Példák az aritmetikai műveletek törvényeire. A valós számokra vonatkozó aritmetikai műveletek törvényei. Téma: Az aritmetikai műveletek törvényei

17.09.2021Cím: Épületek

1. számú téma.

Valós számok. Numerikus kifejezések konvertálása

ÉN. Elméleti anyag

Alapfogalmak

· Természetes számok

· A szám decimális jelölése

· Ellentétes számok

· Egész számok

· Közönséges frakció

Racionális számok

· Végtelen decimális

· Szám periódusa, periodikus tört

· Irracionális számok

· Valós számok

Aritmetikai műveletek

Numerikus kifejezés

· Kifejezési érték

· Tizedes tört átalakítása közönséges törtté

Tört tizedesjegyre konvertálása

Periodikus tört átalakítása közönséges törtté

· Az aritmetikai műveletek törvényei

· Az oszthatóság jelei

Az objektumok számlálásakor vagy a hasonló objektumok sorszámának jelzésére használt számokat hívják természetes. Bármely természetes szám felírható tíz használatával számok: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A számoknak ezt a jelölését nevezzük decimális

Például: 24; 3711; 40125.

A természetes számok halmazát általában jelöljük N.

Két olyan számot hívunk, amelyek csak előjelben különböznek egymástól szemben számok.

Például, 7. és – 7.

A természetes számok, ellentéteik és a nulla szám alkotják a halmazt egész Z.

Például: – 37; 0; 2541.

Az űrlap száma, hol m – egész szám, n – természetes szám, úgynevezett közönséges töredéke. Vegye figyelembe, hogy bármely természetes szám ábrázolható törtként 1-es nevezővel.

Például: , .

Az egész számok és törtek (pozitív és negatív) halmazainak uniója halmazt alkot racionális számok. Általában jelölik K.

Például: ; – 17,55; .

Legyen adott a megadott tizedes tört. Értéke nem változik, ha tetszőleges számú nullát ad hozzá jobbra.

Például: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Az ilyen tizedesjegyet végtelen tizedesnek nevezzük.

Bármely közönséges tört ábrázolható végtelen tizedes törtként.

Egy számban a tizedesvessző után egymás után ismétlődő számjegyek csoportját hívják meg időszak, és egy végtelen tizedes törtet, amelynek a jelölésében ilyen periódus van, nevezzük időszakos. A rövidség kedvéért egy pontot egyszer szokás írni, zárójelbe téve.

Például: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

A végtelen tizedes nem periodikus törteket nevezzük irracionális számok.

A racionális és irracionális számok halmazainak uniója alkotja a halmazt érvényes számok. Általában jelölik R.

Például: ; 0,(23); 41,3574…

Szám irracionális.

Minden szám esetében három lépés műveletei vannak meghatározva:

· I. szakasz műveletei: összeadás és kivonás;

· II. szakasz akciói: szorzás és osztás;

· III. szakasz akciói: hatványozás és gyökérkivonás.

A számokból, számtani szimbólumokból és zárójelekből álló kifejezést nevezzük numerikus.

Például: ; .

A műveletek végrehajtása eredményeként kapott számot hívják a kifejezés értéke.

Numerikus kifejezés nincs értelme, ha nullával való osztást tartalmaz.

A kifejezés értékének megtalálásakor a III., a II. szakasz és az I. szakasz műveleteinek végén egymást követően hajtják végre. Ebben az esetben figyelembe kell venni a zárójelek elhelyezését a numerikus kifejezésben.

A numerikus kifejezés konvertálása abból áll, hogy a megfelelő szabályok (különböző nevezőjű közönséges törtek összeadásának, tizedesjegyek szorzásának szabálya stb.) segítségével szekvenciális aritmetikai műveleteket hajtunk végre a benne szereplő számokon. A numerikus kifejezések konvertálására szolgáló feladatok a tankönyvekben a következő megfogalmazásokban találhatók: „Numerikus kifejezés értékének megkeresése”, „Numerikus kifejezés egyszerűsítése”, „Számítás” stb.

Egyes numerikus kifejezések értékének megtalálásakor törtekkel kell műveleteket végrehajtani különböző típusok: közönséges, decimális, periodikus. Ebben az esetben szükség lehet egy közönséges tört tizedesjegyre konvertálására vagy az ellenkező művelet végrehajtására - cserélje ki a periodikus törtet egy közönséges törtre.

