C 16 trigonometrinių funkcijų grafikų transformacija. Trigonometrinės funkcijos y = sin x grafiko transformacija suspaudimo ir išplėtimo būdu GBPU „Rusijos tradicinės kultūros koledžas“ Popova L.A. Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai Oy ašies

24 pamoka. Grafų transformacijos trigonometrinės funkcijos

Tikslas: apsvarstykite dažniausiai pasitaikančias trigonometrinių funkcijų grafikų transformacijas.

I. Pamokos temos ir tikslo perteikimas

II. Apimtos medžiagos kartojimas ir konsolidavimas

1. Atsakymai į klausimus apie namų darbai(neišspręstų problemų analizė).

2. Medžiagos įsisavinimo stebėjimas (apklausa raštu).

1 variantas

nuodėmė x.

2. Raskite pagrindinį funkcijos laikotarpį:

3. Nubraižykite funkciją

2 variantas

1. Funkcijos y = pagrindinės savybės ir grafikas cos x.

2. Raskite pagrindinį funkcijos laikotarpį:

3. Nubraižykite funkciją

III. Naujos medžiagos mokymasis

Visos funkcijų grafikų transformacijos, išsamiai aprašytos 1 skyriuje, yra universalios – tinka visoms funkcijoms, taip pat ir trigonometrinėms. Todėl rekomenduojame pakartoti šią temą. Čia apsiribosime trumpu pagrindinių grafikų transformacijų priminimu.

1. Funkcijos y = grafikas f(x) + b reikia funkcijos grafiką perkelti į | b | vienetų išilgai ordinatės – aukštyn ties b > 0 ir žemyn b< 0.

2. Nubraižyti funkcijos grafiką y = mf(x) (kur m > 0) reikia ištempti funkcijos y = grafiką f(x) iki m kartų išilgai ordinatės ašies. Ir už m > 1 iš tikrųjų yra tempimas m kartų, už 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Nubraižyti funkciją y = f(x+a ) reikia perkelti funkcijos grafiką į | a | vienetai išilgai x ašies – į dešinę ties a< 0 и влево при а > 0.

4. Nubraižyti funkciją y = f(kx ) (kur k > 0) reikia suspausti funkcijos y = grafiką f(x) iki k kartų išilgai x ašies. Ir už k > 1 iš tikrųjų yra suspaudimas k kartų, kai 0< k < 1 – растяжение в 1/ k kartų.

5. Funkcijos y = - grafikas f(x ) jums reikia funkcijos grafiko y = f(x ) atspindi x ašies atžvilgiu (ši transformacija yra ypatingas 2 transformacijos atvejis m = -1).

6. Nubraižyti funkciją y = f (-x) jums reikia funkcijos grafiko y = f(x ) atspindi ordinačių ašies atžvilgiu (ši transformacija yra ypatingas 4 transformacijos atvejis k = -1).

1 pavyzdys

Sukurkime funkcijos y = - grafiką cos 3 x + 2.

Pagal 5 taisyklę jums reikia funkcijos y = grafiko cos x atspindėti x ašies atžvilgiu. Pagal 3 taisyklę šis grafikas turi būti suspaustas tris kartus išilgai x ašies. Galiausiai, pagal 1 taisyklę, toks grafikas turi būti pakeltas trimis vienetais išilgai ordinačių ašies.

Taip pat naudinga prisiminti grafikų konvertavimo su moduliais taisykles.

1. Funkcijos grafikas y = | f (x)| turime išsaugoti dalį funkcijos y = grafiko f(x ), kuriai y ≥ 0. Ta grafiko dalis y = f(x ), kuriam< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Nubraižyti funkciją y = f (|x|) reikia išsaugoti funkcijos y = grafiko dalį f(x ), kuriai x ≥ 0. Be to, ši dalis turi būti simetriškai atspindėta į kairę ordinatės atžvilgiu.

