Parabolės metodas (Simpson)

Metodo esmė, formulė, paklaidos įvertinimas.

Tegul funkcija y = f(x) yra tolydi intervale ir turime apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą.

Atkarpą padalinkime į n elementariųjų

atkarpos [;], i = 1., n ilgis 2*h = (b-a)/ n taškų

a =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Kiekviename intervale [;] i = 1,2., n integrandas

aproksimuojamas kvadratine parabole y = a* + b*x + c, einanti per taškus (; f ()), (; f ()), (; f ()). Iš čia ir atsirado metodo pavadinimas – parabolės metodas.

Tai daroma siekiant paimti apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę, kurią galime apskaičiuoti naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Apie tai ir kalbama parabolės metodo esmė.

Simpsono formulės išvedimas.

Norėdami gauti parabolės metodo formulę (Simpson), tereikia apskaičiuoti

Parodykime, kad per taškus (; f ()), (; f ()), (; f ()) eina tik viena kvadratinė parabolė y = a* + b*x + c. Kitaip tariant, įrodome, kad koeficientai nustatomi unikaliu būdu.

Kadangi (; f ()), (; f ()), (; f ()) yra parabolės taškai, tada galioja kiekviena sistemos lygtis

Rašytinė lygčių sistema yra tiesinių algebrinių lygčių sistema nežinomiems kintamiesiems, . Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas yra Vandermonde determinantas, o nesutampantiems taškams jis nėra lygus nuliui. Tai rodo, kad lygčių sistema turi unikalų sprendinį (tai aptariama straipsnyje sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemas), tai yra, koeficientai nustatomi unikaliu būdu, o per taškus (; f ()), ( ; f ()), (; f ()) eina per unikalią kvadratinę parabolę.

Pereikime prie integralo paieškos.

Akivaizdu:

f() = f(0) = + + =

f() = f(h) = + +

f () = f (2*h) = + +

Mes naudojame šias lygybes, kad padarytume paskutinį perėjimą šioje lygybių grandinėje:

= = (++) = h/3*(f ()+4*f ()+f ())

Taigi galime gauti parabolės metodo formulę:

Simpsono metodo pavyzdys.

Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami Simpsono formulę 0,001 tikslumu. Pradėkite dalyti dviem segmentais

Integralo, beje, imti negalima.

Sprendimas: Iš karto atkreipiu jūsų dėmesį į užduoties tipą – būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą su tam tikru tikslumu. Kaip ir naudojant trapecijos metodą, yra formulė, kuri iš karto nustatys reikiamą segmentų skaičių, kad būtų užtikrintas reikiamas tikslumas. Tiesa, teks rasti ketvirtą išvestinę ir išspręsti ekstremalią problemą. Praktikoje beveik visada naudojamas supaprastintas klaidų įvertinimo metodas.

Pradedu apsispręsti. Jei turime du skaidinio segmentus, tada bus mazgai dar vieną:,. Ir Simpsono formulė yra labai kompaktiška:

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:

Viršutinėje eilutėje rašome indeksų „skaitiklį“.

Antroje eilutėje pirmiausia įrašome apatinę integravimo ribą a = = 1,2, o tada iš eilės pridedame žingsnį h = 0,4.

Trečioje eilutėje įvedame integrando reikšmes. Pavyzdžiui, jei = 1,6, tada. Kiek skaičių po kablelio turėčiau palikti? Iš tiesų, sąlyga vėl nieko apie tai nesako. Principas toks pat kaip ir trapecijos metodu, žiūrime į reikiamą tikslumą: 0,001. Ir pridėkite papildomus 2–3 skaitmenis. Tai reiškia, kad reikia suapvalinti iki 5–6 skaitmenų po kablelio.

Kaip rezultatas:

Gautas pirminis rezultatas. Dabar dvigubai segmentų skaičius iki keturių: . Simpsono formulė šiam skaidiniui yra tokia:

Apskaičiuokime skaidinio žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:

Taigi:

Mes įvertiname klaidą:

Paklaida didesnė už reikalaujamą tikslumą: 0,002165 > 0,001, todėl reikia dar kartą padvigubinti segmentų skaičių: .

Simpsono formulė tampa didesnė:

Apskaičiuokime žingsnį:

Ir dar kartą užpildykite skaičiavimo lentelę:

Taigi:

Atkreipkite dėmesį, kad čia patartina išsamiau aprašyti skaičiavimus, nes Simpsono formulė yra gana sudėtinga:

Mes įvertiname klaidą:

Klaida yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

Aukštosios matematikos katedra

Užbaigė: Matvejevas F.I.

