Destul de des, atunci când studiem variabile aleatoare, trebuie să faci față cu două, trei sau chiar mai multe variabile aleatoare. De exemplu, o variabilă aleatoare bidimensională $\left(X,\Y\right)$ va descrie punctul de impact al unui proiectil, unde variabilele aleatoare $X,\Y$ sunt abscisa și, respectiv, ordonata. Performanța unui elev selectat aleatoriu în timpul unei sesiuni este caracterizată de o variabilă aleatoare $n$-dimensională $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, unde variabilele aleatoare sunt $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n $ sunt notele înscrise în carnetul de note pentru diferite discipline.

Se numește un set de $n$ variabile aleatoare $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ vector aleatoriu. Ne vom limita la a considera cazul $\left(X,\Y\right)$.

Fie $X$ o variabilă aleatoare discretă cu valori posibile $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ și $Y$ o variabilă aleatoare discretă cu posibile valori $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.

Atunci o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ poate lua valori $\left(x_i,\ y_j\right)$ cu probabilități $p_(ij)=P\left(\ stânga(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Aici $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ este probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y_j$, cu condiția ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$ .

Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x_i$ este egală cu $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Probabilitatea ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y_j$ este egală cu $q_j=\sum_i(p_(ij))$.

$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\peste (P\ stânga(Y=y_j\dreapta)))=((p_(ij))\peste (q_j)).$$

$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\peste (P\ stânga(X=x_i\dreapta)))=((p_(ij))\peste (p_i)).$$

Exemplul 1 . Distribuția unei variabile aleatoare bidimensionale este dată:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(matrice)$

Să definim legile de distribuție ale variabilelor aleatoare $X$ și $Y$. Să găsim distribuțiile condiționate ale variabilei aleatoare $X$ în condiția $Y=2$ și variabilei aleatoare $Y$ în condiția $X=0$.

Să completăm următorul tabel:

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(matrice)$

Să explicăm cum este completat tabelul. Valorile primelor trei coloane ale primelor patru rânduri sunt luate din condiție. Suma numerelor din coloanele $2$th și $3$th ale rândului $2$th ($3$th) este indicată în coloana $4$th a rândului $2$th ($3$th). Indicăm suma numerelor din coloanele $2$th și $3$th ale rândului $4$th în coloana $4$th a rândului $4$th.

Scriem suma numerelor din rândurile $2$th, $3$th și $4$th ale coloanei $2$th ($3$th) în rândul $5$th al coloanei $2$th ($3$th). Împărțim fiecare număr din coloana $2$-a la $q_1=0.52$, rotunjim rezultatul la două zecimale și îl scriem în coloana $5$. Împărțim numerele din coloanele $2$-th și $3$-th ale rândului $3$-th la $p_2=0,41$, rotunjim rezultatul la două zecimale și îl scriem pe ultima linie.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ are următoarea formă.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end(matrice)$

Legea de distribuție a variabilei aleatoare $Y$.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end(matrice)$

Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $X$ în condiția $Y=2$ are următoarea formă.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(matrice)$

Distribuția condiționată a variabilei aleatoare $Y$ în condiția $X=0$ are următoarea formă.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(matrice)$

Exemplul 2 . Avem șase creioane, dintre care două roșii. Punem creioanele în două cutii. Prima conține bucăți de $2$, iar a doua conține și două. $X$ este numărul de creioane roșii din prima casetă, iar $Y$ - în a doua. Scrieți legea distribuției pentru sistemul de variabile aleatoare $(X,\ Y)$.

Fie variabila aleatoare discretă $X$ numărul de creioane roșii din prima casetă, iar variabila aleatoare discretă $Y$ să fie numărul de creioane roșii din a doua casetă. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare $X,\ Y$ sunt respectiv $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Atunci o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ poate lua valori $\left(x,\y\right)$ cu probabilități $P=P\left(\left(X) =x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, unde $ P\left(Y =y|X=x\right)$ este probabilitatea condiționată ca variabila aleatoare $Y$ să ia valoarea $y$, cu condiția ca variabila aleatoare $X$ să ia valoarea $x$. Să reprezentăm corespondența dintre valorile $\left(x,\y\right)$ și probabilitățile $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) \right)$ sub forma următoarelor tabele.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 și ((1)\peste (15)) și ((4)\peste (15)) și ((1)\peste (15)) \\
\hline
1 și ((4)\peste (15)) și ((4)\peste (15)) și 0 \\
\hline
2 și ((1)\peste (15)) și 0 și 0 \\
\hline
\end(matrice)$

Rândurile unui astfel de tabel indică valorile lui $X$, iar coloanele valorile lui $Y$, apoi probabilitățile $P\left(\left(X=x\right)\times \left( Y=y\right)\right)$ sunt indicate la intersecția rândului și coloanei corespunzătoare. Să calculăm probabilitățile folosind definiția clasică a probabilității și teorema produsului probabilităților evenimentelor dependente.

