Функцийг өгье. x ба y нь бие даасан хувьсагч тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж байхад нөгөө нь үнэ цэнээ хадгалж үлддэг. y-ийн утгыг хэвээр үлдээж, x бие даасан хувьсагчийг нэмэгдүүлье. Дараа нь z нь нэмэгдлийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг x-тэй харьцах z-ийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэдэг ба . Тэгэхээр, .

Үүний нэгэн адил бид z-ээс y-ийн хэсэгчилсэн өсөлтийг олж авна: .

z функцийн нийт өсөлтийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Хэрэв хязгаар байгаа бол үүнийг х хувьсагчтай харьцах цэг дээрх функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэх ба тэмдэгтүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

.

Нэг цэг дэх x-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг ихэвчлэн тэмдэгтээр тэмдэглэдэг .

y хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэнэ.

Ийнхүү хэд хэдэн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь үлдсэн бие даасан хувьсагчийн утгууд тогтмол байх тохиолдолд эдгээр хувьсагчийн аль нэгийн функцийн дериватив гэж тодорхойлогддог. Тиймээс нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тооцоолох томъёо, дүрмийг ашиглан функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог (энэ тохиолдолд x эсвэл y нь тогтмол утга гэж тооцогддог).

Хэсэгчилсэн деривативыг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг функц гэж үзэж болно. Эдгээр функцууд нь хэсэгчилсэн деривативтай байж болох бөгөөд үүнийг хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэв.

; ;

; .

Хоёр хувьсагчийн функцийн 1 ба 2-р зэрэглэлийн дифференциалууд.

Функцийн нийт дифференциалыг (томьёо 2.5) нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал гэнэ.

Нийт дифференциалыг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна.

(2.5) эсвэл , Хаана,

функцийн хэсэгчилсэн дифференциалууд.

Функц нь хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциалыг томъёогоор тодорхойлно. Үүнийг олцгооё:

Эндээс: . Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

.

ТОДОРХОЙГҮЙ ИНТЕГРАЛ.

Функцийн эсрэг дериватив, тодорхойгүй интеграл, шинж чанарууд.

F(x) функцийг дуудна эсрэг деривативӨгөгдсөн функцийн хувьд f(x), хэрэв F"(x)=f(x) бол, эсвэл, ямар нь ижил, хэрэв dF(x)=f(x)dx бол.

Теорем. Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй урттай зарим интервалд (X) тодорхойлогдсон f(x) функц нь нэг эсрэг дериватив, F(x) байвал бас хязгааргүй олон эсрэг деривативтэй байна; тэдгээр нь бүгд F(x)+C илэрхийлэлд агуулагддаг ба энд C нь дурын тогтмол юм.

Тодорхой интервалаар эсвэл төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй урттай сегмент дээр тодорхойлсон өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын багцыг гэнэ. тодорхойгүй интеграл f(x) функцээс [эсвэл f(x)dx илэрхийллээс ] ба тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Хэрэв F(x) нь f(x)-ийн эсрэг деривативуудын нэг бол эсрэг дериватив теоремын дагуу

, энд C нь дурын тогтмол юм.

Эсрэг деривативын тодорхойлолтоор F"(x)=f(x) ба иймд dF(x)=f(x) dx. (7.1) томъёонд f(x)-ийг интеграл функц гэж нэрлэдэг ба f( x) dx-ийг интеграл илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 1.11Хоёр хувьсагчийн функцийг өгье z=z(x,y), (x,y)D . Цэг М 0 (х 0 ;y 0 ) - талбайн дотоод цэг Д .

Хэрэв орвол Д ийм хороолол байдаг У.М. 0 оноо М 0 , энэ нь бүх цэгүүдэд зориулагдсан

дараа нь зааж өгнө үү М 0 локал максимум цэг гэж нэрлэдэг. Мөн утга нь өөрөө z(М 0 ) - орон нутгийн дээд хэмжээ.

Гэхдээ бүх онооны хувьд

дараа нь зааж өгнө үү М 0 функцийн орон нутгийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг z(x,y) . Мөн утга нь өөрөө z(М 0 ) - орон нутгийн доод хэмжээ.

