Geometrinės tikimybės. Geometrinis tikimybės apibrėžimas. Problemos su sprendimais Geometrinis tikimybės apibrėžimas

Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra atsitiktinio įvykio samprata. Atsitiktinis įvykis paprastai vadinamas įvykiu, kuris gali įvykti arba neįvykti, jei tenkinamos tam tikros sąlygos. Pavyzdžiui, pataikymas į tam tikrą objektą arba dingimas šaudant į šį objektą iš nurodyto ginklo yra atsitiktinis įvykis.

Įvykis paprastai vadinamas patikimu, jei jis neabejotinai įvyksta atlikus testą. Įprasta įvykį vadinti neįmanomu, jei jis negali įvykti dėl bandymo.

Sakoma, kad atsitiktiniai įvykiai tam tikrame bandyme yra nenuoseklūs, jei negali įvykti du iš jų kartu.

Atsitiktiniai įvykiai sudaro pilną grupę, jei kiekvieno bandymo metu gali atsirasti bet kuris iš jų ir negali atsirasti joks kitas su jais nesuderinamas įvykis.

Panagrinėkime visą vienodai galimų nesuderinamų atsitiktinių įvykių grupę. Tokius įvykius vadinsime rezultatais. Rezultatas paprastai vadinamas palankiu įvykiui A, jei dėl šio įvykio įvyksta įvykis A.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas

Įsivaizduokite atsitiktinį testą kaip taško metimą atsitiktinai į kokią nors geometrinę sritį G (tiesioje linijoje, plokštumoje arba erdvėje). Elementarieji rezultatai yra atskiri G taškai, bet koks įvykis yra šios srities poaibis, elementariųjų G rezultatų erdvė. Galime daryti prielaidą, kad visi G taškai yra „lygūs“, o tada tikimybė, kad taškas pateks į ne poaibį. yra proporcingas jo matui (ilgiui, plotui, tūriui) ir nepriklauso nuo jo vietos ir formos.

Geometrinė tikimybėįvykis A nustatomas pagal ryšį: , kur m(G), m(A) yra visos elementariųjų baigčių ir įvykio A erdvės geometriniai matai (ilgiai, plotai arba tūriai).

Pavyzdys. R () spindulio apskritimas atsitiktinai išmestas į plokštumą, pavaizduotą lygiagrečiomis 2d pločio juostelėmis, kurių atstumas tarp vidurio linijų lygus 2D. Raskite tikimybę, kad apskritimas susikirs su tam tikra juosta.

Sprendimas. Kaip elementarų šio testo rezultatą apsvarstysime atstumą x nuo apskritimo centro iki artimiausios apskritimo juostos vidurio linijos. Tada visa elementariųjų rezultatų erdvė yra segmentas. Apskritimo susikirtimas su juostele įvyks, jei jo centras pateks į juostą, ᴛ.ᴇ. , arba bus nuo juostos krašto mažesniu atstumu nei spindulys, ᴛ.ᴇ. .

Norimą tikimybę gauname: .

5. Santykinis įvykio dažnis yra bandymų, kurių metu įvykis įvyko, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, santykinis dažnis A nustatomas pagal formulę:

(2)čia m – įvykio atvejų skaičius, n – bendras bandymų skaičius. Palyginus tikimybės apibrėžimą ir santykinį dažnį, darome išvadą: tikimybės apibrėžimas nereikalauja, kad bandymai būtų atliekami tikrovėje; nustatant santykinį dažnį daroma prielaida, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti. Kitaip tariant, tikimybė apskaičiuojama prieš eksperimentą, o santykinis dažnis – po eksperimento.

2 pavyzdys. Iš 80 atsitiktinai atrinktų darbuotojų 3 žmonės turi rimtų širdies sutrikimų. Santykinis žmonių, sergančių širdies ligomis, dažnis

Santykinis dažnis arba jam artimas skaičius laikomas statine tikimybe.

APIBRĖŽIMAS (statistiniu tikimybės apibrėžimu). Skaičius, į kurį linksta stabilus santykinis dažnis, paprastai vadinamas statistine šio įvykio tikimybe.

6. Suma A + B du įvykiai A ir B įvardija įvykį, kurį sudaro įvykis A arba įvykis B, arba abu šie įvykiai. Pavyzdžiui, jei iš ginklo paleidžiami du šūviai ir A yra pataikymas į pirmąjį šūvį, B yra pataikymas į antrą šūvį, tada A + B yra pataikymas į pirmąjį šūvį, antrąjį, arba į abu šūviai .

