Tegu funkcija duota. Kadangi x ir y yra nepriklausomi kintamieji, vienas iš jų gali keistis, o kitas išlaiko savo reikšmę. Suteikime nepriklausomam kintamajam x prieaugį, išlaikant y reikšmę nepakitusią. Tada z gaus prieaugį, kuris vadinamas daliniu z prieaugiu x atžvilgiu ir žymimas . Taigi,.

Panašiai gauname dalinį z prieaugį per y: .

Bendras funkcijos z prieaugis nustatomas pagal lygybę .

Jei yra riba, tada ji vadinama daline funkcijos išvestine taške kintamojo x atžvilgiu ir žymima vienu iš simbolių:

.

Dalinės išvestinės x atžvilgiu taške dažniausiai žymimos simboliais .

Dalinė išvestinė iš kintamojo y atžvilgiu apibrėžiama ir žymima panašiai:

Taigi, kelių (dviejų, trijų ar daugiau) kintamųjų funkcijos dalinė išvestinė apibrėžiama kaip vieno iš šių kintamųjų funkcijos išvestinė, su sąlyga, kad likusių nepriklausomų kintamųjų reikšmės yra pastovios. Todėl funkcijos dalinės išvestinės randamos naudojant vieno kintamojo funkcijos išvestinių apskaičiavimo formules ir taisykles (šiuo atveju x arba y atitinkamai laikomi pastovia reikšme).

Dalinės išvestinės yra vadinamos pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis. Jie gali būti laikomi funkcijomis. Šios funkcijos gali turėti dalines išvestines, kurios vadinamos antros eilės dalinėmis išvestinėmis. Jie apibrėžiami ir ženklinami taip:

; ;

; .

Dviejų kintamųjų funkcijos 1 ir 2 eilės skirtumai.

Suminis funkcijos diferencialas (2.5 formulė) vadinamas pirmos eilės diferencialu.

Bendro skirtumo apskaičiavimo formulė yra tokia:

(2.5) arba , kur,

funkcijos daliniai skirtumai.

Tegul funkcija turi ištisines antros eilės dalines išvestines. Antrosios eilės skirtumas nustatomas pagal formulę. Suraskime:

Iš čia: . Simboliškai parašyta taip:

.

NENUSTATYTAS INTEGRALAS.

Funkcijos antidarinys, neapibrėžtas integralas, savybės.

Iškviečiama funkcija F(x). antidarinis duotai funkcijai f(x), jei F"(x)=f(x) arba, kas yra tas pats, jei dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Jei funkcija f(x), apibrėžta kokiame nors baigtinio arba begalinio ilgio intervale (X), turi vieną antidarinį F(x), tai ji taip pat turi be galo daug antidarinių; visi jie yra reiškinyje F(x) + C, kur C yra savavališka konstanta.

Visų tam tikros funkcijos f(x) antidarinių aibė, apibrėžta tam tikrame intervale arba baigtinio arba begalinio ilgio atkarpoje, vadinama neapibrėžtas integralas iš funkcijos f(x) [arba iš reiškinio f(x)dx ] ir žymimas simboliu .

Jei F(x) yra vienas iš f(x) antidarinių, tai pagal antidarinės teoremą

, kur C yra savavališka konstanta.

Pagal antidarinės apibrėžimą F"(x)=f(x) ir todėl dF(x)=f(x) dx. (7.1) formulėje f(x) vadinama integrando funkcija, o f( x) dx vadinama integrandine išraiška.

Apibrėžimas 1.11 Tegu pateikta dviejų kintamųjų funkcija z=z(x,y), (x,y)D . Taškas M 0 (x 0 ;y 0 ) - vidinis zonos taškas D .

Jei į D yra tokia kaimynystė U.M. 0 taškų M 0 , kuri visiems taškams

tada taškas M 0 vadinamas vietiniu maksimaliu tašku. Ir pati prasmė z(M 0 ) - vietinis maksimumas.

