Determinarea grafică a tensiunilor folosind cercul lui Mohr. Rezolvarea problemei planului O.K. Mora Problemă Mora Direct Construirea cercurilor Mora
Problemă inversă.
Sarcina directă
Construirea cercurilor lui Mohr
Metodă grafică pentru studierea stării de stres la un punct.
Se poate arăta că ecuațiile reprezintă ecuația unui cerc în formă parametrică. Prin urmare, pentru metoda grafică de studiere a stării de stres se folosesc cercuri de stres numite cercuri Mohr.
În teoria stării de stres, se pot distinge două sarcini principale:
Sarcina directă: la un punct se cunoaste pozitia zonelor principale si a tensiunilor principale corespunzatoare; este necesar sa se determine tensiunile normale si taietoare de-a lungul zonelor inclinate fata de cele principale sub un unghi a.
Problema inversa:într-un punct sunt cunoscute tensiunile normale și tangențiale care acționează de-a lungul a două zone reciproc perpendiculare care trec prin acest punct, este necesar să se determine tensiunile principale și poziția zonelor principale.
Să luăm în considerare rezolvarea grafică a acestor probleme
Rezolvarea analitică a problemei directe este determinată de formulele (4.6) – (4.9).
Pentru o soluție grafică, este construită pe un plan în coordonate cerc s-t Mora
(Fig. 4.9) în următoarea secvență.
|
Se selectează un sistem de coordonate dreptunghiular astfel încât axa absciselor să fie paralelă cu cea mai mare dintre tensiunile principale s 1, de-a lungul acestei axe, pe scara selectată, sunt trasate segmentele OA și OB, numeric egale cu tensiunile s 1 și s 2, iar pe diferența lor (pe segmentul AB) ca pe diametru, desenați un cerc cu centrul în punctul C.
Din punctul cel mai din stânga (B) al cercului trasăm o rază paralelă cu normala exterioară a zonei luate în considerare, i.e. la un unghi a faţă de axa s. Punctul de intersecție al acestei raze cu cercul (D a) are drept coordonate segmentele D a K a și OK a, numeric egale cu tensiunile tangențiale t a și normale s a care acționează pe amplasamentul luat în considerare.
| |
Punctul D b, situat la capătul opus al diametrului față de punctul D a, caracterizează tensiunile s β și t b care acționează de-a lungul unei platforme înclinate perpendicular pe prima.
Transformările efectuate au avut în vedere că 1+cos2α = 2cos 2 α., 1-cos2α = 2sin 2 α.
Expresiile rezultate pentru s a, s b, τ α și τ β coincid complet cu formulele analitice (4.6) - (4.9).
În concluzie, trebuie remarcat faptul că fiecare punct al cercului Mohr are propriile coordonate ale tensiunilor care acționează asupra zonei corespunzătoare; prin urmare, cunoscând tensiunile principale pentru o stare de stres plană, puteți utiliza cercul Mohr pentru a determina tensiunile care acționează. pe diverse zone care trec printr-un punct dat. Tensiunea maximă de forfecare corespunde punctului D c și este egală cu raza cercului.
Destul de des este necesar să se rezolve problema inversă, adică din tensiunile pe zone arbitrare s a , t a , s b , t b , se determină mărimea și direcția tensiunilor principale. Această problemă este mai ușor de rezolvat grafic, adică folosind cercul lui Mohr (Fig. 4.10). Să luăm în considerare ordinea construcției sale.
Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular s, t astfel încât axa absciselor să fie paralelă cu cea mai mare dintre tensiunile normale (fie s a >
paralel cu cea mai mare dintre tensiunile normale (fie s a > s b). Pe axa s trasăm, pe scara selectată, segmentele OK a, OK b, numeric egale cu s a și s b. Din punctele Ka și K b trasăm perpendiculare K a D a, K b D b, care sunt numeric egale cu t a și, respectiv, τ β (K a D a = t a, K b D b = τ β = - t a) . Pe segmentul D a D b , ca și pe un diametru, vom construi un cerc cu centru în punctul C. Punctul din dreapta de intersecție al cercului cu axa s va fi notat cu litera A, punctul din stânga cu litera B. Tensiunile tangenţiale în aceste puncte sunt egale cu zero, prin urmare, OA = s 1, OB=s 2 – tensiuni principale (.conform sarcinii directe).
