A magasabb matematikában olyan fogalmat tanulmányoznak, mint egy transzponált mátrix. Meg kell jegyezni: sokan úgy gondolják, hogy ez egy meglehetősen összetett téma, amelyet lehetetlen elsajátítani. Ez azonban nem igaz. Ahhoz, hogy pontosan megértsük, hogyan kell egy ilyen egyszerű műveletet végrehajtani, csak egy kicsit meg kell ismerkednie az alapkoncepcióval - a mátrixszal. Bármely diák megértheti a témát, ha időt szán annak tanulmányozására.

Mi az a mátrix?

A mátrixok meglehetősen gyakoriak a matematikában. Meg kell jegyezni, hogy a számítástechnikában is megtalálhatók. Nekik és segítségükkel egyszerű a programozás és a szoftverkészítés.

Mi az a mátrix? Ez egy táblázat, amelyben az elemek el vannak helyezve. Téglalap alakúnak kell lennie. A legegyszerűbben a mátrix egy számtáblázat. Jelölése néhány nagy latin betűvel történik. Lehet téglalap vagy négyzet alakú. Vannak külön sorok és oszlopok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. Az ilyen mátrixok csak egy számsort kapnak. A táblázat méretének megértéséhez figyelni kell a sorok és oszlopok számára. Az elsőt m, a másodikat n betűvel jelöljük.

Mindenképpen meg kell értenie, mi az a mátrixátló. Van egy oldal és egy fő. A második az a számsor, amely balról jobbra halad az elsőtől az utolsó elemig. Ebben az esetben az oldalvonal jobbról balra lesz.

A mátrixokkal szinte az összes legegyszerűbb aritmetikai művelet elvégezhető, azaz összeadás, kivonás, szorzás egymással és számmal külön-külön is. Transzponálhatók is.

Átültetési folyamat

A transzponált mátrix egy olyan mátrix, amelyben a sorok és oszlopok felcserélődnek. Ez a lehető legegyszerűbben történik. Jelölve A, felső indexe T (AT). Elvileg azt kell mondani, hogy a felsőbb matematikában ez az egyik legegyszerűbb mátrixművelet. Az asztal mérete megmarad. Az ilyen mátrixot transzponáltnak nevezzük.

Transzponált mátrixok tulajdonságai

Az átültetési folyamat helyes végrehajtása érdekében meg kell érteni, hogy ennek a műveletnek milyen tulajdonságai vannak.

• Minden transzponált táblázathoz eredeti mátrixnak kell lennie. Meghatározóiknak egyenlőnek kell lenniük egymással.
• Ha van skalár egység, akkor ennek a műveletnek a végrehajtásakor kivehető.
• Ha egy mátrixot kétszer transzponálnak, akkor egyenlő lesz az eredetivel.
• Ha összehasonlít két összehajtott táblázatot felcserélt oszlopokkal és sorokkal azoknak az elemeknek az összegével, amelyeken ezt a műveletet végrehajtották, akkor ugyanazok lesznek.
• Az utolsó tulajdonság az, hogy ha egymással szorzott táblákat transzponálunk, akkor az értéknek meg kell egyeznie a transzponált mátrixok egymással fordított sorrendben történő szorzásával kapott eredményekkel.

Miért kell átültetni?

A matematikai mátrix szükséges bizonyos problémák megoldásához. Némelyikük megköveteli az inverz táblázat kiszámítását. Ehhez meg kell találni egy meghatározót. Ezután a jövőbeli mátrix elemeit kiszámítjuk, majd transzponáljuk. Már csak a közvetlenül inverz táblázatot kell megkeresni. Azt mondhatjuk, hogy az ilyen feladatokban meg kell találni az X-et, és ez meglehetősen egyszerű az egyenletelmélet alapismeretei segítségével.

Eredmények

Ez a cikk megvizsgálta, mi az a transzponált mátrix. Ez a téma hasznos lesz a jövőbeli mérnökök számára, akiknek képesnek kell lenniük az összetett szerkezetek helyes kiszámítására. Néha a mátrixot nem olyan könnyű megoldani, össze kell törni az agyát. A tanulói matematika során azonban ezt a műveletet a lehető legkönnyebben és minden erőfeszítés nélkül hajtják végre.

