Excel-ийн хэвийн тархалт (Гаусс). Excel-ийн урвуу хэвийн тархалт дахь хэвийн тархалт (Гаусс).

Магадлалын онол нь нэлээд олон тооны өөр өөр тархалтын хуулиудыг авч үздэг. Хяналтын бүдүүвчийг барихтай холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд тэдгээрийн цөөн хэдэн нь л сонирхолтой байдаг. Тэдний хамгийн чухал нь хэвийн тархалтын хуульашигласан хяналтын диаграммыг бүтээхэд ашигладаг тоон хяналт, өөрөөр хэлбэл бид тасралтгүй ажиллаж байх үед санамсаргүй хувьсагч. Хэвийн хуваарилалтын хууль нь бусад хуваарилалтын хуулиудын дунд онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ нь нэгдүгээрт, энэ нь практикт ихэвчлэн тохиолддог, хоёрдугаарт, энэ нь хязгаарлагдмал хууль бөгөөд бусад хуваарилалтын хуулиуд маш нийтлэг ердийн нөхцөлд ханддагтай холбон тайлбарлаж байна. Хоёрдахь нөхцөл байдлын хувьд аливаа тархалтын хуулинд (зарим маш сул хязгаарлалттай) хамаарах хангалттай олон тооны бие даасан (эсвэл сул хамааралтай) санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь ердийн хуульд ойролцоогоор захирагддаг болохыг магадлалын онолоор нотолсон. , мөн илүү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэмбэл энэ нь үнэн зөв байх болно. Практикт тохиолдох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ихэнхийг, тухайлбал хэмжилтийн алдааг маш олон тооны харьцангуй бага нэр томъёоны нийлбэрээр төлөөлж болно - энгийн алдаа, тэдгээр нь тус бүр нь бие даасан шалтгаанаас үүдэлтэй. бусад. Хэвийн хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй тохиолдолд гарч ирдэг Xолон тооны янз бүрийн хүчин зүйлийн үр дүн юм. Хүчин зүйл бүр тус тусад нь үнэ цэнэтэй юм Xбага зэрэг нөлөөлдөг бөгөөд аль нь бусдаас илүү нөлөөлж байгааг хэлэх боломжгүй юм.

Хэвийн тархалт(Лаплас-Гаусын тархалт) – тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт Xмагадлалын тархалтын нягт нь - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Exp (3)

Өөрөөр хэлбэл, хэвийн тархалт нь m ба s гэсэн хоёр параметрээр тодорхойлогддог бөгөөд энд m нь математикийн хүлээлт юм; s нь хэвийн тархалтын стандарт хазайлт юм.

Утга s 2 хэвийн тархалтын дисперс юм.

Математикийн хүлээлт m нь түгээлтийн төвийн байрлалыг тодорхойлдог ба стандарт хазайлт s (SD) нь тархалтын шинж чанар юм (Зураг 3).

f(x) f(x)

Зураг 3 – Хэвийн тархалтын нягтын функцууд:

a) өөр өөр математикийн хүлээлт m; b) өөр өөр стандарт хазайлтууд s.

Тиймээс үнэ цэнэ μ абсцисса тэнхлэг дээрх тархалтын муруйн байрлалаар тодорхойлогдоно. Хэмжээ μ - санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй ижил X. Математикийн хүлээлт m нэмэгдэхийн хэрээр функц хоёулаа баруун тийш зэрэгцэн шилжинэ. Багассан хэлбэлзэлтэй s 2 нягтрал нь м орчимд улам бүр төвлөрч, харин тархалтын функц улам эгц болж байна.

σ-ийн утга нь тархалтын муруйн хэлбэрийг тодорхойлно. Тархалтын муруй доорх талбай нь үргэлж нэгдмэл байдалтай байх ёстой тул σ ихсэх тусам тархалтын муруй хавтгай болно. Зураг дээр. Зураг 3.1-д өөр өөр σ-ийн гурван муруйг үзүүлэв: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0.

Зураг 3.1 – Хэвийн тархалтын нягтын функцуудөөр өөр стандарт хазайлтууд s.

Түгээх функц (интеграл функц) нь дараах хэлбэртэй байна (Зураг 4):

(4)

Зураг 4 – Интеграл (a) ба дифференциал (б) хэвийн тархалтын функцууд

Ялангуяа чухал зүйл бол ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг шугаман хувиргах явдал юм X, үүний дараа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг олж авна ЗМатематикийн хүлээлт 0 ба дисперсийн 1-тэй. Энэ хувиргалтыг хэвийн болгох гэж нэрлэдэг.

Үүнийг санамсаргүй хувьсагч бүрт хийж болно. Нормчилал нь хэвийн тархалтын бүх боломжит хувилбаруудыг нэг тохиолдол болгон багасгах боломжийг олгодог: m = 0, s = 1.

m = 0, s = 1 байх хэвийн тархалтыг гэнэ хэвийн тархалт (стандарт).

Стандарт хэвийн тархалт(стандарт Лаплас-Гауссын тархалт эсвэл нормчлогдсон хэвийн тархалт) нь стандартчилагдсан хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм. З, тархалтын нягт нь дараахтай тэнцүү байна.

цагт - ¥<z< + ¥

Функцийн утгууд Ф(z)томъёогоор тодорхойлно:

(7)

Функцийн утгууд Ф(z)ба нягтрал f(z)нормчлогдсон хэвийн тархалтыг тооцоолж, хүснэгтэд үзүүлэв. Хүснэгтийг зөвхөн эерэг утгуудын хувьд эмхэтгэсэн zТийм учраас:

F (–z) = 1–Ф(z) (8)

Эдгээр хүснэгтийг ашиглан та зөвхөн функцийн утгууд болон өгөгдсөн хэвийн тархалтын нягтыг тодорхойлох боломжтой. z, гэхдээ бас ерөнхий хэвийн тархалтын функцийн утгууд, учир нь:

; (9)

. 10)

Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой олон асуудалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсэх магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. X, тодорхой талбайн хувьд m ба s параметр бүхий ердийн хуульд захирагдана. Ийм хэсэг нь жишээлбэл, дээд утгаас параметрийн хүлцлийн талбар байж болно Удоод тал руу Л.

-аас интервалд орох магадлал X 1-ээс X 2-ыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлал (параметрийн утга) Xхүлцлийн талбар дахь томъёогоор тодорхойлогдоно

Та санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг олж болно Xμ дотор байх болно кс . -д зориулж авсан утгууд к=1,2 ба 3 нь дараах байдалтай байна (мөн 5-р зургийг үз):

Иймээс хэрэв бүх боломжит утгуудын 99.73%-ийг агуулсан гурван сигма мужаас гадуур утга гарч ирвэл ийм үйл явдал тохиолдох магадлал маш бага (1:270) байвал тухайн утга нь хэтэрхий их байсан гэж үзэх хэрэгтэй. жижиг эсвэл хэт том байх нь санамсаргүй өөрчлөлтөөс биш, харин тархалтын шинж чанарыг өөрчлөхөд хүргэдэг процессын өөрөө ихээхэн эвдрэлээс үүдэлтэй.

Гурван сигмын хилийн дотор байрлах газрыг мөн нэрлэдэг статистикийн хүлцлийн бүсхолбогдох машин эсвэл процесс.

