Darbas nuo momento, kai taikomas kūnui. Kietam kūnui taikomas darbas ir jėgos galia. Darbas ir potenciali energija

Rasti: V A , a A , T .

1. Visas išorines jėgas pavaizduokime mechaninės sistemos diagramoje (26 pav.):

P A , N A , F tr. , P B , N B , P C , N C .

2. Išreikškime visus reikiamus tiesinius ir kampinius greičius per norimą greitį V A (26 pav.)

ω B = r A = R B ; B B

V B = R B V A ; r B

ω C = V B = R B V A ; 2 R C r B 2 R C

T 1 padėtys.

T 0 = 0 – sistema buvo ramybės būsenoje;

T 1 = TA + T B + T C ;

Kūnas A juda į priekį;

TA = 0,5 mA VA 2 = mV 2 A

Kūnas B atlieka sukimosi judesį aplink OZ ašį, eidamas statmenai piešimo plokštumai per tašką O.

Kūnas C atlieka lygiagretų plokštumos judėjimą:

T 1 = mV A 2 + 1,125 mV A 2 + 0,75 mV A 2 = 2,875 mV A 2 .

4. Nustatykime visų išorinių jėgų darbo, atlikto tam tikru poslinkiu s, sumą.

Kadangi taškų judėjimas keičiasi proporcingai jų greičiui,

SC = R B S

2r B

∑ A i E = 1.72mqS − 0.1mqS − 0.5mqS = 1.12mqS .

Kadangi visų išorinių jėgų darbo sumos reikšmė yra teigiama, tikroji greičio V A kryptis sutampa su nurodyta 26 pav.

5. Raskite greičio V A reikšmę pagal formulę T 1 − T 0 = ∑ A i E

2,875 mV A 2 = 1,12 mqS

f (x, y, z, t) = 0.

6. ANALITINĖS MECHANIKOS ELEMENTAI

6.1. Ryšiai ir jų lygtys

Analitinės mechanikos elementų tyrimą pradėsime nuo detalesnio jungčių svarstymo.

Nelaisvas materialus taškas yra taškas, kurio judėjimo laisvė yra apribota. Kūnai, ribojantys taško judėjimą, vadinami apribojimais. Tegul jungtis vaizduoja kokio nors kūno paviršių, kuriuo juda taškas. Tada taško koordinatės turi tenkinti šio paviršiaus lygtį, vadinamą ryšio lygtis:

f (x i, y i, z i) = 0.

Sistemos išskiria laisvą ir nelaisvą.

Materialių taškų sistema vadinama laisvąja, jei visi joje esantys taškai gali užimti savavališkas pozicijas ir turėti savavališką greitį. Priešingu atveju sistema vadinama nelaisva.

6.2. Jungčių klasifikacija

Jungtys klasifikuojamos pagal šiuos kriterijus:

1) stacionarus ir nestacionarus;

2) holonominis ir neholoninis;

3) išlaikantis ir neišlaikantis.

Stacionarios yra tos jungtys, kurių lygtys neatitinka.

aiškiai nurodykite laiką. Fiksuoto ryšio lygtis yra tokia: f (x i, y i, z i) = 0.

Santykiai, apibūdinami lygtimis, kuriose yra aiškiai laikas t, vadinami nestacionarus. Analitiškai jie išreiškiami lygtimi

Holonominės jungtys – tai jungtys, kurios neriboja sistemos taškų greičio. Minėti ryšiai taip pat yra holoniniai.

Jungtys, kurios nustato apribojimus ne tik koordinatėms, bet ir sistemos taškų greičiams, vadinamos neholoninėmis. Jų analitinė išraiška bendruoju atveju turi tokią formą

f (t , x i , y i , z i , x & i , y ir i , z ir i ) = 0

Mechaninės sistemos, kurioms taikomi holoniniai apribojimai, vadinamos holoninėmis sistemomis. Jei tarp jungčių yra neholoninių, tai sistemos vadinamos neholoninėmis.

Klasikinis neholonominės sistemos judėjimo pavyzdys yra kieto rutulio riedėjimas ant grubaus paviršiaus (pavyzdžiui, biliardo kamuoliuko).

Apribojančios jungtys – tai jungtys, kurios neleidžia judėti, dėl ko sistemos taškai galėtų būti atlaisvinti nuo jungties.

Laikomosios obligacijos pavyzdys yra pirmasis pavyzdys. Kitas pavyzdys būtų dvi lygiagrečios plokštumos, tarp kurių juda rutulys.

Laikymo obligacijai lygtis pateikiama lygybe, kurios formos f (t, x i, y i, z i, x & i, y & i, z & i) = 0.

Ryšių išlaikymas kartais vadinamas dvipusiais ryšiais. Jungtys, leidžiančios judėti, dėl kurių sistemos taškai

gali išsivaduoti iš ryšio jo nesunaikindami, yra vadinami nevaržomas. Kartais tokie ryšiai vadinami vienpusiais. Neturinčio ryšio lygtis turi nelygybės formą

f (t, x i, y i, z i, x & i, y ir i, z ir i) ≤ 0.

Neturinčių ryšių pavyzdžiai yra antrasis ir trečiasis pavyzdžiai. Kitas tokio ryšio pavyzdys yra viena plokštuma, kuria juda rutulys.

