Parabolės metodas (Simpson)

Metodo esmė, formulė, klaidų įvertinimas.

Tegul funkcija y = f (x) yra tolydi intervale ir turime apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą.

Atkarpą padaliname į n elementarius

atkarpos [;], i = 1., n ilgio 2 * h = (b-a) / n taškų

a =< < < < = b. Пусть точки, i = 1., n являются серединами отрезков [;], i = 1., n соответственно. В этом случае все «узлы» определяются из равенства = a + i*h, i = 0,1., 2*n.

Kiekviename intervale [;] i = 1,2., N, integrando funkcija

aproksimuojamas kvadratine parabole y = a * + b * x + c, einančia per taškus (; f ()), (; f ()), (; f ()). Iš čia ir kilo metodo pavadinimas – parabolės metodas.

Tai daroma siekiant paimti apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę, kurią galime apskaičiuoti naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Štai kas parabolės metodo esmė.

Simpsono formulės išvedimas.

Norėdami gauti parabolės metodo formulę (Simpson), mums belieka apskaičiuoti

Parodykime, kad per taškus (; f ()), (; f ()), (; f ()) eina tik viena kvadratinė parabolė y = a * + b * x + c. Kitaip tariant, įrodysime, kad koeficientai nustatomi vienareikšmiškai.

Kadangi (; f ()), (; f ()), (; f ()) yra parabolės taškai, tada kiekviena iš sistemos lygčių

Rašytinė lygčių sistema yra tiesinių algebrinių lygčių sistema nežinomų kintamųjų atžvilgiu. Šios lygčių sistemos pagrindinės matricos determinantas yra Vandermonde determinantas, o nesutampančių taškų atveju jis nėra nulis. Tai rodo, kad lygčių sistema turi unikalų sprendimą (apie tai straipsnyje pasakytas tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas), tai yra, koeficientai nustatomi vienareikšmiškai, o per taškus (; f ()), ( ; f ()), (; f ()) yra vienintelė kvadratinė parabolė.

Pereikime prie integralo paieškos.

Akivaizdu:

f () = f (0) = + + =

f () = f (h) = + +

f () = f (2 * h) = + +

Mes naudojame šias lygybes, kad padarytume paskutinį perėjimą šioje lygybių grandinėje:

= = (++) = h / 3 * (f () + 4 * f () + f ())

Taigi parabolės metodo formulę galima gauti:

Simpsono metodo pavyzdys.

Simpsono formule apskaičiuokite apytikslį integralą 0,001 tikslumu. Pradėkite skaidyti dviem linijos segmentais

Integral, beje, neimta.

Sprendimas: Iš karto atkreipiu dėmesį į užduoties tipą – reikia skaičiuoti tam tikrą integralą su tam tikru tikslumu... Kaip ir naudojant trapecijos metodą, yra formulė, kuri iš karto leis nustatyti reikiamą segmentų skaičių, kad būtų garantuotas reikiamas tikslumas. Tiesa, reikia rasti ketvirtą išvestinę ir išspręsti ekstremalią problemą. Praktikoje beveik visada naudojamas supaprastintas klaidų įvertinimo metodas.

Pradedu spręsti. Jei turime du skaidinio segmentus, tada mazgai bus dar vieną:,. Ir Simpsono formulė įgauna labai kompaktišką formą:

Apskaičiuokime skaidymo žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:

Viršutinėje eilutėje rašome indeksų „skaitiklį“.

Antroje eilutėje pirmiausia įrašome apatinę integravimo ribą a = 1,2, o tada iš eilės pridedame žingsnį h = 0,4.

Trečioje eilutėje įvedame integrando reikšmes. Pavyzdžiui, jei = 1,6, tada. Kiek skaičių po kablelio palikti? Iš tiesų, sąlyga vėl nieko apie tai nesako. Principas toks pat kaip ir trapecijos metodu, žiūrime į reikiamą tikslumą: 0,001. Ir pridėkite papildomus 2–3 skaitmenis. Tai yra, reikia suapvalinti iki 5–6 skaitmenų po kablelio.