3. Nubraižyti lygtį |y| = f (x) reikia išsaugoti funkcijos y = grafiko dalį f(x ), kuriai y ≥ 0. Be to, ši dalis turi būti simetriškai atspindėta žemyn x ašies atžvilgiu.

2 pavyzdys

Nubraižykime lygtį |y| = nuodėmė | x |.

Sukurkime funkcijos y = grafiką nuodėme x už x ≥ 0. Šis grafikas, pagal 2 taisyklę, bus atspindėtas į kairę, palyginti su ordinačių ašimi. Išsaugokime tokio grafiko dalis, kurioms y ≥ 0. Pagal 3 taisyklę šias dalis simetriškai atspindėsime žemyn x ašies atžvilgiu.

Sudėtingesniais atvejais modulių ženklai turi būti išplėsti.

3 pavyzdys

Sukurkime grafiką sudėtinga funkcija y = cos (2 x + |x|).

Prisiminkite, kad kosinuso funkcijos argumentas yra kintamojo x funkcija, todėl funkcija yra sudėtinga. Išplėskime modulio ženklą ir gaukime:Dviem tokiems intervalams nubraižysime funkciją y(x ). Atsižvelgsime į tai, kad x ≥ 0 funkcijos y = grafikas cos 3x gautas iš funkcijos y = grafiko cos x suspaudimas 3 kartus išilgai abscisių ašies.

4 pavyzdys

Nubraižykime funkciją

Naudodamiesi skirtumo kvadratu formule, funkciją įrašome į formąFunkcijos grafikas susideda iš dviejų dalių. Jei x > 0, turite nubraižyti funkciją y = 1 - cos X. Jis gaunamas iš funkcijos y = grafiko cos x atspindys abscisių ašies atžvilgiu ir 1 vieneto poslinkis į viršų išilgai ordinačių ašies.

Jei x ≥ 0, pavaizduojame funkciją y = ( x -1)2 - 1. Jis gaunamas iš funkcijos y = grafiko x 2 poslinkis 1 vienetu į dešinę išilgai x ašies ir 1 vienetu aukštyn išilgai y ašies.

IV. Kontroliniai klausimai(priekinis tyrimas)

1. Funkcijų grafikų transformavimo taisyklės.

2. Grafų transformacijos moduliais.

V. Pamokos užduotis

§ 13, Nr. 2 (a, b); 3; 5; 7 (c, d); 8 (a, b); 9(a); 10 (b); 11 (a, b); 13 (c, d); 14; 17 (a, b); 19 (b); 20 (a, c).

VI. Namų darbų užduotis

§ 13, Nr. 2 (c, d); 4; 6; 7 (a, b); 8 (c, d); 9 (b); 10(a); 11 (c, d); 13 (a, b); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (b, d).

VII. Kūrybinė užduotis

Nubraižykite funkcijos, lygties, nelygybės grafiką:

VIII. Apibendrinant pamoką

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Trigonometrinių funkcijų grafikai Funkcija y = sin x, jos savybės Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas lygiagrečiu perkėlimu Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas suspaudimo ir išplėtimo būdu Smalsiems…

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = sin x grafikas yra sinusoidė Funkcijos savybės: D(y) =R Periodinis (T=2 ) Nelyginis (sin(-x)=-sin x) Funkcijos nuliai: y =0, sin x=0, kai x =  n, n  Z y=sin x

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = sin x 5 savybės. Konstantos ženklo intervalai: Y >0, kai x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z Y

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = sin x savybės 6. Monotoniškumo intervalai: funkcija didėja formos intervalais:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y= sin x savybės Monotoniškumo intervalai: funkcija mažėja formos intervalais:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = sin x 7 savybės. Ekstremalūs taškai: X max =  / 2 +2  n, n  Z X m in = -  / 2 +2  n, n  Z y=sin x

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = sin x 8 savybės. Reikšmių diapazonas: E(y) =  -1;1  y = sin x

