Холимог хэсэгчилсэн деривативуудыг онлайнаар олцгооё. Функцийн деривативыг онлайнаар тооцоол. – Үнэн хэрэгтээ хувьсагчийг орлуулж байна
Тодорхойлолт 1.11Хоёр хувьсагчийн функцийг өгье z=z(x,y), (x,y)D . Цэг М 0 (х 0 ;y 0 ) - талбайн дотоод цэг Д .
Хэрэв орвол Д ийм хороолол байдаг У.М. 0 оноо М 0 , энэ нь бүх цэгүүдэд зориулагдсан
дараа нь зааж өгнө М 0 локал максимум цэг гэж нэрлэдэг. Мөн утга нь өөрөө z(М 0 ) - орон нутгийн дээд хэмжээ.
Гэхдээ бүх онооны хувьд
дараа нь зааж өгнө М 0 функцийн орон нутгийн хамгийн бага цэг гэж нэрлэдэг z(x,y) . Мөн утга нь өөрөө z(М 0 ) - орон нутгийн доод хэмжээ.
Орон нутгийн максимум ба орон нутгийн минимумыг функцийн орон нутгийн экстремум гэж нэрлэдэг z(x,y) . Зураг дээр. 1.4 орон нутгийн максимумын геометрийн утгыг тайлбарлав. М 0 - гадаргуу дээр байгаа тул хамгийн дээд цэг z =z (x,y) түүний харгалзах цэг C 0 зэргэлдээх цэгээс өндөр байна C (энэ бол хамгийн их нутаг дэвсгэр).
Гадаргуу дээр ерөнхийдөө цэгүүд байдаг гэдгийг анхаарна уу (жишээлбэл, IN ) дээр байрладаг C 0 , гэхдээ эдгээр цэгүүд (жишээлбэл, IN ) цэг рүү "хөрш" биш байна C 0 .
Ялангуяа цэг IN Энэ нь дэлхийн максимум гэсэн ойлголттой нийцдэг:
Дэлхийн хамгийн бага хэмжээг ижил төстэй байдлаар тодорхойлсон:
Глобал максимум ба минимумыг олох талаар 1.10-р хэсэгт авч үзэх болно.
Теорем 1.3(экстремумын зайлшгүй нөхцөл).
Функцийг өгье z =z (x,y), (x,y)D . Цэг М 0 (х 0 ;y 0 Д - орон нутгийн экстремум цэг.
Хэрэв энэ үед байгаа бол z" x Тэгээд z" y , Тэр
Геометрийн баталгаа нь "илэрхий" юм. Хэрэв цэг дээр байвал C 0 дээр шүргэгч хавтгай зурах (Зураг 1.4), дараа нь энэ нь "байгалийн" хэвтээ, өөрөөр хэлбэл өнцгөөр өнгөрөх болно. 0° тэнхлэг рүү Өө ба тэнхлэг рүү OU .
Дараа нь хэсэгчилсэн деривативын геометрийн утгын дагуу (Зураг 1.3):
Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.
Тодорхойлолт 1.12.
Хэрэв цэг дээр бол М 0 (1.41) нөхцөл хангагдсан бол функцийн суурин цэг гэнэ z(x,y) .
Теорем 1.4(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл).
Өгчихье z =z (x,y), (x,y)D , энэ нь тухайн цэгийн зарим хэсэгт хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтай М 0 (х 0 , у 0 )D . Түүнээс гадна М 0 - суурин цэг (жишээ нь, шаардлагатай нөхцөлүүд (1.41) хангагдсан). Тооцоолъё:
Теоремыг батлахдаа энэ зааварт тусгагдаагүй сэдвүүдийг (хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн Тейлорын томъёо ба квадрат хэлбэрийн онол) ашигладаг.
Жишээ 1.13.
Хэт ихийг судлах:
Шийдэл
1. (1.41) системийг шийдэх замаар суурин цэгүүдийг ол:
өөрөөр хэлбэл дөрвөн суурин цэг олддог. 2.
1.4 теоремын дагуу цэг дээр хамгийн бага байна. Түүнээс гадна 
цэг дээр теорем 1.4-ээр
Хамгийн их. Түүнээс гадна
Олон хувьсагчтай функцийн тухай ойлголт
n-хувьсагч байх ба тодорхой x олонлогийн x 1, x 2 ... x n тус бүрд тодорхойлолт өгөгдсөн байг. тоо Z байвал олон хувьсагчийн Z = f (x 1, x 2 ... x n) функц x олонлог дээр өгөгдсөн болно.
X - функцийн тодорхойлолтын талбар
x 1, x 2 ... x n – бие даасан хувьсагч (аргументууд)
Z – функц Жишээ: Z=P x 2 1 *x 2 (Цилиндрийн эзэлхүүн)
Z=f(x;y) – 2 хувьсагчийн функцийг (x 1, x 2-г x,y-ээр сольсон) авч үзье. Үр дүнг олон хувьсагчийн бусад функцуудтай аналоги байдлаар шилжүүлдэг. 2 хувьсагчийн функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл утс (өө) эсвэл түүний хэсэг юм. 2 хувьсагчийн функцийн утгын тоо нь 3 хэмжээст орон зай дахь гадаргуу юм.
График байгуулах арга техник: - Гадаргуугийн хөндлөн огтлолыг квадратаар авч үзэх || координатын квадратууд.