Kaip rezultatas:

Gautas pirminis rezultatas. Dabar padvigubinti segmentų skaičius iki keturių:. Simpsono formulė šiam skaidiniui yra tokia:

Apskaičiuokime skaidymo žingsnį:

Užpildykime skaičiavimo lentelę:

Šiuo būdu:

Mes įvertiname klaidą:

Paklaida didesnė už reikalaujamą tikslumą: 0,002165> 0,001, todėl reikia dar kartą padvigubinti segmentų skaičių:.

Simpsono formulė tampa didesnė:

Apskaičiuokime žingsnį:

Ir vėl užpildykite skaičiavimo lentelę:

Šiuo būdu:

Atkreipkite dėmesį, kad čia pageidautina išsamiau aprašyti skaičiavimus, nes Simpsono formulė yra gana sudėtinga:

Mes įvertiname klaidą:

Neapibrėžtis mažesnis už reikalaujamą tikslumą: 0,000247< 0,001. Осталось взять наиболее точное приближение, округлить его до трёх знаков после запятой и записать.

„Aukštosios matematikos“ katedra

Užbaigė: Matvejevas F.I.

Tikrino: L.V.Burlova

Ulan Udė, 2002 m

1 Skaitinio integravimo metodai

2. Simpsono formulės išvedimas

3.Geometrinė iliustracija

4. Integravimo žingsnio pasirinkimas

5 pavyzdžiai

1. Skaitiniai integravimo metodai

Skaitinio integravimo uždavinys yra apskaičiuoti integralą

Skaitinio integravimo uždaviniai turi būti sprendžiami funkcijoms, pateiktoms lentelės būdu, funkcijai, kurios integralai nėra imami elementariose funkcijose ir pan. Nagrinėkime tik vieno kintamojo funkcijas.

Vietoj funkcijos, kurią reikia integruoti, integruojame interpoliacijos polinomą. Metodai, pagrįsti integrando pakeitimu interpoliacijos polinomu, leidžia įvertinti rezultato tikslumą pagal daugianario parametrus arba pasirinkti šiuos parametrus nurodytu tikslumu.

Skaitiniai metodai gali būti sutartinai sugrupuoti pagal integrando aproksimavimo metodą.

Newton-Cotes metodai yra pagrįsti funkcijų aproksimacija

Spline integravimo metodai yra pagrįsti funkcijų aproksimacija

Aukščiausio algebrinio tikslumo metoduose (Gausso metodas) naudojami specialiai parinkti nevienodo atstumo mazgai, kurie suteikia minimalią integravimo paklaidą tam tikram (pasirinktam) mazgų skaičiui.

Skaičiuojant kelis integralus dažniausiai naudojami Monte Karlo metodai, mazgai parenkami atsitiktinai, atsakymas yra tikimybinis.

apvalinimo klaida

Nepriklausomai nuo pasirinkto metodo, skaitinės integracijos procese būtina apskaičiuoti apytikslę integralo reikšmę ir įvertinti paklaidą. Paklaida mažėja didėjant n skaičiui

segmentų pertvaros

susumavus integralų reikšmes, apskaičiuotas dalinėse atkarpose.

Sutrumpinimo paklaida priklauso nuo integrando savybių ir ilgio

2. Simpsono formulės išvedimas

Jei kiekvienai linijos atkarpų porai

Mes integruosime

ir vadinama Simpsono formule.

Gauta už integralą

Dabar įvertinkime integravimo klaidą naudodami Simpsono formulę. Mes tai manysime

Vidutinės reikšmės teorema jau gali būti taikoma kiekvienam iš šių dviejų integralų, nes

(naudojome vidutinės vertės teoremą, nes

Diferencijuojantis

Iš abiejų sąmatų

Jei segmentas

Užrašykime Simpsono formulę bendra forma.

Skaičiuodami apibrėžtąjį integralą, ne visada gauname tikslų sprendimą. Ne visada įmanoma pavaizduoti formoje elementari funkcija... Niutono-Leibnizo formulė skaičiavimui netinka, todėl reikia naudoti skaitinės integracijos metodus. Šis metodas leidžia gauti duomenis labai tiksliai. Simpsono metodas toks.

