Să fie dată funcția. Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate modifica în timp ce cealaltă își menține valoarea. Să dăm variabilei independente x un increment, păstrând valoarea lui y neschimbată. Atunci z va primi un increment, care se numește increment parțial al lui z față de x și se notează . Asa de, .

În mod similar, obținem incrementul parțial al lui z peste y: .

Creșterea totală a funcției z este determinată de egalitatea .

Dacă există o limită, atunci se numește derivată parțială a funcției într-un punct față de variabila x și se notează cu unul dintre simbolurile:

.

Derivatele parțiale față de x într-un punct sunt de obicei notate prin simboluri .

Derivata parțială a lui față de variabila y este definită și notă în mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, cu condiția ca valorile variabilelor independente rămase să fie constante. Prin urmare, derivatele parțiale ale unei funcții se găsesc folosind formulele și regulile pentru calcularea derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, x sau y sunt considerate o valoare constantă, respectiv).

Derivatele parțiale sunt numite derivate parțiale de ordinul întâi. Ele pot fi considerate funcții ale . Aceste funcții pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale de ordinul doi. Acestea sunt definite și etichetate după cum urmează:

; ;

; .

Diferențiale de ordinul 1 și 2 ale unei funcții a două variabile.

Diferenţialul total al unei funcţii (formula 2.5) se numeşte diferenţială de ordinul întâi.

Formula de calcul a diferenţialului total este următoarea:

(2.5) sau , Unde ,

diferențiale parțiale ale unei funcții.

Fie ca funcția să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi. Diferenţialul de ordinul doi este determinat de formulă. Să-l găsim:

De aici: . Simbolic este scris astfel:

.

INTEGRAL NEDETERMINAT.

Antiderivată a unei funcții, integrală nedefinită, proprietăți.

Se numește funcția F(x). antiderivat pentru o funcție dată f(x), dacă F"(x)=f(x), sau, ceea ce este același, dacă dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Dacă o funcție f(x), definită într-un interval (X) de lungime finită sau infinită, are o antiderivată, F(x), atunci are și infinite de antiderivate; toate sunt cuprinse în expresia F(x) + C, unde C este o constantă arbitrară.

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată f(x), definită într-un anumit interval sau pe un segment de lungime finită sau infinită, se numește integrală nedefinită din funcția f(x) [sau din expresia f(x)dx ] și se notează cu simbolul .

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru f(x), atunci conform teoremei antiderivate

, unde C este o constantă arbitrară.

Prin definiția unei antiderivate, F"(x)=f(x) și, prin urmare, dF(x)=f(x) dx. În formula (7.1), f(x) este numită funcție integrandă și f( x) dx se numește expresie integrandă.

Definiție 1.11 Să fie dată o funcție a două variabile z=z(x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .

Dacă în D există un astfel de cartier U.M. 0 puncte M 0 , care pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punct maxim local. Și sensul în sine z(M 0 ) - maxim local.

Și dacă pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punctul minim local al funcției z(x,y) . Și sensul în sine z(M 0 ) - minim local.

Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . În fig. 1.4 explică semnificația geometrică a maximului local: M 0 - punct maxim, deoarece la suprafata z =z (x,y) punctul său corespunzător C 0 este mai înalt decât orice punct învecinat C (aceasta este localitatea maximului).

Rețineți că, în general, există puncte pe suprafață (de exemplu, ÎN ), care sunt situate deasupra C 0 , dar aceste puncte (de exemplu, ÎN ) nu sunt „vecinate” până la obiect C 0 .

În special, punctul ÎN corespunde conceptului de maxim global:

Minimul global este definit în mod similar:

Găsirea maximelor și minimelor globale va fi discutată în secțiunea 1.10.

Teorema 1.3(condiții necesare pentru un extremum).

Să fie dată funcția z =z (x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 D - punctul extremum local.

Dacă în acest moment există z" X Și z" y , Acea

Dovada geometrică este „evidentă”. Dacă la punct C 0 trageți un plan tangent pe (Fig. 1.4), apoi va trece „în mod natural” pe orizontală, adică într-un unghi 0° la axa Oh iar la axă OU .

Apoi, în conformitate cu semnificația geometrică a derivatelor parțiale (Fig. 1.3):

care era ceea ce trebuia dovedit.

Definiția 1.12.

Dacă la punct M 0 sunt îndeplinite condițiile (1.41), atunci se numește punct staționar al funcției z(x,y) .