$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\peste (15))\cdot ((1)\peste (6))=((1)\peste (15));$$

$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\over (C^2_4))=((6)\over (15))\cdot ((2\cdot 2)\over (6))=((4)\over (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=0\dreapta)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \over (C^2_4))=((6)\peste (15))\cdot ((1)\peste (6))=((1)\peste (15));$$

$$P\left(\left(X=1\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\peste (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\peste (C^2_4))=((2\cdot 4)\peste (15))\cdot ((3)\peste (6))=((4)\peste (15)) ;$$

$$P\left(\left(X=1\dreapta)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\peste (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\over (C^2_4))=((2\cdot 4)\over (15))\cdot ((1\cdot 3)\over (6))=(( 4)\peste (15));$$

$$P\left(\left(X=2\dreapta)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\peste (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \over (C^2_4))=((1)\peste (15))\cdot 1=((1)\peste (15)).$$

Deoarece în legea distribuției (tabelul rezultat) întregul set de evenimente formează un grup complet de evenimente, suma probabilităților trebuie să fie egală cu 1. Să verificăm asta:

$$\sum_(i,\ j)(p_(ij))=((1)\peste (15))+((4)\peste (15))+((1)\peste (15))+ ((4)\peste (15))+((4)\peste (15))+((1)\peste (15))=1.$$

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Funcția de distribuție variabila aleatoare bidimensională $\left(X,\Y\right)$ este funcția $F\left(x,\y\right)$, care pentru orice numere reale$x$ și $y$ este egal cu probabilitatea executării în comun a două evenimente $\left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению

$$F\left(x,\ y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$

Pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă, funcția de distribuție se găsește prin însumarea tuturor probabilităților $p_(ij)$ pentru care $x_i< x,\ y_j < y$, то есть

$$F\left(x,\ y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$

Proprietăți ale funcției de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale.

1 . Funcția de distribuție $F\left(x,\ y\right)$ este mărginită, adică $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.

2 . $F\left(x,\y\right)$ este nedescrescător pentru fiecare dintre argumentele sale cu celălalt fix, adică $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1, \ y\right )$ pentru $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ pentru $y_2>y_1$.

3 . Dacă cel puțin unul dintre argumente ia valoarea $-\infty $, atunci funcția de distribuție va fi egală cu zero, adică $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x, \ -\infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.

4 . Dacă ambele argumente iau valoarea $+\infty $, atunci funcția de distribuție va fi egală cu $1$, adică $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.

5 . În cazul în care exact unul dintre argumente ia valoarea $+\infty $, funcția de distribuție $F\left(x,\ y\right)$ devine funcția de distribuție a variabilei aleatoare corespunzătoare celuilalt element, adică , $F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y \left(y\right) =F_Y\left(y\right)$.

6 . $F\left(x,\y\right)$ este lăsat continuu pentru fiecare dintre argumentele sale, adică

$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\ y\right)\ )=F\left(x_0,\ y\right),\ (\mathop(lim) _(y\la y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$

Exemplul 3 . Fie o variabilă aleatoare bidimensională discretă $\left(X,\Y\right)$ să fie dată de o serie de distribuție.

$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 și ((1)\peste (6)) și ((2)\peste (6)) \\
\hline
1 și ((2)\peste (6)) și ((1)\peste (6)) \\
\hline
\end(matrice)$

Apoi funcția de distribuție:

$F(x,y)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 0,\ y\le 0\\
0,\ la\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ la\ x\le 0,\ y>1\\
0,\ la\ 0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\peste (6)),\la\0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))=((1)\peste (2)),\la\0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ pentru\ x>1,\ y\le 0\\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))=((1)\peste (2)),\ la\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\peste (6))+((2)\peste (6))+((2)\peste (6))+((1)\peste (6))=1,\ la\ x >1,\ y>1 \\
\end(matrice)\dreapta.$

Definiția 2.7. este o pereche de numere aleatoare (X, Y), sau un punct pe planul de coordonate (Fig. 2.11).