6.3. Galimi sistemos judesiai. Laisvės laipsnių skaičius. Idealios jungtys

Įsivaizduokime kokį nors nelaisvą kūną, pavyzdžiui, kubą, gulintį lėktuve. Protiškai suteikime šiam kubui be galo mažą poslinkį. Pavyzdžiui, įsivaizduokime, kad mes jį šiek tiek pakėlėme virš plokštumos; tokiu judesiu nutrūks ryšys tarp kubo ir plokštumos. Bet mes galime suteikti kubui tokį įsivaizduojamą be galo mažą poslinkį, kuris nenutraukia ryšio; toks judėjimas yra bet koks judėjimas plokštuma.

Taigi, galimi nelaisvos mechaninės sistemos judesiai yra įsivaizduojami be galo maži judesiai, kuriuos tam tikru momentu leidžia sistemai taikomi apribojimai.

Mūsų pavyzdyje kubo galimas judėjimas yra bet koks įsivaizduojamas begalinis jo judėjimas išilgai plokštumos.

Galimi mechaninės sistemos taškų poslinkiai laikomi pirmos eilės mažumo dydžiais, nepaisant didesnių mažumo laipsnių kiekių. Todėl kreiviniai taškų judesiai yra

pakeičiamos tiesių atkarpomis, nubrėžtomis išilgai taškų trajektorijų liestinių ir žymimos δ r.

Taigi, pavyzdžiui, galimas svirties AB judėjimas yra jos sukimas be galo mažu kampu δϕ aplink O ašį (27 pav.).

Su šiuo sukimu taškai A ir B turi judėti išilgai apskritimų AA1 ir BB1 lankų. Tačiau iki pirmos eilės mažumo verčių šios

poslinkiai gali būti pakeisti galimais poslinkiais δ r A = AA ′ ir δ r B = BB ′ tiesių atkarpų pavidalu, nubrėžtais išilgai liestinių

taškų trajektorijos, o dydis atitinkamai lygus:

δ rA = OA δϕ ir δ rB = OB δϕ .

Tikrieji nelaisvos mechaninės sistemos dr, kuri juda veikiama jai veikiančių jėgų, poslinkiai yra tarp jos. galimi judesiai ir yra jų ypatingas atvejis. Tačiau tai galioja tik fiksuotojo ryšio ryšiams. Nestacionarių jungčių atveju tikrieji sistemos judesiai nėra tarp galimų judesių.

Apskritai sistemoje gali būti daug skirtingų galimų taškų judesių. Tačiau kiekvienai sistemai, atsižvelgiant į jai taikomų ryšių pobūdį, galima nurodyti tam tikrą skaičių tokių tarpusavyje nepriklausomų judesių, kad bet koks kitas galimas judesys gali būti pavaizduotas kaip jų geometrinė suma. Pavyzdžiui, plokštumoje gulintis kamuolys gali būti judinamas išilgai šios plokštumos daugeliu krypčių. Tačiau bet kokį galimą judėjimą δ r galima gauti kaip dviejų judesių sumą

δ x ir δ r 2 išilgai viena kitai statmenų ašių, esančių šioje plokštumoje:

δ r = δ r1 + δ r2 .

Nepriklausomų galimų mechaninės sistemos judesių skaičius lemia laisvės laipsnių skaičiusšią sistemą.

Taigi, rutulys aukščiau aptartoje plokštumoje, jei laikomas materialiu tašku, turi du laisvės laipsnius. Aukščiau aptartas kubas turi 3 laisvės laipsnius plokštumoje – du transliacinius judesius išilgai koordinačių ašių ir vieną sukimosi judesį aplink vertikalią ašį. Ant ašies sumontuota svirtis turi vieną laisvės laipsnį. Nemokama kieta turi

Yra šeši laisvės laipsniai – nepriklausomi judesiai yra trys transliaciniai judesiai išilgai koordinačių ašių ir trys sukimosi judesiai aplink šias ašis.

Pabaigoje pristatome galimo sistemai taikomų jėgų darbo sampratą.

δ r i

Jėgos elementarusis darbas poslinkyje (3.22 pav.) yra jėgos ir jos taikymo taško elementariojo poslinkio skaliarinė sandauga:

kur a yra kampas tarp vektorių krypčių ir

Nes tada galime parašyti kitą elementaraus darbo išraišką:

Elementariems darbams galite parašyti dar keletą posakių:

Iš elementaraus darbo formulių išplaukia, kad šis dydis gali būti teigiamas (kampas a yra ūminis), neigiamas (kampas a yra bukas) arba lygus nuliui (kampas a yra tiesus).

Pilnas jėgų darbas. Nustatyti bendrą darbą, kurį atlieka jėga, pasislinkusi iš taško M 0 iki M Suskaidykime šį judėjimą į n poslinkiai, kurių kiekvienas riboje tampa elementarus. Tada jėgos darbas A:

Kur dA k- dirbti k- elementarus judėjimas.

Užrašyta suma yra integralas ir gali būti pakeistas linijos integralu, paimtu išilgai kreivės poslinkio vietoje M 0 M. Tada

arba

kur yra laiko akimirka t=0 atitinka tašką M 0 ir laiko momentas t– taškas M.

Iš elementaraus ir užbaigto darbo apibrėžimo išplaukia:

1) atstojamosios jėgos darbas esant bet kokiam poslinkiui yra lygus sudedamųjų jėgų, veikiančių šį poslinkį, algebrinei sumai;

2) jėgų atliktas darbas esant visiškam poslinkiui yra lygus darbų, kuriuos ta pati jėga atlieka komponentų poslinkiuose, į kuriuos bet kokiu būdu padalintas visas poslinkis, sumai.

Jėgos galia. Jėgos galia yra darbas, atliktas per laiko vienetą:

arba atsižvelgiant į tai

Galios galia yra dydis, lygus jėgos ir jos taikymo taško greičio skaliarinei sandaugai.