Megtéríteni tizedestől köztörtig, elég a tört számlálójába a tizedesvessző utáni számot beírni, a nevezőbe pedig egyet nullával, és annyi nulla legyen, ahány számjegy van a tizedesvesszőtől jobbra.

Például: ; .

Megtéríteni tört tizedesjegyig, el kell osztani a számlálóját a nevezőjével a tizedes tört egész számmal való osztásának szabálya szerint.

Például: ;

;

Megtéríteni periodikus törtből köztörtté, szükséges:

1) a második szakasz előtti számból vonja le az első szakasz előtti számot;

2) írja be ezt a különbséget számlálóként;

3) írja be a 9-es számot a nevezőbe annyiszor, ahány szám van a periódusban;

4) adjunk hozzá annyi nullát a nevezőhöz, ahány számjegy van a tizedesvessző és az első pont között.

Például: ; .

A valós számokra vonatkozó aritmetikai műveletek törvényei

1. Utazó(kommutatív) összeadás törvénye: a tagok átrendezése nem változtatja meg az összeg értékét:

2. Utazó(kommutatív) szorzás törvénye: a tényezők átrendezése nem változtatja meg a szorzat értékét:

3. Kötőszó(asszociatív) összeadás törvénye: az összeg értéke nem változik, ha a kifejezések bármely csoportját az összegükkel helyettesítjük:

4. Kötőszó A szorzás (asszociatív) törvénye: a szorzat értéke nem változik, ha bármely tényezőcsoportot felváltunk a szorzatával:

5. Elosztás Az összeadáshoz viszonyított szorzás (eloszlási) törvénye: ha egy összeget meg kell szorozni egy számmal, elegendő minden összeadást megszorozni ezzel a számmal, és összeadni a kapott szorzatokat:

A 6–10. tulajdonságokat 0 és 1 abszorpciós törvényeknek nevezzük.

Az oszthatóság jelei

Olyan tulajdonságokat hívunk meg, amelyek bizonyos esetekben osztás nélkül lehetővé teszik annak meghatározását, hogy egy szám osztható-e egy másikkal az oszthatóság jelei.

Tesztelje a 2-vel való oszthatóságot. Egy szám akkor és csak akkor osztható 2-vel, ha a szám számra végződik még szám. Vagyis 0, 2, 4, 6, 8.

Például: 12834; –2538; 39,42.

Tesztelje az oszthatóságot 3-mal. Egy szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Például: 2742; –17940.

Tesztelje a 4-gyel való oszthatóságot. A legalább három számjegyet tartalmazó szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha az adott szám utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám osztható 4-gyel.

Például: 15436; –372516.

5-tel oszthatósági teszt. Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.

Például: 754570; –4125.

9-cel oszthatósági teszt. Egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel.

Például: 846; –76455.

2010. október 18-19

Téma: "SZÁMÍTÁSI MŰVELETEK TÖRVÉNYEI"

Cél: bevezetni a tanulókat az aritmetikai műveletek törvényeibe.

Az óra céljai:

konkrét példák segítségével feltárja az összeadás és szorzás kommutatív és asszociatív törvényeit, tanítsa meg őket a kifejezések egyszerűsítésére;

fejlessze a kifejezések egyszerűsítésének képességét;

munka a gyermekek logikus gondolkodásának és beszédének fejlesztésén;

fejleszteni a függetlenséget, a kíváncsiságot és az érdeklődést a téma iránt.

UUD: a szimbolikus szimbólumokkal való cselekvés képessége,

a tárgyak összehasonlításának, összehasonlításának, értékelésének és osztályozásának alapjainak, kritériumainak megválasztásának képessége.

Felszerelés: tankönyv, TVET, bemutató

Rizs. 30 Fig. 31

A 30. ábra segítségével magyarázza el, miért igaz az egyenlet!

a + b = b + a.

Ez az egyenlőség az összeadás azon tulajdonságát fejezi ki, amelyet ismer. Próbálj meg emlékezni, melyik.

Teszteld magad:

A feltételek helyének megváltoztatása nem változtat az összegen

Ez az ingatlan kommutatív összeadás törvénye.

Milyen egyenlőség írható fel a 31. ábra szerint? Milyen összeadási tulajdonságot fejez ki ez az egyenlőség?

Teszteld magad.