Visų pirma, jei du įvykiai A ir B yra nesuderinami, tada A + B yra įvykis, susidedantis iš vieno iš šių įvykių, nesvarbu, kuris iš jų. Kelių įvykių suma iškviesti įvykį, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ susideda iš bent vieno iš šių įvykių įvykimo. Pavyzdžiui, įvykis A + B + C susideda iš vieno iš šių įvykių: A, B, C, A ir B, A ir C, B ir C, A ir B ir C. Tegul įvykiai A ir C. B būti nesuderinami, o šių įvykių tikimybė yra žinoma. Kaip rasti tikimybę, kad įvyks įvykis A arba įvykis B? Atsakymą į šį klausimą duoda sudėjimo teorema. Teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

P (A + B) = P (A) + P (B).Įrodymas

Iliustracija. Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių poromis nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Geometrinis tikimybės apibrėžimas – sąvoka ir tipai. Kategorijos „Geometrinis tikimybės nustatymas“ klasifikacija ir požymiai 2017, 2018 m.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas siejamas su elementaraus įvykio samprata. Nagrinėjama tam tikra aibė Ω vienodai tikėtinų įvykių A i, kurie kartu duoda patikimą įvykį. Ir tada viskas gerai: kiekvienas įvykis suskaidomas į elementarius, po kurių skaičiuojama jo tikimybė.

Tačiau pradinė aibė Ω (t. y. visų elementariųjų įvykių erdvė) ne visada yra baigtinė. Pavyzdžiui, kaip Ω galite paimti ribotą taškų rinkinį plokštumoje arba atkarpą tiesėje.

Kaip įvykį A galime laikyti bet kurį regiono Ω subregioną. Pavyzdžiui, figūra pradinės figūros viduje plokštumoje arba segmentas, esantis pradinio segmento viduje tiesioje linijoje.

Atkreipkite dėmesį, kad elementarus įvykis tokioje aibėje gali būti tik taškas. Tiesą sakant, jei aibėje yra daugiau nei vienas taškas, ją galima padalyti į du netuščius poaibius. Vadinasi, toks rinkinys jau yra ne elementarus.

Dabar nustatykime tikimybę. Čia taip pat viskas paprasta: tikimybė „pataikyti“ į kiekvieną konkretų tašką lygi nuliui. Priešingu atveju gauname begalinę identiškų teigiamų narių sumą (juk elementarūs įvykiai yra vienodai tikėtini), kurie bet kuriuo atveju yra didesni nei P (Ω) = 1.

Taigi, elementarūs įvykiai begalinėms sritims Ω yra atskiri taškai, o tikimybė „patekti“ į bet kurį iš jų yra lygi nuliui. Tačiau kaip ieškoti neelementaraus įvykio tikimybės, kurioje, kaip ir Ω, yra begalinis taškų skaičius? Taigi mes priėjome prie geometrinės tikimybės apibrėžimo.

Geometrinė įvykio A tikimybė, kuri yra linijos arba plokštumos taškų aibės Ω poaibis, yra figūros A ploto ir visos aibės Ω ploto santykis:

Užduotis. Taikinys turi 4 spindulio apskritimo formą. Kokia tikimybė pataikyti į dešinę pusę, jei pataikyti į bet kurį taikinio tašką yra vienodai tikėtina? Šiuo atveju tikslo praleidimas neįtraukiamas.

Pažiūrėkime į paveikslėlį: mums tiks bet kuris taškas iš dešiniojo puslankio. Akivaizdu, kad šio puslankio plotas S(A) yra lygiai pusė viso apskritimo ploto, todėl turime:

Kaip matote, geometrinėje tikimybėje nėra nieko sudėtingo. Tačiau net ir Maskvoje daugelis aukštosios matematikos dėstytojų stengiasi vengti šios temos, nes mano, kad tai neprivaloma. Rezultatas – klaidingas medžiagos supratimas ir dėl to kyla problemų tikimybių teorijos egzamino metu.

Norėdami įsivaizduoti, kas yra geometrinė tikimybė, paimkite popieriaus lapą ir nubrėžkite savavališką figūrą. Trikampis, kvadratas ar apskritimas – bet koks. Tada paimkite aštrų, gerai pagaląstą pieštuką ir kiškite jį bet kurioje figūros vietoje. Pakartokite šį paprastą procesą keletą kartų. Jei neįtrauksime hitų už figūros ribų, gausime štai ką:

1. Tikimybė pataikyti į figūrą yra P (Ω) = 1. Tai gana logiška, nes visa mūsų figūra yra elementariųjų įvykių erdvė Ω;
2. Jei tam tikras taškas (elementarus įvykis) yra pažymėtas iš anksto, tada tikimybė jį pataikyti lygi nuliui. Net jei tyčia „nutaikysite“, tikslaus smūgio nebus. Paklaida bus tūkstantosios milimetro dalys, bet ne nulis;
3. Dabar paimkime du taškus. Tikimybė pataikyti į kurį nors iš jų vis dar lygi nuliui. Panašiai, jei paimsite 3 taškus. Ar penkis – nesvarbu.