Tam būtina pateikti grafinį formulės išvedimo vaizdą. Kitas yra absoliučios paklaidos įvertinimo įrašymas naudojant Simpsono metodą. Pabaigoje palyginsime tris metodus: Simpson, stačiakampiai, trapecijos.

Parabolės metodas – esmė, formulė, įvertinimas, klaidos, iliustracijos

Pateikta y = f (x) formos funkcija, kuri turi tęstinumą intervale [a; b], reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ∫ a b f (x) d x

Būtina padalinti atkarpą [a; b] į n formos x 2 i - 2 atkarpas; x 2 i, i = 1, 2,. ... ... , n kurio ilgis 2 h = b - a n ir taškai a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Kiekvienas intervalas x 2 i - 2; x 2 i, i = 1, 2,. ... ... , integrando n aproksimuojamas naudojant parabolę, pateiktą y = a i x 2 + b i x + c i, einančią per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i). Todėl metodas turi tokį pavadinimą.

Šie veiksmai atliekami siekiant, kad integralas ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x būtų apytikslė reikšmė ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x. Galime apskaičiuoti naudodami Niutono-Leibnizo formulę. Tai yra parabolės metodo esmė, žiūrėkite paveikslėlį žemiau.

Grafinė parabolės metodo iliustracija (Simpson)

Raudona linija vaizduoja funkcijos y = f (x) grafiką, mėlyna - grafiko y = f (x) aproksimaciją naudojant kvadratines paraboles.

Remdamiesi penktąja apibrėžtojo integralo savybe, gauname ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2, jei (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Norint gauti formulę parabolės metodu, reikia apskaičiuoti:

∫ x 2 i – 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Tegul x 2 i - 2 = 0. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Pavaizduokime, kad per taškus, kurių koordinatės x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) gali praeiti viena y = a i x 2 + b i x + c i formos kvadratinė parabolė. Kitaip tariant, reikia įrodyti, kad koeficientus galima nustatyti tik vienu būdu.

Turime, kad x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) yra parabolės taškai, tada galioja kiekviena iš pateiktų lygčių. Mes tai suprantame

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 i - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 i + ci = f (x 2 i)

Gauta sistema išsprendžiama a i, b i, c i atžvilgiu, kur reikia ieškoti matricos determinanto pagal Vandermonde. Mes tai suprantame

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1, ir jis laikomas nuliu nesutampančiu ir nesutampa su taškai x 2 i - 2, x 2 i - 1, x 2 i. Tai ženklas, kad lygtis turi tik vieną sprendinį, tada pasirinkti koeficientai a i; b i; c i galima nustatyti tik vienareikšmiškai, tada per taškus x 2 i - 2; f (x 2 i - 2), x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) gali praeiti tik viena parabolė.

Toliau galime ieškoti integralo ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

Tai aišku

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Norint atlikti paskutinį perėjimą, būtina naudoti formos nelygybę

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Taigi, formulę gauname naudodami parabolės metodą:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x) 4) +. ... ... + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

1 apibrėžimas

Simpsono metodo formulė yra ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n).

Absoliučios paklaidos įvertinimo formulė yra tokia: δ n ≤ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4.

Apytikslių apibrėžtųjų integralų skaičiavimo parabolės metodu pavyzdžiai

Simpsono metodas apima apytikslį apibrėžtųjų integralų skaičiavimą. Dažniausiai šis metodas yra dviejų tipų užduotys:

• apytiksliai apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą;
• randant apytikslę reikšmę δ n tikslumu.

Skaičiavimo tikslumui įtakos turi n reikšmė, kuo didesnis n, tuo tikslesnės tarpinės reikšmės.

1 pavyzdys

Apibrėžtąjį integralą ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 įvertinkite Simpsono metodu, integravimo atkarpą padalindami į 5 dalis.

Sprendimas

Remiantis hipoteze, žinoma, kad a = 0; b = 5; n = 5, f (x) = x x 4 + 4.