A 31. ábrából az következik, hogy (a + b) + c = a + (b + c): Ha két tag összegéhez hozzáad egy harmadik tagot, akkor ugyanazt a számot kapja, mint ha a második és harmadik tag összegét hozzáadja az első taghoz.

Az (a + b) + c helyett ugyanúgy, mint a | a + (b + c) helyett egyszerűen írhat egy + b + c-t.

Ez az ingatlan összeadás kombinációs törvénye.

A matematikában az aritmetikai műveletek törvényeit a | verbális formában és egyenlőségek formájában betűkkel:

Magyarázza el, hogyan egyszerűsíthető a következő számítások az összeadás törvényeivel, és hajtsa végre azokat:

212. a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;

b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;

c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;

d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.

213. A 32. ábra segítségével magyarázza el, miért igaz az egyenlet! ab = b A.

Kitalálod, melyik törvény illusztrálja ezt az egyenlőséget? Lehet-e ezt mondani azért

A szorzásra ugyanazok a törvények érvényesek, mint az összeadásra? Próbáld meg megfogalmazni őket

majd teszteld magad:

A szorzás törvényei alapján számítsa ki szóban a következő kifejezések értékét:

214. a) 76 · 5 · 2; c) 69 · 125 · 8; e) 8 941 125;

B C

215. b) 465 · 25 · 4; d) 4 213 5 5; e) 2 5 126 4 25. Keresse meg a téglalap területét ABCD

216. (33. ábra) kétféleképpen.

A 34. ábra segítségével magyarázza meg, miért igaz az egyenlőség: a(b + c) = ab + ac.

Rizs. 34 Az aritmetikai műveletek milyen tulajdonságát fejezi ki? Teszteld magad. Ez az egyenlőség a következő tulajdonságot szemlélteti:

Ha egy számot megszoroz egy összeggel, akkor ezt a számot megszorozhatja minden taggal, és összeadhatja az eredményt. Ez a tulajdonság másképpen is megfogalmazható:

két vagy több azonos tényezőt tartalmazó szorzat összege helyettesíthető ennek a tényezőnek és a fennmaradó tényezők összegének szorzatával. Ez a tulajdonság az aritmetikai műveletek másik törvénye - elosztó

. Amint láthatja, ennek a törvénynek a verbális megfogalmazása nagyon nehézkes, és a matematikai nyelv az az eszköz, amely tömörvé és érthetővé teszi:

217. Gondolja át, hogyan végezze el a számításokat szóban a 217 – 220. számú feladatokban, és fejezze be azokat.

218. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.

219. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.

a) 43 16 + 43 84; e) 62 · 16 + 38 · 16;

b) 85 47 + 53 85; e) 85 · 44 + 44 · 15;

c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;

220. d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.

a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;

221. b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54. Készítsen rajzot a füzetébe az egyenlőség bizonyítására b A ( b - c) = a

222. - ász

223. Számítsa ki szóban az elosztási törvény segítségével: a) 6 · 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.

b) 45 · 40 – 40 · 25;

224 d) 63 7 – 7 33

Számítsd ki: a) 560 · 188 – 880 · 56; c) 490 730 – 73 900;

b) 84 670 – 640 67; d) 36 3400 – 360 140.

225. Számoljon szóban az Ön által ismert technikákkal:

a) 13 · 5 + 71 · 5; c) 87 · 5 – 23 · 5; e) 43 · 25 + 25 · 17;

226. b) 58 · 5 – 36 · 5; d) 48 · 5 + 54 · 5; e) 25 67 – 39 25.

Számítások elvégzése nélkül hasonlítsa össze a kifejezések jelentését:

a) 258 · (764 + 548) és 258 · 764 + 258 · 545;

227. c) 532 · (618 – 436) és 532 · 618 –532 · 436;

b) 751· (339 + 564) és 751·340 + 751·564;

228. d) 496 · (862 – 715) és 496 · 860 – 496 · 715.

229. Töltse ki a táblázatot:

Kellett-e számításokat végezni a második sor kitöltéséhez?

Hogyan fog megváltozni ez a termék, ha a tényezők a következők szerint módosulnak:

230. Írja fel, hogy mely természetes számok találhatók a koordinátasugáron:

a) a 7-es számtól balra;

231 c) a 2895 és 2901 számok között;

232 b) a 128 és 132 számok között; d) a 487-es számtól jobbra, de a 493-as számtól balra.