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų transformacija Funkcijos y = f (x +в) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f(x) grafiko lygiagrečiai perkeliant (-в) vienetais išilgai abscisių. funkcija y = f (x) +а gaunama iš grafiko funkcijos y = f(x) lygiagrečiai perkeliant (a) vienetais išilgai ordinačių ašies

trigonometrinės funkcijos Konvertuokite trigonometrinių funkcijų grafikus Nubraižykite grafiką Funkcijos y = sin(x+  /4) prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų konvertavimas y =sin (x+  /4) Nubraižykite funkciją: y=sin (x -  /6)

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų konvertavimas y = sin x +  Nubraižykite funkcijos grafiką: y = sin (x -  /6)

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų konvertavimas y= sin x +  Nubraižykite funkciją: y=sin (x +  /2) prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Funkcijos y = cos x grafikas yra kosinuso banga. Išvardykite funkcijos y = cos x sin(x+  /2)=cos x savybes

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas suspaudimo ir tempimo būdu Funkcijos y = k f (x) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko, ištempus ją k kartų (kai k>1) išilgai ordinačių grafikas Funkcijos y = k f (x ) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f(x) grafiko suglaudinant ją k kartų (esant 0

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikus transformuokite sutraukdami ir ištempdami y=sin2x y=sin4x Y=sin0,5x prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas suspaudimo ir tempimo būdu Funkcijos y = f (kx) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f (x) grafiko, suspaudus ją k kartų (jei k>1) išilgai x ašis Funkcijos y = f (kx ) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f(x) grafiko ištempus ją k kartų (esant 0

trigonometrinės funkcijos Transformuokite trigonometrinių funkcijų grafikus sutraukdami ir ištempdami y = cos2x y = cos 0,5x prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas suspaudimo ir tempimo būdu Funkcijų y = -f (kx) ir y=- k f(x) grafikai gaunami iš funkcijų y = f(kx) ir y= k f(x) grafikų, atitinkamai, atspindint juos x ašies atžvilgiu sinusas yra nelyginė funkcija, todėl sin(-kx) = - sin (kx) kosinusas yra lyginė funkcija, todėl cos(-kx) = cos(kx)

trigonometrinės funkcijos Transformuokite trigonometrinių funkcijų grafikus sutraukdami ir ištempdami y = - sin3x y = sin3x prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Transformuokite trigonometrinių funkcijų grafikus sutraukdami ir ištempdami y=2cosx y=-2cosx prisiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos. išilgai x ašies ir suspaudžiant ją k kartų (kai k>1) arba ištempiant k kartų (esant 0

trigonometrinės funkcijos Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas suspaudžiant ir ištempiant Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6) ) y = cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x atsiminkite taisykles

trigonometrinės funkcijos Smalsiems... Pažiūrėkite, kaip atrodo kai kurių kitų trigubų grafikai. funkcijos: y = 1 / cos x arba y=sec x (skaityti sek.) y = cosec x arba y= 1/ sin x skaityti cosec

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

TsOR „Trigonometrinių funkcijų grafikų transformacija“ 10-11 kl.

Mokymo programos skyrius: „Trigonometrinės funkcijos“ Pamokos tipas: skaitmeninis edukacinis šaltinis kombinuota pamoka algebra. Pagal medžiagos pateikimo formą: Kombinuotas (universalus) TsOR su...

Matematikos pamokos metodinis tobulinimas: „Trigonometrinių funkcijų grafikų transformacija“

Matematikos pamokos metodinis tobulinimas: „Trigonometrinių funkcijų grafikų transformavimas“ dešimtos klasės mokiniams. Pamoką lydi pristatymas....

Algebros pamokos santrauka ir analizės pradžia 10 klasėje

tema: „Trigonometrinių funkcijų grafikų transformacija“

Pamokos tikslas: susisteminti žinias tema „Trigonometrinių funkcijų y=sin (x), y=cos (x) savybės ir grafikai“.