Taigi, esant pastoviai galiai, greičio padidėjimas sumažina jėgą ir atvirkščiai. Galios vienetas yra Vat: 1W = 1 J/s.

Jei aplink fiksuotą ašį besisukantį kūną veikia jėga, tai jos galia lygi

Panašiai nustatoma ir jėgų poros galia.

3.3.4.3. Jėgos darbo skaičiavimo pavyzdžiai

Visas jėgos darbas -

Kur h– aukštis, iki kurio taškas nusileido.

Taigi gravitacijos atliktas darbas yra teigiamas, kai taškas nusileidžia, ir neigiamas, kai taškas kyla. Gravitacijos atliekamas darbas nepriklauso nuo trajektorijos tarp taškų formos M 0 ir M 1 .

Linijinės tamprumo jėgos darbas. Linijinė tamprumo jėga yra jėga, veikianti pagal Huko dėsnį (3.24 pav.):

kur yra spindulio vektorius, nubrėžtas iš pusiausvyros taško, kur jėga lygi nuliui, iki atitinkamo taško M; Su– pastovus standumo koeficientas.

Darbas, atliekamas jėga, pasislinkus iš taško M 0 iki taško M 1 nustatoma pagal formulę

Vykdydami integraciją gauname

(3.27)

Naudojant (3.27) formulę, apskaičiuojamas spyruoklių linijinės tamprumo jėgos darbas judant bet kokiu keliu nuo taško M 0, kurioje jo pradinė deformacija lygi tiksliai M 1, kur deformacija yra atitinkamai lygi Naujajame žymėjime formulė (3.27) įgauna formą

Darbas, atliekamas jėga, veikiama besisukančiam tvirtas kūnas . Kai standus kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, taško greitis M galima apskaičiuoti naudojant Eilerio formulę, žr. 3.25:

Tada formule nustatome elementarų jėgos darbą

Naudojant mišraus kryžminio produkto savybę
mes gauname

Nes – jėgos momentas taško atžvilgiu APIE. Atsižvelgiant į tai – jėgos momentas sukimosi ašies atžvilgiu Ozas ir ω dt=dφ, pagaliau gauname:

dA=M z dφ.

Elementarus jėgos, veikiančios bet kurį kūno, besisukančio aplink fiksuotą ašį, tašką, darbas yra lygus jėgos momento sukimosi ašies ir kūno sukimosi kampo skirtumo sandaugai.

Pilnas darbas:

Ypatingu atveju, kai , darbas nustatomas pagal formulę

čia j – kūno, kuriam esant apskaičiuojamas jėgos darbas, sukimosi kampas.

Standaus kūno vidinių jėgų darbas. Įrodykime, kad standaus kūno vidinių jėgų atliktas darbas yra lygus nuliui bet kokiam judesiui. Pakanka įrodyti, kad visų vidinių jėgų elementariųjų darbų suma lygi nuliui. Apsvarstykite bet kuriuos du kūno taškus M 1 ir M 2 (3.26 pav.). Kadangi vidinės jėgos yra kūno taškų sąveikos jėgos, tada:

Įveskime vieneto vektorių, nukreiptą išilgai jėgos Tada

Elementariųjų jėgų darbų suma ir lygi

Išplėsdami skliausteliuose esančių vektorių skaliarines sandaugas, gauname

Kadangi kinematikoje įrodyta, kad bet kurių dviejų standaus kūno taškų greičių projekcijos į šiuos taškus jungiančios tiesės kryptį yra lygios viena kitai bet kokiam standaus kūno judėjimui, tai gautoje išraiškoje vienodų reikšmių skirtumas yra skliausteliuose, t.y. vertė lygi nuliui.

3.3.4.4. Taško kinetinės energijos kitimo teorema

Materialiam taškui su mase m, judant veikiant jėgai, pagrindinis dinamikos dėsnis gali būti pavaizduotas kaip

Abi šio ryšio puses padauginus skaliariai iš taško spindulio vektoriaus, kurį turime

arba

Atsižvelgiant į tai - elementarus jėgos darbas,

(3.28)

Formulė (3.28) išreiškia diferencialinės formos taško kinetinės energijos kitimo teoremą.

Taško kinetinės energijos skirtumas lygus tašką veikiančios jėgos elementariajam darbui.

Jei abi lygybės (3.28) pusės integruojamos iš taško M 0 iki taško M(žr. 3.22 pav.), gauname teoremą apie galutinės formos taško kinetinės energijos kitimą:

Taško kinetinės energijos pokytis esant bet kokiam poslinkiui yra lygus jėgos, veikiančios tašką, esantį tame pačiame poslinkyje, darbui.

3.4.4.5. Sistemos kinetinės energijos kitimo teorema

Kiekvieno sistemos taško kinetinės energijos kitimo teorema gali būti išreikšta tokia forma:

Susumavus dešinę ir kairę šių santykių dalis visuose sistemos taškuose ir perkeliant diferencialinį ženklą už sumos ženklo, gauname:

arba

Kur – sistemos kinetinė energija; – atitinkamai elementarus išorinių ir vidinių jėgų darbas.

Formulė (3.29) išreiškia teoremą apie sistemos kinetinės energijos kitimą diferencine forma.

Skirtumas nuo sistemos kinetinės energijos yra lygus visų sistemą veikiančių išorinių ir vidinių jėgų elementariųjų darbų sumai.