O jei už visus taškus

tada taškas M 0 vadinamas lokaliniu minimaliu funkcijos tašku z(x,y) . Ir pati prasmė z(M 0 ) - vietinis minimumas.

Vietinis maksimumas ir lokalus minimumas vadinami lokaliniais funkcijos ekstremumais z(x,y) . Fig. 1.4 paaiškina vietinio maksimumo geometrinę reikšmę: M 0 - maksimalus taškas, nes paviršiuje z =z (x,y) atitinkamas taškas C 0 yra aukščiau už bet kurį gretimą tašką C (tai yra maksimumo vieta).

Atminkite, kad paprastai paviršiuje yra taškų (pvz., IN ), kurios yra aukščiau C 0 , bet šie taškai (pvz., IN ) nėra „gretimi“. C 0 .

Visų pirma, taškas IN atitinka globalaus maksimumo sąvoką:

Pasaulinis minimumas apibrėžiamas panašiai:

Pasaulinių maksimumų ir minimumų paieška bus aptarta 1.10 skyriuje.

1.3 teorema(būtinos sąlygos ekstremumui).

Tegu funkcija duota z =z (x,y), (x,y)D . Taškas M 0 (x 0 ;y 0 D - vietinis ekstremumo taškas.

Jei šiuo metu yra z" x Ir z" y , Tai

Geometrinis įrodymas yra „akivaizdus“. Jei taške C 0 nubrėžkite liestinę plokštumą (1.4 pav.), tada ji „natūraliai“ praeis horizontaliai, t.y. 0° prie ašies Oi ir į ašį OU .

Tada pagal geometrinę dalinių išvestinių reikšmę (1.3 pav.):

ką reikėjo įrodyti.

Apibrėžimas 1.12.

Jei taške M 0 tenkinamos sąlygos (1.41), tada jis vadinamas stacionariu funkcijos tašku z(x,y) .

1.4 teorema(pakankamos sąlygos ekstremumui).

Tegul tai duota z =z (x,y), (x,y)D , kuris turi antros eilės dalines išvestines kai kuriose taško apylinkėse M 0 (x 0 ,y 0 )D . Be to M 0 - stacionarus taškas (t. y. tenkinamos būtinos sąlygos (1.41). Paskaičiuokime:

Teoremos įrodyme naudojamos temos (Tayloro formulė kelių kintamųjų funkcijoms ir kvadratinių formų teorija), kurios nėra aptariamos šioje pamokoje.

1.13 pavyzdys.

Ištirkite iki kraštutinumo:

Sprendimas

1. Raskite stacionarius taškus spręsdami sistemą (1.41):

tai yra randami keturi stacionarūs taškai. 2.

pagal 1.4 teoremą taške yra minimumas. Be to

pagal 1.4 teoremą taške

Maksimalus. Be to

Kelių kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės yra tų pačių kintamųjų funkcijos. Šios funkcijos savo ruožtu gali turėti dalines išvestines, kurias vadinsime pradinės funkcijos antrosiomis dalinėmis išvestinėmis (arba antros eilės dalinėmis išvestinėmis).

Pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcija turi keturias antros eilės dalines išvestines, kurios apibrėžiamos ir žymimos taip:

Trijų kintamųjų funkcija turi devynias antros eilės dalines išvestines:

Kelių kintamųjų funkcijos trečios ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės apibrėžiamos ir žymimos panašiai: kelių kintamųjų funkcijos eilės dalinė išvestinė yra tos pačios eilės dalinės išvestinės pirmosios eilės dalinė išvestinė. funkcija.

Pavyzdžiui, funkcijos trečios eilės dalinė išvestinė yra pirmos eilės dalinė išvestinė antros eilės dalinės išvestinės y atžvilgiu.

Antros ar aukštesnės eilės dalinė išvestinė, paimta kelių skirtingų kintamųjų atžvilgiu, vadinama mišria daline išvestine.

Pavyzdžiui, dalinės išvestinės

yra dviejų kintamųjų funkcijos mišrios dalinės išvestinės.