Pamokos tikslai:

• pakartokite trigonometrinių funkcijų savybes y=sin (x), y=cos (x);
• kartoti redukcines formules;
• trigonometrinių funkcijų grafikų konvertavimas;
• lavinti dėmesį, atmintį, loginį mąstymą; stiprinti protinę veiklą, gebėjimą analizuoti, apibendrinti ir samprotauti;
• ugdyti darbštumą, kruopštumą siekiant tikslų, domėjimąsi dalyku.

Pamokos įranga: IKT

Pamokos tipas: naujų dalykų mokymasis

Per užsiėmimus

Prieš pamoką 2 mokiniai lentoje piešia grafikus iš namų darbų.

Organizavimo laikas:

Sveiki bičiuliai!

Šiandien pamokoje transformuosime trigonometrinių funkcijų grafikus y=sin (x), y=cos (x).

Darbas žodžiu:

Namų darbų tikrinimas.

galvosūkių sprendimas.

Naujos medžiagos mokymasis

Visos funkcijų grafikų transformacijos yra universalios – tinka visoms funkcijoms, taip pat ir trigonometrinėms. Čia apsiribosime trumpu pagrindinių grafikų transformacijų priminimu.

Funkcijų grafikų transformacija.

Duota funkcija y = f (x). Visus grafikus pradedame kurti nuo šios funkcijos grafiko, tada su juo atliekame veiksmus.

Funkcija

Ką daryti su tvarkaraščiu

y = f(x) + a

Visus pirmojo grafiko taškus pakeliame vienetais aukštyn.

y = f(x) – a

Visus pirmojo grafiko taškus nuleidžiame vienetais žemyn.

y = f(x + a)

Visus pirmojo grafiko taškus perkeliame vienetais į kairę.

y = f (x – a)

Visus pirmojo grafiko taškus perkeliame vienetais į dešinę.

y = a*f (x),a>1

Nulius fiksuojame vietoje, viršutinius taškus pakeliame kartų aukščiau, o apatinius – kelis kartus žemiau.

Grafikas „temps“ aukštyn ir žemyn, nuliai liks vietoje.

y = a*f(x), a<1

Fiksuojame nulius, viršutiniai taškai nusileis kelis kartus, apatiniai pakils kelis kartus. Grafikas „susitrauks“ link x ašies.

y = -f(x)

Atvaizduokite pirmąjį grafiką apie x ašį.

y = f (ax), a<1

Fiksuokite tašką ordinačių ašyje. Kiekvienas segmentas ant abscisių ašies padidinamas kartus. Grafikas tęsis nuo ordinačių ašies įvairiomis kryptimis.

y = f (ax), a >1

Užfiksuokite tašką ordinačių ašyje, sumažinkite kiekvieną abscisių ašies segmentą koeficientu. Grafikas abiejose pusėse „susitrauks“ link y ašies.

y = | f(x)|

Po abscisių ašimi esančios grafiko dalys yra veidrodinės. Visas grafikas bus viršutinėje plokštumos pusėje.

Sprendimo schemos.

1)y = sin x + 2.

Sudarome grafiką y = sin x. Kiekvieną grafiko tašką pakeliame aukštyn 2 vienetais (taip pat nuliais).

2)y = cos x – 3.

Sudarome grafiką y = cos x. Kiekvieną grafiko tašką sumažiname 3 vienetais.

3)y = cos (x - /2)

Sudarome grafiką y = cos x. Visus taškus perkeliame p/2 į dešinę.

4)y = 2 sinx.

Sudarome grafiką y = sin x. Nulius paliekame vietoje, viršutinius taškus pakeliame 2 kartus, o apatinius nuleidžiame tiek pat.

PRAKTINIS DARBAS Trigonometrinių funkcijų grafikų braižymas naudojant Advanced Grapher programą.

Nubraižykime funkciją y = -cos 3x + 2.

1. Nubraižykime funkciją y = cos x.
2. Atspindėkime jį abscisių ašies atžvilgiu.
3. Šis grafikas turi būti suspaustas tris kartus išilgai x ašies.
4. Galiausiai toks grafikas turi būti pakeltas trimis vienetais išilgai y ašies.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

y = 5cos 0 .5 x

y= -3sin(x+π).