Patikrintas: Burlova L.V.

Ulan-Udė.2002 m

1.Skaitiniai integravimo metodai

2. Simpsono formulės išvedimas

3.Geometrinė iliustracija

4. Integracijos žingsnio pasirinkimas

5.Pavyzdžiai

1. Skaitiniai integravimo metodai

Skaitinio integravimo uždavinys yra apskaičiuoti integralą

Skaitinio integravimo uždaviniai turi būti sprendžiami lentelėse nurodytoms funkcijoms, funkcijoms, kurių integralai nėra imami elementariose funkcijose ir kt. Panagrinėkime tik vieno kintamojo funkcijas.

Vietoj funkcijos, kurią reikia integruoti, integruojame interpoliacijos polinomą. Metodai, pagrįsti integrando pakeitimu interpoliacijos polinomu, leidžia įvertinti rezultato tikslumą naudojant daugianario parametrus arba pasirinkti šiuos parametrus pagal pateiktą tikslumą.

Skaitiniai metodai gali būti sąlyginai sugrupuoti pagal integrando aproksimacijos metodą.

Newton-Cotes metodai yra pagrįsti funkcijų aproksimacija

Spline integravimo metodai yra pagrįsti funkcijų aproksimacija

Aukščiausio algebrinio tikslumo metoduose (Gauso metodas) naudojami specialiai atrinkti nelygūs mazgai, kurie suteikia minimalią integravimo paklaidą tam tikram (pasirinktam) mazgų skaičiui.

Monte Karlo metodai dažniausiai naudojami, kai skaičiuojant keli mazgai parenkami atsitiktinai, o atsakymas yra tikimybinis.

apvalinimo klaida

Nepriklausomai nuo pasirinkto metodo, skaitinės integracijos procese būtina apskaičiuoti apytikslę integralo reikšmę ir įvertinti paklaidą. Paklaida mažėja, kai n skaičius didėja

segmentų pertvaros

susumavus integralų reikšmes, apskaičiuotas dalinėse atkarpose.

Sutrumpinimo paklaida priklauso nuo integrando savybių ir ilgio

2. Simpsono formulės išvedimas

Jei kiekvienai segmentų porai

Integruosime

ir vadinama Simpsono formule.

Gautas rezultatas integralui

Dabar įvertinkime integravimo klaidą naudodami Simpsono formulę. Mes tai manysime

Vidutinės vertės teorema jau gali būti taikoma kiekvienam iš šių dviejų integralų, nes

(naudojome vidutinės vertės teoremą, nes

Diferencijuojantis

Iš abiejų sąmatų

Jei segmentas

Parašykime Simpsono formulę bendra forma.

Skaičiuodami apibrėžtąjį integralą, ne visada gauname tikslų sprendimą. Ne visada įmanoma jį pavaizduoti formoje elementari funkcija. Niutono-Leibnizo formulė skaičiavimui netinka, todėl reikia naudoti skaitmeninės integracijos metodus. Šis metodas leidžia gauti duomenis iš didelis tikslumas. Simpsono metodas kaip tik toks.

Norėdami tai padaryti, būtina pateikti grafinį formulės išvedimo vaizdą. Toliau pateikiamas absoliučios paklaidos įvertinimas naudojant Simpsono metodą. Pabaigoje palyginsime tris metodus: Simpson, stačiakampiai, trapecijos.

Parabolės metodas – esmė, formulė, vertinimas, klaidos, iliustracijos

Pateikta y = f (x) formos funkcija, kuri turi tęstinumą intervale [ a ; b ] , reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x

Būtina padalinti atkarpą [a; b ] į n atkarpas formos x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n, kurio ilgis 2 h = b - a n, o taškai a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Ši byla rodo, kad mazgai apibrėžiami per x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n .

Kiekvienas intervalas x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , integrando n aproksimuojamas naudojant parabolę, apibrėžtą y = a i x 2 + b i x + c i, einančią per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Štai kodėl metodas turi tokį pavadinimą.

Šie veiksmai atliekami siekiant, kad integralas ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x būtų apytikslė reikšmė ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Galime apskaičiuoti pagal Niutono-Leibnizo formulę. Tai yra parabolės metodo esmė. Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslą.

Grafinė parabolės metodo iliustracija (Simpson)

Naudojant raudoną liniją, pavaizduotas funkcijos y = f (x) grafikas, o mėlyna linija yra grafiko y = f (x) aproksimacija naudojant kvadratines paraboles.