Egy mátrix transzponálásához a mátrix sorait oszlopokba kell írni.

Ha , akkor a transzponált mátrix

Ha, akkor

1. feladat. Lelet

1. Négyzetmátrixok meghatározói.

Négyzetes mátrixok esetén bevezetünk egy számot, amelyet determinánsnak nevezünk.

Másodrendű mátrixok (dimenzió) esetén a determinánst a következő képlet adja meg:

Például egy mátrix esetében a determinánsa az

Példa . Számítsa ki a mátrixok determinánsait!

A harmadrendű négyzetmátrixokra (dimenzió) létezik egy „háromszög” szabály: az ábrán a pontozott vonal azt jelenti, hogy megszorozzuk azokat a számokat, amelyeken a pontozott vonal áthalad. Az első három számot össze kell adni, a következő három számot ki kell vonni.

Példa. Számítsa ki a determinánst.

Adni általános meghatározás determináns, be kell vezetnünk a moll és az algebrai komplement fogalmát.

Kisebb A mátrix elemét a sor és az oszlop áthúzásával kapott determinánsnak nevezzük.

Példa. Keressük az A mátrix néhány minorját.

Algebrai komplementer elemet számnak nevezzük.

Ez azt jelenti, hogy ha az indexek összege páros, akkor nem különböznek egymástól. Ha az indexek összege páratlan, akkor csak előjelben különböznek.

Az előző példához.

Mátrix meghatározó egy bizonyos karakterlánc elemeinek szorzatainak összege

(oszlop) algebrai komplementereikre. Tekintsük ezt a definíciót egy harmadrendű mátrixon.

Az első bejegyzést a determináns kiterjesztésének nevezzük az első sorban, a másodikat a második oszlopban, az utolsót pedig a harmadik sor kiterjesztésének. Összesen hatszor írható fel ilyen bővítés.

Példa. Számítsa ki a determinánst a „háromszög” szabály segítségével, és bontsa ki az első sor, majd a harmadik oszlop, majd a második sor mentén.

Bővítsük ki a determinánst az első sor mentén:

Bővítsük ki a determinánst a harmadik oszlopban:

Bővítsük ki a determinánst a második sor mentén:

Vegye figyelembe, hogy minél több nulla, annál könnyebb számítások. Például az első oszloppal bővítve azt kapjuk

A determinánsok tulajdonságai között van egy tulajdonság, amely lehetővé teszi nullák fogadását, nevezetesen:

Ha egy másik sor (oszlop) elemeit hozzáadja egy bizonyos sor (oszlop) elemeihez, megszorozva egy nem nulla számmal, akkor a determináns nem változik.

Vegyük ugyanazt a determinánst, és kapjunk például nullákat az első sorban.

A magasabb rendek meghatározóit ugyanígy számítjuk ki.

2. feladat. Számítsa ki a negyedrendű determinánst:

1) bármely sorra vagy oszlopra szétosztva

2) miután korábban nullákat kapott

A második oszlopban például egy további nullát kapunk. Ehhez szorozza meg a második sor elemeit -1-gyel, és adja hozzá őket a negyedik sorhoz:

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását mutatjuk be Cramer módszerével.

2. feladat. Oldja meg az egyenletrendszert!

Négy determinánst kell kiszámítanunk. Az elsőt főnek nevezik, és az ismeretlenek együtthatóiból áll:

Vegye figyelembe, hogy ha , a rendszer nem oldható meg Cramer módszerével.

A fennmaradó három determinánst , , és úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő oszlopot egy jobb oldali oszlopra cseréljük.

találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó első oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó második oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

találunk. Ehhez módosítsa a fő meghatározó harmadik oszlopát egy jobb oldali oszlopra:

A rendszer megoldását a Cramer-képletekkel találjuk meg: , ,

Így a rendszer megoldása , ,

Végezzünk egy ellenőrzést, és a talált megoldást behelyettesítjük a rendszer összes egyenletébe.