Pavyzdys. Raskite mišrius antros eilės dalinius funkcijos išvestinius

Sprendimas. Pirmos eilės dalinių išvestinių radimas

Tada randame mišrius antros eilės dalinius išvestinius

Matome, kad mišrios dalinės išvestinės, kurios viena nuo kitos skiriasi tik diferenciacijos tvarka, t.y. seka, kuria diferencijuojama įvairių kintamųjų atžvilgiu, pasirodė identiškai vienodos. Šis rezultatas nėra atsitiktinis. Dėl mišrių dalinių išvestinių galioja ši teorema, kurią priimame be įrodymų.

Bendras trijų kintamųjų funkcijos antros eilės dalinių išvestinių radimo principas yra panašus į dviejų kintamųjų funkcijos antros eilės dalinių išvestinių radimo principą.

Norėdami rasti antros eilės dalinius išvestinius, pirmiausia turite rasti pirmosios eilės dalinius išvestinius arba kitu žymėjimu:

Yra devyni antros eilės daliniai dariniai.

Pirmoji grupė yra antroji tų pačių kintamųjų išvestinės:

Arba – antroji išvestinė „x“ atžvilgiu;

Arba – antroji išvestinė „Y“ atžvilgiu;

Arba – antrasis vedinys „zet“ atžvilgiu.

Antroji grupė yra sumaišytas 2 eilės dalinės išvestinės, jų yra šešios:

Arba - sumaišytas vedinys „by x igrek“;

Arba - sumaišytas išvestinė „žaidimu x“;

Arba - sumaišytas išvestinė „x z atžvilgiu“;

Arba - sumaišytas išvestinė „pagal zt x“;

Arba - sumaišytas vedinys „igrek z atžvilgiu“;

Arba - sumaišytas vedinys "by zt igrek".

Kaip ir dviejų kintamųjų funkcijos atveju, spręsdami problemas, galite sutelkti dėmesį į šias antros eilės mišrių išvestinių lygybes:

Pastaba: griežtai kalbant, tai ne visada. Kad mišrios išvestinės priemonės būtų vienodos, turi būti laikomasi jų tęstinumo reikalavimo.

Tik tuo atveju, čia yra keli pavyzdžiai, kaip teisingai perskaityti šią gėdą garsiai:

- „du smūgiai turi du kartus per žaidimą“;

– „de two y by de z square“;

– „X ir Z yra du brūkšniai“;

- „de two y po de zet po de igrek“.

10 pavyzdys

Raskite visas pirmosios ir antrosios eilės dalines išvestines trijų kintamųjų funkcijai:

.

Sprendimas: Pirmiausia suraskime pirmos eilės dalinius išvestinius:

Imame rastą darinį

ir atskirkite jį „Y“:

Imame rastą darinį

ir atskirkite jį „x“:

Lygybė įvykdyta. gerai.

Panagrinėkime antrąją mišrių darinių pora.

Imame rastą darinį

ir atskirkite jį „z“:

Imame rastą darinį

ir atskirkite jį „x“:

Lygybė įvykdyta. gerai.

Su trečiąja mišrių darinių pora elgiamės panašiai:

Lygybė įvykdyta. gerai.

Atlikę darbą galime garantuoti, kad, pirma, teisingai radome visas 1 eilės dalines išvestines, antra, teisingai radome ir mišrius 2 eilės dalinius išvestinius.

Čia belieka rasti dar tris dalinius antros eilės išvestinius, kad būtų išvengta klaidų, kiek įmanoma sutelkti dėmesį:

Paruošta. Pasikartosiu, užduotis ne tiek sunki, kiek didelė. Sprendimas gali būti sutrumpintas ir nurodomas mišrių dalinių išvestinių lygybėmis, tačiau šiuo atveju patikrinimo nebus. Todėl geriau skirti laiko ir susirasti Visi išvestinių (be to, mokytojas gali to reikalauti), arba, kraštutiniu atveju, patikrinti juodraštį.