Šis eksperimentas rodo, kad galutinė nulinių dėmenų suma visada yra nulis. Bet kas atsitinka, kai terminų yra be galo daug? Čia padėtis nėra tokia aiški ir galimi trys variantai:

1. Suma lygi nuliui, kaip ir baigtinio taškų rinkinio atveju. Jei savo patirtimi pažymime taškus iki begalybės, tikimybė patekti į jų sąjungą vis tiek yra lygi nuliui;
2. Suma lygi kokiam nors teigiamam skaičiui – šis atvejis iš esmės skiriasi nuo pirmojo. Čia atsiranda geometrinė tikimybė;
3. Suma lygi begalybei – taip atsitinka, bet mums tai dabar neįdomu.

Kodėl tai vyksta? Teigiamų skaičių ir begalybių atsiradimo mechanizmas siejamas su aibės skaičiuojamumo samprata. Be to, jūs turite suprasti, kas yra Lebesgue matas. Tačiau šių žinių jums tikrai reikia tik tuo atveju, jei studijuojate matematiką.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas turi apribojimų taikant. Daroma prielaida, kad elementariųjų įvykių aibė Ω yra baigtinė arba skaičiuojama, t.y. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), ir viskas ω i – vienodai galimi elementarūs įvykiai. Tačiau praktikoje yra testų, kurių elementarių rezultatų rinkinys yra begalinis. Pavyzdžiui, gaminant tam tikrą detalę mašinoje, būtina išlaikyti tam tikrą dydį. Čia detalės pagaminimo tikslumas priklauso nuo darbuotojo įgūdžių, pjovimo įrankio kokybės, mašinos tobulumo ir kt. Jei bandymu turime omenyje detalės gamybą, tai atlikus tokį bandymą galima be galo daug rezultatų, įskaitant tokiu atveju reikiamo dydžio dalių gavimas.

Norint įveikti klasikinio tikimybės apibrėžimo trūkumą, kartais vartojamos kai kurios geometrijos sąvokos (jei, žinoma, leidžia testo aplinkybės). Visais tokiais atvejais daroma prielaida, kad galima atlikti (bent jau teoriškai) bet kokį skaičių bandymų, o koncepcija lygias galimybes taip pat vaidina pagrindinį vaidmenį.

Panagrinėkime testą su įvykių erdve, kurios elementarios išvados vaizduojamos taškų, užpildančių tam tikrą plotą Ω (trimatėje erdvėje) pavidalu. R 3). Tegul renginys A susideda iš atsitiktinai išmesto taško, patenkančio į subregioną D sritis Ω. Renginys A teikia pirmenybę elementariems įvykiams, kuriuose taškas patenka į tam tikrą subregioną D. Tada pagal tikimybęįvykius A suprasime subregiono tūrio santykį D(1.11 pav. paryškinta sritis) iki srities tūrio Ω, R(A) = V(D) / V(Ω).

Čia, pagal analogiją su palankaus rezultato samprata, sritis D vadinsime palankiu įvykiui įvykti A. Panašiai nustatoma ir įvykio tikimybė A, kai aibė Ω reiškia tam tikrą plokštumos sritį arba atkarpą tiesėje. Tokiais atvejais plotų tūriai atitinkamai pakeičiami figūrų plotais arba atkarpų ilgiais.

Taigi mes prieiname prie naujo apibrėžimo - geometrinė tikimybė bandymams su begaline nesuskaičiuojama elementariųjų įvykių aibe, kuri formuluojama taip.

Geometrinė įvykio A tikimybė yra subregiono, palankaus šiam įvykiui įvykti, ir viso regiono mato santykis, t.y.

p(A) =mesD / mesΩ,

Kur mes– plotų matas D ir Ω , D Ì Ω.

Geometrinė įvykio tikimybė turi visas savybes, būdingas klasikiniam tikimybės apibrėžimui. Pavyzdžiui, 4-oji savybė būtų tokia: R(A+ IN) = R(A) + R(IN).