Szúrjon be cselekvésjeleket, hogy megkapja a helyes egyenlőséget: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15? 17 = 8;

b) 40? 15? 17 = 42;
d) 120? 60? 60 = 0.
.

Az egyik dobozban a zokni kék, a másikban fehér. Kék zokniból 20 párral több van, mint fehérből, összesen pedig 84 lárnyi zokni van két dobozban. Hány pár zokni minden színből?

.
Az üzletben háromféle gabonaféle van: hajdina, gyöngy árpa és rizs, összesen 580 kg. Ha 44 kg hajdinát, 18 kg árpát és 29 kg rizst adnának el, akkor minden típusú gabonafélék tömege azonos lenne. Az egyes gabonafélékből hány kilogramm kapható a boltban.
Cél: a képletek segítségével történő számításokhoz szükséges készségek fejlődésének ellenőrzése; ismertesse meg a gyerekekkel az aritmetikai műveletek kommutatív, asszociatív és disztributív törvényeit.
bevezetni az összeadás és szorzás törvényeinek alfabetikus jelölését; megtanítani az aritmetikai műveletek törvényeinek alkalmazását a számítások és a betűkifejezések egyszerűsítésére;
fejleszti a logikus gondolkodást, a szellemi munkakészséget, az akaraterős szokásokat, a matematikai beszédet, a memóriát, a figyelmet, a matematika iránti érdeklődést, gyakorlatiasságot;
ápolják az egymás iránti tiszteletet, a bajtársiasság érzését és a bizalmat.

Az óra típusa: kombinált.

a korábban megszerzett ismeretek tesztelése;

felkészíti a tanulókat az új anyagok elsajátítására
új anyag bemutatása;
a tanulók új anyagok észlelése és tudatossága;
4. Az ismeretszerzés elsődleges tesztje (tankönyvvel végzett munka).
5. Az ismeretek monitorozása, önellenőrzése (önálló munka).
6. A lecke összegzése.
7. Reflexió.

Az óra előrehaladása

1. Szervezeti mozzanat

Tanár: Jó napot gyerekek! Tanóránkat egy búcsúzó verssel kezdjük. Ügyeljen a képernyőre. (1 dia). 2. függelék .

Matek, barátok,
Abszolút mindenkinek szüksége van rá.
Dolgozz szorgalmasan az órán
És biztos, hogy siker vár rád!

2. Anyag ismétlése

Tekintsük át az általunk tárgyalt anyagot. Meghívom a diákot a képernyőhöz. Feladat: mutató segítségével kösd össze az írott képletet a nevével, és válaszolj arra a kérdésre, hogy mit találsz még ezzel a képlettel. (2 dia).

Nyissa ki a füzeteit, írja alá a számot, remek munka. Ügyeljen a képernyőre. (3 dia).

A következő dián szóban dolgozunk. (5 dia).

12 + 5 + 8 25 10 250 – 50
200 – 170 30 + 15 45: 3
15 + 30 45 – 17 28 25 4

Feladat: találd meg a kifejezések jelentését. (Egy diák dolgozik a képernyőnél.)

– Milyen érdekességeket vett észre a példák megoldása során? Milyen példákra kell különös figyelmet fordítani? (Gyermekek válaszai.)

Problémás helyzet

– Az összeadás és szorzás milyen tulajdonságait ismeri általános iskolából? Le tudod írni őket alfabetikus kifejezésekkel? (Gyermekek válaszai).

3. Új anyag elsajátítása

– És így, a mai óra témája az „Aritmetikai műveletek törvényei” (6 dia).
– Írd le a füzetedbe az óra témáját.
– Milyen újdonságokat kell tanulnunk az órán? (Az óra céljait a gyerekekkel közösen fogalmazzuk meg.)
- Nézzük a képernyőt. (7 dia).

Látod az összeadás törvényeit betűformában és példákban. (Példák elemzése).

– Következő dia (8 dia).

Nézzük a szorzás törvényeit.

– Most ismerkedjünk meg egy nagyon fontos elosztási törvénnyel (9 dia).

- Foglaljuk össze. (10 dia).

– Miért szükséges ismerni az aritmetikai műveletek törvényeit? Hasznosak lesznek-e a továbbtanulásban, milyen tantárgyak tanulmányozása során? (Gyermekek válaszai.)

- Írd le a törvényeket a füzetedbe.

4. Az anyag rögzítése

– Nyissa ki a tankönyvet, és szóban keresse meg a 212-es számot (a, b, d).