Remdamiesi penktąja apibrėžtojo integralo savybe, gauname ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Norint gauti formulę parabolės metodu, reikia apskaičiuoti:

∫ x 2 i – 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Tegu x 2 i - 2 = 0 . Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Pavaizduokime tai per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) gali praeiti per vieną kvadratinę y = a i x 2 + b i x + c i formos parabolę. Kitaip tariant, būtina įrodyti, kad koeficientus galima nustatyti tik vienu būdu.

Turime x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) yra parabolės taškai, tada galioja kiekviena iš pateiktų lygčių. Mes tai gauname

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)

Gauta sistema išsprendžiama a i, b i, c i atžvilgiu, kur reikia ieškoti matricos determinanto pagal Vandermonde. Mes tai gauname

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1, ir jis laikomas ne nuliu ir nesutampa su taškai x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Tai ženklas, kad lygtis turi tik vieną sprendinį, tada pasirinkti koeficientai a i ; b i ; c i gali būti nustatytas tik unikaliu būdu, tada per taškus x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) gali praeiti tik viena parabolė.

Toliau galime ieškoti integralo ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

Tai aišku

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

Norint atlikti paskutinį perėjimą, būtina naudoti formos nelygybę

∫ x 2 i – 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 8 0 2 h = 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Taigi, formulę gauname naudodami parabolės metodą:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x) 4) +. . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

1 apibrėžimas

Simpsono metodo formulė yra ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Absoliučios paklaidos įvertinimo formulė turi formą δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Apytikslių apibrėžtųjų integralų skaičiavimo parabolės metodu pavyzdžiai

Simpsono metodas apima apytikslį apibrėžtųjų integralų skaičiavimą. Dažniausiai šis metodas taikomas dviejų tipų problemoms spręsti:

• apytiksliai apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą;
• randant apytikslę reikšmę δ n tikslumu.

Skaičiavimo tikslumui įtakos turi n reikšmė, kuo n didesnis, tuo tikslesnės tarpinės reikšmės.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite apibrėžtąjį integralą ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 Simpsono metodu, integravimo atkarpą padalindami į 5 dalis.

Sprendimas

Pagal sąlygą žinoma, kad a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

Tada į formą įrašome Simpsono formulę

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Norint jį visiškai pritaikyti, reikia apskaičiuoti žingsnį pagal formulę h = b - a 2 n, nustatyti taškus x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n ir raskite integrando funkcijos f (x i) reikšmes, i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Tarpiniai skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 5 skaitmenų. Pakeiskime vertes ir gaukime

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 5 = 0 . 5

Raskime funkcijos reikšmę taškuose

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Aiškumas ir patogumas pateikti žemiau esančioje lentelėje

Rezultatus būtina pakeisti parabolės metodo formule:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0. 1++0. 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Skaičiavimui pasirinkome apibrėžtąjį integralą, kurį galima apskaičiuoti naudojant Newton-Leibniz. Mes gauname:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Atsakymas: Rezultatai sutampa iki šimtųjų dalių.

2 pavyzdys

Apskaičiuoti neapibrėžtas integralas∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x taikant Simpsono metodą 0,001 tikslumu.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime, kad a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Reikia nustatyti n reikšmę. Tam naudokite Simpsono metodo absoliučios paklaidos įvertinimo formulę formos δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Kai randame n reikšmę, tada nelygybė m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 bus įvykdytas. Tada, naudojant parabolės metodą, skaičiavimo paklaida neviršys 0. 001. Paskutinė nelygybė įgauna formą

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Dabar turime išsiaiškinti, kuris didžiausia vertė gali imti ketvirtosios išvestinės modulį.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Apibrėžimo sritis f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 priklauso intervalui - 81 16 ; 81 16, o pats integravimo segmentas [0; π) turi ekstremumo tašką, iš to seka, kad m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Mes atliekame pakeitimą:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Mes nustatėme, kad n yra natūralusis skaičius, tada jo reikšmė gali būti lygi n = 5, 6, 7... pirmiausia reikia paimti reikšmę n = 5.

Atlikite veiksmus, panašius į ankstesnį pavyzdį. Reikia apskaičiuoti žingsnį. Už tai

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Raskime mazgus x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , tada integrando reikšmė turės formą

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10

Belieka pakeisti reikšmes į sprendimo formulę parabolės metodu ir gauname

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Simpsono metodas leidžia gauti apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 0,001 tikslumu.