2010 m. liepos pabaigoje, rugpjūtį ir rugsėjo pradžioje Rusijoje susidarė sudėtinga gaisrų situacija dėl daugybės gaisrų, kuriuos lydėjo smogas ir dūmai miestuose, taip pat aukų ir daugybės nuostolių. Taigi 2010 metų rugpjūčio 7 dieną žuvo 53 žmonės ir sugriauta daugiau nei 1200 namų. Gaisrų plotas siekė daugiau nei 500 tūkstančių hektarų. Į gesinimą su ugnimi buvo panaudotos visos pajėgos ir, žinoma, aviacijos technika, kuri leido gesinti sunkiai arba neįmanomas vietas ant žemės. Mane sudomino vienas klausimas: kokia tikimybė, kad lėktuvui lekiant dideliu greičiu vandens „sviedinys“ pataikys į nurodytą vietą, o apačioje mirga miškai ir laukai, tarsi purslai nuo neatsargaus menininko teptuko? O gal galima pasikliauti tik intuicija ir piloto patirtimi?

Paaiškėjo, kad yra visas mokslas, skirtas tam tikro įvykio tikimybei surasti. Be to, viena iš jos skyrių yra skirta geometrinei tikimybei. Nusprendžiau jį išstudijuoti giliau, kad atsakyčiau į savo klausimą.

Problema: ar galima naudoti geometrinę tikimybę sprendžiant praktines problemas?

Darbo tikslas: išstudijuoti matematikos skyrių „geometrinė tikimybė“ ir pritaikyti įgytas žinias sprendžiant problemą.

Užduotys:

Susipažinti su tikimybių teorijos, kaip mokslo, atsiradimo istorija ir ypač jos skyriumi apie geometrinę tikimybę;

Išstudijuokite teoriją šia tema;

Apsvarstykite tipines problemas ir pagrindinius jų sprendimo būdus;

Įgytas žinias pritaikyti praktikoje.

Sprendimo būdai:

Literatūros šia tema studijavimas;

Medžiagų analizė;

Užduočių pasirinkimas įvairių tipų ir sudėtingumo lygiai;

Geometrinės tikimybės nustatymo uždavinių sprendimo metodų supažindinimas;

Įgūdžių pritaikymas sprendžiant praktines problemas;

Gautų duomenų sintezė.

Pagrindinė dalis

1. Informacija iš istorijos

Žmonės dar XVII amžiuje bandė rasti tam tikro įvykio modelį arba nustatyti palankių rezultatų skaičių. Po pirmųjų italų mokslininkų G. Cardano ir N. Tartaglia darbų, datuojamų XVI amžiuje, tokias problemas nagrinėjo prancūzų matematikai B. Paskalis ir P. Ferma. Eksperimentai buvo atlikti kauliukai ir buvo skirti nuspėti laimėjimus. Iš Cardano autobiografijos žinoma, kad vienu metu jis buvo aistringas lošėjas. Kartu su Tartaglia jie skaičiavo įvairių variantų punktus ir sudarė lentelę, kurią vėliau (kita forma) pakartojo Pascalis. Jis suteikė jam trikampio formą ir paskelbė („Traktatas apie aritmetinį trikampį“, apie 1654 m.).

Šių mokslininkų keliamų ir svarstomų klausimų įtakoje tas pačias problemas išsprendė. Tuo pačiu metu jis nebuvo susipažinęs su Paskalio ir Fermato susirašinėjimu, todėl pats išrado sprendimo būdą. Jo darbas, kuriame pristatomos pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, buvo paskelbtas spausdinta prieš dvidešimt metų () Pascal ir Fermat laiškų leidimai ().

Svarbų indėlį į tikimybių teoriją įnešė: jis įrodė paprasčiausiu nepriklausomų testų atveju. Pirmoje pusėjestebėjimo klaidų analizei pradedama taikyti tikimybių teorija;Laplasas Ir nuodai įrodė pirmąsias ribines teoremas. Antroje pusėjedidžiausią indėlį įnešė Rusijos mokslininkai, A. A. Markovas Ir . Šiuo metu tai buvo įrodyta, , taip pat sukūrė teoriją. Šiuolaikinė išvaizda tikimybių teorija gauta dėkay ir jo knyga „Pagrindinės tikimybių teorijos sampratos“ (1936).

Dėl to kažkada iš žaidimo atsiradusi tikimybių teorija įgavo griežtą matematinė forma ir galiausiai pradėtas suvokti kaip vienas iš.

2. Pagrindinė teorinė informacija

Tikimybių teorija- skyrius matematikai , studijuoja modelius atsitiktiniai reiškiniai : , , jų savybės ir operacijos su jais.

Tikimybė yra palankių rezultatų skaičiaus ir bendro vienodai galimų baigčių skaičiaus santykis.

Taip pat tikimybė atsitiktinis įvykis A yra skaičius P(A), prie kurio santykinis šio įvykio dažnis artėja per ilgą eksperimentų seriją.

Bet kurio įvykio tikimybė yra tarp nulio ir vieneto. Tikimybė lygi nuliui, jei iš viso nėra palankių rezultatų (neįmanomas įvykis), ir viena, jei visi rezultatai yra palankūs (tam tikras įvykis).