Din fig. 6.10 determinăm raza cercului R și dimensiunea segmentului OS (4.12)
Ținând cont de expresiile (4.12), (4.13), obținem următoarele formule pentru tensiunile principale
OA= σ I = OS + R = + (4.14)
OB = σ II = OS – R = - (4,15)
Pentru a determina direcția tensiunii principale s 1, trasăm o rază prin punctul cel mai din stânga al cercului B și punctul D a ¢, care este simetric față de punctul D a față de axa s. Direcția fasciculului ВD a ¢ coincide cu direcția s 1, direcția s 2 este perpendiculară pe aceasta. Unghiul a 0 va fi determinat din triunghiul VC a D a ¢ (Fig. 6.10):
Unghiul a 0 este considerat pozitiv dacă este trasat în sens invers acelor de ceasornic de la axa s.
Într-un paralelipiped elementar, de-a lungul fețelor căruia acționează toate cele trei tensiuni principale, luați în considerare o zonă arbitrară a, normala la care este c axele de coordonate 1,2,3 unghiuri α 1 α 2 α 3 (Fig. 4. 11). Pe această zonă va acţiona efortul total p α, formând un unghi α cu normala n. Să definim proiecțiile sale pe normala site-ului - σ α și asupra site-ului însuși - τ α.
|
unde este solicitarea pe suprafața luată în considerare, cauzată de acțiunea lui , și respectiv , - din tensiuni și. Pentru a calcula aceste valori, folosim formula pentru starea liniară a tensiunii: =, =, =.
Luând în considerare aceste valori, tensiunile normale pe un loc arbitrar vor fi determinate de egalitate
Pentru a deriva formula pentru tensiunile tangențiale τ α, ar trebui să luăm în considerare valoarea sa vectorială. De atunci.
Omitând concluziile care decurg din ecuațiile de echilibru ale piramidei triedrice luate în considerare (Fig. 3.11), scriem formula în forma sa finală pentru vectorul de stres total de pe locul n α:
Având în vedere această expresie
Ca exemplu, luați în considerare tensiunile de pe un site la fel de înclinate față de toate site-urile principale. Un astfel de sit se numește octaedric, iar tensiunile care acționează asupra acestui loc se numesc octaedric.
Deoarece pentru un astfel de site, și având în vedere că este întotdeauna
Acea . Prin urmare (4,20)
La fel ca în cazul unei stări de stres plan, într-o stare de stres volumetrică suma tensiunilor normale pe trei zone reciproc perpendiculare care trec prin punctul luat în considerare este o valoare constantă.
Să luăm în considerare o metodă grafică pentru analiza stării de stres într-un punct aflat sub o stare de stres volumetrică.
În primul rând, determinăm tensiunile pe zone paralele cu una dintre tensiunile principale (Fig. 4.12)
|
|||||
| Cercul lui Mohr corespunzător acestui caz este prezentat în Fig. 4.13 cerc „a”. Tensiunile din familia zonelor paralele cu s 2 sunt determinate folosind cercul „b”, iar în familia zonelor paralele cu s 3 - folosind cercul „c”. În teoria elasticității este dovedit că zonele de poziție generală corespund punctelor situate în zona umbrită (Fig. 4.13). Din figura prezentată rezultă că cele mai mici și mai mari tensiuni normale sunt egale cu cele mai mici și mai mari tensiuni principale, . Cele mai mari eforturi de forfecare sunt egale cu raza celui mai mare cerc și acționează pe o zonă egal înclinată față de zonele maximului și minim al tensiunilor principale (). |
Cercul din Mora este o diagramă circulară care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor din diferite secțiuni care trec printr-un punct dat. Numit după Otto Christian Mohr. Este o interpretare grafică bidimensională a tensorului tensiunii.
Prima persoană care a creat o reprezentare grafică a tensiunilor pentru tensiunile longitudinale și transversale ale unei grinzi orizontale încovoiate a fost Karl Kuhlmann. Contribuția lui Mohr este de a folosi această abordare pentru stările de tensiuni plane și volumetrice și de a defini un criteriu de rezistență bazat pe o diagramă circulară a tensiunilor.