Гауссын хууль гэж нэрлэгддэг хэвийн тархалтын хууль нь хамгийн нийтлэг хуулиудын нэг юм. Энэ бол магадлалын онол, түүний хэрэглээний үндсэн хууль юм. Байгалийн болон нийгэм-эдийн засгийн үзэгдлийг судлахад хэвийн тархалт ихэвчлэн ажиглагддаг. Өөрөөр хэлбэл байгаль, нийгэм дэх ихэнх статистикийн агрегатууд хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг. Үүний дагуу олон тооны том түүврийн популяци нь хэвийн тархалтын хуулийг дагаж мөрддөг гэж бид хэлж чадна. Тусгай өөрчлөлтийн үр дүнд хэвийн тархалтаас гажсан популяцийг хэвийн хэмжээнд ойртуулж болно. Үүнтэй холбогдуулан энэ хуулийн бусад хуваарилалтын хуулиудын үндсэн шинж чанар нь тодорхой (стандарт) нөхцөлд тархалтын бусад хуулиуд ойртож буй хилийн хууль юм гэдгийг санах нь зүйтэй.

"Хэвийн тархалт" гэсэн нэр томъёо нь математик, статистикийн уран зохиолд нийтлэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн нэр томъёоны хувьд уламжлалт утгатай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аливаа үзэгдлийн нэг буюу өөр шинж чанар нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг гэсэн мэдэгдэл нь судалж буй үзэгдэлд хамаарах хэм хэмжээний халдашгүй байдлын тухай огтхон ч биш, харин сүүлийнхийг хоёр дахь төрлийн хууль гэж ангилах нь ямар нэгэн төрлийн хууль эрх зүйн зохицуулалт гэсэн үг биш юм. энэ үзэгдлийн хэвийн бус байдал. Энэ утгаараа "хэвийн тархалт" гэсэн нэр томъёо нь тийм ч тохиромжтой биш юм.

Хэвийн тархалт (Гаусс-Лапласын хууль) нь тасралтгүй тархалтын төрөл юм. Мойвр (нэг мянга долоон зуун далан гурав, Франц) магадлалын тархалтын ердийн хуулийг гаргасан. Энэхүү нээлтийн үндсэн санааг К.Гаусс (1809, Герман), А.Лаплас (1812, Франц) нар алдааны онолд анх ашигласан бөгөөд тэд хууль өөрөө өөрийгөө хөгжүүлэхэд онолын хувьд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан. Ялангуяа К.Гаусс өөрийн боловсруулалтдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утга нь арифметик дундаж гэдгийг хүлээн зөвшөөрсөнд тулгуурласан. Хэвийн тархалт үүсэх ерөнхий нөхцөлийг А.М. Хэрэв судалж буй шинж чанар нь олон хүчин зүйлийн нийт нөлөөллийн үр дүн бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь бусад ихэнх хүчин зүйлүүдтэй бараг холбоогүй бөгөөд хүчин зүйл бүрийн эцсийн үр дүнд үзүүлэх нөлөө нь нийт нөлөөлөлтэй давхцаж байгааг тэрээр нотолсон. бусад бүх хүчин зүйлс, дараа нь тархалт хэвийн хэмжээнд ойртоно.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг хэвийн гэж нэрлэдэг ба нягтрал нь:

1 +1 (& #) 2

/ (x, x,<т) = - ^ е 2 st2

Энд x нь математикийн хүлээлт буюу дундаж утга юм. Таны харж байгаагаар хэвийн тархалтыг x ба ° гэсэн хоёр параметрээр тодорхойлно. Хэвийн тархалтыг тодорхойлохын тулд математикийн хүлээлт эсвэл дундаж ба стандарт хазайлтыг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүн нь бүлгийн төв болон хэлбэрийг тодорхойлдог

график дээрх муруй. u (xx, b) функцийн графикийг x ба b параметртэй хэвийн муруй (Гауссын муруй) гэж нэрлэдэг (Зураг 12).

Хэвийн тархалтын муруй нь X ± 1-д гулзайлтын цэгүүдтэй. Графикаар дүрсэлсэн бол хооронд X = +l ба 1 = -1 нь бүх муруйн талбайн 0.683 хэсэг (өөрөөр хэлбэл 68.3%). X = + 2 ба X- 2. хилийн дотор 0.954 талбай (95.4%), X = + 3 ба X = - 3 хооронд - 0.997 хэсэг (99.7%) байна. Зураг дээр. Зураг 13-д нэг, хоёр, гурван сигматай хэвийн тархалтын шинж чанарыг харуулсан.

Хэвийн тархалттай үед арифметик дундаж, горим, медиан нь хоорондоо тэнцүү байх болно. Хэвийн муруйн хэлбэр нь нэг оройтой тэгш хэмтэй муруй хэлбэртэй бөгөөд түүний мөчрүүд нь асимптотоор абсцисса тэнхлэгт ойртдог. Муруйн хамгийн том ординат нь x = 0-тэй тохирч байна. Энэ үед абсцисса тэнхлэг дээр шинж чанаруудын тоон утгыг арифметик дундаж, горим ба медиантай тэнцүү байрлуулна. Муруйн оройн хоёр тал дээр түүний мөчрүүд ирж, тодорхой цэгүүдэд гүдгэр хэлбэрийг гүдгэр болгон өөрчилдөг. Эдгээр цэгүүд нь тэгш хэмтэй бөгөөд x = ± 1 утгуудтай тохирч байна, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайлт нь стандарт хазайлттай тоогоор тэнцүү байдаг шинж чанаруудын утгууд юм. Арифметик дундажтай тохирч буй ординат нь муруй ба абсцисс хоорондын талбайг бүхэлд нь хагасаар хуваана. Тиймээс, судлагдсан шинж чанарын утгууд гарч ирэх магадлал дунджаас их, бага байна

арифметик нь 0.50-тай тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл x, (~ ^ x) = 0.50 В.

12-р зураг. Хэвийн тархалтын муруй (Гауссын муруй)

Хэвийн муруйн хэлбэр ба байрлал нь дундаж ба стандарт хазайлтын утгыг тодорхойлно. Дундаж утгыг өөрчлөх (математикийн хүлээлт) нь хэвийн муруйн хэлбэрийг өөрчилдөггүй, зөвхөн абсцисса тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хүргэдэг нь математикийн хувьд батлагдсан. Хэрэв ~ нэмэгдвэл муруй баруун тийш, хэрэв ~ ирвэл зүүн тийш шилжинэ.

14-р зураг. Өөр өөр параметрийн утгатай хэвийн тархалтын муруйВ

Хэвийн муруй графикийг өөрчлөх үед хэлбэрийг өөрчлөх тухай

стандарт хазайлтыг дээд тал нь шүүж болно

дифференциал хэвийн тархалтын функц, тэнцүү 1

Эндээс харахад °-ийн утга нэмэгдэх тусам муруйн хамгийн их ординат буурах болно. Үүний үр дүнд хэвийн тархалтын муруй нь x тэнхлэг рүү шахагдаж, илүү хавтгай хэлбэртэй болно.

Мөн эсрэгээр, β параметр буурах үед хэвийн муруй нь ординатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд сунаж, "хонх" хэлбэр нь илүү үзүүртэй болно (Зураг 1). 14). ~ ба параметрүүдийн утгуудаас үл хамааран абсцисса тэнхлэг ба муруйгаар хязгаарлагдсан талбай нь үргэлж нэгдмэл байдалтай (тархалтын нягтын шинж чанар) тэнцүү байдаг гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг графикаар тодорхой харуулав (Зураг 13).