Жишээ нь: x = x 0, zn. квадрат X || 0уz y = y 0 0хz Функцийн төрөл: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)
Жишээ нь: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола хүрээлэх(төв(0,1)
Хоёр хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдал
Z=f(x;y) гэж өгвөл t.(x 0 ,y 0) дахь функцийн хязгаар нь дурын жижиг олонлогийн хувьд А болно. E>0 тоо нь эерэг тоо b>0 бөгөөд энэ нь бүх x, y-ийн хувьд |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(x;y) нь t-д (x 0 ,y 0) тасралтгүй байна, хэрэв: - энэ t.-д тодорхойлогдвол; - төгсгөлтэй. x-д хязгаарлах, x 0 болон y-ээс y 0 руу чиглэх; - энэ хязгаар = утга t дахь функцууд (x 0 ,y 0), i.e. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0) Хэрэв функц тус бүрд тасралтгүй байвал t mn-va X, тэгвэл энэ хэсэгт тасралтгүй байна Дифференциал функц, түүний геом утга. Ойролцоо утгуудад дифференциал хэрэглэх. dy=f’(x)∆x – дифференциал функц dy = dx, өөрөөр хэлбэл. y=x бол dy=f ’(x)dx Геологийн үүднээс авч үзвэл функцийн дифференциал гэдэг нь абсцисса х 0 цэгт функцын график руу татсан шүргэгчийн ординатын өсөлт юм. Dif-l нь ойролцоогоор тооцоолоход хэрэглэгддэг. томъёоны дагуу функцийн утгууд: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x ∆x нь x-тэй ойр байх тусам үр дүн илүү нарийвчлалтай болно Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд Эхний эрэмбийн дериватив (үүнийг хэсэгчилсэн гэж нэрлэдэг) A. X мужаас аль нэг цэгт х, у бие даасан хувьсагчдын өсөлтийг x, y гэж үзье. Дараа нь z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y)-тэй тэнцүү утгыг нийт гэнэ. x 0, y 0 цэг дэх өсөлт. Хэрэв бид x хувьсагчийг засаад у хувьсагчд у-ийн өсөлтийг өгвөл zу = f(x,y,+ y) – f(x,y) болно. y хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив нь ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог, i.e. 2 хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг нэг хувьсагчийн функцтэй ижил дүрмийг ашиглан олно. Ялгаа нь функцийг х хувьсагчаар ялгахдаа y-г const, y, x-ээр ялгахдаа const гэж үзнэ. Тусгаарлагдсан const нь нэмэх/хасах үйлдлийг ашиглан функцтэй холбогддог. Bound const нь үржүүлэх/хуваах үйлдлээр функцтэй холбогддог. Тусгаарлагдсан const-ийн дериватив = 0 1.4.2 хувьсагчийн бүрэн дифференциал функц ба түүний хэрэглээ
z = f(x,y) гэж үзье tz = 2-р эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив 2 хувьсагчийн тасралтгүй функцүүдийн хувьд 2-р эрэмбийн холимог хэсэгчилсэн деривативууд давхцдаг. Макс ба мин функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлохдоо хэсэгчилсэн деривативыг экстремум гэж нэрлэдэг. A. Энэ хөршөөс бүх x ба y-ийн хувьд f(x,y) хэрчмүүд байвал тэдгээрийг max эсвэл min z = f(x,y) гэж нэрлэнэ. T. Хэрэв 2 хувьсагчтай функцийн экстремум цэг өгөгдсөн бол энэ цэг дэх хэсэгчилсэн деривативуудын утга 0-тэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. , Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын цэгүүдийг суурин эсвэл критик гэж нэрлэдэг. Иймд 2 хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг олохын тулд хангалттай экстремум нөхцөлийг ашигладаг. z = f(x,y) функц нь хоёр дахин дифференциалагдах ба хөдөлгөөнгүй цэг, 1) , ба maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Бүрэн дифференциал. Дифференциалын геометрийн утга. Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх
A. y = f(x) функцийг цэгүүдэд тодорхой хороололд тодорхойл. f(x) функц нь тухайн цэг дэх өсөлт нь байвал тухайн цэг дээр дифференциалагдах функцтэй гэнэ Энд A нь тогтмол x цэг дээрх -ээс хамааралгүй тогтмол утга бөгөөд -д хязгааргүй бага байна. Харьцангуй шугаман А функцийг цэг дээрх f(x) функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг ба df() эсвэл dy гэж тэмдэглэнэ. Тиймээс (1) илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно (1) илэрхийлэл дэх функцийн дифференциал нь dy = A хэлбэртэй байна. Аливаа шугаман функцийн нэгэн адил энэ нь ямар ч утгын хувьд тодорхойлогддог Дифференциал бичихэд хялбар болгох үүднээс өсөлтийг dx гэж тэмдэглэж, бие даасан x хувьсагчийн дифференциал гэж нэрлэдэг. Иймд дифференциалыг dy = Adx гэж бичнэ. Хэрэв f(x) функц нь тодорхой интервалын цэг бүрт дифференциал болох юм бол түүний дифференциал нь x цэг ба dx хувьсагч гэсэн хоёр хувьсагчийн функц болно. T. y = g(x) функц хэзээ нэгэн цагт дифференциалагдахын тулд энэ цэгт дериватив байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай бөгөөд (*) Нотлох баримт. Хэрэгцээ. f(x) функц нь цэг дээр дифференциалагдах боломжтой байг, өөрөөр хэлбэл. Иймээс f’() дериватив нь A-тай тэнцүү байна. Иймээс dy = f’()dx Хангалттай байдал. f’(), i.e. дериватив байх болтугай. = f'(). Тэгвэл y = f(x) муруй нь шүргэгч сегмент болно. Х цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолохын тулд f() ба f’()/-ийг олоход хэцүү биш байхаар түүний ойролцоох цэгийг ав. Энэ хичээлээр бид хоёр хувьсагчийн функцийн тухай ойлголттой танилцахаас гадна хамгийн нийтлэг ажил болох олох ажлыг нарийвчлан авч үзэх болно. хэсэгчилсэн деривативНэг ба хоёрдугаар дараалал, функцийн бүрэн дифференциал. Доорх материалыг үр дүнтэй судлахын тулд та шаардлагатайнэг хувьсагчийн функцүүдийн "ердийн" деривативыг бага ба бага итгэлтэйгээр олох боломжтой байх. Та хичээл дээр деривативыг хэрхэн зөв зохицуулах талаар сурах боломжтой Деривативыг хэрхэн олох вэ? ба нийлмэл функцийн дериватив. Бидэнд мөн үндсэн функцүүдийн деривативууд ба ялгах дүрмийн хүснэгт хэрэгтэй болно, энэ нь хэвлэмэл хэлбэрээр байвал хамгийн тохиромжтой. Хоёр хувьсагчийн функцийн тухай ойлголтоос эхэлье, сайт нь практик чиг баримжаатай тул бид өөрсдийгөө хамгийн бага онолоор хязгаарлахыг хичээх болно. Хоёр хувьсагчийн функцийг ихэвчлэн гэж бичдэг бөгөөд хувьсагчдыг дууддаг бие даасан хувьсагчэсвэл аргументууд. Жишээ: - хоёр хувьсагчийн функц. Заримдаа тэмдэглэгээг ашигладаг. Мөн үсгийн оронд үсэг хэрэглэдэг даалгавар байдаг. Функцийн геометрийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Нэг хувьсагчийн функц нь хавтгай дээрх тодорхой шугамтай тохирч байна, жишээлбэл, танил сургуулийн парабол. Геометрийн үүднээс авч үзвэл хоёр хувьсагчийн аливаа функц нь гурван хэмжээст орон зайд (онгоц, цилиндр, бөмбөг, параболоид гэх мэт) гадаргууг илэрхийлдэг. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ бол аль хэдийн аналитик геометр бөгөөд математикийн дүн шинжилгээ нь бидний хэлэлцэх асуудал юм. Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох асуулт руу шилжье. Хэдхэн аяга кофе ууж, гайхалтай хэцүү материалыг тааруулж байгаа хүмүүст дуулгах сайхан мэдээ байна: хэсэгчилсэн дериватив нь нэг хувьсагчийн функцийн "энгийн" деривативтай бараг ижил байна. Хэсэгчилсэн деривативын хувьд бүх ялгах дүрэм, элементар функцийн деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Хэдхэн жижиг ялгаа байгаа бөгөөд бид үүнийг хэсэг хугацаанд авч үзэх болно. Жишээ 1 Функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол Эхлээд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё. Тэдний хоёр нь бий. Тэмдэглэл: Эсвэл – "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив Эсвэл – “y”-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив -ээс эхэлье. Чухал! "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагч болно тогтмол (тогтмол тоо) гэж үздэг.