Skaičiuodami pagal Niutono-Leibnizo formulę, gauname rezultatą

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Atsakymas:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

komentuoti

Daugeliu atvejų surandant m a x [ a ; b ] f (4) (x) yra problemiškas. Todėl naudojama alternatyva – parabolės metodas. Jo principas yra išsamiai paaiškintas skyriuje apie trapecijos metodą. Parabolės metodas laikomas tinkamiausiu integralo sprendimo metodu. Skaičiavimo klaida turi įtakos rezultatui n. Kuo mažesnė jo vertė, tuo tikslesnis apytikslis reikalingas skaičius.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šis metodas siūlo aproksimuoti integrandą dalinėje atkarpoje per taškus einanti parabolė
(xj, f(x j)), kur j = i-1; i-0.5; i, tai yra, integrando funkciją apytiksliai apskaičiuojame antrojo laipsnio Lagranžo interpoliacijos polinomu:

Atlikę integraciją gauname:

Štai kas yra Simpsono formulė arba parabolinė formulė. Ant segmento
[a, b] Simpsono formulė įgauna formą

Simpsono metodo grafinis vaizdas parodytas Fig. 2.4.

Ryžiai. 10.4. Simpsono metodas

Atsikratykime trupmeninių indeksų išraiškoje (2.16), perskirdami kintamuosius:

Tada Simpsono formulė įgaus formą

(2.18) formulės paklaida apskaičiuojama pagal šią išraišką:

Kur h·n = b-a, . Taigi Simpsono formulės paklaida yra proporcinga O(h 4).

komentuoti. Reikėtų pažymėti, kad Simpsono formulėje integracijos segmentas būtinai yra padalintas į net intervalų skaičius.

10.5. Apibrėžtųjų integralų skaičiavimas metodais
Monte Karlas

Anksčiau aptarti metodai vadinami deterministinis , tai yra, neturintis atsitiktinumo elemento.

Monte Karlo metodai(MMK) – tai skaitiniai matematinių uždavinių sprendimo metodai naudojant modeliavimą atsitiktiniai dydžiai. MMC leidžia sėkmingai išspręsti matematines problemas, kurias sukelia tikimybiniai procesai. Be to, sprendžiant problemas, nesusijusias su jokiomis tikimybėmis, galima dirbtinai sugalvoti tikimybinį modelį (ir net ne vieną), leidžiantį šias problemas išspręsti. Apsvarstykite apibrėžtojo integralo skaičiavimą

Skaičiuojant šį integralą naudojant stačiakampio formulę, intervalas [ a, b] Pasidalinti į N identiški intervalai, kurių viduryje buvo skaičiuojamos integrando reikšmės. Apskaičiuodami funkcijų reikšmes atsitiktiniuose mazguose, galite gauti daugiau tikslus rezultatas:

Čia γ i yra atsitiktinis skaičius, tolygiai paskirstytas per intervalą
. MMC integralo skaičiavimo paklaida yra ~ , kuri yra žymiai didesnė nei anksčiau tirtų deterministinių metodų.

Fig. 2.5 paveiksle pateiktas grafinis Monte Karlo metodo įgyvendinimas, skirtas apskaičiuoti vieną integralą su atsitiktiniais mazgais (2.21) ir (2.22).

Ryžiai. 10.6. Integravimas Monte Karlo metodu (2 atvejis)

Kaip matyti pav. 2.6, integralinė kreivė yra vienetiniame kvadrate, ir jei galime gauti atsitiktinių skaičių poras, tolygiai paskirstytas per intervalą, tada gautos reikšmės (γ 1, γ 2) gali būti interpretuojamos kaip taško koordinates vieneto aikštėje. Tada, jei gaunama gana daug šių skaičių porų, galime apytiksliai tai daryti
. Čia S yra taškų porų, patenkančių po kreive, skaičius ir N– bendras skaičių porų skaičius.

2.1 pavyzdys. Apskaičiuokite šį integralą:

Užduotis buvo išspręsta įvairių metodų. Gauti rezultatai apibendrinti lentelėje. 2.1.

2.1 lentelė

komentuoti. Lentelės integralo pasirinkimas leido palyginti kiekvieno metodo paklaidą ir išsiaiškinti skaidinių skaičiaus įtaką skaičiavimų tikslumui.