Тархалтын "хэвийн" илрэлийн дээр дурдсан шинж чанарууд нь хэвийн тархалтын муруйд байдаг хэд хэдэн нийтлэг шинж чанарыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.

1) аливаа хэвийн муруй хамгийн дээд цэгт хүрдэг (X= x) түүний баруун, зүүн талд тасралтгүй ирдэг, аажмаар х тэнхлэгт ойртдог;

2) аливаа хэвийн муруй нь шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй,

ординатын тэнхлэгтэй параллель байх ба хамгийн их цэгээр дамжин өнгөрдөг (X= x)

хамгийн их ординат нь ^^^ i;

3) аливаа хэвийн муруй нь "хонх" хэлбэртэй, дээд цэг хүртэл дээш чиглэсэн гүдгэр хэлбэртэй байдаг. x ~ ° ба x + b цэгүүдэд энэ нь гүдгэр байдлыг өөрчилдөг бөгөөд а жижиг байх тусам "хонх" хурц, а том байх тусам "хонх" -ын дээд хэсэг илүү шийтгэлтэй болдог (Зураг 14). Математикийн хүлээлтийн өөрчлөлт (тогтмол утгатай

в) муруй хэлбэрийг өөрчлөхөд хүргэдэггүй.

x = 0 ба ° = 1 үед хэвийн муруйг нормчлогдсон муруй эсвэл каноник хэлбэрийн хэвийн тархалт гэж нэрлэдэг.

Нормчилсан муруйг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эмпирик өгөгдөл дээр үндэслэн ердийн муруйг барих нь дараахь томъёог ашиглан хийгддэг.

пи 1 - "" = --- 7 = e

энд ба ™ нь тархалтын интервал (бүлэг) бүрийн онолын давтамж; "- Хүн амын эзлэхүүнтэй тэнцүү давтамжийн нийлбэр; "- интервалын алхам;

ижил - тойргийн тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа

e - натурал логарифмын суурь, 2.71828-тай тэнцүү;

Томъёоны хоёр ба гурав дахь хэсэг) нь функц юм

Х-ийн дурын утгыг тооцоолох боломжтой CN хэвийн хазайлт. CN утгын хүснэгтийг ихэвчлэн "хэвийн муруйны ордны хүснэгт" гэж нэрлэдэг (Хавсралт 3). Эдгээр функцийг ашиглах үед хэвийн тархалтын ажлын томъёо нь энгийн хэлбэртэй байна.

Жишээ. 57 ажилчдын өдрийн орлогын түвшингээр хуваарилагдсан өгөгдлийн жишээг ашиглан хэвийн муруй байгуулах тохиолдлыг авч үзье (Хүснэгт 42). Хүснэгт 42-ын дагуу бид арифметик дундажийг олно.

~ = ^ = И6 54 =

Бид стандарт хазайлтыг тооцоолно:

Хүснэгтийн мөр бүрийн хувьд бид нормчлогдсон хазайлтын утгыг олно

x ба ~x | 12 г => - = - ^ 2 = 1.92

А 6.25 (эхний интервалын dd I гэх мэт).

Хүснэгтийн 8-р баганад. 42 бид програмаас Di) функцийн хүснэгтийн утгыг бичнэ, жишээлбэл, эхний X = 1.92 интервалд бид "2" (0.0632) -ын эсрэг "1.9"-ийг олно.

Онолын давтамжийг, өөрөөр хэлбэл хэвийн тархалтын муруйн ординатыг тооцоолохын тулд үржүүлэгчийг тооцоолно.

* = ^ = 36,5 a 6.25

Бид функцийн / (r) хүснэгтийн бүх утгыг 36.5-аар үржүүлнэ. Тиймээс эхний интервалд бид 0.0632x36.5 = 2.31 тонныг авна

давтамжууд (P "<5) нэгтгэх (бидний жишээнд - эхний хоёр ба сүүлийн хоёр интервал).

Хэрэв онолын хэт давтамж нь тэгээс мэдэгдэхүйц ялгаатай бол эмпирик болон онолын давтамжийн нийлбэр хоорондын зөрүү нь мэдэгдэхүйц байж болно.

Харж байгаа жишээний дагуу эмпирик ба онолын давтамжийн тархалтын график (хэвийн муруй)-ыг Зураг 15-д үзүүлэв.

Хэт интервалд давтамж байхгүй тохиолдолд хэвийн тархалтын давтамжийг тодорхойлох жишээг авч үзье (Хүснэгт 43). Энд эмпирик

X - нормчлогдсон хазайлт, (в) a - стандарт хэлбэлзэл.

эхний интервалын давтамж нь тэг байна. Тодорхойлогдоогүй давтамжийн нийлбэр нь тэдгээрийн эмпирик утгуудын нийлбэртэй тэнцүү биш байна (56 * 57). Энэ тохиолдолд интервалын төв, хэвийн хазайлт, түүний функцын олж авсан утгыг угаахын тулд онолын давтамжийг тооцоолно.

43-р хүснэгтэд эдгээр утгыг тэгш өнцөгтөөр дугуйлсан болно. Ердийн муруйг зурахдаа ийм тохиолдолд онолын муруйг үргэлжлүүлнэ. Анхны тодорхойгүй давтамж нь 5-тай тэнцүү байх тул авч үзэж буй тохиолдолд хэвийн муруй нь дунджаас сөрөг хазайлт руу үргэлжлэх болно. Эхний интервалын тооцоолсон онолын давтамж (тодруулсан) нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна. Цэвэршүүлсэн давтамжийн нийлбэр нь эмпирик давтамжтай давхцдаг

Хүснэгт 42

Хүснэгт 43

Хэвийн тархалтын давтамжийн тооцоо (эмпирик давтамжийг хэвийн хуулийн дагуу тохируулах)

Цагаан будаа. 15. Эмпирик тархалт(1) ба хэвийн муруй (2)

Судалгаанд хамрагдаж буй хүн амын хэвийн тархалтын муруйг өөр аргаар (дээр дурдсанаас ялгаатай) байгуулж болно. Тиймээс, хэрэв бодит тархалт хэвийн хэмжээтэй тохирч байгаа талаар ойролцоогоор төсөөлөлтэй байх шаардлагатай бол тооцооллыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ. Шинж чанаруудын дундаж хэмжээтэй тохирч буй хамгийн их ординатыг тодорхойлох), дараа нь стандарт хазайлтыг тооцоолсны дараа 42, 43-р хүснэгтэд заасан схемийн дагуу хэвийн тархалтын муруйн цэгүүдийн координатыг тооцоолно. 43-р хүснэгтийн эхний болон тооцоолсон өгөгдөлд дундаж нь ~ = 26 байх ёстой. Энэ утга нь дундах нь дөрөв дэх интервалын төвтэй давхцаж байна (25-27). Тиймээс, "20" интервалын давтамжийг (графикийг зурахдаа) хамгийн их ординат болгон авч болно). Тооцоолсон дисперсийг (β = 2.41 см, Хүснэгт 43) бид хэвийн тархалтын муруйн шаардлагатай бүх цэгүүдийн координатын утгыг тооцоолно (Хүснэгт 44, 45). Олж авсан координатыг ашиглан бид дөрөв дэх интервалын давтамжийг хамгийн их ординат болгон авч, ердийн муруйг зурна (Зураг 16).