Орон нутгийн максимум ба орон нутгийн минимумыг функцийн орон нутгийн экстремум гэж нэрлэдэг z(x,y) . Зураг дээр. 1.4 орон нутгийн максимумын геометрийн утгыг тайлбарлав. М 0 - гадаргуу дээр байгаа тул хамгийн дээд цэг z =z (x,y) түүний харгалзах цэг C 0 зэргэлдээх цэгээс өндөр байна C (энэ бол хамгийн их нутаг дэвсгэр).

Гадаргуу дээр ерөнхийдөө цэгүүд байдаг гэдгийг анхаарна уу (жишээлбэл, IN ) дээр байрладаг C 0 , гэхдээ эдгээр цэгүүд (жишээлбэл, IN ) цэг рүү "хөрш" биш байна C 0 .

Ялангуяа цэг IN Энэ нь дэлхийн максимум гэсэн ойлголттой нийцдэг:

Дэлхийн хамгийн бага хэмжээг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон:

Глобал максимум ба минимумыг олох талаар 1.10-р хэсэгт авч үзэх болно.

Теорем 1.3(экстремумын зайлшгүй нөхцөл).

Функцийг өгье z =z (x,y), (x,y)D . Цэг М 0 (х 0 ;y 0 Д - орон нутгийн экстремум цэг.

Хэрэв энэ үед байгаа бол z" x Тэгээд z" y , Тэр

Геометрийн баталгаа нь "илэрхий" юм. Хэрэв цэг дээр байвал C 0 дээр шүргэгч хавтгай зурах (Зураг 1.4), дараа нь энэ нь "байгалийн" хэвтээ, өөрөөр хэлбэл өнцгөөр өнгөрөх болно. 0° тэнхлэг рүү Өө ба тэнхлэг рүү OU .

Дараа нь хэсэгчилсэн деривативын геометрийн утгын дагуу (Зураг 1.3):

Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Тодорхойлолт 1.12.

Хэрэв цэг дээр бол М 0 (1.41) нөхцөл хангагдсан бол функцийн суурин цэг гэнэ z(x,y) .

Теорем 1.4(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл).

Өгчихье z =z (x,y), (x,y)D , энэ нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай М 0 (х 0 , у 0 )D . Түүнээс гадна М 0 - суурин цэг (жишээ нь, шаардлагатай нөхцөлүүд (1.41) хангагдсан). Тооцоолъё:

Теоремыг батлахдаа энэ зааварт тусгагдаагүй сэдвүүдийг (хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн Тейлорын томъёо ба квадрат хэлбэрийн онол) ашигладаг.

Жишээ 1.13.

Хэт ихийг судлах:

Шийдэл

1. (1.41) системийг шийдэх замаар суурин цэгүүдийг ол:

өөрөөр хэлбэл дөрвөн суурин цэг олддог. 2.

1.4 теоремоор тухайн цэг дээр хамгийн бага байна. Түүнээс гадна

цэг дээр теорем 1.4-ээр

Хамгийн их. Түүнээс гадна

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь ижил хувьсагчийн функц юм. Эдгээр функцууд нь эргээд хэсэгчилсэн деривативтай байж болох бөгөөд бид үүнийг анхны функцийн хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив (эсвэл хоёр дахь дарааллын хэсэгчилсэн дериватив) гэж нэрлэх болно.

Жишээлбэл, хоёр хувьсагчийн функц нь дөрвөн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэнэ.

Гурван хувьсагчийн функц нь есөн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай:

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн гурав ба түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэдэг: хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн дарааллын хэсэгчилсэн дериватив нь ижил дарааллын хэсэгчилсэн деривативын эхний дарааллын хэсэгчилсэн дериватив юм. функц.

Жишээлбэл, функцийн гуравдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын y-тэй харьцуулахад нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив юм.

Хэд хэдэн өөр хувьсагчийн хувьд авсан хоёр дахь буюу түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг холимог хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, хэсэгчилсэн дериватив

нь хоёр хувьсагчийн функцийн холимог хэсэгчилсэн деривативууд юм.

Жишээ. Функцийн холимог хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох

Дараа нь бид хоёр дахь эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн деривативуудыг олно

Зөвхөн ялгах дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай холимог хэсэгчилсэн деривативууд, өөрөөр хэлбэл янз бүрийн хувьсагчийн хувьд ялгах дараалал нь ижил тэнцүү болохыг бид харж байна. Энэ үр дүн нь санамсаргүй биш юм. Холимог хэсэгчилсэн деривативуудын тухайд дараах теоремыг баримталдаг бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Гурван хувьсагчийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох ерөнхий зарчим нь хоёр хувьсагчийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох зарчимтай төстэй.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олохын тулд эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хэрэгтэй, эсвэл өөр тэмдэглэгээгээр:

Хоёрдугаар эрэмбийн есөн хэсэгчилсэн дериватив байдаг.

