2. Két változó függvényének határértéke és folytonossága

Két változó függvényének határértéke és folytonossága hasonló az egy változó esetéhez.

Legyen tetszőleges pont a síkon. - egy pont környéke az összes olyan pont halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget. Más szóval: - egy pont szomszédsága egy olyan kör összes belső pontja, amelynek középpontja egy pontban és sugara van.

Definíció 2. Egy számot egy függvény határértékének nevezünk egy pontban (vagy pontban), ha bármely tetszőlegesen kis pozitív számra létezik (attól függően), hogy az egyenlőtlenséget kielégítő mindenre fennáll az egyenlőtlenség.

A határérték a következőképpen van feltüntetve:

Példa 1. Keresse meg a határt.

Megoldás. Vezessük be a hol jelölést. Amikor ez megvan. Majd

Definíció 3. Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak egy pontban, ha: 1) a pontban és annak szomszédságában van definiálva; 2) véges határa van; 3) ez a határ egyenlő a függvény értékével a pontban, azaz. .

Egy függvényt folytonosnak nevezünk valamely tartományban, ha a tartomány minden pontjában folytonos.

Azokat a pontokat, ahol a folytonossági feltétel nem teljesül, e függvény töréspontjainak nevezzük. Egyes függvényekben a töréspontok teljes törésvonalat alkotnak. Például egy függvénynek két törésvonala van: axis() és axis().

2. példa Keresse meg a függvény töréspontjait.

Megoldás. Ez a függvény nincs meghatározva azokon a pontokon, ahol a nevező nullára megy, vagyis azokon a pontokon, ahol vagy. Ez egy kör, amelynek középpontja az origóban van és sugara. Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény szakadási vonala egy kör lesz.

Diszkrét matematika

A 3.2-ben tárgyalt összes logikai művelet több változó függvényére is vonatkozik. Most megvizsgáljuk az F(x1, x2,…, xn) függvényeket, ahol xi olyan logikai változók, amelyek nulla vagy egy értéket vesznek fel...

Egyenlőtlenségek bizonyítása monoton sorozatokkal

Ha = a1b1. akkor =a1b1+a2b2 Tétel 1. Legyenek (a1a2)(b1b2) monoton sorozatok. Akkor Bizonyítás Valóban, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Mivel az (a1a2)(b1b2) sorozatok monotonok, az a1-a2 és b1-b2 számok előjele megegyezik. ..

Matematikai programozás

A Lagrange szorzómódszer használható az egyenlőségek formájában jelentkező megszorításokkal kapcsolatos problémák optimalitási kritériumainak megalkotására. Kuhn és Tucker általánosította ezt a megközelítést egy általános nemlineáris kényszerprogramozási probléma esetére...

Minimax és többszempontú optimalizálás

Legyen egy f(x) függvény x-re? x, x = (x1, ... , xn). Tekintsük az összes első és második deriváltját a következő pontban: = 0, ; || || , egy pozitív (negatív) határozott mátrix. Ekkor az ilyen pontokon minimum (maximum) figyelhető meg, ill.

Több változó minimális függvénye

Korlátok. Infinitezimálisok összehasonlítása

Különböző függvények grafikonjainak vizsgálatakor látható, hogy a függvény argumentumának korlátlan hajlamával valamilyen értékre, akár véges, akár végtelen, maga a függvény is számos értéket felvehet...

Származékok alkalmazása problémamegoldásban

Definíció 3. Legyen az y=f(x) függvény definiálva az a pont valamelyik szomszédságában vagy ennek a szomszédságnak néhány pontjában. Az y=f(x) függvény a b(yb) határértékre hajlik, ahogy x minden pozitív szám esetén a ha-ra hajlamos, bármilyen kicsi is legyen is...