Tada į formą įrašome Simpsono formulę

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Norint jį visiškai pritaikyti, reikia apskaičiuoti žingsnį pagal formulę h = b - a 2 n, nustatyti taškus x i = a + i · h, i = 0, 1,. ... ... , 2 n ir raskite integrando f (x i) reikšmes, i = 0, 1,. ... ... , 2 n.

Tarpiniai skaičiavimai turi būti suapvalinti iki 5 skaitmenų. Pakeiskite reikšmes ir gaukite

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 5 = 0. 5

Raskite funkcijos reikšmę taškais

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0. 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0,5) = 0. 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. ... ... i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Aiškumas ir patogumas pateikti žemiau esančioje lentelėje.

Rezultatus būtina pakeisti parabolės metodo formule:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) ) = = 0. 5 3 0 + 4 0. 12308 + 0. 16552 + 0. 05806 + + 0. 02272 + 0. 01087 + 2 0. 2 + 0. 1++0. 03529 + 0. 01538 + 0. 00795 ≈ ≈ 0. 37171

Skaičiavimui pasirinkome apibrėžtąjį integralą, kurį galima apskaičiuoti pagal Newtoną-Leibnizą. Mes gauname:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0. 37274

Atsakymas: Rezultatai sutampa iki šimtųjų.

2 pavyzdys

Įvertinkite neapibrėžtą integralą ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x taikydami Simpsono metodą iki 0,001.

Sprendimas

Remiantis hipoteze, turime, kad a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Būtina nustatyti n reikšmę. Tam Simpsono metodo absoliučios paklaidos įvertinimo formulė formos δ n ≤ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001

Kai randame n reikšmę, tada nelygybė m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0. 001 bus įvykdytas. Tada, taikant parabolių metodą, skaičiavimo paklaida neviršys 0. 001. Paskutinė nelygybė įgauna formą

n 4 ≥ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2. 88

Dabar reikia išsiaiškinti, kokia yra didžiausia ketvirtosios išvestinės modulio reikšmė.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 "= - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f" "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 "= - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2" = 81 16 nuodėmė 3 x 2

Apibrėžimo sritis f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 priklauso intervalui - 81 16; 81 16, o pats integravimo intervalas [0; π) turi ekstremumo tašką, iš to seka, kad m a x [0; π] f (4) (x) = 81 16.

Mes atliekame pakeitimą:

n 4 ≥ m a x [a; b] f (4) (x) · (b - a) 5 2. 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 π - 0 5 2. 88 ⇔ ⇔ n 4> 537. 9252 ⇔ n> 4. 8159

Gavome, kad n yra natūralusis skaičius, tada jo reikšmė gali būti lygi n = 5, 6, 7 ... pirmiausia reikia paimti reikšmę n = 5.

Atlikite veiksmus panašiai kaip ankstesniame pavyzdyje. Reikia apskaičiuoti žingsnį. Už tai

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Raskite mazgus x i = a + i h, i = 0, 1,. ... ... , 2 n, tada integrando reikšmė turės formą

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0. 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. ... ... i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

Belieka pakeisti reikšmes į tirpalo formulę parabolės metodu ir gauti

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1. 487688 + 1. 207107 + + 0. 343566 - 0. 391007 + 21. 309017 + 1. 451056 + + 0. 809017 - 0. 87785 - 0. 5 = = 2. 237650

Simpsono metodas leidžia gauti apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 0 001 tikslumu.

Apskaičiuojant pagal Niutono-Leibnizo formulę, gauname rezultatą

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Atsakymas:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237

komentuoti

Daugeliu atvejų surandant m a x [a; b] f (4) (x) yra problemiškas. Todėl naudojama alternatyva – parabolės metodas. Jo principas išsamiai paaiškintas trapecijos metodo skyriuje. Parabolės metodas laikomas tinkamiausiu integruotos skyros metodu. Skaičiavimo klaida turi įtakos rezultatui n. Kuo mažesnė jo reikšmė, tuo tikslesnis apytikslis norimas skaičius.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter

Taikant šį metodą dalinės atkarpos integrandą siūloma aproksimuoti parabole, einančia per taškus
(x j, f(x j)), kur j = i-1; i-0.5; i, tai yra, integrandas aproksimuojamas antrojo laipsnio Lagranžo interpoliacijos polinomu:

Sujungę gauname:

Štai kas yra Simpsono formulė arba parabolių formulė. Ant segmento
[a, b] Simpsono formulė įgauna formą

Simpsono metodo grafinis vaizdas parodytas fig. 2.4.