11 pavyzdys

Raskite visas trijų kintamųjų funkcijos pirmos ir antros eilės dalines išvestis

.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:Sprendimas:

4 pavyzdys:Sprendimas: Susiraskime privatų pirmos eilės dariniai.

Sukurkime pirmosios eilės pilną skirtumą:

6 pavyzdys:Sprendimas: M(1, -1, 0):

7 pavyzdys:Sprendimas: Apskaičiuokime pirmosios eilės dalines išvestines taškeM(1, 1, 1):

9 pavyzdys:Sprendimas:

11 pavyzdys:Sprendimas: Raskime pirmos eilės dalinius išvestinius:

Raskime antros eilės dalinius išvestinius:

.

Integralai

8.1. Neapibrėžtas integralas. Detalūs pavyzdžių sprendimai

Pradėkime studijuoti temą " Neapibrėžtas integralas", taip pat išsamiai išanalizuosime paprasčiausių (ir ne tokių paprastų) integralų sprendimų pavyzdžius. Kaip įprasta, apsiribosime teorijos minimumu, kuris yra daugelyje vadovėlių, išmokti spręsti integralus.

Ką reikia žinoti norint sėkmingai įsisavinti medžiagą? Norint susidoroti su integraliniu skaičiavimu, reikia mokėti rasti išvestines išvestines mažiausiai, vidutiniame lygyje. Nebus patirties švaistymas, jei po diržu turėsite kelias dešimtis, o dar geriau – šimtus savarankiškai rastų darinių. Bent jau neturėtumėte suklaidinti užduočių, skirtų atskirti paprasčiausias ir dažniausiai pasitaikančias funkcijas.

Atrodytų, ką bendro turi išvestinės, jei straipsnis apie integralus?! Štai toks dalykas. Faktas yra tas, kad išvestinių ir neapibrėžtų integralų radimas (diferencijavimas ir integravimas) yra du tarpusavyje atvirkštiniai veiksmai, tokie kaip sudėjimas / atėmimas arba daugyba / padalijimas. Taigi, be įgūdžių ir patirties ieškant išvestinių priemonių, deja, jūs negalite judėti į priekį.

Šiuo atžvilgiu mums reikės šios mokymo medžiagos: Išvestinių priemonių lentelė Ir Integralų lentelė.

Kuo sunku mokytis neapibrėžtųjų integralų? Jei išvestiniuose yra griežtai 5 diferenciacijos taisyklės, išvestinių lentelė ir gana aiškus veiksmų algoritmas, tai integraluose viskas kitaip. Yra dešimtys integravimo metodų ir metodų. Ir jei iš pradžių buvo pasirinktas neteisingas integravimo būdas (t. y. nežinai, kaip išspręsti), tuomet integralą galite „kalti“ tiesiogine to žodžio prasme ištisas dienas, kaip tikrą galvosūkį, bandydami pastebėti įvairias technikas ir gudrybes. Kai kuriems žmonėms tai net patinka.

Beje, gana dažnai iš studentų (ne humanitarinių mokslų specialybės) išgirsdavome tokią nuomonę: „Niekada nesidomėjau spręsti ribą ar išvestinę, bet integralai yra visai kitas reikalas, tai žavu, visada yra noras „nulaužti“ sudėtingą integralą. Sustabdyti. Užteks juodojo humoro, pereikime prie šių labai neapibrėžtų integralų.

Kadangi yra daug būdų tai išspręsti, tai kur arbatinukas turėtų pradėti studijuoti neapibrėžtus integralus? Integraliniame skaičiavime, mūsų nuomone, yra trys stulpai arba savotiška „ašis“, aplink kurią sukasi visa kita. Visų pirma, jūs turėtumėte gerai suprasti paprasčiausius integralus (šis straipsnis).

