Să găsim derivate parțiale mixte online. Calculați derivata unei funcții online. – Înlocuind de fapt variabila
Definiție 1.11 Să fie dată o funcție a două variabile z=z(x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .
Dacă în D există un astfel de cartier U.M. 0 puncte M 0 , care pentru toate punctele
apoi punct M 0 se numește punct maxim local. Și sensul în sine z(M 0 ) - maxim local.
Și dacă pentru toate punctele
apoi punct M 0 se numește punctul minim local al funcției z(x,y) . Și sensul în sine z(M 0 ) - minim local.
Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . În fig. 1.4 explică semnificația geometrică a maximului local: M 0 - punct maxim, deoarece la suprafata z =z (x,y) punctul său corespunzător C 0 este mai înalt decât orice punct învecinat C (aceasta este localitatea maximului).
Rețineți că, în general, există puncte pe suprafață (de exemplu, ÎN ), care sunt situate deasupra C 0 , dar aceste puncte (de exemplu, ÎN ) nu sunt „vecinate” până la obiect C 0 .
În special, punctul ÎN corespunde conceptului de maxim global:
Minimul global este definit în mod similar:
Găsirea maximelor și minimelor globale va fi discutată în secțiunea 1.10.
Teorema 1.3(condiții necesare pentru un extremum).
Să fie dată funcția z =z (x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 D - punctul extremum local.
Dacă în acest moment există z" X Și z" y , Acea
Dovada geometrică este „evidentă”. Dacă la punct C 0 trageți un plan tangent pe (Fig. 1.4), apoi va trece „în mod natural” pe orizontală, adică într-un unghi 0° la axa Oh iar la axă OU .
Apoi, în conformitate cu semnificația geometrică a derivatelor parțiale (Fig. 1.3):
care era ceea ce trebuia dovedit.
Definiția 1.12.
Dacă la punct M 0 sunt îndeplinite condițiile (1.41), atunci se numește punct staționar al funcției z(x,y) .
Teorema 1.4(condiții suficiente pentru un extremum).
Să fie dat z =z (x,y), (x,y)D , care are derivate parțiale de ordinul doi într-o apropiere a punctului M 0 (X 0 ,y 0 )D . în plus M 0 - punct staționar (adică sunt îndeplinite condițiile necesare (1.41). Să calculăm:
Demonstrarea teoremei folosește subiecte (formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile și teoria formelor pătratice) care nu sunt tratate în acest tutorial.
Exemplul 1.13.
Explorează până la extrem:
Soluţie
1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):
adică se găsesc patru puncte staţionare. 2.
prin teorema 1.4 în punctul în care există un minim. în plus 
prin teorema 1.4 la punctul
Maxim. în plus
Conceptul de funcție a mai multor variabile
Fie n-variabile și fiecărui x 1, x 2 ... x n dintr-un anumit set de x i se atribuie o definiție. numărul Z, atunci funcția Z = f (x 1, x 2 ... x n) a multor variabile este dată pe mulțimea x.
X – definirea zonei de funcție
x 1, x 2 ... x n – variabilă independentă (argumente)
Z – funcția Exemplu: Z=P x 2 1 *x 2 (Volumul cilindrului)
Se consideră Z=f(x;y) – funcția a 2 variabile (x 1, x 2 înlocuit cu x,y). Rezultatele sunt transferate prin analogie la alte funcții ale multor variabile. Zona pentru determinarea funcției a 2 variabile este întregul cordon (oh) sau o parte a acestuia. Numărul de valori ale funcției a 2 variabile este o suprafață în spațiu tridimensional.
Tehnici de construire a graficelor: - Se consideră secțiunea transversală a suprafeței în pătrate || pătrate de coordonate.
