Probabilități geometrice. Definiția geometrică a probabilității. Probleme cu soluții Definiția geometrică a probabilității

Definiția clasică a probabilității

Conceptul principal al teoriei probabilităților este conceptul de eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu este de obicei numit un eveniment care se poate întâmpla sau nu dacă sunt îndeplinite anumite condiții. De exemplu, lovirea unui anumit obiect sau ratarea când trageți asupra acestui obiect dintr-o anumită armă este un eveniment aleatoriu.

Un eveniment este de obicei numit de încredere dacă apare cu siguranță ca rezultat al testului. Se obișnuiește să se numească un eveniment imposibil dacă nu se poate întâmpla ca urmare a unui test.

Se spune că evenimentele aleatoare sunt inconsecvente într-un studiu dat dacă nu pot avea loc două dintre ele împreună.

Evenimentele aleatoare formează un grup complet dacă în timpul fiecărei încercări poate apărea oricare dintre ele și nu poate apărea niciun alt eveniment care nu este în concordanță cu ele.

Să luăm în considerare grupul complet de evenimente aleatoare incompatibile la fel de posibile. Vom numi astfel de evenimente rezultate. Un rezultat este de obicei numit favorabil apariției evenimentului A dacă apariția acestui eveniment implică apariția evenimentului A.

Definiția geometrică a probabilității

Să fie imaginat un test aleatoriu ca aruncând un punct la întâmplare într-o regiune geometrică G (pe o linie dreaptă, un plan sau un spațiu). Rezultatele elementare sunt puncte individuale ale lui G, orice eveniment este un subset al acestei zone, spațiul rezultatelor elementare ale lui G. Putem presupune că toate punctele lui G sunt „egale” și apoi probabilitatea ca un punct să se încadreze într-o non-submulțime. este proporțională cu măsura sa (lungime, suprafață, volum) și nu depinde de locația și forma sa.

Probabilitate geometrică evenimentul A este determinat de relația: , unde m(G), m(A) sunt măsuri geometrice (lungimi, arii sau volume) ale întregului spațiu al rezultatelor elementare și evenimentul A.

Exemplu. Un cerc cu raza r () este aruncat la întâmplare pe un plan reprezentat grafic de benzi paralele de lățime 2d, a căror distanță dintre liniile centrale este egală cu 2D. Găsiți probabilitatea ca cercul să intersecteze o anumită bandă.

Soluţie. Ca rezultat elementar al acestui test vom lua în considerare distanța X de la centrul cercului la linia centrală a benzii cea mai apropiată de cerc. Atunci întregul spațiu al rezultatelor elementare este un segment. Intersecția unui cerc cu o bandă va avea loc dacă centrul acestuia cade în bandă, ᴛ.ᴇ. , sau va fi situat de la marginea benzii la o distanță mai mică decât raza, ᴛ.ᴇ. .

Pentru probabilitatea dorită obținem: .

5. Frecvența relativă a unui eveniment este raportul dintre numărul de încercări în care a avut loc evenimentul și numărul total de încercări efectuate efectiv. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, frecvența relativă A este determinată de formula:

(2)unde m este numărul de apariții ale evenimentului, n este numărul total de încercări. Comparând definiția probabilității și frecvența relativă, concluzionăm: definiția probabilității nu necesită ca testele să fie efectuate în realitate; determinarea frecvenţei relative presupune că testele au fost efectiv efectuate. Cu alte cuvinte, probabilitatea este calculată înainte de experiment, iar frecvența relativă este calculată după experiment.

Exemplul 2. Din 80 de angajați selectați aleatoriu, 3 persoane au tulburări cardiace grave. Frecvența relativă a persoanelor cu boli de inimă

Frecvența relativă sau un număr apropiat de aceasta este luată ca probabilitate statică.

DEFINIȚIE (prin definiția statistică a probabilității). Numărul la care tinde frecvența relativă stabilă se numește de obicei probabilitatea statistică a acestui eveniment.

6. Cantitate A + B două evenimente A și B denumesc evenimentul constând din apariția evenimentului A sau a evenimentului B sau a ambelor evenimente. De exemplu, dacă două focuri sunt trase dintr-o armă și A este o lovitură la prima lovitură, B este o lovitură la a doua lovitură, atunci A + B este o lovitură la prima lovitură, sau la a doua, sau la ambele lovituri .

