Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru ecuație. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă

Minimum teoretic

În teoria ecuațiilor diferențiale, există o metodă care pretinde că are un grad de universalitate destul de ridicat pentru această teorie.
Vorbim despre metoda de variație a unei constante arbitrare, aplicabilă rezolvării diferitelor clase de ecuații diferențiale și a acestora
sisteme Acesta este exact cazul când teoria - dacă scoatem probele afirmațiilor din paranteze - este minimă, dar ne permite să realizăm
rezultate semnificative, deci accentul va fi pus pe exemple.

Ideea generală a metodei este destul de simplu de formulat. Fie ca ecuația dată (sistemul de ecuații) să fie greu de rezolvat sau chiar de neînțeles,
cum se rezolva. Cu toate acestea, este clar că prin eliminarea unor termeni din ecuație se rezolvă. Apoi rezolvă exact acest lucru simplificat
ecuație (sistem), obținem o soluție care conține un anumit număr de constante arbitrare - în funcție de ordinea ecuației (numărul
ecuații din sistem). Apoi se presupune că constantele din soluția găsită nu sunt de fapt constante; soluția găsită
este substituită în ecuația (sistemul) originală, se obține o ecuație diferențială (sau un sistem de ecuații) pentru a determina „constantele”.
Există o anumită specificitate în aplicarea metodei de variație a unei constante arbitrare la diferite probleme, dar acestea sunt deja specifice care vor
demonstrat cu exemple.

Să luăm în considerare separat soluția ecuațiilor liniare neomogene de ordin superior, i.e. ecuații ale formei
.
Soluția generală a unei ecuații liniare neomogene este suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și a unei soluții particulare
a acestei ecuatii. Să presupunem că a fost deja găsită o soluție generală a ecuației omogene, și anume, a fost construit un sistem fundamental de soluții (FSS).
. Atunci soluția generală a ecuației omogene este egală cu .
Trebuie să găsim orice soluție particulară a ecuației neomogene. În acest scop, constantele sunt considerate ca depind de o variabilă.
În continuare trebuie să rezolvați sistemul de ecuații
.
Teoria garantează că acest sistem de ecuații algebrice în raport cu derivatele funcțiilor are o soluție unică.
Când se găsesc funcțiile în sine, constantele integrării nu apar: la urma urmei, se caută orice soluție.

În cazul rezolvării sistemelor de ecuaţii liniare neomogene de ordinul întâi de forma

algoritmul rămâne aproape neschimbat. Mai întâi trebuie să găsiți FSR-ul sistemului omogen de ecuații corespunzător, să compuneți matricea fundamentală
sistem, ale cărui coloane reprezintă elementele FSR. În continuare, se întocmește ecuația
.
Când rezolvăm sistemul, determinăm funcțiile , găsind astfel o soluție specială pentru sistemul original
(matricea fundamentală este înmulțită cu coloana funcțiilor găsite).
O adăugăm la soluția generală a sistemului corespunzător de ecuații omogene, care este construit pe baza FSR-ului deja găsit.
Se obține soluția generală a sistemului original.

Exemple.

Exemplul 1. Ecuații liniare neomogene de ordinul întâi.

Să luăm în considerare ecuația omogenă corespunzătoare (notăm funcția dorită):
.
Această ecuație poate fi rezolvată cu ușurință folosind metoda separării variabilelor:

.
Acum să ne imaginăm soluția ecuației inițiale în formă , unde funcția nu a fost încă găsită.
Inlocuim acest tip de solutie in ecuatia initiala:
.
După cum puteți vedea, al doilea și al treilea termen din partea stângă se anulează reciproc - asta este caracteristică metoda de variație a unei constante arbitrare.

Aici este deja o constantă cu adevărat arbitrară. Prin urmare,
.

Exemplul 2. ecuația lui Bernoulli.

Procedăm în mod similar cu primul exemplu - rezolvăm ecuația

metoda de separare a variabilelor. Se pare, așa că căutăm o soluție la ecuația originală în formă
.
Inlocuim aceasta functie in ecuatia initiala:
.
Și din nou apar reducerile:
.
Aici trebuie să vă amintiți pentru a vă asigura că atunci când împărțiți la soluție nu se pierde. Iar soluția la cea inițială corespunde cazului
ecuații Să ne amintim. Asa de,
.
Să-l notăm.
Aceasta este soluția. Când scrieți răspunsul, ar trebui să indicați și soluția găsită anterior, deoarece nu corespunde cu nicio valoare finală
constante

Exemplul 3. Ecuații liniare neomogene de ordin superior.