212. sz. (c, d, g, h) táblára írásban és füzetekben. (Vizsgálat).

– A 214. sz.-on dolgozunk szóban.

– A 215. számú feladatot hajtjuk végre. Milyen törvény alapján oldják meg ezt a számot? (Gyermekek válaszai).

5. Önálló munkavégzés

– Írja fel a választ a kártyára, és hasonlítsa össze eredményeit az asztalánál ülő szomszédjával. Most fordítsa figyelmét a képernyőre. (11 dia).(Önálló munka ellenőrzése).

6. Óra összefoglalója

– Figyelem a képernyőre. (12 dia). Fejezd be a mondatot.

Lecke osztályzatok.

7. Házi feladat

13. §, 227., 229. sz.

8. Reflexió

A nem negatív egész számok összeadásának megközelítése lehetővé teszi az összeadás jól ismert törvényeinek alátámasztását: kommutatív és kombinációs.

Először bizonyítsuk be a kommutatív törvényt, azaz bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a és b nemnegatív egész számokra érvényes az a + b = b + a egyenlőség.

Legyen a az A halmaz elemeinek száma, b a B halmaz elemeinek száma és A B=0. Ekkor a nemnegatív egész számok összegének definíciója szerint a + b az A és B halmazok uniójának elemeinek száma: a + b = n (A//B). De az A B halmaz egyenlő a B A halmazzal a halmazok uniójának kommutatív tulajdonsága szerint, és ezért n(AU B) = n(B U A). Az n(BiA) = b + a összeg definíciója szerint tehát a+b=b+a bármely a és b nemnegatív egész számra.

Most bizonyítsuk be a kombinációs törvényt, azaz bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c nemnegatív egész számokra teljesül az (a + b) + c = a + (b + c) egyenlőség.

Legyen a = n(A), b = n(B), c = n(C), és АУВ = 0, ВУС = 0. Ekkor két szám összegének definíciójával felírhatjuk (a+ b) + c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC).

Mivel a halmazok uniója megfelel a kombinációs törvénynek, akkor n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Ahonnan két szám összegének definíciója szerint n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Ezért (a+ b)+ c -- a+(b + c) bármely nemnegatív a, b és c egész számra.

Mi a célja az összeadás asszociatív törvényének? Elmagyarázza, hogyan találhatja meg három tag összegét: ehhez csak adja hozzá az első tagot a másodikhoz, és adja hozzá a harmadik tagot a kapott számhoz, vagy adja hozzá az első tagot a második és harmadik tag összegéhez. Vegye figyelembe, hogy a kombinációs törvény nem jelenti a feltételek átrendezését.

Az összeadás kommutatív és asszociatív törvénye is tetszőleges számú kifejezésre általánosítható. Ebben az esetben a kommutatív törvény azt fogja jelenteni, hogy az összeg nem változik a kifejezések átrendeződésével, az asszociatív törvény pedig azt, hogy az összeg nem változik a tagok semmilyen csoportosításával (anélkül, hogy megváltozna a sorrend).

Az összeadás kommutatív és asszociatív törvényeiből az következik, hogy több tag összege nem változik, ha bármilyen módon átrendezzük őket, és ha bármelyik csoportjukat zárójelbe tesszük.

Számítsuk ki az összeadás törvényei alapján a 109 + 36+ 191 +64 + 27 kifejezés értékét.

A kommutatív törvény alapján átrendezzük a 36-os és a 191-es tagokat. Ekkor 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Használjuk a kombinációs törvényt a kifejezések csoportosításával, majd keressük meg a zárójelben szereplő összegeket: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Alkalmazzuk ismét a kombinációs törvényt, zárójelben a 300 és 100 számok összegét: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.

Végezzük el a számításokat: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

Az általános iskolások az első tíz szám tanulmányozásakor ismerkednek meg az összeadás kommutatív tulajdonságával. Először egy egyjegyű összeadási táblázat létrehozására, majd különféle számítások ésszerűsítésére szolgál.