În special, dacă două evenimente A și B sunt incompatibile, atunci A + B este un eveniment constând din apariția unuia dintre aceste evenimente, indiferent care. Suma mai multor evenimente chemați un eveniment, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ constă în apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente. De exemplu, evenimentul A + B + C constă în apariția unuia dintre următoarele evenimente: A, B, C, A și B, A și C, B și C, A și B și C. Fie evenimentele A și B să fie incompatibile, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Cum să găsiți probabilitatea ca evenimentul A sau evenimentul B să se producă? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema adunării. Teorema. Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P (A + B) = P (A) + P (B).Dovada

Ilustrare. Probabilitatea apariției unuia dintre mai multe evenimente incompatibile în perechi, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Definiția geometrică a probabilității - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Determinarea geometrică a probabilității” 2017, 2018.

Definiția clasică a probabilității este asociată cu conceptul de eveniment elementar. Se consideră o anumită mulțime Ω de evenimente A i la fel de probabile, care împreună dau un eveniment de încredere. Și apoi totul este bine: fiecare eveniment este împărțit în evenimente elementare, după care se calculează probabilitatea acestuia.

Totuși, mulțimea inițială Ω (adică spațiul tuturor evenimentelor elementare) nu este întotdeauna finită. De exemplu, ca Ω puteți lua un set limitat de puncte pe un plan sau un segment pe o dreaptă.

Ca eveniment A, putem considera orice subregiune a regiunii Ω. De exemplu, o figură în interiorul figurii originale pe un plan sau un segment situat în interiorul segmentului original pe o linie dreaptă.

Rețineți că un eveniment elementar pe un astfel de set poate fi doar un punct. De fapt, dacă o mulțime conține mai mult de un punct, aceasta poate fi împărțită în două submulțimi nevide. În consecință, un astfel de set este deja neelementar.

Acum să determinăm probabilitatea. Totul este ușor și aici: probabilitatea de a „lovi” fiecare punct specific este zero. În caz contrar, obținem o sumă infinită de termeni pozitivi identici (la urma urmei, evenimentele elementare sunt la fel de probabile), care în orice caz sunt mai mari decât P (Ω) = 1.

Deci, evenimentele elementare pentru regiuni infinite Ω sunt puncte individuale, iar probabilitatea de a „intra” în oricare dintre ele este zero. Dar cum să cauți probabilitatea unui eveniment non-elementar, care, ca și Ω, conține un număr infinit de puncte? Deci am ajuns la definiția probabilității geometrice.

Probabilitatea geometrică a unui eveniment A, care este o submulțime a unei mulțimi Ω de puncte pe o dreaptă sau plan, este raportul dintre aria figurii A și aria întregii mulțimi Ω:

Sarcină. Ținta are forma unui cerc cu raza 4. Care este probabilitatea de a-și lovi jumătatea dreaptă dacă lovirea oricărui punct al țintei este la fel de probabilă? În acest caz, ratarea țintei este exclusă.

Să ne uităm la imagine: orice punct din semicercul drept ni se va potrivi. Evident, aria S(A) a acestui semicerc este exact jumătate din aria întregului cerc, deci avem:

După cum puteți vedea, probabilitatea geometrică nu este nimic complicat. Cu toate acestea, chiar și la Moscova, mulți profesori de matematică superioară încearcă să evite acest subiect, deoarece îl consideră opțional. Rezultatul este o neînțelegere a materialului și, în consecință, probleme la examenul de teoria probabilității.

Pentru a vizualiza ce este probabilitatea geometrică, luați o bucată de hârtie și desenați o figură arbitrară. Triunghi, pătrat sau cerc - orice. Apoi luați un creion ascuțit, bine ascuțit și împingeți-l oriunde pe figură. Repetați acest proces simplu de mai multe ori. Dacă excludem hit-urile din afara figurii, iată ce obținem:

1. Probabilitatea de a lovi o cifră este P (Ω) = 1. Acest lucru este destul de logic, deoarece întreaga noastră figură este spațiul evenimentelor elementare Ω;
2. Dacă un anumit punct (un eveniment elementar) este marcat în avans, atunci probabilitatea de a-l atinge este zero. Chiar dacă „țintiți” în mod deliberat, nu va exista nicio lovitură precisă. Eroarea va fi de miimi de milimetru, dar nu zero;
3. Acum să luăm două puncte. Probabilitatea de a lovi pe oricare dintre ele este încă zero. La fel, dacă luați 3 puncte. Sau cinci - nu contează.

