Keresse meg a 6-os komplex szám argumentumának összes értékét. A komplex szám modulusa és argumentuma. Trigonometrikus. Nézze meg, mi az „egy komplex szám modulusa” más szótárakban

17.09.2021Cím: Végső

Definíció 8.3 (1).

Hossza |z| z = (x,y) vektort a z = x + yi komplex szám modulusának nevezzük

Mivel a háromszög mindkét oldalának hossza nem haladja meg a másik két oldala hosszának összegét, és a háromszög két oldala hossza közötti különbség abszolút értéke nem kisebb, mint a harmadik oldal hossza, akkor bármely két z 1 és z 2 komplex számra érvényesek az egyenlőtlenségek

Definíció 8.3 (2).

Komplex szám argumentum. Ha φ az a szög, amelyet egy nem nulla z vektor alkot a valós tengellyel, akkor a (φ + 2πn alak bármely szöge, ahol n egész szám, és csak egy ilyen szög, egyben a következő szög is) a z vektor a valós tengellyel.

A z = = (x, y) nem nulla vektor által a valós tengellyel alkotott összes szög halmazát a z = x + yi komplex szám argumentumának nevezzük, és arg z-vel jelöljük. Ennek a halmaznak minden elemét a z szám argumentumának értékének nevezzük (8.3(1) ábra).

Rizs. 8.3. (1) bekezdése alapján.

Mivel egy sík nullától eltérő vektorát a hossza és az x tengellyel bezárt szöge határozza meg egyértelműen, akkor két komplex számok nullától eltérőek, akkor és csak akkor egyenlőek, ha egyenlőek abszolút értékeketés érvek.

Ha például a 0≤φ feltételt a z szám φ argumentumának értékeire tesszük<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

8.3. (3) meghatározás

Komplex szám írásának trigonometrikus formája. A z = x + уi ≠ 0 komplex szám valós és képzetes részeit a modulusán keresztül fejezzük ki r= |z| és a φ argumentum a következőképpen (a szinusz és koszinusz definíciójából):

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát a z komplex szám írásának trigonometrikus alakjának nevezzük. z = 0 esetén is használjuk; ebben az esetben r = 0, és φ bármilyen értéket felvehet - a 0 szám argumentuma definiálatlan. Tehát minden komplex szám felírható trigonometrikus formában.

Az is világos, hogy ha a z komplex számot alakba írjuk

akkor az r szám a modulusa, hiszen

És φ az érvelésének egyik értéke

A komplex számok írásának trigonometrikus formája különösen a komplex számok szorzásakor lehet kényelmes, lehetővé teszi a komplex számok szorzatának geometriai jelentésének megismerését.

Keressünk képleteket a komplex számok szorzására és osztására trigonometrikus formában. Ha

majd a komplex számok szorzásának szabálya szerint (az összeg szinuszának és koszinuszának képleteivel)

Így a komplex számok szorzásakor azok abszolút értékét megszorozzuk, és az argumentumokat hozzáadjuk:

Ha ezt a képletet szekvenciálisan n komplex számra alkalmazzuk, azt kapjuk

Ha mind az n szám egyenlő, akkor azt kapjuk

Hová

futás

Ezért egy olyan komplex szám esetében, amelynek abszolút értéke 1 (ezért van alakja

Ezt az egyenlőséget hívják Moivre képletei

Más szavakkal, komplex számok osztásakor a moduljaikat felosztják,

és az érveket kivonjuk.

8.3 (1) példa.

Rajzoljunk a C komplex síkra egy olyan ponthalmazt, amely megfelel a következő feltételeknek:

Amely egy adott komplex számot reprezentál $z=a+bi$, azt az adott komplex szám modulusának nevezzük.

Egy adott komplex szám modulusát a következő képlet segítségével számítjuk ki:

1. példa

Számítsa ki az adott komplex számok modulusát $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$!

A $z=a+bi$ komplex szám modulusát a következő képlettel számítjuk ki: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Az eredeti $z_(1) =13$ komplex számhoz megkapjuk a $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13 $

Az eredeti $\ komplex számra z_(2) =4i$ kapjuk a $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Az eredeti $\ komplex számra z_(3) =4+3i$ kapjuk: $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

2. definíció

A valós tengely pozitív iránya és a $\overrightarrow(OM) $ sugárvektor által alkotott $\varphi $ szöget, amely egy adott $z=a+bi$ komplex számnak felel meg, e szám argumentumának nevezzük, ill. $\arg z$ jelöli.

1. megjegyzés

Egy adott komplex szám modulusát és argumentumát kifejezetten használjuk, amikor egy komplex számot trigonometrikus vagy exponenciális formában ábrázolunk:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrikus forma;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - exponenciális forma.

2. példa

Írjon fel egy komplex számot trigonometrikus és exponenciális formában, a következő adatok alapján: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Helyettesítse be a $r=3;\varphi =\pi $ adatot a megfelelő képletbe, és kapja meg:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrikus forma

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - exponenciális forma.

