé teheti (figyelmetlenségért azonnal leharapja a pont egy részét). (2) A differenciálás szabályait alkalmazzuk (2) Az elemi függvények deriváltjainak táblázatát használjuk. Változtassuk meg gondolatban a táblázat összes „X”-jét „én”-re. Vagyis ez a táblázat ugyanúgy érvényes (és általában minden betűnél). Ebben az esetben a következő képleteket használjuk: és . Tehát az elsőrendű parciális deriváltokat találjuk Folytatjuk mindenki kedvenc matematikai elemzési témájával – a származékokkal. Ebben a cikkben megtudjuk, hogyan kell megtalálni három változó függvényének parciális deriváltjai: első származékok és második származékok. Mit kell tudni és tudni kell az anyag elsajátításához? Akár hiszi, akár nem, először is meg kell tudnia találni egy változó függvényének „közönséges” deriváltjait – magas vagy legalábbis átlagos szinten. Ha nagyon nehéz velük, akkor kezdje egy leckével Hogyan lehet megtalálni a származékot? Másodszor, nagyon fontos elolvasni a cikket, és megérteni és megoldani, ha nem az összes példát, akkor a legtöbb példát. Ha ez már megtörtént, akkor járj velem magabiztos járással, érdekes lesz, még élvezni is fogod! A megtalálás módszerei és elvei három változó függvényének parciális deriváltjai valójában nagyon hasonlóak két változó függvényének parciális deriváltjaihoz. Hadd emlékeztessem önöket, egy két változóból álló függvény alakja , ahol az „x” és „y” független változók. Geometriailag két változó függvénye egy bizonyos felületet reprezentál háromdimenziós terünkben. A három változóból álló függvény alakja , és a változókat hívjuk függetlenváltozók vagy érvek, a változót hívják függő változó vagy funkció. Például: – három változó függvénye És most egy kicsit a sci-fi filmekről és az idegenekről. Gyakran lehet hallani négydimenziós, ötdimenziós, tízdimenziós stb. terek. Hülyeség vagy nem? – Van a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)? – Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Azaz mondjunk példát egy ilyen térre az életünkben. – Lehet-e utazni a múltba? – El lehet utazni a jövőbe? - Léteznek idegenek? Bármely kérdésre négy válasz közül választhat: Aki minden kérdésre helyesen válaszol, annak nagy valószínűséggel lesz valami tárgya ;-) A kérdésekre fokozatosan adok válaszokat az óra előrehaladtával, ne hagyd ki a példákat! Valójában repültek. És rögtön a jó hír: három változós függvényre érvényesek a differenciálás szabályai és a derivált táblázat. Ezért kell jól bánni a "hétköznapi" dolgokkal. függvények származékai egy változó. Nagyon kevés különbség van! 1. példa Megoldás: Nem nehéz kitalálni – három változó függvényében létezik három elsőrendű parciális származékok, amelyek jelölése a következő: Vagy – részleges derivált az „x” vonatkozásában; Gyakoribb a prímszámmal ellátott szimbólum, de a gyűjtemények és a képzési kézikönyvek összeállítói nagyon szeretnek nehézkes szimbólumokat használni a problémákra – ne tévedj el! Talán nem mindenki tudja, hogyan kell helyesen felolvasni ezeket a „féltékeny törteket” hangosan. Példa: a következőképpen kell értelmezni: „de u po de x.” Kezdjük az „X”-re vonatkozó deriválttal: . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot , majd a változókat És konstansnak (konstans számnak) tekintjük.És bármely állandó deriváltja, ó, kegyelem, egyenlő nullával: Azonnal figyeljen az alsó indexre - senki sem tiltja, hogy megjelölje, hogy állandók. Még kényelmesebb a kezdőknek, hogy csak ilyen lemezt használjanak, kisebb az összetévedés veszélye. (1) A derivált linearitási tulajdonságait használjuk, különösen az összes állandót a derivált előjelén túlra mozgatjuk. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a második tagban nem kell eltávolítani az állandót: mivel „Y” konstans, akkor ez is konstans. A kifejezésben a „közönséges” 8 állandó és a „zet” állandó kikerül a származékjelből. (2) Megtaláljuk a legegyszerűbb deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók. Ezután megfésüljük a választ. Részleges derivált. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „y”-ra vonatkozóan, akkor a változókat És konstansnak számítanak:
