Gyakorlati munka: Függvénygráfok transzformációja. Gyakorlati munka: Függvénygráfok transzformációja A derivált fizikai jelentése
A $y = f(x)$ függvény deriváltja egy adott $x_0$ pontban a függvény növekményének és argumentuma megfelelő növekményének arányának határa, feltéve, hogy az utóbbi nullára hajlik:
$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$
A differenciálás a derivált megtalálásának művelete.
Néhány elemi függvény derivált táblázata
| Funkció | Származék |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^(n-1)$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $√x$ | $(1)/(2√x)$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
A megkülönböztetés alapszabályai
1. Az összeg deriváltja (különbség) egyenlő a származékok összegével (különbség)
$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$
Keresse meg a $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ függvény deriváltját
Egy összeg deriváltja (különbség) egyenlő a származékok összegével (különbség).
$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$
2. A termék származéka
$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$
Keresse meg a $f(x)=4x cosx$ deriváltot
$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$
3. A hányados származéka
$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $
Keresse meg a $f(x)=(5x^5)/(e^x)$ deriváltot
$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$
4. Származék összetett funkció egyenlő a külső függvény deriváltjának és a belső függvény deriváltjának szorzatával
$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$
$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
A származék fizikai jelentése
Ha egy anyagi pont egyenes vonalúan mozog, és a koordinátája az idő függvényében változik a $x(t)$ törvény szerint, akkor ennek a pontnak a pillanatnyi sebessége megegyezik a függvény deriváltjával.
A pont a koordinátavonal mentén mozog a $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ törvény szerint, ahol $x(t)$ a koordináta $t$ időpontban. Melyik időpontban lesz egyenlő a pont sebessége 12 dollárral?
1. A sebesség a $x(t)$ deriváltja, így keressük meg az adott függvény deriváltját
$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3 $
2. Annak megállapítására, hogy $t$ időpontban melyik időpontban volt egyenlő $12$-val, létrehozzuk és megoldjuk az egyenletet:
A származék geometriai jelentése
Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes egyenlete nem párhuzamos a tengelyekkel koordináták, $y = kx + b$ formában írható fel, ahol $k$ az egyenes meredeksége. A $k$ együttható egyenlő az egyenes és az $Ox$ tengely pozitív iránya közötti dőlésszög érintőjével.
A $f(x)$ függvény deriváltja a $х_0$ pontban egyenlő a gráf érintőjének $k$ meredekségével ebben a pontban:
Ezért létrehozhatunk egy általános egyenlőséget:
$f"(x_0) = k = tanα$
Az ábrán a $f(x)$ függvény érintője nő, ezért a $k együttható > 0$. Mivel $k > 0$, akkor $f"(x_0) = tanα > 0$. Az érintő és a $Ox$ pozitív irány közötti $α$ szög hegyes.
Az ábrán az $f(x)$ függvény érintője csökken, ezért a $k együttható< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
Az ábrán a $f(x)$ függvény érintője párhuzamos a $Ox$ tengellyel, ezért a $k együttható = 0$, tehát $f"(x_0) = tan α = 0$. $x_0$ pont, ahol $f "(x_0) = 0$, meghívva extrémum.
Az ábrán látható a $y=f(x)$ függvény grafikonja, és ennek a gráfnak a $x_0$ abszcissza pontjában megrajzolt érintője. Keresse meg az $f(x)$ függvény deriváltjának értékét az $x_0$ pontban.
A grafikon érintője nő, ezért $f"(x_0) = tan α > 0$
A $f"(x_0)$ megkereséséhez meg kell találni az érintő és az $Ox$ tengely pozitív iránya közötti dőlésszög érintőjét. Ehhez megépítjük az $ABC$ háromszög érintőjét.
Keressük meg a $BAC$ szög érintőjét. (Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya.)
$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12) = (1)/(4) = 0,25 USD
$f"(x_0) = tg BAC = 0,25 $
Válasz: 0,25 dollár
A derivált egy függvény növekedési és csökkenési intervallumának meghatározására is szolgál:
Ha $f"(x) > 0$ egy intervallumon, akkor az $f(x)$ függvény növekszik ezen az intervallumon.