Эхний бүлэг нь ижил хувьсагчтай холбоотой хоёр дахь деривативууд юм.

Эсвэл - "x"-ийн хоёр дахь дериватив;

Эсвэл – "Y"-ийн хоёр дахь дериватив;

Эсвэл - "zet" -тэй холбоотой хоёр дахь дериватив.

Хоёр дахь бүлэг нь холимог 2-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив, тэдгээрийн зургаа нь:

Эсвэл - холимогдериватив "х igrek";

Эсвэл - холимог"х тоглоомоор" дериватив;

Эсвэл - холимог"x z-ийн хувьд" дериватив;

Эсвэл - холимогдериватив "zt x";

Эсвэл - холимогдериватив "igrek z-ийн хувьд";

Эсвэл - холимогдериватив "zt igrek".

Хоёр хувьсагчийн функцийн нэгэн адил асуудлыг шийдвэрлэхдээ хоёр дахь эрэмбийн холимог деривативуудын дараах тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулж болно.

Анхаар: хатуухан хэлэхэд энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Холимог деривативууд тэнцүү байхын тулд тэдгээрийн тасралтгүй байдлын шаардлагыг хангасан байх ёстой.

Энэ гутамшигт явдлыг чангаар хэрхэн зөв унших тухай цөөн хэдэн жишээ энд байна.

- "хоёр цохилт нь нэг тоглолтонд хоёр удаа";

– “de two y by de z square”;

– “X ба Z дээр хоёр цус харвалт байна”;

- “де хоёр ы по де зэт по де игрек.”

Жишээ 10

Гурван хувьсагчийн функцийн эхний болон хоёрдугаар эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

.

Шийдэл:Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё:

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "Y"-ээр ялгана:

Бид олсон деривативыг авдаг

"x"-ээр ялгана уу:

Тэгш байдал хангагдсан. Сайн байна.

Холимог деривативын хоёр дахь хосыг авч үзье.

Бид олсон деривативыг авдаг

мөн "z"-ээр ялгана:

Бид олсон деривативыг авдаг

"x"-ээр ялгана уу:

Тэгш байдал хангагдсан. Сайн байна.

Бид гурав дахь хос холимог деривативтай ижил төстэй байдлаар харьцдаг.

Тэгш байдал хангагдсан. Сайн байна.

Хийсэн ажлын дараа бид нэгдүгээрт, бүх 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон, хоёрдугаарт, холимог 2-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг зөв олсон гэдгийг баталж чадна.

Эндээс хоёр дахь эрэмбийн гурван хэсэгчилсэн деривативыг олох хэрэгтэй, алдаа гаргахгүйн тулд та анхаарлаа аль болох төвлөрүүлэх хэрэгтэй.

Бэлэн. Би давтан хэлье, даалгавар нь том хэмжээтэй тул тийм ч хэцүү биш юм. Уусмалыг богиносгож, холимог хэсэгчилсэн деривативуудын тэнцүү гэж нэрлэж болох боловч энэ тохиолдолд баталгаажуулалт байхгүй болно. Тиймээс цаг гаргаж, хайж олох нь дээр Бүгддериватив (үүнээс гадна багш үүнийг шаардаж болно), эсвэл эцсийн арга хэмжээ болгон төслийг шалгана уу.

Жишээ 11

Гурван хувьсагчийн функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл:

Жишээ 4:Шийдэл: Хувийн мэдээллийг олъёнэгдүгээр эрэмбийн дериватив.

Эхний эрэмбийн бүрэн дифференциал үүсгэе:

Жишээ 6:Шийдэл: М(1, -1, 0):

Жишээ 7:Шийдэл: Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолъёМ(1, 1, 1):

Жишээ 9:Шийдэл:

Жишээ 11:Шийдэл: Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

.