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel.

Ha egy négyzetes mátrixnak van nullától eltérő determinánsa, akkor van egy inverz mátrix, amelyre . A mátrixot identitásmátrixnak nevezik, és a formája van

Inverz mátrix képlettel találjuk meg:

Példa. Keresse meg a mátrix inverzét

Először kiszámítjuk a determinánst.

Algebrai komplementerek keresése:

Felírjuk az inverz mátrixot:

A számítások ellenőrzéséhez meg kell győződnie arról, hogy .

Adott legyen a rendszer lineáris egyenletek:

Jelöljük

Ekkor az egyenletrendszer felírható mátrix alakban a következővel: , és innen. A kapott képletet a rendszer megoldásának mátrix módszerének nevezzük.

3. feladat. Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Ki kell írni a rendszer mátrixát, meg kell keresni az inverzét, majd meg kell szorozni a jobb oldalak oszlopával.

Az előző példában már megtaláltuk az inverz mátrixot, ami azt jelenti, hogy találhatunk megoldást:

1. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

A Cramer-módszert és a mátrixmódszert csak másodfokú rendszerekre használják (az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával), és a determináns nem lehet egyenlő nullával. Ha az egyenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával, vagy a rendszer determinánsa nulla, akkor a Gauss-módszert alkalmazzuk. A Gauss-módszerrel bármilyen rendszer megoldható.

És cseréljük be az első egyenletbe:

5. feladat. Egyenletrendszer megoldása Gauss módszerrel!

A kapott mátrix alapján visszaállítjuk a rendszert:

Megoldást találunk:

Ezek a mátrixokon végzett műveletek nem lineárisak.

MEGHATÁROZÁS. Transzponált mátrix mátrixhoz méret
méretmátrixnak nevezzük
, származó minden sorát azonos sorszámú oszlopokra cserélve.

Vagyis ha =
, Azt
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

PÉLDA.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

MEGHATÁROZÁS. Ha =, majd a mátrix A hívott szimmetrikus.

Minden átlós mátrix szimmetrikus, mivel elemeik egyenlőek, szimmetrikusak a főátlóra.

Nyilvánvalóan igazak az átültetési művelet alábbi tulajdonságai:

MEGHATÁROZÁS. =
Hadd
,=
Hadd
– méretmátrix
. Ezen mátrixok szorzata =
méret
– mátrix

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

, amelynek elemeit a következő képlet számítja ki: vagyis az elem sor és mátrixoszlop egyenlő a megfelelő elemek szorzatainak összegével mátrix sora sor és .

PÉLDA.

=
, =

És

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1
Munka

– nem létezik.

1.
A MÁTRIXSZORZAT MŰKÖDÉSÉNEK TULAJDONSÁGAI

PÉLDA.
,

, még akkor is, ha mindkét termék definiálva van.

MEGHATÁROZÁS, Bár mátrix sora . Mátrixok hívják megváltoztatható
, Ha mátrix sora . Mátrixok , egyébként

nem permutálható.

PÉLDA.

A definícióból az következik, hogy csak azonos méretű négyzetmátrixok lehetnek permutálhatók. mátrix sora mátrixok

megváltoztatható.
,

Azaz mátrix sora Eszközök,

– permutációs mátrixok.
Általánosságban elmondható, hogy az identitásmátrix bármely azonos sorrendű négyzetmátrixszal ingázik, és bármely mátrixhoz megmagyarázza, miért nevezik egységnek: számok szorzásakor az 1-es szám rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

Ha a megfelelő termékek vannak meghatározva, akkor:

5.

PÉLDA.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

MEGJEGYZÉS. A mátrix elemei nemcsak számok, hanem függvények is lehetnek. Egy ilyen mátrixot hívnak funkcionális.

PÉLDA.

Determinánsok és tulajdonságaik

Minden négyzetmátrix bizonyos szabályok szerint társítható egy bizonyos számhoz, amelyet determinánsának nevezünk.