Ryžiai. 10.4. Simpsono metodas

Atsikratykime trupmeninių indeksų išraiškoje (2.16), pervardydami kintamuosius:

Tada Simpsono formulė įgauna formą

(2.18) formulės paklaida apskaičiuojama pagal šią išraišką:

kur h n = b - a,. Taigi Simpsono formulės paklaida yra proporcinga O(h 4).

komentuoti. Reikėtų pažymėti, kad Simpsono formulėje integravimo intervalas būtinai yra padalintas į net intervalų skaičius.

10.5. Apibrėžtųjų integralų skaičiavimas metodais
Monte Karlas

Anksčiau aptarti metodai vadinami deterministinis , tai yra, neturintis atsitiktinumo elemento.

Monte Karlo metodai(MMK) – tai skaitiniai matematinių uždavinių sprendimo metodai naudojant modeliavimą atsitiktiniai dydžiai... MMK leidžia sėkmingai spręsti matematines problemas dėl tikimybinių procesų. Be to, sprendžiant problemas, nesusijusias su jokiomis tikimybėmis, galima dirbtinai sugalvoti tikimybinį modelį (ir net ne vieną), leidžiantį šias problemas išspręsti. Apsvarstykite apibrėžtojo integralo skaičiavimą

Skaičiuojant šį integralą pagal stačiakampio formulę, intervalas [ a, b] įsilaužti N vienodais intervalais, kurių viduryje buvo skaičiuojamos integrando reikšmės. Apskaičiuodami funkcijos reikšmes atsitiktiniuose mazguose, galite gauti tikslesnį rezultatą:

Čia γ i yra atsitiktinis skaičius, tolygiai paskirstytas per intervalą
... Integralo MCM ~ skaičiavimo paklaida, kuri yra daug didesnė nei anksčiau tirtų deterministinių metodų.

Fig. 2.5 parodytas grafinis Monte Karlo metodo įgyvendinimas, skirtas apskaičiuoti vieną integralą su atsitiktiniais mazgais (2.21) ir (2.22).

Ryžiai. 10.6. Integracija Monte Karlo metodu (2 atvejis)

Kaip matyti pav. 2.6, integralinė kreivė yra vienetiniame kvadrate, ir jei galime gauti atsitiktinių skaičių poras, tolygiai paskirstytas per intervalą, tada gautos reikšmės (γ 1, γ 2) gali būti interpretuojamos kaip taško koordinates vieneto aikštėje. Tada, jei buvo gautas pakankamas šių skaičių porų skaičius, galime apytiksliai manyti, kad
... čia S Ar taškų porų, patenkančių po kreive, skaičius, ir N- bendras skaičių porų skaičius.

2.1 pavyzdys. Apskaičiuokite šį integralą:

Užduotis buvo sprendžiama įvairiais būdais. Rezultatai apibendrinti lentelėje. 2.1.

2.1 lentelė

komentuoti. Lentelės integralo pasirinkimas leido palyginti kiekvieno metodo paklaidą ir išsiaiškinti skaidinių skaičiaus įtaką skaičiavimų tikslumui.

11 APGIRTINIS NELINIJŲ SPRENDIMAS
IR TRANSCENDENTĖS LYGTYBĖS

Integravimo atkarpą padalijame į lyginį vienodo ilgio elementariųjų atkarpų skaičių taškais su žingsniu
(
). Kiekviename segmente
integrandas aproksimuojamas antrojo laipsnio polinomu, kuris šiame segmente turi formą
... pastebėti, kad ičia paimamos tik nelyginės reikšmės nuo 1 iki
... Taigi integrandas aproksimuojamas kvadratinių polinomų rinkiniu arba antrojo laipsnio splainu.