Exemplu: x = x 0, zn. pătratul X || 0уz y = y 0 0хz Tipul funcţiei: Z=f(x 0 ,y); Z=f(x,y 0)
De exemplu: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Înconjurare parabolă(centru(0,1)
Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile
Fie dat Z=f(x;y), atunci A este limita funcției în t.(x 0 ,y 0), dacă pentru orice mulțime arbitrar mică. numărul E>0 este un număr pozitiv b>0, care pentru toate x, y satisface |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(x;y) este continuu intr-un t. (x 0 ,y 0) daca: - este definit in acest t.; - are o finală limită la x, tinde spre x 0 și y spre y 0; - această limită = valoare funcții în t. (x 0 ,y 0), adică. limf(x;y)=f(x 0 ,y 0) Dacă funcţia este continuă în fiecare t. mn-va X, atunci este continuu in aceasta zona Funcția diferențială, semnificația sa geom. Aplicarea diferenţialului în valori aproximative. dy=f’(x)∆x – funcție diferențială dy=dx, adică dy=f ’(x)dx dacă y=x Din punct de vedere geologic, diferența unei funcții este incrementul ordonatei tangentei trasate la graficul funcției în punctul cu abscisa x 0 Dif-l este utilizat la calcularea aprox. valorile funcției conform formulei: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x Cu cât ∆x este mai aproape de x, cu atât rezultatul este mai precis Derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea Derivată de ordinul întâi (care se numește parțială) A. Fie x, y incrementele variabilelor independente x și y la un moment dat din regiunea X. Atunci valoarea egală cu z = f(x+ x, y+ y) = f(x,y) se numește total increment în punctul x 0, y 0. Dacă fixăm variabila x și dăm incrementul y variabilei y, atunci obținem zу = f(x,y,+ y) – f(x,y) Derivata parțială a variabilei y se determină în mod similar, adică. Derivata parțială a unei funcții de 2 variabile se găsește folosind aceleași reguli ca și pentru funcțiile unei variabile. Diferența este că la diferențierea unei funcții față de variabila x, y este considerat const, iar la diferențierea față de y, x, este considerat const. Const izolate sunt conectate la o funcție folosind operații de adunare/scădere. Bound const sunt conectate la o funcție prin operații de înmulțire/împărțire. Derivată a const izolat = 0 1.4.Funcția diferențială completă a 2 variabile și aplicațiile acesteia
Fie z = f(x,y), atunci tz = Derivată parțială de ordinul 2 Pentru funcțiile continue a 2 variabile, derivatele parțiale mixte de ordinul 2 coincid. Aplicarea derivatelor parțiale la determinarea derivatelor parțiale ale funcțiilor max și min se numesc extreme. A. Punctele se numesc max sau min z = f(x,y) dacă există unele segmente astfel încât pentru toate x și y din această vecinătate f(x,y) T. Dacă este dat un punct extremum al unei funcții de 2 variabile, atunci valoarea derivatelor parțiale în acest punct este egală cu 0, i.e. , Punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt numite staționare sau critice. Prin urmare, pentru a găsi punctele extreme ale unei funcții de 2 variabile, sunt utilizate suficiente condiții extreme. Fie funcția z = f(x,y) să fie de două ori diferențiabilă și un punct staționar, 1) și maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Diferenţial complet. Sensul geometric al diferenţialului. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative
A. Fie definită funcția y = f(x) într-o anumită vecinătate în puncte. Se spune că o funcție f(x) este diferențiabilă într-un punct dacă incrementul ei în acest punct este Unde A este o valoare constantă independentă de , la un punct fix x și este infinitezimal la . O funcție relativ liniară A se numește diferența funcției f(x) într-un punct și se notează df() sau dy. Astfel, expresia (1) poate fi scrisă ca Diferenţialul funcţiei din expresia (1) are forma dy = A. Ca orice funcție liniară, este definită pentru orice valoare Pentru comoditatea scrierii diferenţialului, incrementul este notat cu dx şi se numeşte diferenţialul variabilei independente x. Prin urmare, diferența se scrie ca dy = Adx. Dacă funcția f(x) este diferențiabilă în fiecare punct al unui anumit interval, atunci diferența sa este o funcție a două variabile - punctul x și variabila dx: T. Pentru ca funcția y = g(x) să fie diferențiabilă la un moment dat, este necesar și suficient ca ea să aibă o derivată în acest punct și (*) Dovada. Necesitate. Fie funcția f(x) diferențiabilă în punct, adică. Prin urmare, derivata f’() există și este egală cu A. Prin urmare, dy = f’()dx Adecvarea. Să existe o derivată f’(), adică. = f'(). Atunci curba y = f(x) este un segment tangent. Pentru a calcula valoarea unei funcții într-un punct x, luați un punct într-o vecinătate a acestuia, astfel încât să nu fie dificil să găsiți f() și f’()/ În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de funcție a două variabile și, de asemenea, vom lua în considerare în detaliu sarcina cea mai comună - găsirea derivate parțiale diferența completă a unei funcții de ordinul întâi și al doilea. Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul? și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere; este cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Să începem cu însuși conceptul de funcție a două variabile, vom încerca să ne limităm la minim de teorie, întrucât site-ul are o orientare practică. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente. Exemplu: - funcţia a două variabile. Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare. Este util să cunoaștem semnificația geometrică a funcțiilor. O funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan, de exemplu, parabola școlară familiară. Orice funcție a două variabile din punct de vedere geometric reprezintă o suprafață în spațiu tridimensional (plane, cilindri, bile, paraboloizi etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja geometrie analitică, iar analiza matematică este pe agenda noastră. Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, la care vom ajunge într-un moment. Exemplul 1 Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei. Denumiri: Sau – derivată parțială în raport cu „x” Sau – derivată parțială în raport cu „y” Sa incepem cu . Important! Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).
Să decidem. În această lecție, vom oferi imediat soluția completă și vom oferi comentarii mai jos. Comentarii asupra acțiunilor efectuate: (1) Primul lucru pe care îl facem atunci când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice. Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție). (2) Folosim regulile de diferențiere (2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică acest tabel este la fel de valabil pentru (și pentru orice scrisoare în general).În acest caz, formulele pe care le folosim sunt: și . Deci, se găsesc derivate parțiale de ordinul întâi Continuăm cu subiectul preferat al analizei matematice – derivatele. În acest articol vom învăța cum să găsim derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile: derivate primare și derivate secunde. Ce trebuie să știi și să poți face pentru a stăpâni materialul? Credeți sau nu, în primul rând, trebuie să puteți găsi derivate „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile - la un nivel ridicat sau cel puțin mediu. Dacă este cu adevărat dificil cu ei, atunci începe cu o lecție Cum să găsesc derivatul?În al doilea rând, este foarte important să citiți articolul și să înțelegeți și să rezolvați, dacă nu toate, atunci majoritatea exemplelor. Dacă acest lucru a fost deja făcut, atunci mergeți cu mine cu un mers încrezător, va fi interesant, chiar vă veți bucura! Metode și principii de găsire derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile sunt de fapt foarte asemănătoare cu derivatele parțiale ale funcțiilor a două variabile. O funcție a două variabile, permiteți-mi să vă reamintesc, are forma , unde „x” și „y” sunt variabile independente. Geometric, o funcție a două variabile reprezintă o anumită suprafață în spațiul nostru tridimensional. O funcție de trei variabile are forma , iar variabilele sunt numite independentvariabile sau argumente, variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie. De exemplu: – funcţia a trei variabile Și acum puțin despre filme științifico-fantastice și extratereștri. Puteți auzi adesea despre patru-dimensionale, cinci-dimensionale, zece-dimensionale etc. spatii. Prostii sau nu? – Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)? – Este posibil să se construiască un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră. – Este posibil să călătorești în trecut? – Este posibil să călătorești în viitor? – Extratereștrii există? Pentru orice întrebare puteți alege unul dintre cele patru răspunsuri: Cine răspunde corect la toate întrebările este cel mai probabil să aibă un articol ;-) Voi da treptat răspunsuri la întrebări pe măsură ce lecția progresează, nu ratați exemplele! De fapt, au zburat. Și imediat vestea bună: pentru o functie de trei variabile sunt valabile regulile de diferentiere si tabelul derivatelor. De aceea trebuie să fii bun la a face față cu „obișnuitul” derivate ale funcţiilor o variabilă. Sunt foarte putine diferente! Exemplul 1 Soluţie: Nu este greu de ghicit - pentru o funcție de trei variabile există Trei derivate parțiale de ordinul întâi, care sunt notate după cum urmează: Sau – derivată parțială față de „x”; Cea mai obișnuită notație este cu un accident vascular cerebral, dar compilatorilor de colecții și manuale de instruire le place foarte mult să folosească notația greoaie în contextul problemelor - așa că nu vă pierdeți! Poate că nu toată lumea știe să citească corect aceste „fracții de temut” cu voce tare. Exemplu: ar trebui citit după cum urmează: „de u po de x”. Să începem cu derivata față de „x”: . Când găsim derivata parțială în raport cu , apoi variabilele Și sunt considerate constante (numerele constante).Și derivata oricărei constante, oh, grație, este egală cu zero: Acordați atenție imediat la indice - nimeni nu vă interzice să marcați că sunt constante. Este și mai convenabil; recomand ca începătorilor să folosească doar o astfel de înregistrare, există mai puțin risc de a se încurca. (1) Folosim proprietățile de liniaritate ale derivatei, în special, mutăm toate constantele dincolo de semnul derivatei. Vă rugăm să rețineți că în al doilea termen nu este nevoie să eliminați constanta: deoarece „Y” este o constantă, atunci este și o constantă. În termen, constanta „obișnuită” 8 și constanta „zet” sunt scoase din semnul derivat. (2) Găsim cele mai simple derivate, fără a uita că sunt constante. Apoi pieptănăm răspunsul. Derivată parțială. Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:
(1) Folosim proprietățile liniarității. Și din nou, rețineți că termenii , sunt constante, ceea ce înseamnă că nimic nu trebuie scos din semnul derivat. (2) Găsiți derivate, fără a uita că sunt constante. În continuare simplificăm răspunsul. Și în sfârșit, derivata parțială. Când găsim derivata parțială față de „zet”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:
Regula generala evident și fără pretenții: Când găsim derivata parțialăPentru orice motiv
variabilă independentă, atunciîncă doi