Jei abi (3.29) pusės yra integruotos tarp dviejų sistemos padėčių – pradinės ir galutinės, kuriose kinetinė energija lygi T 0 ir T, tada, pakeisdami sumavimo ir integravimo tvarką, turime:

arba

Kur – išorinės jėgos darbas sistemos taškui Mk kai jis juda iš pradinės padėties į galutinę padėtį Mk; – vidinės jėgos, veikiančios tašką, darbas Mk.

Formulė (3.30) išreiškia teoremą apie sistemos kinetinės energijos kitimą baigtine arba integralia forma.

Sistemos kinetinės energijos pokytis, kai ji juda iš vienos padėties į kitą, yra lygus visų išorinių ir vidinių jėgų, veikiančių sistemą atitinkamus sistemos taškų judėjimus to paties judėjimo metu, sumai. sistema.

Panagrinėkime du savavališkus standaus kūno taškus M 1 ir M 2, kurie yra mechaninės sistemos dalis. Atlikime statybas (žr. 14.13 pav.).

Vidinės jėgos P J 1, P J 2 , veikiantys iš vieno taško į kitą, remiantis veiksmo ir reakcijos lygybės dėsniu, yra vienodo dydžio ir priešingos krypties P J 1 = - P J 2 .

Tegul tam tikru momentu taškų greičiai bus lygūs atitinkamai u 1 ir u 2, o per tam tikrą laikotarpį prieaugiai išilgai vektorių bus ds 1 = u 1 dt, ds 2 = u 2 dt.

Kadangi, remiantis teoremos apie plokštumos taškų greičius 1-uoju išvadu, greičio vektorių projekcijos į atkarpos M 1 M 2 kryptį yra lygios, tai šių taškų elementariųjų poslinkių projekcijos bus lygus.

Todėl apskaičiavę 2 vidinių jėgų elementarių darbų sumą nagrinėjamam poslinkiui ir atsižvelgdami į jų lygybę bei priešingą kryptį, gauname

P J 1 ds 1 cos (P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos (P J2,u 2) = P J 1 * M 1 M’ 1 – P J 1 * M 2 M’ 2 = 0.

Kadangi kiekviena vidinė jėga atitinka kitą, vienodo dydžio ir priešingos krypties, visų vidinių jėgų elementariųjų darbų suma lygi nuliui.

Galutinis judesys yra elementarių judesių rinkinys, todėl

A j = 0,

tie. bet kokio judėjimo metu standaus kūno vidinių jėgų atliekamo darbo suma lygi nuliui.

Transliacinis standaus kūno judėjimas.

Standaus kūno transliacinio judėjimo metu visų jo taškų trajektorijos yra identiškos ir lygiagrečios. Todėl elementariųjų poslinkių vektoriai geometriškai lygūs.

Elementarus jėgos darbas P E i

d A E i =P E i d r.

Stiprybės užteks visiems

d A = Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

Vadinasi,

d A=d r R E . (14-46)

Elementarus jėgų, veikiančių į slankiai judantį standųjį kūną, darbas yra lygus pagrindinio jėgos vektoriaus elementariajam darbui.

A= . (14-47)

Elementarus jėgų, veikiančių standųjį kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį, darbas yra lygus pagrindinio išorinių jėgų momento sukimosi ašies ir sukimosi kampo prieaugio sandaugai..

Atlikite galutinį judesį

SA i = , (14-48)

kur - pagrindinis dalykas išorinės jėgos sukimosi ašies atžvilgiu.

Jei pagrindinis momentas yra pastovus, tada

SA i = Ez = E z (j 2 - j 1).(14-49)

Šiuo atveju galutinio poslinkio darbų suma yra lygi pagrindinio išorinių jėgų momento ir galutinio kūno sukimosi kampo pokyčio sandaugai.

Tada galia

N= =M E z dj/dt= M E z w.(14-50)

Bendruoju judėjimo atveju laisvą standųjį kūną veikiančių išorinių jėgų elementarus darbas lygus

dA = SdA i =R E d r O + M E W da,(14-51)

Kur M E W- pagrindinis išorinių jėgų momentas momentinės ašies atžvilgiu; da- elementarus sukimosi kampas momentinės ašies atžvilgiu.

14.10. Pasipriešinimas riedėjimui.

Cilindrinį volą, esantį horizontalioje plokštumoje ramybės būsenoje (14.14a pav.), veikia dvi tarpusavyje balansuojančios jėgos: volo svoris. G ir normali plokštumos reakcija N = -G .

Jei veikiamas horizontalios jėgos R, taikomas volelio C centre, jis rieda išilgai plokštumos neslysdamas, tada jėga G, N suformuoti porą jėgų, kurios neleidžia riedėti (14.14 pav., b).

Šios jėgų poros atsiradimas atsiranda dėl ritinėlio ir plokštumos besiliečiančių paviršių deformacijos. Reakcijos veiksmų linija N pasirodo pasislinkęs tam tikru atstumu d nuo jėgos G veikimo linijos.

Poros jėgų akimirka G, N vadinamas pasipriešinimo riedėjimui momentu. Jo vertę lemia gaminys

M pasipriešinimas = Nd. (14-52)

Riedėjimo koeficientas išreiškiamas tiesiniais vienetais, t.y. [d]= žr. Pavyzdžiui, plieninė juosta ant plieninio bėgio d= 0,005 cm; mediena ant plieno d= 0,03-0,04 cm.

Nustatykime mažiausią horizontalią jėgą R , taikomas čiuožyklos centre.

Kad volas pradėtų riedėti, jėgų poros, susidedančios iš jėgos P ir sukibimo jėgos F sc, momentas turi tapti didesnis už pasipriešinimo momentą, t.y.