11 APGIRTINIS NELINIJŲ SPRENDIMAS
IR TRANSCENDENTĖS LYGTYBĖS

Integravimo atkarpą padalijame į lyginį vienodo ilgio elementariųjų atkarpų skaičių taškais su žingsniu
(
). Kiekviename segmente
Integrandą aproksimuojame antrojo laipsnio polinomu, kuris šiame segmente turi formą
. pastebėti, kad ičia priimamos tik nelyginės reikšmės nuo 1 iki
. Taigi integrando funkcija aproksimuojama kvadratinių daugianario aibe arba antrojo laipsnio splainu.

Apskaičiuokime savavališką integralą iš dešinės pusės.

Šansai ,Ir galima rasti iš interpoliacijos sąlygos, tai yra iš lygčių

,

Atkreipkite dėmesį, kad taškas yra atkarpos vidurio taškas
, vadinasi
. Pakeiskime šią išraišką į antrąją interpoliacijos lygtį:

.

Padauginkime šią lygtį iš 4 ir pridėkime prie kitų:

Paskutinė išraiška tiksliai sutampa su išraiška in laužtiniai skliaustai formulės (5.1). Vadinasi,

Tai reiškia

Taigi Simpsono formulė atrodo taip:

Kvadratūrinių formulių paklaidos įvertinimas.

Įvertinkime klaidą naudojant vidutinio stačiakampio metodą, darant prielaidą, kad funkcija
be galo skiriasi.

Išplėskime integrando funkciją
Taylor serijoje netoli taško ,
.

Paskutinėje eilutėje yra tik nelyginės galios x. Tada

Su nedideliu žingsniu h pagrindinis indėlis į klaidą R prisidės prie vertės
, vadinamas pagrindiniu klaidos terminu R.

Funkcijai taikykime vidutinių stačiakampių metodą
segmente
žingsniais h. Tada

.

Taigi,
, Kur
– pastovi vertė. Apytikslės lygybės klaida
yra be galo mažas aukštesnio laipsnio kiekis, palyginti su adresu
.

Žingsnio laipsnis h, kuriai likusi dalis yra proporcinga R, vadinama integravimo metodo tikslumo tvarka. Vidutinio stačiakampio metodas turi antros eilės tikslumą.

Įvertinkime paklaidą naudojant trapecijos metodą ir darant prielaidą, kad funkcija
be galo skiriasi.

Išplėskime integrandą į Taylor seriją šalia taško (
).

Pagrindinis klaidos terminas R:

.

Kairiojo stačiakampio metodo taikymas funkcijai
segmente
žingsniais h, mes gauname

.

Taigi, trapecijos metodas taip pat turi antros eilės tikslumą.

Panašiai galima parodyti, kad kairiojo ir dešiniojo stačiakampio metodai turi pirmąją, o Simpsono – ketvirtąją tikslumo eilę.

17 paskaita.

„Runge taisyklė praktiniam klaidų vertinimui.

Adaptyviųjų algoritmų samprata.

Ypatingi skaitmeninio integravimo atvejai.

Ląstelių metodas. Kelių integralų skaičiavimas“.

Praktinio klaidų vertinimo Runge taisyklė.

Tegul koks nors integravimo metodas turi tam tikrą tikslumą k, tai yra
, Kur - klaida, A– koeficientas, priklausantis nuo integravimo metodo ir integrando funkcijos, h– skaidymo žingsnis. Tada

o kai žengi

,

Išvestinė formulė vadinama pirmąja Runge formule. Tai turi didelę praktinę reikšmę. Jei reikia tiksliai apskaičiuoti integralą  , tada turime apskaičiuoti apytiksles integralo reikšmes, padvigubinant elementariųjų atkarpų skaičių, kol pasieksime nelygybę

Tada, nepaisydami be galo mažų dydžių, galime manyti, kad

Jei norime gauti daugiau tiksli vertė norimą integralą, tada patikslintą vertę J vietoj to galime priimti
suma

.

Tai antroji Runge formulė. Deja, šios patikslintos vertės neapibrėžtumas išlieka neaiškus, bet paprastai yra eilės tvarka didesnis nei pradinio metodo tikslumas (kai vertė yra J mes priimame
).

Pavyzdžiui, apsvarstykite trapecijos metodą. Kaip parodyta aukščiau, tikslumo tvarka kšio metodo yra lygus 2.

Kur
. Pagal antrąją Runge formulę

Kur
yra apytikslė Simpsono metodu rasto integralo su žingsniu reikšmė. Kadangi šio metodo tvarka yra 4, šiame pavyzdyje antrosios Runge formulės naudojimas padidino tikslumo eiliškumą 2.