Tada jums reikia išsamiai išnagrinėti pamoką. TAI SVARBIAUSIA TECHNIKA! Galbūt net pats svarbiausias straipsnis iš visų straipsnių apie integralus. Ir trečia, būtinai turėtumėte perskaityti integravimas dalių metodu, nes jame integruota plati funkcijų klasė. Jei įvaldysite bent šias tris pamokas, tada nebeturėsite dviejų. Jums gali būti atleista, kad nežinote integralai trigonometrinės funkcijos , trupmenų integralai, integralai trupmeninės racionalios funkcijos , neracionalių funkcijų integralai (šaknys), bet jei „pakliūsite į bėdą“ dėl pakeitimo metodo ar integravimo dalimis metodo, tai bus labai labai blogai.

Taigi, pradėkime nuo paprasto. Pažiūrėkime į integralų lentelę. Kaip ir išvestinėse, pastebime keletą integravimo taisyklių ir kai kurių integralų lentelę elementarios funkcijos. Bet kuris lentelės integralas (ir iš tikrųjų bet koks neapibrėžtas integralas) turi tokią formą:

Iš karto suprasime užrašus ir terminus:

– integruota piktograma.

– integrando funkcija (rašoma raide „s“).

– diferencialo piktograma. Pažiūrėsime, kas tai yra labai greitai. Svarbiausia, kad rašant integralą ir sprendimo metu svarbu neprarasti šios piktogramos. Bus pastebimas trūkumas.

– integralo išraiška arba „užpildymas“.

– antidarinis funkcija.

– . Nereikia labai apsikrauti terminais, svarbiausia yra tai, kad bet kuriame neapibrėžtas integralas prie atsakymo pridedama konstanta.

Išspręsti neapibrėžtą integralą reiškia rastidaug primityvių funkcijų iš duoto integrando

Dar kartą pažiūrėkime į įrašą:

Pažiūrėkime į integralų lentelę.

Kas vyksta? Turime kairiąsias dalis pavirstiį kitas funkcijas: .

Supaprastinkime savo apibrėžimą:

Išspręskite neapibrėžtą integralą - tai reiškia PAKEISTI ją į neapibrėžtą (iki pastovios) funkciją , naudojant tam tikras taisykles, metodus ir lentelę.

Paimkite, pavyzdžiui, lentelės integralą . Kas nutiko? Simbolinis žymėjimas išsivystė į daugybę primityvių funkcijų.

Kaip ir išvestinių atveju, norint išmokti rasti integralus, nebūtina žinoti, kas teoriniu požiūriu yra integralas arba antiderivinė funkcija. Pakanka tiesiog atlikti transformacijas pagal tam tikras formalias taisykles. Taigi, tuo atveju Visai nebūtina suprasti, kodėl integralas virsta . Šią ir kitas formules galite laikyti savaime suprantamu dalyku. Visi naudojasi elektra, tačiau mažai kas galvoja apie tai, kaip elektronai keliauja laidais.

Kadangi diferencijavimas ir integravimas yra priešingos operacijos, bet kuriai teisingai rastai antiderivatinei galioja:

Kitaip tariant, jei išskiriate teisingą atsakymą, turite gauti pradinę integrando funkciją.

Grįžkime prie to paties lentelės integralo .

Patikrinkime šios formulės pagrįstumą. Imame dešinės pusės išvestinę:

yra pradinė integrando funkcija.

Beje, tapo aiškiau, kodėl funkcijai visada priskiriama konstanta. Diferencijuojant konstanta visada virsta nuliu.

Išspręskite neapibrėžtą integralą- tai reiškia surasti krūva Visi antidariniai, o ne tik viena funkcija. Nagrinėjamame lentelės pavyzdyje , , , ir tt – visos šios funkcijos yra integralo sprendiniai. Sprendimų yra be galo daug, todėl trumpai užrašome:

Taigi bet kurį neapibrėžtą integralą yra gana lengva patikrinti. Tai tam tikra kompensacija už daugybę skirtingų tipų integralų.

Pereikime prie konkrečių pavyzdžių. Pradėkime, kaip ir tirdami išvestinę, nuo dviejų integravimo taisyklių:

– pastovus C galima (ir reikia) išimti iš integralo ženklo.