PR>Nd.

Kur P>Nd/R.

Nes tada čia N = G

Darbas, kurį atlieka jėga veikiant be galo mažam poslinkiui, vadinamas elementariu darbu, išreiškiamas formule

kur kampas tarp jėgos F ir jos taikymo taško greičio v (171 pav.), arba skaliarinės sandaugos pavidalu:

kur yra jėgos taikymo taško spindulio vektoriaus skirtumas.

Išreiškiant šią skaliarinę sandaugą vektorių F projekcijomis ir į koordinačių ašys, gauname elementaraus darbo analitinę išraišką:

čia X, Y, Z yra jėgos projekcijos į koordinačių ašis ir yra be galo maži jėgos taikymo taško koordinačių pokyčiai, atliekant elementarų šio taško judėjimą.

Jeigu aplink fiksuotą ašį z besisukantį standųjį kūną veikia jėga F, tai

kur yra elementarusis kūno sukimosi aplink savo ašį kampas.

Jei kūnui, turinčiam fiksuotą sukimosi ašį, taikoma jėgų pora su momentu, tada elementarus šios poros darbas išreiškiamas taip:

kur yra vektoriaus projekcija - poros momentas į ašį.

Ypač įdomus atvejis, kai jėga priklauso nuo taško koordinačių ir, be to,

Šiuo atveju yra koordinačių funkcija, kurios dalinės išvestinės koordinačių atžvilgiu yra lygios jėgos projekcijoms į atitinkamas koordinačių ašis, t.y.

Tokia funkcija vadinama jėgos arba potencialo funkcija. Taigi, jei yra jėgos funkcija, tada

y., elementarus jėgos darbas lygus suminiam jėgos funkcijos skirtumui. Ribota arba neribota erdvės dalis, kurioje pasireiškia jėgos, turinčios jėgos funkciją, veikimas, vadinama jėgos potencialo lauku.

Jėgos potencialo lauko taškų, kuriuose jėgos funkcija išlaiko pastovią vertę, geometrinė vieta vadinama ekvipotencialiu paviršiumi arba lygiu paviršiumi.

Jėgos F darbas A galutiniame kelyje apibrėžiamas kaip elementarių darbų sumos riba ir išreiškiamas kreivinio integralo forma, paimta išilgai trajektorijos lanko nuo taško iki taško M:

Jei sandauga a išreiškiama žinoma jėgos taikymo taško lanko koordinačių s funkcija, tai integravimo kintamasis yra šis dydis s, o darbo apskaičiavimo formulė įgauna formą

(168)

kur yra lanko koordinatės, atitinkančios padėtis, ir jėgos taikymo taško M reikšmės, yra jėgos projekcija į šio taško trajektorijos liestinę.

Jei jėga su pastoviu moduliu sudaro pastovų kampą su tiesia linija, kuria juda jos taikymo taškas, tada

Konkrečiu atveju, kai taškas M juda tiesia linija, veikiant nuolatinei jėgai F, nukreiptai išilgai tos pačios tiesės judėjimo kryptimi arba prieš judėjimą, tada atitinkamai turime:

kur yra taško nueitas kelias.

Jei pas sukamasis judėjimas standaus kūno aplink fiksuotą ašį, jį veikiančios jėgos momentas priklauso nuo kūno sukimosi kampo, t.y.

Jėgų poros darbas nustatomas panašiai:

Jėgos, turinčios potencialią funkciją galutiniame poslinkyje, darbas išreiškiamas šios funkcijos verčių skirtumu galutiniame ir pradiniame kelio taškuose:

y., šiuo atveju jėgos darbas nepriklauso nuo kreivės, kuria juda taškas M, o priklauso tik nuo jo pradinės ir galutinės padėties. Tiriant materialaus taško judėjimą jėgos potencialo lauke, tai labai didelę reikšmę turi potencialios energijos sampratą. Materialaus taško potenciali energija yra ypatinga energijos rūšis, kurią turi taškas, esantis jėgos potencialo lauke. Potenciali energija P lygi darbui, kurį atliktų lauko jėga, perkeldama savo taikymo tašką iš tam tikros padėties M(x, y, z) į padėtį, paimtą nuliu, t.y.

Jėgos atliktas darbas galutiniame kelyje per potencialią energiją išreiškiamas taip:

Jei tašką veikia kelios jėgos, tai darbas, kurį šių jėgų rezultantas atlieka bet kuriame kelyje, yra lygus dedamųjų jėgų tame pačiame kelyje atliktų darbų sumai.

Techninėje agregatų sistemoje darbas matuojamas kilogramais metrais. Tarptautinėje vienetų sistemoje darbo vienetas yra 1 džaulis.

Galia N apibūdina darbo atlikimo greitį ir bendruoju atveju apibrėžiama kaip darbo išvestinė laiko atžvilgiu:

y., galia lygi jėgos vektoriaus ir greičio vektoriaus skaliarinei sandaugai.

Jei darbas A atliekamas tolygiai, tada galia nustatoma taip:

kur yra laikas, per kurį buvo atliktas darbas.

Taigi šiuo konkrečiu atveju galia skaitine prasme yra lygi darbui, pagamintam per laiko vienetą.

Sukamojo standaus kūno judėjimo metu aplink fiksuotą ašį:

kur yra pagrindinis kūną veikiančių jėgų sukimosi ašies atžvilgiu momentas ir kūno kampinis greitis.