Интеграл

8.1. Тодорхой бус интеграл. Нарийвчилсан жишээ шийдэл

Сэдвээ судалж эхэлцгээе " Тодорхойгүй интеграл", мөн бид хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) интегралуудын шийдлийн жишээг нарийвчлан шинжлэх болно. Ердийнх шигээ бид олон тооны сурах бичигт байдаг хамгийн бага онолоор хязгаарлагдах болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Интеграл тооцоог даван туулахын тулд та дор хаяж дунд түвшинд дериватив олох чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв танд хэдэн арван, эсвэл илүү сайн, хэдэн зуун бие даан олсон дериватив байгаа бол энэ нь туршлага дэмий зүйл биш байх болно. Наад зах нь та хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн түгээмэл функцуудыг ялгах даалгавруудад андуурч болохгүй.

Хэрэв өгүүлэл интегралын тухай бол деривативууд үүнд ямар хамаатай юм шиг санагдаж байна?! Энэ нь энд байна. Баримт нь дериватив олох, тодорхойгүй интеграл олох (ялгарах ба интеграл) нь нэмэх/хасах, үржүүлэх/хуваах гэх мэт харилцан урвуу хоёр үйлдэл юм. Тиймээс дериватив олох ур чадвар, туршлагагүй бол харамсалтай нь та урагшлах боломжгүй юм.

Үүнтэй холбогдуулан бидэнд дараахь сургалтын материал хэрэгтэй болно. Деривативын хүснэгтТэгээд Интегралын хүснэгт.

Тодорхой бус интеграл сурахад ямар хүндрэл гардаг вэ? Хэрэв деривативуудад ялгах хатуу 5 дүрэм, деривативын хүснэгт, үйлдлийн нэлээд тодорхой алгоритм байдаг бол интегралд бүх зүйл өөр байна. Интеграцийн олон арван арга, техник байдаг. Хэрэв интеграцийн аргыг анх буруу сонгосон бол (өөрөөр хэлбэл та яаж шийдэхээ мэдэхгүй байгаа бол) та жинхэнэ оньсого шиг интегралыг хэдэн өдрийн турш "хатгаж" янз бүрийн арга техник, заль мэхийг олж харах боломжтой. Зарим хүмүүс бүр дуртай байдаг.

Дашрамд хэлэхэд, бид оюутнуудаас (хүмүүнлэгийн чиглэлээр мэргэшээгүй) "Би хэзээ ч хязгаар эсвэл деривативыг шийдэх сонирхолгүй байсан, гэхдээ интеграл бол огт өөр асуудал, энэ нь гайхалтай, үргэлж байдаг" гэсэн бодлыг ихэвчлэн сонсдог. нийлмэл интегралыг "хакердах" хүсэл." Зогс. Хар хошигнол хангалттай, эдгээр маш тодорхойгүй интеграл руу шилжье.

Нэгэнт шийдэх олон арга байгаа болохоор цайны сав хаанаас тодорхойгүй интеграл судалж эхлэх ёстой вэ? Интеграл тооцоонд бидний бодлоор гурван багана буюу бусад бүх зүйл эргэн тойронд нь эргэлддэг "тэнхлэг" байдаг. Юуны өмнө та хамгийн энгийн интегралуудын талаар сайн ойлголттой байх ёстой (энэ нийтлэл).

Дараа нь та хичээлээ нарийвчлан судлах хэрэгтэй. ЭНЭ ХАМГИЙН ЧУХАЛ ТЕХНИК! Магадгүй интегралын талаархи бүх өгүүллүүдийн хамгийн чухал нийтлэл ч байж магадгүй юм. Гуравдугаарт, та заавал унших хэрэгтэй хэсгүүдийн аргаар нэгтгэх, учир нь энэ нь олон төрлийн функцуудыг нэгтгэдэг. Хэрэв та дор хаяж эдгээр гурван хичээлийг эзэмшсэн бол танд хоёр хичээл байхгүй болно. Мэдэхгүй байгаад өршөөгдөж магадгүй -ийн интегралууд тригонометрийн функцууд , бутархайн интеграл, -ийн интегралууд бутархай рационал функцууд , иррационал функцүүдийн интеграл (үндэс), гэхдээ хэрэв та солих арга эсвэл эд ангиудыг нэгтгэх аргад "хүндрэлд орвол" энэ нь маш муу байх болно.