Norėdami sužinoti atsitiktinio įvykio A tikimybę atliekant eksperimentą, turėtumėte:

1. raskite visų galimų duoto eksperimento rezultatų skaičių N;
2. rasti skaičių N(A) tų eksperimentinių rezultatų, kurių metu įvyksta įvykis A;
3. rasti N(A)/N koeficientą; ji bus lygi įvykio A tikimybei.

Tačiau kartais yra testų, kurių rezultatų skaičius yra begalinis. Ši situacija atsiranda kai kuriose geometrinėse problemose, susijusiose su atsitiktiniu taško parinkimu tiesėje, plokštumoje ar erdvėje. Šiuo atveju kalbame apie geometrinę tikimybę.

Geometrinė tikimybė įvykis A, kuris yra aibės B taškų tiesėje, plokštumoje arba erdvėje poaibis, yra šių objektų matų santykis.

1 problema : raskite tikimybę, kad taškas X yra arčiau taško N nei M.

Sprendimas: tegul taškas O yra atkarpos MN vidurio taškas. Mūsų įvykis įvyks, kai taškas X yra segmento ON viduje.

Tada .

Atsakymas: 0,5

Taigi, tikimybę galima apskaičiuoti kaip dviejų atkarpų ilgių santykį.

2. Išsirinkime atsitiktinį tašką geografiniame pasaulio žemėlapyje. Kokia tikimybė, kad šis taškas bus Rusijoje? Akivaizdu, kad norint atsakyti į klausimą, reikia žinoti, kokia visos žemėlapio srities dalis yra Rusijos sritis. Šių dviejų sričių santykis duos norimą tikimybę.

P(A) = S(A)/S(B), kur P yra tikimybė, o S yra plotas.

2 problema : stačiakampio gretasienio, kurio matmenys yra 4, 6, 10 cm, viduje atsitiktinai parenkamas taškas M. Kokia tikimybė, kad jis bus duoto kubo, kurio kraštas yra 3 cm, viduje.

Sprendimas: tegul įvykis E - taškas yra kubo viduje, kurio briauna lygi 3 cm. Laikysime, kad testo rezultatai pasiskirsto tolygiai. Tada įvykio E tikimybė yra proporcinga šio kubo matui ir lygi P (E) = U kubas/U gretasienis. Bet kubo tūris yra 27 cm 3 , o gretasienio tūris yra 240 cm 3 . Todėl P (E) = 27/ 240 ≈ 0,113

Atsakymas: 0,113

! Dažna klaida sprendžiant geometrinės tikimybės uždavinius – matmenų nenuoseklumas. Dažnai skaičiuojant geometrinę tikimybę ilgis dalijamas iš ploto arba plotas iš tūrio. Tokiais atvejais naudinga patikrinti gautą „nematmenų“ tikimybės formulę.

3. Geometrinės tikimybės radimo užduotys

3 problema : taškas atsitiktinai įmetamas į kvadratą, kurio kraštinė lygi 1. Kyla klausimas, kokia yra įvykio tikimybė, kad atstumas nuo šio taško iki artimiausios kvadrato kraštinės yra ne didesnis kaip? (1 pav.)

Sprendimas: taškas nuo aikštės ribos pašalinamas ne daugiau kaip, jei jis priklauso vidiniam kvadratui, kurio kraštinė lygi 1 – 2* = .

Norėdami rasti figūros plotą, kuris sudaro skirtumą tarp vidinio ir išorinio kvadratų (G), turite atimti vidinio kvadrato plotą su kraštine iš visos figūros ploto (F).

Tada tikimybė, kad taškas pateks į figūrą G, lygus

Atsakymas: 0,75

4 užduotis: vienetinis intervalas yra padalintas į tris dalis dviem atsitiktiniais taškais. Kokia tikimybė, kad iš gautų atkarpų bus sudarytas trikampis?

Sprendimas: Būtina rasti tikimybę, kad nė vienas segmentas neviršys kitų dviejų atkarpų sumos. Tam, kad trikampis būtų sudarytas iš trijų atkarpų, atkarpas vaizduojantis taškas turi būti trikampio viduje, kuris gaunamas sujungus priešingų trikampio kraštinių vidurio taškus (2 pav.). Jo plotas lygus vienam ketvirčiui didelio trikampio, todėl tikimybė yra ketvirtadalis.

Atsakymas: 0,25

5 užduotis: du mokiniai susitarė susitikti tam tikroje vietoje nuo 12 iki 13 val. Tas, kuris ateina pirmas, laukia kito žmogaus ne ilgiau kaip 20 minučių, po to jis išeina. Raskite tikimybę, kad susitikimas įvyks.