(1) A linearitás tulajdonságait használjuk. És még egyszer vegye figyelembe, hogy a , kifejezések állandók, ami azt jelenti, hogy semmit sem kell kivenni a származékjelből. (2) Keresse meg a deriváltokat, ne felejtse el, hogy állandók. Ezután leegyszerűsítjük a választ. És végül a parciális derivált. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot a „zet”-re vonatkozóan, akkor a változókat És konstansnak számítanak:
Általános szabály nyilvánvaló és szerény: Amikor megtaláljuk a parciális deriváltotbármilyen okból
független változó tehátkét másik
a független változókat konstansnak tekintjük. E feladatok elvégzésekor rendkívül óvatosnak kell lennie, különösen Nem veszítheti el az előfizetéseket(amelyek jelzik, hogy melyik változót használják a megkülönböztetésre). Az index elvesztése SZÚRÓ HELYTELENSÉG lenne. Hmmm…. Vicces, ha ilyen megfélemlítés után elengedem őket valahol) 2. példa Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. A két vizsgált példa meglehetősen egyszerű, és több hasonló probléma megoldása után még egy teáskanna is hozzászokik a szóbeli kezeléshez. A stressz enyhítésére térjünk vissza a kvíz első kérdéséhez: Van-e a világon negyedik, ötödik stb.? mérések a filiszteus térfelfogás értelmében (hossz/szélesség/magasság)? Helyes válasz: A tudomány ezt nem tiltja. Minden alapvető matematikai axiomatika, tétel, matematikai apparátus szép és következetes bármilyen méretű térben dolgozni. Lehetséges, hogy valahol az Univerzumban léteznek elménk irányításán kívül eső hiperfelületek, például egy négydimenziós hiperfelület, amelyet három változó függvénye határoz meg. Vagy lehet, hogy a hiperfelületek mellettünk vannak, vagy éppen mi vagyunk bennük, csak a látásunk, a többi érzékszervünk és a tudatunk csak három dimenziót képes felfogni és megérteni. Térjünk vissza a példákhoz. Igen, ha valakit nagyon leterhelt a kvíz, jobb, ha elolvassa a következő kérdésekre adott válaszokat, miután megtanulta, hogyan találja meg három változó függvényének parciális deriváltjait, különben el fogom csapni a fejét a cikk alatt =) A legegyszerűbb 1. és 2. példák mellett a gyakorlatban vannak olyan feladatok, amelyeket kis rejtvénynek is nevezhetünk. Az ilyen példák bánatomra kikerültek a szemem elől, amikor megalkottam a leckét Két változó függvényének parciális deriváltjai. Vegyük utol: 3. példa Megoldás:Úgy tűnik, itt „minden egyszerű”, de az első benyomás megtévesztő. Amikor részleges származékokat találnak, sokan kitalálják a tealeveleket, és hibáznak. Nézzük a példát következetesen, világosan és érthetően. Kezdjük az "x"-re vonatkozó parciális deriválttal. Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot „x”-hez képest, a változókat konstansnak tekintjük. Ezért a függvényünk kitevője is állandó. Bábuknál a következő megoldást javaslom: a piszkozatban változtassa meg az állandót egy adott pozitív egész számra, például „öt”. Az eredmény egy változó függvénye: Ez hatalom függvény összetett bázissal (szinusz). Szerző: Most így emlékezünk rá: A végső szakaszban természetesen a megoldást így kell írni: A parciális deriváltot az „y”-hez viszonyítva találjuk meg, ezeket konstansoknak tekintjük. Ha „x” konstans, akkor az is konstans. A piszkozaton ugyanazt a trükköt tesszük: cserélje ki például 3-mal, „Z” - cserélje ki ugyanazzal az „öttel”. Az eredmény ismét egy változó függvénye: Ez jelzésértékű függvény komplex kitevőjével. Által összetett függvények differenciálási szabálya: Most pedig emlékezzünk a pótlásunkra: Így: Az utolsó oldalon természetesen szépen kell kinéznie a dizájnnak: És a tüköreset a parciális deriválttal a „zet” ( – konstansok) vonatkozásában: Némi tapasztalat birtokában az elemzés mentálisan is elvégezhető. Végezzük el a feladat második részét – állítsunk össze egy elsőrendű differenciálművet. Nagyon egyszerű, a két változó függvényével analóg módon egy elsőrendű differenciálművet a következő képlettel írunk fel: Ebben az esetben: És ez üzlet. Megjegyzem, hogy gyakorlati feladatokban egy három változós függvényre sokkal ritkábban szükséges egy teljes I. rendű differenciálművet