2) Raskite klaidą ir ją ištaisykite.

V. Istorinė medžiaga. Pranešimas apie Euler.

Leonhardas Euleris yra didžiausias XVIII amžiaus matematikas. Gimė Šveicarijoje. Daug metų gyveno ir dirbo Rusijoje, Sankt Peterburgo akademijos narys.

Kodėl turėtume žinoti ir prisiminti šio mokslininko vardą?

Iki XVIII amžiaus pradžios trigonometrija dar nebuvo pakankamai išvystyta: nebuvo simbolių, formulės rašomos žodžiais, sunku jas išmokti, neaiškus klausimas apie trigonometrinių funkcijų ženklus skirtinguose apskritimo ketvirčiuose, o trigonometrinės funkcijos argumentas reiškė tik kampus arba lankus. Tik Eulerio darbuose trigonometrija įgavo savo šiuolaikinę formą. Būtent jis pradėjo svarstyti trigonometrinę skaičiaus funkciją, t.y. Argumentą imta suprasti ne tik kaip lankus ar laipsnius, bet ir kaip skaičius. Euleris išvedė visas trigonometrines formules iš kelių pagrindinių ir supaprastino trigonometrinės funkcijos ženklų klausimą skirtinguose apskritimo ketvirčiuose. Trigonometrinėms funkcijoms žymėti jis įvedė simboliką: sin x, cos x, tan x, ctg x.

Prie XVIII amžiaus slenksčio atsirado nauja trigonometrijos raidos kryptis – analitinė. Jei prieš tai pagrindiniu trigonometrijos tikslu buvo laikomas trikampių sprendimas, tai Euleris laikė trigonometriją trigonometrinių funkcijų mokslu. Pirmoji dalis: funkcijų doktrina yra bendrosios funkcijų doktrinos dalis, kuri nagrinėjama matematinės analizės metu. Antra dalis: trikampių sprendimas – geometrijos skyrius. Tokias naujoves sukūrė Euler.

VI. Kartojimas

Savarankiškas darbas „Pridėti formulę“.

VII. Pamokos santrauka:

1) Ką naujo išmokote šiandien klasėje?

2) Ką dar norite sužinoti?

3) Įvertinimas.

Trigonometriniai grafikai funkcijas

• Funkcija y = sinx, jo savybes

• Trigonometrinių funkcijų grafikų konvertavimas lygiagrečiuoju vertimu
• Konvertuokite trigonometrinių funkcijų grafikus suspaudimo ir išplėtimo būdu

• Smalsiems...
• Autorius

Funkcijų grafikas y = nuodėmė x yra sinusinės bangos

y = sinx

Funkcijos savybės :

• D(y) =R 2. Periodinis (T = 2  )

3. Keista ( sin(-x)=-sin x) 4. Funkcijos nuliai:

y=0, sin x=0 ties x =  n, n  Z

Funkcijos y = savybės nuodėmė x

y = sinx

5. Ženklo pastovumo intervalai :

adresu 0 adresu X   (0+2  n ;  +2  n ) , n  Z

adresu adresu x   ( -  +2  n ; 0+2  n), n  Z

Funkcijos y= savybės nuodėmė x

6. Monotonijos intervalai :

funkcija didėja intervalais

tipas:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z

Funkcijos y= savybės nuodėmė x

Monotonijos periodai:

funkcija mažėja intervalais

tipas:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z

Funkcijos y = savybės nuodėmė x

x min

x min

x maks

x maks

7 . Ekstremalūs taškai :

x sūpynės =  / 2 +2  n , n  Z

x m in = -  / 2 +2  n , n  Z

Funkcijos y = savybės nuodėmė x

8 . Vertybių diapazonas :