Ha $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
Az ábrán a $y = f(x)$ függvény grafikonja látható. Keresse meg a $х_1,х_2,х_3…х_7$ pontok között azokat a pontokat, ahol a függvény deriváltja negatív.
Válaszul írja le ezeknek a pontoknak a számát.
Az y=3x+2 egyenes érinti az y=-12x^2+bx-10 függvény grafikonját.
Határozzuk meg a b-t, ha az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
Megoldás
Legyen x_0 az y=-12x^2+bx-10 függvény gráfján lévő azon pontjának abszcisszája, amelyen keresztül a gráf érintője áthalad. A derivált értéke az x_0 pontban megegyezik az érintő meredekségével, azaz y"(x_0)=-24x_0+b=3. Másrészt az érintőpont egyszerre tartozik az érintő grafikonjához. függvényt és az érintőt, azaz -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 egyenletrendszert kapunk
\begin(esetek) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(esetek)
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Az ábra az y=f(x) függvény grafikonját mutatja (amely három egyenes szakaszból álló szaggatott vonal). Az ábra segítségével számítsuk ki F(9)-F(5), ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja.
Határozzuk meg a b-t, ha az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
A Newton-Leibniz képlet szerint az F(9)-F(5) különbség, ahol F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja, egyenlő a görbe vonalú trapéz korlátozott területével. az y=f(x) függvény grafikonjával y=0 , x=9 és x=5 egyenesek.
A grafikonból megállapítjuk, hogy a jelzett ívelt trapéz egy trapéz, amelynek alapjai 4 és 3, magassága pedig 3. Területe egyenlő
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.
Megoldás megjelenítése
Az ábrán az y=f"(x) grafikonja látható – az f(x) függvény deriváltja, a (-4; 10) intervallumon definiálva. Keresse meg az f(x) csökkenő függvény intervallumait. Válaszában, jelölje meg közülük a legnagyobb hosszát.
Mint ismeretes, az f(x) függvény azokon az intervallumokon csökken, amelyeknek minden pontjában az f"(x) derivált kisebb, mint nulla. Tekintettel arra, hogy meg kell találni közülük a legnagyobb hosszát, három ilyen intervallum természetesen megkülönböztetve az ábrától: (-4; -2) (0; 3; 9);
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Közülük a legnagyobb (5; 9) hossza 4.
.png)
Megoldás megjelenítése
Az ábrán az y=f"(x) grafikonja látható - az f(x) függvény deriváltja, a (-8; 7) intervallumon definiálva. Határozza meg az f(x) függvényhez tartozó maximális pontok számát. az intervallum [-6; -2].
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
A grafikon azt mutatja, hogy az f(x) függvény f"(x) deriváltja az előjelet pluszból mínuszba változtatja (ilyen pontokon lesz maximum) pont egy pontban (-5 és -4 között) az [ intervallumból [ -6; -2 ] Ezért a [-6;
Megoldás megjelenítése
Az ábra a (-2; 8) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja.
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Határozzuk meg azon pontok számát, amelyekben az f(x) függvény deriváltja 0-val egyenlő!
Határozzuk meg a b-t, ha az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.Megoldás megjelenítése
Az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjához tartozó egyenes szögegyütthatója egy tetszőleges x_0 pontban egyenlő y"(x_0). De y"=-2x+5, ami y-t jelent" (x_0)=-2x_0+5 A feltételben megadott y=-3x+4 egyenes együtthatója megegyezik a -3-mal -2x_0 +5=-3.
A következőt kapjuk: x_0 = 4.
Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1.
\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.
Az ábrán az y=f(x) függvény grafikonja látható, és az abszcisszán a -6, -1, 1, 4 pontok vannak jelölve. Ezen pontok közül melyikben a legkisebb a derivált? Kérjük, válaszában jelezze ezt a pontot.
Szergej Nikiforov
Ha egy függvény deriváltja egy intervallumon állandó előjelű, és maga a függvény a határain folytonos, akkor a határpontok mind a növekvő, mind a csökkenő intervallumokhoz hozzáadódnak, ami teljes mértékben megfelel a növekvő és csökkenő függvények definíciójának.