Legyen az f(x) függvény definiálva az (a, +?) ponton. Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük x > + ? (jelölése A = lim x > + ? f(x)), ha? ? > 0? N: ? x > N ? |f(x) ? a|< ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Feladatok megoldása a felsőbb matematikában

Legyen az f(x) függvény definiálva az x0 pont valamely kiszúrt környezetében. Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük x > x0 esetén (vagy az x0 pontban), ha van ilyen? Van > 0? > 0 úgy, hogy minden x-re, amelyre 0< |x ? x0| < ?...

Összehasonlító elemzés optimalizálási módszerek

Számos f =f (x1, ..., xn) változó függvényét fogjuk az En n-dimenziós euklideszi tér x pontjaiban meghatározott függvényeknek tekinteni: f =f (x). 1. Az x*En pontot az f (x) függvény globális minimumpontjának nevezzük...

Sok változó függvényei

Sok változó függvényei

A természetben, a gazdaságban és a társadalmi életben előforduló számos jelenség nem írható le egyetlen változó függvényével. Például egy vállalkozás jövedelmezősége függ a nyereségtől, az álló- és forgótőkétől...

Több változó függvényei

Két változó függvényének határértéke és folytonossága hasonló az egy változó esetéhez. Legyen tetszőleges pont a síkon. - egy pont környéke az összes olyan pont halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget...

Több változó függvényei

Definíció 7. Egy pontot akkor nevezünk egy függvény minimum (maximum) pontjának, ha van a pontnak olyan környéke, hogy ezen a környéken minden pontra egyenlőtlenség, ()...

1. definíció

Ha egy tartományból származó két független változó minden egyes $(x,y)$ értékpárjához egy bizonyos $z$ érték társul, akkor a $z$ két $(x,y) változó függvénye. $ ebben a tartományban.

Jelölés: $z=f(x,y)$.

Legyen adott egy $z=f(x,y)$ függvény két független $(x,y)$ változóból.

1. megjegyzés

Mivel a $(x,y)$ változók függetlenek, az egyik változhat, míg a másik állandó marad.

Adjunk a $x$ változónak $\Delta x$ növekményt, miközben a $y$ változó értéke változatlan marad.

Ekkor a $z=f(x,y)$ függvény növekményt kap, amit a $z=f(x,y)$ függvény részleges növekményének nevezünk a $x$ változóhoz képest. Kijelölés:

2. definíció

Az adott függvény $x$ változójának parciális deriváltja a $z=f(x,y)$ egy adott függvény $\Delta _(x) z$ részleges növekménye és a növelje a $\Delta x$ értéket a $\Delta x\ értéknél 0$-ra.

Jelölés: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

2. megjegyzés

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

Adjunk a $y$ változónak $\Delta y$ növekményt, miközben a $x$ változó értéke változatlan marad.

Ekkor a $z=f(x,y)$ függvény növekményt kap, amit a $z=f(x,y)$ függvény részleges növekményének nevezünk a $y$ változóhoz képest. Kijelölés:

3. definíció

A parciális derivált egy adott függvény $y$ változójához képest $z=f(x,y)$ az adott függvény $\Delta _(y) z$ részleges növekményének a függvényhez viszonyított arányának határa. növelje a $\Delta y$ értékét a $\Delta y\ értéknél 0$-ra.

Jelölés: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

3. megjegyzés

A részleges derivált definíciója szerint a következőket kapjuk:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Figyeljük meg, hogy egy adott függvény parciális deriváltjának számítására vonatkozó szabályok egybeesnek az egy változó függvényének deriváltjainak számítási szabályaival. A parciális derivált számításakor azonban emlékezni kell arra, hogy melyik változóhoz keressük a parciális deriváltot.

1. példa

Megoldás:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ ($x$ változóval),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (a $y$ változó alapján).

2. példa

Határozzuk meg az adott függvény parciális deriváltjait:

pontban (1;2).

Megoldás:

A parciális származékok definíciója alapján a következőket kapjuk:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ ($x$ változóval),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ ($y$ változóval).

\[\balra. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \left. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

4. definíció

Ha valamely tartomány három független változójának minden hármasához $(x,y,z)$ egy bizonyos $w$ érték társul, akkor $w$-t három változó függvényének mondjuk $(x, y,z)$ ezen a területen.