megszerkeszteni, mint két változós függvényre. Egy vicces példa arra, hogyan oldja meg saját maga: 4. példa Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait, és alkosson egy elsőrendű teljes differenciált Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Ha bármilyen nehézségbe ütközik, használja a tárgyalt „Chaynikovsky” algoritmust, ez garantáltan segít. És még egy hasznos tipp - ne rohanj. Ilyen példákat még én sem tudok gyorsan megoldani. Térjünk ki és nézzük meg a második kérdést: Lehet-e építeni négydimenziós, ötdimenziós stb. tér a szó tág értelmében? Azaz mondjunk példát egy ilyen térre az életünkben. Helyes válasz: Igen. Ráadásul nagyon könnyű. Például hozzáadunk egy negyedik dimenziót a hosszúság/szélesség/magasság - időhöz. A népszerű négydimenziós téridő és a jól ismert relativitáselmélet, amelyet Einstein szépen ellopott Lobacsevszkijtől, Poincarétól, Lorentztől és Minkowskitól. Azt sem mindenki tudja. Miért kapta Einstein a Nobel-díjat? Szörnyű botrány tört ki a tudományos világban, és a Nobel-bizottság hozzávetőlegesen a következőképpen fogalmazta meg a plágiumíró érdemét: "A fizika fejlődéséhez való általános hozzájárulásáért." Szóval ennyi. A C diák Einstein márkája tiszta promóció és PR. Könnyen hozzáadható egy ötödik dimenzió a vizsgált négydimenziós térhez, például: légköri nyomás. És így tovább, így tovább, így tovább, ahány méretet megad a modellben – ennyi lesz. A szó legtágabb értelmében többdimenziós térben élünk. Nézzünk még néhány tipikus feladatot: 5. példa Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat egy pontban Megoldás: Az ebben a megfogalmazásban szereplő feladat gyakran megtalálható a gyakorlatban, és a következő két tevékenységből áll: Mi döntünk: (1) Előttünk egy összetett függvény, és első lépésben vegyük az arctangens deriváltját. Ebben az esetben tulajdonképpen nyugodtan használjuk a táblázatos formulát az arctangens származékára. Által összetett függvények differenciálási szabálya az eredményt meg kell szorozni a belső függvény deriváltjával (beágyazás): . (2) A linearitás tulajdonságait használjuk. (3) És vesszük a maradék deriváltokat, nem felejtve el, hogy állandók. A hozzárendelési feltételek szerint meg kell találni a pontban talált parciális derivált értékét. Helyettesítsük be a pont koordinátáit a talált deriváltba: Ennek a feladatnak az az előnye, hogy más parciális származékokat is nagyon hasonló séma szerint találunk: Mint látható, a megoldássablon szinte ugyanaz. Számítsuk ki a talált parciális derivált értékét a pontban: És végül a „zet” származéka: Kész. A megoldást másképp is meg lehetett volna fogalmazni: először keresse meg mindhárom parciális deriváltot, majd számítsa ki az értéküket a ponton. De számomra úgy tűnik, hogy a fenti módszer kényelmesebb - csak keresse meg a részleges származékot, és azonnal, a pénztárgép elhagyása nélkül számítsa ki az értékét a ponton. Érdekes megjegyezni, hogy geometriailag egy pont egy nagyon valós pont a háromdimenziós terünkben. A függvény és a származékok értékei már a negyedik dimenzió, és senki sem tudja, hol helyezkedik el geometriailag. Ahogy mondani szokták, senki nem mászkált az Univerzumban mérőszalaggal és nem ellenőrizte. Mivel a filozófiai téma ismét felfutóban van, nézzük meg a harmadik kérdést: Lehet-e utazni a múltba? Helyes válasz: Nem. A múltba utazás ellentmond a termodinamika második főtételének a fizikai folyamatok visszafordíthatatlanságáról (entrópia). Szóval kérlek, ne merülj medencébe víz nélkül, az eseményt csak videóban lehet visszajátszani =) Nem hiába találta ki a népi bölcsesség ezzel ellentétes hétköznapi törvényt: „Kétszer mérj, egyszer vágj.” Bár valójában az a szomorú, hogy az idő egyirányú és visszafordíthatatlan, holnap egyikünk sem lesz fiatalabb. És a különféle tudományos-fantasztikus filmek, mint a „The Terminator” tudományos szempontból teljes nonszensz. Filozófiai szempontból is abszurd, amikor a Hatás a múltba visszatérve elpusztíthatja saját Okát. . Érdekesebb a „zet” származék, bár még mindig majdnem ugyanaz: (1) Kivesszük az állandókat a derivált előjeléből. (2) Itt ismét két függvény szorzata, amelyek mindegyike attól függ az „élő” „zet” változóból. Elvileg használhatja a hányados származékának képletét, de könnyebb a másik irányba menni - keresse meg a szorzat származékát. (3) A derivált táblázatos derivált. A második tag egy komplex függvény már ismert deriváltját tartalmazza. 