Teorema 1.4(condiții suficiente pentru un extremum).

Să fie dat z =z (x,y), (x,y)D , care are derivate parțiale de ordinul doi într-o apropiere a punctului M 0 (X 0 ,y 0 )D . în plus M 0 - punct staționar (adică sunt îndeplinite condițiile necesare (1.41). Să calculăm:

Demonstrarea teoremei folosește subiecte (formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile și teoria formelor pătratice) care nu sunt tratate în acest tutorial.

Exemplul 1.13.

Explorează până la extrem:

Soluţie

1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):

adică se găsesc patru puncte staţionare. 2.

prin teorema 1.4 în punctul în care există un minim. în plus

prin teorema 1.4 la punctul

Maxim. în plus

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt funcții ale acelorași variabile. Aceste funcții, la rândul lor, pot avea derivate parțiale, pe care le vom numi derivate parțiale a doua (sau derivate parțiale de ordinul doi) ale funcției originale.

De exemplu, o funcție a două variabile are patru derivate parțiale de ordinul doi, care sunt definite și notate după cum urmează:

O funcție de trei variabile are nouă derivate parțiale de ordinul doi:

Derivatele parțiale de ordinul al treilea și superior ale unei funcții a mai multor variabile sunt definite și notate în mod similar: derivata parțială de ordinul unei funcție a mai multor variabile este derivata parțială de ordinul întâi a derivatei parțiale de ordinul aceleiași funcţie.

De exemplu, derivata parțială de ordinul trei a unei funcții este derivata parțială de ordinul întâi în raport cu y a derivatei parțiale de ordinul doi

O derivată parțială de ordinul doi sau mai mare luată în raport cu mai multe variabile diferite se numește derivată parțială mixtă.

De exemplu, derivate parțiale

sunt derivate parțiale mixte ale unei funcții a două variabile.

Exemplu. Găsiți derivate parțiale mixte de ordinul doi ale unei funcții

Soluţie. Găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi

Apoi găsim derivatele parțiale mixte de ordinul doi

Vedem că derivatele parțiale mixte care diferă între ele numai în ordinea diferențierii, adică secvența în care se realizează diferențierea față de diferite variabile, s-au dovedit a fi identic egale. Acest rezultat nu este întâmplător. În ceea ce privește derivatele parțiale mixte, este valabilă următoarea teoremă, pe care o acceptăm fără demonstrație.

Principiul general al găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a trei variabile este similar cu principiul găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile.

Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, trebuie mai întâi să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi sau, într-o altă notație:

Există nouă derivate parțiale de ordinul doi.

Primul grup este derivatele a doua în raport cu aceleași variabile:

Sau – a doua derivată în raport cu „x”;

Sau – a doua derivată în raport cu „Y”;

Sau – a doua derivată în raport cu „zet”.

Al doilea grup este amestecat Derivate parțiale de ordinul 2, există șase dintre ele:

Sau - amestecat derivat „prin x igrek”;

Sau - amestecat derivat „prin jocul x”;

Sau - amestecat derivată „față de x z”;

Sau - amestecat derivată „prin zt x”;

Sau - amestecat derivat „cu privire la igrek z”;

Sau - amestecat derivat „prin zt igrek”.

Ca și în cazul unei funcții a două variabile, atunci când rezolvați probleme, vă puteți concentra pe următoarele egalități ale derivatelor mixte de ordinul doi:

Notă: strict vorbind, acesta nu este întotdeauna cazul. Pentru ca derivatele mixte să fie egale, trebuie îndeplinită cerința continuității acestora.

Pentru orice eventualitate, iată câteva exemple despre cum să citiți corect această rușine cu voce tare:

- „două lovituri au de două ori un joc”;

– „de doi y by de z pătrat”;

– „sunt două linii în X și Z”;

- „de two y po de zet po de igrek.”

Exemplul 10

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile:

.

Soluţie: Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „Y”:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „x”:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

Să ne ocupăm de a doua pereche de derivate mixte.

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „z”:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „x”:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

Ne ocupăm de a treia pereche de derivate mixte într-un mod similar:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

După munca depusă, putem garanta că, în primul rând, am găsit corect toate derivatele parțiale de ordinul I, iar în al doilea rând, am găsit corect și derivatele parțiale mixte de ordinul 2.