Orez. 2.11.

O variabilă aleatoare bidimensională este un caz special de variabilă aleatoare multivariată sau vector aleator.

Definiția 2.8. Vector aleatoriu - este o funcție aleatoare?,(/) cu un set finit de valori posibile ale argumentelor t, a cărui valoare pentru orice valoare t este o variabilă aleatorie.

O variabilă aleatoare bidimensională se numește continuă dacă coordonatele sale sunt continue și discretă dacă coordonatele sale sunt discrete.

A stabili legea distribuției variabilelor aleatoare bidimensionale înseamnă a stabili o corespondență între valorile posibile ale acesteia și probabilitatea acestor valori. Conform metodelor de precizare, variabilele aleatoare sunt împărțite în continue și discrete, deși există metode generale cu precizarea legii de distribuire a oricărui SV.

Variabilă aleatoare bidimensională discretă

O variabilă aleatoare bidimensională discretă este specificată folosind un tabel de distribuție (Tabelul 2.1).

Tabelul 2.1

Tabel de distribuție (distribuție comună) SV ( X, U)

Elementele tabelului sunt determinate de formula

Proprietățile elementelor tabelului de distribuție:

Distribuția pe fiecare coordonată este numită unidimensional sau marginal:

R 1> = P(X =.g,) - distribuția marginală a SV X;

p^2) = P(Y= y,)- distribuția marginală a SV U.

Relația dintre distribuția comună a OC Xși Y, specificate de un set de probabilități [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., T(tabel de distribuție) și distribuție marginală.

La fel și pentru SV U p- 2)= X r, g

Problema 2.14. Dat:

Variabilă aleatoare bidimensională continuă

/(X, y)dxdy- element de probabilitate pentru o variabilă aleatoare bidimensională (X, Y) - probabilitatea ca o variabilă aleatoare (X, Y) să cadă într-un dreptunghi cu laturi cbc, dy la dx, dy -* 0:

f(x, y) - densitatea distributiei variabilă aleatoare bidimensională (X, Y). Sarcina /(x, y) oferim informații complete despre distribuția unei variabile aleatoare bidimensionale.

Distribuțiile marginale sunt specificate după cum urmează: pentru X - prin densitatea de distribuție a SV X/,(x); De Y- densitatea de distribuție a SV U f>(y).

Specificarea legii de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale prin funcția de distribuție

O modalitate universală de a specifica legea distribuției pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă sau continuă este funcția de distribuție F(x, y).

Definiția 2.9. Funcția de distribuție F(x, y)- probabilitatea producerii comune a evenimentelor (Xy), i.e. F(x 0 ,y n) = = P(X y), aruncat pe planul de coordonate, se încadrează într-un cadran infinit cu vârful în punctul M(x 0, y i)(în zona umbrită din fig. 2.12).

Orez. 2.12. Ilustrație a funcției de distribuție F( X y)

Proprietățile funcției F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
• 3) F(x, y)- nedescrescătoare pentru fiecare argument;
• 4) F(x, y) - continuă în stânga și dedesubt;
• 5) consistența distribuțiilor:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - distribuţie marginală peste Y F( Oh, y) = F 2 (y). Conexiune /(X y) Cu F(x, y):

Relația dintre densitatea articulației și densitatea marginală. Dana f(x, y). Să obținem densitățile de distribuție marginală f(x),f 2 (y)”.

Cazul coordonatelor independente ale unei variabile aleatoare bidimensionale

Definiția 2.10. NE XȘi Independent de Y(nz), dacă orice evenimente asociate cu fiecare dintre aceste SV sunt independente. Din definiția NZ SV rezultă:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Se pare că pentru SV independenți XȘi Y finalizat și

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Să demonstrăm asta pentru SV independenți XȘi Y 2) 3). dovada, a) Fie satisfăcut 2, i.e.

în același timp F(x,y) = f J f(u,v)dudv, deci urmează 3);

b) să se împlinească acum 3) atunci

acestea. adevărat 2).

Să luăm în considerare sarcinile.

Problema 2.15. Distribuția este dată de următorul tabel:

Construim distribuții marginale:

Primim P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3)P(U = 4) = 0,1485 => => SV Xși Dependent.

Funcția de distribuție:

Problema 2.16. Distribuția este dată de următorul tabel:

Primim P tl = 0,2 0,3 = 0,06; R12 = 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => NE XȘi Y nz.

