Ecuații cuadratice cu modul, exemple de soluții. Modulul unui număr (valoarea absolută a unui număr), definiții, exemple, proprietăți. Modulul unui număr ca distanță

17.09.2021Titlu: Soluţie

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Modulul este valoarea absolută a expresiei. Pentru a indica cumva un modul, este obișnuit să folosiți paranteze drepte. Valoarea care este cuprinsă între paranteze pare este valoarea luată modulo. Procesul de rezolvare a oricărui modul constă în deschiderea acelor paranteze foarte drepte, care în limbajul matematic se numesc paranteze modulare. Dezvăluirea lor are loc după un anumit număr de reguli. De asemenea, în ordinea rezolvării modulelor, se găsesc seturile de valori ale acelor expresii care se aflau în parantezele modulare. În cele mai multe cazuri, modulul este extins în așa fel încât expresia care a fost submodulară să primească atât valori pozitive, cât și negative, inclusiv valoarea zero. Dacă pornim de la proprietățile stabilite ale modulului, atunci în acest proces sunt compilate diverse ecuații sau inegalități din expresia originală, care apoi trebuie rezolvate. Să ne dăm seama cum să rezolvăm modulele.

Procesul de rezolvare

Rezolvarea unui modul începe prin scrierea ecuației originale cu modulul. Pentru a răspunde la întrebarea cum să rezolvi ecuațiile cu un modul, trebuie să-l deschideți complet. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, modulul este extins. Toate expresiile modulare trebuie luate în considerare. Este necesar să se determine la ce valori ale cantităților necunoscute incluse în compoziția sa, expresia modulară între paranteze devine zero. Pentru a face acest lucru, este suficient să echivalăm expresia dintre paranteze modulare la zero și apoi să calculați soluția ecuației rezultate. Valorile găsite trebuie înregistrate. În același mod, trebuie de asemenea să determinați valoarea tuturor variabilelor necunoscute pentru toate modulele din această ecuație. În continuare, trebuie să începeți să definiți și să luați în considerare toate cazurile de existență a variabilelor în expresii atunci când acestea sunt diferite de valoarea zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți un sistem de inegalități corespunzătoare tuturor modulelor din inegalitatea originală. Inegalitățile trebuie scrise astfel încât să acopere toate valorile disponibile și posibile pentru o variabilă care se găsește pe linia numerică. Apoi trebuie să desenați aceeași linie numerică pentru vizualizare, pe care să trasați ulterior toate valorile obținute.

Aproape totul se poate face acum pe internet. Modulul nu face excepție de la regulă. O poți rezolva online pe una dintre numeroasele resurse moderne. Toate acele valori ale variabilei care se află în modulul zero vor fi o constrângere specială care va fi utilizată în procesul de rezolvare a ecuației modulare. În ecuația originală, trebuie să deschideți toate parantezele modulare disponibile, schimbând în același timp semnul expresiei, astfel încât valorile variabilei dorite să coincidă cu acele valori care sunt vizibile pe linia numerică. Ecuația rezultată trebuie rezolvată. Valoarea variabilei care va fi obținută în timpul rezolvării ecuației trebuie verificată în raport cu limitarea specificată de modul însuși. Dacă valoarea variabilei satisface pe deplin condiția, atunci este corectă. Toate rădăcinile care vor fi obținute în timpul rezolvării ecuației, dar nu se vor potrivi cu restricțiile, trebuie aruncate.

Instrucțiuni

Dacă un modul este reprezentat ca o funcție continuă, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este . Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor semnul său se schimbă din minus în plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele contrariilor sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modul număr complex se află prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca un număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze dreptunghiulare: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la o putere se află simultan sub semnul unei rădăcini de același ordin - se rezolvă folosind: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în care nu este specificată condiția de extindere a parantezelor modulului, atunci nu este nevoie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă trebuie să le deschideți, atunci trebuie să indicați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b))². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat în paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor semnul său se schimbă din minus în plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca factor, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, deci orice număr negativ este convertit în pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat sub forma unui număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze dreptunghiulare: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

A se calculează în conformitate cu următoarele reguli:

Pentru concizie, se folosesc notații |a|. Deci, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 etc.

Fiecare dimensiune X corespunde unei valori destul de precise | X|. Si asta inseamnă identitate la= |X| seturi la Ca unii funcția argument X.

Programa acest funcții prezentat mai jos.

Pentru X > 0 |X| = X, si pentru X< 0 |X|= -X; în acest sens, linia y = | X| la X> 0 combinat cu o linie dreaptă y = x(bisectoarea primului unghi de coordonate) și când X< 0 - с прямой y = -x(bisectoarea celui de-al doilea unghi de coordonate).