Эмпирик тархалт нь хэвийн хэмжээтэй нийцэж байгааг хялбаршуулсан тооцоогоор тогтоож болно. Тэгэхлээр тэгш бус байдлын зэрэглэлийн индикатор (^)-ийн язгуур квадрат алдааны харьцаа sh a "эсвэл куртозын индикаторын (E x) язгуур квадрат алдааны харьцаа m &-ээс их байвал. үнэмлэхүй үнэ цэнэ"3" тоо нь эмпирик тархалт нь хэвийн тархалтын шинж чанартай тохирохгүй байна гэж дүгнэсэн (өөрөөр хэлбэл,

А tz E X

Хэрэв ™ A>3 эсвэл w д "> 3).

Тархалтын "хэвийн байдал"-ыг тогтоох бусад хөдөлмөр шаарддаггүй аргууд байдаг: a) арифметик дундажийг горим ба медиантай харьцуулах; б) Вестергардын дүрсийг ашиглах; в) хагас логарифмын сүлжээ ашиглан график дүрсийг хэрэглэх турбин;г) тусгай тохирох шалгуурыг тооцоолох гэх мэт.

Хүснэгт 44

КоординатуудХэвийн тархалтын муруйн 7 цэг

Хүснэгт 45

Хэвийн тархалтын муруйн цэгүүдийн координатыг тооцоолох

16-р зураг. Хэвийн тархалтын муруйг долоон цэг ашиглан зурсан

Практикт популяцийн тархалтыг ердийнхтэй нь уялдуулахын тулд судлахдаа "3cr дүрмийг" ихэвчлэн ашигладаг.

Үнэмлэхүй утгын дунджаас хазайх нь стандарт хазайлтаас гурав дахин бага байх магадлал 0.9973, өөрөөр хэлбэл хазайлтын абсолют утга стандарт хазайлтаас гурав дахин их байх магадлал 0.0027 буюу 0.0027 байх нь математикийн хувьд батлагдсан. маш жижиг. Боломжгүй үйл явдал боломжгүй гэсэн зарчмыг үндэслэн 3-р зүйлийг "хэт давсан тохиолдол" нь бараг боломжгүй гэж үзэж болно. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвийн тархсан бол түүний математик хүлээлтээс (дундаж) хазайх үнэмлэхүй утга нь стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй байна.

Практик тооцоололд тэд ийм байдлаар ажилладаг. Хэрэв судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үл мэдэгдэх шинж чанарыг харгалзан дундаж утгаас хазайлтын тооцоолсон утга нь 3 ST-ийн утгаас бага байвал судалж буй шинж чанар нь тархсан гэж үзэх үндэслэл бий. хэвийн. Хэрэв заасан параметр нь 3 ST-ийн тоон утгаас хэтэрсэн бол судалж буй утгын тархалт нь хэвийн тархалттай нийцэхгүй байна гэж бид үзэж болно.

Судалгаанд хамрагдсан эмпирик тархалтын цувралын онолын давтамжийн тооцоог ердийн (эсвэл бусад) тархалтын хуулийн дагуу эмпирик муруйг тэгшлэх гэж нэрлэдэг. Энэ үйл явц нь онолын болон практикийн ач холбогдолтой юм. Эмпирик өгөгдлүүдийг зэрэгцүүлэх нь тэдгээрийн тархалтын хэв маягийг илрүүлдэг бөгөөд үүнийг санамсаргүй байдлаар илрэх хэлбэрээр нууж болно. Ийм байдлаар тогтоосон загварыг хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Судлаач шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарууд болон хүний ​​практик үйл ажиллагааны чиглэлээр хэвийн ойролцоо тархалттай тулгардаг. Эдийн засагт ийм төрлийн хуваарилалт нь технологи, биологийнхээс бага байдаг. Энэ нь нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийн мөн чанараас шалтгаалж, харилцан уялдаатай, харилцан уялдаатай хүчин зүйлсийн асар их төвөгтэй байдал, түүнчлэн хэргийн чөлөөт "тоглоом" -ыг хязгаарлах олон нөхцөл байдгаараа онцлог юм. Гэхдээ эдийн засагч эмпирик хуваарилалтын бүтцэд дүн шинжилгээ хийхдээ ердийн тархалтыг ямар нэгэн стандарт гэж үзэх ёстой. Ийм харьцуулалт нь энэхүү тархалтын үзүүлэлтийг тодорхойлдог дотоод нөхцөл байдлын мөн чанарыг тодруулах боломжийг олгодог.

Бөмбөрцгийн нэвтрэлт статистик судалгаанийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийн талбарт нэвтэрсэн нь олон тооны оршин тогтнохыг илчлэх боломжийг олгосон. янз бүрийн төрөлтархалтын муруй. Гэсэн хэдий ч хүн үүнийг таамаглах ёсгүй онолын үзэл баримтлалЕрдийн тархалтын муруй нь энэ төрлийн үзэгдлийн статистик болон математикийн шинжилгээнд ерөнхийдөө бага ашиглагддаг. Тодорхой зүйлд дүн шинжилгээ хийхэд энэ нь үргэлж хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй байж болно статистикийн тархалт, гэхдээ онол практикийн хувьд судалгааны түүвэрлэх арга нь хамгийн чухал.

Статистик болон математикийн шинжилгээнд хэвийн тархалтыг ашиглах үндсэн талуудыг нэрлэе.

1. Тухайн шинж чанарын тодорхой утгын магадлалыг тодорхойлох. Энэ нь тодорхой эмпирик тархалт хэвийн хэмжээтэй тохирч байгаа тухай таамаглалыг туршихад зайлшгүй шаардлагатай.

2. Хамгийн их магадлалын аргыг ашиглан хэд хэдэн параметрийг, жишээлбэл, дундажийг тооцохдоо. Үүний мөн чанар нь бүхэлдээ хамаарах хуулийн тодорхойлолтод оршдог. Хамгийн их утгыг өгдөг тооцооллыг мөн тодорхойлно. Популяцийн параметрүүдийн хамгийн сайн ойролцооллыг дараах харьцаагаар тодорхойлно.

y = - 2 = e 2

3. Түүврийн хэрэгслийн магадлалыг ерөнхий дундажтай харьцуулан тодорхойлох.

4. Ерөнхий популяцийн шинж чанаруудын ойролцоо утгыг байрлуулах итгэлцлийн интервалыг тодорхойлохдоо.

Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй холбоотой олон асуудалд параметртэй хэвийн хуульд захирагдах санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь -ээс хүртэлх сегмент дээр унах магадлалыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Энэ магадлалыг тооцоолохын тулд бид ерөнхий томъёог ашигладаг

хэмжигдэхүүний тархалтын функц хаана байна.

Параметртэй хэвийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олъё. Утгын тархалтын нягт нь дараахтай тэнцүү байна.

Эндээс бид түгээлтийн функцийг олно

. (6.3.3)

(6.3.3) интегралд хувьсагчийн өөрчлөлт хийцгээе.