Az összeadás kombinációs törvényét a kezdeti matematika kurzus nem kifejezetten tanulmányozza, hanem folyamatosan alkalmazza. Így ez az alapja a számok részenkénti összeadásának technikájának: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Ezenkívül azokban az esetekben, amikor egy összeghez számot, számhoz összeget, összeghez összeget kell hozzáadni, az asszociatív törvényt a kommutatív törvénnyel kombinálva alkalmazzák. Például a 2+1 összeg hozzáadása a 4-hez a következő módokon javasolt:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Elemezzük ezeket a módszereket. Az 1. esetben a számításokat a megadott eljárás szerint végezzük. A 2. esetben az összeadás asszociatív tulajdonságát alkalmazzuk. Ez utóbbi esetben a számítások az összeadás kommutatív és asszociatív törvényein alapulnak, a közbenső transzformációkat mellőzzük. Ők ilyenek. Először a kommutatív törvény alapján felcseréltük az 1-es és a 2-es tagokat: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Ezután a kombinációs törvényt alkalmaztuk: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Végül pedig számításokat végeztünk a (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7 műveleti sorrend szerint.

A szám összegből való kivonásának és számból összegnek a kivonásának szabályai

Indokoljuk meg a szám összegből való kivonásának, a számból az összeg kivonásának ismert szabályait.

A szám összegből való kivonásának szabálya. Ahhoz, hogy egy számot kivonjunk egy összegből, elegendő ezt a számot kivonni az összeg egyik tagjából, és hozzáadni egy másik tagot a kapott eredményhez.

Írjuk fel ezt a szabályt a szimbólumok segítségével: Ha a, b, c nemnegatív egész számok, akkor:

a) a>c-re azt kapjuk, hogy (a+b) -- c = (a -- c)+b;

b) b>c-re azt kapjuk, hogy (a+b) -- c==a + (b -- c);

c) a>c és b>c esetén bármelyik képletet használhatja.

Legyen a >c, akkor létezik az a -c különbség. Jelöljük p-vel: a - c = p. Ezért a = p+c. Helyettesítse a p+-c összeget a helyett az (a+b) -- c kifejezésbe, és alakítsa át: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - c = p+b

De a p betű az a - c különbséget jelöli, ami azt jelenti, hogy van (a + b) - - c = (a - c) + b, amit bizonyítani kellett.

Ugyanez az érvelés más esetekben is érvényesül. Most adjuk meg ennek a szabálynak az illusztrációját („a” eset) Euler-körök segítségével. Vegyünk három véges A, B és C halmazt úgy, hogy n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c és AUB = 0, CUA. Ekkor (a+b) - c az (AUB)C halmaz elemeinek száma, az (a - c) + b pedig az (AC)UB halmaz elemeinek száma. Az Euler-körökön az (AUB)C halmazt az ábrán látható árnyékolt terület képviseli.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az (AC)UB halmazt pontosan ugyanaz a terület fogja képviselni. Tehát (AUB)C = (AC)UB az adatokhoz

Következésképpen n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b.

A „b” eset hasonlóan szemléltethető.

Az összeg számból való kivonásának szabálya. A számok összegének egy számból való kivonásához elegendő ebből a számból egyenként kivonni az egyes tagokat, azaz ha a, b, c nemnegatív egész szám, akkor a>b+c-re van a--( b+c ) = (a - b) - c.

Ennek a szabálynak az indoklása és halmazelméleti szemléltetése ugyanúgy történik, mint a szám összegből való kivonására vonatkozó szabály esetében.

A fenti szabályokat a elemi iskola konkrét példák segítségével vizuális képeket használunk az indoklásra. Ezek a szabályok lehetővé teszik a számítások ésszerű elvégzését. Például az összegnek egy számból való kivonásának szabálya a szám részenkénti kivonásának technikája alapja:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

A fenti szabályok értelme jól megmutatkozik számtani feladatok különféle módokon történő megoldása során. Például a probléma „Reggel 20 kis és 8 nagy halászhajó ment a tengerre. 6 hajó érkezett vissza. Hány halászhajónak kell még visszatérnie? háromféleképpen oldható meg:

/ mód. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// módon. 1. 20 -- 6 = 14 2. 14 + 8 = 22

III módszer. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Szorzási törvények

Bizonyítsuk be a szorzás törvényeit a szorzat definíciója alapján a halmazok derékszögű szorzatán keresztül.

1. Kommutatív törvény: bármely nemnegatív a és b egészre igaz az a*b = b*a egyenlőség.

Legyen a = n(A), b = n(B). Ekkor a szorzat definíciója szerint a*b = n(A*B). De az A*B és B*A halmazok egyformán erősek: az AXB halmaz minden párja (a, b) társítható egyetlen párhoz (b, a) a BxA halmazból, és fordítva. Ez azt jelenti, hogy n(AXB) = n(BxA), és ezért a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.