Techninėje agregatų sistemoje galia matuojama arba arklio galių, ir

Tarptautinėje vienetų sistemoje galios vienetas yra

Sprendžiant darbo ir galios skaičiavimo uždavinius, dažnai naudojamas koeficientas naudingas veiksmas. Naudingumas yra naudingo darbo ar galios ir varomųjų jėgų darbo ar galios santykis:

Kadangi dėl žalingo pasipriešinimo, tada.

Skaičiuojant darbą reikia išskirti tokius atvejus.

1. Tiesus judėjimas, veikiamas pastovios jėgos pagal dydį ir kryptį, tokio tipo uždaviniuose naudojamos (169) ir (170) formulės (756, 762 uždaviniai).

2. Tiesus judėjimas veikiant jėgai, kurios projekcija į tiesios trajektorijos kryptį yra taško atstumo nuo kurio nors fiksuoto centro šioje tiesėje funkcija (uždavinys Nr. 768 tokio tipo uždaviniuose). , naudojama formulė (167), kuri, jei ašis nukreipta išilgai taško trajektorijos, įgauna formą

3. Kreivinis judėjimas, veikiamas pastovios jėgos pagal dydį ir kryptį, šiuo atveju gali būti naudojama (167) formulė.

4. Kreivinis judėjimas veikiant jėgai, kuris yra jėgos taikymo taško koordinačių funkcija.

Čia darbo apibrėžimas sumažinamas iki kreivinio integralo apskaičiavimo naudojant (167) formulę. Jei nagrinėjamu atveju yra jėgos funkcija, tai darbas nustatomas pagal (173) arba (176) formulę.

5. Sukamasis standaus kūno judėjimas, veikiant pastoviam sukimo momentui arba sukimo momentui, kuris yra kūno sukimosi kampo funkcija; šiuo atveju darbui apskaičiuoti naudojama formulė (171).

Norėdami apskaičiuoti galią priklausomai nuo judesio pobūdžio, naudojame formulę (177) tiesiniam arba kreiviniam jėgos taikymo taško judėjimui (760, 764 uždaviniai) arba formulę (179) standžiojo judesio sukimosi atveju. kūnas (771, 772, 765 problemos). Vidutinę galią galima nustatyti naudojant (178) formulę.

131 pavyzdys. Išilgai strypo veikia pastovi jėga, kurios pagalba priekaba traukiama horizontalia vikšra (172 pav.). Trauka sudaro kampą su horizontu. Nustatykite jėgos F atliktą darbą kelyje.

Sprendimas. Čia darbas nustatomas pagal (169) formulę:

132 pavyzdys. Kūnas su svoriu per atstumą perkeliamas išilgai horizontalių grindų, naudojant horizontalią jėgą. Nustatykite darbą, kurį atliks trinties jėga, jei trinties koeficientas tarp korpuso paviršiaus ir grindų yra .

Sprendimas. Pagal Kulono dėsnį, trinties jėga, kur N yra normalus kūno slėgis grindų paviršiuje, ir tokiu atveju. Kadangi trinties jėga nukreipta judėjimui priešinga kryptimi, šios jėgos atliktas darbas yra neigiamas:

133 pavyzdys Raskite gravitacijos atliktą darbą perkeliant materialųjį tašką iš padėties į padėtį M (x, y, z), taip pat apskaičiuokite taško, esančio M padėtyje, potencialią energiją (173 pav.).

Sprendimas. Nukreipę z ašį vertikaliai aukštyn, turime:

kur yra kūno svoris. Todėl pagal (162) formulę

(182)

tai yra, gravitacijos darbas lygus materialaus taško svorio ir jo aukščių skirtumo pradinėje ir galutinėje padėtyje sandaugai, o šie aukščiai matuojami iš savavališkai pasirinktos horizontalios plokštumos.

Pagal (175) formulę nustatykime taško potencialią energiją:

kur C yra savavališka integravimo konstanta.

134 pavyzdys. Nustatykite darbą, kurį atlieka tempimo strypo tamprumo jėga, iki kurios galo pakabinama apkrova M, šiai apkrovai judant iš padėties į padėtį M, jei nedeformuoto strypo ilgis lygus, taip pat apskaičiuokite taško, esančio M padėtyje, potenciali energija (174 pav.).

Sprendimas. Nurodydami elastinę jėgą F ir nukreipdami x ašį vertikaliai žemyn, gauname:

kur x yra strypo pailgėjimas, c yra jo standumas.

Vadinasi,

135 pavyzdys. Jėga veikia materialųjį tašką, kurio projekcijos koordinačių ašyse išreiškiamos taip:

Nustatykite šios jėgos atliekamą darbą perkeliant tašką iš padėties į padėtį, jei jėga išreikšta n, o koordinatės – cm.

Sprendimas. Pirmiausia išsiaiškinkime, ar šiuo atveju egzistuoja jėgos funkcija: tam randame dalines išvestines:

Iš čia mes tai gauname

y., sąlygos (164) yra įvykdytos ir jėgos funkcija egzistuoja. Suminis šios funkcijos skirtumas lygus elementariajam darbui, t.y. Elementarų darbą randame naudodami formulę arba pakeisdami reikšmes:

Ši išraiška iš tikrųjų yra visiškas skirtumas

Funkcijos reikšmės taškuose ir M yra lygios:

Todėl reikalingas darbas lygus

Pavyzdys 136. Nustatykite centrinės jėgos, kurios modulis yra materialaus taško atstumo nuo šios jėgos centro, darbą, t.y. (175 pav.).