Sensul fizic
Forțele interne apar între particulele unui corp deformabil continuu ca reacție la forțele externe aplicate: de suprafață și volumetrice. Această reacție este în concordanță cu a doua lege a lui Newton, aplicată particulelor de obiecte materiale. Mărimea intensității acestor forțe interne se numește stres mecanic. Deoarece corpul este considerat solid, aceste forțe interne sunt distribuite continuu pe întregul volum al obiectului luat în considerare.
texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \cos ^2 \theta = \frac(1+\cos 2\theta)(2), \qquad \sin ^2 \theta = \frac(1-\cos 2\ theta)(2) \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta
Atunci poți obține
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \sigma_\mathrm(n) = \frac(1)(2) (\sigma_x + \sigma_y) + \frac(1)(2) (\sigma_x - \sigma_y ) \cos 2\theta + \tau_(xy) \sin 2\theta
Tensiunea de forfecare Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc functioneaza si pe un site cu o suprafata de Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): dA. Din egalitatea proiecțiilor forțelor pe axă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vedeți math/README - ajutor la configurare.): \tau_\mathrm(n)(axă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): y") primim:
texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ \begin(align) \sum F_(y") &= \tau_\mathrm(n) dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \ sin \theta \cos \theta - \tau_(xy) dA \cos ^2 \theta + \tau_(xy) dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm(n) &= -( \sigma_x -\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_(xy) \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end(align)
Se știe că
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\ theta\ cos\theta
Atunci poți obține
Nu se poate analiza expresia (Fișier executabiltexvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \tau_\mathrm(n) = -\frac(1)(2)(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_(xy)\cos 2 \theta
Scrieți o recenzie despre articolul „Cercul lui Mohr”
Note
Extras care caracterizează Cercul din Mora
Fie că a fost un accident, sau cineva a ajutat cumva, dar mama mea a fost foarte norocoasă - era căsătorită cu un bărbat minunat, un magnat venețian, care... el însuși era un vrăjitor foarte puternic... și pe care îl vezi cu noi acum. .. .Cu ochii strălucitori și umezi, Isidora se uită la tatăl ei uimitor și era clar cât de mult și dezinteresat îl iubea. Era o fiică mândră, cu demnitatea purtându-și sentimentul pur și strălucitor de-a lungul secolelor și nici acolo, departe, în noile ei lumi, nu s-a ascuns și nu i-a fost rușine de asta. Și abia atunci mi-am dat seama cât de mult îmi doream să devin ca ea!.. Și în puterea ei de iubire, și în puterea ei de Înțelept, și în tot ce mai purta în ea această femeie extraordinară strălucitoare...
Și ea a continuat să vorbească calmă, de parcă n-ar fi observat nici emoțiile noastre „debordante”, nici încântarea „cățelușului” din sufletul nostru care însoțea povestea ei minunată.
– Atunci mama a auzit de Veneția... Tatăl meu a petrecut ore întregi spunându-i despre libertatea și frumusețea acestui oraș, despre palatele și canalele lui, despre grădini secrete și biblioteci imense, despre poduri și gondole și multe, multe altele. Și mama mea impresionabilă, fără să vadă măcar acest oraș minunat, s-a îndrăgostit de el din toată inima... Abia aștepta să vadă acest oraș cu ochii ei! Și foarte curând visul ei s-a împlinit... Tatăl ei a adus-o într-un palat magnific, plin de slujitori credincioși și tăcuți, de care nu era nevoie să se ascundă. Și, începând din acea zi, mama putea petrece ore întregi făcând lucrul ei preferat, fără teamă să nu fie înțeleasă greșit sau, și mai rău, insultată. Viața ei a devenit plăcută și sigură. Erau un cuplu căsătorit cu adevărat fericit, care a născut o fată exact un an mai târziu. O spuneau Isidora... Eram eu.
Am fost un copil foarte fericit. Și, din câte îmi amintesc, lumea mi s-a părut mereu frumoasă... Am crescut înconjurată de căldură și afecțiune, printre oameni amabili și atenți, care m-au iubit foarte mult. Mama a observat curând că am un dar puternic, mult mai puternic decât al ei. Ea a început să mă învețe tot ce știa și pe care i-a învățat-o bunica ei. Și mai târziu și tatăl meu s-a implicat în creșterea mea de „vrăjitoare”.
Vă spun toate acestea, dragilor, nu pentru că vreau să vă spun povestea mea. viață fericită, dar ca să înțelegeți mai profund ce va urma puțin mai târziu... Altfel, nu veți simți toată oroarea și durerea a ceea ce am avut de îndurat eu și familia mea.
Când am împlinit șaptesprezece ani, zvonurile despre mine s-au răspândit cu mult dincolo de granițele orașului meu natal și cei care voiau să-și audă soarta nu aveau sfârșit. Am fost foarte obosit. Oricât de înzestrat eram, stresul zilnic era epuizant, iar serile mă prăbușeam literalmente... Tatăl meu s-a opus mereu la o astfel de „violență”, dar mama mea (ea însăși cândva nu a putut să-și folosească pe deplin darul) credea că Sunt în perfectă ordine și că trebuie să-mi exersez sincer talentul.