Tekintsünk egy másodrendű négyzetmátrixot:

Determinánsa egy szám, amelyet a következőképpen írunk fel és számítunk ki:

(1.1)

Az ilyen determináns az ún másodrendű meghatározóés talán

másként kell megjelölni:
vagy
.

Harmadik rendű determináns egy négyzetmátrixnak megfelelő szám
, amelyet a következő szabály szerint számítanak ki:

A harmadrendű determináns kiszámításának ezt a szabályát háromszögszabálynak nevezik, és sematikusan a következőképpen ábrázolható:

PÉLDA.
;

Ha a determinánstól jobbra az első, majd a második oszlopot rendeljük hozzá, akkor a háromszögszabály módosítható:

Először a főátlón és a vele párhuzamos két átlón lévő számokat, majd a másik (oldalsó) átlón lévő és a vele párhuzamos számokat megszorozzuk. A fennmaradó termékek összegét kivonjuk az első három termék összegéből.

A kifejezéseket az (1.2)-ben csoportosítva és az (1.1)-et használva megjegyezzük, hogy

(1.3)

Azaz a harmadrendű determináns kiszámításakor másodrendű determinánsokat használunk, és
-ből kapott mátrix determináns elem áthúzásával (pontosabban az első sor és az első oszlop, amelyek metszéspontjában van ),
– egy elem áthúzásával ,
– elem .

MEGHATÁROZÁS. További kiskorú
elem négyzetmátrix -ből kapott mátrix determinánsa áthúzásával -edik sor és oszlop.

PÉLDA.

MEGHATÁROZÁS. Algebrai komplementer elem négyzetmátrix hívott szám
.

PÉLDA.

Mátrixhoz :

Mátrixhoz :
és így tovább.

Tehát a megfogalmazott definíciókat figyelembe véve az (1.3) átírható így: .

Most térjünk át az általános esetre.

MEGHATÁROZÁS. Döntő négyzetmátrix rendelés egy szám, amelyet a következőképpen írunk le és számítunk ki:

(1.4)

Az (1.4) egyenlőséget nevezzük a determináns kiterjesztése az első elemeire vonalak. Ebben a képletben az algebrai komplementereket determinánsként számítjuk ki
- a sorrend. Így a 4. rendű determináns kiszámításakor az (1.4) képlet segítségével általánosságban véve 4 3. rendű determinánst kell kiszámítani; 5. rendű determináns számításakor - 5 4. rendű determináns stb. Ha azonban például a 4. rendű determinánsban az első sor 3 nulla elemet tartalmaz, akkor az (1.4) képletben csak egy nem nulla tag marad meg.

PÉLDA.

Nézzük meg (bizonyíték nélkül) determinánsok tulajdonságai:

A determináns az első oszlop elemeire bővíthető:

PÉLDA.

MEGJEGYZÉS. A vizsgált példák lehetővé teszik a következő következtetéseket: egy háromszög mátrix determinánsa egyenlő a főátló elemeinek szorzatával.

Ebből következik, hogy a determináns sorai és oszlopai egyenlőek.

Innen különösen az következik bármely karakterlánc közös tényezője (oszlop) a determináns előjelén túl kivehető. Ezenkívül egy nulla sorral vagy nulla oszloppal rendelkező determináns nullával egyenlő.

Az (1.6) egyenlőséget nevezzük sor.

Az (1.7) egyenlőséget nevezzük a determináns elemekre való kiterjesztése oszlop.

Egy bizonyos sor (oszlop) összes elemének szorzatának összege a

egy másik sor megfelelő elemeinek algebrai kiegészítései

(oszlop) egyenlő nullával, azaz mikor
mátrix sora
at
.

PÉLDA.
, mivel ennek a determinánsnak az első és második sorának elemei arányosak (6. tulajdonság).

A 9-es tulajdonságot különösen gyakran használják a determinánsok kiszámításakor, mivel ez lehetővé teszi bármely determináns számára, hogy olyan sort vagy oszlopot kapjon, amelyben egy kivételével minden elem nulla.