Acest experiment arată că suma finală a termenilor zero este întotdeauna zero. Dar ce se întâmplă când există infiniti de termeni? Aici situația nu este atât de clară și sunt posibile trei opțiuni:

1. Suma este zero, ca pentru un set finit de puncte. Dacă din experiența noastră marchem puncte la infinit, probabilitatea de a intra în unirea lor este totuși zero;
2. Suma este egală cu un număr pozitiv - acest caz este fundamental diferit de primul. Aici apare probabilitatea geometrică;
3. Suma este egală cu infinitul - asta se întâmplă, dar acum nu ne interesează acest lucru.

De ce se întâmplă asta? Mecanismul pentru apariția numerelor pozitive și infinitate este asociat cu conceptul de numărabilitate a unei mulțimi. În plus, trebuie să înțelegeți care este măsura Lebesgue. Cu toate acestea, aveți nevoie de aceste cunoștințe doar dacă studiați matematica.

Definiția clasică a probabilității are limitări în aplicarea ei. Se presupune că mulțimea evenimentelor elementare Ω este finită sau numărabilă, i.e. Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), și asta-i tot ω i – evenimente elementare la fel de posibile. Cu toate acestea, în practică există teste pentru care setul de rezultate elementare este infinit. De exemplu, la fabricarea unei anumite piese pe o mașină, este necesar să se mențină o anumită dimensiune. Aici, precizia fabricării unei piese depinde de priceperea lucrătorului, de calitatea sculei de tăiere, de perfecțiunea mașinii etc. Dacă prin testare înțelegem fabricarea unei piese, atunci în urma unui astfel de test sunt posibile un număr infinit de rezultate, în acest caz obținerea unor piese de dimensiunea necesară.

Pentru a depăși dezavantajul definiției clasice a probabilității, se folosesc uneori unele concepte de geometrie (dacă, desigur, circumstanțele testului permit). În toate astfel de cazuri, se presupune că este posibil să se efectueze (cel puțin teoretic) orice număr de teste, iar conceptul oportunitate egala joacă, de asemenea, un rol major.

Să considerăm un test cu un spațiu de evenimente, ale cărui rezultate elementare sunt reprezentate sub formă de puncte care umplu o anumită zonă Ω (în spațiul tridimensional R 3). Lasă evenimentul A constă dintr-un punct aruncat aleatoriu care se încadrează într-o subregiune D regiunea Ω. Eveniment A favorizează evenimentele elementare în care punctul se încadrează într-o anumită subregiune D. Apoi sub probabilitate evenimente A vom înțelege raportul dintre volumul subregiunii D(zona evidențiată în Fig. 1.11) la volumul regiunii Ω, R(A) = V(D) / V(Ω).

Aici, prin analogie cu conceptul de rezultat favorabil, zona D o vom numi favorabilă pentru producerea unui eveniment A. Probabilitatea unui eveniment este determinată în mod similar A, când mulţimea Ω reprezintă o anumită regiune pe un plan sau un segment pe o dreaptă. În aceste cazuri, volumele zonelor sunt înlocuite, respectiv, cu ariile figurilor sau lungimile segmentelor.

Astfel, ajungem la o nouă definiție - probabilitate geometrică pentru teste cu un set infinit nenumărat de evenimente elementare, care se formulează după cum urmează.

Probabilitatea geometrică a evenimentului A este raportul dintre măsura unei subregiuni care favorizează apariția acestui eveniment și măsura întregii regiuni, adică.

p(A) =mesD / mesΩ,

Unde mes– măsurarea suprafețelor Dși Ω , D Ì Ω.

Probabilitatea geometrică a unui eveniment are toate proprietățile inerente definiției clasice a probabilității. De exemplu, a 4-a proprietate ar fi astfel: R(A+ ÎN) = R(A) + R(ÎN).

La sfârșitul lunii iulie, august și începutul lunii septembrie 2010, în Rusia a apărut o situație dificilă de incendiu din cauza unui număr de incendii, însoțite de smog și fum în orașe, precum și de victime și numeroase pierderi. Astfel, la 7 august 2010, 53 de persoane au fost ucise și peste 1.200 de case au fost distruse. Suprafața incendiilor s-a ridicat la peste 500 de mii de hectare. Toate forțele au fost aruncate în lupta împotriva incendiului și, bineînțeles, echipamente aeriene, care au făcut posibilă stingerea zonelor care erau greu sau imposibil de accesat pe sol. M-a interesat o întrebare: care este probabilitatea ca o „proiectilă” de apă să lovească locul desemnat în timp ce avionul se mișcă cu mare viteză, iar pădurile și câmpurile fulgeră dedesubt, ca stropii de la peria unui artist neglijent? Sau se poate baza doar pe intuiție și pe experiența pilotului?