Шийдье. Энэ хичээлээр бид нэн даруй бүрэн шийдлийг өгч, доор тайлбар өгөх болно. Гүйцэтгэсэн үйлдлийн талаархи тайлбар: (1) Хэсэгчилсэн деривативыг олохдоо бидний хийх хамгийн эхний зүйл бол дүгнэлт хийх явдал юм бүгдүндсэн тоон дор хаалтанд байгаа функц дэд тэмдэгтэй. Анхаар, чухал!БИД шийдлийн явцад дэд тэмдэгтүүдийг АЛДАХГҮЙ. Энэ тохиолдолд, хэрэв та "цус харвалт" -гүйгээр хаа нэгтээ зурвал багш үүнийг дор хаяж даалгаврын хажууд байрлуулж болно (анхаарал хандуулахгүйн тулд цэгийн хэсгийг нэн даруй хазаж ав). (2) Бид ялгах дүрмийг ашигладаг (2) Бид энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг ашигладаг. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Би" болгон өөрчилье. Өөрөөр хэлбэл, энэ хүснэгтэд адилхан хүчинтэй байна (мөн ерөнхийдөө ямар ч үсгийн хувьд).Энэ тохиолдолд бидний ашигладаг томьёо нь: ба . Тиймээс эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд олддог Бид хүн бүрийн дуртай математикийн шинжилгээний сэдэв болох деривативыг үргэлжлүүлж байна. Энэ нийтлэлд бид хэрхэн олох талаар сурах болно гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд: эхний дериватив ба хоёр дахь дериватив. Материалыг эзэмшихийн тулд юу мэдэж, юу хийх чадвартай байх ёстой вэ? Та үүнд итгэх үү, үгүй юу, нэгдүгээрт, та нэг хувьсагчийн функцийн "ердийн" деривативуудыг өндөр эсвэл дор хаяж дундаж түвшинд олох чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв тэдэнтэй харьцах нь үнэхээр хэцүү байвал хичээлээс эхэл Деривативыг хэрхэн олох вэ?Хоёрдугаарт, нийтлэлийг уншиж, бүгдийг нь биш юм гэхэд ихэнх жишээг ойлгож, шийдвэрлэх нь маш чухал юм. Хэрэв энэ нь аль хэдийн хийгдсэн бол надтай итгэлтэй алхаарай, энэ нь сонирхолтой байх болно, тэр ч байтугай танд таалагдах болно! Олж олох арга, зарчим гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууднь үнэндээ хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативтай маш төстэй юм. Хоёр хувьсагчийн функц нь "x" ба "y" нь бие даасан хувьсагч гэсэн хэлбэртэй байдаг гэдгийг сануулъя. Геометрийн хувьд хоёр хувьсагчийн функц нь бидний гурван хэмжээст орон зайн тодорхой гадаргууг илэрхийлдэг. Гурван хувьсагчийн функц нь хэлбэртэй байх ба хувьсагчдыг дуудна бие даасанхувьсагчэсвэл аргументууд, хувьсагчийг дуудна хамааралтай хувьсагчэсвэл функц. Жишээ нь: – гурван хувьсагчийн функц Одоо шинжлэх ухааны зөгнөлт кино, харь гарагийнхны тухай бага зэрэг. Дөрвөн хэмжээст, таван хэмжээст, арван хэмжээст гэх мэтийн талаар та ихэвчлэн сонсож болно. зай. Дэмий юм уу, үгүй юу? – Дэлхий дээр дөрөв, тав гэх мэт байдаг уу? орон зайн тухай филистист ойлголтын утгаар хэмжилтүүд (урт/өргөн/өндөр)? – Дөрвөн хэмжээст, таван хэмжээст гэх мэтийг бүтээх боломжтой юу? өргөн утгаараа орон зай? Энэ нь бидний амьдралд ийм орон зайн жишээг өг. -Өнгөрсөн үе рүү аялах боломжтой юу? – Ирээдүй рүү аялах боломжтой юу? -Харь гарагийнхан байдаг уу? Аливаа асуултын хувьд та дөрвөн хариултаас аль нэгийг нь сонгож болно. Бүх асуултанд зөв хариулсан хүн ямар нэгэн зүйлтэй байх магадлалтай ;-) Хичээл ахих тусам би асуултуудад аажмаар хариулт өгөх болно, жишээнүүдийг бүү алдаарай! Үнэндээ тэд ниссэн. Тэгээд тэр даруй сайн мэдээ: Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Тийм учраас та "энгийн"-тэй харьцахдаа сайн байх хэрэгтэй. функцүүдийн деривативууднэг хувьсагч. Маш цөөхөн ялгаа байна! Жишээ 1 Шийдэл:Таахад хэцүү биш - гурван хувьсагчийн функцийн хувьд байдаг гуравЭхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах байдлаар тэмдэглэв. Эсвэл – “x”-ын хувьд хэсэгчилсэн дериватив; Хамгийн түгээмэл тэмдэглэгээ нь цус харвалт, гэхдээ цуглуулга, сургалтын гарын авлагыг эмхэтгэгчид асуудлын хүрээнд төвөгтэй тэмдэглэгээг ашиглах дуртай байдаг тул бүү алдаарай! Эдгээр "аймшигт фракцуудыг" хэрхэн чангаар зөв уншихаа хүн бүр мэддэггүй байх. Жишээ нь: "de u po de x" гэж дараах байдлаар унших ёстой. "x"-тэй холбоотой деривативаас эхэлье: . -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг олох үед , дараа нь хувьсагчид Тэгээд тогтмол тоо (тогтмол тоо) гэж үздэг.Ямар ч тогтмолын дериватив, өө, нигүүлсэл, тэгтэй тэнцүү байна: Доорх тэмдэгтийг нэн даруй анхаарч үзээрэй - тэдгээрийг тогтмол гэж тэмдэглэхийг хэн ч хориглодоггүй. Энэ нь бүр илүү тохиромжтой, би эхлэгчдэд ийм бичлэг ашиглахыг зөвлөж байна, төөрөлдөх эрсдэл бага. (1) Бид деривативын шугаман шинж чанарыг ашигладаг, ялангуяа деривативын тэмдгийн гаднах бүх тогтмолыг авдаг. Хоёр дахь гишүүнд тогтмолыг хасах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу: "Y" нь тогтмол тул энэ нь бас тогтмол байна. Нэр томьёогоор "ердийн" тогтмол 8 ба тогтмол "зет" -ийг дериватив тэмдгээс хасав. (2) Бид хамгийн энгийн деривативуудыг олдог бөгөөд тэдгээр нь тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй. Дараа нь бид хариултаа самна. Хэсэгчилсэн дериватив. "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олох үед хувьсагч болно Тэгээд тогтмол гэж үздэг:
(1) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг. Дахин хэлэхэд, , нэр томъёо нь тогтмол бөгөөд энэ нь дериватив тэмдгээс юу ч хасах шаардлагагүй гэсэн үг юм. (2) Деривативуудыг тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй. Дараа нь бид хариултыг хялбарчлах болно. Эцэст нь, хэсэгчилсэн дериватив. Бид "zet" -тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагч болно Тэгээд тогтмол гэж үздэг:
Ерөнхий дүрэмилэрхий, мадаггүй зөв: Хэсэгчилсэн деривативыг олох үедямар ч шалтгаанаар
бие даасан хувьсагч, тэгвэлөөр хоёр
бие даасан хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ. Эдгээр ажлыг гүйцэтгэхдээ та маш болгоомжтой байх хэрэгтэй, ялангуяа, Та жагсаалтаа алдаж болохгүй(ямар хувьсагчийг ялгахад ашиглаж байгааг заадаг). Индексээ алдах нь БҮХЭН ТӨРӨӨ БАЙДАЛ болно. Хмм... Ийм айлган сүрдүүлсний дараа би тэднийг хаа нэг газар өнгөрөхийг зөвшөөрвөл инээдтэй юм) Жишээ 2 Гурван хувьсагчтай функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Харгалзан үзсэн хоёр жишээ нь маш энгийн бөгөөд ижил төстэй хэд хэдэн асуудлыг шийдсэний дараа цайны аяга хүртэл тэдгээрийг амаар шийдвэрлэхэд дасдаг. Стрессээ тайлахын тулд асуулт хариултын эхний асуулт руу эргэн оръё: Дэлхий дээр дөрөв, тав гэх мэт байдаг уу? орон зайн тухай филистист ойлголтын утгаар хэмжилтүүд (урт/өргөн/өндөр)? Зөв хариулт: Шинжлэх ухаан үүнийг хориглодоггүй. Математикийн бүх суурь аксиоматик, теорем, математикийн аппаратууд нь үзэсгэлэнтэй бөгөөд тууштайямар ч хэмжээтэй орон зайд ажиллах. Орчлон ертөнцийн хаа нэгтээ бидний оюун санаанаас үл хамаарах хэт гадаргуу, тухайлбал гурван хувьсагчийн функцээр тодорхойлогддог дөрвөн хэмжээст гипер гадаргуу байж болох юм. Эсвэл хэт гадаргуу нь бидний хажууд байгаа юм уу, эсвэл бид тэдний дотор байгаа ч байж болох юм, зүгээр л бидний алсын хараа, бусад мэдрэхүй, ухамсар нь зөвхөн гурван хэмжээсийг мэдэрч, ойлгох чадвартай байдаг. Жишээнүүд рүү буцъя. Тийм ээ, хэрэв хэн нэгэн асуулт хариултанд ачаалал ихтэй байгаа бол гурван хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн олох талаар сурсны дараа дараах асуултын хариултыг уншсан нь дээр. =) Хамгийн энгийн жишээ 1, 2-оос гадна практикт жижиг оньсого гэж нэрлэж болох даалгаварууд байдаг. Хичээлийг бүтээхэд ийм жишээнүүд миний харамссан Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд. Хоёулаа гүйцээцгээе: Жишээ 3 Шийдэл:Энд "бүх зүйл энгийн" мэт санагдаж байгаа ч анхны сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Хэсэгчилсэн деривативыг олохдоо олон хүн цайны навчийг таамаглаж, алдаа гаргах болно. Жишээг тууштай, ойлгомжтой, ойлгомжтой харцгаая. "x"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативаас эхэлье. "x"-ийн хэсэгчилсэн деривативыг олоход хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ. Тиймээс бидний функцийн илтгэгч нь мөн тогтмол байна. Даммиуудын хувьд би дараах шийдлийг санал болгож байна: ноорог дээр тогтмолыг тодорхой эерэг бүхэл тоо болгон өөрчлөх, жишээлбэл, "тав". Үр дүн нь нэг хувьсагчийн функц юм: Энэ тайвшруулахнийлмэл суурьтай функц (синус). Зохиогч: Одоо бид үүнийг санаж байна, тэгвэл: Эцсийн шатанд мэдээжийн хэрэг шийдлийг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй. Бид "y"-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олдог бөгөөд тэдгээрийг тогтмол гэж үздэг. Хэрэв “x” тогтмол бол энэ нь мөн тогтмол байна. Ноорог дээр бид ижил заль мэхийг хийдэг: жишээлбэл, 3-аар солих "Z" - ижил "тав" -аар солино. Үр дүн нь дахин нэг хувьсагчийн функц юм: Энэ заалтнийлмэл илтгэгчтэй функц. By нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм: Одоо солигдсоноо санацгаая: Тиймээс: Эцсийн хуудсан дээр мэдээжийн хэрэг дизайн сайхан харагдах ёстой: Мөн "zet" ( – тогтмол) -ын хэсэгчилсэн дериватив бүхий толин тусгал: Зарим туршлагатай бол шинжилгээг оюун ухаанаар хийж болно. Даалгаврын хоёр дахь хэсгийг гүйцээцгээе - нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал зохио. Энэ нь маш энгийн бөгөөд хоёр хувьсагчийн функцтэй зүйрлэвэл эхний эрэмбийн дифференциалыг томъёогоор бичнэ. Энэ тохиолдолд: Мөн энэ бол бизнес. Практик асуудлуудад гурван хувьсагчийн функцийн хувьд 1-р эрэмбийн бүрэн дифференциалыг хоёр хувьсагчийн функцээс хамаагүй бага давтамжтайгаар барих шаардлагатайг би тэмдэглэж байна. Үүнийг өөрөө шийдэх хөгжилтэй жишээ: Жишээ 4 Гурван хувьсагчийн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, нэгдүгээр эрэмбийн бүрэн дифференциал байгуул. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал "Чайниковский" алгоритмыг ашиглана уу, энэ нь танд туслах болно. Мөн өөр нэг ашигтай зөвлөгөө - битгий яар. Би ч гэсэн ийм жишээг хурдан шийдэж чадахгүй. Хоёрдахь асуултыг ухаж үзэцгээе: Дөрвөн хэмжээст, таван хэмжээст гэх мэтийг бүтээх боломжтой юу? өргөн утгаараа орон зай? Энэ нь бидний амьдралд ийм орон зайн жишээг өг. Зөв хариулт: Тиймээ. Үүнээс гадна, энэ нь маш хялбар юм. Жишээлбэл, бид урт/өргөн/өндөр - цаг дээр дөрөв дэх хэмжигдэхүүнийг нэмдэг. Эйнштейн Лобачевский, Пуанкаре, Лоренц, Минковски нараас хулгайлсан алдартай дөрвөн хэмжээст орон зай цаг ба харьцангуйн онолыг сайн мэддэг. Хүн бүр мэддэггүй. Эйнштейн яагаад Нобелийн шагнал хүртсэн бэ? Шинжлэх ухааны ертөнцөд аймшигт дуулиан дэгдээж, Нобелийн хороо хулгайчийн гавьяаг "Физикийн хөгжилд оруулсан хувь нэмрийг нь үнэлснийх нь төлөө" ойролцоогоор дараах байдлаар томъёолжээ. Ингээд л болоо. Си оюутан Эйнштейний брэнд бол цэвэр сурталчилгаа, PR юм. Дөрвөн хэмжээст орон зайд тав дахь хэмжээсийг нэмэхэд хялбар байдаг, жишээлбэл: атмосферийн даралт. Гэх мэтчилэн, таны загварт заасан олон хэмжээсүүд - ийм олон хэмжээс байх болно. Энэ үгийн өргөн утгаараа бид олон хэмжээст орон зайд амьдарч байна. Өөр хэд хэдэн ердийн ажлыг авч үзье: Жишээ 5 Нэг цэгт эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол Шийдэл:Энэхүү томъёолол дахь даалгавар нь ихэвчлэн практикт олддог бөгөөд дараахь хоёр үйлдлийг агуулдаг. Бид шийднэ: (1) Бидний өмнө нарийн төвөгтэй функц байгаа бөгөөд эхний алхамд бид арктангенсын деривативыг авах ёстой. Энэ тохиолдолд бид арктангентын деривативын хүснэгтийн томъёог тайвнаар ашигладаг. By нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэмүр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлэх ёстой (суулгах): . (2) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг ашигладаг. (3) Бид үлдсэн деривативуудыг авч, тэдгээр нь тогтмол гэдгийг мартаж болохгүй. Даалгаврын нөхцлийн дагуу тухайн цэг дээр олсон хэсэгчилсэн деривативын утгыг олох шаардлагатай. Олдсон деривативт цэгийн координатыг орлуулъя: Энэ даалгаврын давуу тал нь бусад хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй схемийн дагуу олдог явдал юм. Таны харж байгаагаар шийдлийн загвар нь бараг ижил байна. Олдсон хэсэгчилсэн деривативын