Au trecut mulți ani așa. Am avut de multă vreme propria mea viață personală și propria mea familie minunată și iubită. Soțul meu era un om învățat, se numea Girolamo. Cred că eram destinați unul altuia, din moment ce de la prima întâlnire care a avut loc în casa noastră aproape că nu ne-am mai despărțit... A venit la noi pentru o carte recomandată de tatăl meu. În dimineața aceea, stăteam în bibliotecă și, după obiceiul meu, studiam munca altcuiva. Girolamo a intrat brusc, iar când m-a văzut acolo, a rămas complet surprins... Jena lui a fost atât de sinceră și dulce, încât m-a făcut să râd. Era o brunetă înaltă și puternică, cu ochi căprui, care în acel moment s-a roșit ca o fată care și-a întâlnit prima dată logodnicul... Și mi-am dat imediat seama că acesta era destinul meu. Ne-am căsătorit curând și nu ne-am mai despărțit niciodată. A fost un soț minunat, afectuos și blând și foarte amabil. Și când s-a născut fiica noastră mică, a devenit același tată iubitor și grijuliu. Așa că au trecut zece ani foarte fericiți și fără nori. Dulcea noastră fiică Anna a crescut veselă, plină de viață și foarte inteligentă. Și deja în primii zece ani, și ea, ca mine, a început să-și manifeste încet darul...
Viața era strălucitoare și frumoasă. Și părea că nu există nimic care să ne poată umbri existența pașnică cu nenorocire. Dar mi-a fost frică... Timp de aproape un an întreg, în fiecare noapte am avut coșmaruri - imagini groaznice cu oameni chinuiți și incendii aprinse. Se tot repeta, se repeta, se repeta... ma innebuneste. Dar mai ales m-a speriat imaginea unui om ciudat care venea constant în visele mele și, fără să scot un cuvânt, mă devora doar cu privirea arzătoare a ochilor lui adânci și negri... Era înspăimântător și foarte periculos.
Și apoi într-o zi a venit... Nori negri au început să se adune pe cerul senin al iubitei mele Veneții... Zvonuri alarmante, crescând, rătăceau prin oraș. Oamenii șopteau despre ororile Inchiziției și, înfricoșătoare, despre focurile umane vii... Spania ardea de multă vreme, ardând sufletele omenești curate cu „foc și sabie”, în numele lui Hristos... Și în spatele Spaniei , toată Europa era deja în flăcări... Nu eram credincios și nu l-am considerat niciodată pe Hristos Dumnezeu. Dar era un Înțelept minunat, cel mai puternic dintre toți cei vii. Și avea un suflet uimitor de pur și înalt. Și ceea ce a făcut biserica, uciderea „pentru slava lui Hristos”, a fost o crimă teribilă și de neiertat.
Dependența tensiunilor σ n și τ n care acționează asupra unei zone cu un n normal care trece prin punctul luat în considerare poate fi reprezentată vizual grafic folosind o diagramă de cerc Mohr (cercuri Mohr).
STARE DE stres în avion. Sunt date principalele tensiuni σ 1 și σ 2 (vezi fig. 2) . Segmentele OA=σ 1 și OB=σ 2 sunt așezate ținând cont de semne (Fig. 1). Un cerc este construit pe segmentul AB, ca pe un diametru. Se trasează o linie dreaptă din punctul B la un unghi α față de axa σ. Coordonatele punctului D de intersecție a acestei drepte cu cercul dau efortul de-a lungul platformei înclinate: OE=σ n, ED=τ n.
Poza 1.
Sunt specificate tensiunile α x, σ y, τ xy (Fig. 2). Sunt trasate segmentele OE=σ x și OF=σ y, ținând cont de semne. Din punctul E (indiferent de poziția sa), se trasează segmentul ED=τ xy, ținând cont și de semn. Din punctul C, împărțind segmentul EF la jumătate, se construiește un cerc cu raza CD din centru. Linia dreaptă BD determină direcția de acțiune a vectorului principal de stres σ 1, iar abscisele punctelor de intersecție ale cercului cu axa σ dau valorile tensiunilor principale: OA=σ 1, OB=σ 2.
Figura 2.