S-a dovedit că există o întreagă știință dedicată găsirii probabilității apariției unui anumit eveniment. Mai mult, una dintre secțiunile sale este dedicată probabilității geometrice. Am decis să-l studiez mai profund pentru a-mi răspunde la întrebare.

Problemă: este posibil să se folosească probabilitatea geometrică pentru a rezolva probleme practice?

Scopul lucrării: studierea secțiunii de matematică „probabilitate geometrică” și aplicarea cunoștințelor dobândite pentru rezolvarea problemei.

Sarcini:

Familiarizați-vă cu istoria apariției teoriei probabilității ca știință și, în special, cu secțiunea ei privind probabilitatea geometrică;

Studiați teoria pe această temă;

Luați în considerare problemele tipice și principalele metode de rezolvare a acestora;

Aplicați în practică cunoștințele dobândite.

Metode de rezolvare:

Studierea literaturii pe această temă;

Analiza materialului;

Selectarea sarcinilor tipuri variateși niveluri de dificultate;

Introducere în metodele de rezolvare a problemelor de găsire a probabilității geometrice;

Aplicarea deprinderilor pentru rezolvarea problemelor practice;

Sinteza datelor obtinute.

Parte principală

1. Informații din istorie

Oamenii din secolul al XVII-lea au încercat să găsească un model sau să determine numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment. După primele lucrări ale oamenilor de știință italieni G. Cardano și N. Tartaglia, datând din secolul al XVI-lea, astfel de probleme au fost studiate de matematicienii francezi B. Pascal și P. Fermat. Au fost efectuate experimente pe zaruriși au fost concepute pentru a prezice câștigurile. Din autobiografia lui Cardano se știe că la un moment dat a fost un jucător pasionat. Împreună cu Tartaglia au calculat diverse opțiuni puncte și a alcătuit un tabel, care a fost repetat ulterior (într-o formă diferită) de Pascal. El i-a dat forma unui triunghi și l-a publicat („Tratat despre triunghiul aritmetic”, circa 1654).

Sub influența întrebărilor ridicate și luate în considerare de acești oameni de știință, aceleași probleme au fost rezolvate de. În același timp, nu era familiarizat cu corespondența dintre Pascal și Fermat, așa că a inventat singur metoda soluției. Lucrarea sa, care introduce conceptele de bază ale teoriei probabilităților, a fost publicată în formă tipărită cu douăzeci de ani mai devreme () ediții ale scrisorilor lui Pascal și Fermat ().

O contribuție importantă la teoria probabilității a avut-o: a dovedit în cel mai simplu caz de teste independente. În prima reprizăteoria probabilității începe să fie aplicată la analiza erorilor de observație;Laplace Și Poisson a demonstrat primele teoreme limită. În a doua jumătatecontribuția principală a fost adusă de oamenii de știință ruși, A. A. MarkovȘi . În acest moment s-a dovedit, și a dezvoltat, de asemenea, o teorie. Aspect modern teoria probabilității primită datorităy și cartea sa „Concepte de bază ale teoriei probabilităților” (1936).

Ca urmare, teoria probabilității, care odată a apărut dintr-un joc, a dobândit o strictă formă matematicăși în cele din urmă a început să fie perceput ca unul dintre.

2. Informații teoretice de bază

Teoria probabilității- capitolul matematicienii , studiu modele fenomene aleatorii : , , proprietățile și operațiunile lor asupra acestora.

Probabilitate este raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate la fel de posibile.

De asemenea, probabilitatea evenimentul aleator A este numărul P(A) de care se apropie frecvența relativă a acestui eveniment într-o serie lungă de experimente.

Probabilitatea oricărui eveniment este între zero și unu. Probabilitatea este zero dacă nu există deloc rezultate favorabile (eveniment imposibil) și una dacă toate rezultatele sunt favorabile (un anumit eveniment).

Pentru a găsi probabilitatea unui eveniment aleator A atunci când efectuați un experiment, ar trebui să:

1. găsiți numărul N al tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment dat;
2. găsiți numărul N(A) al acelor rezultate experimentale în care apare evenimentul A;
3. găsiți câtul N(A)/N; va fi egală cu probabilitatea evenimentului A.