Problema 2.17. Dana /(x, y) = 1 exp| -0,5(d" + 2xy + 5g/ 2)]. Găsi Oh)Și /Ay)-

Soluţie

(numara-l singur).

Să fie dată o variabilă aleatoare bidimensională $(X,Y)$.

Definiția 1

Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale $(X,Y)$ este mulțimea perechilor posibile de numere $(x_i,\ y_j)$ (unde $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) și a acestora probabilități $p_(ij)$ .

Cel mai adesea, legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale este scrisă sub forma unui tabel (Tabelul 1).

Figura 1. Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale.

Să ne amintim acum teorema adunării probabilităților evenimentelor independente.

Teorema 1

Probabilitatea sumei unui număr finit de evenimente independente $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ se calculează prin formula:

Folosind această formulă, puteți obține legile de distribuție pentru fiecare componentă a unei variabile aleatoare bidimensionale, adică:

De aici rezultă că suma tuturor probabilităților unui sistem bidimensional are următoarea formă:

Să luăm în considerare în detaliu (pas cu pas) problema asociată conceptului de lege de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale.

Exemplul 1

Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale este dată de următorul tabel:

Figura 2.

Aflați legile de distribuție ale variabilelor aleatoare $X,\ Y$, $X+Y$ și verificați în fiecare caz dacă suma totală a probabilităților este egală cu unu.

1. Să găsim mai întâi distribuția variabilei aleatoare $X$. Variabila aleatoare $X$ poate lua valorile $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Pentru a găsi distribuția vom folosi teorema 1.

Să găsim mai întâi suma probabilităților $x_1$ după cum urmează:

Figura 3.

În mod similar, găsim $P\left(x_2\right)$ și $P\left(x_3\right)$:

\ \

Figura 4.

1. Să găsim acum distribuția variabilei aleatoare $Y$. Variabila aleatorie $Y$ poate lua valorile $x_1=1, $$x_2=3$, $x_3=4$. Pentru a găsi distribuția vom folosi teorema 1.

Să găsim mai întâi suma probabilităților $y_1$ după cum urmează:

Figura 5.

În mod similar, găsim $P\left(y_2\right)$ și $P\left(y_3\right)$:

\ \

Aceasta înseamnă că legea distribuției valorii $X$ are următoarea formă:

Figura 6.

Să verificăm egalitatea sumei totale de probabilități:

1. Rămâne de găsit legea de distribuție a variabilei aleatoare $X+Y$.

Pentru comoditate, să-l notăm cu $Z$: $Z=X+Y$.

Mai întâi, să aflăm ce valori poate lua această cantitate. Pentru a face acest lucru, vom adăuga valorile $X$ și $Y$ în perechi. Obținem următoarele valori: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Acum, eliminând valorile potrivite, constatăm că variabila aleatoare $X+Y$ poate lua valorile $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Să găsim mai întâi $P(z_1)$. Deoarece valoarea lui $z_1$ este una, se găsește după cum urmează:

Figura 7.

Toate probabilitățile, cu excepția $P(z_4)$, se găsesc în mod similar:

Să găsim acum $P(z_4)$ după cum urmează:

Figura 8.

Aceasta înseamnă că legea distribuției valorii $Z$ are următoarea formă:

Figura 9.

Să verificăm egalitatea sumei totale de probabilități:

bidimensionale distribuție discretă Aleatoriu

Adesea rezultatul unui experiment este descris de mai multe variabile aleatoare: . De exemplu, vremea într-un anumit loc la un anumit moment al zilei poate fi caracterizată prin următoarele variabile aleatorii: X 1 - temperatura, X 2 - presiune, X 3 - umiditatea aerului, X 4 - viteza vântului.

În acest caz, vorbim de o variabilă aleatoare multidimensională sau de un sistem de variabile aleatoare.

Luați în considerare o variabilă aleatoare bidimensională ale cărei valori posibile sunt perechi de numere. Geometric, o variabilă aleatoare bidimensională poate fi interpretată ca un punct aleatoriu pe un plan.

Dacă componentele XȘi Y sunt variabile aleatoare discrete, atunci este o variabilă aleatoare bidimensională discretă și dacă XȘi Y sunt continue, atunci este o variabilă aleatoare bidimensională continuă.