Apskaičiuokime savavališką integralą iš dešinės pusės.

Šansai ,ir galima rasti iš interpoliacijos sąlygos, tai yra iš lygčių

,

Atkreipkite dėmesį, kad taškas yra atkarpos vidurio taškas
, vadinasi
... Pakeiskite šią išraišką į antrąją interpoliacijos lygtį:

.

Padauginkite šią lygtį iš 4 ir pridėkite prie likusios:

Paskutinė išraiška yra lygiai tokia pati kaip ir išraiška in laužtiniai skliaustai formulės (5.1). Vadinasi,

Taigi,

Taigi Simpsono formulė yra tokia:

Kvadratūrinių formulių paklaidos įvertinimas.

Įvertinkime paklaidą naudojant vidutinių stačiakampių metodą, darant prielaidą, kad funkcija
be galo skiriasi.

Mes plečiame integrandą
Taylor serijoje netoli taško ,
.

Paskutinėje eilutėje yra tik nelyginės galios x... Tada

Su nedideliu žingsniu h pagrindinė klaida R prisidės prie vertės
, vadinamas pagrindiniu klaidos terminu R.

Funkcijai pritaikykime vidurinių stačiakampių metodą
segmente
su žingsniu h... Tada

.

Taigi,
, kur
- pastovi vertė. Apytikslės lygybės klaida
yra be galo mažas aukštesnės eilės kiekis, palyginti su adresu
.

Žingsnio laipsnis h, kuriai likusi dalis yra proporcinga R, vadinamas integravimo metodo tikslumo tvarka. Vidurinių stačiakampių metodas yra antros eilės tikslumo.

Įvertinkime klaidą naudojant trapecijos metodą ir darant prielaidą, kad funkcija
be galo skiriasi.

Išplečiame integrandą Taylor serijoje, esančioje taško kaimynystėje (
).

Pagrindinis klaidos terminas R:

.

Kairiojo stačiakampio metodo taikymas funkcijai
segmente
su žingsniu h, mes gauname

.

Taigi, trapecijos metodas taip pat turi antrąją tikslumo eilę.

Panašiai galima parodyti, kad kairiojo ir dešiniojo stačiakampių metodai turi pirmąją, Simpsono – ketvirtą tikslumo eilę.

17 paskaita.

„Runge praktinio klaidų įvertinimo taisyklė.

Adaptyviųjų algoritmų samprata.

Ypatingi skaitmeninio integravimo atvejai.

Ląstelių metodas. Kelių integralų skaičiavimas.

Praktinio klaidų įvertinimo Runge taisyklė.

Tegul koks nors integravimo metodas turi tikslumą k, tai yra
, kur - klaida, A- koeficientas, priklausantis nuo integravimo metodo ir integrando, h Yra skaidymo žingsnis. Tada

ir žingsnyje

,

Išvestinė formulė vadinama pirmąja Runge formule. Tai turi didelę praktinę reikšmę. Jei reikia tiksliai apskaičiuoti integralą  , tada turime apskaičiuoti apytiksles integralo reikšmes, padvigubinant elementariųjų atkarpų skaičių, kol pasieksime nelygybę

Tada, nepaisydami be galo mažų dydžių, galime manyti, kad

Jei norime gauti daugiau tiksli vertė reikiamo integralo, tada patikslintai vertei J vietoj to galime priimti
suma

.

Tai yra antroji Runge formulė. Deja, šios atnaujintos reikšmės paklaida lieka neapibrėžta, bet dažniausiai ji yra eilės tvarka didesnė už pradinio metodo tikslumą (kai reikšmė J mes priimame
).

Pavyzdžiui, apsvarstykite trapecijos metodą. Kaip parodyta aukščiau, tikslumo tvarka kšio metodo yra 2.

kur
... Pagal antrąją Runge formulę

kur
yra apytikslė Simpsono metodu rasto integralo su žingsniu reikšmė. Kadangi šio metodo tvarka yra 4, šiame pavyzdyje antrosios Runge formulės taikymas padidino tikslumo eiliškumą 2.