Sprendimas. Šiuo atveju vieneto jėgos vektorius yra lygus

Be to, ženklas pasirenkamas priklausomai nuo to, ar taškas M atstumiamas nuo jėgos centro, ar pritraukiamas prie jo.

Taigi jėgos vektorius F bus išreikštas taip:

Taigi, naudojant (161) formulę, gauname:

Vadinasi,

y., elementarus darbas yra totalinis diferencialas, todėl yra jėgos funkcija, ir

Taigi šiuo atveju turime bendrą formulę, pagal kurią galime iš karto nustatyti jėgos funkciją priklausomai nuo jėgos taikymo taško spindulio vektoriaus, o tada apskaičiuoti jėgos darbą perkeliant šį tašką iš padėties į padėtį.

137 pavyzdys. Vienas spyruoklės galas atlenkiamas taške O, o prie kito galo pritvirtintas rutulys Neištemptos spyruoklės ilgis yra , standumas . Rutulys perkeliamas iš padėties į vietą, o spyruoklė ištempiama ir nesilanksto. Nustatykite spyruoklės tamprios jėgos atliktą darbą, jei

Sprendimas. Spyruoklės jėgos tamprumo modulis šiuo atveju išreiškiamas taip.

Skyriuje „Kinematika“ nustatyta, kad bet kurio standaus kūno taško greitis geometriškai yra taško, paimto ašigaliu, greičio ir greičio, kurį taškas gauna kūnui sferiškai judant aplink ašigalį, suma. Dinamikoje ašigalis visada laikomas kūno masės centru. Bet kurio kūno taško greitis nustatomas pagal formulę

– kūno masės centro greitis;

– kūno momentinio kampinio greičio vektorius;

– spindulio vektorius kūno masės centro atžvilgiu.

Dėl jėgos, veikiančios absoliučiai standų kūną, galia gauname:

Ypač įdomus yra plokštumai lygiagretus standaus kūno judėjimas. Šiuo svarbiu specialiu atveju jėgos galią galima apskaičiuoti pagal formulę:

kur yra kampas tarp kūno masės centro jėgos ir greičio vektorių.

Darbo pabaiga -

Ši tema priklauso skyriui:

Teorinės mechanikos trumpo kurso paskaitų konspektas apie teorinę mechaniką

Federalinė valstybės biudžetinė aukštojo mokslo įstaiga profesinį išsilavinimą.. Maskvos valstybinis statybos inžinerijos universitetas.

Jei jums reikia papildomos medžiagos šia tema arba neradote to, ko ieškojote, rekomenduojame pasinaudoti paieška mūsų darbų duomenų bazėje:

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Visos temos šiame skyriuje:

Pagrindiniai mechanikos dėsniai
Teorinė mechanika yra vienas iš vadinamųjų aksiomatinių mokslų. Jis pagrįstas atskaitos taškų sistema – aksiomomis, priimta be įrodymų, bet patikrinta ne tik tiesiogiai

3 aksioma
Du materialūs taškai sąveikauja su vienodo dydžio jėgomis, nukreiptomis išilgai vienos tiesės priešingomis kryptimis (!.2 pav.). 4 aksioma (Principas

Taško greitis
Taško judėjimo greitis apibūdinamas jo greičiu, prie kurio apibrėžimo dabar pereiname. Leiskite tam tikru momentu

Taško pagreitis
Greičio vektoriaus kitimo greitis apibūdinamas taško pagreičiu. Tegul šiuo metu taškas

3 aksioma
Dviejų jėgų, veikiančių absoliučiai standų kūną, sistema yra subalansuota (lygiavertė nuliui) tada ir tik tada, kai šios jėgos yra vienodo dydžio ir veikia viena tiese priešingomis kryptimis.

Jėgos momentas apie tašką
Tegu nurodyta taške veikiama jėga

Jėgos momentas apie ašį
Jėgos momentas ašies atžvilgiu yra jėgos momento projekcija į ašį, apskaičiuota bet kurio šios ašies taško atžvilgiu:

Pora jėgų
Jėgų pora yra dviejų vienodo dydžio jėgų, veikiančių išilgai lygiagrečių linijų priešingomis kryptimis, sistema. Lėktuvas, į

Mechaninės sistemos judėjimo diferencialinės lygtys
Panagrinėkime mechaninę sistemą, susidedančią iš materialių taškų. Kiekvienam sistemos taškui inerciniame rėme apie

Pagrindinės vidinių jėgų savybės
Apsvarstykite bet kuriuos du mechaninės sistemos taškus ir

Mechaninės sistemos impulso kitimo teorema
Sudėkime visas lygybes (3.1) po termino: Atsižvelgdami į pirmąjį pagrindinį ryšį

Kampinio momento kitimo teorema
Padauginkime kiekvieną iš lygčių (3.1) kairėje vektoriškai iš atitinkamo taško spindulio vektoriaus ir pridėkime

Pusiausvyros sąlygos
Apsistokime ties materialių kūnų pusiausvyros klausimais, kurie yra esminė teorinės mechanikos kurso „Statika“ skyriaus dalis. Pagal pusiausvyrą mechanikoje tradiciškai

Jėgų sistemos, kurių veikimo linijos yra toje pačioje plokštumoje, pusiausvyra
Daugeliu praktiškai įdomių atvejų kūnas yra pusiausvyroje, veikiant jėgų sistemai, kurios veikimo linijos yra toje pačioje plokštumoje. Paimkime šią plokštumą kaip koordinačių plokštumą

Santvaros skaičiavimas
Ypatingą vietą tarp statinių problemų užima santvarų skaičiavimas. Santvara – tai standi konstrukcija iš tiesių strypų (3.3 pav.). Jei visi santvaros strypai ir viskas, kas prie jos pritvirtinta

Kūno pusiausvyra esant trinčiai
Kaip žinoma, kėbului slystant atraminiu paviršiumi, atsiranda pasipriešinimas, kuris sulėtina slydimą. Į šį reiškinį atsižvelgiama įtraukiant trinties jėgą.