– dviejų funkcijų sumos (skirtumo) integralas yra lygus dviejų integralų sumai (skirtumui). Ši taisyklė galioja bet kokiam terminų skaičiui.

Kaip matote, taisyklės iš esmės yra tokios pačios kaip ir išvestinėms priemonėms. Kartais jie vadinami tiesiškumo savybės integralas.

1 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Patogiau jį konvertuoti kaip.

(1) Taikykite taisyklę . Pamiršome užsirašyti diferencialo piktogramą dx po kiekvienu integralu. Kodėl po kiekvienu? dx– tai visavertis daugiklis. Jei apibūdinsime jį išsamiai, pirmasis žingsnis turėtų būti parašytas taip:

.

(2) Pagal taisyklę visas konstantas perkeliame už integralų ženklų. Atkreipkite dėmesį, kad praėjusią kadenciją tg 5 yra konstanta, mes taip pat išimame.

Be to, šiame žingsnyje mes paruošiame šaknis ir galias integracijai. Taip pat kaip ir diferencijuojant, šaknys turi būti pavaizduotos formoje . Perkelkite šaknis ir galias, esančias vardiklyje, aukštyn.

Pastaba: Skirtingai nuo vedinių, integralų šaknys ne visada turi būti redukuojamos į formą , ir perkelkite laipsnius aukštyn.

Pavyzdžiui, - tai paruoštas lentelės integralas, kuris jau buvo apskaičiuotas prieš jus, ir visokios kiniškos gudrybės, pvz. visiškai nereikalingas. Taip pat: – tai taip pat yra lentelės integralas, formoje atvaizduoti trupmeną nėra prasmės . Atidžiai išstudijuokite lentelę!

(3) Visi mūsų integralai yra lentelės formos. Transformaciją atliekame naudodami lentelę naudodami formules: , Ir

galios funkcijai - .

Reikėtų pažymėti, kad lentelės integralas yra specialus galios funkcijos formulės atvejis: .

Pastovus C posakio pabaigoje užtenka pridėti vieną kartą

(o ne dedant juos po kiekvieno integralo).

(4) Gautą rezultatą rašome kompaktiškesne forma, kai visos laipsniai yra formos

vėl pateikiame juos šaknų pavidalu, o laipsnius su neigiamu rodikliu iš naujo nustatome į vardiklį.

Apžiūra. Norėdami atlikti patikrinimą, turite diferencijuoti gautą atsakymą:

Gavo originalą integrandas, ty integralas buvo rastas teisingai. Nuo ko jie šoko, prie to ir sugrįžo. Gerai, kai istorija su integralu taip baigiasi.

Kartais yra šiek tiek kitoks požiūris į neapibrėžto integralo patikrinimą, kai iš atsakymo paimama ne išvestinė, o diferencialas:

.

Dėl to gauname ne integrando funkciją, o integrando išraišką.

Nebijokite diferencialo sąvokos.

Skirtumas yra išvestinė, padauginta iš dx.

Tačiau mums svarbios ne teorinės subtilybės, o tai, ką su šiuo diferencialu daryti toliau. Skirtumas atskleidžiamas taip: piktograma d pašaliname jį, dešinėje virš skliausto dedame pirminį skaičių, išraiškos pabaigoje pridedame koeficientą dx :

Gautas originalas integrandas, tai yra integralas buvo rastas teisingai.

Kaip matote, skirtumas priklauso nuo išvestinės išvestinės paieškos. Antrasis tikrinimo būdas man patinka mažiau, nes turiu papildomai piešti didelius skliaustus ir vilkti diferencialo piktogramą dx iki patikrinimo pabaigos. Nors tai teisingiau, ar „gerbmingiau“ ar pan.

Tiesą sakant, apie antrąjį patikrinimo būdą buvo galima tylėti. Esmė ne metode, o tame, kad išmokome atidaryti diferencialą. Vėlgi.

Skirtumas atskleidžiamas taip:

1) piktogramą d pašalinti;

2) dešinėje virš skliausto dedame brūkšnį (vedinio žymėjimas);

3) išraiškos pabaigoje priskiriame koeficientą dx .

Pavyzdžiui:

Prisimink tai. Šios technikos mums prireiks labai greitai.

2 pavyzdys

.

Kai randame neapibrėžtą integralą, mes VISADA bandome patikrinti Be to, tam yra puiki galimybė. Šiuo požiūriu ne visų tipų uždaviniai aukštojoje matematikoje yra dovana. Nesvarbu, kad atliekant kontrolines užduotis tikrinti dažnai niekas ir niekas netrukdo to daryti juodraštyje. Išimtis gali būti daroma tik tada, kai nėra pakankamai laiko (pavyzdžiui, per kontrolinį darbą ar egzaminą). Asmeniškai aš visada tikrinu integralus, o patikrinimo nebuvimą laikau įsilaužimu ir prastai atlikta užduotimi.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Analizuodami integralą, matome, kad pagal integralą turime dviejų funkcijų sandaugą ir net visos išraiškos eksponenciją. Deja, integralios kovos lauke Nr geras ir patogus sandaugos ir koeficiento integravimo formulės kaip: arba .

Todėl, kai pateikiama sandauga arba koeficientas, visada prasminga pažiūrėti, ar įmanoma integrandą paversti suma? Nagrinėjamas pavyzdys yra atvejis, kai tai įmanoma.

Pirmiausia pateiksime visą sprendimą, komentarai bus pateikti žemiau.

(1) Mes naudojame seną gerą sumos kvadrato formulę bet kuriai realūs skaičiai, atsikratyti laipsnio virš bendro skliausto. už skliaustų ir taikant sutrumpintą daugybos formulę priešinga kryptimi: .

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas ir visas sprendimas yra pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

. Atlikite patikrinimą.

Šiame pavyzdyje integrandas yra trupmena. Kai integrande matome trupmeną, pirma mintis turėtų būti klausimas: „Ar įmanoma kaip nors atsikratyti šios trupmenos ar bent ją supaprastinti?

Pastebime, kad vardiklyje yra vieniša „X“ šaknis. Vienas lauke nėra karys, o tai reiškia, kad galime padalyti skaitiklį iš vardiklio termino pagal terminą:

Veiksmų su trupmeninėmis galiomis nekomentuojame, nes jie ne kartą buvo aptarti straipsniuose apie funkcijos išvestinę.

Jei jus vis dar glumina toks pavyzdys kaip

ir jokiu būdu nepasirodo teisingas atsakymas,

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad sprendimui trūksta vieno žingsnio, ty taisyklių taikymo , . Paprastai, turint tam tikrą integralų sprendimo patirtį, šios taisyklės laikomos akivaizdžiu faktu ir nėra išsamiai aprašytos.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas ir visas sprendimas yra pamokos pabaigoje.

Apskritai, su trupmenomis integraluose, ne viskas yra taip paprasta, straipsnyje galima rasti papildomos medžiagos apie kai kurių tipų trupmenų integravimą: Kai kurių trupmenų integravimas. Tačiau prieš pereinant prie aukščiau pateikto straipsnio, turite susipažinti su pamoka: Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Esmė ta, kad funkcijos įtraukimas į diferencialinį arba kintamąjį pakeitimo metodą yra Pagrindinė mintis nagrinėjant temą, nes ji randama ne tik „grynose pakeitimo metodo užduotyse“, bet ir daugelyje kitų integralų tipų.

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas:

4 pavyzdys: Sprendimas:

Šiame pavyzdyje naudojome sutrumpintą daugybos formulę

6 pavyzdys: Sprendimas:

Neriboto integralo kintamojo keitimo būdas. Sprendimų pavyzdžiai

Šioje pamokoje susipažinsime su viena iš svarbiausių ir dažniausiai naudojamų technikų sprendžiant neapibrėžtuosius integralus – kintamųjų keitimo metodu. Norint sėkmingai įsisavinti medžiagą, reikalingos pradinės žinios ir integravimosi įgūdžiai. Jei integraliniame skaičiavime jaučiate tuščią, pilną virdulį, pirmiausia turėtumėte susipažinti su medžiaga Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai, kur prieinama forma paaiškinama, kas yra integralas, ir išsamiai išanalizuoti pagrindiniai pavyzdžiai pradedantiesiems.

Techniškai kintamojo keitimo neapibrėžtame integre metodas įgyvendinamas dviem būdais:

– Funkcijos įtraukimas po diferencialiniu ženklu.

– Iš tikrųjų keičiant kintamąjį.

Iš esmės tai yra tas pats dalykas, tačiau sprendimo dizainas atrodo kitaip. Pradėkime nuo paprastesnio atvejo.

Tegu pateikta dviejų kintamųjų funkcija. Padidinkime argumentą ir palikime argumentą nepakeistą. Tada funkcija gaus prieaugį, kuris vadinamas daliniu kintamojo prieaugiu ir žymimas:

Panašiai, fiksuodami argumentą ir suteikdami argumento prieaugį, gauname dalinį funkcijos padidėjimą kintamuoju:

Dydis vadinamas bendru funkcijos prieaugiu taške.

4 apibrėžimas. Dviejų kintamųjų funkcijos dalinė išvestinė vieno iš šių kintamųjų atžvilgiu yra atitinkamo funkcijos dalinio prieaugio santykio su duoto kintamojo prieaugio riba, kai pastarasis linkęs į nulį (jei ši riba egzistuoja). Dalinė išvestinė žymima taip: arba, arba.

Taigi pagal apibrėžimą turime:

Dalinės funkcijų išvestinės apskaičiuojamos pagal tas pačias taisykles ir formules kaip vieno kintamojo funkcija, atsižvelgiant į tai, kad diferencijuojant kintamojo atžvilgiu jis laikomas pastoviu, o diferencijuojant kintamojo atžvilgiu – pastoviu. .

3 pavyzdys. Raskite funkcijų dalines išvestines:

Sprendimas. a) Norėdami rasti, mes laikome ją pastovia verte ir diferencijuojame kaip vieno kintamojo funkciją:

Panašiai, darydami prielaidą, kad vertė yra pastovi, randame:

Apibrėžimas 5. Suminis funkcijos diferencialas yra šios funkcijos dalinių išvestinių sandaugų ir atitinkamų nepriklausomų kintamųjų prieaugių suma, t.y.

Atsižvelgiant į tai, kad nepriklausomų kintamųjų skirtumai sutampa su jų prieaugiais, t.y. , viso skirtumo formulė gali būti parašyta kaip

4 pavyzdys. Raskite visą funkcijos skirtumą.

Sprendimas. Kadangi naudodamiesi bendrojo skirtumo formule randame

Aukštesnės eilės dalinės išvestinės priemonės

Dalinės išvestinės yra vadinamos pirmos eilės dalinėmis išvestinėmis arba pirmosiomis dalinėmis išvestinėmis.

Apibrėžimas 6. Funkcijos antros eilės dalinės išvestinės yra pirmosios eilės dalinių išvestinių dalinės išvestinės.

Yra keturi antros eilės daliniai dariniai. Jie žymimi taip:

3, 4 ir aukštesnės eilės dalinės išvestinės apibrėžiamos panašiai. Pavyzdžiui, funkcijai, kurią turime:

Antros ar aukštesnės eilės dalinės išvestinės, paimtos skirtingų kintamųjų atžvilgiu, vadinamos mišriomis dalinėmis išvestinėmis. Funkcijos atveju tai yra išvestinės. Atkreipkite dėmesį, kad tuo atveju, kai mišrios išvestinės yra ištisinės, galioja lygybė.

5 pavyzdys. Raskite funkcijos antros eilės dalines išvestines

Sprendimas. Šios funkcijos pirmosios eilės dalinės išvestinės yra 3 pavyzdyje:

Diferencijuodami kintamųjų x ir y atžvilgiu, gauname