Farit Jamajev 26.10.2016 18:50
Helló. Hogyan (milyen alapon) mondhatjuk, hogy azon a ponton, ahol a derivált nullával egyenlő, a függvény növekszik. Indokolja meg. Ellenkező esetben ez csak valakinek a szeszélye. Milyen tétel alapján? És bizonyíték is. Köszönöm.
Help Desk
A derivált értéke egy pontban nincs közvetlenül összefüggésben a függvény intervallumon belüli növekedésével. Vegyük például a függvényeket – mindegyik növekszik az intervallumon belül
Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21
Ha egy függvény növekszik az (a;b) intervallumon, és definiált és folytonos az a és b pontokban, akkor növekszik az intervallumon. Azok. pont x=2 benne van ebben az intervallumban.
Bár a növekedést és a csökkenést általában nem egy szegmensen, hanem egy intervallumon veszik figyelembe.
De magán az x=2 ponton a függvénynek van egy lokális minimuma. És hogyan magyarázzuk el a gyerekeknek, hogy amikor növekedési (csökkenési) pontokat keresnek, akkor nem a lokális szélsőség pontjait számoljuk, hanem növekedési (csökkenési) intervallumokba lépünk.
Tekintettel arra, hogy az egységes államvizsga első része a " középső csoport óvoda", akkor talán túl sok az ilyen árnyalat.
Külön köszönet az összes munkatársnak az „Egységes államvizsga megoldásáért” - kiváló útmutató.
Szergej Nikiforov
Egyszerű magyarázatot kaphatunk, ha a növekvő/csökkenő függvény definíciójából indulunk ki. Hadd emlékeztesselek arra, hogy ez így hangzik: egy függvényt egy intervallumon növekvő/csökkentőnek nevezünk, ha a függvény nagyobb argumentuma a függvény nagyobb/kisebb értékének felel meg. Ez a definíció semmilyen módon nem használja a derivált fogalmát, így nem merülhetnek fel kérdések azokról a pontokról, ahol a derivált eltűnik.
Irina Ismakova 20.11.2017 11:46
Jó napot. Itt a kommentekben olyan hiedelmeket látok, hogy a határokat bele kell foglalni. Mondjuk ezzel egyetértek. De kérjük, nézze meg a 7089. feladat megoldását. Ott a növekvő intervallumok megadásakor a határok nem szerepelnek. És ez befolyásolja a választ. Azok. a 6429. és a 7089. feladat megoldásai ellentmondanak egymásnak. Kérjük, tisztázza ezt a helyzetet.
Alekszandr Ivanov
A 6429-es és a 7089-es feladatok teljesen más kérdéseket tartalmaznak.
Az egyik az intervallumok növeléséről szól, a másik pedig a pozitív derivált intervallumokról.
Nincs ellentmondás.
A szélsőségek benne vannak a növekvő és csökkenő intervallumokban, de azok a pontok, amelyekben a derivált nullával egyenlő, nem szerepelnek azon intervallumokban, amelyekben a derivált pozitív.
A Z 28.01.2019 19:09
Kollégák, van egy olyan koncepció, amely egy ponton növeli
(lásd például Fichtenholtzot)
és az x=2-es növekedésről alkotott értelmezésed ellentétes a klasszikus definícióval.
A növekedés és a csökkentés egy folyamat, és ehhez az elvhez szeretnék ragaszkodni.
Az x=2 pontot tartalmazó intervallumban a függvény nem növekszik. Ezért egy adott x=2 pont felvétele speciális folyamat.
Általában a félreértések elkerülése érdekében az intervallumok végének szerepeltetését külön tárgyalják.
Alekszandr Ivanov
Egy y=f(x) függvényről azt mondjuk, hogy egy bizonyos intervallumon keresztül növekszik, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke felel meg a függvény nagyobb értékének.
Az x=2 pontban a függvény differenciálható, és a (2; 6) intervallumon a derivált pozitív, ami azt jelenti, hogy az intervallumon )