9. példa Keresse meg három változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjait Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Gondolja át, hogyan találja meg racionálisabban ezt vagy azt a részleges származékot. Teljes megoldás és válasz a lecke végén. Mielőtt rátérnénk a lecke utolsó példáira, és megnéznénk másodrendű parciális származékok három változó függvényei, ismét felvidítok mindenkit a negyedik kérdéssel: Lehetséges a jövőbe utazni? Helyes válasz: A tudomány ezt nem tiltja. Paradox módon nincs olyan matematikai, fizikai, kémiai vagy egyéb természettudományi törvény, amely tiltaná az utazást a jövőbe! Hülyeségnek tűnik? De az életben szinte mindenkinek volt (és semmilyen logikus érvvel nem alátámasztott) előérzete, hogy ez vagy az az esemény megtörténik. És megtörtént! Honnan származott az információ? A jövőből? Így aztán a jövőutazásról szóló tudományos-fantasztikus filmek, mellesleg mindenféle jósok és médiumok jóslatai nem nevezhetők ekkora hülyeségnek. A tudomány legalábbis ezt nem cáfolta. Bármi lehetséges! Tehát iskolás koromban hihetetlennek tűntek számomra a filmekből készült CD-k és lapos monitorok. Az „Ivan Vasziljevics megváltoztatja a hivatását” című híres vígjáték félig fikció (legfeljebb). Egyetlen tudományos törvény sem tiltotta, hogy Rettegett Iván a jövőben legyen, de lehetetlen, hogy két paprika a múltba kerüljön, és királyi feladatokat látjon el. Tekintsünk két változó függvényét: Mivel a $x$ és $y$ változók függetlenek, egy ilyen függvényre bevezethetjük a parciális derivált fogalmát: A $f$ függvény parciális deriváltja a $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pontban a $x$ változóhoz képest: a határ \[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \jobbra))(\Delta x)\] Hasonlóképpen definiálhatja a részleges deriváltot a $y$ változóhoz képest: \[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \jobbra))(\Delta y)\] Más szóval, több változó függvényének parciális deriváltjának megtalálásához a kívánt változó kivételével az összes többi változót rögzíteni kell, majd meg kell keresni a szokásos deriváltot ehhez a kívánt változóhoz. Ez elvezeti az ilyen származékok kiszámításának fő technikájához: egyszerűen tegyük fel, hogy ezen egy kivételével minden változó konstans, majd különböztesse meg a függvényt úgy, ahogy a „közönséges” egyet – egy változóval. Például: $\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \jobbra))^(\ prím ))_(y)+10x\cdot ((\bal(y \jobb))^(\prím ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$ Nyilvánvaló, hogy a különböző változókra vonatkozó parciális deriváltak eltérő választ adnak – ez normális. Sokkal fontosabb megérteni, hogy mondjuk az első esetben miért húztuk ki nyugodtan a $10y$-t a derivált jel alól, a második esetben pedig teljesen nulláztuk le az első tagot. Mindez annak köszönhető, hogy az összes betűt, kivéve azt a változót, amely alapján a megkülönböztetést végrehajtják, állandónak tekintik: kivehetők, „elégethetők” stb. Ma több változó függvényeiről és azok parciális deriváltjairól fogunk beszélni. Először is, mi a függvénye több változónak? Eddig megszoktuk, hogy egy függvényt $y\left(x \right)$ vagy $t\left(x \right)$-nak, vagy annak bármely változójának és egyetlen függvényének tekintsünk. Most egy függvényünk lesz, de több változónk. Ahogy $y$ és $x$ változik, a függvény értéke megváltozik. Például, ha $x$ megduplázódik, akkor a függvény értéke megváltozik, és ha $x$ változik, de $y$ nem változik, akkor a függvény értéke ugyanúgy változik. Természetesen több változó függvénye, akárcsak egy változó függvénye, megkülönböztethető. Mivel azonban több változó létezik, lehetséges a különböző változók szerinti megkülönböztetés. Ebben az esetben olyan sajátos szabályok