PÉLDA.

Amikor mátrixokkal dolgozik, néha át kell transzponálnia őket, vagyis ki kell mondani egyszerű szavakkal, fordítsd meg. Természetesen manuálisan is megadhatja az adatokat, de az Excel többféle módot kínál ennek egyszerűbb és gyorsabb elvégzésére. Nézzük meg őket részletesen.

A mátrixtranszpozíció az oszlopok és sorok felcserélésének folyamata. Az Excelnek két lehetősége van az átültetésre: a függvény használatával TRANSSPés a betét speciális szerszám segítségével. Nézzük meg ezeket a lehetőségeket részletesebben.

1. módszer: TRANSPOSE operátor

Funkció TRANSSP az operátorok kategóriájába tartozik "Linkek és tömbök". A sajátosság az, hogy a többi tömbökkel működő függvényhez hasonlóan a kimeneti eredmény nem a cella tartalma, hanem egy teljes adattömb. A függvény szintaxisa meglehetősen egyszerű, és így néz ki:

TRANSP(tömb)

Vagyis ennek az operátornak az egyetlen argumentuma a hivatkozás arra a tömbre, esetünkben a mátrixra, amelyet konvertálni kell.

Nézzük meg, hogyan alkalmazható ez a függvény egy valós mátrixos példa segítségével.

1. A lapon kijelölünk egy üres cellát, amelyet a transzformált mátrix bal felső cellájává tervezünk. Ezután kattintson az ikonra "Funkció beszúrása", amely a képletsor közelében található.



2. Indítás folyamatban Funkcióvarázslók. Nyissa meg a kategóriát benne "Linkek és tömbök" vagy "Teljes alfabetikus lista". Miután megtalálta a nevet "TRANSP", válassza ki és kattintson a gombra "RENDBEN".



3. Megnyílik a függvény argumentumai ablak TRANSSP. Ennek az operátornak az egyetlen argumentuma a mezőnek felel meg "Sor". Meg kell adni a megfordítandó mátrix koordinátáit. Ehhez vigye a kurzort a mezőbe, és a bal egérgombot lenyomva tartva jelölje ki a lapon a mátrix teljes tartományát. Miután a terület címe megjelenik az argumentumok ablakában, kattintson a gombra "RENDBEN".



4. De amint látjuk, az eredmény megjelenítésére szolgáló cellában egy helytelen érték jelenik meg hiba formájában "#ÉRTÉK!". Ez a tömboperátorok működésének köszönhető. A hiba kijavításához válasszon ki egy cellatartományt, amelyben a sorok számának meg kell egyeznie az eredeti mátrix oszlopainak számával, és az oszlopok számának meg kell egyeznie a sorok számával. Az ilyen megfeleltetés nagyon fontos az eredmény helyes megjelenítéséhez. Ebben az esetben a kifejezést tartalmazó cella "#ÉRTÉK!" a kiválasztott tömb bal felső cellája legyen, és ebből a cellából kell kezdeni a kiválasztási eljárást az egér bal gombjának lenyomva tartásával. A kijelölés után helyezze a kurzort a képletsorba közvetlenül az operátorkifejezés után TRANSSP, aminek meg kell jelennie benne. Ezt követően a számítás elvégzéséhez meg kell nyomnia a gombot Enter, ahogy az a hagyományos képleteknél megszokott, és tárcsázza a kombinációt Ctrl+Shift+Enter.



5. Ezen műveletek után a mátrix úgy jelenik meg, ahogyan szükségünk volt, vagyis transzponált formában. De van egy másik probléma is. A helyzet az, hogy most az új mátrix egy tömb, amelyet egy képlet kapcsol össze, amelyet nem lehet megváltoztatni. Amikor megpróbálja megváltoztatni a mátrix tartalmát, hibaüzenet jelenik meg. Egyes felhasználók teljesen elégedettek ezzel az állapottal, mivel nem szándékoznak változtatni a tömbön, másoknak viszont szükségük van egy mátrixra, amellyel teljes mértékben tudnak dolgozni.

   A probléma megoldásához a teljes transzponált tartományt kiválasztjuk. Ugrás a lapra "Otthon" kattintson az ikonra "Másolat", amely a csoportban található szalagon található "Vágólap". A megadott művelet helyett a kijelölés után szabványos billentyűkódot állíthat be a másoláshoz Ctrl+C.



6. Ezután anélkül, hogy eltávolítaná a kijelölést a transzponált tartományból, kattintson rá jobb gombbal. A csoport helyi menüjében "Beszúrási lehetőségek" kattintson az ikonra "Értékek", amely számokat ábrázoló piktogramnak tűnik.

   

   Ezt követően a tömbképlet TRANSSP törlésre kerül, és csak egy érték marad a cellákban, amelyekkel ugyanúgy lehet dolgozni, mint az eredeti mátrixszal.

2. módszer: Mátrix transzponálása a Paste Special segítségével

Ezen túlmenően a mátrix transzponálható egy elnevezésű helyi menüelem segítségével "Speciális beszúrás".

Ezen lépések után csak a transzformált mátrix marad a lapon.

A fentebb tárgyalt két módszerrel nem csak mátrixokat, hanem teljes értékű táblázatokat is transzponálhat Excelbe. Az eljárás szinte azonos lesz.

Megtudtuk tehát, hogy az Excelben a mátrix kétféleképpen transzponálható, azaz megfordítható oszlopok és sorok felcserélésével. Az első lehetőség a funkció használatát foglalja magában TRANSSP, a második pedig a Paste Special Tools. Általánosságban elmondható, hogy a két módszer alkalmazásával kapott végeredmény nem különbözik egymástól. Mindkét módszer szinte minden helyzetben működik. Tehát a konverziós opció kiválasztásakor egy adott felhasználó személyes preferenciái kerülnek előtérbe. Vagyis, hogy ezek közül a módszerek közül melyik a kényelmesebb az Ön számára, használja azt.

Mátrixok transzponálása

Mátrix transzpozíció A mátrix sorainak az oszlopaival való helyettesítését úgy nevezzük, hogy közben megtartjuk a sorrendjüket (vagy ami ugyanaz, a mátrix oszlopainak a soraival való helyettesítését).

Legyen adott az eredeti mátrix V:

Ezután definíció szerint a transzponált mátrix A" a következő formában van:

A jelölés rövidített formája a mátrix transzponálásának műveletéhez: A transzponált mátrixot gyakran jelölik

3. példa. Legyenek mátrixok adottak A és B:

Ekkor a megfelelő transzponált mátrixok alakja:

Könnyen észrevehető a mátrix transzponálási művelet két mintája.

1. Egy kétszer transzponált mátrix egyenlő az eredeti mátrixszal:

2. Négyzetes mátrixok transzponálásakor a főátlón elhelyezkedő elemek nem változtatják pozíciójukat, azaz. A négyzetmátrix főátlója nem változik transzponáláskor.

Mátrixszorzás

A mátrixszorzás egy speciális művelet, amely a mátrixalgebra alapját képezi. A mátrixok sorai és oszlopai megfelelő méretű sor- és oszlopvektornak tekinthetők; más szóval bármely mátrix értelmezhető sorvektorok vagy oszlopvektorok gyűjteményeként.

Adjunk meg két mátrixot: A- méret T X nÉs IN- méret p x k. Megfontoljuk a mátrixot A mint teljesség T sorvektorok A) méretek n mindegyik, és a mátrix IN - mint teljesség To oszlopvektorok b Jt mindegyiket tartalmazza n mindegyik koordináta:

Mátrix sorvektorok Aés mátrixoszlopvektorok IN ezeknek a mátrixoknak a jelölésében (2.7) láthatók. Mátrix sor hossza A egyenlő a mátrixoszlop magasságával IN, és ezért van értelme ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatának.