Rămâne să găsiți încă trei derivate parțiale de ordinul doi; aici, pentru a evita greșelile, ar trebui să vă concentrați atenția cât mai mult posibil:

Gata. Repet, sarcina nu este atât de grea, cât este voluminoasă. Soluția poate fi scurtată și referită la egalități ale derivatelor parțiale mixte, dar în acest caz nu va exista nicio verificare. Prin urmare, este mai bine să petreceți timp și să găsiți Toate derivate (în plus, profesorul poate solicita acest lucru) sau, în ultimă instanță, verificați proiectul.

Exemplul 11

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile

.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie:

Exemplul 4:Soluţie: Să găsim privat derivate de ordinul întâi.

Să creăm un diferențial complet de primă ordine:

Exemplul 6:Soluţie: M(1, -1, 0):

Exemplul 7:Soluţie: Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în acest punctM(1, 1, 1):

Exemplul 9:Soluţie:

Exemplul 11:Soluţie: Să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

.

Integrale

8.1. Integrală nedefinită. Eșantion de soluții detaliate

Să începem să studiem subiectul " integrală nedefinită", și vom analiza, de asemenea, în detaliu exemple de soluții la cele mai simple (și nu atât de simple) integrale. Ca de obicei, ne vom limita la minimul de teorie, care este în numeroase manuale; sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm integralele.

Ce trebuie să știți pentru a stăpâni cu succes materialul? Pentru a face față calculului integral, trebuie să poți găsi derivate la minimum, la un nivel intermediar. Nu va fi o risipă de experiență dacă aveți câteva zeci, sau mai bine zis, sute de derivate găsite independent în subordine. Cel puțin, nu ar trebui să fii confuz de sarcini pentru a diferenția cele mai simple și mai comune funcții.

S-ar părea, ce legătură au derivatele cu asta dacă articolul este despre integrale?! Iată chestia. Cert este că găsirea derivatelor și găsirea integralelor nedefinite (diferențiere și integrare) sunt două acțiuni reciproc inverse, cum ar fi adunarea/scăderea sau înmulțirea/împărțirea. Astfel, fără pricepere și orice experiență în găsirea de derivate, din păcate, nu poți merge mai departe.

În acest sens, vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Tabelul derivatelorȘi Tabelul integralelor.

Care este dificultatea în a învăța integralele nedefinite? Dacă în derivate există strict 5 reguli de diferențiere, un tabel de derivate și un algoritm de acțiuni destul de clar, atunci în integrale totul este diferit. Există zeci de metode și tehnici de integrare. Și, dacă metoda de integrare este inițial aleasă incorect (adică nu știți cum să rezolvați), atunci puteți „înțepa” integrala literalmente zile întregi, ca un adevărat puzzle, încercând să descoperiți diferite tehnici și trucuri. Unora chiar le place.

Apropo, am auzit destul de des de la studenți (nu sunt specializați în științe umaniste) o opinie de genul: „Nu am avut niciodată vreun interes să rezolv o limită sau o derivată, dar integralele sunt o chestiune complet diferită, este fascinant, există întotdeauna o dorința de a „hack” o integrală complexă.” . Stop. Ajunge de umor negru, să trecem la aceste integrale foarte nedefinite.

Deoarece există multe modalități de a o rezolva, atunci de unde ar trebui să înceapă un ceainic să studieze integralele nedefinite? În calculul integral, în opinia noastră, există trei piloni sau un fel de „axă” în jurul cărora se învârte totul. În primul rând, ar trebui să înțelegeți bine cele mai simple integrale (acest articol).

Apoi, trebuie să parcurgeți lecția în detaliu. ASTA ESTE CEA MAI IMPORTANTĂ TEHNICĂ! Poate chiar cel mai important articol dintre toate articolele despre integrale. Și în al treilea rând, cu siguranță ar trebui să citiți metoda integrarii prin piese, deoarece integrează o clasă largă de funcții. Dacă stăpânești măcar aceste trei lecții, atunci nu vei mai avea două. S-ar putea să fii iertat că nu știi integrale ale funcții trigonometrice , integrale ale fracțiilor, integrale ale funcții raționale fracționale , integrale ale funcțiilor iraționale (rădăcini), dar dacă „ai probleme” cu metoda de înlocuire sau metoda de integrare pe piese, atunci va fi foarte, foarte rău.