merülnek fel, amelyek nem léteztek egy változó megkülönböztetésekor. Először is, amikor egy függvény deriváltját számítjuk ki bármely változóból, meg kell jelölnünk, hogy melyik változóra számítjuk a deriváltot – ezt nevezzük parciális deriváltnak. Például van egy függvényünk két változóból, és ezt mind $x$-ban, mind $y$-ban ki tudjuk számítani – minden változóhoz két parciális derivált. Másodszor, amint rögzítettük az egyik változót, és elkezdjük kiszámítani a parciális deriváltot, akkor a függvényben szereplő összes többit állandónak tekintjük. Például a $z\left(xy \right)$-ban, ha figyelembe vesszük a parciális deriváltot $x$-hoz képest, akkor bárhol találkozunk $y$-val, konstansnak tekintjük és ekként kezeljük. Konkrétan egy szorzat deriváltjának számításakor kivehetjük $y$-t a zárójelekből (van egy állandónk), az összeg deriváltjának számításakor pedig, ha valahol egy $y$-t tartalmazó kifejezés deriváltját kapjuk, ill. nem tartalmaz $x$-t, akkor ennek a kifejezésnek a deriváltja egy állandó deriváltjaként „nulla” lesz. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy valami bonyolultról beszélek, és sok diák először összezavarodik. A részleges származékokban azonban nincs semmi természetfeletti, és most ezt konkrét problémák példáján fogjuk látni. Hogy ne vesztegessük az időt, kezdjük a legelejétől komoly példákkal. Kezdésként hadd emlékeztesselek erre a képletre: Ez a standard táblaérték, amelyet a standard kurzusból ismerünk. Ebben az esetben a $z$ derivált a következőképpen számítható ki: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\] Csináljuk meg még egyszer, mivel a gyökér nem $x$, hanem valami más kifejezés, jelen esetben $\frac(y)(x)$, akkor először a szabványos táblaértéket használjuk, majd, mivel a gyökér nem $x $, és egy másik kifejezés, meg kell szoroznunk a deriváltunkat ennek a kifejezésnek egy másikkal, ugyanarra a változóra vonatkozóan. Először számoljuk ki a következőket: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\] Visszatérünk kifejezésünkhöz, és ezt írjuk: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \jobbra)\] Lényegében ennyi. Helytelen azonban ebben a formában hagyni: egy ilyen konstrukció kényelmetlen a további számításokhoz, ezért alakítsuk át egy kicsit: \[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\] \[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\] A válasz megvan. Most foglalkozzunk $y$-val: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\] Írjuk le külön: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\] Most leírjuk: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\] \[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\] Minden kész. Ez a példa egyszerűbb és összetettebb is, mint az előző. Bonyolultabb, mert több a művelet, de egyszerűbb, mert nincs gyökér, ráadásul a függvény szimmetrikus $x$ és $y$ vonatkozásában, azaz. ha $x$-t és $y$-t felcseréljük, a képlet nem változik. Ez a megjegyzés tovább egyszerűsíti a parciális derivált számításunkat, azaz. elég megszámolni az egyiket, és a másodikban egyszerűen felcserélni $x$ és $y$. Térjünk a dologra: \[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \jobb ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \jobbra)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ) )_(x))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\] Számoljunk: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ] Sok diák azonban nem érti ezt a jelölést, ezért írjuk így: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\] Így ismét meggyőződtünk a parciális derivált algoritmus univerzalitásáról: akárhogyan is számoljuk őket, ha minden szabályt helyesen alkalmazunk, a válasz ugyanaz lesz. Most nézzünk meg még egy parciális deriváltot a nagy képletünkből: \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \jobbra))^(\prímszám ))_(x)+((\bal(((y)^(2)) \jobbra))^(\prím ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\] Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket a képletünkbe, és kapjuk: \[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ jobb)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobb))^(\prím ))_(x))(((\bal (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\] \[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra)-xy\cdot 2x)(((\left(((()) x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\] \[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \jobbra))(((\ balra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \jobbra))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2 )))\] A számolt $x$ alapján. És hogy ugyanabból a kifejezésből kiszámoljuk a $y$-t, ne végezzük el ugyanazt a műveletsort, hanem használjuk ki az eredeti kifejezésünk szimmetriáját – egyszerűen lecseréljük az összes $y$-t az eredeti kifejezésünkben a $x$-ra és fordítva: \[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \jobbra))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\] A szimmetria miatt ezt a kifejezést sokkal gyorsabban számoltuk ki. A parciális deriváltoknál az összes szabványos képlet működik, amit a közönségesekre használunk, nevezetesen a hányados deriváltja. Ugyanakkor azonban sajátosságok is felmerülnek: ha figyelembe vesszük $x$ parciális deriváltját, akkor amikor megkapjuk $x$-ból, akkor konstansnak tekintjük, és ezért a deriváltja „nulla” lesz. . A közönséges deriváltokhoz hasonlóan a hányados (ugyanaz a derivált) többféleképpen számítható ki. Például ugyanazt a konstrukciót, amelyet az imént számoltunk, a következőképpen írhatjuk át: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\] \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\] Ugyanakkor használhatja a derivált összeg képletét. Mint tudjuk, egyenlő a származékok összegével. Például írjuk a következőket: \[((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \] Most mindezek ismeretében próbáljunk meg komolyabb kifejezésekkel dolgozni, hiszen a valós parciális deriváltak nem korlátozódnak csak polinomokra és gyökekre: van trigonometria, logaritmus és az exponenciális függvény is. Most tegyük ezt. Írjuk fel a következő szabványos képleteket: \[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\] \[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\] Ezzel a tudással felvértezve próbáljuk meg megoldani: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Írjunk ki egy változót külön: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Térjünk vissza a tervezéshez: \[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Ennyi, megtaláltuk $x$-ért, most végezzük el a számításokat $y$-ra: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Ismét számítsunk ki egy kifejezést: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \jobbra)\] Visszatérünk az eredeti kifejezéshez, és folytatjuk a megoldást: \[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\] Minden kész. Írjuk fel a szükséges képletet: \[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\] Most számoljunk $x$-al: \[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(x)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\] $x$-ért talált. $y$-al számolunk: \[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(y)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ] A probléma megoldódott. Tehát függetlenül attól, hogy melyik függvény részleges deriváltját vesszük, a szabályok ugyanazok maradnak, függetlenül attól, hogy trigonometriával, gyökökkel vagy logaritmusokkal dolgozunk. A standard deriváltokkal való munka klasszikus szabályai változatlanok maradnak, nevezetesen az összeg és a különbség deriváltja, a hányados és egy komplex függvény. Az utolsó képlet leggyakrabban a parciális deriváltokkal kapcsolatos problémák megoldásakor található. Szinte mindenhol találkozunk velük. Soha nem volt olyan feladat, ahol ne találkoztunk volna vele. De nem számít, milyen képletet használunk, még egy követelményt adunk hozzá, mégpedig a parciális deriváltokkal való munka sajátossága. Amint javítunk egy változót, az összes többi állandónak bizonyul. Különösen, ha figyelembe vesszük a $\cos \frac(x)(y)$ kifejezés részleges származékát $y$-hoz képest, akkor $y$ a változó, és $x$ mindenhol állandó