Legea distribuției probabilităților unei variabile aleatoare bidimensionale este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete bidimensionale poate fi specificată sub forma unui tabel cu intrare dublă (vezi Tabelul 6.1), unde este probabilitatea ca componenta X a căpătat sensul X i, și componenta Y- sens y j .

Tabelul 6.1.1.

Deoarece evenimentele constituie un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi, suma probabilităților este egală cu 1, i.e.

Din Tabelul 6.1 puteți găsi legile de distribuție a componentelor unidimensionale XȘi Y.

Exemplu 6.1.1 . Aflați legile distribuției componentelor XȘi Y, dacă distribuţia unei variabile aleatoare bidimensionale este dată sub forma tabelului 6.1.2.

Tabelul 6.1.2.

Dacă fixăm valoarea unuia dintre argumente, de exemplu, atunci distribuția rezultată a valorii X numită distribuție condiționată. Distribuția condiționată este definită în mod similar Y.

Exemplu 6.1.2 . Conform distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale prezentate în tabel. 6.1.2, găsiți: a) legea distribuției condiționate a componentei X dat fiind; b) legea distribuţiei condiţionate Y cu conditia ca.

Soluţie. Probabilități condiționate ale componentelor XȘi Y calculate folosind formule

Legea distribuției condiționate X cu condiția să aibă forma

Control: .

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale poate fi specificată sub formă functii de distributie, care determină pentru fiecare pereche de numere probabilitatea ca X va lua o valoare mai mică decât X, și în care Y va lua o valoare mai mică decât y:

Din punct de vedere geometric, funcția înseamnă probabilitatea ca un punct aleatoriu să cadă într-un pătrat infinit cu vârful său în punctul (Fig. 6.1.1).

Să notăm proprietățile.

• 1. Gama de valori ale funcției este , i.e. .
• 2. Funcție - o funcție nedescrescătoare pentru fiecare argument.
• 3. Există relații limitative:

Când funcția de distribuție a sistemului devine egală cu funcția de distribuție a componentei X, adică .

La fel, .

Știind acest lucru, puteți găsi probabilitatea ca un punct aleatoriu să se încadreze în dreptunghiul ABCD.

Și anume,

Exemplul 6.1.3. O variabilă aleatoare discretă bidimensională este specificată de un tabel de distribuție

Găsiți funcția de distribuție.

Soluţie. Valoare în cazul componentelor discrete XȘi Y se găsește prin însumarea tuturor probabilităților cu indici iȘi j, pentru care, . Apoi, dacă și, atunci (evenimentele și sunt imposibile). În mod similar, obținem:

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci;

dacă și, atunci.

Să prezentăm rezultatele obținute sub forma unui tabel (6.1.3) de valori:

Pentru bidimensional continuu variabilă aleatoare, se introduce conceptul de densitate de probabilitate

Densitatea de probabilitate geometrică este o suprafață de distribuție în spațiu

Densitatea de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:

3. Funcția de distribuție poate fi exprimată prin formula

4. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să cadă în regiune este egală cu

5. În conformitate cu proprietatea (4) a funcției, sunt valabile următoarele formule:

Exemplul 6.1.4. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

O variabilă aleatoare ( X, Y), ale căror valori posibile sunt perechi de numere ( X y). Componente XȘi Y, considerată simultan, formă sistem două variabile aleatorii.

O mărime bidimensională poate fi interpretată geometric ca un punct aleatoriu M(X; Y) la suprafață xOy sau ca vector aleatoriu OM.

Discret numită mărime bidimensională ale cărei componente sunt discrete.

Continuu numită mărime bidimensională ale cărei componente sunt continue.

Legea distribuției Probabilitatea unei variabile aleatoare bidimensionale este corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale discrete poate fi specificată: a) sub forma unui tabel cu o intrare dublă care conține valorile posibile și probabilitățile acestora; b) analitic, de exemplu sub forma unei funcţii de distribuţie.

Funcția de distribuție dintre probabilitățile unei variabile aleatoare bidimensionale se numește funcție F(x, y), definind pentru fiecare pereche de numere (X y) probabilitatea ca X va lua o valoare mai mică decât x și, în același timp Y va lua o valoare mai mică decât y:

F(x, y) = P(X< x, Y < y).

Din punct de vedere geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F(x, y) există posibilitatea ca un punct aleatoriu ( X Y) va cădea într-un cadran infinit cu vârful ( X y), situat în stânga și sub acest vârf.

Uneori, în locul termenului „funcție de distribuție”, este folosit termenul „funcție integrală”.

Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Valorile funcției de distribuție satisfac inegalitatea dublă

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Proprietatea 2. Funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare pentru fiecare argument:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y), dacă x 2 > x 1,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1) dacă y 2 > y 1.

Proprietatea 3. Există relații limită:

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Proprietatea 4. A) Când Y=∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei X:

F(x, ∞) = F 1 (x).

b) La x = ∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei Y:

F(∞, y) = F 2 (y).

Folosind funcția de distribuție, puteți găsi probabilitatea ca un punct aleator să cadă într-un dreptunghi x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Densitate de probabilitate comună (densitate de probabilitate bidimensională) o variabilă aleatoare bidimensională continuă se numește derivata a doua mixtă a funcției de distribuție:

Uneori, în locul termenului „densitate de probabilitate bidimensională”, este folosit termenul „funcție diferențială a sistemului”.

Densitatea distribuției comune poate fi considerată ca limita a raportului probabilității ca un punct aleatoriu să cadă într-un dreptunghi cu laturile D Xși D y la aria acestui dreptunghi când ambele laturi tind spre zero; geometric poate fi interpretat ca o suprafață numită suprafata de distributie.

Cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție folosind formula

Probabilitatea ca un punct aleator (X, Y) să cadă în regiunea D este determinată de egalitate

Densitatea de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Densitatea de probabilitate bidimensională este nenegativă:

f(x,y) ≥ 0.

Proprietatea 2. Integrală dublă improprie cu limite infinite de densitate de probabilitate bidimensională este egală cu unu:

În special, dacă toate valorile posibile (X, Y) aparțin unui domeniu finit D, atunci

226. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale discrete este dată:

Aflați legile distribuției componentelor.

228. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y X = 0, X= p/4, y= p/6, y= p/3.

229. Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un dreptunghi mărginit de linii drepte X = 1, X = 2, y = 3, y= 5 dacă funcția de distribuție este cunoscută

230. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Aflați densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului.

231. Într-un cerc x 2 + y 2 ≤ R 2 densitatea de probabilitate bidimensională; în afara cercului f(x, y)= 0. Aflați: a) constantă C; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un cerc de rază r= 1 centrat la origine dacă R = 2.

232. În primul cadran este dată funcția de distribuție a unui sistem de două variabile aleatoare F(x, y) = 1 + 2 - x – 2 - y + 2 - x- y. Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un triunghi cu vârfuri A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Legile condiționale ale distribuției de probabilitate a componentelor
variabilă aleatoare bidimensională discretă

Lăsați componentele XȘi Y sunt discrete și au următoarele valori posibile, respectiv: x 1, x 2, …, x n; y 1 , y 2 , …, y m.

Distribuția condiționată a componentei X la Y=yj(j păstrează aceeași valoare pentru toate valorile posibile ale lui X) se numește un set de probabilități condiționate

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

Distribuția condiționată a lui Y este determinată în mod similar.

Probabilitățile condiționate ale componentelor X și Y sunt calculate, respectiv, folosind formulele

Pentru a controla calculele, este recomandabil să vă asigurați că suma probabilităților distribuției condiționate este egală cu unu.

233. Având în vedere o variabilă aleatoare bidimensională discretă ( X Y):

Aflați: a) legea distribuției condiționate X cu conditia ca Y=10; b) legea distribuţiei condiţionate Y cu conditia ca X=6.

8.3. Găsirea densităților și a legilor de distribuție condiționată
componente ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue

Densitatea de distribuție a uneia dintre componente este egală cu integrală improprie cu limite infinite asupra densității distribuției comune a sistemului, iar variabila de integrare corespunde unei alte componente:

Aici se presupune că valorile posibile ale fiecăreia dintre componente aparțin întregii linii numerice; dacă valorile posibile aparțin unui interval finit, atunci numerele finite corespunzătoare sunt luate ca limite de integrare.

Densitatea de distribuție condiționată a componentei X la o valoare dată Y = y este raportul dintre densitatea distribuției comune a sistemului și densitatea de distribuție a componentei Y:

Densitatea de distribuție condiționată a componentei este determinată în mod similar Y:

Dacă densitățile de distribuție condiționată ale variabilelor aleatoare XȘi Y sunt egale cu densitățile lor necondiționate, atunci astfel de cantități sunt independente.