Definíció 3. Mátrixok szorzata AÉs IN C mátrixnak nevezzük, amelynek elemei Su egyenlőek a sorvektorok skaláris szorzataival A ( mátrixok A oszlopvektorokba bj mátrixok IN:

Mátrixok szorzata AÉs IN- C mátrix - mérete van T X To, mivel a sorvektorok és az oszlopvektorok l hossza eltűnik, amikor ezeknek a vektoroknak a koordinátáinak szorzatait a skalárszorzatukban összegezzük, ahogy azt a (2.8) képlet mutatja. Így a C mátrix első sorának elemeinek kiszámításához szekvenciálisan meg kell kapni a mátrix első sorának skaláris szorzatait A minden mátrixoszlopra IN a C mátrix második sorát a mátrix második sorvektorának skaláris szorzataként kapjuk A a mátrix összes oszlopvektorához INés így tovább. A mátrixok szorzatának méretének könnyebb megjegyezhetősége érdekében a faktormátrixok méreteinek szorzatait el kell osztani: - , majd a relációban fennmaradó számok adják a szorzat méretét To

dsnia, t.s. a C mátrix mérete egyenlő T X To.

A mátrixszorzási műveletben van jellemző tulajdonsága: mátrixok szorzata AÉs IN akkor van értelme, ha az oszlopok száma A egyenlő a benne lévő sorok számával IN. Aztán ha A és B - téglalap alakú mátrixok, majd a szorzat INÉs A már nem lesz értelme, mivel a megfelelő mátrix elemeit alkotó skaláris szorzatoknak azonos számú koordinátájú vektorokat kell tartalmazniuk.

Ha mátrixok AÉs IN négyzet, l x l méretű, mátrixok szorzataként értelmezhető AB,és a mátrixok szorzata VA,és ezeknek a mátrixoknak a mérete megegyezik az eredeti faktorokéval. Ebben az esetben a mátrixszorzás általános esetben nem tartják be a permutáció (kommutativitás) szabályát, azaz. AB * VA.

Nézzünk példákat a mátrixszorzásra.

Mivel a mátrixoszlopok száma A egyenlő a mátrix sorainak számával IN, mátrixok szorzata AB van értelme. A (2.8) képletekkel 3x2 méretű mátrixot kapunk a szorzatban:

Munka VA nincs értelme, mivel a mátrixoszlopok száma IN nem egyezik a mátrix sorok számával A.

Itt találjuk a mátrixtermékeket ABÉs VA:

Amint az az eredményekből látható, a szorzatmátrix a szorzatban lévő mátrixok sorrendjétől függ. Mindkét esetben a mátrixszorzatok mérete megegyezik az eredeti tényezőkkel: 2x2.

IN ebben az esetben mátrix IN egy oszlopvektor, azaz. három sorból és egy oszlopból álló mátrix. Általában a vektorok a mátrixok speciális esetei: hosszúságú sorvektor n egy mátrix egy sorral és n oszlopok és a magasság oszlopvektor n- mátrix -val n sorok és egy oszlop. Az adott mátrixok mérete rendre 2 x 3, illetve 3 x I, így ezeknek a mátrixoknak a szorzata definiálva van. megvan

A termék 2 x 1 méretű mátrixot vagy 2 magasságú oszlopvektort állít elő.

A mátrixok szekvenciális szorzásával kapjuk:

A mátrixok szorzatának tulajdonságai. Hadd A, Bés C megfelelő méretű mátrixok (a mátrixszorzatok meghatározása érdekében), és a - valós szám. Ekkor a mátrixok szorzatának a következő tulajdonságai teljesülnek:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Az identitásmátrix fogalma E pontban került bevezetésre a 2.1.1. Könnyen belátható, hogy a mátrixalgebrában az egység szerepét tölti be, i.e. A mátrixszal való szorzáshoz kapcsolódóan még két tulajdonságot figyelhetünk meg a bal és a jobb oldalon:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Más szóval, bármely mátrix szorzata az azonosságmátrixszal, ha van értelme, nem változtatja meg az eredeti mátrixot.