тэгээд үүнийг энэ хэлбэрээр оруулъя:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) -ээр илэрхийлэх боломжгүй үндсэн функцууд, гэхдээ үүнийг илэрхийлэх тусгай функцээр тооцоолж болно тодорхой интегралХүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн илэрхийллээс буюу (магадлалын интеграл гэж нэрлэгддэг). Ийм функцүүдийн олон төрөл байдаг, жишээлбэл:

;

гэх мэт. Эдгээр функцүүдийн алийг нь ашиглах нь таны амтанд хамаарах асуудал юм. Бид ийм функцийг сонгох болно

. (6.3.5)

Энэ функц нь параметртэй хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах функцээс өөр зүйл биш гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Функцийг хэвийн тархалтын функц гэж нэрлэе. Хавсралт (Хүснэгт 1) нь функцийн утгуудын хүснэгтүүдийг агуулна.

Хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг (6.3.3) параметрээр болон хэвийн тархалтын функцээр илэрхийлье. Мэдээжийн хэрэг,

Одоо -ээс - хүртэлх хэсэгт санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг олъё. Томъёоны дагуу (6.3.1)

Тиймээс бид ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг 0.1 параметртэй хамгийн энгийн хэвийн хуульд харгалзах стандарт тархалтын функцээр дамжуулан хэсэгт орох магадлалыг илэрхийлэв. Томъёо (6.3.7) дахь функцийн аргументууд нь маш энгийн утгатай болохыг анхаарна уу: хэсгийн баруун төгсгөлөөс тархалтын төв хүртэлх зай нь стандарт хазайлтаар илэрхийлэгддэг; - хэсгийн зүүн төгсгөлд ижил зай байх ба төгсгөл нь тархалтын төвийн баруун талд байрласан бол энэ зай эерэг, зүүн талд байвал сөрөг гэж үзнэ.

Аливаа түгээлтийн функцийн нэгэн адил функц нь дараахь шинж чанартай байдаг.

3. - буурахгүй функц.

Түүнчлэн гарал үүсэлтэй харьцангуй параметр бүхий хэвийн тархалтын тэгш хэмээс дараахь зүйлийг гаргана

Энэ шинж чанарыг ашиглан функциональ хүснэгтүүдийг зөвхөн эерэг аргументын утгуудаар хязгаарлах боломжтой боловч шаардлагагүй үйлдлээс (нэгээс хасах) зайлсхийхийн тулд Хавсралт 1-р хүснэгтэд эерэг ба сөрөг аргументуудын утгыг өгсөн болно.

Практикт бид ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн тархалтын төвтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй талбайд унах магадлалыг тооцоолох асуудалтай байнга тулгардаг. Ийм урттай хэсгийг авч үзье (Зураг 6.3.1). (6.3.7) томъёог ашиглан энэ талбайг цохих магадлалыг тооцоолъё:

Функцийн шинж чанарыг (6.3.8) харгалзан үзэж, (6.3.9) томъёоны зүүн талд илүү нягт хэлбэрийг өгснөөр бид ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын томъёог олж авна. тархалтын төвтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй талбай:

. (6.3.10)

Дараах асуудлыг шийдье. Тархалтын төвөөс уртын дараалсан сегментүүдийг зурж (Зураг 6.3.2) тэдгээрт санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг тооцоолъё. Ердийн муруй нь тэгш хэмтэй тул ийм сегментүүдийг зөвхөн нэг чиглэлд зурахад хангалттай.

(6.3.7) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

(6.3.11)

Эдгээр өгөгдлөөс харахад дараах сегмент тус бүрийг (тав, зургаа, гэх мэт) 0.001 нарийвчлалтайгаар цохих магадлал тэгтэй тэнцүү байна.

Сегментүүдэд орох магадлалыг 0.01 (1% хүртэл) болгон дугуйрвал бид санахад хялбар гурван тоог авна.

0,34; 0,14; 0,02.

Эдгээр гурван утгын нийлбэр нь 0.5 байна. Энэ нь ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бүх тархалт (хувийн бутархай нарийвчлалтай) тухайн талбайд таарч байна гэсэн үг юм.

Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт ба математикийн хүлээлтийг мэдэхийн тулд түүний практик утгуудын хүрээг ойролцоогоор зааж өгөх боломжийг олгодог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгын хүрээг тооцоолох энэ аргыг математикийн статистикт "гурван сигма дүрэм" гэж нэрлэдэг. Гурван сигмагийн дүрэм нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлтыг тодорхойлох ойролцоо аргыг агуулдаг: дундаж утгаас хамгийн их боломжтой хазайлтыг авч, гурваар хуваана. Мэдээжийн хэрэг, энэ бүдүүлэг техникийг тодорхойлох өөр, илүү нарийвчлалтай арга байхгүй тохиолдолд л санал болгож болно.

Жишээ 1. Ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой зайг хэмжих алдааг илэрхийлдэг. Хэмжилт хийхдээ 1.2 (м) -ээр хэтрүүлэн үнэлэх чиглэлд системчилсэн алдааг зөвшөөрдөг; Хэмжилтийн алдааны стандарт хазайлт нь 0.8 (м) байна. Үнэмлэхүй утгаараа хэмжсэн утгын бодит утгаас хазайх нь 1.6 (м)-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Хэмжилтийн алдаа нь параметртэй хэвийн хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. -ээс хүртэлх хэсэгт энэ хэмжигдэхүүн унах магадлалыг олох хэрэгтэй. (6.3.7) томъёоны дагуу бид:

Функцийн хүснэгтүүдийг (Хавсралт, Хүснэгт 1) ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

; ,

Жишээ 2. Өмнөх жишээн дээрхтэй адил магадлалыг ол, гэхдээ системчилсэн алдаа байхгүй тохиолдолд.

Шийдэл. (6.3.10) томьёог ашиглан бид дараахыг олно.

Жишээ 3. Туузан (авто зам) шиг харагдах бай, өргөн нь 20 м, хурдны замд перпендикуляр чиглэлд бууддаг. Онилгоо нь хурдны замын төв шугамын дагуу хийгддэг. Буудлагын чиглэлийн стандарт хазайлт нь m-тэй тэнцүү Буудлагын чиглэлд системчилсэн алдаа байна: нэг удаагийн цохилтоор хурдны замд өртөх магадлалыг ол.

Хэвийн тархалт ( хэвийн тархалт) - өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Заримдаа нэр томъёоны оронд хэвийн хуваарилалтнэр томъёог ашиглана уу Гауссын тархалтК.Гаусын хүндэтгэлд (одоо цагт бараг ашиглагдаагүй хуучин нэр томъёо: Гауссын хууль, Гаусс-Лапласын тархалт).

Нэг хувьсах хэвийн тархалт

Хэвийн тархалт нь нягтралтай байна::

Энэ томъёонд тогтмол параметрүүд байна дундаж, - Стандарт хазайлт.

Төрөл бүрийн параметрийн нягтын графикийг өгсөн болно.

Хэвийн тархалтын онцлог функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Онцлог функц, тохиргоог ялгах t = 0, бид ямар ч захиалгын мөчүүдийг авдаг.

Хэвийн тархалтын нягтын муруй нь тэгш хэмтэй бөгөөд энэ цэг дээр нэг максимумтай тэнцүү байна.

Стандарт хазайлтын параметр нь 0-ээс ∞ хооронд хэлбэлздэг.

Дундаж -∞-аас +∞ хооронд хэлбэлздэг.

Параметр нэмэгдэхийн хэрээр муруй нь тэнхлэгийн дагуу тархдаг X, 0-д ойртох тусам энэ нь дундаж утгын ойролцоо багасдаг (параметр нь тархалт, тархалтыг тодорхойлдог).