Jelölés: $w=f(x,y,z)$.

5. definíció

Ha egy bizonyos régióból származó független változók értékeinek minden $(x,y,z,...,t)$ halmazához egy bizonyos $w$ érték társul, akkor a $w$ a következő függvénynek tekinthető. a $(x,y, z,...,t)$ változók ezen a területen.

Jelölés: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Három vagy több változó függvénye esetén az egyes változók parciális deriváltjait ugyanúgy kell meghatározni, mint két változó függvényében:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Delta t) $.

3. példa

Határozzuk meg az adott függvény parciális deriváltjait:

Megoldás:

A parciális származékok definíciója alapján a következőket kapjuk:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ ($x$ változóval),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (a $y$ változó alapján),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ ($z$ változó alapján).

4. példa

Határozzuk meg az adott függvény parciális deriváltjait:

pontban (1;2;1).

Megoldás:

A parciális származékok definíciója alapján a következőket kapjuk:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (a $x$ változóval),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ ($y$ változó alapján),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (a $z$ változó alapján) .

A parciális deriváltak értékei egy adott ponton:

\[\balra. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \left. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \left. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

5. példa

Határozzuk meg az adott függvény parciális deriváltjait:

Megoldás:

A parciális származékok definíciója alapján a következőket kapjuk:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x) ) $ ($x$ változóval),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ ($y változóval $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ ($z változóval $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ ($t változóval $).

A természetben, a gazdaságban és a társadalmi életben előforduló számos jelenség nem írható le egyetlen változó függvényével. Például egy vállalkozás jövedelmezősége a nyereségtől, az álló- és forgótőkétől függ. Ennek a fajta függőségnek a tanulmányozására bevezetjük a több változóból álló függvény fogalmát.

Ez az előadás két változó függvényét tárgyalja, hiszen a két változó függvényére megfogalmazott összes alapfogalom és tétel könnyen általánosítható nagyobb számú változó esetére.

Hadd B– valós számok rendezett párjainak halmaza.

1. definíció Ha minden egyes rendezett számpárhoz valamilyen törvény szerint egyedi egyedit rendelünk valós szám, akkor azt mondják, hogy adott két változó függvénye vagy . A számokat hívják független változók vagy függvény argumentumait, és a szám az függő változó.

Például a henger térfogatát kifejező képlet két változó függvénye: – alapsugár és – magasság.

Egy számpárt néha pontnak, két változó függvényét pedig pontfüggvénynek nevezik.

Funkció értéke pontban jelölje vagy és hívja két változó függvényének privát értéke.

Az összes olyan pont halmaza, ahol egy függvény definiálva van , hívott definíciós tartomány ezt a funkciót. Két változóból álló függvény esetén a definíciós tartomány a teljes koordinátasík vagy annak egy vagy több vonallal határolt része.

Például egy függvény definíciós tartománya a teljes sík és a függvények – egységkör középpontjával az origóban ( vagy .

Két változó függvényének határértéke és folytonossága hasonló az egy változó esetéhez.

Legyen tetszőleges pont a síkon. – pont szomszédságában az összes olyan pont halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az egyenlőtlenséget. Más szóval, egy pont szomszédsága egy olyan kör összes belső pontja, amelynek középpontja a pontban és sugarában van.

2. definíció A számot hívják a funkció határa at (vagy a pontban), ha bármely tetszőlegesen kis pozitív számra létezik (attól függően), hogy minden , az egyenlőtlenség kielégítése, az egyenlőtlenség teljesül .

A határérték a következőképpen van feltüntetve: vagy .

1. példa Találd meg a határt .

Megoldás. Bemutatjuk a jelölést , hol. at nálunk az van. Majd

.

3. definíció A függvényt hívják folyamatos egy ponton, ha: 1) egy pontban és környezetében meghatározott; 2) véges határa van; 3) ez a határ egyenlő a függvény értékével a pontban, azaz. .