Cu toate acestea, uneori există teste cu un număr infinit de rezultate. Această situație apare în unele probleme geometrice care implică selecția aleatorie a unui punct pe o dreaptă, plan sau în spațiu. În acest caz, vorbim despre probabilitatea geometrică.

Probabilitate geometrică evenimentul A, care este o submulțime a mulțimii B de puncte de pe o dreaptă, plan sau spațiu, este un raport de măsuri ale acestor obiecte.

Problema 1 : găsiți probabilitatea ca punctul X să fie mai aproape de punctul N decât de M.

Soluţie: fie punctul O mijlocul segmentului MN. Evenimentul nostru va avea loc atunci când punctul X se află în interiorul segmentului ON.

Apoi .

Răspuns: 0,5

Astfel, probabilitatea poate fi calculată ca raportul dintre lungimile a două segmente.

2. Să selectăm un punct aleatoriu pe harta geografică a lumii. Care este probabilitatea ca acest punct să fie în Rusia? Evident, pentru a răspunde la întrebare trebuie să știți ce parte din întreaga zonă a hărții este zona Rusiei. Raportul dintre aceste două zone va da probabilitatea dorită.

P(A) = S(A)/S(B), unde P este probabilitatea și S este aria.

Problema 2 : în interiorul unui paralelipiped dreptunghiular ale cărui dimensiuni sunt 4, 6, 10 cm se alege aleatoriu punctul M. Care este probabilitatea ca acesta să se afle în interiorul unui cub dat a cărui muchie este de 3 cm.

Soluţie: fie evenimentul E - punctul să fie în interiorul unui cub cu muchia egală cu 3 cm Vom presupune că rezultatele testului sunt distribuite uniform. Atunci probabilitatea apariției unui eveniment E este proporțională cu măsura acestui cub și este egală cu P (E) = U cub/U paralelipiped. Dar volumul cubului este de 27 cm 3 , iar volumul paralelipipedului este de 240 cm 3 . Prin urmare, P (E) = 27/ 240 ≈ 0,113

Răspuns: 0,113

! Greseala comuna la rezolvarea problemelor de probabilitate geometrică – inconsecvența dimensiunilor. Adesea, atunci când se calculează probabilitatea geometrică, lungimea este împărțită la suprafață sau la volum. În astfel de cazuri, este util să verificați formula rezultată pentru probabilitatea „adimensională”.

3. Sarcini privind găsirea probabilității geometrice

Problema 3 : un punct este aruncat la întâmplare într-un pătrat a cărui latură este egală cu 1. Întrebarea este, care este probabilitatea unui eveniment astfel încât distanța de la acest punct la cea mai apropiată latură a pătratului să nu fie mai mare de? (Fig.1)

Soluţie: punctul este îndepărtat de la marginea pătratului cu cel mult, dacă aparține pătratului interior cu latura egală cu 1 – 2* = .

Pentru a găsi aria figurii care face diferența dintre pătratele interioare și cele exterioare (G), trebuie să scădeți aria pătratului interior cu latura din aria întregii figuri (F).

Apoi probabilitatea ca punctul să cadă în figură G, egal cu

Răspuns: 0,75

Sarcina 4: un interval unitar este împărțit în trei părți prin două puncte aleatorii. Care este probabilitatea ca un triunghi să poată fi construit din segmentele rezultate?

Soluţie: Este necesar să se găsească probabilitatea ca niciunul dintre segmente să nu depășească suma celorlalte două. Pentru ca un triunghi să fie construit din trei segmente, punctul care reprezintă segmentele trebuie să se afle în interiorul triunghiului, care se obține prin conectarea punctelor medii ale laturilor opuse ale triunghiului (Fig. 2). Are o suprafață egală cu un sfert de triunghi mare și, prin urmare, probabilitatea este de un sfert.

Răspuns: 0,25

Sarcina 5: doi elevi au convenit să se întâlnească la un anumit loc între orele 12 și 13. Cel care vine primul îl așteaptă pe celălalt cel mult 20 de minute, după care pleacă. Găsiți probabilitatea ca întâlnirea să aibă loc.