STARE DE STRESS VOLUMETRIC. Trei semicercuri sunt construite pe segmente care descriu diferențele de tensiuni principale σ 1 -σ 3, σ 2 -σ 3, σ 1 -σ 2, ca și pe diametre (Fig. 3). Tensiunile σ n și τ n de-a lungul unei platforme înclinate, normala la care formează unghiuri α, β și γ cu direcțiile celor trei tensiuni principale, sunt determinate de următoarea construcție. Liniile AE și BF sunt trasate, respectiv, la unghiurile α și γ față de verticală. Prin punctele de intersecție E și F obținute se trasează arce de raze C 2 E și C 1 F până se intersectează în punctul D, ale căror coordonate dau valorile tensiunii σ n și τ n. Punctele care descriu stările de stres în diferite zone nu părăsesc zona închisă între trei semicercuri (umbrite în figură).
Cercurile lui Mohr sunt diagrame circulare care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor din diferite secțiuni care trec printr-un punct dat. În sistemul de coordonate τ n - σ n există trei (semi) cercuri, care de-a lungul axei absciselor sunt diferența dintre tensiunile normale principale σ 1, σ 2, σ 3 (Fig.). Cercul maxim cu raza (σ 1 -σ 3)/2 acoperă două cercuri interioare cu raze (σ 1 -σ 2)/2 și (σ 2 -σ 3)/2, atingând punctul σ 2. Coordonatele punctelor din spațiul dintre arcele acestor cercuri sunt normale și tangente în zone orientate în mod arbitrar. Pe axele cercurilor sunt respectiv. Poziția punctului σ 2 este determinată de coeficientul Lode - Nadai. În mod similar, cercuri Mohr în coordonatele γ - ε sunt construite pentru a studia starea deformată, unde R 1 = (ε 2 -ε 1)/2 = 0,5γ 23, R 2 = (ε 1 -ε 3)/2 = 0,5γ 31, R3 = (ε1 -ε2)/2 = 0,5y12
Cercurile lui Mohr (stres circular)
Dicţionar enciclopedicîn metalurgie. - M.: Intermet Engineering. Editor sef N.P. Liakishev. 2000 .
Vedeți ce sunt „Cercurile Ciumei” în alte dicționare:
cercurile lui Mohr- Diagrame circulare care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor în diferite secțiuni care trec printr-un punct dat. În sistemul de coordonate tl-al există trei (semi)cercuri, dia. cele de-a lungul axei x sunt diferența dintre principalele normale... ... Ghidul tehnic al traducătorului
Cercuri- Cercuri: Cuprins 1 Așezări 1.1 Belarus 1.2 Rusia 1.3 Ucraina ... Wikipedia
Cercuri (sensuri)- Așezări: satul Krugi (krugi ucrainean), parte a districtului Vyshgorod din regiunea Kiev din Ucraina. Krugi (în ucraineană Krugi) este un sat din Ucraina, situat în districtul Tyvrovsky din regiunea Vinnytsia. Satul Krugi (Belarus. Krugi) din... ... Wikipedia
MAREA BRITANIE- (Marea Britanie) stat din Occident. Europa, situată pe britanici despre tine. Oficial Nume B. Regatul Unit al Marii Britanii și Irlandei de Nord; Întreaga Britanie este adesea numită greșit Anglia (după numele ... Enciclopedia istorică sovietică
Marea Britanie- I Marea Britanie (Marea Britanie) este o insulă din Oceanul Atlantic, parte a grupului Insulelor Britanice (Vezi Insulele Britanice). Vezi Marea Britanie (stat). II Marea Britanie nume oficial Unit... ...
Marea Britanie (stat)- Marea Britanie; numele oficial este Regatul Unit al Marii Britanii și Irlandei de Nord. eu. Informații generale V. este un stat insular din nord-vestul Europei; ia...... Marea Enciclopedie Sovietică
Franţa- (Franța) Republica Franceză (Republique Française). I. Informaţii generale F. stare în Europa de Vest. În nord, teritoriul Franței este spălat de Marea Nordului, strâmtorile Pas de Calais și Canalul Mânecii, în vest de Golful Biscaya... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Comunism- Cuvântul K. denotă: în primul rând, o ordine socială în care în sfera raporturilor de proprietate nu există proprietate privată (toate sau numai bunuri imobiliare), iar în sfera relațiilor de familie locul căsătoriei este ocupat de un dezordonat. .. ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Istoria învățăturilor comuniste- Comunismul este denumirea generală a doctrinelor care proclamă scopul abolirii proprietății private și eliberarea omului și a societății de opresiunea economică și socială. Cuvântul „comunism” unește acele învățături religioase, morale și economice... ... Wikipedia