2. Kombinációs törvény: bármely nemnegatív a, b, c egészre igaz az (a* b) *c = a* (b*c) egyenlőség.

Legyen a = n(A), b = n(B), c = n(C). Ekkor az (a-b)-c = n((AXB)XQ szorzat definíciója szerint a-(b -c) = n (AX(BXQ). Az (AxB)XC és A X (BX Q) halmazok különböznek: az első alakpárokból áll ((a, b), c), a második pedig (a, (b, c)) alakú párokból, ahol aЈA, bЈB, cЈC, de az (AXB)XC halmazok és AX(BXC) egyenlőek, mivel létezik egy-egy halmaz leképezése a másikra, ezért n((AXB) *C) = n(A*(B*C)), és ezért (. a*b) *c = a* (b*c).

3. Az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvénye: bármely a, b, c nemnegatív egész számra igaz az (a + b) x c = ac+ be egyenlőség.

Legyen a - n (A), b = n (B), c = n (C) és AUB = 0. Ekkor egy szorzat definíciója szerint (a + b) x c = n ((AUB) * C. Ahonnan a (*) egyenlőség alapján n ((A UВ) * C) = n((A * C)U(B* C)), majd az n ( összeg és szorzat definíciójával) (A * C)U(B* C) ) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.

4. A szorzás eloszlási törvénye a kivonáshoz viszonyítva: bármely nemnegatív a, b és c és a^b egészre igaz az (a - b)c = = ac - bc egyenlőség.

Ez a törvény az (AB) *C = (A *C)(B*C) egyenlőségből származik, és az előzőhöz hasonlóan bizonyított.

A szorzás kommutatív és asszociatív törvényei számos tényezőre kiterjeszthetők. Az összeadáshoz hasonlóan ezeket a törvényeket gyakran együtt alkalmazzák, vagyis több tényező szorzata nem változik, ha bármilyen módon átrendezzük őket, és ha bármelyik csoportjukat zárójelbe tesszük.

Az elosztási törvények megteremtik a kapcsolatot a szorzás és az összeadás és kivonás között. Ezen törvények alapján az (a + b) c és (a - b) c kifejezésekben zárójeleket nyitunk, valamint a zárójelből kivesszük a faktort, ha a kifejezés ac - be ill.

A matematika kezdeti szakaszában a szorzás kommutatív tulajdonságát a következőképpen fogalmazzák meg: „A szorzat nem változik a tényezők átrendezésével” - és széles körben használják az egyjegyű számok szorzótáblájának összeállításánál. A kommutatív törvényt az általános iskolában kifejezetten nem veszik figyelembe, hanem a kommutatív törvénnyel együtt használják egy szám szorzattal való szorzásakor. Ez a következőképpen történik: a tanulókat megkérjük, hogy fontolják meg a 3* (5*2) kifejezés értékének meghatározásának különböző módjait, és hasonlítsák össze az eredményeket.

Az esetek a következők:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Közülük az első a cselekvések rendjének szabályán, a második a szorzás asszociatív törvényén, a harmadik a szorzás kommutatív és asszociatív törvényén alapul.

Az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvényét az iskolában konkrét példákon keresztül tárgyalják, és a szám összeggel és az összeg számmal való szorzásának szabályainak nevezik. E két szabály figyelembevételét módszertani megfontolások szabják meg.

Az összeg számmal és a számok szorzattal való osztásának szabályai

Ismerkedjünk meg a természetes számok osztásának néhány tulajdonságával. Ezeknek a szabályoknak a megválasztását a kezdő matematika kurzus tartalma határozza meg.

Az összeg számmal való osztásának szabálya. Ha a és b számok oszthatók c számmal, akkor a + b összegük osztható c-vel; az a + b összeg c számmal való osztásával kapott hányados egyenlő azoknak a hányadosoknak az összegével, amelyeket a c-vel és b-t c-vel osztunk, azaz.

(a + b): c = a: c + b: c.

Bizonyíték. Mivel a osztható c-vel, van olyan m = a:c természetes szám, amelyre a = c-m. Hasonlóképpen létezik egy n - b:c természetes szám, amelyre b = c-n. Ekkor a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Ebből következik, hogy a + b osztható c-vel, és az a + b c számmal való osztásával kapott hányados egyenlő m + n-nel, azaz a: c + b: c.

A bevált szabály halmazelméleti szempontból értelmezhető.

Legyen a = n(A), b = n(B), és AGV = 0. Ha az A és B halmazok mindegyike egyenlő részhalmazokra osztható, akkor ezeknek a halmazoknak az egyesítése ugyanazt a partíciót teszi lehetővé.

Továbbá, ha az A halmaz partíciójának minden részhalmaza a:c elemeket tartalmaz, és a B halmaz minden részhalmaza b:c elemeket tartalmaz, akkor az A[)B halmaz minden részhalmaza tartalmaz a:c+b:c elemeket. Ez azt jelenti, hogy (a + b): c = a: c + b: c.

A szám szorzattal való osztásának szabálya. Ha egy a természetes szám osztható b és c természetes számokkal, akkor ahhoz, hogy a-t elosztjuk b és c számok szorzatával, elegendő az a számot elosztani b (c)-vel, és a kapott hányadost elosztani c (b)-vel. : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Bizonyítás. Tegyük fel (a:b):c = x. Ekkor az a:b = c-x hányados definíciója szerint hasonlóképpen a - b-(cx). A szorzás asszociatív törvénye alapján a = (bc)-x. A kapott egyenlőség azt jelenti, hogy a:(bc) = x. Így a:(bc) = (a:b):c.

Egy szám két szám hányadosával való szorzásának szabálya. Egy szám megszorozásához két szám hányadosával elég ezt a számot megszorozni az osztóval, és a kapott szorzatot elosztani az osztóval, azaz.

a-(b:c) = (a-b):c.

A megfogalmazott szabályok alkalmazása lehetővé teszi a számítások egyszerűsítését.

Például a (720+ 600): 24 kifejezés értékének megtalálásához elegendő a 720 és 600 tagokat elosztani 24-gyel, és összeadni a kapott hányadosokat:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Az 1440:(12* 15) kifejezés értékét úgy kaphatjuk meg, hogy először elosztjuk 1440-et 12-vel, majd elosztjuk a kapott hányadost 15-ig:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Ezeket a szabályokat a kezdeti matematika kurzus tárgyalja konkrét példákon keresztül. Amikor először ismeri meg azt a szabályt, hogy a 6 + 4 összeget el kell osztani 2-vel, szemléltető anyagot használnak. A jövőben ezt a szabályt a számítások racionalizálására használják. A szám szorzattal való osztásának szabályát széles körben alkalmazzák a nullára végződő számok osztásakor.

A jövőben, amikor a számokkal vagy betűkkel ábrázolt számokon végzett műveleteket tanulmányozzuk (nem számít), számos következtetésben azokra a cselekvési törvényekre kell támaszkodnunk, amelyeket az aritmetika során vizsgáltunk. E törvények fontossága miatt a cselekvés alapvető törvényeinek nevezik őket.

Emlékeztessük őket.

1. Kommutatív összeadás törvénye.

Az összeg nem változik, ha megváltozik a feltételek sorrendje.

Ezt a törvényt már az 1. §-ban egyenlőség formájában írták le:

ahol a és tetszőleges számok.

Az aritmetikából tudjuk, hogy a kommutatív törvény tetszőleges számú tag összegére igaz.

2. Kombinációs összeadás törvénye.

Több tag összege nem változik, ha a szomszédos tagok bármely csoportját az összegükkel helyettesítjük.

Három kifejezés összegére a következőt kapjuk:

Például az összeget kétféleképpen lehet kiszámítani:

A kombinációs törvény tetszőleges számú kifejezésre érvényes.

Tehát négy tag összegében a szomszédos tagok tetszés szerint csoportosíthatók, és ezek a kifejezések helyettesíthetők az összegükkel:

Például ugyanazt a 16-os számot kapjuk, függetlenül attól, hogy hogyan csoportosítjuk a szomszédos kifejezéseket:

A kommutatív és asszociatív törvényeket gyakran használják fejben történő számításokban, a számokat úgy rendezik el, hogy könnyebben összeadják őket.

Cseréljük fel az utolsó két kifejezést, és kapjuk:

A számok ebben a sorrendben való összeadása sokkal egyszerűbbnek bizonyult.

Általában nem írják át a kifejezéseket új sorrendbe, hanem megmozgatják őket az elmében: miután gondolatban átrendezték a 67-et és az én-t, azonnal hozzáadják a 89-et és a 11-et, majd hozzáadják a 67-et.