marad. Ugyanez fordítva is működik. Kivehető a derivált előjeléből, és magának az állandónak a deriváltja „nulla” lesz. Mindez oda vezet, hogy ugyanannak a kifejezésnek a parciális deriváltjai, de különböző változókhoz képest, teljesen eltérően nézhetnek ki. Nézzük például a következő kifejezéseket: \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\] \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\] Kezdésként írjuk fel a következő képletet: \[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=((e)^(x))\] Ennek a ténynek, valamint egy komplex függvény deriváltjának ismeretében próbáljuk meg kiszámítani. Most kétféleképpen fogom megoldani. Az első és legnyilvánvalóbb a termék származéka: \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Oldjuk meg külön a következő kifejezést: \[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\] Visszatérünk eredeti tervünkhöz, és folytatjuk a megoldást: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\jobbra)\] Minden, $x$ ki van számolva. Azonban, ahogy ígértem, most megpróbáljuk ugyanazt a parciális deriváltot más módon kiszámítani. Ehhez vegye figyelembe a következőket: \[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\] Írjuk így: \[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\] Ennek eredményeként pontosan ugyanazt a választ kaptuk, de a számítások mennyisége kisebbnek bizonyult. Ehhez elég volt megjegyezni, hogy a termék végrehajtása során a mutatók hozzáadhatók. Most számoljunk $y$-al: \[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(y)=\] \[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Oldjunk meg egy kifejezést külön: \[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\] Folytassuk az eredeti konstrukció megoldását: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\] Természetesen ugyanezt a származékot a második módon is ki lehetne számítani, és a válasz ugyanaz lenne. Számoljunk $x$-al: \[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \jobb )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\] Számítsunk ki egy kifejezést külön: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\] Folytassuk az eredeti konstrukció megoldását: $$ Íme a válasz. Továbbra is meg kell találni analógiával a $y$ használatával: \[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \jobbra)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\] Mint mindig, egy kifejezést külön számítunk ki: \[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prímszám ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \jobb) )^(\prím ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\] Folytatjuk az alapterv megoldását: Mindent kiszámoltak. Amint látható, attól függően, hogy melyik változót veszik a megkülönböztetéshez, a válaszok teljesen eltérőek. Íme egy frappáns példa arra, hogy ugyanannak a függvénynek a deriváltja két különböző módon számítható ki. Nézz ide: \[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ bal (1+\frac(1)(y) \jobb)\] \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ] Különböző utak kiválasztásakor a számítások mennyisége eltérő lehet, de a válasz, ha minden helyesen történik, ugyanaz lesz. Ez vonatkozik mind a klasszikus, mind a részleges származékokra. Ugyanakkor még egyszer emlékeztetem: attól függően, hogy melyik változóval veszik fel a derivált, pl. megkülönböztetés, a válasz teljesen más lehet. Nézze: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\] \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\] Végezetül, hogy megszilárdítsuk ezt az anyagot, próbáljunk meg még két példát kiszámítani. Írjuk fel a következő képleteket: \[((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\] \[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(x))\] Most oldjuk meg a kifejezésünket: \[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\] Számítsuk ki külön a következő konstrukciót: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\] Folytatjuk az eredeti kifejezés megoldását: \[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\] Ez a privát változó végső válasza a $x$-on. Most