Тиймээс, энгийнээр эхэлцгээе. Интегралын хүснэгтийг харцгаая. Деривативын нэгэн адил бид интеграцийн хэд хэдэн дүрэм, заримаас интегралын хүснэгтийг анзаардаг үндсэн функцууд. Аливаа хүснэгтийн интеграл (мөн тодорхойгүй интеграл) дараах хэлбэртэй байна:

Тэмдэглэгээ болон нэр томъёог нэн даруй ойлгоцгооё:

- салшгүй дүрс.

- интеграл функц ("s" үсгээр бичсэн).

- дифференциал дүрс. Энэ юу болохыг бид тун удахгүй харах болно. Хамгийн гол нь интеграл бичихдээ болон шийдлийн явцад энэ дүрсийг алдахгүй байх нь чухал юм. Мэдэгдэхүйц алдаа гарах болно.

– интегралын интеграл буюу “бөглөх”.

– эсрэг деривативфункц.

– . Энд маш их ачаалал өгөх шаардлагагүй; тодорхойгүй интегралхариултанд тогтмол тоо нэмэгдэнэ.

Тодорхойгүй интегралыг шийднэ гэдэг нь олно гэсэн үголон анхдагч функцуудөгөгдсөн интегралаас

Бичлэгийг дахин харцгаая:

Интегралын хүснэгтийг харцгаая.

Юу болоод байна? Бидэнд зүүн хэсгүүд байна өөрчлөгдөхбусад функцууд руу: .

Тодорхойлолтоо хялбаршуулъя:

Тодорхой бус интегралыг шийд - энэ нь түүнийг тодорхойгүй (тогтмол хүртэл) функц болгон ХӨВЧЛҮҮЛнэ гэсэн үг , зарим дүрэм, техник, хүснэгтийг ашиглан.

Жишээлбэл, хүснэгтийн интегралыг ав . Юу болсон бэ? Бэлгэдлийн тэмдэглэгээ нь олон анхдагч функц болон хувирсан.

Деривативын нэгэн адил интегралыг олж сурахын тулд онолын үүднээс интеграл эсвэл эсрэг дериватив функц гэж юу болохыг мэддэг байх шаардлагагүй. Зарим албан ёсны дүрмийн дагуу өөрчлөлтийг хийхэд л хангалттай. Тиймээс, тохиолдолд Интеграл яагаад болж хувирдагийг ойлгох шаардлагагүй. Та энэ болон бусад томъёог энгийн зүйл гэж үзэж болно. Хүн бүр цахилгаан хэрэглэдэг боловч электронууд утсаар хэрхэн дамждаг талаар цөөхөн хүн боддог.

Ялгаварлах ба интеграцчилал нь эсрэг үйлдлүүд тул зөв олдсон аливаа эсрэг деривативын хувьд дараах зүйл үнэн болно.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та зөв хариултыг ялгах юм бол анхны интеграл функцийг авах ёстой.

Нэг хүснэгтийн интеграл руу буцъя .

Энэ томъёоны үнэн зөвийг шалгацгаая. Бид баруун талын деривативыг авдаг:

нь анхны интеграл функц юм.

Дашрамд хэлэхэд, функцэд яагаад тогтмол тогтмол оноогдсон нь илүү тодорхой болсон. Ялгах үед тогтмол нь үргэлж тэг болж хувирдаг.

Тодорхой бус интегралыг шийд- олох гэсэн үг бөөн хүн бүрзөвхөн нэг функц биш харин эсрэг деривативууд. Харж байгаа хүснэгтийн жишээнд, , , , гэх мэт – эдгээр бүх функц нь интегралын шийдэл юм. Хязгааргүй олон шийдэл байдаг тул бид үүнийг товч бичнэ:

Тиймээс аливаа тодорхойгүй интегралыг шалгахад хялбар байдаг. Энэ нь янз бүрийн төрлийн олон тооны интегралуудын зарим нөхөн олговор юм.

Тодорхой жишээнүүдийг авч үзье. Деривативыг судлахтай адил интеграцийн хоёр дүрмээр эхэлцгээе.

- тогтмол Cинтеграл тэмдгээс гаргаж авч болно (мөн байх ёстой).

– хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) интеграл нь хоёр интегралын нийлбэр (ялгаа)тай тэнцүү байна. Энэ дүрэм нь хэд хэдэн нэр томъёонд хүчинтэй байна.

Таны харж байгаагаар дүрэм нь үндсэндээ деривативтай адил байна. Заримдаа тэднийг дууддаг шугаман шинж чанаруудинтеграл.