Separa ecuații include necunoscute sub semn modul.

Exemple arbitrare de astfel de ecuații - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 etc.

Rezolvarea ecuațiilor care conține o necunoscută sub semnul modulului se bazează pe faptul că, dacă valoarea absolută a unui număr necunoscut x este egală cu un număr pozitiv a, atunci acest număr x însuși este egal fie cu a, fie cu -a.

De exemplu:, dacă | X| = 10, atunci sau X=10 sau X = -10.

Sa luam in considerare rezolvarea ecuațiilor individuale.

Să analizăm soluția ecuației | X- 1| = 2.

Să extindem modulul apoi diferența X- 1 poate fi egal fie cu + 2, fie cu - 2. Dacă x - 1 = 2, atunci X= 3; dacă X- 1 = - 2, atunci X= - 1. Facem o substituție și constatăm că ambele aceste valori satisfac ecuația.

Răspuns. Ecuația de mai sus are două rădăcini: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Să analizăm soluție a ecuației | 6 — 2X| = 3X+ 1.

După extinderea modulului obținem: sau 6 - 2 X= 3X+ 1 sau 6 - 2 X= - (3X+ 1).

În primul caz X= 1, iar în al doilea X= - 7.

Examinare. La X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; rezulta din instanta, X = 1 - rădăcină dat ecuații.

La X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; deoarece 20 ≠ -20, atunci X= - 7 nu este o rădăcină a acestei ecuații.

Răspuns. U ecuația are o singură rădăcină: X = 1.

Ecuațiile de acest tip pot fi rezolva si grafic.

Deci haideți să decidem De exemplu, grafic ecuația | X- 1| = 2.

Mai întâi vom construi grafica functionala la = |X- 1|. Mai întâi, să desenăm un grafic al funcției la=X- 1:

Acea parte a ei Arte grafice, care este situat deasupra axei X Nu o vom schimba. Pentru ea X- 1 > 0 și deci | X-1|=X-1.

Partea graficului care se află sub axă X, hai să ne înfățișăm simetric raportat la această axă. Pentru că pentru această parte X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Rezultați linia(linie continuă) și voință graficul funcției y = | X—1|.

Această linie se va intersecta cu Drept la= 2 în două puncte: M 1 cu abscisă -1 și M 2 cu abscisă 3. Și, în consecință, ecuația | X- 1| =2 vor fi două rădăcini: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Termenul (modul) tradus literal din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de omul de știință englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbol care denotă acest concept atunci când scrie.

In contact cu

Pentru prima dată acest concept este studiat la matematică în programa de clasa a VI-a a gimnaziului. Conform unei definiții, modulul este o valoare absolută numar real. Cu alte cuvinte, pentru a afla modulul unui număr real, trebuie să renunți la semnul acestuia.

Valoarea grafică absolută A notat ca |a|.

Principala trăsătură distinctivă a acestui concept este că este întotdeauna o cantitate nenegativă.

Numerele care diferă între ele doar prin semn se numesc numere opuse. Dacă o valoare este pozitivă, atunci opusul ei este negativ și zero este opusul său.

Sensul geometric

Dacă luăm în considerare conceptul de modul din perspectiva geometriei, atunci acesta va desemna distanța care este măsurată în segmente unitare de la originea coordonatelor până la un punct dat. Această definiție dezvăluie pe deplin sensul geometric al termenului studiat.

Grafic aceasta poate fi exprimată astfel: |a| = OA.

Proprietăți de valoare absolută

Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și modalitățile de a-l scrie sub formă de expresii literale:

Caracteristici ale rezolvării ecuațiilor cu modul

Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor și inegalităților matematice care conțin modul, atunci trebuie să ne amintim că pentru a le rezolva va trebui să deschideți acest semn.

De exemplu, dacă semnul unei valori absolute conține o expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se țină cont de definițiile matematice curente.

|A + 5| = A + 5, dacă, A este mai mare sau egal cu zero.

5-A, dacă, O valoare este mai mică decât zero.

În unele cazuri, semnul poate fi dezvăluit fără ambiguitate pentru orice valoare a variabilei.

Să ne uităm la un alt exemplu. Să construim o linie de coordonate pe care să marchem toate valorile numerice a căror valoare absolută va fi 5.

Mai întâi trebuie să desenați o linie de coordonate, să marcați originea coordonatelor pe ea și să setați dimensiunea unui segment de unitate. În plus, linia dreaptă trebuie să aibă o direcție. Acum pe această linie este necesar să se aplice marcaje care vor fi egale cu dimensiunea unui segment de unitate.

Astfel, putem vedea că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valorile 5 și -5.