számoljunk $y$-al: \[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\] Oldjunk meg egy kifejezést külön: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\] Oldjuk meg a kivitelezésünket a végéig: \[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\] Első pillantásra ez a példa meglehetősen bonyolultnak tűnhet, mivel három változója van. Valójában ez az egyik legegyszerűbb feladat a mai oktatóvideóban. Keresés $x$ szerint: \[(((t)")_(x))=((\bal(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \jobbra))^(\prím ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=\] \[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\] Most foglalkozzunk $y$-val: \[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \jobbra))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(y)=\] \[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \jobbra))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\] Megtaláltuk a választ. Most már csak meg kell keresni $z$ szerint: \[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\] Kiszámoltuk a harmadik deriváltot, amely befejezi a második probléma megoldását. Mint látható, ebben a két példában nincs semmi bonyolult. Az egyetlen dolog, amiről meg vagyunk győződve, hogy egy komplex függvény deriváltját gyakran használjuk, és attól függően, hogy melyik parciális deriváltot számoljuk, különböző válaszokat kapunk. Az utolsó feladatban egyszerre három változó egy függvényével kellett foglalkoznunk. Nincs ezzel semmi baj, de a legvégén meggyőződtünk arról, hogy mindegyik jelentősen eltér egymástól. A mai oktatóvideó utolsó összefoglalói a következők: Természetesen ennek a videóleckének a megtekintése önmagában nem elegendő a téma teljes megértéséhez, ezért a webhelyemen jelenleg egy sor probléma található ehhez a videóhoz, amelyet kifejezetten a mai témának szenteltek - menjen be, töltse le, oldja meg ezeket a problémákat, és ellenőrizze a választ. . És ezek után sem a vizsgákon, sem az önálló munkában nem lesz gond a részleges származékokkal. Természetesen ez nem az utolsó lecke a felsőbb matematikából, ezért látogassa meg weboldalunkat, vegye fel a VKontakte-t, iratkozzon fel a YouTube-ra, lájkoljon és tartson velünk!
- teljes növekménynek nevezik
, ahol az (1) formában van feltüntetve
().
míg a függvény növekményét csak azoknál kell figyelembe venni, amelyeknél a + az f(x) függvény definíciós tartományába tartozik.. Majd
; . Egy ehhez hasonló egyszerű példánál mindkét szabály könnyen alkalmazható egy lépésben. Figyeljünk az első kifejezésre: mivel konstansnak tekintjük, és bármely állandó kivehető a származékjelből, majd zárójelből kirakjuk. Vagyis ebben a helyzetben semmivel sem jobb, mint egy közönséges szám. Most nézzük a harmadik kifejezést: itt éppen ellenkezőleg, nincs mit kivenni. Mivel ez egy állandó, egyben állandó is, és ebben az értelemben semmivel sem jobb, mint az utolsó kifejezés - „hét”.
Végül is a három változó függvénye magában foglalja azt a tényt, hogy minden négydimenziós térben zajlik (sőt, négy változó van). A három változóból álló függvény grafikonja az ún hiperfelület. Elképzelhetetlen, hiszen háromdimenziós térben élünk (hossz/szélesség/magasság). Hogy ne unatkozzon velem, felajánlok egy kvízt. Felteszek néhány kérdést, és akit érdekel, az válaszolhat rájuk:
Igen / Nem (a tudomány ezt tiltja) / A tudomány ezt nem tiltja / nem tudom
vagy – részleges származékos „y” vonatkozásában;
vagy – részleges derivált a „zet” vonatkozásában.
vagy így is írhatod:
– elsőrendű parciális származékokat kell találnia;
– a ponton ki kell számítani az elsőrendű parciális deriváltak értékét.
Mi az a "részleges származékos"?
Problémák gyökökkel és polinomokkal
1. számú feladat
2. probléma
A megoldás árnyalatai
Problémák trigonometrikus függvényekkel és logaritmusokkal
1. számú feladat
2. probléma
A megoldás árnyalatai
Problémák az exponenciális függvényekkel és logaritmusokkal
1. számú feladat
2. probléma
A megoldás árnyalatai
Problémák trigonometrikus függvényekkel és három változós függvényekkel
1. számú feladat
2. probléma
A megoldás árnyalatai
Kulcspontok