Энэ нь өөрчлөгдөхөд муруй тэнхлэгийн дагуу шилжинэ X(графикийг үзнэ үү).

Параметрүүдийг өөрчилснөөр бид утаснуудад үүсдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний янз бүрийн загварыг олж авдаг.

Жишээлбэл, харилцаа холбооны өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийх ердийн хуулийн ердийн хэрэглээ бол дуу чимээ, хөндлөнгийн оролцоо, алдаа, хөдөлгөөнийг дүрслэх дохиог загварчлах явдал юм.

Нэг хувьсах хэвийн тархалтын графикууд

Зураг 1. Хэвийн тархалтын нягтын график: дундаж нь 0, стандарт хазайлт 1

Зураг 2. Бүх ажиглалтын 68% ба 95%-ийг агуулсан талбай бүхий стандарт хэвийн тархалтын нягтын график

Зураг 3. Дундаж тэг ба өөр өөр хазайлттай хэвийн тархалтын нягтын график (=0.5, =1, =2)

Зураг 4 N(-2,2) ба N(3,2) хоёр хэвийн тархалтын графикууд.

Параметрийг өөрчлөх үед түгээлтийн төв шилжсэнийг анхаарна уу.

Сэтгэгдэл

Хөтөлбөрт СТАТИСТИК N(3,2) тэмдэглэгээ нь дундаж = 3 ба стандарт хазайлт =2 гэсэн параметртэй хэвийн буюу Гауссын хуулийг хэлнэ.

Уран зохиолд заримдаа хоёр дахь параметрийг тайлбарладаг тархалт, өөрөөр хэлбэл дөрвөлжинстандарт хэлбэлзэл.

Магадлалын тооцоолуур ашиглан хэвийн тархалтын хувийн оноог тооцоолох СТАТИСТИК

Магадлалын тооцоолуур ашиглах СТАТИСТИКтооцоолж болно янз бүрийн шинж чанаруудХуучны номонд хэрэглэгддэг нүсэр хүснэгтүүдийг ашиглахгүйгээр түгээх.

1-р алхам.Эхлүүлье Шинжилгээ / Магадлалын тооцоолуур / Хуваарилалт.

Түгээх хэсэгт сонгоно уу хэвийн.

Зураг 5. Магадлалын тархалтын тооцоолуур ажиллуулж байна

Алхам 2.Бид сонирхож буй параметрүүдийг зааж өгдөг.

Жишээлбэл, бид дундаж 0 ба стандарт хазайлт 1-тэй хэвийн тархалтын 95% квантилыг тооцоолохыг хүсч байна.

Эдгээр параметрүүдийг тооцоолуурын талбарт зааж өгье (тооцооны талбаруудын дундаж ба стандарт хазайлтыг харна уу).

p=0.95 параметрийг танилцуулъя.

"Урвуу f.r" гэсэн нүдийг шалгах автоматаар гарч ирнэ. "Хуваарь" нүдийг шалгана уу.

Баруун дээд буланд байрлах "Тооцоолох" товчийг дарна уу.

Зураг 6. Параметрүүдийг тохируулах

Алхам 3. Z талбарт бид үр дүнг авна: квантил утга нь 1.64 (дараагийн цонхыг үзнэ үү).

Зураг 7. Тооцоологчийн үр дүнг харах

Зураг 8. Нягтын график ба тархалтын функцууд. Шулуун шугам x=1.644485

Зураг 9. Хэвийн тархалтын функцийн графикууд. Босоо тасархай шугам - x=-1.5, x=-1, x=-0.5, x=0

Зураг 10. Хэвийн тархалтын функцийн графикууд. Босоо тасархай шугам - x=0.5, x=1, x=1.5, x=2

Хэвийн тархалтын параметрийн тооцоо

Хэвийн тархалтын утгыг ашиглан тооцоолж болно интерактив тооцоолуур.

Хоёр хувьсах хэвийн тархалт

Нэг хэмжээст хэвийн тархалт нь байгалийн жамаар ерөнхийлдөг хоёр хэмжээстхэвийн тархалт.

Жишээлбэл, хэрэв та дохиог зөвхөн нэг цэг дээр авч үзвэл нэг хэмжээст тархалт танд хангалттай, хоёр цэг дээр - хоёр хэмжээст, гурван цэг дээр - гурван хэмжээст гэх мэт.

Хоёр хувьсагчийн хэвийн тархалтын ерөнхий томъёо нь:

Хос хоорондын хамаарал хаана байна X 1Тэгээд X 2;

X 1тус тус;

Хувьсагчийн дундаж ба стандарт хазайлт X 2тус тус.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1Тэгээд X 2бие даасан байвал корреляци 0, = 0 байх ба илтгэгчийн дунд гишүүн алга болж, бидэнд:

f(x 1 ,x 2) = f(x 1)*f(x 2)

Бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хоёр хэмжээст нягт нь хоёр хэмжээст нягтын бүтээгдэхүүн болж задардаг.

Хоёр хувьсах хэвийн тархалтын нягтын графикууд

Зураг 11. Хоёр хувьсах хэвийн тархалтын нягтын график (дундажын тэг вектор, нэгж ковариацын матриц)

Зураг 12. z=0.05 хавтгайтай хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын графикийн зүсэлт.

Зураг 13. Хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын график (хүлээгдэж буй утгын тэг вектор, үндсэн диагональ дээр 1, хажуугийн диагональ дээр 0.5-тай ковариацын матриц)

Зураг 14. Хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын графикийн зүсэлт (математикийн хүлээлтийн тэг вектор, үндсэн диагональ дээр 1, хажуугийн диагональ дээр 0,5 байх ковариацын матриц) z= 0,05 хавтгайд.

Зураг 15. Хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын график (хүлээгдэж буй утгын тэг вектор, үндсэн диагональ дээр 1, хажуугийн диагональ дээр -0.5-тай ковариацын матриц)

Зураг 16. Хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын графикийн зүсэлт (математикийн хүлээлтийн тэг вектор, үндсэн диагональ дээр 1, хажуугийн диагональ дээр -0,5-тай ковариацын матриц) z=0,05 хавтгайд.

Зураг 17. z=0.05 хавтгайтай хоёр хэмжээст хэвийн тархалтын нягтын графикийн зүсэлтүүд.

Хоёр хувьсагчийн хэвийн тархалтыг илүү сайн ойлгохын тулд дараах асуудлыг шийдэж үзээрэй.

Даалгавар. Хоёр хувьсагчийн хэвийн тархалтын графикийг хар. Бодоод үз дээ, үүнийг нэг хэмжээст хэвийн тархалтын графикийн эргэлтээр илэрхийлж болох уу? Деформацийн техникийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?

Мөн танд бие даан шийдэх асуудлууд гарч ирэх бөгөөд та хариултыг нь харж болно.

Хэвийн тархалт: онолын үндэслэл

Хэвийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ бол хүний ​​өндөр, баригдсан ижил төрлийн загасны масс юм. Хэвийн тархалт гэдэг нь дараахь зүйлийг хэлнэ : хүний ​​өндөр, нэг зүйлийн загасны масс зэрэг үзүүлэлтүүд байдаг зөн совингийн түвшиннь "хэвийн" (мөн үнэндээ дундаж) гэж үздэг бөгөөд хангалттай том түүвэрт тэдгээр нь дээшээ доошоо ялгаатай хүмүүсээс хамаагүй илүү олддог.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний (заримдаа Гауссын тархалт) магадлалын хэвийн тархалтыг хонх хэлбэртэй гэж нэрлэж болно, учир нь энэ тархалтын нягтын функц нь дундаж утгаараа тэгш хэмтэй бөгөөд хонхны зүсэлттэй (улаан муруй) маш төстэй байдаг. дээрх зурагт).