Funkció hívott bizonyos területen folyamatos, ha ennek a régiónak minden pontján folytonos.

Azokat a pontokat, ahol a folytonossági feltétel nem teljesül, hívjuk töréspontok ezt a funkciót. Egyes függvényekben a töréspontok teljes törésvonalat alkotnak. Például egy függvénynek két törésvonala van: axis() és axis().

2. példa Funkciótöréspontok keresése .

Megoldás. Ez a függvény nincs meghatározva azokon a pontokon, ahol a nevező eltűnik, vagyis azokon a pontokon, ahol vagy . Ez egy kör, amelynek középpontja az origóban és sugarában van. Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény szakadási vonala egy kör lesz.

2 Elsőrendű parciális származékai. Teljes differenciálmű.
Magasabb rendű parciális származékok

Legyen adott két változó függvénye . Adjunk növekményt az argumentumnak, és hagyjuk az argumentumot változatlanul. Ekkor a függvény kap egy növekményt, amit meghívunk privát növekmény változó szerintés a következővel jelöljük:

Hasonlóképpen, ha az argumentumot rögzítjük, és az argumentumnak növekményt adunk, azt kapjuk függvény részleges növelése változóval:

A mennyiséget ún a függvény teljes növekménye a pontban .

4. definíció Két változó függvényének parciális deriváltja e változók egyike szerint egy függvény megfelelő részleges növekményének és egy adott változó növekményének arányának korlátját akkor hívják meg, ha az utóbbi nullára hajlik (ha ez a határ létezik).

A részleges származékot a következőképpen jelöljük: vagy , vagy .

Így a 4. definíció szerint a következőket kapjuk:

Parciális derivált függvények ugyanazon szabályok és képletek alapján számítják ki egy változó függvényében, figyelembe véve, hogy egy változóra vonatkozó differenciáláskor, állandónak tekintjük, és amikor egy változóhoz képest differenciálunk állandónak tekinthető.

3. példa Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:

Megoldás:

1 A megtaláláshoz számolunk állandó értéket és differenciálást egy változó függvényében:

Hasonlóképpen, ha egy állandó értéket veszünk figyelembe, azt találjuk:

.

.

5. definíció Teljes differenciálmű ennek a függvénynek a parciális deriváltjainak a megfelelő független változók növekményei szorzatainak összege, azaz.

.

Rögzítetleneknél: , és a teljes differenciál képlete így írható fel

vagy .

4. példa Keresse meg egy függvény teljes differenciálját .

Megoldás. Mert , akkor a teljes differenciálképlet segítségével megtaláljuk

.

A parciális deriváltokat elsőrendű parciális származékoknak nevezzük.

6. definíció Másodrendű parciális származékok függvényeket az elsőrendű parciális deriváltjainak nevezzük.

Négy másodrendű parciális derivált létezik. A következőképpen vannak megjelölve:

Vagy ; vagy ;

Vagy ; vagy .

Hasonlóan definiálják a 3., 4. és magasabb rendű parciális származékokat is. Például a funkcióhoz nálunk van:

; stb.

A másodlagos vagy magasabb rendű parciális deriváltokat különböző változókra vonatkoztatva nevezzük vegyes parciális származékok. A funkcióért ezek származékok. Megjegyezzük, hogy abban az esetben, ha a vegyes deriváltak folytonosak, akkor az egyenlőség fennáll.

5. példa Keresse meg a függvény másodrendű parciális deriváltjait!

Megoldás. Ennek a függvénynek az elsőrendű parciális deriváltjai a 3. példában találhatók:

Változók szerinti megkülönböztetés XÉs y, kapunk:

3 Több változó függvényének szélsőértéke.
Szükséges és elegendő feltételeket szélsőség megléte

7. definíció A lényeg az ún minimum (maximum) pont függvények, ha van egy pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból minden pontra az egyenlőtlenség , ().