Deci, să începem simplu. Să ne uităm la tabelul integralelor. Ca și în derivate, observăm mai multe reguli de integrare și un tabel de integrale din unele functii elementare. Orice integrală de tabel (și într-adevăr orice integrală nedefinită) are forma:

Să înțelegem imediat notațiile și termenii:

– pictograma integrală.

– funcția integrand (scrisă cu litera „s”).

– pictogramă diferenţial. Ne vom uita la ce este asta foarte curând. Principalul lucru este că atunci când scrieți integrala și în timpul soluției, este important să nu pierdeți această pictogramă. Va fi un defect vizibil.

– expresie integrandă sau „umplere” a integralei.

– antiderivat funcţie.

– . Nu este nevoie să fii foarte încărcat cu termeni; cel mai important lucru aici este că în oricare integrală nedefinită la răspuns se adaugă o constantă.

Rezolvarea unei integrale nedefinite înseamnă a găsimulte funcții primitive din integrandul dat

Să ne uităm din nou la intrare:

Să ne uităm la tabelul integralelor.

Ce se întâmplă? Avem părțile din stânga A se transforma în la alte funcţii: .

Să simplificăm definiția noastră:

Rezolvați integrale nedefinite - aceasta înseamnă TRANSFORMĂ-l într-o funcție nedefinită (până la o constantă). , folosind unele reguli, tehnici și un tabel.

Luați, de exemplu, integrala tabelului . Ce s-a întâmplat? Notația simbolică a evoluat în multe funcții primitive.

Ca și în cazul derivatelor, pentru a învăța cum să găsești integrale, nu este necesar să fii conștient de ce este o funcție integrală sau antiderivată din punct de vedere teoretic. Este suficient să efectuați pur și simplu transformări conform unor reguli formale. Deci, în caz Nu este deloc necesar să înțelegem de ce integrala se transformă în . Puteți lua aceasta și alte formule de la sine înțeles. Toată lumea folosește electricitate, dar puțini oameni se gândesc la modul în care electronii călătoresc prin fire.

Deoarece diferențierea și integrarea sunt operații opuse, pentru orice antiderivată care este găsită corect, următoarele este adevărată:

Cu alte cuvinte, dacă diferențiați răspunsul corect, atunci trebuie să obțineți funcția integrand originală.

Să revenim la aceeași integrală de tabel .

Să verificăm validitatea acestei formule. Luăm derivata părții drepte:

este funcția integrand originală.

Apropo, a devenit mai clar de ce o constantă este întotdeauna atribuită unei funcții. Când este diferențiată, constanta se transformă întotdeauna la zero.

Rezolvați integrală nedefinită- înseamnă a găsi o multime de toata lumea antiderivate, și nu doar o funcție. În exemplul de tabel luat în considerare, , , , etc. – toate aceste funcții sunt soluții ale integralei. Există infinit de soluții, așa că le scriem pe scurt:

Astfel, orice integrală nedefinită este destul de ușor de verificat. Aceasta este o compensație pentru un număr mare de integrale de diferite tipuri.

Să trecem la a lua în considerare exemple specifice. Să începem, ca și în studiul derivatei, cu două reguli de integrare:

- constant C poate (și ar trebui) să fie scos din semnul integral.

– integrala sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) a două integrale. Această regulă este valabilă pentru orice număr de termeni.

După cum puteți vedea, regulile sunt practic aceleași ca pentru instrumentele derivate. Uneori sunt chemați proprietăți de liniaritate integrală.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Efectuați verificarea.

Soluţie: Este mai convenabil să-l convertiți ca.

(1) Aplicați regula . Uităm să notăm pictograma diferențială dx sub fiecare integrală. De ce sub fiecare? dx– acesta este un multiplicator cu drepturi depline. Dacă îl descriem în detaliu, primul pas ar trebui scris astfel:

.

(2) Potrivit regulii mutam toate constantele dincolo de semnele integralelor. Vă rugăm să rețineți că în ultimul mandat tg 5 este o constantă, o scoatem și noi.

În plus, la acest pas pregătim rădăcini și puteri pentru integrare. La fel ca în cazul diferențierii, rădăcinile trebuie reprezentate în formă . Mutați rădăcinile și puterile care sunt situate în numitor în sus.

Notă: Spre deosebire de derivate, rădăcinile din integrale nu trebuie întotdeauna reduse la forma , și mutați gradele în sus.

De exemplu, - aceasta este o integrală de tabel gata făcută, care a fost deja calculată înaintea dvs. și tot felul de trucuri chinezești precum complet inutil. De asemenea: – aceasta este, de asemenea, o integrală de tabel; nu are rost să reprezentați fracția în formă . Studiați cu atenție masa!

(3) Toate integralele noastre sunt tabulare. Efectuăm transformarea folosind un tabel folosind formulele: , Și

pentru o funcție de putere - .

Trebuie remarcat faptul că integrala tabelului este un caz special al formulei pentru o funcție de putere: .

Constant C este suficient să adăugați o dată la sfârșitul expresiei

(mai degrabă decât să le pună după fiecare integrală).

(4) Scriem rezultatul obținut într-o formă mai compactă, când toate puterile sunt de forma

din nou le reprezentăm sub formă de rădăcini și resetăm puterile cu un exponent negativ înapoi în numitor.

Examinare. Pentru a efectua verificarea, trebuie să diferențiați răspunsul primit:

A primit originalul integrand, adică integrala a fost găsită corect. Din ce au dansat, s-au întors. E bine când povestea cu integrala se termină astfel.

Din când în când, există o abordare ușor diferită pentru verificarea unei integrale nedefinite, atunci când nu este derivată, dar diferența este luată din răspuns:

.

Ca rezultat, obținem nu o funcție integrand, ci o expresie integrand.

Nu vă fie frică de conceptul de diferențial.

Diferenţialul este derivata înmulţită cu dx.

Cu toate acestea, ceea ce este important pentru noi nu sunt subtilitățile teoretice, ci ce să facem în continuare cu această diferență. Diferența se dezvăluie astfel: pictograma d îl scoatem, punem un prim în dreapta deasupra parantezei, adăugăm un factor la sfârșitul expresiei dx :

Original primit integrand, adică integrala a fost găsită corect.

După cum puteți vedea, diferența se reduce la găsirea derivatei. Îmi place a doua metodă de a verifica mai puțin, deoarece trebuie să trag în plus paranteze mari și să trag pictograma diferențial dx până la finalul verificării. Deși este mai corect, sau „mai respectabil” sau așa ceva.

De fapt, a fost posibil să păstrăm tăcerea cu privire la a doua metodă de verificare. Ideea nu este în metodă, ci în faptul că am învățat să deschidem diferența. Din nou.

Diferența este prezentată după cum urmează:

1) pictograma d elimina;

2) în dreapta deasupra parantezei punem o lovitură (denotația derivatului);

3) la sfârșitul expresiei atribuim un factor dx .

De exemplu:

Tine minte asta. Vom avea nevoie de această tehnică foarte curând.

Exemplul 2

.

Când găsim o integrală nedefinită, încercăm ÎNTOTDEAUNA să verificămÎn plus, există o mare oportunitate pentru asta. Nu toate tipurile de probleme din matematica superioară sunt un dar din acest punct de vedere. Nu contează că verificările nu sunt adesea necesare în sarcinile de testare; nimeni și nimic nu te împiedică să o faci pe o schiță. O excepție poate fi făcută numai atunci când nu este suficient timp (de exemplu, în timpul unui test sau examen). Personal, verific integral integrale și consider că lipsa verificării este un hack job și o sarcină prost finalizată.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită:

. Efectuați verificarea.

Rezolvare: Analizând integrala, vedem că sub integrală avem produsul a două funcții și chiar exponențiarea unei expresii întregi. Din păcate, în domeniul luptei integrale Nu bun si confortabil formule de integrare a produsului și a coeficientului la fel de: sau .

Prin urmare, atunci când este dat un produs sau un coeficient, este întotdeauna logic să vedem dacă este posibil să transformăm integrandul într-o sumă? Exemplul luat în considerare este cazul când este posibil.

În primul rând, vom prezenta soluția completă, comentariile vor fi mai jos.

(1) Folosim vechea formulă bună a pătratului sumei pentru oricare numere reale, scăpând de gradul de deasupra parantezei comune. în afara parantezelor şi aplicând formula de înmulţire prescurtată în sens invers: .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul și soluția completă sunt la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

. Efectuați verificarea.

În acest exemplu, integrandul este o fracție. Când vedem o fracție în integrand, primul gând ar trebui să fie întrebarea: „Este posibil să scăpăm cumva de această fracție sau măcar să o simplificăm?”

Observăm că numitorul conține o singură rădăcină a lui „X”. Unul din domeniu nu este un războinic, ceea ce înseamnă că putem împărți numărătorul la numitor termen cu termen:

Nu comentăm acțiunile cu puteri fracționale, deoarece acestea au fost discutate de multe ori în articole despre derivata unei funcții.

Dacă încă ești perplex de un astfel de exemplu ca

și în niciun caz nu iese răspunsul corect,

De asemenea, rețineți că soluției lipsește un pas și anume aplicarea regulilor , . De obicei, cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, aceste reguli sunt considerate un fapt evident și nu sunt descrise în detaliu.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul și soluția completă sunt la sfârșitul lecției.

În cazul general, cu fracții în integrale, nu totul este atât de simplu; material suplimentar despre integrarea fracțiilor de unele tipuri poate fi găsit în articol: Integrarea unor fracții. Dar, înainte de a trece la articolul de mai sus, trebuie să vă familiarizați cu lecția: Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Ideea este că subsumarea unei funcții într-o metodă de înlocuire diferențială sau variabilă este punct-cheieîn studiul temei, deoarece se găsește nu numai „în sarcinile pure pe metoda înlocuirii”, ci și în multe alte tipuri de integrale.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

În acest exemplu am folosit formula de înmulțire prescurtată

Exemplul 6: Soluție:

Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită. Exemple de soluții

În această lecție ne vom familiariza cu una dintre cele mai importante și mai comune tehnici care este utilizată la rezolvarea integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilelor. Stăpânirea cu succes a materialului necesită cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă aveți senzația unui fierbător gol, plin în calcul integral, atunci ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu materialul Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde este explicat într-o formă accesibilă ce este o integrală și sunt analizate în detaliu exemple de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Subsumarea funcției sub semnul diferențial.

– Schimbarea efectivă a variabilei.

În esență, acestea sunt același lucru, dar designul soluției arată diferit. Să începem cu un caz mai simplu.

Să fie dată o funcție a două variabile. Să dăm argumentului un increment și să lăsăm argumentul neschimbat. Apoi funcția va primi un increment, care se numește increment parțial cu variabilă și se notează:

În mod similar, fixând argumentul și dând un increment argumentului, obținem o creștere parțială a funcției după variabilă:

Mărimea se numește increment total al funcției într-un punct.

Definiție 4. Derivata parțială a unei funcții a două variabile față de una dintre aceste variabile este limita raportului dintre incrementul parțial corespunzător al funcției și incrementul unei variabile date atunci când aceasta din urmă tinde spre zero (dacă această limită există). Derivata parțială se notează după cum urmează: sau, sau.

Astfel, prin definiție avem:

Derivatele parțiale ale funcțiilor se calculează după aceleași reguli și formule în funcție de o variabilă, ținând cont de faptul că la diferențierea față de o variabilă, aceasta este considerată constantă, iar la diferențierea față de o variabilă, este considerată constantă. .

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:

Soluţie. a) Pentru a găsi, o considerăm o valoare constantă și o diferențiem în funcție de o variabilă:

În mod similar, presupunând o valoare constantă, găsim:

Definiţie 5. Diferenţialul total al unei funcţii este suma produselor derivatelor parţiale ale acestei funcţii prin incrementele variabilelor independente corespunzătoare, i.e.

Având în vedere că diferențele variabilelor independente coincid cu incrementele acestora, i.e. , formula diferenţialului total poate fi scrisă ca

Exemplul 4. Aflați diferența completă a funcției.

Soluţie. Deoarece, folosind formula diferenţială totală găsim

Derivate parțiale de ordin superior

Derivatele parțiale sunt numite derivate parțiale de ordinul întâi sau derivate parțiale primare.

Definiție 6. Derivatele parțiale de ordinul doi ale unei funcții sunt derivatele parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi.

Există patru derivate parțiale de ordinul doi. Acestea sunt desemnate după cum urmează:

Derivatele parțiale ale ordinului 3, 4 și superior sunt definite în mod similar. De exemplu, pentru o funcție avem:

Derivatele parțiale de ordinul doi sau mai mari, luate în raport cu diferite variabile, se numesc derivate parțiale mixte. Pentru o funcție, acestea sunt derivate. Rețineți că în cazul în care derivatele mixte sunt continue, atunci egalitatea este valabilă.

Exemplul 5. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi ale unei funcții

Soluţie. Derivatele parțiale de ordinul întâi pentru această funcție se găsesc în Exemplul 3:

Diferențiând față de variabilele x și y, obținem