Жишээ 1

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Шалгалт хийх.

Шийдэл:Үүнийг шиг хөрвүүлэх нь илүү тохиромжтой.

(1) Дүрмийг хэрэгжүүл . Бид дифференциал дүрсийг бичихээ мартдаг dxинтеграл бүрийн доор. Яагаад тус бүрийн доор? dx– энэ бол бүрэн үржүүлэгч юм.Хэрэв бид үүнийг нарийвчлан тайлбарлавал эхний алхамыг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй.

.

(2) Дүрмийн дагуу бид бүх тогтмолуудыг интегралын тэмдгүүдийн цаана шилжүүлдэг. Сүүлийн үед гэдгийг анхаарна уу тг 5 нь тогтмол, бид үүнийг бас гаргадаг.

Нэмж дурдахад, энэ үе шатанд бид нэгтгэх үндэс, хүчийг бэлтгэдэг. Ялгарахтай адил үндэс нь хэлбэрээр илэрхийлэгдэх ёстой . Хуваарьт байгаа үндэс ба хүчийг дээш нь хөдөлгө.

Жич:Деривативаас ялгаатай нь интеграл дахь үндсийг үргэлж хэлбэрт оруулж болохгүй , градусыг дээшлүүлнэ.

Жишээлбэл, - энэ бол таны өмнө тооцоолсон бэлэн хүснэгтийн интеграл бөгөөд Хятадын бүх төрлийн заль мэх юм. бүрэн шаардлагагүй. Үүний нэгэн адил: - энэ нь мөн хүснэгтийн интеграл юм . Хүснэгтийг анхааралтай судлаарай!

(3) Бидний бүх интегралууд хүснэгт хэлбэртэй байна. Бид дараах томъёог ашиглан хүснэгтийг ашиглан хувиргалтыг гүйцэтгэдэг. , Мөн

эрчим хүчний функцийн хувьд - .

Хүснэгтийн интеграл нь чадлын функцийн томъёоны онцгой тохиолдол гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. .

Тогтмол C илэрхийллийн төгсгөлд нэг удаа нэмэхэд хангалттай

(интеграл бүрийн ард тавихаас илүү).

(4) Бид олж авсан үр дүнг бүх хүч нь хэлбэртэй байх үед илүү нягт хэлбэрээр бичдэг

дахин бид тэдгээрийг язгуур хэлбэрээр төлөөлж, сөрөг илтгэгчтэй хүчийг дахин хуваагч руу буцаана.

Шалгалт. Шалгалт хийхийн тулд та хүлээн авсан хариултыг ялгах хэрэгтэй.

Эхний хүлээн авсан интеграл, өөрөөр хэлбэл интеграл зөв олдсон. Тэдний бүжиглэсэн зүйл нь тэд буцаж ирсэн зүйл юм. Интегралтай түүх ингэж дуусвал сайн.

Үе үе, тодорхойгүй интегралыг шалгахдаа үүсмэл биш харин дифференциалыг хариултаас авдаг бол арай өөр арга байдаг.

.

Үүний үр дүнд бид интеграл функц биш харин интеграл илэрхийлэлийг авдаг.

Дифференциал гэдэг ойлголтоос бүү ай.

Дифференциал нь деривативыг үржүүлсэн байна dx.

Гэсэн хэдий ч бидний хувьд чухал зүйл бол онолын нарийн ширийн зүйл биш, харин энэ дифференциалыг дараа нь яах вэ. Дифференциал дараах байдлаар илэрдэг: icon г бид үүнийг арилгаж, хаалтны баруун талд праймерыг тавьж, илэрхийллийн төгсгөлд хүчин зүйл нэмнэ dx :

Оригинал авсан интеграл, өөрөөр хэлбэл интеграл зөв олдсон.

Таны харж байгаагаар дифференциал нь деривативыг олоход хүргэдэг. Би нэмэлт том хаалт зурж, дифференциал дүрсийг чирэх шаардлагатай болсон тул шалгах хоёр дахь арга нь надад бага таалагдаж байна. dx чек дуусах хүртэл. Хэдийгээр энэ нь илүү зөв, эсвэл "илүү нэр хүндтэй" эсвэл өөр зүйл юм.