E(y) =  -1;1 

Grafikų konvertavimas trigonometrinės funkcijos

• Funkcijos y = grafikas f(x +c) gaunamas iš funkcijos y = grafiko f(x) lygiagretus vertimas (-in) vienetais išilgai abscisių ašies
• Funkcijos y = grafikas f(x )+a gaunamas iš funkcijos y = grafiko f(x) lygiagretus vertimas (a) vienetais išilgai ordinatės ašies

Nubraižykite grafiką

Funkcijos y = sin(x+  /4 )

y = nuodėmė x

prisiminti

taisykles

Nubraižykite grafiką

Funkcijos: y = nuodėmė (x -  /6)

y =sin(x+  /4 )

Nubraižykite grafiką

Funkcijos:

y = sin x + 

y=sin(x -  /6 )

y=sinx+ 

Nubraižykite grafiką

Funkcijos: y=sin (x +  /2)

prisiminti

taisykles

Funkcijų grafikas y = cos x yra kosinuso banga

sin(x+  /2)=cos x

Išvardykite savybes

funkcijos y = cos x

suspaudimu ir tempimu

• Funkcijos y = grafikas k f(x y = f(x) jį ištempiant k kartus (at k1) palei ordinatas
• Funkcijos y = grafikas kf(x ) gaunamas iš funkcijos grafiko y = f(x) suspaudžiant jį į 1/k kartus (at 0 palei ordinatas

suspaudimu ir tempimu

y = 0,5 sinx

prisiminti

taisykles

suspaudimu ir tempimu

• Funkcijos y = grafikas f(kx ) gaunamas iš funkcijos grafiko y = f(x) suspaudžiant jį į k kartus (at k1) išilgai x ašies
• Funkcijos y = grafikas f(kx ) gaunamas iš funkcijos grafiko y = f(x) jį ištempiant 1/k kartus (at 0 išilgai x ašies

suspaudimu ir tempimu

y = cos2x

y = cos 0,5x

prisiminti

taisykles

suspaudimu ir tempimu

• Funkcijų grafikai y = -f(kx ) ir y=- k f(x) gaunami iš funkcijų grafikų y = f(kx) Ir y= k f(x) atitinkamai atspindint juos x ašies atžvilgiu
• sinusas yra nelyginė funkcija, taigi sin(-kx) = - sin(kx)

kosinusas yra lyginė funkcija, o tai reiškia cos(-kx) = cos(kx)

suspaudimu ir tempimu

y = - 3sinx

y=3sinx

prisiminti

taisykles

suspaudimu ir tempimu

y=-2cosx

prisiminti

taisykles

suspaudimu ir tempimu

• Funkcijos grafikas y = f(kx+b ) gautas iš funkcijos grafiko y = f(x) lygiagrečiai perkeliant į (-V /k) vienetų išilgai x ašies ir suspaudžiant į k kartus (at k1) arba įsitempti 1/k kartus (at 0 išilgai x ašies
• f (kx+b) = f (k(x+b/k))

suspaudimu ir tempimu

y=cos(2x+  /3)

y=cos(2(x+  /6))

y=cos(2x+  /3)

y=cos(2(x+  /6))

y=cos(x+  /6)

Y=cos(2x+  /3)

Y=cos(2x+  /3)

prisiminti

taisykles

Smalsiems...

Pažiūrėkite, kaip atrodo kai kurių kitų triukų diagramos. funkcijas :

y = cosec x arba y= 1/ sin x

skaityti koseconus

y=1/kai x arba y = s x

( skaityti sekundes)

Apie trigonometrines funkcijas galite pasiskaityti darbuose :

• Trigonometrinių funkcijų apibrėžimas

• Apie trigonometrinių funkcijų periodus

• Sinuso ir kosinuso grafikai
• Tangentiniai ir kotangentiniai grafikai
• Formulės liejiniai
• Paprasčiausios trigonometrinės lygtys

Matematikos mokytojas

Deržavinskio licėjus

Petrozavodskas

Prisakaras

Olga Borisovna

(Paštas : [apsaugotas el. paštas])

• Parašyk man savo