Sprendimas: tegul x yra pirmojo mokinio atvykimo laikas, y – antrojo mokinio atvykimo laikas. Tada x, y € (nustatant, kad susitikimas įvyks tarp 12 ir 13 val., tai yra per 60 minučių laikotarpį) – apibrėžia sritį G (3 pav.). |x-y| ≤ 20 (nustatant, kad pirmas atėjęs mokinys antrojo laukia ne ilgiau kaip 20 min.) – nustato plotą g. Tada nelygybėmis apibrėžtos sritys atrodys taip (2 pav.). Tikimybę galima rasti kaip dviejų sričių g ir G plotų santykį. Р(A) = 60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Atsakymas: 5/9

6 užduotis: pagal taisykles eismo, pėsčiasis gali pereiti gatvę nenustatytoje vietoje, jei matomoje vietoje nėra pėsčiųjų perėjų. Mirgorodo mieste atstumas tarp pėsčiųjų perėjų Solnechnaya gatvėje yra 1 km. Pėsčiasis Solnechnaya gatvę kerta kažkur tarp dviejų perėjų. Perėjimo ženklą jis mato ne toliau kaip 100 m nuo savęs. Raskite tikimybę, kad pėstysis nepažeis taisyklių.

Sprendimas: Naudokime geometrinį metodą. Skaičių eilutę išdėstykime taip, kad gatvės atkarpa tarp sankryžų būtų atkarpa. Leiskite pėsčiajam prie gatvės tam tikru momentu priartėti su koordinate X. Pėsčiasis nepažeidžia taisyklių, jeigu nuo kiekvienos perėjos yra nutolęs daugiau kaip 0,1 km, t.y. 0.1.

Atsakymas: 0,8

4. Probleminė užduotis

7 užduotis: Vienoje Briansko srities miškų ūkio urėdijoje kilo gaisras, kuris yra a * b hektaro stačiakampis. Miško dalis, kuri yra apskritimas, kurio spindulys lygus r, yra apimtas ugnies. Raskite tikimybę, kad virš miško skrendančio lėktuvo purškiamas skystis pateks į gaisro zoną.

Sprendimas: Miško plotas a*b, degimo plotas yra r 2. Tada P(A) = r 2 / a*b

Atsakymas: r 2 / a*b

Taigi, susipažinimas su tikimybių teorija padėjo man išspręsti problemą. Sudarę ir išsprendę 7 uždavinį, galiu pasakyti, kad galite rasti daugybę variantų praktinis pritaikymas geometrinė tikimybė.

Išvada

Dėl atlikto darbo, susipažinęs su įvairiais literatūros šaltiniais, analizuodamas informaciją ir tiesiogiai spręsdamas problemas, studijavau naują man matematikos šaką – „geometrinę tikimybę“. Įgytas žinias pritaikiau spręsdama mane dominančią problemą. Ateityje galite tęsti šios temos studijas, nes yra daug daugiau užduočių aukštas lygis sunkumų, pavyzdžiui, „Sylvesterio problema“.

Kai kuriuos šio darbo aspektus galima panaudoti ruošiantis valstybiniam matematikos egzaminui, pasirenkamiesiems užsiėmimams tema „Geometrinė tikimybė“, ruošiantis olimpiadoms. Tiriamasis darbas yra ryškus pavyzdys, parodantis, kad gilesnis standartinio vadovėlio skyriuose nepakankamai išsamiai nagrinėjamų temų studijavimas gali būti ne tik įdomus ir edukacinis, bet ir pasitarnauti sprendžiant bet kokias praktines ar nestandartines problemas.

Literatūra

1. E.A. Bunimovičius, V.A. Bulychevas „Tikimybė ir statistika vidurinės mokyklos matematikos kurse“ Pedagoginis universitetas„Rugsėjo pirmoji“, 2005 m
2. M. Kendal, P. Moran „Geometrinės tikimybės“ - Maskva, „Mokslas“, 1972 m.
3. L. V. Kuznecova, S. B. Bunimovičius, T. V. Kolesnikova, L. O. Užduočių rinkinys, skirtas pasirengti valstybiniam galutiniam atestavimui 9 klasėje“ - Maskva, „Prosveshchenie“, 2011 m.
4. A.G. Mordkovich, P.V. Semenovas „Algebra ir matematinės analizės pradžia. Profilio lygis. Vadovėlis, 1 dalis. 11 klasė" - Maskva, "Mnemosyne", 2009 m.
5. A. P. Savinas “ enciklopedinis žodynas jaunasis matematikas“ – Maskva, „Pedagogika“, 1989 m
6. Z.A.Skopets „Papildomi matematikos kurso skyriai“ - Maskva, „Apšvietimas“, 1974 m.
7. L.A. Trofimova „Geometrinės tikimybės metmenys“
8. A. Shen „Tikimybė: pavyzdžiai ir užduotys“ - Maskva, „MCNMO leidykla“, 2007 m.
9. http://www.historydata.ru

Taikymas

8 problema: R spindulio apskritime atsitiktinai parinkti du taškai. Su kokia tikimybe atstumas tarp jų yra mažesnis už R?