Үнэн хэрэгтээ баталгаажуулалтын хоёр дахь аргын талаар чимээгүй байх боломжтой байсан. Гол нь арга барилдаа биш бид дифференциал нээж сурсандаа л байгаа юм. Дахин.

Дифференциал нь дараах байдлаар илэрдэг.

1) дүрс гарилгах;

2) хаалт дээрх баруун талд бид цус харвалт (деривативын тэмдэглэгээ) тавьдаг;

3) илэрхийллийн төгсгөлд бид хүчин зүйл оноодог dx .

Жишээлбэл:

Үүнийг санаарай. Бидэнд энэ техник тун удахгүй хэрэг болно.

Жишээ 2

.

Бид тодорхойгүй интеграл олохдоо ҮРГЭЛЖ шалгахыг хичээдэгТүүгээр ч зогсохгүй үүнд маш том боломж бий. Дээд математикийн бүх төрлийн бодлого нь энэ үүднээс авч үзвэл бэлэг биш юм. Хяналтын даалгаварт шалгалт хийх шаардлагагүй байх нь хамаагүй, хэн ч үүнийг ноорог дээр хийхэд саад болохгүй. Зөвхөн хангалттай цаг байхгүй үед (жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр) үл хамаарах зүйлийг хийж болно. Би хувьдаа интегралуудыг байнга шалгадаг бөгөөд шалгахгүй байгаа нь хакердсан ажил, муу гүйцэтгэсэн ажил гэж үздэг.

Жишээ 3

Тодорхой бус интегралыг ол:

. Шалгалт хийх.

Шийдэл: Интегралд дүн шинжилгээ хийхдээ бид интеграл дор хоёр функцийн үржвэр, тэр ч байтугай бүхэл илэрхийллийн экспонентацийг олж харлаа. Харамсалтай нь салшгүй тулааны талбарт Үгүйсайн, тав тухтай бүтээгдэхүүн болон коэффициентийг нэгтгэх томъёозэрэг: эсвэл .

Тиймээс, үржвэр эсвэл коэффициентийг өгөхдөө интегралыг нийлбэр болгон хувиргах боломжтой эсэхийг үргэлж харах нь утга учиртай юу? Энэ нь боломжтой тохиолдолд авч үзэх жишээ юм.

Эхлээд бид бүрэн шийдлийг танилцуулах болно, тайлбарууд доор байх болно.

(1) Бид аль ч нийлбэрийн квадратын хуучин сайн томьёог ашигладаг бодит тоо, нийтлэг хаалт дээрх зэрэглэлээс ангижрах. хаалтны гадна талд, товчилсон үржүүлэх томъёог эсрэг чиглэлд хэрэглэх: .

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол

Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт, бүрэн шийдэл нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол

. Шалгалт хийх.

Энэ жишээнд интеграл нь бутархай юм. Интеграл дахь бутархайг харахад хамгийн түрүүнд "Энэ бутархайг ямар нэгэн байдлаар арилгах эсвэл ядаж хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуулт байх ёстой.

Бид хуваагч нь "X"-ийн дан язгуурыг агуулж байгааг анзаарсан. Талбайн нэг нь дайчин биш бөгөөд энэ нь бид тоологчийг хуваагч нэр томъёогоор хувааж болно гэсэн үг юм:

Функцийн деривативын тухай нийтлэлд олон удаа хэлэлцсэн тул бид бутархайн эрх бүхий үйлдлийн талаар тайлбар хийдэггүй.

Хэрэв та ийм жишээнд эргэлзсээр байвал

зөв хариулт хэзээ ч гарахгүй,

Мөн шийдэлд нэг алхам, тухайлбал дүрмийг хэрэгжүүлэх дутуу байгааг анхаарна уу , . Ихэвчлэн интегралыг шийдвэрлэх зарим туршлагатай бол эдгээр дүрмийг тодорхой баримт гэж үздэг бөгөөд үүнийг нарийвчлан тайлбарладаггүй.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт, бүрэн шийдэл нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Ерөнхий тохиолдолд интеграл дахь бутархайн хувьд бүх зүйл тийм ч энгийн зүйл биш бөгөөд зарим төрлийн бутархайг нэгтгэх нэмэлт материалыг нийтлэлээс олж болно. Зарим бутархайг нэгтгэх. Гэхдээ дээрх нийтлэл рүү шилжихээсээ өмнө та хичээлтэй танилцах хэрэгтэй. Тодорхой бус интегралд орлуулах арга. Гол нь функцийг дифференциал эсвэл хувьсагчийг орлуулах аргын дор оруулах нь чухал юм гол цэгЭнэ сэдвийг судлахдаа энэ нь зөвхөн "орлуулах аргын цэвэр даалгаварт" төдийгүй бусад олон төрлийн интегралуудаас олддог.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:

Жишээ 4: Шийдэл:

Энэ жишээнд бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашигласан

Жишээ 6: Шийдэл:

Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга. Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлээр бид тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хамгийн чухал бөгөөд хамгийн түгээмэл аргуудын нэг болох хувьсагчийг өөрчлөх аргатай танилцах болно. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд анхны мэдлэг, нэгтгэх чадварыг шаарддаг. Хэрэв та интеграл тооцоонд хоосон, дүүрэн данх мэт санагдаж байвал эхлээд материалтай танилцах хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ, интеграл гэж юу болохыг хүртээмжтэй хэлбэрээр тайлбарлаж, эхлэгчдэд зориулсан үндсэн жишээг нарийвчлан шинжлэх болно.

Техникийн хувьд тодорхойгүй интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх аргыг хоёр аргаар хэрэгжүүлдэг.

– Функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах.

– Үнэн хэрэгтээ хувьсагчийг өөрчилж байна.

Үндсэндээ энэ нь ижил зүйл боловч шийдлийн загвар нь өөр харагдаж байна. Илүү энгийн тохиолдлоор эхэлцгээе.

Хоёр хувьсагчийн функцийг өгье. Аргументыг нэмэгдүүлье, аргументыг өөрчлөхгүй орхиё. Дараа нь функц нь хувьсагчийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэгддэг өсөлтийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Үүний нэгэн адил аргументыг засч, аргументийн өсөлтийг өгснөөр бид хувьсагчаар функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийг олж авна.

Хэмжигдэхүүнийг тухайн цэг дэх функцийн нийт өсөлт гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 4. Эдгээр хувьсагчийн аль нэгэнд хамаарах хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тухайн хувьсагчийн дараагийнх нь тэг рүү чиглэх үед функцийн харгалзах хэсэгчилсэн өсөлтийг өгөгдсөн хувьсагчийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар юм (хэрэв энэ хязгаар байдаг). Хэсэгчилсэн деривативыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: эсвэл, эсвэл.

Тиймээс бид тодорхойлолтоор:

Функцийн хэсэгчилсэн деривативыг нэг хувьсагчийн функцээр ижил дүрэм, томъёоны дагуу тооцож, хувьсагчийг ялгахдаа тогтмол, хувьсагчаар ялгахдаа тогтмол гэж тооцдогийг харгалзан үзнэ. .

Жишээ 3. Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол:

Шийдэл. a) олохын тулд бид үүнийг тогтмол утга гэж үзэж, нэг хувьсагчийн функцээр ялгана.

Үүний нэгэн адил, тогтмол утгыг авч үзвэл бид дараахь зүйлийг олно.

Тодорхойлолт 5. Функцийн нийт дифференциал нь энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативуудын үржвэрүүдийн нийлбэрийг харгалзах бие даасан хувьсагчдын өсөлтөөр илэрхийлнэ, i.e.

Бие даасан хувьсагчдын дифференциал нь тэдний өсөлттэй давхцаж байгааг харгалзан үзвэл, i.e. , нийт дифференциалын томьёог гэж бичиж болно

Жишээ 4. Функцийн бүрэн дифференциалыг ол.

Шийдэл. Учир нь нийт дифференциал томъёог ашиглан бид олдог

Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

Хэсэгчилсэн деривативыг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив буюу нэгдүгээр хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 6. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд юм.

Хоёрдахь эрэмбийн дөрвөн хэсэгчилсэн дериватив байдаг. Тэдгээрийг дараах байдлаар томилно.

3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог. Жишээлбэл, функцийн хувьд бидэнд:

Өөр өөр хувьсагчдаас авсан хоёр дахь буюу түүнээс дээш эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг холимог хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Функцийн хувьд эдгээр нь дериватив юм. Холимог деривативууд тасралтгүй байх тохиолдолд тэгш байдал хадгалагдана гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 5. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл. Энэ функцийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг 3-р жишээнд үзүүлэв.

x ба y хувьсагчдаас ялгах замаар бид олж авна