2) Helyettesítse be a $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ adatot a megfelelő képletbe, és kapja meg:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrikus forma

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - exponenciális forma.

3. példa

Határozzuk meg az adott komplex számok modulusát és argumentumát:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Adott komplex szám trigonometrikus és exponenciális formában történő felírásához képletekkel keressük meg a modulust és az argumentumot.

\ \

1) Az eredeti $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ komplex számhoz $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) A $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ kezdeti komplex számhoz kapjuk meg a $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) A $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ kezdeti komplex számhoz megkapjuk a $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Az eredeti $z=13\cdot e^(i\pi ) $ komplex számra a $r=13;\varphi =\pi $ értéket kapjuk.

Adott $z=a+bi$ komplex szám $\varphi $ argumentuma a következő képletekkel számítható ki:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

A gyakorlatban egy adott komplex szám argumentuma értékének kiszámításához $z=a+bi$ általában a következő képletet használják:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

vagy megoldani egy egyenletrendszert

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.

4. példa

Számítsa ki a megadott komplex számok argumentumát: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Mivel $z=3$, akkor $a=3,b=0$. Számítsuk ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Mivel $z=4i$, akkor $a=0,b=4$. Számítsuk ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Mivel $z=1+i$, akkor $a=1,b=1$. Számítsuk ki az eredeti komplex szám argumentumát a (**) rendszer megoldásával:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

A trigonometriai kurzusból ismert, hogy $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ az első koordinátanegyednek megfelelő és $\varphi =\frac szögre (\pi )( 4) $.

Mivel $z=-5$, akkor $a=-5,b=0$. Számítsuk ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Mivel $z=-2i$, akkor $a=0,b=-2$. Számítsuk ki az eredeti komplex szám argumentumát a (*) képlet segítségével:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

2. megjegyzés

A $z_(3)$ számot a $(0;1)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza 1, azaz. $r=1$, és a $\varphi =\frac(\pi )(2) $ argumentum a 3. megjegyzés szerint.

A $z_(4)$ számot a $(0;-1)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza 1, azaz. $r=1$, és a $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ argumentum a 3. megjegyzés szerint.

A $z_(5) $ számot a $(2;2)$ pont képviseli, ezért a megfelelő sugárvektor hossza egyenlő: $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, azaz. $r=2\sqrt(2) $, és a $\varphi =\frac(\pi )(4) $ argumentum egy derékszögű háromszög tulajdonságával.

A komplex szám z =x + i * y alakú szám, ahol x és y valós számok, és i = képzeletbeli egység (azaz olyan szám, amelynek négyzete -1). Az ábrázolás meghatározásához érvátfogó számok, meg kell nézni egy komplex számot a komplex síkon a polárkoordináta-rendszerben.

Utasítás

1. Az a sík, amelyen a komplex komplexek ábrázolódnak számok, komplexnek nevezzük. Ezen a síkon a vízszintes tengelyt a valós foglalja el számok(x), és a függőleges tengely képzeletbeli számok(y). Egy ilyen síkon a számot két z = (x, y) koordináta adja. A polárkoordináta-rendszerben egy pont koordinátái a modulus és az argumentum. A modulus a |z| távolság ponttól az eredetig. A szöget érvnek nevezik? a pontot és a koordináta előszót összekötő vektor és a koordinátarendszer vízszintes tengelye között (lásd az ábrát).

2. Az ábrán látható, hogy a komplex modul számok z = x + i * y a Pitagorasz-tétel segítségével található: |z| = ? (x^2 + y^2). További érv számok z egy háromszög hegyesszögeként található - a sin, cos, tan:sin trigonometrikus függvények értékein keresztül? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Tegyük fel, hogy a z = 5 * (1 + ?3 * i) szám legyen adott. Először is válassza ki a valós és a képzeletbeli részt: z = 5 +5 * ?3 * i. Kiderül, hogy a valós rész x = 5, a képzetes rész pedig y = 5 * ?3. Számítsa ki a modulust számok: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Ezután keresse meg a szög szinuszát?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Innen kapjuk az argumentumot számok z egyenlő 30°-kal.

4. 2. példa. Legyen adott a z = 5 * i szám. A képen látható, hogy a szög? = 90°. Ellenőrizze ezt az értéket a fent megadott képlet segítségével. Írd le ennek a koordinátáit számok a komplex síkon: z = (0, 5). Modul számok|z| = 5. A tg szög érintője? = 5 / 5 = 1. Mi következik ebből? = 90°.

5. 3. példa Tegyük fel, hogy meg kell találnunk az argumentumot 2 komplex szám z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i összegére. Az összeadás szabályai szerint összeadja ezt a két komplexumot számok: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Ezután a fenti diagram szerint számítsa ki az argumentumot: tg? = 9/3 = 3.

Figyel!
Ha a z szám = 0, akkor a hozzá tartozó argumentum értéke nincs definiálva.