Să remarcăm imediat că această ecuație poate fi rezolvată mai simplu, dar este convenabil să demonstrăm metoda folosind-o. Deși unele avantaje
Metoda variației are o constantă arbitrară și în acest exemplu.
Deci, trebuie să începeți cu FSR-ul ecuației omogene corespunzătoare. Să ne amintim că pentru a găsi FSR, este compilată o curbă caracteristică
ecuația
.
Astfel, soluția generală a ecuației omogene
.
Constantele incluse aici trebuie să fie variate. Alcătuirea unui sistem

Metoda de variație a constantelor arbitrare este utilizată pentru a rezolva ecuații diferențiale neomogene. Această lecție este destinată acelor elevi care sunt deja mai mult sau mai puțin versați în subiect. Dacă abia începeți să vă familiarizați cu telecomanda, de exemplu. Dacă ești un ceainic, recomand să începi cu prima lecție: Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Și dacă ați terminat deja, vă rugăm să renunțați la posibila preconcepție că metoda este dificilă. Pentru că este simplu.

În ce cazuri este utilizată metoda de variație a constantelor arbitrare?

1) Metoda de variație a unei constante arbitrare poate fi folosită pentru a rezolva DE liniar neomogen de ordinul I. Deoarece ecuația este de ordinul întâi, atunci constanta este și ea una.

2) Pentru rezolvarea unora se folosește metoda variației constantelor arbitrare ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Aici variază două constante.

Este logic să presupunem că lecția va consta din două paragrafe... Așa că am scris această propoziție și timp de aproximativ 10 minute m-am gândit dureros la ce alte prostii inteligente aș putea adăuga pentru o tranziție lină la exemple practice. Dar din anumite motive nu am niciun gând după sărbători, deși se pare că nu am abuzat de nimic. Prin urmare, să trecem direct la primul paragraf.

Metoda de variație a unei constante arbitrare
pentru o ecuație neomogenă liniară de ordinul întâi

Înainte de a lua în considerare metoda de variație a unei constante arbitrare, este recomandabil să fiți familiarizați cu articolul Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi. În acea lecție am exersat prima solutie neomogen ordinul I DE. Această primă soluție, vă reamintesc, se numește metoda de înlocuire sau metoda Bernoulli(a nu se confunda cu ecuația lui Bernoulli!!!)

Acum ne vom uita a doua soluție– metoda de variație a unei constante arbitrare. Voi da doar trei exemple și le voi lua din lecția menționată mai sus. De ce atât de puțini? Pentru că, de fapt, soluția din a doua modalitate va fi foarte asemănătoare cu soluția din prima. În plus, conform observațiilor mele, metoda de variație a constantelor arbitrare este folosită mai rar decât metoda înlocuirii.

Exemplul 1

(Diferiți de exemplul nr. 2 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Această ecuație este liniară neomogenă și are o formă familiară:

În prima etapă, este necesar să se rezolve o ecuație mai simplă:
Adică resetăm prost partea dreaptă și scriem în schimb zero.
Ecuația voi suna ecuație auxiliară.

În acest exemplu, trebuie să rezolvați următoarele ecuație auxiliară:

Înaintea noastră ecuație separabilă, a cărui soluție (sper) nu vă mai este dificilă:

Prin urmare:
– soluția generală a ecuației auxiliare.

La a doua treaptă vom înlocui unele constante pentru acum funcție necunoscută care depinde de „x”:

De aici și numele metodei - variam constanta. Alternativ, constanta ar putea fi o funcție pe care trebuie să o găsim acum.

ÎN original ecuație neomogenă hai sa facem o inlocuire:

Să înlocuim și în ecuație :

Punct de control - cei doi termeni din partea stângă se anulează. Dacă acest lucru nu se întâmplă, ar trebui să căutați eroarea de mai sus.

Ca urmare a înlocuirii s-a obţinut o ecuaţie cu variabile separabile. Separăm variabilele și integrăm.

Ce binecuvântare, exponenții anulează și:

Adăugăm o constantă „normală” funcției găsite:

În etapa finală, ne amintim despre înlocuirea noastră:

Funcția tocmai a fost găsită!

Deci solutia generala este:

Răspuns: decizie comuna:

Dacă imprimați cele două soluții, veți observa cu ușurință că în ambele cazuri am găsit aceleași integrale. Singura diferență este în algoritmul de soluție.

Acum, pentru ceva mai complicat, voi comenta și al doilea exemplu:

Exemplul 2

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
(Diferiți de exemplul nr. 8 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Să reducem ecuația la forma :

Să resetam partea dreaptă și să rezolvăm ecuația auxiliară:

Soluție generală a ecuației auxiliare:

În ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Conform regulii de diferențiere a produselor:

Să înlocuim și în ecuația neomogenă inițială:

Cei doi termeni din partea stângă se anulează, ceea ce înseamnă că suntem pe drumul cel bun:

Să integrăm pe părți. Scrisoarea gustoasă din formula de integrare prin părți este deja implicată în soluție, așa că folosim, de exemplu, literele „a” și „fi”:

Acum să ne amintim de înlocuire:

Răspuns: decizie comuna:

Și un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 3

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale date.

,
(Diferiți de exemplul nr. 4 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)
Soluţie:
Acest DE este liniar neomogen. Folosim metoda variației constantelor arbitrare. Să rezolvăm ecuația auxiliară:

Separăm variabilele și integrăm:

Decizie comună:
În ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Să efectuăm înlocuirea:

Deci solutia generala este:

Să găsim coeficientul soluție corespunzătoare unei condiții inițiale date:

Răspuns: solutie privata:

Soluția de la sfârșitul lecției poate servi ca exemplu pentru finalizarea temei.

Metoda de variație a constantelor arbitrare
pentru o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi
cu coeficienți constanți

Am auzit adesea părerea că metoda de variație a constantelor arbitrare pentru o ecuație de ordinul doi nu este un lucru ușor. Dar presupun următoarele: cel mai probabil, metoda pare dificilă multora pentru că nu apare atât de des. Dar, în realitate, nu există dificultăți speciale - cursul deciziei este clar, transparent și de înțeles. Si frumos.

Pentru a stăpâni metoda, este de dorit să se poată rezolva ecuații neomogene de ordinul doi, selectând o anumită soluție pe baza formei părții din dreapta. Aceasta metoda discutat în detaliu în articol DE-uri neomogene de ordinul 2. Reamintim că o ecuație neomogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma:

Metoda de selecție, care a fost discutată în lecția de mai sus, funcționează doar într-un număr limitat de cazuri când partea dreaptă conține polinoame, exponențiale, sinusuri și cosinus. Dar ce să faci când în dreapta, de exemplu, este o fracție, logaritm, tangentă? Într-o astfel de situație, metoda de variație a constantelor vine în ajutor.

Exemplul 4

Găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi

Soluţie: Există o fracție în partea dreaptă a acestei ecuații, așa că putem spune imediat că metoda de selectare a unei anumite soluții nu funcționează. Folosim metoda variației constantelor arbitrare.

Nu există semne de furtună; începutul soluției este complet obișnuit:

Vom găsi decizie comună adecvat omogen ecuatii:

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:


– se obțin rădăcini complexe conjugate, deci soluția generală este:

Acordați atenție înregistrării soluției generale - dacă există paranteze, deschideți-le.

Acum facem aproape același truc ca pentru ecuația de ordinul întâi: variam constantele, înlocuindu-le cu funcții necunoscute. Acesta este, soluţie generală de neomogenă vom căuta ecuații sub forma:

Unde - pentru acum funcții necunoscute.

Arată ca o groapă de gunoi menajere, dar acum vom rezolva totul.

Necunoscutele sunt derivatele funcțiilor. Scopul nostru este să găsim derivate, iar derivatele găsite trebuie să satisfacă atât prima cât și a doua ecuație a sistemului.

De unde vin „grecii”? Barza le aduce. Ne uităm la soluția generală obținută mai devreme și scriem:

Să găsim derivatele:

Părțile din stânga au fost tratate. Ce este în dreapta?

este partea dreaptă a ecuației inițiale, în acest caz:

Coeficientul este coeficientul derivatei a doua:

În practică, aproape întotdeauna, iar exemplul nostru nu face excepție.

Totul este clar, acum puteți crea un sistem:

Sistemul este de obicei rezolvat după formulele lui Cramer folosind algoritmul standard. Singura diferență este că în loc de numere avem funcții.

Să găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă ați uitat cum este dezvăluit determinantul doi câte doi, consultați lecția Cum se calculează determinantul? Link-ul duce la bordul rușinii =)

Deci: asta înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Găsirea derivatei:

Dar asta nu este tot, până acum am găsit doar derivatul.
Funcția în sine este restabilită prin integrare:

Să ne uităm la a doua funcție:

Aici adăugăm o constantă „normală”.

În etapa finală a soluției, ne amintim sub ce formă căutam o soluție generală a ecuației neomogene? În așa:

Tocmai au fost găsite funcțiile de care aveți nevoie!

Tot ce rămâne este să efectuați înlocuirea și să scrieți răspunsul:

Răspuns: decizie comuna:

În principiu, răspunsul ar fi putut extinde parantezele.

O verificare completă a răspunsului este efectuată conform schemei standard, care a fost discutată în lecție. DE-uri neomogene de ordinul 2. Dar verificarea nu va fi ușoară, deoarece este necesar să se găsească derivate destul de grele și să se efectueze substituții greoaie. Aceasta este o caracteristică neplăcută atunci când rezolvați astfel de difuzoare.

Exemplul 5

Rezolvați o ecuație diferențială variind constante arbitrare

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. De fapt, în partea dreaptă există și o fracție. Să ne amintim formula trigonometrică; apropo, va trebui să fie aplicată în timpul soluției.

Metoda de variație a constantelor arbitrare este cea mai universală metodă. Poate rezolva orice ecuație care poate fi rezolvată metoda de selectare a unei anumite soluții pe baza formei părții din dreapta. Se pune întrebarea: de ce să nu folosiți și acolo metoda de variație a constantelor arbitrare? Răspunsul este evident: selectarea unei anumite soluții, care a fost discutată în clasă Ecuații neomogene de ordinul doi, accelerează semnificativ soluția și scurtează înregistrarea - fără tam-tam cu determinanții și integralele.

Să ne uităm la două exemple cu Problema Cauchy.

Exemplul 6

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale corespunzătoare condițiilor inițiale date

,

Soluţie: Din nou, fracția și exponentul sunt într-un loc interesant.
Folosim metoda variației constantelor arbitrare.

Vom găsi decizie comună adecvat omogen ecuatii:



– se obțin diferite rădăcini reale, deci soluția generală este:

Soluție generală de neomogen căutăm ecuații sub forma: , unde – pentru acum funcții necunoscute.

Să creăm un sistem:

În acest caz:
,
Găsirea derivatelor:
,

Prin urmare:

Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Restabilim funcția prin integrare:

Folosit aici metoda de subsumare a unei functii sub semnul diferential.

Restabilim a doua funcție prin integrare:

Această integrală este rezolvată metoda de înlocuire a variabilei:

Din înlocuirea în sine exprimăm:

Prin urmare:

Această integrală poate fi găsită metoda de extracție a pătratului complet, dar în exemplele cu difuzoare prefer să extind fracția metodă coeficienți incerti :

Ambele funcții găsite:

Ca urmare, soluția generală a ecuației neomogene este:

Să găsim o soluție specială care să satisfacă condițiile inițiale .

Din punct de vedere tehnic, căutarea unei soluții se realizează într-un mod standard, despre care a fost discutat în articol Ecuații diferențiale neomogene de ordinul doi.

Stai, acum vom găsi derivata soluției generale găsite:

Aceasta este o astfel de rușine. Nu este necesar să o simplificați; este mai ușor să creați imediat un sistem de ecuații. Conform conditiilor initiale :

Să înlocuim valorile găsite ale constantelor la solutia generala:

În răspuns, logaritmii pot fi împachetate puțin.

Răspuns: solutie privata:

După cum puteți vedea, pot apărea dificultăți în integrale și derivate, dar nu și în algoritmul metodei de variație a constantelor arbitrare în sine. Nu eu te-am intimidat, este toată colecția lui Kuznețov!

Pentru relaxare, un exemplu final, mai simplu, pentru a o rezolva singur:

Exemplul 7

Rezolvați problema Cauchy

,

Exemplul este simplu, dar creativ, atunci când creați un sistem, priviți-l cu atenție înainte de a decide ;-),




Ca urmare, soluția generală este:

Să găsim o soluție specială corespunzătoare condițiilor inițiale .



Să substituim valorile găsite ale constantelor în soluția generală:

Răspuns: solutie privata:

Curs 44. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. (partea dreapta speciala).

Transformări sociale. Statul și biserica.

Politica socială a bolșevicilor a fost dictată în mare măsură de abordarea lor de clasă. Prin decretul din 10 noiembrie 1917, sistemul de clasă a fost distrus, au fost desființate gradele, titlurile și premiile prerevoluționare. S-a stabilit alegerea judecătorilor; s-a realizat secularizarea statelor civile. S-au instituit învăţământul şi îngrijirile medicale gratuite (decretul din 31 octombrie 1918). Femeilor li s-au acordat drepturi egale cu bărbații (decrete din 16 și 18 decembrie 1917). Decretul privind căsătoria a introdus instituția căsătoriei civile.

Prin decretul Consiliului Comisarilor Poporului din 20 ianuarie 1918, biserica a fost separată de stat și de sistemul de învățământ. Majoritatea bunurilor bisericii au fost confiscate. Patriarhul Moscovei și al Rusiei Tihon (ales la 5 noiembrie 1917) anatemizat la 19 ianuarie 1918 puterea sovieticăși a cerut o luptă împotriva bolșevicilor.

Considerăm o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi

Structura soluției generale a unei astfel de ecuații este determinată de următoarea teoremă:

Teorema 1. Soluția generală a ecuației neomogene (1) este reprezentată ca suma unei soluții particulare a acestei ecuații și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

Dovada. Este necesar să se dovedească că suma

este o soluție generală a ecuației (1). Să demonstrăm mai întâi că funcția (3) este o soluție a ecuației (1).

Înlocuind suma în ecuația (1) în loc de la, vom avea

Deoarece există o soluție pentru ecuația (2), expresia din primele paranteze este identic egală cu zero. Deoarece există o soluție pentru ecuația (1), expresia din a doua paranteză este egală cu f(x). Prin urmare, egalitatea (4) este o identitate. Astfel, prima parte a teoremei este demonstrată.

Să demonstrăm a doua afirmație: expresia (3) este general soluția ecuației (1). Trebuie să demonstrăm că constantele arbitrare incluse în această expresie pot fi selectate astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale:

oricare ar fi numerele x 0, y 0și (dacă numai x 0 a fost preluat din zona unde funcționează a 1, a 2Și f(x) continuu).

Observând că poate fi reprezentat sub forma . Apoi, pe baza condițiilor (5), vom avea

Să rezolvăm acest sistem și să stabilim C 1Și C 2. Să rescriem sistemul sub forma:

Rețineți că determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru funcții la 1Și la 2 la punct x=x 0. Deoarece aceste funcții sunt liniar independente de condiție, determinantul Wronski nu este egal cu zero; prin urmare sistemul (6) are o soluție certă C 1Și C 2, adică există astfel de sensuri C 1Și C 2, sub care formula (3) determină soluția ecuației (1) care satisface condițiile inițiale date. Q.E.D.

Să trecem la metoda generala găsirea de soluții parțiale la o ecuație neomogenă.

Să scriem soluția generală a ecuației omogene (2)

Vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene (1) în forma (7), având în vedere C 1Și C 2 ca unele funcții încă necunoscute din X.

Să diferențiem egalitatea (7):

Să selectăm funcțiile pe care le căutați C 1Și C 2 astfel încât egalitatea să se mențină

Dacă luăm în considerare această condiție suplimentară, atunci prima derivată va lua forma

Diferențiând acum această expresie, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem

Expresiile din primele două paranteze devin zero, deoarece y 1Și y 2– soluții ale unei ecuații omogene. Prin urmare, ultima egalitate ia forma

Astfel, funcția (7) va fi o soluție a ecuației neomogene (1) dacă funcțiile C 1Și C 2 satisface ecuațiile (8) și (9). Să creăm un sistem de ecuații din ecuațiile (8) și (9).

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente y 1Și y 2 ecuația (2), atunci nu este egală cu zero. Prin urmare, rezolvând sistemul, vom găsi atât anumite funcții ale X:

Rezolvând acest sistem, găsim , de unde, ca urmare a integrării, obținem . Apoi, înlocuim funcțiile găsite în formulă, obținem o soluție generală a ecuației neomogene, unde sunt constante arbitrare.

Să considerăm acum ecuația liniară neomogenă
. (2)
Fie y 1 ,y 2 ,.., y n un sistem fundamental de soluții, și fie soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0. Similar cu cazul ecuațiilor de ordinul întâi, vom căuta o soluție pentru ecuația (2) sub forma
. (3)
Să ne asigurăm că există o soluție în această formă. Pentru a face acest lucru, înlocuim funcția în ecuație. Pentru a înlocui această funcție în ecuație, găsim derivatele ei. Prima derivată este egală cu
. (4)
La calcularea derivatei a doua, vor apărea patru termeni în partea dreaptă a (4), la calcularea derivatei a treia, vor apărea opt termeni și așa mai departe. Prin urmare, pentru comoditatea calculelor ulterioare, primul termen din (4) este setat egal cu zero. Ținând cont de acest lucru, derivata a doua este egală cu
. (5)
Din aceleași motive ca și înainte, în (5) se stabilește și primul termen egal cu zero. În cele din urmă, derivata a n-a este
. (6)
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în ecuația originală, avem
. (7)
Al doilea termen din (7) este egal cu zero, deoarece funcțiile y j , j=1,2,..,n, sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0. Combinând cu cel precedent, obținem un sistem de ecuații algebrice pentru găsirea funcțiilor C" j (x)
(8)
Determinantul acestui sistem este determinantul Wronski al sistemului fundamental de soluții y 1 ,y 2 ,..,y n al ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0 și deci nu este egal cu zero. În consecință, există o soluție unică pentru sistem (8). După ce o găsim, obținem funcțiile C" j (x), j=1,2,…,n și, în consecință, C j (x), j=1,2,…,n Înlocuind aceste valori în (3), obținem o soluție la o ecuație liniară neomogenă.
Metoda prezentată se numește metoda de variație a unei constante arbitrare sau metoda Lagrange.

Exemplul nr. 1. Să găsim soluția generală a ecuației y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Se consideră ecuația omogenă corespunzătoare y"" + 4y" + 3y = 0. Rădăcinile ecuației sale caracteristice r 2 + 4r + 3 = 0 sunt egale cu -1 și -3. Prin urmare, sistemul fundamental de soluții la o ecuație omogenă este format din funcțiile y 1 = e - x și y 2 = e -3 x. Căutăm o soluție la ecuația neomogenă sub forma y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Pentru a găsi derivatele C" 1 , C" 2 compunem un sistem de ecuații (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
rezolvând care, găsim , Integrând funcţiile obţinute, avem
În sfârșit, obținem

Exemplul nr. 2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți folosind metoda variației constantelor arbitrare:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Soluţie:
Această ecuație diferențială se referă la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Vom căuta o soluție a ecuației sub forma y = e rx. Pentru a face acest lucru, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rădăcinile ecuației caracteristice: r 1 = 4, r 2 = 2
În consecință, sistemul fundamental de soluții este format din funcțiile: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Rezolvarea generală a ecuației omogene are forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Căutați o anumită soluție prin metoda varierii unei constante arbitrare.
Pentru a găsi derivatele lui C" i alcătuim un sistem de ecuații:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Să exprimăm C" 1 din prima ecuație:
C" 1 = -c 2 e -2x
și înlocuiți-l în al doilea. Ca rezultat obținem:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integram functiile obtinute C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Deoarece y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, scriem expresiile rezultate sub forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
sau
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Să găsim o soluție specială în condiția:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Înlocuind x = 0 în ecuația găsită, obținem:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Găsim prima derivată a soluției generale obținute:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Înlocuind x = 0, obținem:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Obținem un sistem de două ecuații:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
sau
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
sau
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Din: C 1 = 0, C * 2 = 2
Soluția privată va fi scrisă astfel:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Metoda de variație a unei constante arbitrare, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și ecuația Bernoulli.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt ecuații de forma y’+p(x)y=q(x). Dacă există un zero pe partea dreaptă: y’+p(x)y=0, atunci acesta este un liniar omogen Ecuația de ordinul 1. În consecință, o ecuație cu o parte dreaptă diferită de zero, y’+p(x)y=q(x), este eterogen ecuație liniară 1-a comanda.

Metoda de variație a unei constante arbitrare (metoda Lagrange) este după cum urmează:

1) Căutăm o soluție generală a ecuației omogene y’+p(x)y=0: y=y*.

2) În soluția generală, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C = C (x). Găsim derivata soluției generale (y*)’ și înlocuim expresia rezultată pentru y* și (y*)’ în condiția inițială. Din ecuația rezultată găsim funcția C(x).

3) În soluția generală a ecuației omogene, în loc de C, înlocuim expresia găsită C(x).

Să ne uităm la exemple de metodă de variare a unei constante arbitrare. Să luăm aceleași sarcini ca în, să comparăm progresul soluției și să ne asigurăm că răspunsurile obținute coincid.

1) y’=3x-y/x

Să rescriem ecuația în formă standard (spre deosebire de metoda lui Bernoulli, unde aveam nevoie de forma de notație doar pentru a vedea că ecuația este liniară).

y’+y/x=3x (I). Acum procedăm conform planului.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. Aceasta este o ecuație cu variabile separabile. Imaginați-vă y’=dy/dx, înlocuiți: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Să integrăm:

2) În soluția generală rezultată a ecuației omogene, vom considera C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). De aici

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (I):

Să integrăm ambele părți ale ecuației:

aici C este deja o constantă nouă.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C/x, unde am presupus C=C(x), adică y=C(x)/x, în loc de C(x) înlocuim expresia găsită x³ +C: y=(x³ +C)/x sau y=x²+C/x. Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Răspuns: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Aici ecuația este deja scrisă în formă standard; nu este nevoie să o transformăm.

1) Rezolvați ecuația liniară omogenă y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Să integrăm:

Pentru a obține o formă mai convenabilă de notație, luăm exponentul la puterea lui C ca noul C:

Această transformare a fost efectuată pentru a face mai convenabilă găsirea derivatei.

2) În soluția generală rezultată a ecuației liniare omogene, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). În această condiție

Înlocuim expresiile rezultate y și y’ în condiția:

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

Integram ambele părți ale ecuației folosind formula de integrare prin părți, obținem:

Aici C nu mai este o funcție, ci o constantă obișnuită.

3) În soluţia generală a ecuaţiei omogene

înlocuiți funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Metoda de variație a unei constante arbitrare este de asemenea aplicabilă pentru rezolvare.

y'x+y=-xy².

Aducem ecuația la forma standard: y’+y/x=-y² (II).

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu y: dy/y=-dx/x. Acum să integrăm:

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (II):

Să simplificăm:

Am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru C și x:

Aici C este deja o constantă obișnuită. În timpul procesului de integrare, am scris simplu C în loc de C(x), pentru a nu supraîncărca notația. Și la sfârșit am revenit la C(x), pentru a nu confunda C(x) cu noul C.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C(x)/x înlocuim funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când l-am rezolvat folosind metoda Bernoulli.

Exemple de autotestare:

1. Să rescriem ecuația în formă standard: y’-2y=x.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’-2y=0. y’=dy/dx, prin urmare dy/dx=2y, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx, împărțiți cu y și integrați:

De aici găsim y:

Înlocuim expresiile pentru y și y’ în condiția (pentru concizie vom folosi C în loc de C(x) și C’ în loc de C"(x)):

Pentru a găsi integrala din partea dreaptă, folosim formula de integrare prin părți:

Acum înlocuim u, du și v în formula:

Aici C =const.

3) Acum înlocuim omogen în soluție