Түүвэрт тодорхой утгуудтай тулгарах магадлал нь муруйн доорх зургийн талбайтай тэнцүү бөгөөд хэвийн тархалтын тохиолдолд "хонх" -ын дээд хэсэгт утгуудтай тохирч байгааг бид харж байна. дундаж руу чиглүүлбэл талбайн хэмжээ, тиймээс магадлал нь ирмэгийн доороос их байна. Тиймээс бид аль хэдийн хэлсэнтэй ижил зүйлийг олж авдаг: "хэвийн" өндөртэй хүнтэй уулзаж, "хэвийн" жинтэй загас барих магадлал нь дээшээ доошоо ялгаатай утгуудаас өндөр байна. Практикт олон тохиолдлуудад хэмжилтийн алдааг хэвийн хэмжээнд ойрхон хуулийн дагуу хуваарилдаг.

Хичээлийн эхэнд байгаа хэвийн тархалтын нягтын функцийг харуулсан зургийг дахин харцгаая. Энэ функцийн графикийг програм хангамжийн багц дахь тодорхой өгөгдлийн дээжийг тооцоолох замаар олж авсан СТАТИСТИК. Үүн дээр гистограмын баганууд нь түүврийн утгуудын интервалуудыг төлөөлдөг бөгөөд тэдгээрийн тархалт нь улаан муруй болох хэвийн тархалтын нягтын функцийн бодит графиктай ойролцоо (эсвэл статистикт нийтлэг хэлснээр тийм ч их ялгаатай биш) юм. . Графикаас харахад энэ муруй нь үнэхээр хонх хэлбэртэй байна.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний зөвхөн хүлээгдэж буй утга ба стандарт хазайлтыг мэдсэнээр та тухайн хувьсагчтай холбоотой аливаа магадлалыг тооцоолж болох тул хэвийн тархалт нь олон талаараа үнэ цэнэтэй юм.

Энгийн тархалт нь ашиглахад хамгийн хялбар байдаг давуу талтай. статистикийн таамаглалыг шалгахад ашигладаг статистикийн тестүүд - Оюутны t тест- түүвэр өгөгдөл нь хэвийн тархалтын хуульд захирагдаж байгаа тохиолдолд л ашиглах боломжтой.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын нягтын функцтомъёог ашиглан олж болно:

,

Хаана x- өөрчлөгдөж буй хэмжигдэхүүний утга, - дундаж утга, - стандарт хазайлт, д=2.71828... - натурал логарифмын суурь, =3.1416...

Хэвийн тархалтын нягтын функцийн шинж чанарууд

Дундаж өөрчлөлт нь хэвийн нягтын функцийн муруйг тэнхлэг рүү шилжүүлдэг Үхэр. Хэрэв энэ нь нэмэгдвэл муруй баруун тийш, багасвал зүүн тийш шилжинэ.

Хэрэв стандарт хазайлт өөрчлөгдвөл муруйн дээд хэсгийн өндөр өөрчлөгдөнө. Стандарт хазайлт ихсэх үед муруйн дээд хэсэг өндөр, буурах үед бага байна.

Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал

Энэ догол мөрөнд бид утгыг гарчигт заасан практик асуудлуудыг шийдэж эхлэх болно. Асуудлыг шийдвэрлэх ямар боломжуудыг онолоор хангадаг болохыг харцгаая. Өгөгдсөн интервалд хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг тооцоолох эхлэлийн ойлголт нь хэвийн тархалтын хуримтлагдах функц юм.

Хуримтлагдсан хэвийн тархалтын функц:

.

Гэсэн хэдий ч дундаж болон стандарт хазайлтын боломжит хослол бүрийн хүснэгтийг олж авах нь асуудалтай байдаг. Тиймээс нэг энгийн аргуудӨгөгдсөн интервалд хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалыг тооцох нь стандартчилагдсан хэвийн тархалтын магадлалын хүснэгтүүдийг ашиглах явдал юм.

Хэвийн тархалтыг стандартчилагдсан буюу хэвийн гэж нэрлэдэг., дундаж нь , стандарт хазайлт нь .

Стандартчилагдсан хэвийн тархалтын нягтын функц:

.

Стандартчилагдсан хэвийн тархалтын хуримтлагдсан функц:

.

Доорх зураг нь програм хангамжийн багц дахь тодорхой өгөгдлийн түүврийг тооцоолох замаар графикийг олж авсан стандартчилагдсан хэвийн тархалтын интеграл функцийг харуулж байна. СТАТИСТИК. График нь өөрөө улаан муруй бөгөөд түүврийн утгууд түүнд ойртож байна.

Зургийг томруулахын тулд та хулганы зүүн товчийг дарж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг стандартчилна гэдэг нь даалгаварт ашигласан анхны нэгжээс стандартчилагдсан нэгж рүү шилжихийг хэлнэ. Стандартчиллыг томъёоны дагуу гүйцэтгэдэг

Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ихэвчлэн тодорхойгүй байдаг тул дундаж болон стандарт хазайлтын утгыг нарийн тодорхойлох боломжгүй байдаг. Тэдгээрийг ажиглалтын арифметик дундаж ба стандарт хазайлтаар сольсон с. Хэмжээ zстандарт хазайлтыг хэмжихдээ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын арифметик дунджаас хазайлтыг илэрхийлдэг.

Нээлттэй интервал

Статистикийн бараг бүх номноос олж болох стандартчилагдсан хэвийн тархалтын магадлалын хүснэгт нь стандарт хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг агуулдаг. Зтодорхой тооноос бага утгыг авна z. Энэ нь хасах хязгаараас хязгааргүй хүртэлх нээлттэй интервалд орох болно z. Жишээ нь, магадлалын тоо хэмжээ З 1.5-аас бага, 0.93319-тэй тэнцүү.

Жишээ 1.Тус компани нь ашиглалтын хугацаа нь дунджаар 1000 цаг, стандарт хазайлт нь 200 цаг байдаг эд анги үйлдвэрлэдэг.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон хэсгийн хувьд ашиглалтын хугацаа нь дор хаяж 900 цаг байх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Эхний тэмдэглэгээг танилцуулъя:

Хүссэн магадлал.

Санамсаргүй хувьсагчийн утгууд нь нээлттэй интервалд байна. Гэхдээ бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөнөөс бага утгыг авах магадлалыг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг бөгөөд асуудлын нөхцлийн дагуу бид өгөгдсөнтэй тэнцүү эсвэл түүнээс ихийг олох хэрэгтэй. Энэ нь хэвийн нягтын муруй (хонх) доорх зайны нөгөө хэсэг юм. Тиймээс хүссэн магадлалыг олохын тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь заасан 900-аас бага утгыг авах магадлалыг нэгдмэл байдлаас хасах хэрэгтэй.

Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг стандартчилах хэрэгтэй.

Бид тэмдэглэгээг үргэлжлүүлэн танилцуулж байна:

z = (X ≤ 900) ;

x= 900 - санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхойлсон утга;

μ = 1000 - дундаж утга;

σ = 200 - стандарт хазайлт.