утгыг цэг дээр тооцоод үзье. Эцэст нь "zet" -тэй холбоотой дериватив: Бэлэн. Шийдлийг өөр аргаар боловсруулж болно: эхлээд бүх гурван хэсэгчилсэн деривативыг олж, дараа нь тэдгээрийн утгыг цэг дээр тооцоол. Гэхдээ дээр дурдсан арга нь илүү тохиромжтой юм шиг санагдаж байна - хэсэгчилсэн деривативыг олоод тэр даруй кассын бүртгэлээс гаралгүйгээр тухайн цэг дээр түүний утгыг тооцоол. Геометрийн хувьд цэг нь бидний гурван хэмжээст орон зайн маш бодит цэг гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Функц ба деривативын утга нь аль хэдийн дөрөв дэх хэмжээс бөгөөд геометрийн хувьд хаана байрлаж байгааг хэн ч мэдэхгүй. Тэдний хэлснээр хэн ч Орчлон ертөнцийг соронзон хальсны хэмжүүрээр мөлхөж, шалгаагүй. Нэгэнт философийн сэдэв дахин сөхөгдөж байгаа тул гурав дахь асуултыг авч үзье: Өнгөрсөн рүү аялах боломжтой юу? Зөв хариулт: Үгүй. Өнгөрсөн үе рүү аялах нь физик үйл явцын эргэлт буцалтгүй байдлын (энтропи) тухай термодинамикийн хоёрдугаар хуультай зөрчилдөж байна. Тиймээс усгүй усан сан руу бүү шумбаарай, энэ үйл явдлыг зөвхөн видеогоор л харуулах боломжтой =) "Хоёр удаа хэмжиж, нэг удаа огтол" гэсэн өдөр тутмын эсрэг хууль ардын мэргэн ухаан санаанаас гардаггүй юм. Хэдийгээр үнэндээ харамсалтай нь цаг хугацаа нэг чиглэлтэй, эргэлт буцалтгүй байдаг ч маргааш бидний хэн нь ч залуу биш байх болно. "Терминатор" гэх мэт янз бүрийн шинжлэх ухааны уран зөгнөлт кинонууд нь шинжлэх ухааны үүднээс бүрэн утгагүй зүйл юм. Өнгөрсөн үе рүүгээ буцаж ирсэн нөлөө нь өөрийн Шалтгааныг устгаж чадна гэдэг нь философийн үүднээс бас утгагүй юм. . Энэ нь "zet" деривативын хувьд илүү сонирхолтой боловч бараг ижил хэвээр байна: (1) Бид деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авдаг. (2) Энд дахин хоёр функцийн үржвэр байна. тус бүр нь хамаарна"амьд" хувьсагч "zet"-ээс. Зарчмын хувьд та категорийн деривативын томъёог ашиглаж болно, гэхдээ өөр замаар явах нь илүү хялбар байдаг - бүтээгдэхүүний деривативыг олох. (3) Дериватив нь хүснэгтийн дериватив юм. Хоёр дахь гишүүн нь нийлмэл функцийн аль хэдийн танил болсон деривативыг агуулдаг. Жишээ 9 Гурван хувьсагчтай функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ эсвэл хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн илүү оновчтой олох талаар бодож үзээрэй. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Хичээлийн эцсийн жишээнүүд рүү шилжиж, үзэхийн өмнө хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативГурван хувьсагчийн функцууд, би дөрөв дэх асуултаар хүн бүрийг дахин баярлуулах болно: Ирээдүй рүү аялах боломжтой юу? Зөв хариулт: Шинжлэх ухаан үүнийг хориглодоггүй. Хачирхалтай нь, ирээдүйд аялахыг хориглосон математик, физик, хими болон бусад байгалийн шинжлэх ухааны хууль байдаггүй! Дэмий юм шиг санагдаж байна уу? Гэхдээ амьдралын бараг бүх хүмүүс энэ эсвэл тэр үйл явдал тохиолдох болно гэсэн урьдчилсан таамаглалтай байсан (мөн ямар ч логик аргументаар дэмжигдээгүй). Тэгээд болсон! Мэдээлэл хаанаас ирсэн бэ? Ирээдүйгээс үү? Тиймээс ирээдүй рүү аялах тухай шинжлэх ухааны зөгнөлт кинонууд, дашрамд хэлэхэд бүх төрлийн мэргэ төлөгчид, зөн билэгчдийн таамаглалыг ийм утгагүй зүйл гэж нэрлэж болохгүй. Наад зах нь шинжлэх ухаан үүнийг үгүйсгээгүй. Бүх зүйл боломжтой байдаг! Тиймээс намайг сургуульд байхад киноны CD, хавтгай дэлгэц надад үнэхээр гайхалтай санагддаг байсан. Алдарт "Иван Васильевич мэргэжлээ өөрчилсөн нь" инээдмийн кино нь хагас уран зохиол юм (дээд тал нь). Шинжлэх ухааны ямар ч хууль Иван Грозныйг ирээдүйд байхыг хориглоогүй боловч хоёр чинжүү өнгөрсөнд дуусч, хааны үүргийг гүйцэтгэх боломжгүй юм. Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье: $x$ ба $y$ хувьсагчид бие даасан байдаг тул ийм функцийн хувьд бид хэсэгчилсэн дериватив гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлж болно. $f$ функцийн $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ цэг дэх $x$ хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив нь хязгаар \[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Дельта x;((y)_(0)) \баруун))(\Дельта x)\] Үүнтэй адилаар та $y$ хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлж болно: \[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Дельта y \баруун))(\Дельта y)\] Өөрөөр хэлбэл, хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд хүссэн хувьсагчаас бусад бүх хувьсагчдыг засах, дараа нь энэ хүссэн хувьсагчтай холбоотой энгийн деривативыг олох хэрэгтэй. Энэ нь ийм деривативыг тооцоолох үндсэн аргад хүргэдэг: үүнээс бусад бүх хувьсагчийг тогтмол гэж төсөөлөөд дараа нь функцийг "энгийн" нэг хувьсагчаар ялгахтай адилаар ялга. Жишээлбэл: $\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \баруун))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \баруун))^(\ анхны ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\төгсгөл(зохицуулах)$ Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хариулт өгдөг - энэ бол хэвийн зүйл. Эхний тохиолдолд бид үүсмэл тэмдгийн доороос 10y долларыг тайвнаар арилгаж, хоёр дахь тохиолдолд эхний нэр томъёог бүрмөсөн тэглэсэн шалтгааныг ойлгох нь илүү чухал юм. Энэ бүхэн нь ялгах хувьсагчаас бусад бүх үсгийг тогтмол гэж үздэгтэй холбоотой юм: тэдгээрийг гаргаж авах, "шатаах" гэх мэт. Өнөөдөр бид хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудын талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, хэд хэдэн хувьсагчийн функц гэж юу вэ? Өнөөг хүртэл бид функцийг $y\left(x \right)$ эсвэл $t\left(x \right)$ эсвэл ямар нэгэн хувьсагч, түүний нэг функц гэж үзэж дассан. Одоо бид нэг функцтэй, гэхдээ хэд хэдэн хувьсагчтай болно. $y$ болон $x$ өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, $x$ хоёр дахин нэмэгдвэл функцийн утга өөрчлөгдөх ба $x$ өөрчлөгдөх боловч $y$ өөрчлөгдөхгүй бол функцийн утга мөн адил өөрчлөгдөнө. Мэдээжийн хэрэг, нэг хувьсагчийн функцтэй адил хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг ялгаж болно. Гэхдээ хэд хэдэн хувьсагч байдаг тул өөр өөр хувьсагчдаас хамааран ялгах боломжтой. Энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийг ялгах үед байхгүй байсан тодорхой дүрмүүд гарч ирдэг. Юуны өмнө бид аливаа хувьсагчаас функцийн деривативыг тооцоолохдоо ямар хувьсагчийн деривативыг тооцоолж байгаагаа зааж өгөх шаардлагатай - үүнийг хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, бид хоёр хувьсагчийн функцтэй бөгөөд бид үүнийг $x$ болон $y$-д хоёуланг нь тооцоолж болно - хувьсагч бүрийн хоёр хэсэгчилсэн дериватив. Хоёрдугаарт, бид хувьсагчийн аль нэгийг тогтоож, түүнд хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолж эхэлмэгц энэ функцэд багтсан бусад бүх зүйлийг тогтмол гэж үзнэ. Жишээлбэл, $z\left(xy \right)$-д, хэрэв бид $x$-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг авч үзвэл $y$-тай хаана ч тааралдвал бид үүнийг тогтмол гэж үзэж, түүнийг ийм байдлаар авч үздэг. Ялангуяа, бүтээгдэхүүний деривативыг тооцоолохдоо хаалтнаас $y$-г авч болно (бид тогтмол байдаг), нийлбэрийн деривативыг тооцоолохдоо, хэрэв хаа нэгтээ $y$ агуулсан илэрхийллийн дериватив болон $x$ агуулаагүй бол энэ илэрхийллийн дериватив нь тогтмолын дериватив болох "тэг"-тэй тэнцүү байх болно. Өнгөц харахад би ээдрээтэй зүйл ярьж байгаа юм шиг санагдаж, олон оюутнууд эхэндээ эргэлздэг. Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн деривативуудад ер бусын зүйл байдаггүй бөгөөд одоо бид тодорхой асуудлын жишээн дээр үүнийг харах болно. Цаг алдахгүйн тулд эхнээс нь ноцтой жишээнүүдээс эхэлье. Эхлэхийн тулд энэ томъёог танд сануулъя: Энэ бол бидний стандарт курсээс мэддэг стандарт хүснэгтийн утга юм. Энэ тохиолдолд $z$ деривативыг дараах байдлаар тооцоолно. \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)\] Үүнийг дахин хийцгээе, учир нь үндэс нь $x$ биш, харин өөр ямар нэгэн илэрхийлэл, энэ тохиолдолд $\frac(y)(x)$, дараа нь бид эхлээд стандарт хүснэгтийн утгыг ашиглана, дараа нь үндэс нь $x $ биш, мөн өөр илэрхийлэл бол бид ижил хувьсагчийн хувьд деривативыг энэ илэрхийллийн өөр нэгээр үржүүлэх хэрэгтэй. Эхлээд дараахь тооцоог хийцгээе. \[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\] Бид илэрхийлэлдээ буцаж ирээд бичнэ: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)((x)^(2))) \баруун)\] Үндсэндээ энэ л байна. Гэсэн хэдий ч үүнийг энэ хэлбэрээр үлдээх нь буруу юм: ийм бүтэц нь цаашдын тооцоололд ашиглахад тохиромжгүй тул үүнийг бага зэрэг өөрчилье: \[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \баруун)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\] \[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\] Хариулт нь олдсон. Одоо $y$-тэй харьцъя: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\] Үүнийг тусад нь бичье: \[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\] Одоо бид бичнэ: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\] \[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\] Дууслаа. Энэ жишээ нь өмнөхөөсөө илүү энгийн бөгөөд илүү төвөгтэй юм. Энэ нь илүү төвөгтэй, учир нь илүү олон үйлдэл байдаг, гэхдээ энэ нь илүү хялбар байдаг, учир нь үндэс байхгүй бөгөөд үүнээс гадна функц нь $ x $ ба $ y $ -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв бид $x$ ба $y$-г солих юм бол томъёо өөрчлөгдөхгүй. Энэхүү тайлбар нь хэсэгчилсэн деривативын тооцоог илүү хялбарчлах болно, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийн аль нэгийг нь тоолоход хангалттай бөгөөд хоёр дахь нь зүгээр л $x$ болон $y$-г солино. Ажилдаа орцгооё: \[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \баруун ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\] Тоолж үзье: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ] Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд энэ тэмдэглэгээг ойлгодоггүй тул дараах байдлаар бичье. \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\] Тиймээс бид хэсэгчилсэн дериватив алгоритмын бүх нийтийн шинж чанартай гэдэгт дахин нэг удаа итгэлтэй байна: бид тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгаагаас үл хамааран бүх дүрмийг зөв хэрэглэвэл хариулт нь ижил байх болно. Одоо том томьёосоо өөр нэг хэсэгчилсэн деривативыг харцгаая: \[(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\] Үүссэн илэрхийлэлүүдийг томъёонд орлуулаад дараахийг авцгаая. \[\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\үндсэн ))_(x))(((\зүүн) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\] \[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\] \[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \баруун))(((\) зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \баруун))(((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2 )))\] Тооцоолсон $x$-д үндэслэсэн. Ижил илэрхийллээс $y$-г тооцоолохын тулд ижил дараалсан үйлдлүүдийг хийхгүй, харин анхны илэрхийлэлийнхээ тэгш хэмийн давуу талыг ашиглацгаая - бид зүгээр л анхны илэрхийлэл дэх бүх $y$-г $x$-ээр солих ба эсрэгээр: \[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \баруун))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\] Тэгш хэмийн ачаар бид энэ илэрхийллийг илүү хурдан тооцоолсон. Хэсэгчилсэн деривативын хувьд энгийн томъёонд ашигладаг бүх стандарт томъёо, тухайлбал, хуваалтын дериватив нь ажилладаг. Гэсэн хэдий ч үүнтэй зэрэгцэн тодорхой шинж чанарууд гарч ирдэг: хэрэв бид $x$-ийн хэсэгчилсэн деривативыг авч үзэх юм бол $x$-аас авахдаа үүнийг тогтмол гэж үздэг тул дериватив нь "тэг"-тэй тэнцүү байх болно. . Энгийн деривативын нэгэн адил коэффициентийг (ижил дериватив) хэд хэдэн өөр аргаар тооцоолж болно. Жишээлбэл, бидний саяхан тооцоолсон барилгыг дараах байдлаар дахин бичиж болно. \[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\] \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\] Үүний зэрэгцээ, нөгөө талаас та дериватив нийлбэрээс томъёог ашиглаж болно. Бидний мэдэж байгаагаар энэ нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү юм. Жишээлбэл, дараах зүйлийг бичье. \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \] Одоо энэ бүгдийг мэдэж байгаа тул бодит хэсэгчилсэн дериватив нь зөвхөн олон гишүүнт ба үндэсээр хязгаарлагдахгүй тул илүү ноцтой илэрхийллүүдтэй ажиллахыг хичээцгээе: тригонометр, логарифм, экспоненциал функцүүд бас байдаг. Одоо үүнийг хийцгээе. Дараах стандарт томъёог бичье. \[((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\] \[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\] Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглээд дараахь зүйлийг шийдэхийг хичээцгээе. \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\зүүн) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Нэг хувьсагчийг тусад нь бичье: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Загвартаа эргэн оръё: \[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Ингээд л бид үүнийг $x$-оор олсон, одоо $y$-ийн тооцоог хийцгээе: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Дахин хэлэхэд нэг илэрхийлэлийг тооцоолъё: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \баруун)\] Бид анхны илэрхийлэл рүү буцаж очоод шийдлийг үргэлжлүүлнэ: \[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\] Дууслаа. Бидэнд хэрэгтэй томъёогоо бичье: \[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\] Одоо $x$-оор тоолъё: \[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(x)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \баруун)=\frac(1)(x+\ln y)\] $x$-оор олдсон. Бид $y$-аар тоолно: \[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \баруун)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \баруун))\ ] Асуудал шийдэгдсэн. Тиймээс бид ямар функцийн хэсэгчилсэн деривативыг авсан бай, бид тригонометр, үндэс эсвэл логарифмтай ажиллаж байгаа эсэхээс үл хамааран дүрэм хэвээр байна. Стандарт деривативтай ажиллах сонгодог дүрмүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна, тухайлбал нийлбэр ба зөрүүний дериватив, хуваалт ба цогцолбор функц. Сүүлийн томъёог хэсэгчилсэн деривативтай асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн олдог. Бид тэдэнтэй бараг хаа сайгүй уулздаг. Бидэнд хийгээгүй ажил гэж хэзээ ч байгаагүй. Гэхдээ бид ямар томьёог ашиглаж байгаагаас үл хамааран бидэнд өөр нэг шаардлага, тухайлбал хэсэгчилсэн деривативтай ажиллах онцлог нэмэгдсээр байна. Нэг хувьсагчийг засахад бусад нь тогтмол болно. Ялангуяа $\cos \frac(x)(y)$ илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативыг $y$-д хамааруулж авч үзвэл $y$ нь хувьсагч бөгөөд $x$ хаана ч тогтмол хэвээр байна. Үүнтэй ижил зүйл эсрэгээрээ ажилладаг. Үүнийг дериватив тэмдгээс гаргаж авах боломжтой бөгөөд тогтмолын дериватив нь өөрөө "тэг"-тэй тэнцүү байх болно. Энэ бүхэн нь ижил илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хувьсагчийн хувьд огт өөр харагдахад хүргэдэг. Жишээлбэл, дараах илэрхийллийг харцгаая. \[((\left(x+\ln y \баруун))^(\анхны ))_(x)=1+0=1\] \[((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\] Эхлэхийн тулд дараах томьёог бичье. \[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\] Энэ баримтыг, мөн нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг мэдэж байгаа тул тооцоолохыг хичээцгээе. Би одоо үүнийг хоёр өөр аргаар шийдэх болно. Эхний бөгөөд хамгийн тод нь бүтээгдэхүүний дериватив юм: \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=\] Дараах илэрхийллийг тусад нь шийдье. \[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\] Бид анхны загвартаа буцаж ирээд шийдлийг үргэлжлүүлнэ: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1) +\frac(1)(y)\баруун)\] Бүх зүйл, $ x $ тооцоолсон. Гэсэн хэдий ч, миний амласанчлан, одоо бид энэ хэсэгчилсэн деривативыг өөр аргаар тооцоолохыг хичээх болно. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу. \[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\] Үүнийг ингэж бичье. \[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \баруун)\] Үүний үр дүнд бид яг ижил хариултыг авсан боловч тооцооллын хэмжээ бага болсон. Үүнийг хийхийн тулд бүтээгдэхүүнийг гүйцэтгэхдээ үзүүлэлтүүдийг нэмж болно гэдгийг тэмдэглэхэд хангалттай байсан. Одоо $y$-оор тоолъё: \[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(y)=\] \[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y)=\] Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье: \[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\] Анхны бүтээн байгуулалтаа үргэлжлүүлье: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \баруун)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\] Мэдээжийн хэрэг, ижил деривативыг хоёр дахь аргаар тооцоолж болох бөгөөд хариулт нь ижил байх болно. $x$-оор тоолъё: \[(((z)")_(x))=((\left(x \баруун))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \баруун )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\] Нэг илэрхийллийг тусад нь тооцоолъё: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\] Анхны бүтээн байгуулалтыг үргэлжлүүлэн шийдье: $$ Хариулт нь энд байна. Үүнийг $y$ ашиглан аналогиар олох хэвээр байна: \[(((z)")_(y))=((\left(x \баруун))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \баруун)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\] Бид үргэлж нэг илэрхийлэлийг тусад нь тооцдог. \[((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \баруун) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\] Бид үндсэн дизайныг үргэлжлүүлэн шийдэж байна: Бүх зүйлийг тооцоолсон. Таны харж байгаагаар ямар хувьсагчийг ялгахдаа авахаас шалтгаалж хариултууд нь огт өөр байна. Ижил функцийн деривативыг хоёр өөр аргаар хэрхэн тооцоолох гайхалтай жишээ энд байна. Энд харах: \[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)=( (\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ зүүн(1+\фрак(1)(y) \баруун)\] \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\зүүн(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \баруун)\ ] Өөр өөр замыг сонгохдоо тооцооллын хэмжээ өөр байж болох ч хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол хариулт нь ижил байх болно. Энэ нь сонгодог болон хэсэгчилсэн деривативуудад хамаарна. Үүний зэрэгцээ би танд дахин нэг удаа сануулж байна: аль хувьсагчаас хамааран деривативыг авах, i.e. ялгах юм бол хариулт нь огт өөр болж магадгүй юм. Хараач: \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\] \[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\] Эцэст нь хэлэхэд, энэ бүх материалыг нэгтгэхийн тулд өөр хоёр жишээг тооцоолохыг хичээцгээе. Дараах томьёог бичье. \[((\left(((a)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\] \[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(x))\] Одоо илэрхийллээ шийдье: \[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\] Дараахь бүтээцийг тусад нь тооцоолъё. \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\] Бид анхны илэрхийлэлийг үргэлжлүүлэн шийдэж байна: \[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\] Энэ бол $x$ дээрх хувийн хувьсагчийн эцсийн хариулт юм. Одоо $y$-оор тоолъё: \[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\] Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\] Бүтээн байгуулалтаа эцэс хүртэл шийдье: \[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\] Өнгөц харахад энэ жишээ нь гурван хувьсагчтай учир нэлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Үнэндээ энэ бол өнөөдрийн видео хичээлийн хамгийн хялбар ажлуудын нэг юм. $x$-р олох: \[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \баруун))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\] \[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \баруун))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\] Одоо $y$-тэй харьцъя: \[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \баруун))^ (\үндсэн ))_(y)=((\зүүн(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)+((\зүүн(y\cdot) ((e)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\] \[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\зүүн) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\] Бид хариултаа олсон. Одоо $z$-оор олох л үлдлээ: \[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \баруун))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\] Бид гурав дахь деривативыг тооцоолсон бөгөөд энэ нь хоёр дахь асуудлын шийдлийг дуусгасан болно. Таны харж байгаагаар эдгээр хоёр жишээнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Бидний итгэлтэй байгаа цорын ганц зүйл бол нийлмэл функцийн деривативыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд аль хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохоос хамааран бид өөр өөр хариулт авдаг. Сүүлчийн даалгаварт бид гурван хувьсагчийн функцтэй нэг дор ажиллахыг хүссэн. Үүнд буруу зүйл байхгүй, гэхдээ эцэст нь тэд бүгд бие биенээсээ эрс ялгаатай гэдэгт бид итгэлтэй байсан. Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн дүгнэлтүүд дараах байдалтай байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ видео хичээлийг дангаар нь үзэх нь энэ сэдвийг бүрэн ойлгоход хангалтгүй тул яг одоо миний вэбсайт дээр өнөөдрийн сэдэвт тусгайлан зориулсан энэ видеонд зориулсан багц асуудлууд байгаа - нэвтэрч, татаж аваад эдгээр асуудлыг шийдэж, хариултыг шалгана уу. . Үүний дараа та шалгалт эсвэл бие даасан ажилд хэсэгчилсэн деривативтай холбоотой ямар ч асуудал гарахгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол дээд математикийн сүүлийн хичээл биш тул манай вэбсайтад зочилж, ВКонтакте-г нэмж, YouTube-д бүртгүүлж, лайк дарж, бидэнтэй хамт байгаарай!
- бүрэн өсөлт гэж нэрлэдэг
, (1) хэлбэрээр танилцуулсан
().
Функцийн өсөлтийг зөвхөн f(x) функцийн тодорхойлолтын мужид + хамаарагдах тохиолдолд авч үзэх ёстой.. Дараа нь
; . Ийм энгийн жишээний хувьд хоёр дүрмийг нэг алхамаар хялбархан хэрэглэж болно. Эхний нэр томъёонд анхаарлаа хандуулаарай: оноос хойш тогтмол гэж үздэг ба аливаа тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасаж болно, дараа нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцөлд энэ нь энгийн тооноос илүү дээр биш юм. Одоо гурав дахь нэр томъёог авч үзье: энд, эсрэгээр, гаргах зүйл алга. Энэ нь тогтмол байдаг тул энэ нь бас тогтмол бөгөөд энэ утгаараа энэ нь сүүлчийн "долоо" гэсэн нэр томъёоноос хамаагүй дээр юм.
Эцсийн эцэст, гурван хувьсагчийн функц нь бүх зүйл дөрвөн хэмжээст орон зайд (үнэхээр дөрвөн хувьсагч байдаг) явагддаг гэдгийг харуулж байна. Гурван хувьсагчийн функцийн графикийг гэж нэрлэдэг хэт гадаргуу. Бид гурван хэмжээст орон зайд (урт/өргөн/өндөр) амьдардаг тул үүнийг төсөөлөхийн аргагүй юм. Та надаас уйдахгүйн тулд би асуулт хариултыг санал болгож байна. Би хэдэн асуулт асуух болно, сонирхсон хүн бүр тэдэнд хариулж болно:
Тийм / Үгүй (шинжлэх ухаан үүнийг хориглодог) / Шинжлэх ухаан үүнийг хориглодоггүй / Би мэдэхгүй
эсвэл – “y”-д хамаарах хэсэгчилсэн дериватив;
эсвэл – “zet”-ийн хэсэгчилсэн дериватив.
эсвэл та дараах байдлаар бичиж болно.
– та нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олох хэрэгтэй;
- та цэг дээр 1-р эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын утгыг тооцоолох хэрэгтэй.
"Хэсэгчилсэн дериватив" гэж юу вэ?
Радикал ба олон гишүүнттэй холбоотой асуудлууд
Даалгавар №1
Асуудал №2
Шийдлийн нюансууд
Тригонометрийн функц ба логарифмын асуудал
Даалгавар №1
Асуудал №2
Шийдлийн нюансууд
Экспоненциал функц ба логарифмын асуудал
Даалгавар №1
Асуудал №2
Шийдлийн нюансууд
Тригонометрийн функц, гурван хувьсагчтай функцтэй холбоотой асуудлууд
Даалгавар №1
Асуудал №2
Шийдлийн нюансууд
Гол оноо