Lygiagrečių pajėgų centras
Ši koncepcija įvedama lygiagrečių jėgų sistemai, kuri turi rezultatą, o sistemos jėgų taikymo taškai yra taškai

Kūno svorio centras
Panagrinėkime materialų kūną, esantį netoli Žemės paviršiaus (gravitacijos lauke). Pirmiausia darykime prielaidą, kad kūnas susideda iš baigtinio skaičiaus materialių taškų, kitaip tariant, dalelių,

Mechaninės sistemos masės centras. Masės centro judėjimo teorema
Inercines materialaus kūno savybes lemia ne tik jo masė, bet ir šios masės pasiskirstymo kūne pobūdis. Centro padėtis vaidina svarbų vaidmenį apibūdinant tokį pasiskirstymą

5 PASKAITA
5.1. Absoliučiai standaus kūno judėjimas Vienas iš svarbiausių mechanikos uždavinių yra absoliučiai standaus kūno judėjimo aprašymas. Apskritai, skirtingi punktai

Transliacinis standaus kūno judėjimas
Transliacinis yra standaus kūno judėjimas, kai bet kuri tiesi linija, nubrėžta kūne, viso judėjimo metu išlieka lygiagreti pradinei padėčiai.

Standaus kūno sukamojo judėjimo kinematika
Sukamojo judesio metu kūne yra viena tiesi linija, kurios visi taškai

Kūno greitis
Galiausiai gauname: (5.4) Formulė (5.4) vadinama Eilerio formule. 5 pav.

Standaus kūno sukamojo judėjimo diferencialinė lygtis
Standaus kūno sukimasis, kaip ir bet kuris kitas judėjimas, atsiranda dėl išorinių jėgų įtakos. Sukamajam judėjimui apibūdinti naudojame teoremą apie kinetinės impulso kitimą, palyginti su

Standžiojo kūno plokštumos lygiagretaus judėjimo kinematika
Kūno judėjimas vadinamas lygiagrečiu, jei atstumas nuo bet kurio kūno taško iki fiksuotos (pagrindinės) plokštumos išlieka nepakitęs viso judėjimo metu.

Standžiojo kūno plokštumos lygiagretaus judėjimo diferencialinės lygtys
Tiriant standaus kūno plokštumos lygiagretaus judėjimo kinematiką, ašigaliu galima laikyti bet kurį kūno tašką. Sprendžiant dinamikos uždavinius, ašigaliu visada imamas kūno masės centras, o ašigaliu – masės centras.

Koenig sistema. Pirmoji Königo teorema
(Mokykitės savarankiškai) Tegul atskaitos sistema būna stacionari (inercinė). Sistema

Darbas ir jėgos galia. Potencinė energija
Pusė taško masės ir jo greičio kvadrato sandaugos vadinama materialaus taško kinetine energija. Mechaninės sistemos kinetinė energija vadinama

Mechaninės sistemos kinetinės energijos kitimo teorema
Kinetinės energijos kitimo teorema yra viena iš bendrųjų dinamikos teoremų, kartu su anksčiau įrodytomis impulso ir kampinio momento pokyčių teoremomis.

Geometriškai nekintamos mechaninės sistemos vidinių jėgų darbas
Atkreipkite dėmesį, kad, priešingai nei impulso kitimo teorema ir kinetinės impulso kitimo teorema, kinetinės energijos kitimo teorema bendruoju atveju apima vidines jėgas.

Visiškai standaus kūno kinetinės energijos skaičiavimas
Gaukime formules, kaip apskaičiuoti absoliučiai standaus kūno kinetinę energiją kai kurių jo judesių metu. 1. Transliacinio judėjimo metu bet kuriuo laiko momentu visų kūno taškų greitis yra vienas

Gravitacijos darbas
Skaičiuodami gravitacijos darbą darysime prielaidą, kad svarstome ribotą erdvės sritį šalia Žemės paviršiaus, kurios matmenys yra maži, palyginti su Žemės matmenimis.

Tamprumo jėgos darbas
Tamprumo jėgos sąvoka dažniausiai siejama su linijinės elastinės spyruoklės atsaku. Nukreipkime ašį išilgai

Sukimo momento darbas
Tegul jėga veikia tam tikrame kūno, turinčio sukimosi ašį, taške. Kūnas sukasi kampiniu greičiu

Galimi greičiai ir galimi judesiai
Pirmiausia pristatome galimo greičio ir galimo poslinkio sąvokas materialiame taške, kuriam taikomas holoninis ribojantis nestacionarus apribojimas. Galimas greičio draugas

Idealios jungtys
Mechaninei sistemai taikomi apribojimai vadinami idealiais, jei visų apribojimų reakcijų į bet kokį galimą sistemos judėjimą darbo suma yra lygi nuliui:

Galimų judesių principas
Galimų poslinkių principas nustato mechaninių sistemų pusiausvyros sąlygas. Mechaninės sistemos pusiausvyra tradiciškai suprantama kaip jos ramybės būsena pasirinktos inercijos atžvilgiu

Bendroji dinamikos lygtis
Panagrinėkime mechaninę sistemą, susidedančią iš materialių taškų, ant kurių dedamos idealios sąlygos