Эдгээр өгөгдлийг ашиглан бид асуудлын нөхцөлийг олж авна.

.

Стандартчилагдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүснэгтийн дагуу (интервалын хил) z= −0.5 нь 0.30854 магадлалтай тохирч байна. Үүнийг нэгдмэл байдлаас хасаад асуудлын мэдэгдэлд шаардагдах зүйлийг авна уу:

Тэгэхээр тухайн эд анги нь 900-аас доошгүй цаг ашиглалтын хугацаатай байх магадлал 69% байна.

Энэ магадлалыг MS Excel-ийн NORM.DIST функцийг ашиглан олж авч болно (интеграл утга - 1):

П(X≥900) = 1 - П(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

MS Excel-ийн тооцооллын талаар - энэ хичээлийн дараагийн догол мөрүүдийн аль нэгэнд.

Жишээ 2.Тодорхой хотод гэр бүлийн жилийн дундаж орлого нь 300,000 дундаж, стандарт хазайлт нь 50,000-аас бага байдаг нь хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм А. Утгыг ол А.

Шийдэл. Энэ бодлогод 40% гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тодорхой утгаас бага байгаа нээлттэй интервалаас утгыг авах магадлалаас өөр зүйл биш юм. А.

Үнэ цэнийг олохын тулд А, эхлээд бид интеграл функцийг бүтээдэг:

Асуудлын нөхцлийн дагуу

μ = 300000 - дундаж утга;

σ = 50000 - стандарт хазайлт;

x = А- олох тоо хэмжээ.

Тэгш байдлыг бий болгох

.

Статистикийн хүснэгтээс бид 0.40 магадлал нь интервалын хилийн утгатай тохирч байгааг олж мэдэв. z = −0,25 .

Тиймээс бид тэгш байдлыг бий болгодог

мөн түүний шийдлийг олох:

А = 287300 .

Хариулт: Өрхийн 40% нь 287,300-аас доош орлоготой.

Хаалттай интервал

Олон тооны асуудалд хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах интервалд утгыг авах магадлалыг олох шаардлагатай байдаг. z 1-ээс z 2. Энэ нь хаалттай интервалд унах болно гэсэн үг юм. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд интервалын хил хязгаарт тохирох магадлалыг хүснэгтээс олж, дараа нь эдгээр магадлалын ялгааг олох шаардлагатай. Энэ нь томоос бага утгыг хасах шаардлагатай. Эдгээр нийтлэг асуудлуудын шийдлүүдийн жишээ нь дараах бөгөөд тэдгээрийг өөрөө шийдэхийг санал болгож байна, дараа нь та харж болно. зөв шийдвэрүүдболон хариултууд.

Жишээ 3.Аж ахуйн нэгжийн тодорхой хугацааны ашиг нь 0.5 сая дундаж утгатай ердийн хуваарилалтын хуульд хамаарах санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. ба стандарт хазайлт 0.354. Аж ахуйн нэгжийн ашиг 0.4-0.6 c.u байх магадлалыг аравтын хоёр орон хүртэлх нарийвчлалтайгаар тодорхойл.

Жишээ 4.Үйлдвэрлэсэн хэсгийн урт нь параметрүүдтэй ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм μ =10 ба σ =0.071. Хэсгийн зөвшөөрөгдөх хэмжээ нь 10±0.05 байх ёстой бол согогийн магадлалыг хоёр аравтын орон хүртэлх нарийвчлалтайгаар ол.

Санамж: энэ бодлогод санамсаргүй хэмжигдэхүүн хаалттай интервалд орох магадлалыг (гажиггүй хэсгийг хүлээн авах магадлал) олохоос гадна дахин нэг үйлдэл хийх шаардлагатай.

стандартчилагдсан утгын магадлалыг тодорхойлох боломжийг танд олгоно Збага биш -zба түүнээс дээш биш +z, Хаана z- стандартчилагдсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дур мэдэн сонгосон утга.

Тархалтын хэвийн байдлыг шалгах ойролцоо арга

Түүврийн утгын тархалтын хэвийн байдлыг шалгах ойролцоо арга нь дараахь зүйл дээр суурилдаг хэвийн тархалтын шинж чанар: хазайлтын коэффициент β 1 ба куртозын коэффициент β 2 тэгтэй тэнцүү байна.

Асимметрийн коэффициент β 1 дундажтай харьцуулахад эмпирик тархалтын тэгш хэмийг тоон байдлаар тодорхойлдог. Хэрэв хазайлтын коэффициент тэг байвал арифметрийн дундаж, медиан ба горим тэнцүү байна: тархалтын нягтын муруй нь дундажтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хэрэв тэгш бус байдлын коэффициент тэгээс бага бол (β 1 < 0 ), тэгвэл арифметик дундаж нь медианаас бага, харин медиан нь эргээд горимоос бага () ба муруй баруун тийш шилжсэн (хэвийн тархалттай харьцуулахад). Хэрэв тэгш бус байдлын коэффициент тэгээс их бол (β 1 > 0 ), тэгвэл арифметик дундаж нь дундажаас их, харин медиан нь эргээд горимоос () их байна. муруй зүүн тийш шилжсэн (хэвийн тархалттай харьцуулахад).

Куртозын коэффициент β 2 тэнхлэгийн чиглэлд арифметик дундажийг тойрсон эмпирик тархалтын концентрацийг тодорхойлдог Өөтархалтын нягтын муруйн оргил цэгийн зэрэг. Куртозын коэффициент тэгээс их байвал муруй илүү уртассан байна (хэвийн тархалттай харьцуулахад)тэнхлэгийн дагуу Өө(график нь илүү дээд цэгтээ хүрсэн). Куртозын коэффициент тэгээс бага бол муруй илүү хавтгайрсан байна (хэвийн тархалттай харьцуулахад)тэнхлэгийн дагуу Өө(график нь илүү мохоо).

MS Excel SKOS функцийг ашиглан тэгш бус байдлын коэффициентийг тооцоолж болно. Хэрэв та нэг өгөгдлийн массивыг шалгаж байгаа бол өгөгдлийн хүрээг нэг "Тоо" нүдэнд оруулах шаардлагатай.

Куртозын коэффициентийг MS Excel KURTESS функцийг ашиглан тооцоолж болно. Нэг өгөгдлийн массивыг шалгахдаа өгөгдлийн хүрээг нэг "Тоо" хайрцагт оруулахад хангалттай.

Тиймээс бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан хэвийн тархалттай үед хазайлт ба куртозын коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. Харин хазайлтын коэффициентийг -0.14, 0.22, 0.43, куртозын коэффициентийг 0.17, -0.31, 0.55 болговол яах вэ? Практикт бид зайлшгүй, хяналтгүй тархалтад өртдөг тэгш бус байдал ба куртозын түүврийн утгыг л авч үздэг тул асуулт нь нэлээд шударга юм. Тиймээс эдгээр коэффициентүүд нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэж шаардаж болохгүй; Гэхдээ хангалттай гэж юу гэсэн үг вэ?

Хүлээн авсан эмпирик утгыг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгатай харьцуулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та дараахь тэгш бус байдлыг шалгах хэрэгтэй (модулийн коэффициентийн утгыг чухал утгууд - таамаглалыг шалгах талбайн хил хязгаартай харьцуулах).

Тэгш бус байдлын коэффициентийн хувьд β 1 .