Sprendimas: atstumas mažesnis už R reiškia, kad styga, jungianti šiuos du taškus, turi būti mažesnė nei R arba mažesnė už įrašyto šešiakampio kraštinę. Žinodami centrinį kampą, lygų 72˚, rasime lanko ilgį, uždarytą tarp dviejų taškų, kurių styga yra mažesnė už spindulį. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0,2

Atsakymas: 0,2

9 problema: Atkarpoje AB, kurios ilgis l, atsitiktinai pasirenkami du taškai M ir N, nepriklausomai vienas nuo kito. Kokia tikimybė, kad taškas M bus arčiau taško A nei taškas N?

Sprendimas: tegul AM = x, AN = y. Aptariamas įvykis bus palankesnis tik tiems taškams, kurie atitinka sąlygą y>x. Visų galimų testo rezultatų, palankesnių nagrinėjamam įvykiui, rinkinys geometriškai pavaizduotas nuspalvinto trikampio taškais, nes visų šio trikampio taškų koordinatės yra susietos ryšiu y>x. Todėl norima tikimybė yra 0,5.

Atsakymas: 0,5

10 problema: Taškas X atsitiktinai parinktas iš trikampio ABC Raskite tikimybę, kad jis priklauso trikampiui, kurio viršūnės yra trikampio kraštinių vidurio taškai (4 pav.).

Sprendimas: vidurinės trikampio linijos padalija jį į 4 vienodi trikampiai. Reiškia,

Tikimybė, kad taškas X priklauso trikampiui KMN, yra lygi:

Atsakymas: 0,25

11 problema: Pinokis Pasodino apvalią 1 cm spindulio dėmę stačiakampio 20 cm x 25 cm dydžio popieriaus lapo centre. Iš karto po to Pinokis pasodino dar vieną identišką dėmę, kuri taip pat visiškai atsidūrė ant lapo. Raskite tikimybę, kad šios dvi dėmės nesilies.

Sprendimas: pirmasis dėmė, kurio spindulys 1 cm, nudažytas raudonai (5 pav.). Kontūruose rodomos galimos antrojo dėmės vietos – jei liečiasi pirmasis ir antrasis.

Matome, kad dėmės liečiasi, kai antrasis patenka į žiedą, sudarytą iš 3 cm spindulio apskritimo ir 1 cm spindulio apskritimo. Raskime žiedo plotą: S žiedas =*3 2 - *1 2 = 8 cm 2 . Manome, kad rezultatas yra palankus, kai dėmės neturi bendrų taškų arba susikerta.

Šiuo atveju tikslinė sritis yra stačiakampis su iškirptu žiedu. Raskime šio paveikslo plotą S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Tikimybė P = S1 / S stačiakampis = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Atsakymas: 0,95

12 problema: 10% rutulio paviršiaus (pagal plotą) yra nudažyti juodai, likusieji 90% yra balti. Įrodykite, kad į rutulį galima sutalpinti kubą taip, kad visos viršūnės patektų į baltus taškus.

Sprendimas: įrašykite į rutulį kubą ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 atsitiktinai. Tada tikimybė, kad tam tikra viršūnė (pavyzdžiui, viršūnė A) bus juoda, yra 1/10. Tikimybė, kad bent viena iš aštuonių viršūnių bus juoda, neviršija 8/10 (aštuonių įvykių derinys su 1/10 tikimybe). Tai reiškia, kad yra atvejų (jie sudaro bent 2/10 visų variantų), kai visos viršūnės yra baltos.

Sylvesterio problema

Šiek tiek daugiau sunki užduotis vadinama Sylvesterio problema. Jį sudaro tikimybė, kad keturi taškai A, B, C, D, atsitiktinai paimti išgaubtoje srityje, sudarys išgaubtą keturkampį; tai reiškia, kad nė vienas iš taškų nepatenka į trikampį, kurį sudaro kiti trys.

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymo peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite:

Ar atsitiktinio įvykio sąvoka. Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris, įvykdžius tam tikras sąlygas, gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, pataikymas į tam tikrą objektą arba dingimas šaudant į šį objektą iš nurodyto ginklo yra atsitiktinis įvykis.

Įvykis vadinamas patikimu, jei jis tikrai įvyksta kaip bandymo rezultatas. Įvykis, kuris negali įvykti dėl testo, vadinamas neįmanomu.