Egy függvény minimális és maximális pontja hívják szélsőséges pontok, és a függvényértékek ezeken a pontokon: a funkció szélsősége(minimum és maximum).

Ne feledje, hogy a minimum és maximum függvények helyi karakter, mivel a függvény értékét egy pontban összehasonlítjuk a -hoz kellően közeli pontokban lévő értékeivel.

1. tétel(az extrémumhoz szükséges feltételek). Ha a differenciálható függvény szélsőpontja, akkor a parciális deriváltjai ebben a pontban egyenlők nullával: .

Azokat a pontokat, ahol az elsőrendű parciális deriváltak egyenlők nullával, nevezzük kritikai vagy állandó. A kritikus pontokon a függvény lehet, hogy nincs szélsősége.

2. tétel(elegendő feltétel az extrémumhoz). És ; b) folytonos másodrendű parciális deriváltjai vannak . Aztán ha , akkor a pontban lévő függvénynek van egy extrémuma: maximum, ha A<0; минимум, если А>0; Ha , akkor a függvénynek nincs szélső értéke. Amennyiben az extrémum jelenlétének kérdése nyitva marad.

Két változó függvényének tanulmányozásakor egy szélsőséghez ajánlott a következő sémát használni:

1 Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat: És .

2 Oldja meg az egyenletrendszert, és keresse meg a függvény kritikus pontjait!

3 Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat: , , .

4 Számítsa ki mindegyikben a másodrendű parciális származékok értékét

érje el a kritikus pontot, és megfelelő feltételek mellett vonjon le következtetést a szélsőség jelenlétéről.

5 Keresse meg a függvény szélsőértékét.

6. példa Keresse meg a függvény szélsőértékét .

Megoldás:

1 Parciális deriváltak keresése És :

; .

2 A kritikus pontok meghatározásához az egyenletrendszert oldjuk meg:

vagy

A rendszer első egyenletéből azt találjuk: . A talált érték behelyettesítése y a második egyenletbe a következőket kapjuk:

, , ,

.

Az értékek megtalálása y, az értékeknek megfelelő . Értékek helyettesítése az egyenletbe a következőket kapjuk: ; Fő táblázat határozatlan integrálok az egyenlőség teljesül.

Megoldás. Megkülönböztetjük az integráció eredményét:

.

Megkaptuk az integrandust, ezért az integráció helyes.

Példaként bizonyítsuk be (7).

Hagyd ( x k, y k) → (X 0 , at 0) ((x k, y k) ≠ (X 0 , at 0)); Majd

Így a (9) bal oldali határérték létezik, és egyenlő a (9) jobb oldalával, és mivel a sorozat ( x k, y k) hajlamos arra, hogy ( X 0 , at 0) bármely törvény szerint, akkor ez a határ megegyezik a függvény határértékével f (x, y) ∙φ (x, y) pontban ( X 0 , at 0).

Tétel. ha funkció f (x, y) pontban nullától eltérő határértéke van ( X 0 , at 0), azaz

akkor létezik δ > 0 úgy, hogy mindenre X, at

kielégíti az egyenlőtlenséget

Ezért az ilyenekre (x, y)

azok. egyenlőtlenség (11) érvényesül. A (12) egyenlőtlenségből a jelzettre (x, y) kellene

A< 0 (сохранение знака).

Definíció szerint funkció f(x) = f (x 1 , …, x n) = A ponton van határa

(írják is f(x) → A (x → x 0)), ha a pont valamely szomszédságában van definiálva x 0, kivéve talán magát, és ha van határ

bármi legyen is a törekvés x 0 pontsorozat Xk a megadott környékről ( k= 1, 2, ...), eltér a x 0 .

Egy másik ekvivalens definíció: függvény f pontban van x 0 határérték egyenlő A, ha a pont valamely szomszédságában van definiálva x 0 , kivéve önmagát, és bármely ε > 0 esetén van egy δ > 0,

mindenkinek X, kielégítve az egyenlőtlenségeket

0 < |x – x 0 | < δ.