Uniformă este distribuția unei variabile aleatoare continue bidimensionale ( X Y), dacă în zona care conține toate valorile posibile ( X y), densitatea distribuției comune de probabilitate rămâne constantă.

235. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată

Aflaţi: a) densităţile de distribuţie ale componentelor; b) densitățile de distribuție condiționată a componentelor.

236. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X Y)

Aflați: a) factor constant C; b) densitatea distribuţiei componentelor; c) densitățile de distribuție condiționată a componentelor.

237. Variabilă aleatoare bidimensională continuă ( X Y) este distribuită uniform în interiorul unui dreptunghi cu un centru de simetrie la origine și laturile 2a și 2b paralele axele de coordonate. Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densităţile de distribuţie a componentelor.

238. Variabilă aleatoare bidimensională continuă ( X Y) este distribuită uniform în interiorul unui triunghi dreptunghic cu vârfuri O(0; 0), A(0; 8), ÎN(8;0). Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densitățile și densitățile condiționate de distribuție a componentelor.

8.4. Caracteristicile numerice ale unui sistem continuu
două variabile aleatorii

Cunoscând densitățile de distribuție ale componentelor X și Y ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y), se pot găsi așteptările și variațiile lor matematice:

Uneori este mai convenabil să folosiți formule care conțin o densitate de probabilitate bidimensională (integrale duble sunt luate în intervalul de valori posibile ale sistemului):

Momentul inițial n k, s Ordin k+s sisteme ( X Y) se numește așteptarea matematică a produsului X k Y s:

n k, s = M.

În special,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).

Momentul central m k, s Ordin k+s sisteme ( X Y) se numește așteptarea matematică a produsului abaterilor, respectiv k th și s gradele:

m k, s = M( k ∙ s ).

În special,

m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;

m2,0 =M2 = D(X), m0,2 = M2 = D(Y);

Momentul de corelare m xу sisteme ( X Y) se numește momentul central m 1.1 comanda 1 + 1:

m xу = M( ∙ ).

Coeficient de corelație mărimile X și Y se numesc raportul dintre momentul de corelare și produsul abaterilor standard ale acestor mărimi:

r xy = m xy / (s x s y).

Coeficientul de corelație este o mărime adimensională și | r xy| ≤ 1. Coeficientul de corelație este utilizat pentru a evalua gradul de apropiere a relației liniare dintre XȘi Y: aproape valoare absolută coeficientul de corelație cu unitate, cu atât conexiunea este mai puternică; Cu cât valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai aproape de zero, cu atât relația este mai slabă.

Corelat două variabile aleatoare sunt numite dacă momentul lor de corelare este diferit de zero.

Necorelat două variabile aleatoare sunt numite dacă momentul lor de corelare este zero.

Două mărimi corelate sunt, de asemenea, dependente; dacă două mărimi sunt dependente, atunci ele pot fi fie corelate, fie necorelate. Din independența a două mărimi rezultă că acestea sunt necorelate, dar din necorelate este încă imposibil de concluzionat că aceste mărimi sunt independente (pentru mărimile normal distribuite, din necorelația acestor mărimi rezultă independența lor).

Pentru valorile continue X și Y, momentul de corelare poate fi găsit folosind formulele:

239. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Aflați: a) așteptări matematice; b) varianțele componentelor X și Y.

240. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Găsiți așteptările și variațiile matematice ale componentelor.

241. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx confortabil pătrat 0 ≤ X≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; în afara pieţei f(x, y)= 0. Aflați așteptările matematice ale componentelor.

242. Demonstrați că dacă densitatea de probabilitate bidimensională a unui sistem de variabile aleatoare ( X Y) poate fi reprezentat ca un produs a două funcții, dintre care una depinde numai de X, iar celălalt - numai din y, apoi cantitățile XȘi Y independent.

243. Demonstrează că dacă XȘi Y conectat dependență liniară Y = topor + b, atunci valoarea absolută a coeficientului de corelație este egală cu unitatea.

Soluţie. Prin definiția coeficientului de corelație,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Să găsim așteptările matematice Y:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

Înlocuind (**) în (*), după transformări elementare obținem

m xу = aM 2 = aD(X) = as 2 x .

Având în vedere că

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

haideti sa gasim variatia Y:

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .

De aici s y = |a|s x. Prin urmare, coeficientul de corelație

Dacă A> 0, atunci r xy= 1; Dacă A < 0, то r xy = –1.

Deci, | r xy| = 1, ceea ce trebuia demonstrat.