Soluţie: fie x ora sosirii primului elev, y ora sosirii celui de-al doilea student. Apoi x, y € (determinând că întâlnirea va avea loc între orele 12 și 13, adică într-o perioadă de timp de 60 de minute) - definește zona G (Fig. 3). |x-y| ≤ 20 (determinând că elevul care vine primul îl așteaptă pe cel de-al doilea nu mai mult de 20 de minute) - setează zona g. Apoi zonele definite de inegalități vor arăta astfel (Fig. 2). Probabilitatea poate fi găsită ca raportul dintre ariile a două zone g și G. Р(A) = 60*60/(60*60-40*40) = 5/9.

Răspuns: 5/9

Sarcina 6: conform regulilor trafic, un pieton poate traversa strada într-o locație nespecificată dacă nu există treceri de pietoni la vedere. În orașul Mirgorod, distanța dintre trecerile de pietoni de pe strada Solnechnaya este de 1 km. Un pieton traversează strada Solnechnaya undeva între două treceri. El poate vedea semnul de trecere la cel mult 100 m de el. Găsiți probabilitatea ca pietonul să nu încalce regulile.

Soluţie: Să folosim metoda geometrică. Să aranjam linia numerică astfel încât secțiunea străzii dintre treceri să se dovedească a fi un segment. Lăsați un pieton să se apropie de stradă la un moment dat cu coordona X. Pietonul nu încalcă regulile dacă se află la o distanță mai mare de 0,1 km de fiecare trecere, adică. 0,1.

Răspuns: 0,8

4. Sarcina cu probleme

Sarcina 7: Un incendiu a izbucnit într-una dintre întreprinderile forestiere din regiunea Bryansk, care este un dreptunghi de a * b hectare. O parte a pădurii, care este un cerc cu raza egală cu r, este cuprinsă de foc. Găsiți probabilitatea ca un lichid pulverizat de un avion care zboară deasupra unei păduri să intre în zona incendiului.

Soluţie: Suprafața pădurii este a*b, aria zonei de ardere este r 2. Atunci P(A) = r2 / a*b

Răspuns: r 2 / a*b

Astfel, familiaritatea cu teoria probabilității m-a ajutat în rezolvarea problemei. După ce am compus și rezolvat problema 7, pot spune că puteți găsi multe opțiuni pentru aplicarea practică a probabilității geometrice.

Concluzie

Ca rezultat al muncii depuse, am studiat o nouă ramură a matematicii pentru mine, „probabilitatea geometrică”, familiarizându-mă cu o varietate de surse literare, analizând informații și rezolvând direct probleme. Am aplicat cunoștințele acumulate pentru a rezolva o problemă care mă interesa. În viitor, puteți continua să studiați acest subiect, deoarece mai sunt multe sarcini nivel inalt dificultăți, de exemplu „Problema lui Sylvester”.

Unele aspecte ale acestei lucrări pot fi folosite pentru pregătirea pentru examenul de stat la matematică, cursurile opționale pe tema „Probabilitatea geometrică” și pregătirea pentru olimpiade. Lucrarea de cercetare este un exemplu clar care demonstrează că un studiu mai profund al subiectelor neacoperite suficient de detaliat în capitolele unui manual standard nu poate fi doar interesant și educativ, ci poate servi și la rezolvarea oricăror probleme practice sau nestandardizate.

Literatură

1. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev „Probabilitatea și statistica în cursul de matematică al școlilor secundare” - Moscova, „Universitatea Pedagogică de la începutul lunii septembrie”, 2005
2. M. Kendal, P. Moran „Probabilități geometrice” - Moscova, „Știință”, 1972
3. L.V. Kuznetsova, S.B. Suvorova, E.A. Bunimovici, T.V. Kolesnikova, L.O. Roslova - „Algebra. Colectare de sarcini pentru pregătirea pentru certificarea finală de stat în clasa a 9-a" - Moscova, "Prosveshchenie", 2011
4. A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra și începuturile analizei matematice. Nivel de profil. Manual, partea 1. Clasa a XI-a" - Moscova, "Mnemosyne", 2009
5. A.P. Savin " Dicţionar enciclopedic tânăr matematician" - Moscova, "Pedagogie", 1989
6. Z.A.Skopets „Capitole suplimentare despre cursul matematicii” - Moscova, „Iluminismul”, 1974
7. L.A. Trofimova „Schiță „Probabilitatea geometrică”
8. A. Shen „Probabilitatea: exemple și sarcini” - Moscova, „Editura MCNMO”, 2007
9. http://www.historydata.ru

Aplicație

Problema 8: Două puncte sunt selectate aleatoriu pe un cerc cu raza R. Cu ce ​​probabilitate este distanța dintre ele mai mică decât R?

Soluţie: o distanță mai mică decât R înseamnă că coarda care leagă aceste două puncte trebuie să fie mai mică decât R sau mai mică decât latura hexagonului înscris. Cunoscând unghiul central egal cu 72˚, vom găsi lungimea arcului cuprins între două puncte cu o coardă mai mică decât raza. L = 72˚ * 2 r / 360. P (A) = (72˚ * 2 r / 360) / 2 r = 0,2

Răspuns: 0,2

Problema 9: Pe un segment AB de lungime l, două puncte M și N sunt alese la întâmplare independent unul de celălalt.Care este probabilitatea ca punctul M să fie mai aproape de punctul A decât de punctul N?

Solutie: fie AM = x, AN = y. Evenimentul în cauză va fi favorizat doar de acele puncte care îndeplinesc condiția y>x. Setul tuturor rezultatelor testelor posibile care favorizează evenimentul luat în considerare este reprezentat geometric de punctele triunghiului umbrit, deoarece coordonatele tuturor punctelor acestui triunghi sunt legate prin relația y>x. Prin urmare, probabilitatea dorită este 0,5.

Răspuns: 0,5

Problema 10: Punctul X este selectat aleatoriu din triunghiul ABC.Găsiți probabilitatea ca acesta să aparțină unui triunghi ale cărui vârfuri sunt punctele mijlocii ale laturilor triunghiului (Fig. 4).

Soluţie: liniile din mijloc ale triunghiului îl împart în 4 triunghiuri egale. Mijloace,

Probabilitatea ca punctul X să aparțină triunghiului KMN este:

Răspuns: 0,25

Problema 11: Pinocchio a plantat o pată rotundă cu raza de 1 cm în centrul unei foi de hârtie dreptunghiulare de 20 cm pe 25 cm. Imediat după aceasta, Pinocchio a plantat o altă pată identică, care a ajuns și ea în întregime pe foaie. Găsiți probabilitatea ca aceste două pete să nu se atingă.

Soluţie: prima pată, cu o rază de 1 cm, este vopsită în roșu (Fig. 5). Contururile arată locațiile posibile ale celei de-a doua pate - dacă primul și al doilea se ating.

Vedem că petele se ating atunci când al doilea cade în inelul format dintr-un cerc cu raza de 3 cm și un cerc cu raza de 1 cm. Să aflăm aria inelului: inel S =*3 2 - *1 2 = 8 cm 2 . Considerăm că rezultatul este favorabil atunci când petele nu au puncte comune sau se intersectează.

În acest caz, zona țintă este un dreptunghi cu un inel decupat. Să găsim aria acestei figuri S1: S1 = 20*25 - 8 = 500-8

Probabilitate P = S1 / S dreptunghi = (500-8*3,14) / 500 ≈ 0,95

Răspuns: 0,95

Problema 12: 10% din suprafața mingii (pe suprafață) este vopsită în negru, restul de 90% este alb. Demonstrați că este posibil să potriviți un cub într-o bilă astfel încât toate vârfurile să cadă în punctele albe.

Rezolvare: înscrieți cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 în minge la întâmplare. Atunci probabilitatea ca un punct dat (de exemplu, vârful A) să fie negru este 1/10. Probabilitatea ca cel puțin unul dintre cele opt vârfuri să fie negru nu depășește 8/10 (combinația de opt evenimente cu o probabilitate de 1/10). Aceasta înseamnă că există cazuri (acestea reprezintă cel puțin 2/10 din toate opțiunile) când toate vârfurile sunt albe.

Problema lui Sylvester

O problemă puțin mai complexă se numește problema Sylvester. Constă în găsirea probabilității ca patru puncte A, B, C, D, luate la întâmplare în interiorul unei regiuni convexe, să formeze un patrulater convex; aceasta înseamnă că niciunul dintre puncte nu se încadrează în triunghiul format de celelalte trei.

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă:

Este conceptul de eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu este un eveniment care, dacă sunt îndeplinite anumite condiții, poate să apară sau nu. De exemplu, lovirea unui anumit obiect sau ratarea când trageți asupra acestui obiect dintr-o anumită armă este un eveniment aleatoriu.

Un eveniment se numește fiabil dacă apare cu siguranță ca rezultat al testului. Un eveniment care nu se poate întâmpla ca urmare a unui test se numește imposibil.

Se spune că evenimentele aleatoare sunt inconsecvente într-un studiu dat dacă nu pot avea loc două dintre ele împreună.

Evenimentele aleatoare formează un grup complet dacă în timpul fiecărei încercări poate apărea oricare dintre ele și nu poate apărea niciun alt eveniment care nu este în concordanță cu ele.

Să luăm în considerare grupul complet de evenimente aleatoare incompatibile la fel de posibile. Vom numi astfel de evenimente rezultate. Se spune că un rezultat favorizează apariția evenimentului A dacă apariția acestui eveniment implică apariția evenimentului A.

Definiția geometrică a probabilității

Să fie imaginat un test aleatoriu ca aruncând un punct la întâmplare într-o regiune geometrică G (pe o linie dreaptă, un plan sau un spațiu). Rezultatele elementare sunt puncte individuale ale lui G, orice eveniment este un subset al acestei zone, spațiul rezultatelor elementare ale lui G. Putem presupune că toate punctele lui G sunt „egale” și atunci probabilitatea ca un punct să se încadreze într-o anumită submulțime este proporțional cu măsura sa (lungime, suprafață, volum) și nu depinde de locația și forma sa.

Probabilitate geometrică evenimentul A este determinat de relația:
,
unde m(G), m(A) sunt măsuri geometrice (lungimi, suprafețe sau volume) ale întregului spațiu al rezultatelor elementare și al evenimentului A.

Exemplu. Un cerc cu raza r () este aruncat la întâmplare pe un plan reprezentat grafic de benzi paralele de lățime 2d, a căror distanță dintre liniile axiale este egală cu 2D. Găsiți probabilitatea ca cercul să intersecteze o anumită bandă.

Soluţie. Ca rezultat elementar al acestui test vom lua în considerare distanța X de la centrul cercului la linia centrală a benzii cea mai apropiată de cerc. Atunci întregul spațiu al rezultatelor elementare este segmentul . Intersecția unui cerc cu o bandă va avea loc dacă centrul acestuia cade în bandă, adică. , sau vor fi situate de la marginea benzii la o distanță mai mică decât raza, adică. .

Pentru probabilitatea dorită obținem: .

Frecvența relativă a unui eveniment este raportul dintre numărul de încercări în care a avut loc evenimentul și numărul total de încercări efectuate efectiv. Astfel, frecvența relativă A este determinată de formula:

(2) unde m este numărul de apariții ale evenimentului, n este numărul total de încercări. Comparând definiția probabilității și frecvența relativă, concluzionăm: definiția probabilității nu necesită ca testele să fie efectiv efectuate; determinarea frecvenței relative presupune că testele au fost efectiv efectuate. Cu alte cuvinte, probabilitatea este calculată înainte de experiment, iar frecvența relativă este calculată după experiment.

Exemplul 2. Din 80 de angajați selectați aleatoriu, 3 persoane au tulburări cardiace grave. Frecvența relativă a persoanelor cu boli de inimă

Frecvența relativă sau un număr apropiat de aceasta este luată ca probabilitate statică.

DEFINIȚIE (prin definiția statistică a probabilității). Numărul la care tinde frecvența relativă stabilă se numește probabilitatea statistică a acestui eveniment.

Cantitate A + B două evenimente A și B denumesc evenimentul constând din apariția evenimentului A sau a evenimentului B sau a ambelor evenimente. De exemplu, dacă două focuri sunt trase dintr-o armă și A este o lovitură la prima lovitură, B este o lovitură la a doua lovitură, atunci A + B este o lovitură la prima lovitură, sau la a doua, sau la ambele lovituri.

În special, dacă două evenimente A și B sunt incompatibile, atunci A + B este un eveniment constând din apariția unuia dintre aceste evenimente, indiferent care. Suma mai multor evenimente numiți un eveniment care constă în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente. De exemplu, evenimentul A + B + C constă în apariția unuia dintre următoarele evenimente: A, B, C, A și B, A și C, B și C, A și B și C. Fie evenimentele A și B să fie incompatibile, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Cum să găsiți probabilitatea ca evenimentul A sau evenimentul B să se producă? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema adunării.

Teorema. Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P (A + B) = P (A) + P (B). Dovada

Ilustrare. Probabilitatea apariției unuia dintre mai multe evenimente incompatibile în perechi, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).