Hasznos tanácsok
Egy komplex szám argumentumának értékét 2 * pontossággal határozzuk meg? * k, ahol k tetszőleges egész szám. Az érvelés értelme? olyan, hogy –?

Ennek a számnak felel meg: .
A z komplex szám modulusát általában |-vel jelöljük z|

vagy r.

Legyen és olyan valós számok, amelyek egy komplex szám (szokásos jelölés). Majd

Wikimédia Alapítvány.

2010. Nézze meg, mi az „egy komplex szám modulusa” más szótárakban:

komplex szám modulusa - kompleksinio skaičiaus modulis statusas T terület fizika atitikmenys: engl. komplex szám modulusa vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. komplex szám modulusa, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulus) Egy szám 0-tól való távolságának nagysága. Az x valós szám modulusa vagy abszolút értéke (jelezve |x|) az x és 0 különbsége, előjeltől függetlenül. Ezért ha x0, akkor |x|=x és ha x 0, akkor |x|=–x... Közgazdasági szótár

A komplex számokról lásd: Abszolút érték. Az a bázisú logaritmusrendszerből a b bázisú rendszerbe való átmenet modulusa az 1/logab...

Nagy enciklopédikus szótár

- (matematikában) a homogén mennyiségek összehasonlítására és az egyik másikkal történő kifejezésére szolgáló mérték; m számként van kifejezve. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) egy szám, amely szoroz...... Orosz nyelv idegen szavak szótára

komplex szám MODULJA, lásd: Abszolút érték (lásd ABSZOLÚT ÉRTÉK). Az a bázisú logaritmusrendszerből a b bázisú rendszerbe való átmenet modulusa az 1/logab... Enciklopédiai szótár

I Modul (a latin modulus intézkedés szóból) az építészetben, egy hagyományos egység, amelyet egy épület vagy komplexum részeinek méretének összehangolására alkalmaznak. A különböző nemzetek építészetében az építési technológia sajátosságaitól és a M mögötti épületek összetételétől függően.... ... Nagy Szovjet Enciklopédia

ÉN; m [a lat. modulus mértéke] 1. miből. Szakember. Olyan mennyiség, amelyre l. szilárd anyag tulajdonsága. M. tömörítés. M. rugalmasság. 2. Matek. Valós szám, egy negatív vagy pozitív szám abszolút értéke. M. komplex szám. M... Enciklopédiai szótár

Bármely matematikai numerikus jellemzői objektum. Általában M értéke nem negatív valós szám, olyan elem, amely bizonyos jellemzőkkel rendelkezik. tulajdonságok, amelyeket a vizsgált objektumok halmazának tulajdonságai határoznak meg. Az M fogalma...... Matematikai Enciklopédia

A komplex szám z =x + i * y alakú szám, ahol x és y valós számok, és i = képzeletbeli egység (azaz olyan szám, amelynek négyzete -1). A fogalom meghatározásához érvátfogó számok, akkor a polárkoordináta-rendszerben egy komplex számot kell figyelembe venni a komplex síkon.

Utasítás

Az a sík, amelyen a komplex komplexek ábrázolódnak számok, komplexnek nevezzük. Ezen a síkon a vízszintes tengelyt a valós foglalja el számok(x), és a függőleges tengely képzeletbeli számok(y). Egy ilyen síkon a számot két z = (x, y) koordináta adja. A polárkoordináta-rendszerben egy pont koordinátái a modulus és az argumentum. A modulus a |z| távolság ponttól az eredetig. Az argumentum a pontot és az origót összekötő vektor, valamint a koordinátarendszer vízszintes tengelye közötti szög (lásd az ábrát).

Az ábrán látható, hogy a komplex modul számok z = x + i * y a Pitagorasz-tétel segítségével található: |z| = ? (x^2 + y^2). Következő érv számok z egy háromszög hegyesszögeként található - a sin, cos, tg:sin = y / trigonometrikus függvények értékein keresztül? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Például legyen adott a z = 5 * (1 + ?3 * i) szám. Először is válassza ki a valós és a képzeletbeli részt: z = 5 +5 * ?3 * i. Kiderül, hogy a valós rész x = 5, a képzetes rész pedig y = 5 * ?3. Számítsa ki a modulust számok: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Ezután keresse meg a szög szinuszát: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Ez adja az argumentumot számok z egyenlő 30°-kal.

2. példa. Legyen adott a z = 5 * i szám. Az ábra azt mutatja, hogy a szög = 90°. Ellenőrizze ezt az értéket a fent megadott képlet segítségével. Írd le ennek a koordinátáit számok a komplex síkon: z = (0, 5). Modul számok|z| = 5. A tg szög érintője = 5 / 5 = 1. Ebből következik, hogy = 90°.

3. példa. Meg kell találni két komplex szám összegének argumentumát: z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Az összeadás szabályai szerint összeadja ezt a két komplexumot számok: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Ezután a fenti diagram segítségével számítsa ki az argumentumot: tg = 9 / 3 = 3.