Ez a definíció viszont ekvivalens a következővel: bármely ε > 0 esetén van egy szomszédság U (x 0 ) pontokat x 0 olyan, hogy mindenkinek X

Nyilván, ha a szám A van egy határ f(x) V x 0, akkor A a funkciónak van határa f(x 0 + h) -tól h a nulla ponton:

és fordítva.

Nézzünk néhány funkciót f, a pont szomszédságában lévő összes pontban meghatározva x 0, kivéve talán egy pontot x 0 ; legyen ω = (ω 1 , ..., ω n) egy tetszőleges egy hosszúságú vektor (|ω| = 1) és t> 0 – skalár. Nézetpontok x 0 + tω (0 < t) formából eredő x 0 sugár az ω vektor irányába. Minden ω esetén figyelembe vehetjük a függvényt

skalárváltozóból t, ahol δ ω egy ω-től függő szám. Ennek a függvénynek a korlátja (egy változóból t)

ha létezik, természetes, hogy határnak nevezzük f pontban x 0 az ω vektor irányában.

Majd írunk

Beszélhetünk a határról f, Mikor X → ∞:

Például véges szám esetén A a (14) egyenlőséget úgy kell érteni, hogy bármely ε > 0 esetén megadhatjuk a következőket N> 0, ami pontokra vonatkozik X, amelyre | x| > N, funkció f meghatározott és az egyenlőtlenség érvényesül

Tehát a függvény határa f(x) = f(x 1 , ..., x p)-tól n változókat ugyanúgy határozzuk meg analógiával, mint két változó függvényét.

Térjünk tehát tovább egy több változóból álló függvény határértékének meghatározására.

Szám A a függvény határértékének nevezzük f(M) at M → M 0, ha bármely ε > 0 számra mindig van egy δ > 0, így bármely pontra M, különbözik a M 0 és megfelel a feltételnek | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A | < ε.

Limit jelöli

Határtételek. Ha a funkciók f 1 (M) És f 2 (M) at M → M 0 mindegyik véges határértékre irányul, akkor:

1. példa Keresse meg egy függvény határát:

Megoldás. Alakítsuk át a határértéket a következőképpen:

Hadd y = kx, Akkor

2. példa Keresse meg egy függvény határát:

Megoldás. Használjuk az elsőt figyelemre méltó határ

3. példa Keresse meg egy függvény határát:

Megoldás. Használjuk a második figyelemre méltó határt

Több változó függvényének folytonossága

Definíció szerint funkció f (x, y) folyamatos a pontban ( X 0 , at 0), ha a szomszédságában van meghatározva, beleértve magát a pontot is ( X 0 , at 0) és ha a határ f (x, y) ezen a ponton egyenlő a benne lévő értékkel:

A folytonossági feltétel i.e. funkció f folyamatos a pontban ( X 0 , at 0), ha a függvény folytonos f(X 0 + Δ X, at 0 + Δ y) a Δ változókon X, Δ atΔ-nél X = Δ y = 0.

Megadhat egy Δ növekményt És funkciókat És = f (x, y) pontban (x, y) , ami a Δ lépéseknek felel meg X, Δ atérvek

Δ És = f(X + Δ X, at + Δ y) – f (x, y)

és ezen a nyelven határozzák meg a folytonosságot f V (x, y) : funkció f folyamatos egy ponton (x, y) , Ha

Tétel. A folytonos összege, különbsége, szorzata és hányadosa egy pontban ( X 0 , at 0) függvények fés φ ezen a ponton egy folytonos függvény, kivéve természetesen φ () hányados esetén X 0 , at 0) ≠ 0.