Sakoma, kad atsitiktiniai įvykiai tam tikrame bandyme yra nenuoseklūs, jei negali įvykti du iš jų kartu.

Atsitiktiniai įvykiai sudaro pilną grupę, jei kiekvieno bandymo metu gali atsirasti bet kuris iš jų ir negali atsirasti joks kitas su jais nesuderinamas įvykis.

Panagrinėkime visą vienodai galimų nesuderinamų atsitiktinių įvykių grupę. Tokius įvykius vadinsime rezultatais. Sakoma, kad rezultatas palankus įvykiui A, jei dėl šio įvykio įvyksta įvykis A.

Geometrinis tikimybės apibrėžimas

Įsivaizduokite atsitiktinį testą kaip taško metimą atsitiktinai į kokią nors geometrinę sritį G (tiesioje linijoje, plokštumoje arba erdvėje). Elementarieji rezultatai yra atskiri G taškai, bet koks įvykis yra šios srities poaibis, elementariųjų G rezultatų erdvė. Galime daryti prielaidą, kad visi G taškai yra „lygūs“, o tada tikimybė, kad taškas pateks į tam tikrą poaibį, yra proporcingas jo matui (ilgiui, plotui, tūriui) ir nepriklauso nuo jo vietos bei formos.

Geometrinė tikimybė įvykis A nustatomas pagal ryšį:
,
čia m(G), m(A) yra visos elementariųjų rezultatų ir įvykio A erdvės geometriniai matai (ilgiai, plotai arba tūriai).

Pavyzdys. Spindulio r () apskritimas atsitiktinai išmestas į plokštumą, pavaizduotą lygiagrečiomis 2d pločio juostelėmis, kurių atstumas tarp ašinių linijų lygus 2D. Raskite tikimybę, kad apskritimas susikirs su tam tikra juosta.

Sprendimas. Kaip elementarų šio testo rezultatą apsvarstysime atstumą x nuo apskritimo centro iki artimiausios apskritimo juostos vidurio linijos. Tada visa elementarių rezultatų erdvė yra segmentas . Apskritimo susikirtimas su juostele įvyks, jei jos centras pateks į juostą, t.y. , arba bus išsidėstę nuo juostos krašto mažesniu atstumu nei spindulys, t.y. .

Norimą tikimybę gauname: .

Santykinis įvykio dažnis yra bandymų, kurių metu įvykis įvyko, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis. Taigi santykinis dažnis A nustatomas pagal formulę:

(2) čia m – įvykio atvejų skaičius, n – bendras bandymų skaičius. Palyginus tikimybės apibrėžimą ir santykinį dažnį, darome išvadą: tikimybės apibrėžimas nereikalauja, kad testai būtų faktiškai atlikti; Santykinio dažnio nustatymas daro prielaidą, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti. Kitaip tariant, tikimybė apskaičiuojama prieš eksperimentą, o santykinis dažnis – po eksperimento.

2 pavyzdys. Iš 80 atsitiktinai atrinktų darbuotojų 3 žmonės turi rimtų širdies sutrikimų. Santykinis žmonių, sergančių širdies ligomis, dažnis

Santykinis dažnis arba jam artimas skaičius laikomas statine tikimybe.

APIBRĖŽIMAS (statistiniu tikimybės apibrėžimu). Skaičius, į kurį linksta stabilus santykinis dažnis, vadinamas statistine šio įvykio tikimybe.

Suma A + B du įvykiai A ir B įvardija įvykį, kurį sudaro įvykis A arba įvykis B, arba abu šie įvykiai. Pavyzdžiui, jei iš ginklo paleidžiami du šūviai ir A yra pataikymas į pirmąjį šūvį, B yra pataikymas į antrą šūvį, tada A + B yra pataikymas į pirmąjį šūvį, antrąjį, arba į abu šūvių.

Visų pirma, jei du įvykiai A ir B yra nesuderinami, tada A + B yra įvykis, susidedantis iš vieno iš šių įvykių, nesvarbu, kuris iš jų. Kelių įvykių suma vadinti įvykį, kurį sudaro bent vieno iš šių įvykių įvykis. Pavyzdžiui, įvykis A + B + C susideda iš vieno iš šių įvykių: A, B, C, A ir B, A ir C, B ir C, A ir B ir C. Tegul įvykiai A ir C. B būti nesuderinami, o šių įvykių tikimybė yra žinoma. Kaip rasti tikimybę, kad įvyks įvykis A arba įvykis B? Atsakymą į šį klausimą duoda sudėjimo teorema.

Teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

P (A + B) = P (A) + P (B). Įrodymas

Iliustracija. Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių poromis nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).