variabilele independente sunt considerate constante. Când îndepliniți aceste sarcini, ar trebui să fiți extrem de atenți, în special, Nu poți pierde abonamente(care indică ce variabilă este folosită pentru diferențiere). Pierderea indexului ar fi o CONDIȚIE GROSĂ. Hmmm…. E amuzant dacă după o asemenea intimidare îi las să treacă undeva) Exemplul 2 Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Cele două exemple luate în considerare sunt destul de simple și, după rezolvarea mai multor probleme similare, chiar și un ceainic se va obișnui să le rezolve pe cale orală. Pentru a scăpa de stres, să revenim la prima întrebare a testului: Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)? Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Toate axiomaticile matematice fundamentale, teoremele, aparatele matematice sunt frumoase și consistent lucrează în spațiu de orice dimensiune. Este posibil ca undeva în Univers să existe hipersuprafețe dincolo de controlul minții noastre, de exemplu, o hipersuprafață cu patru dimensiuni, care este definită de o funcție a trei variabile. Sau poate că hipersuprafețele sunt lângă noi sau chiar suntem chiar în ele, doar că viziunea, celelalte simțuri și conștiința noastră sunt capabile să perceapă și să înțeleagă doar trei dimensiuni. Să revenim la exemple. Da, dacă cineva este foarte încărcat cu testul, este mai bine să citiți răspunsurile la următoarele întrebări după ce ați învățat cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile, altfel vă voi uimi mintea pe parcursul articolului =) Pe lângă cele mai simple Exemple 1 și 2, în practică există sarcini care pot fi numite un mic puzzle. Spre supărarea mea, astfel de exemple au dispărut din vedere când am creat lecția Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile. Sa prindem din urma: Exemplul 3 Soluţie: Se pare că „totul este simplu” aici, dar prima impresie este înșelătoare. Când găsesc derivate parțiale, mulți vor ghici frunzele de ceai și vor face greșeli. Să privim exemplul în mod consecvent, clar și înțeles. Să începem cu derivata parțială față de „x”. Când găsim derivata parțială față de „x”, variabilele sunt considerate constante. Prin urmare, exponentul funcției noastre este, de asemenea, o constantă. Pentru manechine, recomand următoarea soluție: în schiță, schimbați constanta cu un anumit întreg pozitiv, de exemplu, „cinci”. Rezultatul este o funcție a unei variabile: Acest putere funcţia cu o bază complexă (sinus). De : Acum ne amintim că, astfel: În etapa finală, desigur, soluția ar trebui să fie scrisă astfel: Găsim derivata parțială față de „y”, acestea sunt considerate constante. Dacă „x” este o constantă, atunci este și o constantă. Pe schiță facem același truc: înlocuiți, de exemplu, cu 3, „Z” - înlocuiți cu același „cinci”. Rezultatul este din nou o funcție a unei variabile: Acest indicativ funcție cu un exponent complex. De regula de diferentiere a functiilor complexe: Acum să ne amintim înlocuitorul nostru: Prin urmare: Pe pagina finală, desigur, designul ar trebui să arate frumos: Și cazul în oglindă cu derivata parțială față de „zet” (– constante): Cu ceva experiență, analiza poate fi efectuată mental. Să finalizăm a doua parte a sarcinii - alcătuiți un diferențial de ordinul întâi. Este foarte simplu, prin analogie cu o funcție a două variabile, se scrie o diferență de ordinul întâi folosind formula: În acest caz: Și asta e afacere. Observ că în problemele practice, un diferențial complet de ordinul I pentru o funcție de trei variabile este necesar să fie construit mult mai puțin frecvent decât pentru o funcție a două variabile. Un exemplu amuzant pentru a o rezolva singur: Exemplul 4 Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile și construiți o diferenţială completă de ordinul întâi Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Dacă întâmpinați dificultăți, utilizați algoritmul „Chaynikovsky” discutat, vă va ajuta garantat. Și un alt sfat util - nu te grabi. Nici măcar eu nu pot rezolva rapid astfel de exemple. Să ne divagăm și să ne uităm la a doua întrebare: Este posibil să construim un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră. Răspuns corect: da. În plus, este foarte ușor. De exemplu, adăugăm o a patra dimensiune la lungime/lățime/înălțime - timp. Popularul spațiu-timp cu patru dimensiuni și binecunoscuta teorie a relativității, furate cu grijă de Einstein lui Lobachevsky, Poincaré, Lorentz și Minkowski. Nici toată lumea nu știe. De ce a câștigat Einstein Premiul Nobel? A existat un scandal teribil în lumea științifică, iar Comitetul Nobel a formulat meritul plagiatorului aproximativ după cum urmează: „Pentru contribuția sa generală la dezvoltarea fizicii”. Deci asta este. Brandul studentului C Einstein este pură promovare și PR. Este ușor să adăugați o a cincea dimensiune spațiului cu patru dimensiuni considerat, de exemplu: presiunea atmosferică. Și așa mai departe, așa mai departe, câte dimensiuni specificați în modelul dvs. - atâtea vor fi. În sensul larg al cuvântului, trăim într-un spațiu multidimensional. Să ne uităm la câteva sarcini obișnuite: Exemplul 5 Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct Soluţie: O sarcină din această formulare se găsește adesea în practică și implică următoarele două acțiuni: Noi decidem: (1) În fața noastră este o funcție complexă, iar în primul pas ar trebui să luăm derivata arctangentei. În acest caz, folosim, de fapt, cu calm formula tabulară pentru derivata arctangentei. De regula de diferentiere a functiilor complexe rezultatul trebuie înmulțit cu derivata funcției interne (înglobare): . (2) Folosim proprietățile liniarității. (3) Și luăm derivatele rămase, fără a uita că sunt constante. În conformitate cu condițiile de atribuire, este necesar să se găsească valoarea derivatei parțiale găsite la punctul. Să substituim coordonatele punctului în derivata găsită: Avantajul acestei sarcini este faptul că alte derivate parțiale sunt găsite conform unei scheme foarte asemănătoare: După cum puteți vedea, șablonul de soluție este aproape același. Să calculăm valoarea derivatei parțiale găsite în punctul: Și, în sfârșit, derivata cu privire la „zet”: Gata. Soluția ar fi putut fi formulată într-un alt mod: mai întâi găsiți toate cele trei derivate parțiale, apoi calculați valorile lor la punctul respectiv. Dar, mi se pare, metoda de mai sus este mai convenabilă - doar găsiți derivata parțială și imediat, fără a părăsi casa de marcat, calculați valoarea acesteia la punctul respectiv. Este interesant de observat că, din punct de vedere geometric, un punct este un punct foarte real în spațiul nostru tridimensional. Valorile funcției și derivatelor sunt deja a patra dimensiune și nimeni nu știe unde este localizată geometric. După cum se spune, nimeni nu s-a târât în jurul Universului cu o bandă de măsurare sau a verificat. Întrucât subiectul filozofic este din nou în creștere, să luăm în considerare a treia întrebare: Este posibil să călătorești în trecut? Răspuns corect: Nu. Călătoria în trecut contrazice a doua lege a termodinamicii privind ireversibilitatea proceselor fizice (entropia). Deci, vă rugăm să nu vă scufundați într-o piscină fără apă, evenimentul poate fi reluat doar într-un videoclip =) Nu degeaba înțelepciunea populară a venit cu legea opusă de zi cu zi: „Măsoară de două ori, tăie o dată”. Deși, de fapt, tristul este că timpul este unidirecțional și ireversibil, niciunul dintre noi nu va fi mai tânăr mâine. Și diverse filme științifico-fantastice precum „Terminator” sunt o prostie completă din punct de vedere științific. Este absurd și din punct de vedere filozofic când Efectul, revenind în trecut, își poate distruge propria Cauză. . Este mai interesant cu derivatul „zet”, deși este aproape același: (1) Scoatem constantele din semnul derivatei. (2) Iată din nou produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde din variabila „live” „zet”. În principiu, puteți utiliza formula pentru derivata unui cot, dar este mai ușor să mergeți în altă direcție - găsiți derivata produsului. (3) Derivata este o derivată tabelară. Al doilea termen conține derivata deja familiară a unei funcții complexe. Exemplul 9 Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Gândiți-vă cum să găsiți mai rațional această sau acea derivată parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Înainte de a trece la exemplele finale ale lecției și de a privi derivate parțiale de ordinul doi funcții a trei variabile, îi voi înveseli pe toată lumea din nou cu a patra întrebare: Este posibil să călătorești în viitor? Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Paradoxal, nu există nicio lege matematică, fizică, chimică sau de altă natură care să interzică călătoriile în viitor! Pare o prostie? Dar aproape toată lumea în viață a avut o presimțire (și nu susținută de niciun argument logic) că se va întâmpla cutare sau cutare eveniment. Și s-a întâmplat! De unde au venit informatia? Din viitor? Astfel, filmele științifico-fantastice despre călătoriile în viitor și, apropo, predicțiile tuturor tipurilor de ghicitori și psihici nu pot fi numite asemenea prostii. Cel puțin știința nu a respins acest lucru. Totul este posibil! Așa că, când eram la școală, CD-urile și monitoarele cu ecran plat din filme mi s-au părut incredibile. Celebra comedie „Ivan Vasilyevich își schimbă profesia” este jumătate ficțiune (cel mult). Nicio lege științifică nu a interzis lui Ivan cel Groaznic să existe în viitor, dar este imposibil ca doi ardei să ajungă în trecut și să îndeplinească îndatoririle unui rege. Luați în considerare o funcție a două variabile: Deoarece variabilele $x$ și $y$ sunt independente, pentru o astfel de funcție putem introduce conceptul de derivată parțială: Derivata parțială a funcției $f$ în punctul $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ în raport cu variabila $x$ este limita \[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\] În mod similar, puteți defini derivata parțială în raport cu variabila $y$ : \[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\] Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită. Acest lucru duce la tehnica principală de calcul a unor astfel de derivate: pur și simplu presupuneți că toate variabilele, cu excepția acesteia, sunt o constantă, apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția una „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu: $\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$ Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important să înțelegem de ce, să zicem, în primul caz am eliminat cu calm $10y$ de sub semnul derivatului, iar în al doilea caz am eliminat complet primul termen. Toate acestea se întâmplă din cauza faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care se realizează diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse”, etc. Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele parțiale ale acestora. În primul rând, ce este o funcție a mai multor variabile? Până acum, suntem obișnuiți să considerăm o funcție ca $y\left(x\right)$ sau $t\left(x \right)$, sau orice variabilă și o singură funcție a acesteia. Acum vom avea o singură funcție, dar mai multe variabile. Pe măsură ce $y$ și $x$ se schimbă, valoarea funcției se va schimba. De exemplu, dacă $x$ se dublează, valoarea funcției se va modifica, iar dacă $x$ se modifică, dar $y$ nu se modifică, valoarea funcției se va schimba în același mod. Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze în funcție de diferite variabile. În acest caz, apar reguli specifice care nu au existat la diferențierea unei variabile. În primul rând, atunci când calculăm derivata unei funcții din orice variabilă, ni se cere să indicăm pentru ce variabilă calculăm derivata - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât în $x$ cât și în $y$ - două derivate parțiale pentru fiecare dintre variabile. În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să calculăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $z\left(xy \right)$, dacă luăm în considerare derivata parțială față de $x$, atunci oriunde întâlnim $y$, considerăm că este o constantă și o tratăm ca atare. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem scoate $y$ din paranteze (avem o constantă), iar la calcularea derivatei unei sume, dacă undeva obținem o derivată a unei expresii care conține $y$ și neconținând $x$, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a unei constante. La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva complicat, iar mulți studenți sunt confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale și acum vom vedea acest lucru folosind exemplul unor probleme specifice. Pentru a nu pierde timpul, să începem de la bun început cu exemple serioase. Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc această formulă: Aceasta este valoarea tabelului standard pe care o cunoaștem din cursul standard. În acest caz, derivata $z$ se calculează după cum urmează: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\] Să o facem din nou, deoarece rădăcina nu este $x$, ci o altă expresie, în acest caz $\frac(y)(x)$, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina este nu $x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu alta a acestei expresii în raport cu aceeași variabilă. Să calculăm mai întâi următoarele: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\] Ne întoarcem la expresia noastră și scriem: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\] Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin: \[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\] \[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\] Răspunsul a fost găsit. Acum să ne ocupăm de $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\] Să-l notăm separat: \[((\left(\frac(y)(x) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot (((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\] Acum scriem: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\] \[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\] Terminat. Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Este mai complicat pentru că există mai multe acțiuni, dar este mai simplu pentru că nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $x$ și $y$, adică. dacă schimbăm $x$ și $y$, formula nu se va schimba. Această remarcă va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, adică. este suficient să numărați unul dintre ele, iar în al doilea pur și simplu schimbați $x$ și $y$. Sa trecem la treaba: \[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\] Hai să numărăm: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ] Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg această notație, așa că să o scriem astfel: \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\] Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului derivatei parțiale: indiferent de modul în care le calculăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același. Acum să ne uităm la încă o derivată parțială din formula noastră mare: \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\] Să substituim expresiile rezultate în formula noastră și să obținem: \[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ dreapta)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\] \[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \dreapta))^(2)))=\] \[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\) stânga(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\] Bazat pe $x$ numărați. Și pentru a calcula $y$ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să profităm de simetria expresiei noastre originale - pur și simplu înlocuim toți $y$ din expresia noastră originală cu $x$ și invers: \[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\] Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid. Pentru derivatele parțiale funcționează toate formulele standard pe care le folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În același timp, însă, apar și caracteristici specifice: dacă luăm în considerare derivata parțială a lui $x$, atunci când o obținem din $x$, o considerăm constantă și, prin urmare, derivata ei va fi egală cu „zero” . Ca și în cazul derivatelor obișnuite, coeficientul (aceeași derivată) poate fi calculat în mai multe moduri diferite. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează: \[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\] \[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\] În același timp, pe de altă parte, puteți utiliza formula din suma derivatelor. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele: \[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \] Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: există și trigonometrie și logaritmi și funcția exponențială. Acum hai să facem asta. Să scriem următoarele formule standard: \[((\left(\sqrt(x) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\] \[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\] Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm: \[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Să scriem o variabilă separat: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Să revenim la designul nostru: \[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\] Gata, am găsit-o pentru $x$, acum hai să facem calculele pentru $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Din nou, să calculăm o expresie: \[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \dreapta)\] Revenim la expresia originală și continuăm soluția: \[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\] Terminat. Să scriem formula de care avem nevoie: \[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\] Acum să numărăm cu $x$: \[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\] Găsit pentru $x$. Numărăm cu $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\] \[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ] Problema este rezolvată. Deci, indiferent de ce funcție luăm derivata parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi. Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata unei sume și a unei diferențe, a unui coeficient și a unei funcții complexe. Ultima formulă se găsește cel mai adesea la rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Îi întâlnim aproape peste tot. Nu a existat niciodată o singură sarcină în care să nu am întâlnit-o. Dar indiferent de formula pe care o folosim, mai avem încă o cerință adăugată, și anume, particularitatea lucrului cu derivate parțiale. Odată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $\cos \frac(x)(y)$ față de $y$, atunci $y$ este variabila, iar $x$ rămâne o constantă peste tot. Același lucru funcționează invers. Poate fi scos din semnul derivatei, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”. Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar cu privire la diferite variabile, pot arăta complet diferit. De exemplu, să ne uităm la următoarele expresii: \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\] \[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\] Pentru început, să scriem următoarea formulă: \[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\] Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Acum o voi rezolva în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul produsului: \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] Să rezolvăm separat următoarea expresie: \[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\] Revenim la designul nostru original și continuăm cu soluția: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\dreapta)\] Totul, $x$ este calculat. Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm această derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele: \[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\] Hai sa o scriem asa: \[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\] Drept urmare, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcule s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să rețineți că la efectuarea produsului, indicatorii pot fi adăugați. Acum să numărăm cu $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\] \[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\] Să rezolvăm o expresie separat: \[((\left(\frac(x)(y) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\] Să continuăm să rezolvăm construcția noastră originală: \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\] Desigur, această derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, iar răspunsul ar fi același. Să numărăm cu $x$: \[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\] Să calculăm o expresie separat: \[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\] Să continuăm rezolvarea construcției inițiale: $$ Acesta este răspunsul. Rămâne de găsit prin analogie folosind $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\] Ca întotdeauna, calculăm o expresie separat: \[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\] Continuăm să rezolvăm designul de bază: Totul a fost calculat. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite. Iată un exemplu izbitor al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici: \[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ stânga(1+\frac(1)(y) \dreapta)\] \[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ] Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcule poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, va fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă se ia derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Uite: \[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\] \[((\left(\ln \left((((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\] În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să calculăm încă două exemple. Să notăm următoarele formule: \[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\] \[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\] Să rezolvăm acum expresia noastră: \[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\] Să calculăm separat următoarea construcție: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\] Continuăm să rezolvăm expresia originală: \[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\] Acesta este răspunsul final al variabilei private pe $x$. Acum să numărăm cu $y$: \[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\] Să rezolvăm o expresie separat: \[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ stânga(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\] Să ne rezolvăm construcția până la capăt: \[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\] La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi. Găsiți după $x$: \[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\] \[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\] Acum să ne ocupăm de $y$: \[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\] \[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\] Am găsit răspunsul. Acum tot ce rămâne este să găsiți cu $z$: \[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\] Am calculat derivata a treia, care completează soluția celei de-a doua probleme. După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru de care suntem convinși este că derivata unei funcții complexe este folosită des și în funcție de derivată parțială pe care o calculăm, obținem răspunsuri diferite. În ultima sarcină, ni s-a cerut să înțelegem o funcție a trei variabile simultan. Nu este nimic în neregulă cu asta, dar până la urmă am fost convinși că toate sunt semnificativ diferite unele de altele. Ultimele concluzii din tutorialul video de astăzi sunt următoarele: Desigur, doar vizionarea acestei lecții video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu există un set de probleme pentru acest videoclip dedicat special subiectului de astăzi - intrați, descărcați, rezolvați aceste probleme și verificați răspunsul . Și după aceasta nu veți mai avea probleme cu derivatele parțiale nici la examene, nici în munca independentă. Desigur, aceasta nu este ultima lecție de matematică superioară, așa că vizitați site-ul nostru, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, like și rămâneți cu noi!
- numit increment complet
, unde este prezentat sub forma (1)
().
în timp ce creșterea funcției trebuie luată în considerare numai pentru cele pentru care + aparține domeniului de definiție al funcției f(x).. Apoi
; . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.
La urma urmei, funcția a trei variabile implică faptul că toate lucrurile au loc în spațiu cu patru dimensiuni (într-adevăr, există patru variabile). Graficul unei funcții de trei variabile este așa-numitul hipersuprafață. Este imposibil de imaginat, deoarece trăim în spațiu tridimensional (lungime/lățime/înălțime). Ca să nu te plictisești de mine, îți propun un test. Voi pune câteva întrebări și oricine este interesat poate încerca să răspundă la ele:
Da / Nu (știința interzice acest lucru) / Știința nu interzice acest lucru / Nu știu
sau – derivată parțială în raport cu „y”;
sau – derivată parțială în raport cu „zet”.
sau poți scrie și așa:
– trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi;
– trebuie să calculați valorile derivatelor parțiale de ordinul 1 la punctul respectiv.
Ce este „derivată parțială”?
Probleme cu radicali și polinoame
Sarcina nr. 1
Problema nr. 2
Nuanțe ale soluției
Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi
Sarcina nr. 1
Problema nr. 2
Nuanțe ale soluției
Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii
Sarcina nr. 1
Problema nr. 2
Nuanțe ale soluției
Probleme cu funcții trigonometrice și funcții cu trei variabile
Sarcina nr. 1
Problema nr. 2
Nuanțe ale soluției
Puncte cheie