Állandó Vel függvénynek tekinthető f (x, y) = Vel változókból x, y. Ezekben a változókban folytonos, mert

A következő legnehezebb funkciók f (x, y) = XÉs f (x, y) = at. Ezek funkcióinak is tekinthetők (x, y) , és ugyanakkor folyamatosak. Például a függvény f (x, y) = X minden pontnak megfelel (x, y) egyenlő szám X. Ennek a függvénynek a folytonossága egy tetszőleges pontban (x, y) így lehet bizonyítani.

A funkció folytonossága

Az (x 0, y 0) pontban és annak valamely szomszédságában definiált két f (x, y) változóból álló függvényt az (x 0, y 0) pontban folytonosnak nevezzük, ha ennek a függvénynek a határértéke az (x 0 , y 0 ) pontban egyenlő ennek a függvénynek az értékével, az f(x 0, y 0), azaz. Ha

Egy adott tartomány minden pontjában folytonos függvényt az adott tartományban folytonosnak nevezzük. Két változó folytonos függvényei hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, mint egy változó folytonos függvényei.

Ha egy ponton (x 0, y 0) a folytonossági feltétel nem teljesül, akkor az (x 0, y 0) pontban lévő f (x, y) függvényt nem folytonosnak mondjuk.

Két változó függvényének megkülönböztetése

Elsőrendű parciális származékok

A funkcióváltás még fontosabb jellemzője a korlátok:

Aránykorlát

a z = f (x, y) függvény elsőrendű parciális deriváltjának nevezzük az x argumentumhoz képest (rövidítve parciális deriváltként), és a szimbólumokkal vagy ill.

Ugyanígy a határ

a z =f (x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az y argumentumhoz képest, és a vagy szimbólumokkal jelöljük.

A parciális deriváltok megtalálását parciális differenciálásnak nevezzük.

A parciális derivált definíciójából az következik, hogy ha az egyik argumentumból kiderül, a másik parciális argumentum állandó értéknek minősül. A megkülönböztetés végrehajtása után mindkét parciális argumentum ismét változónak számít. Más szavakkal, a parciális deriváltok két x és y változó függvényei.

Részleges különbségek

Nagyságrend

a növekmény fő lineáris részének nevezzük? x f (lineáris a privát argumentum növekedéséhez képest?x). Ezt a mennyiséget parciális differenciálnak nevezzük, és d x f szimbólummal jelöljük.

Hasonlóképpen

Két változó függvényének teljes differenciája

Definíció szerint egy két változóból álló függvény teljes differenciája, amelyet d f szimbólum jelöl, a függvény teljes növekményének fő lineáris része:

A teljes differencia egyenlőnek bizonyult a részleges különbségek összegével. Most a teljes differenciál képlete a következőképpen írható át:

Hangsúlyozzuk, hogy a teljes differenciál képletét azzal a feltételezéssel kapjuk meg, hogy az elsőrendű parciális deriváltak

folytonosak az (x, y) pont valamelyik szomszédságában.

Azt a függvényt, amelynek egy pontban teljes differenciája van, abban a pontban differenciálhatónak mondjuk.

Ahhoz, hogy egy két változóból álló függvény egy ponton differenciálható legyen, nem elég, ha abban a pontban minden parciális deriváltja van. Szükséges, hogy ezek a parciális deriváltak folytonosak legyenek a kérdéses pont valamely szomszédságában.

A magasabb rendű származékok és differenciálok

Tekintsük két z =f (x, y) változó függvényét. Már fentebb megjegyeztük, hogy az első részleges származékai

önmagukban két változó függvényei, és megkülönböztethetők x és y függvényében. Magasabb (másodrendű) származékokat kapunk:

Már négy másodrendű részleges származékos volt. Bizonyítás nélkül a következő állítást teszik: Ha a másodrendű vegyes parciális deriváltak folytonosak, akkor egyenlők:

Nézzük most az elsőrendű különbséget

Négy argumentum függvénye: x, y, dx, dy, amelyek különböző értékeket vehetnek fel.

A másodrendű differenciált az elsőrendű differenciáltól való különbségként számítjuk ki: feltételezve, hogy a dx és dy parciális argumentumok differenciálja állandó: