Ortogonális rendszer. Lásd azokat az oldalakat, ahol az ortogonális rendszer kifejezés szerepel Ortogonális a vektorrendszer?

Egyenlő nullával:

Egy ortogonális rendszer, ha kész, használható tér alapjául. Ebben az esetben bármely elem dekompozíciója kiszámítható a következő képletekkel: , ahol .

Az az eset, amikor az összes elem normáját ortonormális rendszernek nevezzük.

Ortogonalizáció

Minden teljes lineárisan független rendszer egy véges dimenziós térben alap. Egyszerű alapról tehát át lehet térni az ortonormális alapra.

Ortogonális dekompozíció

Egy vektortér vektorainak ortonormális bázis szerinti felbontásakor a skalárszorzat számítása leegyszerűsödik: , ahol és .

Lásd még

Wikimédia Alapítvány.

2010.

Nézze meg, mi az „Ortogonális rendszer” más szótárakban: 1) Ó...

Matematikai Enciklopédia - (görög ortogoniosz téglalap) az L2(a,b) Hilbert-térhez tartozó véges vagy megszámlálható függvényrendszer (négyzetesen integrálható függvények), amely kielégíti az ún. F tion g(x) feltételeket. súlyú O. s. f.,* jelentése ......

Fizikai enciklopédia Az ORTOGONÁLIS TRANSFORMÁCIÓ lineáris euklideszi transzformáció szakaszon megadott függvényrendszer??n(x)?, n=1, 2,... vektor tér , állandóan tartva a vektorok hosszát vagy (ekvivalens) skaláris szorzatát...

Nagy enciklopédikus szótár Függvényrendszer (φn(x)), n = 1, 2, ..., az [a, b] intervallumon meghatározott, és teljesíti a következő ortogonalitási feltételt: k≠l esetén, ahol ρ(x) valamilyen függvény súlynak nevezik. Például a trigonometrikus rendszer 1, sin x, cos x, sin 2x,... ...

Enciklopédiai szótár Egy függvényrendszer ((фn(х)), n=1, 2, ..., az [a, b] intervallumon definiálva, és teljesíti a nyomkövetési, ortogonalitási feltételt k-re nem egyenlő l-lel, ahol p(x) ) egy bizonyos függvény, amelyet súlynak neveznek. Például trigonometrikus rendszer 1, cosх, sin 2x,... O.s.f.

Természettudomány. Enciklopédiai szótár Függvényrendszer ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonális ρ (x) súllyal az [a, b] szakaszon, azaz olyan, hogy Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cos nx , sin nx n = 1, 2,..., O. f 1-es súllyal a [π, π] szakaszon.

Az ortogonális koordináták azok, amelyekben a metrikus tenzor átlós alakú. ahol d A q = (q1, q², …, qd) ortogonális koordinátarendszerekben a koordinátafelületek merőlegesek egymásra. Különösen a derékszögű koordinátarendszerben... ... Wikipédia

ortogonális többcsatornás rendszer- - [L.G. Sumenko. Angol-orosz szótár az információtechnológiáról. M.: Állami Vállalat TsNIIS, 2003.] Témák információtechnológia általában EN ortogonális multiplex ...

(fotogrammetriai) kép koordinátarendszere- Jobb oldali merőleges térbeli koordinátarendszer, fotogrammetriai képen a kiindulási jelek képeivel rögzítve. [GOST R 51833 2001] Témák: fotogrammetria... Műszaki fordítói útmutató

rendszer- 4.48 rendszer: Egy vagy több meghatározott cél elérése érdekében szervezett kölcsönhatásban lévő elemek kombinációja. 1. megjegyzés A rendszer egy terméknek vagy az általa nyújtott szolgáltatásnak tekinthető. 2. megjegyzés A gyakorlatban...... A normatív és műszaki dokumentáció kifejezéseinek szótár-referenciája

miről beszélünk?

A Majvik-szűrőről szóló bejegyzés megjelenése a Habrén a maga módján szimbolikus esemény volt. Nyilvánvalóan a drónok iránti általános vonzalom felélénkítette az érdeklődést a tehetetlenségi mérésekből származó testtájolás becslésének problémája iránt. Egy időben hagyományos módszerek A Kálmán-szűrőn alapuló szűrők már nem elégítik ki a közvéleményt – vagy a drónok számára elfogadhatatlan magas számítási követelmények, vagy a bonyolult és nem intuitív paraméterbeállítások miatt.

A bejegyzést a szűrő nagyon kompakt és hatékony megvalósítása kísérte C nyelven. A megjegyzésekből ítélve azonban ennek a kódnak, valamint az egész cikknek a fizikai jelentése egyesek számára homályos maradt. Nos, lássuk be: a Majwick szűrő a legbonyolultabb szűrőcsoport, amely általában nagyon egyszerű és elegáns elveken alapul. Ezekkel az elvekkel foglalkozom bejegyzésemben. Itt nem lesz kód. Hozzászólásom nem egy tájékozódási becslési algoritmus konkrét megvalósításáról szól, hanem inkább egy felhívás, hogy találja ki saját variációit egy adott témára, amiből sok lehet.

Tájolási nézet

Emlékezzünk az alapokra. Egy test térbeli tájolásának értékeléséhez először ki kell választani néhány paramétert, amelyek együttesen egyedileg határozzák meg ezt a tájolást, pl. lényegében a kapcsolódó koordináta-rendszer tájolása egy feltételesen rögzített rendszerhez - például a NED (North, East, Down) földrajzi rendszerhez - képest. Ezután kinematikai egyenleteket kell létrehozni, pl. kifejezni ezen paraméterek változásának sebességét a giroszkópok szögsebessége révén. Végül a gyorsulásmérőkből, magnetométerekből stb. származó vektorméréseket figyelembe kell venni a számításban. Íme a tájékozódás legáltalánosabb módjai:

Euler-szögek- gurulás (gurulás, ), hangmagasság (pitch, ), irány (fejléc, ). Ez a tájolási paraméterek leglátványosabb és legtömörebb halmaza: a paraméterek száma pontosan megegyezik a forgási szabadságfokok számával. Ezekre a szögekre írhatunk Euler-kinematikai egyenletek. Nagyon népszerűek itt elméleti mechanika, de a navigációs feladatokban kevés hasznuk van. Először is, a szögek ismerete nem teszi lehetővé, hogy bármely vektor komponenseit közvetlenül konvertálja egy kapcsolódó vektorból földrajzi koordinátarendszerré, vagy fordítva. Másodszor, ±90 fokos emelkedésnél a kinematikai egyenletek elfajulnak, a dőlés és az irány bizonytalanná válik.

Forgatási mátrix- egy 3x3-as mátrix, amellyel a kapcsolódó koordináta-rendszer bármely vektorát meg kell szorozni, hogy ugyanazt a vektort kapjuk a földrajzi rendszerben: . A mátrix mindig ortogonális, pl. . A kinematikai egyenlet alakja .
Íme a giroszkópokkal mért szögsebesség-összetevők mátrixa kapcsolt koordináta-rendszerben:

A forgatási mátrix egy kicsit kevésbé vizuális, mint az Euler-szögek, de velük ellentétben lehetővé teszi a vektorok közvetlen átalakítását, és nem válik értelmetlenné egyetlen szöghelyzetben sem. Számítási szempontból legfőbb hátránya a redundancia: a három szabadsági fok érdekében egyszerre kilenc paramétert vezetnek be, és mindegyiket a kinematikai egyenletnek megfelelően frissíteni kell. A feladat kissé leegyszerűsíthető a mátrix ortogonalitásának kihasználásával.

Forgatási kvaternió- radikális, de nagyon nem intuitív gyógymód a redundancia és a degeneráció ellen. Ez egy négykomponensű objektum – nem szám, nem vektor, nem mátrix. A kvaterniót két szemszögből is meg lehet nézni. Először is, mint egy skalár és egy vektor formális összege, hol vannak a tengelyek egységvektorai (ami persze abszurdnak hangzik). Másodszor, általánosításként komplex számok, ahol most nem egyet, hanem hármat használnak különböző képzeletbeli egységek (ami nem kevésbé abszurdnak hangzik). Hogyan kapcsolódik a kvaternió a forgáshoz? Az Euler-tételen keresztül: egy test mindig átvihető egy adott irányból a másikba egy végső elforgatással egy adott tengely körül meghatározott szögben egy irányvektorral. Ezek a szögek és tengelyek kvaternióba vonhatók: . A mátrixhoz hasonlóan egy kvaternió is használható bármely vektor közvetlen transzformációjára egyik koordinátarendszerből a másikba: . Mint látható, az orientáció kvaterniós ábrázolása is redundanciát szenved, de sokkal kevésbé, mint a mátrixábrázolás: csak egy extra paraméter van. A kvaterniók részletes áttekintése már megjelent a Habrén. Szó esett a geometriáról és a 3D grafikáról. Érdekel a kinematika is, mivel a kvaternió változási sebességét össze kell kötni a mért szögsebességgel. A megfelelő kinematikai egyenlet alakja , ahol a vektort is nulla skalárrésszel rendelkező kvaterniónak tekintjük.

Szűrő áramkörök

A tájékozódás kiszámításának legnaivabb megközelítése, ha felvértezzük magunkat egy kinematikai egyenlettel, és tetszőleges paraméterkészletet ennek megfelelően frissítünk. Például, ha egy forgatási mátrixot választottunk, akkor írhatunk egy ciklust valami olyasmivel, hogy C += C * Omega * dt . Az eredmény csalódást keltő lesz. A giroszkópok, különösen a MEMS nagy és instabil nullaponteltolásokkal rendelkeznek - ennek eredményeként még teljes nyugalomban is a kiszámított orientáció korlátlanul felhalmozódó hibával (drifttel) fog rendelkezni. Az összes Mahoney, Majwick és mások által kitalált trükk, köztük jómagam is, ezt az elsodródást hivatott kompenzálni gyorsulásmérőkből, magnetométerekből, GNSS-vevőkből, naplókból stb. Így született meg az orientációs szűrők egész családja, egy egyszerű alapelv alapján.

Alapelv. A tájékozódási eltolódás kompenzálására a giroszkópokkal mért szögsebességhez hozzá kell adni egy további vezérlő szögsebességet, amelyet más érzékelők vektoros mérései alapján konstruálnak meg. A vezérlő szögsebesség-vektornak arra kell törekednie, hogy a mért vektorok irányait kombinálja ismert valódi irányaikkal.

Ez teljesen más megközelítést foglal magában, mint a Kálmán-szűrő korrekciós tagjának felépítése. A fő különbség az, hogy a szabályozási szögsebesség az nem kifejezés, hanem szorzó a becsült értéken (mátrix vagy kvaternió). Ez fontos előnyökhöz vezet:

• A becslő szűrő magára az orientációra építhető, nem pedig a giroszkópok által adott orientáció kis eltéréseire. Ebben az esetben a becsült mennyiségek automatikusan kielégítik a probléma által támasztott összes követelményt: a mátrix ortogonális lesz, a kvaternió normalizálódik.
• A szabályozási szögsebesség fizikai jelentése sokkal világosabb, mint a Kálmán-szűrőben szereplő korrekciós tag. Minden manipuláció vektorokkal és mátrixokkal történik a közönséges háromdimenziós fizikai térben, nem pedig az absztrakt többdimenziós állapottérben. Ez jelentősen leegyszerűsíti a szűrő módosítását és konfigurálását, és bónuszként lehetővé teszi, hogy megszabaduljon a nagy dimenziós mátrixoktól és a nehéz mátrixkönyvtáraktól.

Most nézzük meg, hogyan valósul meg ez az ötlet bizonyos szűrőbeállításokban.

Mahoney szűrő. Mahoney eredeti dolgozatának minden elképesztő matematikája egyszerű egyenletek igazolására készült (32). Írjuk át őket a jelölésünkbe. Ha figyelmen kívül hagyjuk a giroszkóp nulla elmozdulásának becslését, akkor két kulcsfontosságú egyenlet marad - a forgási mátrix tényleges kinematikai egyenlete (a szabályozó szögsebességgel mátrix formájában) és ennek a sebességnek a kialakulásának törvénye a formában. egy vektor. Tételezzük fel az egyszerűség kedvéért, hogy nincs gyorsulás vagy mágneses interferencia, és ennek köszönhetően gyorsulásmérőkből hozzáférhetünk a gravitáció gyorsulásának, magnetométerekkel pedig a Föld mágneses terének erősségének méréseihez. Mindkét vektort szenzorok mérik egy kapcsolódó koordinátarendszerben, és a földrajzi rendszerben ismert a helyzetük: felfelé, mágneses észak felé irányítva. Ekkor a Mahoney-szűrő egyenletek így fognak kinézni:

Nézzük meg közelebbről a második egyenletet. A jobb oldalon az első tag a keresztszorzat. Ebben az első tényező a szabadesés mért gyorsulása, a második a valódi. Mivel a szorzóknak ugyanabban a koordinátarendszerben kell lenniük, a második szorzót egy kapcsolódó rendszerré alakítjuk a -val való szorzással. A keresztszorzatként megszerkesztett szögsebesség merőleges a faktorvektorok síkjára. Lehetővé teszi a társított koordináta-rendszer számított pozíciójának elforgatását, amíg a szorzóvektorok egybe nem esnek - ekkor a vektorszorzat nullázódik és a forgatás leáll. Az együttható az ilyen visszacsatolás súlyosságát határozza meg. A második tag hasonló műveletet hajt végre a mágneses vektorral. Lényegében a Mahoney-szűrő egy jól ismert tézist testesít meg: két különböző koordinátarendszerben két nem-kollineáris vektor ismerete lehetővé teszi ezen rendszerek kölcsönös orientációjának egyértelmű visszaállítását. Ha kettőnél több vektor van, ez hasznos mérési redundanciát biztosít. Ha csak egy vektor van, akkor egy forgási szabadságfok (a vektor körüli mozgás) nem rögzíthető. Például, ha csak a vektor van megadva, akkor a gördülés és a dőlésszög eltolódás korrigálható, de az irányeltolódás nem.

Természetesen nem szükséges forgatási mátrixot használni a Mahoney szűrőben. Vannak nem kanonikus kvaternióváltozatok is.

Virtuális giroplatform. A Mahoney szűrőben vezérlő szögsebességet alkalmaztunk a hozzá tartozó koordinátarendszerre. De alkalmazhatja a földrajzi koordináta-rendszer számított helyzetére is. Ekkor a kinematikai egyenlet alakját veszi fel

Kiderült, hogy ez a megközelítés nagyon gyümölcsöző fizikai analógiák felé nyit utat. Elég csak emlékezni arra, hogy hol kezdődött a giroszkópos technológia - a kardánban lévő giroszkóppal stabilizált platformon alapuló irány- és inerciális navigációs rendszerek.

www.theairlinepilots.com

Az ottani platform feladata a földrajzi koordinátarendszer megvalósítása volt. A hordozó tájolását ehhez a platformhoz képest a kardánvázon lévő szögérzékelőkkel mérték. Ha a giroszkópok sodródtak, akkor a platform is sodródott velük, és a szögérzékelők leolvasásában hibák halmozódtak fel. Ezen hibák kiküszöbölésére bevezettük visszacsatolás a platformra szerelt gyorsulásmérőkből. Például a platform eltérését a horizonttól az északi tengely körül a keleti tengely gyorsulásmérője érzékelte. Ez a jel lehetővé tette a vezérlési szögsebesség beállítását, visszahelyezve a platformot a horizontba.

Feladatunkban ugyanazokat a vizuális fogalmakat használhatjuk. A felírt kinematikai egyenletet ezután a következőképpen kell értelmezni: az orientáció változásának sebessége két forgó mozgások- a hordozó abszolút mozgása (első tag) és a virtuális giroplatform abszolút mozgása (második tag). Az analógia kiterjeszthető a szabályozási szögsebesség kialakulásának törvényére. A vektor a giroplatformon feltehetően elhelyezett gyorsulásmérők leolvasását jelenti. Akkor fizikai megfontolásból ezt írhatjuk:

Formálisan pontosan ugyanerre az eredményre juthatunk a Mahony-szűrő szellemében végrehajtott vektorszorzással, de most nem összefüggő, hanem földrajzi koordinátarendszerben. Ez tényleg szükséges?

Úgy tűnik, az első utalás a platform és az inerciális navigáció hasznos analógiájára egy ősi Boeing szabadalomban jelenik meg. Aztán ezt az ötletet Salicsev aktívan fejlesztette, és mostanában én is. Ennek a megközelítésnek nyilvánvaló előnyei:

• A szabályozási szögsebesség érthető fizikai elvek alapján generálható.
• Természetesen a vízszintes és az iránycsatorna elkülönül, tulajdonságaikban és korrekciós módszereiben nagyon eltérőek. A Mahoney szűrőben keverednek.
• Kényelmes a gyorsulások hatásának kompenzálása GNSS-adatok felhasználásával, amelyek pontosan földrajzi, nem pedig kapcsolódó tengelyeken vannak megadva.
• Könnyen általánosítható az algoritmus a nagy pontosságú inerciális navigáció esetére, ahol a Föld alakját és forgását kell figyelembe venni. Fogalmam sincs, hogyan kell ezt megtenni Mahoney rendszerében.

Majvik szűrő. Majwick a nehéz utat választotta. Ha Mahoney látszólag intuitív módon jutott a döntésére, majd matematikailag megindokolta, akkor Majwick a kezdetektől formalistának mutatta magát. Ő vállalta az optimalizálási problémát. Így érvelt. Állítsuk be a tájolást a forgatási kvaternióval. Ideális esetben valamely mért vektor számított iránya (legyen) egybeesik az igazival. Akkor lesz. A valóságban ez nem mindig elérhető (főleg, ha kettőnél több vektor van), de megpróbálhatja minimalizálni az eltérést a pontos egyenlőségtől. Ennek érdekében bevezetünk egy minimalizálási kritériumot

A minimalizáláshoz gradiens süllyedés szükséges - kis lépésekben történő mozgás a gradienssel ellentétes irányba, pl. szemben a funkció leggyorsabb növekedésével. Majvik egyébként hibát követ el: minden művébe egyáltalán nem lép be, és kitartóan írja a helyett, pedig valójában pontosan számol.

A gradiens süllyedés végül a következő feltételhez vezet: a tájékozódási eltolódás kompenzálásához hozzá kell adni egy új negatív tagot, amely arányos a kinematikai egyenlet kvaterniójának változási sebességével:

Itt Majwick kicsit eltér a mi „alapelvünktől”: nem a szögsebességhez, hanem a kvaternió változási sebességéhez ad egy korrekciós tagot, és ez nem teljesen ugyanaz. Ennek eredményeként kiderülhet, hogy a frissített kvaternió többé nem lesz egység, és ennek megfelelően elveszíti az orientáció ábrázolásának képességét. Ezért a Majwick szűrőnél a kvaternió mesterséges normalizálása létfontosságú művelet, míg más szűrőknél ez kívánatos, nem opcionális.

A gyorsulások hatása

Eddig azt feltételezték, hogy nincsenek valódi gyorsulások, és a gyorsulásmérők csak a gravitáció miatti gyorsulást mérik. Ez lehetővé tette egy függőleges referencia létrehozását, és annak felhasználását a dőlés- és dőlésszög-sodródás kompenzálására. Általában azonban a gyorsulásmérők működési elvüktől függetlenül mérnek látszólagos gyorsulás- vektor különbség a valódi gyorsulás és a szabadesés gyorsulása között. A látszólagos gyorsulás iránya nem esik egybe a függőlegessel, a gyorsulások okozta hibák a gördülési és dőlési becslésekben jelennek meg.

Ez könnyen szemléltethető egy virtuális giroszkóp analógiájával. Korrekciós rendszere úgy van kialakítva, hogy az emelvény abba a szöghelyzetbe álljon meg, amelyben a vélhetően rászerelt gyorsulásmérők jelzései visszaállnak, pl. amikor a mért vektor merőlegessé válik a gyorsulásmérők érzékenységi tengelyeire. Ha nincs gyorsulás, ez a pozíció egybeesik a horizonttal. Vízszintes gyorsulások esetén a giroplatform elhajlik. Azt mondhatjuk, hogy a giroplatform egy erősen csillapított ingához vagy függőzsinórhoz hasonlít.

A Majwick szűrőről szóló bejegyzés kommentjeiben felmerült a kérdés, remélhetjük-e, hogy ez a szűrő kevésbé érzékeny a gyorsulásokra, mint például a Mahoney szűrő. Sajnos az itt leírt szűrők mindegyike ugyanazokat a fizikai elveket használja ki, és ezért ugyanazokkal a problémákkal küzd. A fizikát nem lehet becsapni a matematikával. Mit kell ilyenkor tenni?

A legegyszerűbb és legdurvább módszert még a múlt század közepén találták fel a repülési girométerekre: a szabályozási szögsebesség csökkentésére vagy teljes visszaállítására gyorsulások vagy a pálya szögsebessége esetén (ami kanyarba lépést jelez). Ugyanez a módszer átvihető a jelenlegi platform nélküli rendszerekre. Ebben az esetben a gyorsulásokat , és nem értékei alapján kell megítélni, amelyek maguk is nullák a kanyarban. Nagyságrendileg azonban nem mindig lehet megkülönböztetni a valódi gyorsulásokat a gravitációs gyorsulás előrejelzéseitől, amelyet a giroplatform dőlése okoz, amelyet meg kell szüntetni. Ezért a módszer nem működik megbízhatóan, de nem igényel további érzékelőket.

Egy pontosabb módszer egy GNSS-vevő külső sebességmérésén alapul. Ha ismerjük a sebességet, akkor számszerűen meg lehet különböztetni és megkapni a valódi gyorsulást. Ekkor a különbség pontosan egyenlő lesz, függetlenül a hordozó mozgásától. Függőleges szabványként használható. Például beállíthatja a giroplatform szabályozási szögsebességeit az űrlapon

Az érzékelő nullapont-eltolása

A fogyasztói minőségű giroszkópok és gyorsulásmérők szomorú jellemzője a nulla időbeli és hőmérsékleti eltolódások nagyfokú instabilitása. Kiküszöbölésükhöz a gyári vagy laboratóriumi kalibráció önmagában nem elegendő - működés közben további értékelésre van szükség.

Giroszkópok. Foglalkozzunk a giroszkópok nulla eltolásaival. A hozzá tartozó koordináta-rendszer számított helyzete két ellentétes tényező - a giroszkópok nulla elmozdulásai és a vezérlő szögsebesség - által meghatározott szögsebességgel távolodik el valódi helyzetétől. Ha a korrekciós rendszernek (például a Mahoney szűrőben) sikerült megállítani a sodródást, akkor az egyensúlyi állapot . Más szóval, a szabályozási szögsebesség információt tartalmaz az ismeretlen hatású zavarról. Ezért lehet jelentkezni kompenzációs értékelés: Közvetlenül nem ismerjük a zavar nagyságát, de tudjuk, hogy milyen korrekciós intézkedésre van szükség annak kiegyenlítéséhez. Ez az alapja a giroszkópok nulla eltolásának becslésének. Például Mahoney pontszámát a törvény frissíti

Eredményei azonban furcsaak: a becslések elérik a 0,04 rad/s-ot. A nulla eltolások ilyen instabilitása még a legrosszabb giroszkópokkal sem fordul elő. Gyanítom, hogy a probléma abból adódik, hogy a Mahoney nem használ GNSS-t vagy más külső szenzorokat – és teljes mértékben szenved a gyorsulások hatásaitól. Csak a függőleges tengelyen, ahol a gyorsulások nem ártanak, a becslés többé-kevésbé ésszerűnek tűnik:

Mahony et al., 2008

Gyorsulásmérők. A gyorsulásmérő nullapont-eltolásainak becslése sokkal nehezebb. Ugyanabból a szabályozási szögsebességből kell kinyerni a rájuk vonatkozó információkat. Egyenes vonalú mozgásnál azonban a gyorsulásmérők nulla eltolódásának hatása megkülönböztethetetlen a hordozó dőlésétől vagy az érzékelő egység rászerelésének ferdítésétől. A gyorsulásmérőkhöz nem hoznak létre adalékanyagokat. Az adalék csak forduláskor jelenik meg, ami lehetővé teszi a giroszkópok és gyorsulásmérők hibáinak elkülönítését és önálló értékelését. Egy példa arra, hogyan lehet ezt megtenni, a cikkemben található. Itt vannak a képek onnan:

Konklúzió helyett: mi a helyzet a Kálmán-szűrővel?

Nincs kétségem afelől, hogy az itt leírt szűrők szinte mindig előnyt élveznek a hagyományos Kálmán szűrővel szemben a gyorsaság, a kód kompaktsága és a könnyű konfigurálás tekintetében – erre alkották őket. Ami az értékelés pontosságát illeti, itt nem minden olyan egyértelmű. Találkoztam rosszul megtervezett Kalman szűrőkkel, amelyek pontossága észrevehetően gyengébb volt, mint egy virtuális giroplatformos szűrő. Majvik is bebizonyította szűrőjének előnyeit azzal kapcsolatban néhány Kálmán úgy becsüli. Az orientációbecslés ugyanarra a problémájára azonban legalább egy tucat különböző Kálmán-szűrőáramkört meg lehet építeni, és mindegyiknek végtelen számú konfigurációs lehetősége lesz. Nincs okom azt hinni, hogy a Mahoney vagy Majwick szűrő pontosabb lesz a lehető legjobb Kálmán szűrők. És természetesen a Kálmán-megközelítésnek mindig megvan az univerzalitás előnye: nem szab szigorú korlátozásokat a kiértékelt rendszer konkrét dinamikus tulajdonságaira vonatkozóan.

Meghatározás. Vektoroka Ésb egymásra merőlegesnek nevezzük, ha skaláris szorzatuk egyenlő nullával, azaz.a × b = 0.

Nem nulla vektorokhoz a És b a skaláris szorzat nullával való egyenlősége azt jelenti, hogy cos j= 0, azaz . A nulla vektor ortogonális bármely vektorra, mert a × 0 = 0.

Gyakorlat. Legyen és ortogonális vektorok. Ekkor természetes, hogy egy olyan téglalap átlóját tekintjük, amelynek oldalai és . Bizonyítsd be

azok. Egy téglalap átlójának hosszának négyzete egyenlő a két nem párhuzamos oldala hosszának négyzetösszegével(Pitagorasz-tétel).

Meghatározás. Vektoros rendszera 1 ,…, a m-t ortogonálisnak nevezzük, ha ennek a rendszernek bármely két vektora merőleges.

Így egy ortogonális vektorrendszerhez a 1 ,…,a m az egyenlőség igaz: a én × a j= 0 at én¹ j, én= 1,…, m; j= 1,…,m.

Tétel 1.5. Egy nem nulla vektorokból álló ortogonális rendszer lineárisan független. .

□ Ellentmondásos bizonyítást végzünk. Tegyük fel, hogy a nullától eltérő vektorok ortogonális rendszere a 1 , …, a m lineárisan függő. Majd

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , ugyanakkor. (1,15)

Legyen például l 1 ¹ 0. Szorozzuk meg a 1 az egyenlőség mindkét oldala (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Az első kivételével minden tag nullával egyenlő a rendszer ortogonalitása miatt a 1 , …, a m. Akkor l 1 a 1× a 1 =0, ami a következő a 1 = 0 , ami ellentmond a feltételnek. Feltevésünk tévesnek bizonyult. Ez azt jelenti, hogy a nullától eltérő vektorok ortogonális rendszere lineárisan független. ■

A következő tétel teljesül.

Tétel 1.6. Az Rn térben mindig van egy ortogonális vektorokból álló bázis (ortogonális bázis)
(nincs bizonyíték).

Az ortogonális bázisok elsősorban azért kényelmesek, mert egy tetszőleges vektor tágulási együtthatói az ilyen bázisok felett egyszerűen meghatározhatók.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy tetszőleges vektor dekompozícióját b ortogonális alapon e 1 ,…,e n. Hozzuk létre ennek a vektornak a kiterjesztését még ismeretlen kiterjesztési együtthatókkal erre az alapra:

Szorozzuk meg ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát skalárisan a vektorral e 1. A vektorok skaláris szorzatának 2° és 3° axiómái alapján azt kapjuk, hogy

Mivel a bázisvektorok e 1 ,…,e n kölcsönösen ortogonálisak, akkor a bázisvektorok összes skaláris szorzata az első kivételével nullával egyenlő, azaz. az együtthatót a képlet határozza meg

Az (1.16) egyenlőséget egyesével más bázisvektorokkal megszorozva egyszerű képleteket kapunk a vektorbővítési együtthatók kiszámításához b :

Az (1.17) képleteknek azért van értelme, mert .

Meghatározás. Vektora normalizáltnak (vagy mértékegységnek) nevezzük, ha hossza egyenlő 1, azaz (a , a )= 1.

Bármely nullától eltérő vektor normalizálható. Hadd a ¹ 0 . Ekkor , és a vektor egy normalizált vektor.

Meghatározás. Vektoros rendszer e 1 ,…,e n-t ortonormálisnak nevezzük, ha ortogonális és a rendszer minden vektorának hossza egyenlő 1, azaz

Mivel az Rn térben mindig van ortogonális bázis, és ennek a bázisnak a vektorai normalizálhatók, ezért Rn-ben mindig van ortonormális bázis.

Az R n tér ortonormális bázisára példa a vektorok rendszere e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) az (1.9) egyenlőséggel meghatározott skaláris szorzattal. Ortonormális alapon e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) képlet (1.17) a vektorbontás koordinátáinak meghatározásához b a legegyszerűbb formája van:

Hadd a És b – az R n tér két tetszőleges vektora ortonormális bázissal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Jelöljük a vektorok koordinátáit a És b az alapban e 1 ,…,e n ennek megfelelően keresztül a 1 ,…,a nÉs b 1 ,…, b nés keressük meg ezen vektorok skaláris szorzatának kifejezését a koordinátáikon keresztül ezen az alapon, azaz. tegyük fel

Az utolsó egyenlőségből a skaláris szorzataxiómák és relációk (1.18) alapján kapjuk

Végre megvan

Így, ortonormális alapon bármely két vektor skaláris szorzata egyenlő ezen vektorok megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével.

Tekintsünk most egy teljesen tetszőleges (általában nem ortonormális) bázist az R n n-dimenziós euklideszi térben, és keressünk kifejezést két tetszőleges vektor skaláris szorzatára. a És b ezeknek a vektoroknak a koordinátáin keresztül a megadott alapon. f 1 ,…,f n R n euklideszi tér, bármely két vektor skaláris szorzata egyenlő ezen vektorok megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével, szükséges és elegendő, hogy az alap f 1 ,…,f n ortonormális volt.

Valójában az (1.20) kifejezés akkor és csak akkor megy az (1.19) kifejezésbe, ha teljesülnek az alap ortonormálisságát megállapító relációk f 1 ,…,f n.

A PLM-ek kialakítása egy LSI, amely ortogonális buszrendszer formájában készül, amelynek csomópontjaiban alapvető félvezető elemek - tranzisztorok vagy diódák - találhatók. A PLM beállítása a szükséges logikai transzformációhoz (PLM programozás) az alapvető kapcsolatok megfelelő megszervezéséből áll. logikai elemek. A PLM programozását vagy a gyártás során, vagy a felhasználó egy programozó eszköz segítségével végzi el. A PLM olyan tulajdonságainak köszönhetően, mint az egyszerűség szerkezeti szervezetés a logikai átalakítások nagy sebessége, valamint a gyárthatóság és a tömeggyártás által meghatározott viszonylag alacsony költség, a PLM-eket széles körben használják elemi alapként a számítógépes rendszerek és a gyártásautomatizálási rendszerek tervezésében.  

Még ezen a szinten sem léteznek jó "mechanikai rendszerek", amelyeket követni lehetne. Véleményem szerint soha nem volt olyan sikeres „mechanikai” rendszer, amelyet lineáris modellel lehetne leírni. Jelenleg nem létezik, és minden valószínűség szerint soha nem is fog létezni, még mesterséges intelligencia, analóg processzorok, genetikai algoritmusok, ortogonális regressziók és neurális hálózatok használatával sem.  

Magyarázzuk meg a norma jelentését - G. Egy (n+1)-dimenziós térben egy ferde koordinátarendszert vezetünk be, melynek egyik tengelye az Xe egyenes, a második tengelye pedig a G n-dimenziós hipersík. , merőleges a g-re. Bármely x vektor ábrázolható a formában  

Parabolikus regresszió és az ortogonális rendszer  

A határozottság kedvéért korlátozzuk magunkat az m = 2 esetre (az m > 2 általános esetre való áttérés kézenfekvő módon minden nehézség nélkül történik), és ábrázoljuk a regressziós függvényt a bázisfüggvények rendszerében, ha>0 (n ), (x), ip2 to), amelyek ortogonálisak (a megfigyelések összességére).  

A (7- (JK) polinomok kölcsönös ortogonalitása (az xlt k..., xn megfigyelési rendszeren) azt jelenti, hogy  

Ilyen, ortogonálisnak nevezett tervezéssel az X X mátrix átlóssá válik, azaz. a normálegyenletrendszer k+l független egyenletekre bomlik  

Pontrendszer az ortogonalitási feltétel teljesítésével (1. rendű terv)  

Nyilvánvaló, hogy a deformációs tenzor merev mozgásban eltűnik. Megmutatható, hogy fordítva is igaz: ha a közeg minden pontjában az alakváltozási tenzor nullával egyenlő, akkor a megfigyelő valamely derékszögű koordinátarendszerében a mozgástörvény a (3.31) alakú az ortogonális mátrixszal a a. A merev mozgás tehát olyan folytonos közeg mozgásaként definiálható, amelyben a közeg két pontja közötti távolság a mozgás során nem változik.  

Két vektort ortogonálisnak mondunk, ha skaláris szorzata nulla. Egy vektorrendszert ortogonálisnak nevezünk, ha ennek a rendszernek a vektorai páronként merőlegesek.  

O Példa. Vektorrendszer = (, O,..., 0), e% = = (O, 1,..., 0), . .., e = (0, 0,..., 1) ortogonális.  

A Fredholm-operátor k maggal (-TI, 4-12) teljes ortogonális sajátvektorrendszerrel rendelkezik a Hilbert-térben (Hilbert tétele szerint). Ez azt jelenti, hogy φ(t) teljes bázist alkot Lz(to, T-ben). Ezért én vagyok.  

Az n-nulla vektorok ortogonális rendszere lineárisan független.  

A megadott módszer t/i, yb, ortogonális vektorrendszer felépítésére. ..> ym+t adott lineárisan függetlenre  

Egy biotechnikai kútfúrási rendszer esetében, ahol a fizikai munka mennyisége továbbra is jelentős, különösen érdekesek a biomechanikai és motoros erőterületek vizsgálata. A munkamozgások összetételét és szerkezetét, a mennyiséget, a dinamikus és statikus terheléseket és a kialakult erőket Uralmash-ZD fúrótornyokon vizsgáltuk sztereoszkópos filmezéssel (két szinkron működésű kamerával, speciális technikával, 24 képkocka per 1 másodperces frekvenciával) valamint a ganiográfiai módszer háromcsatornás orvosi oszcilloszkóppal. Az egymással párhuzamosan és az alapvonalra (a filmezés tárgyára) merőleges optikai tengelyek merev rögzítése lehetővé tette a munkapózok kvantitatív tanulmányozását (a filmkockákon perspektivikus-ortogonális konjugált vetületek alapján, a 48. ábra szerint), a munkavállalók súlypontjainak mozgási pályái az egyes műveletek, technikák, akciók végrehajtása során, valamint meghatározzák az erőfeszítéseket, az energiaköltségeket stb.  

A független alternatívák azonosításának ígéretes megközelítése a független szintetikus tényezőmutatók azonosítása. A Xi faktormutatók eredeti rendszere új, szintetikus független FJ faktorindikátorok rendszerévé alakul át, amelyek az Xg indikátorrendszer ortogonális összetevői. A transzformáció komponensanalízis módszereivel történik 1. Matematikai  

Az ADAD egyik összetevője a háromdimenziós tervezés modulja összetett rendszerek csővezetékek. A modul grafikus adatbázisa volumetrikus csővezeték elemeket (csatlakozások, csapok, karimák, csövek) tartalmaz. A könyvtárból kiválasztott elem automatikusan a tervezett modell csőrendszerének jellemzőihez igazodik. A modul rajzokat dolgoz fel, valamint két- és háromdimenziós képeket készít, beleértve az izometrikus modellek és az objektumok ortogonális vetületeinek felépítését. Egy adott specifikáció szerint választható a csővezetékek alkatrészei, a bevonatok típusai és a szigetelés típusai.  

A (2.49) összefüggésekből világosan kiderül, hogyan kell a (2.47) egyenletek megoldását megszerkeszteni. Először megszerkesztjük a tenzor poláris dekompozícióját, és meghatározzuk a p "b nts tenzorokat. Mivel az a "b és p I tenzorok egyenlőek, az s mátrix alakja (2.44), (2.45) a fő koordinátában tenzor rendszere p. Rögzítjük a Su mátrixot. Ekkor aad = lp labsd. Az aad szerint az au az aad = = biljд x ad egyenletből számítható ki. A torzítás „ortogonális része” (2.49) id = nib sd.  

A fennmaradó ágak nem felelnek meg a feltételnek (2,5 1). Bizonyítsuk be ezt az állítást. Az x = A 5, f = X Mfs mátrix ortogonális. Jelöljük X j-vel az első s" mátrixnak megfelelő mátrixot (2.44), X j-vel pedig bármely más sa (2.44) mátrixválasztásnak megfelelő mátrixot. Az "a + Aza s konstrukcióval" összeg egyenlő vagy az egyik átló dupla értéke

1) O. olyan, hogy (x a , x ab)=0 at . Ha az egyes vektorok normája eggyel egyenlő, akkor az (x a) rendszert hívjuk. ortonormális. Teljes O. s. (x a) hívott ortogonális (ortonormális) alap. M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. koordináták - olyan koordinátarendszer, amelyben a koordinátavonalak (vagy felületek) derékszögben metszik egymást. O. s. A koordináták bármely euklideszi térben léteznek, de általában véve egyetlen térben sem. Kétdimenziós sima affin térben O. s. mindig bevezethető legalább az egyes pontok kellően kis környezetében. Néha lehetséges az O. s. koordináták működés közben. Az O. s. metrikus tenzor g ijátlók; átlós alkatrészek gii elfogadott név Lamé együtthatók. Sánta együttható O. s. térben képletekkel fejezzük ki

Ahol x, yÉs z- Derékszögű derékszögű koordináták. A hossz elemét a Lamé együtthatók fejezik ki:

felület elem:

kötet elem:

vektor differenciálműveletek:

A leggyakrabban használt O. s. koordináták: a síkon - derékszögű, poláris, elliptikus, parabolikus; térben - gömb alakú, hengeres, paraboloidális, kéthengeres, bipoláris. D. D. Szokolov.

3) O. s. függvények - véges vagy megszámlálható rendszer (j én(x)) a térhez tartozó függvények

L 2(X, S, m) és a feltételeknek megfelelő

Ha l én=1 mindenkinek én, akkor a rendszert hívják ortonormális. Feltételezzük, hogy az X halmaz részhalmazainak S-algebráján definiált m(x) mérték megszámlálhatóan additív, teljes és megszámlálható bázissal rendelkezik. Ez az O. s. tartalmazza a modern elemzésben figyelembe vett összes O. oldalt; a mérési tér különféle speciális megvalósításaihoz kapják meg ( X, S, m).

A legérdekesebbek a teljes ortonormális rendszerek (j n(x)), amelyeknek az a tulajdonságuk, hogy bármely függvénynél van egy egyedi sorozat, amely f(x)-hez konvergál a tér metrikájában. L 2(X, S, m) , míg az együtthatók s p a Fourier-képletek határozzák meg

Ilyen rendszerek a tér elválaszthatósága miatt léteznek L 2(X, S, m). A teljes ortonormális rendszerek létrehozásának univerzális módját a Schmidt ortogonalizációs módszer biztosítja. Ehhez elegendő egy bizonyos komplett rajra alkalmazni L 2(S, X, m) lineárisan független függvényrendszer.

Elméletben ortogonális sorozat be főleg O. s. térLva L 2[a, b](az a különleges eset, amikor X=[a, b], S- Lebesgue mérhető halmazok rendszere, m pedig a Lebesgue mérték). Számos tétel a sorozatok konvergenciájáról vagy összegezhetőségéről, általános matematikai rendszerek szerint. (j n(x)) szóközök L 2[a, b] igazak az ortonormális térrendszerek sorozataira is L 2(X, S, m). Ugyanakkor ebben a konkrét esetben érdekes beton O. rendszerek készültek, amelyek bizonyos jó tulajdonságokkal rendelkeznek. Ilyen például Haar, Rademacher, Walsh-Paley és Franklin rendszere.

1) Haar rendszer

ahol m=2 n+k, , t=2, 3, .... Tipikus példa a Haar sorozat martingálokés rájuk igazak a martingálok elméletéből származó általános tételek. Ezenkívül a rendszer az alapja Lp, , és a Fourier-sor a Haar-rendszerben bármely integrálható függvényben szinte mindenhol konvergál.

2) Rademacher rendszer

képviseli fontos példa O. s. független függvények, és mind a valószínűségszámításban, mind az ortogonális és általános függvénysorok elméletében alkalmazhatók.

3) Walsh-Paley rendszer a Rademacher függvények határozzák meg:

hol vannak a ti számok q k az n szám bináris kiterjesztésével határozzuk meg:

4) A Franklin-rendszert a függvénysorozat Schmidt-módszerrel történő ortogonalizálásával kapjuk

Ez egy példa a folytonos függvények C terének ortogonális bázisára.

A többszörös ortogonális sorozatok elméletében az alak függvényrendszereit veszik figyelembe

hol van az ortonormális rendszer L 2[a, b]. Az ilyen rendszerek ortonormálisak az m-dimenziós kockán J m =[a, b]x . . .x[ a, b] és teljesek, ha a rendszer (j n(x))

Megvilágított.:[l] Kaczmarz S., Shteingauz G., Az ortogonális sorozatok elmélete, ford. németből, M., 1958; A tudomány eredményei. Matematikai elemzés, 1970, M., 1971, p. 109-46; ott, s. 147-202; Dub J., Valószínűségi folyamatok, ford. angolból, M., 1956; Loev M., Valószínűségelmélet, ford. angolból, M., 1962; Zygmund A., Trigonometrikus sorozat, ford. angol nyelvből, 1-2. kötet, M., 1965. A. A. Talalyan.

• - az L2 Hilbert-térhez tartozó, a gnaz függvény feltételeit kielégítő véges vagy megszámlálható függvényrendszer. súlyú O. s. f.,* összetett ragozást jelent...

  Fizikai enciklopédia

• - a V n-dimenziós vektortér összes lineáris transzformációinak csoportja a k mező felett, megőrizve egy rögzített, nem degenerált másodfokú Q alakot V)=Q bármely) esetén...

  Matematikai Enciklopédia

• - mátrix egy R kommutatív gyűrű felett 1-es egységgel, amelyre a transzponált mátrix egybeesik az inverzével. Az O. m determinánsa +1...

  Matematikai Enciklopédia

• - olyan hálózat, amelyben a különböző családok vonalainak egy bizonyos pontján lévő érintői merőlegesek. Példák működési rendszerekre: aszimptotikus hálózat minimális felületen, vonalgörbületi hálózat. A.V. Ivanov...

  Matematikai Enciklopédia

• - ortogonális tömb, OA - kx N méretű mátrix, melynek elemei az 1, 2, .....

  Matematikai Enciklopédia

• - lásd Izogonális pálya...

  Matematikai Enciklopédia

• - Magyarul: Rendszer „generátor - motor” Állítható elektromos hajtás, melynek átalakító berendezése egy elektromos gépi átalakító egység Forrás: Villamosenergia-ipari szakkifejezések és definíciók...

  Építőipari szótár

• - lásd: Kivetítés...

  Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

• - a választási eredmény megállapításának eljárása, amelyben a képviselő-testületbe jelöltjüket állító pártok között a kapott szavazatok számának megfelelően osztják szét a mandátumot...

  Jogi szakkifejezések szótára

• - az arányos választási rendszer egy fajtája. A végeredmény egy arányos rendszerre hasonlít, pásztázással és preferenciális szavazással...

  Jogi szakkifejezések szótára

• - az emberi test szaporodási folyamatában részt vevő szervei...

  Orvosi kifejezések

• - négyféle génből álló sorozat, amelyek a legtöbb sejtmaggal rendelkező sejt felszínén található polimorf fehérjéket kódolnak...

  Orvosi kifejezések

• - Rendeld meg a Mátrixot...
• - a párhuzamos vetítés speciális esete, amikor a vetítések tengelye vagy síkja merőleges a vetítés irányára...

  Nagy Szovjet Enciklopédia

• - függvényrendszer (), n = 1, 2,..., merőleges ρ súllyal a szakaszra, azaz olyan, hogy Példák. Trigonometrikus rendszer 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. 1-es súllyal a szegmensen...

  Nagy Szovjet Enciklopédia

• - ORTOGONÁLIS FÜGGVÉNYrendszer - függvényrendszer??n?, n=1, 2,.....

  Nagy enciklopédikus szótár

"ORTOGONÁLIS RENDSZER" a könyvekben

XXIV. bekezdés A lövészárok-hadviselés régi rendszere és a modern menetrendszer